Метод дискретных особенностей и компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн на трехмерных плоскопаралле
•
1 like•1,507 views
Диссертация посвящена построению математических моделей в форме псевдодифференциальных уравнений и разработке компьютерного инструментария для решения задачи дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах, которые построены из твердых экранов и сред с постоянными физическими свойствами. Впервые построены математические модели на основе граничного псевдодифференциального (гиперсингулярного) уравнения для процесса дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоском жестком ограниченном экране, расположенном в плоскости раздела сред с разными физическими свойствами; на плоском жестком ограниченном экране, расположенном над жесткой стенкой в однородном пространстве; плоском жестком ограниченном экране, расположенном на поверхности слоя над жесткой стенкой. Это позволяет строить новые методы исследований задач дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах, состоящих из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами. По методу параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов введены новые псевдодифференциальные операторы, которые определяют построенные модели, а также исследованы их ядра. Это позволяет использовать структуру и вид главной части таких операторов (которые являются гиперсингулярными) для построения адекватных дискретных моделей дифракционных процессов. На основе известной схемы методов дискретных особенностей впервые построена дискретная модель для приближенного описания рассмотренных процессов дифракции. Эта модель позволяет непосредственно разрабатывать алгоритмы и программные средства компьютерного моделирования. Впервые создан и подвергнут анализу качества компьютерный инструментарий математического моделирования дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, что позволяет уменьшить количество необходимых физических экспериментов. За счет добавления критериев, имеющих физический смысл, усовершенствованы методы анализа результатов вычислительных экспериментов, которые позволяют обосновать корректность применения дискре
Recommended
More Related Content
Viewers also liked
Viewers also liked (20)
Similar to Метод дискретных особенностей и компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн на трехмерных плоскопаралле
Similar to Метод дискретных особенностей и компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн на трехмерных плоскопаралле (18)
More from Andrii Gakhov
More from Andrii Gakhov (20)
Метод дискретных особенностей и компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн на трехмерных плоскопаралле
- 1. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.Н. КАРАЗИНА На правах рукописи ГАХОВ Андрей Владимирович УДК 519.6 МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ И КОМПЬЮТЕРНЫЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА ТРЕХМЕРНЫХ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: Мищенко Виктор Олегович кандидат физико-математических наук, доцент Харьков – 2008
- 2. 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 РАЗДЕЛ 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1. Физические аспекты задачи и существующие постановки задачи . . . 13 1.2. Методы дискретных особенностей (МДО) в математическом моделировании дифракции на экранах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Компьютерное моделирование дифракции на экранах на основе методов дискретных особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4. Выводы по разделу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ ГРАНИЧНЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . 33 2.1. Постановки краевых задач дифракции на трехмерных плоскопараллельных структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Единственность решения рассматриваемых краевых задач . . . . . . . . 46 2.3. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана на разделе сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана над жесткой стенкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.5. Граничное псевдодифференциальное уравнение в случае экрана на разделе сред над жесткой стенкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6. Выводы по разделу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
- 3. 3 РАЗДЕЛ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДЕР ГРАНИЧНЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГСИУ) . . 73 3.1. Представление для главной части ядра в случае экрана на разделе сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2. Представление для главной части ядра в случае экрана на разделе сред над жесткой стенки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3. Сравнение с подходом, основанным на методе потенциала . . . . . . 79 3.4. Выводы по разделу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 83 РАЗДЕЛ 4. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПОЛУЧЕНЫХ ГСИУ . . . . . . . . . . . . . 4.1. Схема МДО для задач дифракции на плоскопараллельных структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Алгоритм вычисления построенных гиперсингулярных интегральных операторов в классе кусочно-постоянных функций 4.3. Компьютерные аспекты 83 вычисления интегралов 85 от комплекснозначных функций специального вида . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4. Вычисление интегральных характеристик для задач дифракции на плоскопараллельных структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Выводы раздела 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . РАЗДЕЛ 5. ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДЛЯ 96 103 КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.1. Программные системы компьютерного моделирования . . . . . . . . . 104 5.2. Форсирование используемых вычислительных алгоритмов. . . . . . . 121 5.3. Исследование практической сходимости и правильности вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4. Согласованность новых численных результатов с эталонными задачами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5. Выводы по разделу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
- 4. 4 РАЗДЕЛ 6. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1. Вычислительная устойчивости дискретной модели . . . . . . . . . . . . . 133 6.2. Поведение приближенного решения вблизи края экрана . . . . . . . . . 136 6.3. Исследование поля в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.4. Влияние различия сред на время вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.5. Метод факторизации для понижения размерности дискретной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.6. Выводы по разделу 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 ВЫВОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 ПРИЛОЖЕНИЕ А . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 ПРИЛОЖЕНИЕ Б . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
- 5. 5 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ СОКРАЩЕНИЙ a.f.p. интеграл в смысле конечной части по Адамару (перед знаком интеграла) ГСИУ гиперсингулярное интегральное уравнение МДО методы дискретных особенностей ПДО псевдодифференциальный оператор СЛАУ система линейных алгебраических уравнений
- 6. 6 ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы диссертационной работы. В исследованиях и при решении таких технических задач как зондирование с целью обнаружения отдельных неоднородных включений в сплошной среде важную роль играет изучение взаимодействия плоских монохроматических волн с твердыми структурами. При этом наряду с экспериментами широко применяется компьютерное моделирование таких процессов. Однако до последнего времени постановка соответствующих математических задач в трехмерном пространстве предполагала только приближение коротковолнового диапазона или другие упрощающие предположения. За последние двадцать лет, во многом благодаря методам дискретных особенностей (МДО), к решенным задачам математической теории дифракции добавились и такие, в которых учитывается существенно трехмерная картина процесса для диапазонов длин волн, соразмерных с характерными размерами структур рассеяния. В то же время, применение этих методов требует развития в направлении адекватности постановок задач действительным условиям протекания соответствующих физических процессов. Особенно важным является учет неоднородности пространства распространения волн, например, если тонкий рассеиватель (который моделируется как плоский экран) находится в плоскости раздела сред (находится на дне или плавает на поверхности жидкости). Более сложные дифракционные явления приводят к усложнению построения математических моделей (даже моделей МДО) и повышению вычислительной ресурсоемкости компьютерного моделирования, однако их можно частично упростить такими предположениями, как кусочное постоянство физических параметров неоднородной среды, плоский характер слоев неоднородностей и т.п. Таким образом, для продолжения фундаментальных исследований в этом направлении актуальным является математическое и компьютерное
