Matrices Invertibles y Elementos de ´Algebra MatricialDepartamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM12 de enero de 2011´Indice9....
9.3. Propiedades de la transpuesta1. La transpuesta de la transpuesta de una matriz A es otra vez A: AT T= A.2. La transpu...
y1 −2 03 −5 1→1 0 20 1 1Y as´ı b11 = −5, b21 = −3, b21 = 2, y b22 = 1. Quedando la inversa comoA−1= B =−5 2−3 1Observemos ...
Como en el resultado final B es la matriz identidad, A1 es una matriz invertible yA1−1=7 3−2 −1.Para A2:[A2|I] =1 2 1 02 4 ...
4 Si c es una constante cualquiera, pero diferente de cero, entonces la matriz c A tambi´en es invertible y(c A)−1=1cA−1.5...
c Z = D → Z =1cD (4)Por tanto, el valor de la inc´ognita X esX =1c(B − A)Ejemplo 9.5Asumiendo que la matriz A sea invertib...
De donde el despeje en dos pasos es haciendo primero:B X = A−1CPara despu´es obtener:X = B−1A−1CNote que ambos resultados ...
Multiplicando por A−1 por la derecha:(BX)−1+ CT= A−1(E − D)Tomando la transpuesta en ambos miembros:(BX)−1+ C = A−1(E − D)...
Como esto habr´a que aplicarlo a todos los renglones por debajo del rengl´on m y hasta el n, entoncespara realizar un cicl...
Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tiene infinitas soluciones.Soluci´onSi suponemos que la matriz A no es in...
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Matriz transpuesta

  1. 1. Matrices Invertibles y Elementos de ´Algebra MatricialDepartamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM12 de enero de 2011´Indice9.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2. Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3. Propiedades de la transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.4. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.5. Motivaci´on del algoritmo de inversi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.6. Algoritmo para invertir una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.7. Comentario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.8. Propiedades de la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49.9. Ecuaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59.10. Complejidad computacional de la inversi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89.1. Introducci´onEn esta lectura veremos la matriz transpuesta y la matriz inversa a una matriz dada (En caso de que lamatriz inversa a ella exista). Revisaremos las propiedades que tienen el tomar la inversa o la transpuesta deuna matriz as´ı como un m´etodo eficiente de inversi´on. Terminaremos con la aplicaci´on de estos conceptos a lasoluci´on de cierto tipo de ecuaciones matriciales.9.2. TranspuestaDefinici´on 9.1La matriz transpuesta de una matriz A n × m es una matriz con dimensiones m × n cuyo elemento (i, j) esprecisamente el elemento (j, i) de la matriz A. A esta matriz se le simboliza AT . Una forma f´acil de construirAT es tomar los renglones de A y convertirlos en columnas.Ejemplo 9.1Determine AT siA =1 2 34 5 6.Soluci´onSiguiendo la indicaci´on de tomar los renglones de A como columnas para AT tenemos:AT=1 42 53 6
