elementi di logica proposizionale e predicativa, a partire da domande dei test di ammissione all' università

2. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi se p allora q p  q Condizione SUFFICIENTE per q Condizione NECESSARIA per p Domani Aldo verrà dimesso dall’ospedale se oggi rimane senza febbre A . Se domani verrà dimesso, vuol dire che oggi Aldo è senza febbre q  p B . Per essere dimesso domani, è necessario che oggi Aldo rimanga senza febbre q  p C . Per essere dimesso domani, è sufficiente che oggi Aldo rimanga senza febbre p  q D . Domani Aldo verrà dimesso solo se oggi rimane senza febbre q  p (oppure: p solo se q )

3. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi E. Oggi Aldo ha la febbre e domani non verrà dimesso .  p   q Domani Aldo verrà dimesso dall’ospedale se oggi rimane senza febbre  O Aldo oggi non rimane senza febbre oppure domani verrà dimesso p  q   p  q p  q non consente di dedurre niente riguardo a  p . Se Aldo oggi ha la febbre, non si può dire niente riguardo alle sue dimissioni domani: Aldo potrebbe essere dimesso oppure no, e la decisione può non dipendere dalla febbre.

4. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Da cosa dipende tutto quanto affermato prima? Dalle: DEFINIZIONI DEI CONNETTIVI (assiomi della logica a due valori) mediante le tavole dei valori di verità: Esempio: p q p  q  p  p  q v v v f v v f f f f f v v v v f f v v v

5. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Controinversa (o contronominale) contraria p  q q  p  p   q  q   p diretta inversa equivalenti equivalenti Se le proposizioni p  q e q  p sono vere entrambe, si dice che p è condizione necessaria e sufficiente per q , si scrive: p  q e si legge p se e solo se q p: ho fame q: mangio un gelato

8. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Sull’equivalenza delle due proposizioni: p  q  q   p si basa una forma di DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO Per dimostrare che da un certo numero di ipotesi deriva la tesi, si può dimostrare che dalla negazione della tesi deriva la negazione di una (o più) delle ipotesi.

9. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Esempio di dimostrazione per assurdo: TEOREMA: se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli alterni interni congruenti, allora le due rette sono parallele. Ipotesi: a=b Tesi: r  s a=b  r  s Dimostrazione:  (r  s)  C = r  s  a > b ( perché, essendo un angolo esterno del triangolo ABC, è maggiore degli angoli interni non adiacenti )   (a=b) assurdo, perché contraddice l’ ipotesi.

10. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi APPUNTI DI LOGICA PREDICATIVA Teorema : se un numero è divisibile per 10 allora è divisibile per 5 p  q: non basta! P(x): x è P – x ha la proprietà P – di x posso dire (“predicare”) P Se x ha la proprietà P allora x (il medesimo x) ha la proprietà Q: P(x)  Q(x): funzione proposizionale (o proposizione aperta ) P: essere divisibile per 10 Q: essere divisibile per 5 P(x)  Q(x): se x è divisibile per 10 allora x è divisibile per 5

11. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi x è divisibile per 10 P(x) x è divisibile per 5 Q(x) se x è div per 10 allora x è div per 5 P(x)  Q(x) NON sono proposizioni Una proposizione aperta diventa una proposizione Sostituendo alla variabile un valore es: P(30) (30 è div per 10) Q(17) (17 è div per 5) P(53)  Q(53) “ Chiudendola” con un quantificatore : tutti, nessuno, qualche

12. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi se un numero è divisibile per 10 allora è divisibile per 5 diventa una proposizione vera qualunque numero naturale sostituiamo alla variabile: se n è un qualsiasi numero naturale la proposizione P(n)  Q(n) è vera (perché?) Tutti i numeri divisibili per 10 sono divisibili per 5 (Qualunque numero div per 10 è div per 5) (Comunque scelga il numero x, se x è div per 10 allora x è div per 5) P(x)  Q(x) Cioè è vera la proposizione:

13. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi QUANTIFICATORI Tutti gli x godono della proprietà P………………... Qualche (almeno uno) x gode della proprietà P…… Quantificatore UNIVERSALE Quantificatore ESISTENZIALE  x P(x)  x P(x) Tutti i numeri divisibili per 10 sono divisibili per 5  x [P(x)  Q(x)]

14. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi NEGAZIONE DELLE PROPOSIZIONI QUANTIFICATE  [ x P(x)]  x P(x) non è vero che tutti i triangoli sono rettangoli Qualche triangolo non è rettangolo    [ x P(x)]   x P(x) nessun numero dispari è divi- sibile per 6  Tutti i numeri dispari non sono divisibili per 6 Es: Universo: triangoli (x varia nell’insieme dei triangoli) predicato P: essere rettangolo P(x): x è un triangolo rettangolo Es: Universo: numeri dispari (x varia nell’insieme dei numeri dispari) predicato P: essere divisibile per 6 P(x): x è un numero dispari divisibile per 6

21. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Rappresentazione con i diagrammi di Venn: T: insieme dei Tigari R: insieme dei Rumpioni U: insieme di quelli che hanno la Rucca Rumpioni che sono tigari Rumpioni che non sono tigari NON E’ VERO IL SILLOGISMO E’ FALSO • • • • • • •  x T(x)  U(x)  tutti i tigari hanno la rucca  T  U  x R(x)  U(x)  tutti i rumpioni hanno la rucca  R  U   x R(x)  T(x)  tutti i rumpioni sono tigari  R  T U T R

23. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Molti Flacchi sono Grobbi e anche molti Grobbi sono Diori. Quale affermazione è sicuramente vera? A Alcuni Flacchi sono Diori B Tutti i Flacchi sono Diori C Molti Flacchi sono Diori D Nessuna affermazione è totalmente vera E Almeno due affermazioni sono totalmente vere (ammissione ai corsi triennali di medicina e chirurgia Mi Bicocca, test 2004 ) NB: molti, alcuni, almeno uno …... in logica significano la stessa cosa sicuramente vera, totalmente vera……. significano vera F D G Qui c’è qualcosa (i flacchi grobbi) Qui c’è qualcosa (i grobbi diori) NON SI PUO’ DEDURRE NIENT’ALTRO ? ? ?