- 7. 7 моделирование на основе МДО процесса дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах, которые составлены из плоских жестких экранов, размещенных на границах слоев с постоянными физическими свойствами. Математические модели и вычислительные методы, построенные в диссертации, непосредственно основываются на результатах, которые получили лично и в сотрудничестве со своими учениками известные ученые в области математического моделирования дифракционных явлений на базе МДО Ю.В. Гандель, Е.В. Захаров, И.К. Лифанов. Связь работы Диссертационная с научными программами, работа выполнена в рамках планами, темами. индивидуального плана подготовки аспиранта и является частью научной работы, которая проводится в по теме «Математическое моделирование физических процессов и численный эксперимент» (ГР №0104U0002366) кафедрой математической физики и вычислительной математики механико-математического факультета Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина. Целью диссертационной работы является построение математических моделей и вычислительных методов на основе методов дискретных особенностей и создание компьютерного инструментария для проведения вычислительных экспериментов по исследованию дифракции акустических волн в пространстве на плоскопараллельных структурах. В соответствии с этим основными задачами диссертационной работы являются: ─ построить математическую модель на основе гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода, исходя из постановки задачи математической теории дифракции в форме краевой задачи; ─ исследовать свойства ядра граничного гиперсингулярного интегрального (псевдодифференциального) уравнения, существенные для компьютерной реализации его вычисления;
- 8. 8 ─ построить особенностей в соответствии дискретную со модель схемой на методов основе дискретных дискретизации гиперсингулярного интегрального уравнения; ─ создать компьютерный инструментарий моделирования дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопаралельних структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами; ─ разработать методы анализа результатов вычислительных экспериментов для обоснования выводов относительно устойчивости и сходимости решений дискретной модели в соответствии с критериями, имеющими физический смысл, а также приемов снижения размерности дискретной модели. Объектом исследования выступает процесс дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах. Предметом исследования являются математические модели дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами, а также инструментарий компьютерного моделирования на основе методов дискретных особенностей. Методы исследования. В диссертационной работе метод параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов используется в качестве основного метода построения моделей; метод теории потенциала – в качестве альтернативного метода построения моделей; метод дискретных замкнутых вихревых рамок – при построении дискретной модели; методы математической физики – для обоснования корректности рассмотренных моделей; методы линейной алгебры – для решения систем линейных алгебраических уравнений; метод наименьших квадратов –для минимизации функционалов; для вычисления ядер интегральных уравнений используются эффективные численные методы, реализованные в библиотеках «БЧА НИВЦ МГУ» и IMSL; при построении компьютерного
- 9. 9 инструментария используются методы структурного и объектно- ориентированного программирования, методы стандартов качества ISO, IEEE. Научная новизна полученных результатов: 1. Впервые построены математические модели на основе псевдодифференциального (гиперсингулярного) уравнения процесса дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на таких плоскопараллельных структурах: - плоском жестком ограниченном экране, размещенном в плоскости раздела двух сред; - плоском жестком ограниченном экране, размещенном над жесткой стенкой в однородном пространстве; - плоском жестком ограниченном экране, размещенном на поверхности слоя над жесткой стенкой (обобщение предыдущего случая). 2. По методу параметрических представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов введены новые псевдодифференциальные операторы, определяющие построенные модели, и исследованы их ядра. 3. Впервые на основе известной схемы методов дискретных особенностей построена дискретная модель для приближенного описания рассматриваемых процессов дифракции. 4. Усовершенствован метод компьютерной проверки практической сходимости решений дискретной модели путем добавления критериев, имеющих физический смысл. 5. Впервые создан метод компьютерной проверки адекватности подхода к снижению размерности СЛАУ дискретной модели за счет приближенного представления решения произведением двух функций разных аргументов. Практическое значение полученных результатов. Впервые создан компьютерный инструментарий для моделирования дифракции акустических волн в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими
- 10. 10 свойствами. Этот инструментарий может быть применен специалистами по акустике и методам неразрушающего контроля при проведении ими собственных исследований, а также как материал для дальнейшего развития компьютерного моделирования специалистами по математическому моделированию методами дискретных особенностей. Разработанные средства математического моделирования внедрены в учебный процесс на факультете компьютерных наук Харьковского национального университета имени В.Н. Каразина в курсе «Разработка больших программных систем», а также в работе спецкурсов и спецсеминаров механико-математического факультета и факультета компьютерных наук. Акт об использовании результатов исследований диссертационной работы находится в Приложении А. Личный вклад соискателя. Результаты, изложенные в диссертационной работе, получены автором самостоятельно и опубликованы в работах [1-15]. В работе [1] соискателем разработаны компьютерная система моделирования и метод проведения вычислительного эксперимента. В [6] соискателем построена новая математическая модель на базе ГСИУ, а также соответствующая модификация вычислительного метода. В [7] соискателем опробована модель качества на примерах и доработаны алгоритмы вычисления метрик внешнего качества. В [8] соискатель осуществил альтернативную экспертизу при разработке метода верификации метрик и показателей качества. В работе [13] соискателем построена компьютерная реализация решения задачи дифракции акустических волн на основе метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов. В [15] соискателю принадлежат результаты исследования скалярной задачи дифракции и проверки достоверности программного обеспечения по каскадной схеме тестирования. Апробация результатов исследования. Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на научных семинарах: - Харьковский г. Харьков, национальный международный университет семинар имени В.Н. Каразина, «Численное моделирование
- 11. 11 методами дискретных особенностей в математической физике», руководитель проф. Ю.В. Гандель, 2003-2008 гг.; - Физико-механический институт им. Г.В. Карпенко, г. Львов, заседание объединенных научных семинаров «Фізичні поля для неоднорідних середовищ та неруйнівний контроль матеріалів» и «Теоретичні та прикладні проблеми трибології», руководитель акад. НАН Украины З.Т. Назарчук, 2008г.; а также на международных конференциях и симпозиумах: - международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2003» (г. Херсон, 2003 г.); - Х международная конференция им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2004 г.); - конференция «Каразинские чтения» (г. Харьков, 2004 г.); - международная конференция «SCALNET’04» (г. Кременчуг, 2004 г.); - международная школа-семинар молодых ученых Украины и России «МДОЗМФ» (Россия, г. Орел, 2005 г.); - конференция «Математика и ее приложения» для студентов и аспирантов (г. Харьков, 2005 г.); - международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2005» (г. Херсон, 2005 г.); - международная школа-семинар молодых ученых Украины и России «МДОЗМФ» (Россия, г. Орел, 2006 г.); - международная конференция « Mathematical Methods in Electromagnetic Theory – MMET'06» (г. Харьков, 2006 г.); - международная конференция по математическому моделированию «МКММ-2006» (г. Херсон, 2006 г.); - международная научная техническая конференция «DESSERT-2007» (г. Кировоград, 2007 г.); - международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2007» (г. Херсон, 2007 г.);
- 12. 12 - международная школа-семинар молодых ученых Украины и России «МДОЗМФ» (Россия, г. Орел, 2008 г.); - международная научная техническая конференция «DESSERT-2008» (г. Кировоград, 2008 г.); - ХII международная конференция им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2008 г.). Публикации. Результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 8 статьях [1-8] и в 7 материалах и тезисах конференций и симпозиумов [9-15].