  2. 2. 9.3. Propiedades de la transpuesta1. La transpuesta de la transpuesta de una matriz A es otra vez A: AT T= A.2. La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: (A + B)T= AT + BT .3. (c A)T= c AT .4. (A B)T= BT AT .La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas pero en orden contrario9.4. Matrices invertiblesDefinici´on 9.2Se dice que una matriz A cuadrada n × n es una matriz invertible, o que es una matriz no singular, si existeuna matriz B n × n, que llamaremos la matriz inversa de A, que cumple:A B = I y B A = I (1)Una matriz invertible s´olo tiene una inversa, es decir, la inversa es ´unica. La ´unica inversa de una matrizinvertible A se representa por A−1. As´ıA A−1= I = A−1A (2)Como se puede ver 0 C = 0, para cualquier matriz C de dimensiones adecuadas, esto significa que existenmatrices cuadradas que no pueden ser invertibles (La matrix cuadrada 0 es una de ellas) este tipo de matricesse llama matriz singular o matriz no invertible.9.5. Motivaci´on del algoritmo de inversi´onVeamos un ejemplo que motivar´a el algoritmo para obtener la inversa de una matriz.Ejemplo 9.2Determine la inversa deA =1 −23 −5Suponga que buscamos una matriz B, 2 × 2 tal que A B = I2×2:1 −23 −5b11 b12b21 b22=1 00 1As´ı se debe cumplir:Para elemento (1,1) del producto: 1 · b11 − 2 · b21 = 1Para elemento (2,1) del producto: 3 · b11 − 5 · b21 = 0Para elemento (1,2) del producto: 1 · b12 − 2 · b22 = 0Para elemento (2,2) del producto: 3 · b12 − 5 · b22 = 1Esto conduce a dos sistemas de ecuaciones: uno en b11 y b21 y otro b21 y b22 con matrices aumentadas que alreducirse quedan:1 −2 13 −5 0→1 0 −50 1 −32
  3. 3. y1 −2 03 −5 1→1 0 20 1 1Y as´ı b11 = −5, b21 = −3, b21 = 2, y b22 = 1. Quedando la inversa comoA−1= B =−5 2−3 1Observemos queAmbas matrices aumentadas tienen la misma matriz de coeficientes: exactamente A.Teniendo la misma matriz de coeficientes, los sistemas deben reducirse con las mismas operaciones derengl´on.En cada sistema, la columna de las constantes es una columna de I.Como las matrices aumentadas tienen las mismas matrices de coeficientes y las operaciones de rengl´onpara la reducci´on son las mismas, entonces el proceso se puede llevar a cabo formando la matriz aumentada[A|I] y reduciendo.Despu´es del proceso de reducci´on, la inversa queda exactamente acamodada en la posici´on donde entr´o I.9.6. Algoritmo para invertir una matrizPara determinar A−1, si existe, haga los siguiente:1. Construya la matriz aumentada [A|I].Aqu´ı I representa la matriz identidad n × n.2. Reduzca la matriz [A|I]. Digamos que se obtenga [B|C].3. Si la matriz B es la matriz identidad, entonces A s´ı es invertible y A−1 = C.4. Si la matriz B no es la identidad, entonces A no es invertible.Ejemplo 9.3Invierta las matrices:A1 =1 3−2 −7y A2 =1 22 4Soluci´onPara A1:[A1|I] =1 3 1 0−2 −7 0 1R2←R2+2 R1−−−−−−−−→1 3 1 00 −1 2 1R2←−1 R2−−−−−−−→1 3 1 00 1 −2 −1R1←R1−3 R1−−−−−−−−→1 0 7 30 1 −2 −13
  4. 4. Como en el resultado final B es la matriz identidad, A1 es una matriz invertible yA1−1=7 3−2 −1.Para A2:[A2|I] =1 2 1 02 4 0 1R2←R2−2 R1−−−−−−−−→1 2 1 00 0 −2 1R2←−12R2−−−−−−−→1 2 1 00 0 1 −1/2R1←R1−R2−−−−−−−→1 2 0 1/20 0 1 −1/2= [B|C].Como en el resultado final B no es la matriz identidad, A2 no es una matriz invertible. Observe con cuidadoque en c´alculo para A2 que no hace falta concluir por completo hasta la forma reducida: en el momentoque aparezca un rengl´on en ceros en la parte correspondiente a B la matriz ya no ser´a invertible9.7. ComentarioRecuerde que para una matriz A n × n la matriz inversa de ella se defini´o como una matriz B n × n quecumpleA B = In = B Ay en nuestra deducci´on del algoritmo s´olo buscamos que se cumpla A B = I. En los resultados te´oricos de´algebra de matrices se tiene queSi A es una matriz cuadrada y existe una matriz cuadrada C tal que A C = I, entonces A es invertible.Es decir, que es