algebra<br />
funciones<br />
Que es una función ?<br />una función es un tipo especial de relación entre elementos de dos conjuntos. Un conjunto inicia...
Expresión explicativa de una función<br />La forma mas usual para definir una función escalar (funciones escalares son aqu...
Función cuadratica<br />
Que es ?<br />Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son n...
Obtención del vértice<br />El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punt...
Intersección de la parábola con los ejes<br />Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la absc...
Calculo de puntos en la parábola <br />Podemos hallar los puntos de la parábola que necesitemos sin más que sustituir, en ...
y = x² + 2x + 1<br />1. Vértice<br />x v = - 2/ 2 = -1     y v = (-1)² + 2· (-1) + 1= 0        V(- 1, 0)<br />2. Puntos de...
Función exponencial<br />
Que es?<br />Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma  f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el ex...
Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se m...
x decrece ilimitadamente.</li></ul>Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punt...
Es continua.<br />Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.<br />Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de ...
Función logarítmica<br />
Que es ?<br />Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y posit...
En este tramo la función es negativa porque al introducir la anti-imagen de un número racional la imagen que da, es un núm...
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Algebra

  1. 1. algebra<br />
  2. 2. funciones<br />
  3. 3. Que es una función ?<br />una función es un tipo especial de relación entre elementos de dos conjuntos. Un conjunto inicial llamado Dominio y un conjunto Final llamado Imagen, una función asigna a cada elemento del dominio un elemento de la Imagen<br />Para que una relación sea función se deben cumplir dos condiciones<br />Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos x e y; a una de ellas la llamamos variable dependiente pues depende de los valores de la otra para su valor, suele ser la y; a la otra por tanto se la denomina variable independiente y suele ser la x.<br />Para todo elemento del conjunto dominio de la funcion existe un elemento del conjunto imagen con el que esta relacionado<br />
  4. 4. Expresión explicativa de una función<br />La forma mas usual para definir una función escalar (funciones escalares son aquellas en las que los conjuntos dominio e imagen sus conjuntos de números reales), es definiendo primero el nombre de la función, después los conjuntos dominio e imagen y luego dando la expresión explicita de la función, en la que se muestra la relación entre los elementos x (del dominio) e Y (de la imagen). por ejemplo<br />f(x)=x + 2<br />Esto nos dice que la función se llama f, que su dominio son los reales, su imagen los reales, y su expresión es y=x+2, (hay que recordar que y=f(X)), entonces supongamos que elegimos un valor x al azar del dominio x=2, su correspondiente valor de imagen es y=2+2= 4<br />Entonces el par ordenado (x,y) (2,4) representa un punto que esta incluido en la grafica de f<br />
  5. 5. Función cuadratica<br />
  6. 6.
  7. 7. Que es ?<br />Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.<br />Si representamos "todos" los puntos (x,f (x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.<br />Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:<br />f(x) = x2<br />
  8. 8. Obtención del vértice<br />El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos.Como toda función cuadrática pasa por el punto (0,c) y el simétrico de éste tiene de abscisa x = -b/a, la del vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función.<br />
  9. 9. Intersección de la parábola con los ejes<br />Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)<br /> Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:<br />Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos.<br />Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice).<br />Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje OX.<br />
  10. 10. Calculo de puntos en la parábola <br />Podemos hallar los puntos de la parábola que necesitemos sin más que sustituir, en la ecuación de la función cuadrática, la variable x por aquellos valores que deseemos.<br /> Ejemplo<br />
  11. 11. y = x² + 2x + 1<br />1. Vértice<br />x v = - 2/ 2 = -1     y v = (-1)² + 2· (-1) + 1= 0        V(- 1, 0)<br />2. Puntos de corte con el eje OX.<br />x² + 2x + 1= 0<br />Coincide con el vértice: (-1, 0)<br />3. Punto de corte con el eje OY.<br /> (0, 1)<br />
  12. 12.
  13. 13. Función exponencial<br />
  14. 14. Que es?<br />Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma  f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.<br />
  15. 15. Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:<br /><ul><li>x crece ilimitadamente
  16. 16. x decrece ilimitadamente.</li></ul>Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a  +¥  y cuando x tiene a -¥. <br />Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el valor de la base b. Compara el comportamiento de la función para valores de b>1 y valores de comprendidos entre 0<b<1.<br />
  17. 17.
  18. 18. Es continua.<br />Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.<br />Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).<br />Creciente si a >1.<br />Decreciente si a < 1.<br />Las curvas y = ax e y = (1/a)x  son simétricas respecto del eje OY.<br />
  19. 19. Función logarítmica<br />
  20. 20. Que es ?<br />Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0. Comparación: Las 3 funciones (log 2 x, log 5 x, log 7 x) se unen en el punto (1,0) porque el log a 1 = 0, y el log a a = 1, con lo que coincide que la gráfica pasa por (1,0) y (a,1).<br />En la función logarítmica (cuando a > 1) cuanto mayor es la base del logaritmo, más cerca del eje X está.<br />Las funciones de la forma y = log a x cuando la base es mayor que la unidad (a > 1) tienen las siguientes características:<br />(tomando como ejemplo la función f (x) = log 5 x)<br />-Dominio: el dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo. Dom (f) = R +<br />
  21. 21. En este tramo la función es negativa porque al introducir la anti-imagen de un número racional la imagen que da, es un número negativo, lo que no quiere decir que existan imágenes para números negativos en esta función, ya que es imposible. log -x "<br />-Recorrido: el recorrido de la función es toda la recta real<br />ya que se ve como la función llega de -" y continua hacia + ".<br />-Continuas y crecientes: la función es creciente en todo su dominio porque...<br />...x < x' ! f(x) " f(x'), y continua porque todos sus puntos tienen imagen, tienen límite, y el límite de un punto coincide con la imagen del punto.<br />Simetría: la función no es ni simétrica impar (por no ser simétrica respecto del origen) ni tampoco par (por no ser simétrica respecto del eje de coordenadas<br />

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