- 13. 13 РАЗДЕЛ 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ Математические модели для описания распространения звуковых волн в однородных изотропных средах восходят к исследованиям Лапласа, а их рассеяние на препятствиях с идеальными (в том или ином смысле) граничными условиями относится к классической математической физике прошлого века. Поэтому в обзоре относящихся сюда результатов, используемых в настоящей диссертации, мы не прослеживаем исторические приоритеты и оригинальные публикации. Вместо этого мы даём ссылки на их изложение в той монографической и учебной литературе, которая в настоящее время традиционно и широко используется в связи с исследуемой тематикой, в частности, именно в качестве традиционных ссылок. Напротив, по вопросам построения математических моделей сложных дифракционных процессов на основе ГСИУ, вопросам построения соответствующих дискретных моделей и разработки программных систем, реализующих компьютерное моделирование, мы ссылаемся на оригинальные работы последних десятилетий. Но в тех случаях, когда это возможно, мы вместо ссылок на разнообразные журнальные публикации автора, делаем указание на изложение соответствующих результатов в монографиях. 1.1. Физические аспекты задачи и существующие постановки задачи Математическое моделирование процессов рассеяния акустических волн ограниченными препятствиями несимметричных форм в пространстве всегда
- 14. 14 представляло научный интерес, но приближенное решение таких задач дифракции начали соответствующим строить лишь инструментам в последнее компьютерного время [16]. Доступ моделирования к является актуальной проблемой тех ученых, перед которыми стоят разнообразные задачи фундаментальных исследований, связанные с зондированием инородных включений в сплошных средах, в том числе твёрдых включений на границах раздела неоднородных сред. Такие исследования по акустике, в свою очередь, вызываются к жизни сложными современными проблемами в медицине [17], военном деле [18], в экологии [19] и ликвидации последствий катастроф (например, защита от звуковых воздействий, поиск фрагментов разрушенных конструкций [20]), в проблематике зондировании океана [21] и неразрушающего контроля материалов [22]. Для математического моделирования дифракции волн различной природы, в том числе акустических, разработаны различные методы, которые применяются в зависимости от отношения характерного размера препятствия l к длине волны λ . Наибольшие математические и вычислительные трудности возникают, если длина волны соизмерима с характерным размером препятствия. В таком случае принято говорить, что задача «относится к резонансному диапазону» (хотя при расположении препятствия в свободном пространстве резонансные явления могут быть слабо выраженными). В этом случае длинноволновые или коротковолновые приближения не применимы [23]. Классической постановкой акустической задачи рассеяния является задача дифракции акустической волны на препятствии в пространстве. Для определения волнового движения в однородной изотропной среде без поглощения в пространстве ℜ 3 достаточно найти потенциал скоростей U = U ( x, t ) , из которого поле скоростей v и давление p выражаются в виде [24]: v= 1 ρ grad U ,
- 15. 15 p − p0 = − где ∂U , ∂t ρ - плотность среды, p0 - давление в невозмущенной среде. В линеаризованной теории, которая используется в диссертационной работе, потенциал скоростей U удовлетворяет волновому уравнению [24,25] вне препятствия Ω : ∂ 2U − a 2 ΔU = 0 , 2 ∂t (1.1) где a - скорость распространения акустической волны в рассматриваемой среде. Из уравнения (1.1) при U ( x , t ) = u ( x ) ⋅ e − iω t , где ω > 0 - частота звуковых колебаний, следует уравнение Гельмгольца относительно амплитуды u ( x ) установившегося волнового процесса: Δu + k 2u = 0 , x ∈ ℜ 3 Ω , где k = ω a (1.2) > 0 - волновое число. Идеализированным и в то же время практически важным вариантом граничных условий (см., например, [23,24]) является условие Неймана (условие 2 рода): ∂u = 0, ∂n Σ r где n - нормаль к поверхности Σ . (1.3)
- 16. 16 В акустике [20] условие Неймана (1.2)-(1.3) описывает жесткую границу и характеризует условия на поверхности твердых тел. В некоторых случаях морское дно, которое традиционно описывается условиями третьего рода, может моделироваться также жесткой границей [20]. При постановках внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца для выделения единственного имеющего физический смысл решения используется условие излучения Зоммерфельда, которое полностью характеризует поведение решений уравнения Гельмгольца на бесконечности [24]. Решение уравнения Гельмгольца (1.2), отвечающее сферической волне, расходящейся от источника в точке x = 0 , имеет вид u(x ) = e ik x x , и в соответствии с этим условия излучения в задаче (1.2)-(1.3) задаются требованиями [24,26]: ⎛1⎞ ⎞ ⎛1⎞ ⎛x ⎜ , grad u ( x) ⎟ − ik u ( x) = o⎜ ⎟, u ( x) = O⎜ ⎟, ⎜x⎟ ⎟ ⎜x⎟ ⎜x ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x →∞. (1.4) Известно, что если поверхность рассеяния Ω имеет ребра (т.е. линии, вдоль которых направление нормали к поверхности терпит разрыв), условий (1.2)-(1.4) не достаточно для выделения единственного решения [23]. Для однозначной разрешимости краевых задач в таком случае необходимо сформулировать условия, определяющие поведение решения в окрестности особой точки границы. При этом в случае задач дифракции естественное требование ограниченности решения в окрестности особой точки может быть слишком жестким, поскольку может не существовать решения, ограниченного в окрестностях ребер граничных поверхностей [27]. Поэтому добавляется