suficiente tener inversa lateral derecha para tener inversa por ambos lados.Si A es una matriz cuadrada invertible y si B es una matriz cuadrada que cumple A B = I, entoncesA−1 = B. Es decir, que la inversa lateral derecha de una matriz cuadrada invertible coincide con lainversa de la matriz.Estos resultados te´oricos justifican que s´olo busquemos la inversa derecha de una matriz para decir si la matrizes invertible y que la matriz encontrada es precisamente su inversa.9.8. Propiedades de la inversa1 Si la matriz A, n×n, puede invertirse, entonces el sistema A x = b tiene soluci´on ´unica para cada vectorb. Esta soluci´on puede calcularse comox = A−1b2 Sean A y B dos matrices cuadradas n × n invertibles cualquiera entonces AB es invertible y(A B)−1= B−1A−1.3 La inversa de una matriz invertible tambi´en es una matriz invertible yA−1 −1= A.4
  5. 5. 4 Si c es una constante cualquiera, pero diferente de cero, entonces la matriz c A tambi´en es invertible y(c A)−1=1cA−1.5 Si k es un n´umero entero postivo, entonces Ak tambi´en es una matriz invertible yAk−1= A−1 k.6 La matriz AT tambi´en es invertible yAT −1= A−1 T.9.9. Ecuaciones con matricesAhora pondremos en pr´actica nuestra ´algebra con matrices para resolver ecuaciones donde se involucraninc´ognitas que representan matrices.Ejemplo 9.4Resuelva para Xc X + A = BSoluci´onLos pasos que se siguen son muy similares al ´algebra b´asica sumamos en ambos miembros la matriz −A:(c X + A) − A = B − AComo la suma / resta de matrices es asociativa se pueden agrupar los sumando para dejar juntos A y −A:c X = c X + 0 = c X + (A − A) = B − ASiendo estos c´alculos para suma y resta de matrices tan similares a los del ´algebra b´asica usaremos la mismaregla:Si en una igualdad entre expresiones con matrices aparece sumando o restando una matriz en unmiembro la podemos pasar al otro miembro restando o sumando:Z + C = D → Z = D − C (3)Ahoara debemos despejar X de la expresi´onc X = B − Aprocedemos a multiplicar por el escalar 1/c:X = 1 X =1cc X =1c(cX) =1c(B − A)Siendo estos c´alculos para la multiplicaci´on o divisi´on con escalares tan similares a los del ´algebra b´asicausaremos la misma regla:Si en una igualdad entre expresiones con matrices aparece multiplicando (resp. dividiendo) unescalar lo podemos pasar al otro miembro dividiendo (resp. multiplicando).5
  6. 6. c Z = D → Z =1cD (4)Por tanto, el valor de la inc´ognita X esX =1c(B − A)Ejemplo 9.5Asumiendo que la matriz A sea invertible, despeje la matriz X de la ecuaci´on:A X = BSoluci´onEste tipo de problemas presenta a los alumnos cierta dificultad en los primeros despejes de ecuaciones matricia-les. Se debe tener bien en claro que la matriz A a eliminar est´a a la izquierda de la inc´ognita est´a multiplicandoa la izquierda y que por consiguiente debe de multiplicarse por la izquierda por la matriz inversa de A:X = I X = A−1A X = A−1(A X) = A−1BEs equivocado hacer cancelar A pretendiendo multiplicar por la derecha:X = AXA−1= BA−1Y representa un error a´un m´as grave dividir entre A pretendiendo cancelar A:X =AXA=BALa regla v´alida para cancelar matrices cuando ´estas poseen inversas que multiplican es la siguiente:A X = B → X = A−1B (5)X A = B → X = B A−1(6)Ejemplo 9.6Suponiendo que A y B son matrices invertibles, despeje X de:ABX = CSoluci´onOtro problema que los alumnos enfrentan en los primeros despejes aparece en este tipo de problemas. Haydos formas correctas de pensar el problema. En la primera la ecuaci´on original se debe pensar agrupada de lasiguiente manera:(A B) X = CEn cuyo caso el despeje de X es directo por las reglas vistas:X = (A B)−1COtra manera correcta de plantear el problema es:A (B X) = C6