- 17. 17 специальное условие, описывающее поведение волнового поля в окрестности ребер – «условие на ребре», которое в скалярной задаче дифракции формулируется, например, в виде [23]: lim (ρ ⋅ Π n ) = 0 , ρ →0 где (1.5) ρ - радиус окружности – сечения вспомогательного кольцевого валика, окружающего ребро, Π n - нормальная к поверхности валика производная вектора Пойтинга. Традиционно на практике условие излучения (1.5) ставится в эквивалентной формулировке [23] - в форме условия Мейкснера: ∫ (u U ∂Ω (ε ) 2 + ∇u 2 )dx < ∞ , (1.6) где U ∂Ω (ε ) - окрестность края рассеивателя ∂Ω . Условие (1.6) отвечает требуемому физическому смыслу условия на ребре [23,27] – ограниченности энергии в окрестности ребра рассеивателя, т.е. отсутствию внешних излучающих источников на ребре. Острые ребра имеют, в частности, и дифрагирующие экраны, которые рассматриваются как бесконечно тонкие ограниченные поверхности [23]. Таким образом, условия (1.2)-(1.4), (1.6) в совокупности обеспечивают единственность решения внешней краевой задачи для рассеивателей, имеющих ребра. Вопросы доказательства этого факта для скалярных задач дифракции в однородном пространстве рассмотрены, например, в [23] и (в несколько более общей постановке) в [28]. Вопросы единственности для краевой задачи Неймана в близких к диссертации постановках рассмотрены также в [29,30]. Доказанные в упомянутых работах теоремы можно применить далеко не ко всем
- 18. 18 постановкам задач дифракции на экранах, но в их доказательствах используется подход, который можно применять и в других постановках. Рассмотренная выше классическая задача теории дифракции является частным случаем хорошо исследованного с точки зрения корректности широкого класса краевых задач для эллиптических уравнений. Построенная теория таких операторов в пространствах Соболева-Слободецкого устанавливает [31], что в областях с достаточно гладкими границами имеет место существование и устойчивость решений в определенных метриках, если только нуль не является точкой спектра сопряженного оператора. Поэтому, учитывая ( самосопряженность операторов рассматриваемых задач дифракции Δ + k 2 I при вещественном k ) [32], доказательство единственности, исключающее наличие нетривиальных решений для однородного уравнения (1.2), становится практически основным необходимым шагом в обосновании корректности таких задач. В силу указанных выше классических результатов функционального анализа актуальной проблемой математического моделирования дифракции вне конечной системы тел в трехмерном пространстве является построение приближенных методов их решения и средств построения таких решений на компьютере за практически приемлемое время. Особенностью постановки задачи дифракции настоящей диссертационной работы по сравнению с постановкой (1.2)-(1.5) является постоянство физических свойств среды (вне рассеивателей) не всюду, а только в полупространствах или слоях. Такие физические задачи приводят к необходимости рассмотрения т.н. внутренних краевых условий, поскольку уже у первых частных производных рассматриваемых полей отсутствует гладкость при переходе через плоскости раздела сред. Это не позволяет непосредственно использовать методы для однородных сред и, в том числе, требует уточнения вида поля, которое могло бы существовать при отсутствии рассеивающего экрана. Следует отметить, что, формально ограничившись только построением решений задач дифракции в случае падения плоской волны (общий случай получается суперпозицией таких
- 19. 19 решений [26]), мы смогли использовать конструктивную теорию распространения таких волн в слоистых средах, изложенную, например, в известной монографии Л.М. Бреховских [33]. Прямая (конечноразностная) дискретизация [34,35] задач вида (1.2)-(1.5), а также их обобщений для неоднородных сред в диссертации не рассматривается. В связи с этим, отметим, что, несмотря на существование методов и подходов по «переносу» условий с бесконечности на границу некоторой конечной области, построение полей на основе конечноразностной аппроксимации с контролируемой погрешностью в любой точке (тем более их асимптотики на бесконечности) представляется проблематичным. Данное направление в вычислительных методах, по-видимому, перспективно для постановок задач, отличных от рассматриваемых в диссертации. Несмотря на успешное применение методов теории аналитических функций для двумерных задач, их применимость к трехмерным задачам весьма ограничена, поэтому такие методы в диссертации не рассматриваются. Основной прогресс последних десятилетий [24,27,36,37,38,39,52] в проблеме численного решения задач дифракции был связан со сведением задач к интегральным уравнениям. Методы интегральных уравнений для внешних граничных задач обладают тем преимуществом, что они сводят задачи в неограниченной трехмерной области к задачам на двумерной поверхности, причем уже удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности [24]. 1.2. Методы дискретных особенностей (МДО) в математическом моделировании дифракции на экранах Для построения математических моделей на основе интегральных для дифракции акустических волн на плоских экранах традиционно применяется
- 20. 20 классическая теория потенциала [26], заключающаяся в представлении решения в виде потенциалов простого или двойного слоя или их комбинации [40,41]. В случае задачи Неймана использование потенциала двойного слоя было связано со сложностями [24], возникающими из-за того, что нормальная производная потенциала двойного слоя с непрерывной плотностью в общем случае не существует на границе, а даже если и существует, то интегральное уравнение имеет сильную особенность. Численные методы в таких задачах могут строиться как за счет регуляризации [24,42], так и непосредственной дискретизацией получаемых сингулярных интегральных уравнений [24,28,40]. Начиная с 80-х годов прошлого века, исследователи всё больше отдают предпочтение моделированию процессов дифракции при помощи операторов, обобщающих интегральные, но порождаемых ядрами высокой сингулярности [28,38,43,44,45,46,91]. Определение Суперсингулярным 1.1. интегральным уравнением называется псевдодифференциальное уравнение [31] (порождаемое ядром r − λ , λ > n ), которое в теории МДО принято записывать в виде [28]: ∫ G где n G ⊂ ℜ , x0 ∈ G, r = f ( x, x0 ) ⋅u ( x0 ) ⋅ dx0 = F ( x ) rλ (1.7) n ∑ (x − x0 )2 , λ > n , i =1 f ( x, x0 ) - известная функция, F ( x ) - заданная функция, u ( x0 ) - неизвестная функция. При n = 2, λ = 3 оператор в уравнении (1.7) является гиперсингулярным интегральным оператором и может пониматься в смысле конечной части по Адамару.
- 21. 21 Определение 1.2. ([28, стр. 131]) Конечная часть по Адамару определяется соотношением a. f . p.∫ σ где ⎡ ⎤ 2π ϕ (M 0 ) dσ M 0 = lim ⎢ ∫ dσ M 0 − ϕ (M )⎥ , 3 3 ε →0 ε M 0M ⎢σ σ ε M 0 M ⎥ ⎣ ⎦ ϕ (M 0 ) σ - поверхность, M ∈ σ - внутренняя точка, ∞ ϕ ∈ C0 (U ) , U - некоторое достаточно малое открытое множество на σ . В данной формуле подразумевается, что часть поверхности σ ε вырезается из σ прямым цилиндром, проведенным через границу круга Kε радиуса ε с центром в M , который расположен в касательной плоскости, построенной к поверхности σ в точке M . В начале 50-х годов ХХ века С.М.Белоцерковским был создан метод дискретных вихрей [48] для решения задач аэродинамики, где сингулярные уравнения возникают при моделировании обтекаемой поверхности вихревым слоем. При этом С.М. Белоцерковский использовал эвристические соображения, которые полностью подтвердились в численных экспериментах на ЭВМ. Позже удалось перенести эти идеи на задачи дифракции [49,50,51]. Начальные этапы применений метода дискретных вихрей и его обобщений – методов дискретных особенностей, а также их математическое обоснование изложены в работе [53]. Подробное исследование метода дискретных вихрей как численного метода решения сингулярных уравнений, изложение методов дискретных особенностей в задачах электродинамики и теории упругости, и соответствующий математический аппарат содержатся в монографии И.К.Лифанова [45]. В работе [43] по математическому моделированию дифракции волн в трехмерном пространстве на разомкнутых экранах произвольной формы с использованием уравнений с гиперсингулярными ядрами уравнений І рода и последовавших за ней работах [46,54] дискретизация ГСИУ осуществлялась
- 22. 22 методом, который можно относить к методам дискретных особенностей, но который также близок к методу граничных элементов [55]. В 90-х годах прошлого века был разработан (первоначально – для задач аэродинамики) и изучен близкий к методу работы [43] метод дискретных замкнутых вихревых рамок, предназначенный для решения ГСИУ трехмерных задач [45]. В этом методе поверхность обтекаемого тела разбивается на одинаковые ячейки (как правило, квадратные), и по контуру каждой ячейки размещается вихревая нить неизвестной интенсивности. При этом поле скоростей ищется в виде суперпозиции скорости набегающего потока и скоростей, полей индуцируемых вихревыми рамками в соответствии с законом Био-Савара. Для нахождения неизвестных циркуляций вихревых рамок, на каждой рамке определенным образом выбирается точка коллокации (традиционно – в центре квадрата) и записывается граничное условие равенства нулю нормальной составляющей скорости [45]. В применении этого метода для численного решения задачи Неймана для скалярного уравнения Гельмгольца важную роль сыграли вычислительные эксперименты по моделированию дифракции волн на телах сложной формы [28,56]. Для исследования разрешимости ГСИУ некоторых задач, возникающих в аэродинамики и теории дифракции, а также сходимости к их решению приближений, полученных методом дискретных замкнутых вихревых рамок, И.К. Лифанов и Л.Н. Полтавский применили теорию псевдодифференциальных операторов [28,57,58]. интегрального При уравнения и этом искомое вопросы решение сходимости гиперсингулярного рассматривались в пространствах Соболева-Слободецкого. Определение 1.3. ([28, стр. 58]) Пространство Соболева-Слободецкого ( ) H s ℜn состоит, по определению, из обобщенных функций, преобразование Фурье которых является локально интегрируемой в смысле Лебега функцией ˆ u (ξ ) , такой, что
- 23. 23 2 us= 2 2s ˆ ∫ u(ξ ) (1 + ξ ) dξ < ∞ , ℜn где s - любое действительное число, ξ = n ∑ ξi2 . i =1 В случае, когда в задаче дифракции вида (1.2)-(1.4) поверхность препятствия σ существование уравнения, является и частью единственность полученного плоскости, решений методом доказаны [28, ο u ( x ) ∈ H 1 / 2 (σ ) потенциала. Показана стр. 277] интегрального сходимость приближенных решений задачи (1.2)-(1.4) u ( x, h ) к точному u ( x ) ∈ H1 / 2 (σ ) по ο норме H r (σ ) для 0 < r < 1 при h → 0 . Для полученного гиперсингулярного 2 интегрального уравнения задачи (1.2)-(1.4) доказаны [28] существование и единственность решения для любой правой части из H −1/ 2 (Θ ) , где Θ - проекция σ на плоскость X 1OX 2 . Для системы линейных алгебраических уравнений, полученной по схеме метода дискретных замкнутых вихревых рамок, также доказаны существование решения при некотором наборе параметров и его сходимость в пространствах дробных отношений [28] к точному решению в ο u ( x ) ∈ H r (Θ ) для любого 0 ≤ r < 1 . Для суперсингулярного интегрального 2 уравнения (1.7) при λ = 3 и прямоугольной области G в работе [28] доказана слабая сходимость решения полученной СЛАУ к точному решению уравнения (1.7). Для ограниченной области G с границей класса C ∞ и правой частью ( ) F ∈ C ∞ (G ) получена оценка для всех точек M x1k1 , x2 k2 , находящихся на расстоянии δ > 0 от границы: ( ) ( ) 1 Qh x1k1 , x2 k2 − Q x1k1 , x2 k2 ≤ C (ε ) ⋅ h 4 , где Q( x1 , x2 ) - решение уравнения (1.7), −ε
- 24. 24 Qh ( x1 , x2 ) - решение СЛАУ, полученной по схеме метода дискретных замкнутых вихревых рамок, для уравнения (1.7), ε > 0. Результаты [28] имеют важное значение для теоретического доказательства корректности постановок, однако, к сожалению, не достаточны для целей компьютерного моделирования. Поэтому было введено понятие практической сходимости приближенных решений при увеличении параметра дискретизации, которое проверяется на основе численных экспериментов [45]. Другим подходом к построению математической модели дифракции на основе интегральных уравнений, отличным от метода потенциала, но позволяющим использовать все преимущества методов дискретных особенностей, является недавно предложенный Ю. В. Ганделем метод параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов [59]. Он нашел свое применение при решении трехмерных задач дифракции на плоских препятствиях. Краевая задача вида (1.2)-(1.4), (1.6) для плоского экрана Ω с использованием метода параметрических представлений интегральных и псевдодифференциальных операторов сведена в [59] к граничному гиперсингулярному интегральному уравнению: 1 u (η )dη k 2 u (η )dη k 4 + + ∫ ∫ ∫ K (η − ζ )u(η )dη = f (ξ ) , 2π Ω η − ξ 3 4π Ω η − ξ 2 Ω где (1.7) ξ ∈Ω, K (ζ ) = 2π ζ ∞ ∫⎛ J 0 (t )dt 0 t + t −k ζ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 , J 0 (t ) - функция Бесселя порядка 0. Численное решение уравнения (1.7) получено методом дискретных замкнутых вихревых рамок в [60].