  7. 7. De donde el despeje en dos pasos es haciendo primero:B X = A−1CPara despu´es obtener:X = B−1A−1CNote que ambos resultados sin id´enticos en vista de la igualdad:(A B)−1= B−1A−1Ejemplo 9.7Despeje x de la ecuaci´on:XT= ASoluci´onEn este caso se debe tener presente la propiedad XT T= X. Por consiguiente, tomando la transpuesta encada miembro:X = XT T= ATEjemplo 9.8Despeje x de la ecuaci´on:X−1= ASoluci´onEn este caso se debe tener presente la propiedad X−1 −1= X. Por consiguiente, tomando matriz inversaen cada miembro:X = X−1 −1= A−1Ejemplo 9.9Suponiendo que A es invertible y c = 0 , despeje X de:A (c X + B) + C = DSoluci´onProcediendo como anteriormente:A (c X + B) = D − Cc X + B = A−1 (D − C)c X = A−1 (D − C) − BX = 1c A−1 (D − C) − BEjemplo 9.10Suponiendo matrices invertibles donde se requiera despeje X de:A (BX)−1+ CT+ D = ESoluci´onEste tipo de despejes requiere ser riguroso en el orden: Pasando al segundo miembro D:A (BX)−1+ CT= E − D7
  8. 8. Multiplicando por A−1 por la derecha:(BX)−1+ CT= A−1(E − D)Tomando la transpuesta en ambos miembros:(BX)−1+ C = A−1(E − D)TPasando al segundo miembro C:(BX)−1= A−1(E − D)T− CTomando inversa en ambos miembros:BX = A−1(E − D)T− C−1Finalmente, eliminando la matriz B:X = B−1A−1(E − D)T− C−19.10. Complejidad computacional de la inversi´onSupongamos entonces que aplicamos el algoritmo de eliminaci´on gaussiana para invertir una matriz n porn. Consideraremos primero el trabajo realizado por los pasos 1 al 4 y posteriormente el trabajo realizado en elpaso 5. Es importante notar que el proceso de Gauss avanza dejando la matriz escalonada hasta la columnade trabajo: a1,1 a1,2 · · · a1,m−1 a1,m · · · b1,1 . . . b1,n0 a2,2 · · · a2,m−1 a2,m · · ·.................................0 0 · · · am−1,m−1 am−1,m............0 0 · · · 0 am,m · · · bm,1 . . . bm,n...........................0 0 · · · 0 an,m · · ·.........1 Ciclo del paso 1 al 4Al asumir que am,m es diferente de cero, pasamos al paso 3. En el paso 3 hay que hacer cero debajo delelemento (m, m), para cada uno de los m − n renglones inferiores Ri; para ello habr´a quecalcular el factor f = ai,m/am,m por el cual debe multiplicarse el rengl´on Rm, lo cual implicarealizar una divisi´on, y posteriormenterealizar la operaci´on:Ri ← Ri − f Rm.En este caso, en el rengl´on i hay ceros hasta antes de la columna m, en el elemento (i, m) quedar´a un1 (el factor f fue calculado para ello), as´ı que los ´unicos elementos que deber´an calcularse son loselementos del rengl´on i desde la columna (m + 1) y hasta terminar, es decir, hasta la columnan + n, es decir, un total de 2 n − m elementos, y para cada uno de ellos habr´a que hacer am+1,j ←am+1,j − f × am,j, es decir para cada uno de ellos habr´a que hacer 2 FLOPs, siendo un total de2 (2 n − m) elementos, el n´umero total de FLOPs que habr´a que realizar para hacer la operaci´onRi ← Ri − f Rm es, incluyendo la divisi´on para calcular f, 2(2 n − m) + 1 = 4 n − 2 m + 1.8