- 25. 25 Для трехмерных плоскопараллельных задач дифракции структурах метод электромагнитных параметрических волн на представлений псевдодифференциальных и гиперсингулярных интегральных операторов развит в [61], где для дискретизации полученной системы гиперсингулярных интегрального уравнения также применён подход метода дискретных замкнутых вихревых рамок. Отметим, что векторная задача дифракции в трехмерном пространстве не распадается на несколько скалярных задач, как это происходит в двумерном случае [25]. Поэтому результаты [61], относящиеся к выводу системы граничных уравнений, не могут быть применены или адаптированы для случая дифракции акустических волн (в трёхмерной постановке), как и наоборот. 1.3. Компьютерное моделирование дифракции на экранах на основе методов дискретных особенностей Под компьютерным инструментарием для моделирования физических процессов на основе математических моделей этих процессов, мы в соответствии с [62], понимаем набор взаимодействующих программ (согласованных по функциям и форматам, имеющих единообразные и точно определенные интерфейсы), составляющих полное средство для решения поставленной задачи моделирования. Другими словами, такой инструментарий является специальным случаем программных систем моделирования для обеспечения фундаментальных научных исследований. Он более гибок по сравнению с отдельными программами моделирования физических процессов, которые допускают только варьирование определённых числовых параметров и не предназначены для повторного использования своих компонент в других прикладных программах.
- 26. 26 Численная эффективность и прозрачность алгоритмической схемы методов дискретных особенностей обеспечили их применение к компьютерному моделированию физических процессов с момента построения метода дискретных вихрей [49]. Разрабатывавшиеся к настоящему времени компьютерные программы, реализующие методы дискретных особенностей в дифракционных задачах с исследовательскими целями, упоминаются в большинстве работ данного направления (которые принято представлять статьями в трудах симпозиумов МДОЗМФ, например, в [63] из 11 статей данного направления 6 прямо ссылаются на вычислительные эксперименты). В большинстве случае они создаются с целью апробации новых вычислительных методов, но не дорабатываются авторами до систем компьютерного моделирования, которые могут быть переданы другим ученым для исследований в области акустики, радиофизики или радиоэлектроники (например, в [63] ни одной такой системы не упомянуто). Известно всего несколько сообщений в Интернете о публикации программных систем моделирования дифракции в трёхмерной постановке с использованием подхода МДО, из которых вполне апробирована и известна система ЭДЭМ 3D [64]. Инструментарий компьютерного моделирования методами дискретных особенностей не существует для двумерных задач дифракции, несмотря на то, что базовые алгоритмы опубликованы в учебном пособии [65], а приложения в фундаментальных и прикладных областях получили признание [66,67]. Поиск в Интернете доступа к компьютерному инструментарию решения задач дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах любыми методами в резонансном диапазоне (или в общих постановках) не позволил обнаружить ни таких систем, ни хотя бы описания проектов. Поэтому по вопросам создания такого компьютерного инструментария можно учитывать только опыт создания программного обеспечения для применений методов дискретных особенностей в моделировании физических процессов (явлений) другой природы. Имеются сообщения о таких системах,
- 27. 27 например, САПР «Сударушка» [68], «Программа расчета обтекания летательных аппаратов на режимах сверхманевренности методом дискретных вихрей» [69], узкоспециализированная программа численного моделирования движения жидкости CATRAN [70], применяемая в кораблестроении. Эти системы, реализующие математические модели аэрогидродинамики, очевидно нельзя применить с целью компьютерного моделирования дифракции. Поэтому, их рассмотрение дает разработчикам систем компьютерного моделирования дифракции мало полезной информации помимо образцов интерфейса пользователя и подходов к декомпозиции сложных задач. В публикациях отсутствуют сведения, как о внешней экспертизе качества этих систем, так и о результатах самоанализа качества продукции и процесса её создания со стороны авторов. Возвращаясь к более подробному анализу публикаций по программной системе ЭДЭМ 3D («ЭлектроДинамика Элементов из Металла») [46,54,64,71], отметим, что эта система предназначена для идеально проводящих структур, допускающих аппроксимацию набором поверхностей базовых форм, и позволяет приближенно исследовать рассчитывать определённые электромагнитное электродинамические поле, а также характеристики таких структур. В качестве базовых форм определены плоские треугольники и четырехугольники, спирали, диски, кольца и их сектора, замкнутые и незамкнутые поверхности вращения и цилиндрические поверхности, образованные кривыми второго порядка и двумерными сплайн-линиями, а также поверхности, «натянутые» на трехмерные сплайн-линии. Метод решения системой ЭДЭМ 3D сложных задач охарактеризован авторами (без подробностей) как полуэвристический [72], отталкивающийся от математической модели на основе системы интегральных уравнений и метода дискретизации [43]. Указанный метод, как сказано выше, можно относить к классу МДО [54], а также к методам граничных элементов [55]. Как вытекает из авторского описания системы ЭДЭМ 3D [72], анализируемые объекты могут находиться в свободном пространстве или над
- 28. 28 проводящей бесконечной плоскостью, но система неприменима к задачам в слоистых средах, включая и плоскопараллельные системы. Неотъемлемым аспектом современного использования программного обеспечения является вопрос его соответствия требованиям общих и специальных стандартов. При этом интерес представляет качество объектов (программных систем или их компонентов), под которым в литературе и документах понимается (см. стандарт ISO 9001:2000 [73]) степень соответствия характеристик стандартов объекта могут определённым трактоваться требованиям. довольно Требования широко, что общих предполагает конкретизацию модели качества для различных классов объектов (то есть, в нашем случае, программ) [74]. Общим требованием к программным системам является, конечно, их способность удовлетворять определенные потребности в соответствии с их назначением. В то же время модель качества определяет способ сопоставления программной системе числовых значений и способ их содержательной трактовки в соответствии с особенностями данного класса систем [74]. Структура модели и принципы сопоставления числовых характеристик (и, обычно, примеры) задаются стандартами верхнего уровня (международными и национальными). Особенности систем определённого класса учитываются в документах (фактических стандартах), которые принимают формальные или неформальные группы и организации, заинтересованные в обеспечении качества программного обеспечения данного класса. Стандартом верхнего уровня при рассмотрении качества систем компьютерного моделирования физических процессов следует рассматривать ISO/IEC 9126 1:2001 «Программная инженерия – Качество продукции – Часть 1: качество продукции» [75] и две его следующие части ISO/IEC TR 9126 2:2003 «Часть 2: Внешние метрики» и ISO/IEC TR 9126 3:2003 «Часть 3: Внутренние метрики». Они определяют шесть характеристик, допускающих интегральную (числовую) и комплексную (векторную) оценки: - функциональность (способность выполнять заданные функции);
- 29. 29 - надежность (сохранение работоспособности – гарантия того, что вычислительный процесс не прервется в заданных условиях); - практичность (способность быть понятным, изучаемым и применимым для пользователей - гарантия того, что ошибки не будут сделаны от непонимания пользователем интерфейса программы); - эффективность (соответствие используемых ресурсов выполняемым функциям); - сопровождаемость (возможность модифицирования, которое включает в себя исправления, улучшения и адаптацию к изменениям требований); - переносимость (способность быть переносимым из одной среды выполнения в другую). Для полноты, каждая характеристика должна описываться так называемыми метриками (около десяти из них на выбор рекомендуются самим стандартом и можно добавлять еще), которые группируются и усредняются в соответствии с подхарактеристиками, определёнными в стандарте. Всякая метрика (или, иногда говорят, «мера» [76]) определяет требуемые измерения по исходным текстам программ или в процессе (или по результатам) специально организованного их выполнения, а также формулу подсчёта числового (иногда – рангового) значения и интерпретацию смысла этой величины. Отметим, что определяется также техника подсчётов и применения разных шкал, которая обеспечивает, чтобы средние оценки всех метрик каждой подхарактеристики лежали на отрезке [0,1] и могли считаться тем лучшими, чем ближе они к 1 (а для некачественной продукции были бы близки к 0). Конкретная модель качества для программных систем компьютерного моделирования дифракции (акустических или электромагнитных волн) сейчас только складывается. Начало ей положили работы В.О. Мищенко, который, прежде всего, заметил, что некоторые проблемы с качеством программ данного назначения из дипломных работ студентов-выпускников механико- математического факультета ХНУ имени В.Н.Каразина получают объяснение в терминах, так называемых, «научных метрик» Холстеда [77]. Эти метрики [78]
- 30. 30 (точнее, их обобщения для современных программ [76]) с точки зрения качества программ трактуются документом IEEE 982.2-1988 «Руководство по использованию Стандартного Словаря IEEE по измерениям при производстве надёжного программного обеспечения» [79], который, таким образом, тоже необходимо присоединять к числу стандартов, формирующих модель качества для систем рассматриваемого класса. Обсуждаемые метрики для «простых программ» определяются следующим образом (термины и обозначения по версии [76, см. стр. 11-13, 20-21]): ( ) ( ) ∗ ∗ V ∗ = η 2 + 2 ⋅ log η 2 + 2 , (η ⋅ log(η ))2 , A= (1.8) (V ) E= (1.9) V∗ ∗ 3 λ2 где , ∗ η 2 – число различных входных и выходных параметров алгоритма, определенного рассматриваемой программой, η – словарь программы (число различных программных символов, использованных в программе), λ – уровень языка программирования (средние значения уровней многих универсальных языков программирования известны, например, для Фортрана непосредственно измеренное среднее λ = 1.14 [78], для Ады среднее λ обычно принималось около 1.5, но по косвенной статистической оценке могло бы составлять 1.66-1.77 [76]). Применимость любых содержательных, включая корректность подсчёта их значений, требуют отдельных исследований. Например, такие исследования в отношении корректного обобщения научных метрик на современные программы
- 31. 31 (использующие раздельную компиляцию модулей в сочетании с подходами структурного и объектно-ориентированного программирования) опубликованы в [76,80,81,82]. Эти метрики могут быть использованы в моделях оценки качества программных систем моделирования дифракции (см. [76]), согласованных со стандартами [75,79,83]. Компьютерное моделирование на основе МДО используется не только для изучения физических явлений, но и с целью определения свойств используемых вычислительных методов в приложениях. Например, была исследована практическая сходимость метода дискретных особенностей, основанного на применении потенциалов, в задаче дифракции волн на круглых экранах в однородном пространстве [84]. Традиционно об адекватности численного эксперимента судят по виду полученной диаграммы направленности [28,36,38]. Для преодоления вычислительных трудностей, которые возникаю в связи с дискретизацией моделей на основе гиперсингулярных (и некоторых других) интегральных уравнений модели иногда применяется метод наименьших квадратов [85,86,87]. Другой метод упрощения моделей, применяемый для сильно вытянутых рассеивателей, состоит в представлении искомой функции на поверхности этого рассеивателя в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной из координат параметризации поверхности [88,89]. 1.4. Выводы по разделу 1 Осуществлён обзор физических аспектов и существующих математических моделей задач дифракции акустических волн на плоских экранах и установлена их связь с задачами, рассмотренными в диссертации. Из проделанного обзора видно, что значительный вклад в разработку методов математического моделирования дифракции волн в пространстве, в том
- 32. 32 числе и в неоднородном, внесли Л.М.Бреховских, К.Вестпфаль, Е.В.Захаров, Д.Колтон, Р.Кресс, А.Мауэ, З.Т.Назарчук, Ю.В.Пименов, Л.М.Полтавский, С.Л.Просвирнин, использованием дифракции С.И.Смагин, методов О.И.Сухаревский, дискретных рассматривали Х.Хёнл особенностей Ю.В.Гандель, и задачи Е.В.Захаров, др. С трехмерной И.К.Лифанов, В.О. Мищенко, Ю.В.Пименов, В.А.Щербина и др. На основе проведенного делаем вывод о фактическом отсутствии работ по решению задач дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами, а также общедоступного для исследователей компьютерного инструментария, позволявшего бы моделировать такие дифракционные процессы в резонансном диапазоне. Следовательно, весьма актуальным и перспективным является проведение исследований с целью создания и численной реализации математических моделей дифракции акустических волн на плоскопараллельных структурах на основе граничных гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода. Cовременное состояние программного обеспечения компьютерного моделирования дифракционных процессов на основе МДО требует, чтобы эти исследования сопровождались воплощением вычислительных методов в форме компьютерного инструментария, который бы допускал развитие программной системы и был разработан с использованием системы контроля качества.
- 33. 33 РАЗДЕЛ 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ ГРАНИЧНЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ При постановке краевых задач дифракции в трехмерном пространстве на плоскопараллельных структурах, составленных из жестких экранов и слоев с постоянными физическими свойствами, используется известный подход, когда падающее поле моделируется с учетом неоднородности пространства. Для рассмотренных задач доказывается единственность решения и строятся граничные псевдодифференциальные уравнения. 2.1. Постановки краевых задач дифракции на трехмерных плоскопараллельных структурах Рассмотрим задачу (далее – основная задача) дифракции акустических волн в пространстве ℜ 3 на абсолютно жестком тонком ограниченном плоском экране ∑ , лежащем на плоской границе раздела двух сред (полупространств) с различными физическими характеристиками (рис. 2.1). Определение 2.1. Под экраном будем понимать подмножество ∑ { } плоскости x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 = 0 , ограниченное на этой плоскости границей, составленной из конечного количества кривых класса C 2 . В верхнем полупространстве { } D+ = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 > 0 (2.1)
- 34. 34 плотность принимается постоянной и равной ρ+ > 0 , а в нижнем полупространстве { } D− = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 < 0 (2.2) плотность также принимается постоянной и равной ρ − > 0 . Рис. 2.1. Основная задача - абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран, находящийся на границе полупространств Падающая волна и, соответственно, рассеянное поле считаются имеющими постоянную частоту ω > 0 , так что волновые числа в верхнем и нижнем полупространствах соответственно равны [90]: k+ = k− = ω a+ ω a− > 0, x ∈ D+ , (2.3) > 0, x ∈ D− , (2.4) где a+ и a− - постоянные скорости распространения волны соответственно в верхнем и нижнем полупространствах.