  9. 9. Como esto habr´a que aplicarlo a todos los renglones por debajo del rengl´on m y hasta el n, entoncespara realizar un ciclo desde el paso 1 hasta el paso 4 deben hacerse (n − m) (4 n − 2m + 1) FLOPS. Elciclo del paso 1 al paso 4 y su repetici´on ir´a avanzando m desde 1 hasta n − 1. Por consiguiente el totalde FLOPs ser´a:n−1m=1(n − m) (4 n − 2 m + 1) =53n3−32n2−16n.2 Ciclo del paso 5.Las operaciones implicadas en el paso 5 ser´anRm ← 1am,mRm : n divisionesPara esto se requiere n divisiones; la del pivote entre si mismo ya sabemos que dar´a 1 y no serealizar´a, simplemente en la posici´on (m, m) pondremos un 1Rj ← Rj − aj,mRm: n multiplcaciones y n restasEsta operaci´on s´olo requiere n multiplicaciones y n restas; estas operaciones s´olo tienen que vercon los t´erminos en la parte aumentada. Los nuevos elementos aj,m ser´an cero. Como hay m − 1renglones superiores, el total de operaciones en un ciclo del paso 5 ser´a:(m − 1) · (2 n) + nPor consiguiente el total de FLOPs en el paso 5 ser´a:1m=n(2 n (m − 1) + n) = n3− 2 n2+ nPor consiguiente y en general: cuando se aplica en algoritmo de inversi´on de una matriz cuadrada n×n anteriorutilizando eliminaci´on gaussiana para la reducci´on el n´umero de m´aximo de FLOPs ser´a:83n3−72n2+56n (7)Ejemplo 9.11Sea A una matriz cuadrada. Ser´a cierto que:Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, entonces A es invertible.Soluci´onQue el sistema A x = 0 tenga infinitas soluciones indica que cuando se reduce [A|0] queda una columna a laizquierda sin pivote. Por tanto, cuando se reduzca [A|I] quedar´a una columna a la izquierda sin pivote. Portanto, en la reducida no se podr´a obtener [I|B]. Por tanto, la matriz A no tendr´a inversa; ser´a singular. Portanto, es falso que sea invertible. La afirmaci´on es falsa.Ejemplo 9.12Sea A una matriz cuadrada. Ser´a cierto que:Si para un vector b el sistema A x = b no tiene soluci´on, entonces A es invertible.Soluci´onSi para un vector b el sistema A x = b no tiene soluci´on eso significar´a que cuando se reduce [A|b] quedapivote en la columna de las constantes. Por tanto, en la reducida de A quedar´a un rengl´on de ceros. Por tanto,cuando se reduzca [A|I] a la izquierda quedar´a un rengl´on de ceros. Por tanto, en la reducida no podremosobtener [I|B]. As´ı A no tiene inversa. Es falso que A es invertible.Ejemplo 9.13Sea A una matriz cuadrada. Ser´a cierto que:9
  10. 10. Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tiene infinitas soluciones.Soluci´onSi suponemos que la matriz A no es invertible, entonces cuando se reduce [A|I] no queda la identidad en ellado izquierdo. Por consiguiente, debe quedar un rengl´on sin pivote a la izquierda. Por tanto, cuando se reduce[A|0] debe quedar a la izquierda un rengl´on de ceros. Por tanto y debido a que la matriz es cuadrada debequeda una columna sin pivote a la izquierda en tal reducida. Como a la derecha no quedan pivotes pues a laderecha entr´o el vector de ceros, concluimos que tal sistema es consistente y que en su reducida queda unacolumna sin pivote. Por tanto, [A|0] tendr´a infinitas soluciones. La afirmaci´on es cierta.Ejemplo 9.14Sea A una matriz cuadrada. Ser´a cierto que:Si la matriz A · A no es invertible, entonces A x = 0 tiene soluci´on ´unica.Soluci´onSi A · A no es invertible, tampoco lo es A (pues en caso contrario A · A ser´ıa invertible, que no es el caso).Por tanto, en el lado izquierdo de la reducida de [A|I] no puede quedar la matriz identidad. Por tanto, a laizquierda de la reducida de [A|0] no queda la identidad. Por tanto, debe quedar un rengl´on sin pivote y porconsiguiente (siendo cuadrada A) debe quedar una columna sin pivote. Por tanto [A|0] debe tener infinitassoluciones. As´ı, es falso que [A|0] tiene soluci´on ´unica.10

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