- 35. 35 Будем рассматривать в средах поле давлений, отражающих процесс распространения волн, в виде [26]: π ( x, t ) = ν ( x ) ⋅ e −iωt . (2.5) В дальнейшем мы будем интересоваться только амплитудами v( x ) , которые также имеют размерность давления. В плоскости раздела сред { } D0 = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ3 | x3 = 0 (2.6) рассматривается абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран Σ ⊂ D0 , жестко отражающий падающую волну в том смысле [24], что ∂v ∂v = ∂n ∑ ∂x3 = 0 , ~ = ( x1 , x2 ) ∈ ∑ , x (2.7) x3 =0 r где n = (0,0,1) - орт нормали к плоскости экрана. Поле p( x ), x ∈ ℜ 3 в верхнем полупространстве D+ (2.1) в отсутствии экрана ∑ может быть построено как суперпозиция падающей плоской волны p0 ( x ) и поля p+ ( x ), x ∈ D+ , отраженного от раздела сред (при этом, не ограничивая общности, можно считать плоскостью падения волны плоскость X 1 0X 3 ): ( ) p( x ) = p0 ( x ) + p+ ( x ) = e −ik+ x3⋅cosϕ + V ⋅ e ik+ x3⋅cosϕ ⋅ e −ik+ x1⋅cosϕ , x ∈ D+ , (2.8) где ϕ0 - угол падения падающей волны p0 ( x ) на D0 ; r k + = k + (sin ϕ ,0,− cosϕ ) - волновой вектор в полупространстве D+ ;
- 36. 36 V - коэффициент отражения границы раздела [33], зависящий от плотностей ρ + и ρ − . Поле p( x ), x ∈ ℜ3 в нижнем полупространстве D− (2.2) будем считать [33] образованным только волной p− ( x ), x ∈ D− , вызванной преломлением p0 ( x ) на границе раздела сред: p( x ) = p− ( x ) = W ⋅ e ik− ( x1⋅sin ϕ0 − x3 cosϕ0 ) , x ∈ D− , (2.9) где ϕ 0 - угол преломления падающей волны p0 ( x ) при переходе через D0 ; r k − = k − (sin ϕ 0 ,0,− cosϕ 0 ) - волновой вектор в полупространстве D− ; W - коэффициент прозрачности границы раздела [33]. Таким образом, в нашей модели «падающее поле» p( x ), x ∈ ℜ3 во всем неоднородном пространстве будем рассматривать в следующей форме: ( ) ⎧ e −ik+ x3⋅cosϕ + V ⋅ e ik+ x3⋅cosϕ ⋅ e ik+ x1⋅sin ϕ , x ∈ D+ , p=⎨ ik − ( x1⋅sin ϕ0 − x3 cos ϕ0 ) , x ∈ D− . ⎩W ⋅ e (2.10) В частности, выбранное нами поле p( x ), x ∈ ℜ 3 удовлетворяет граничным условиям на разделе сред, которые приняты в акустике [33]: - непрерывность при переходе через D0 p x =+0 = p x =−0 , ~ ∈ ℜ 2 ; x 3 3 (2.11)
- 37. 37 - «условие непрерывности импеданса» 1 ∂p ρ + ∂x3 = x3 = +0 1 ∂p ρ − ∂x3 , ~ ∈ ℜ2 . x (2.12) x3 = −0 Вследствие (2.11) для поля (2.10) выполняется закон преломления Снеллиуса, который имеет вид k + sin ϕ = k − sin ϕ 0 . Cледовательно, 2 ⎛k ⎞ cos ϕ 0 = 1 − ⎜ + ⎟ sin 2 ϕ . ⎜k ⎟ ⎝ −⎠ (2.13) В нашей постановке введем условия отсутствия комплексных волн в следующей форме: 2 ⎛ k+ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ≤ . ⎜k ⎟ sin 2 ϕ ⎝ −⎠ (2.14) Замечание 2.1. Следствиями условия (2.14) будут условия на параметры процесса моделирования, а именно: 1. если среда в D+ более плотная, чем в D− (т.е. k + < k− ), тогда неравенство (2.14) верно всегда; 2. в случае нормального падения ( ϕ = 0 ) неравенство (2.14) верно всегда; 3. если же более плотная среда в D− , тогда в процессе моделирования ⎛ k ⎤ должны рассматриваться случаи, где угол падения ϕ ∈ ⎜ 0, arcsin − ⎥ . ⎜ k+ ⎦ ⎝ Полное, то есть фактически наблюдаемое в присутствии экрана поле v( x ), x ∈ ℜ 3 , будем искать в виде [24]:
- 38. 38 v( x ) = p( x ) + w( x ) , x ∈ ℜ3 , (2.15) где w( x ), x ∈ ℜ3 - рассеянное экраном ∑ поле, которое необходимо определить. Для определения рассеянного поля w( x ), x ∈ ℜ3 рассматриваем следующие формальные условия [24], которые вытекают из имеющих физическую интерпретацию условий на наблюдаемые поля p( x ) и v( x ) : 1. Выполнение уравнений Гельмгольца вне экрана: 2 2 Δw + k + w = 0 , x ∈ D+ , Δw + k − w = 0 , x ∈ D− . (2.16) 2. Краевые условия в плоскости D0 : а) Жесткое рассеяние на экране ∑ в смысле (2.7). ∂v ∂x3 = x3 = −0 ∂w ∂x3 ∂w ∂x3 ∂v ∂x3 , ~ ∈ ∑ ⇒ (используя (2.15)) ⇒ x x3 = +0 x3 = −0 ∂p ∂x3 x3 = −0 x3 = +0 ∂p =− ∂x3 x3 = +0 =− , ~∈∑. x (2.17) Следовательно, с учетом (2.12): 1 ∂w ρ − ∂x3 = x3 = −0 1 ∂w ρ + ∂x3 ,~∈∑. x (2.18) x3 = +0 б) Непрерывность поля v( x ) и импеданса при переходе через плоскость D0 , в которой находится экран ∑ :
- 39. 39 w x =−0 = w x =+0 , 3 3 1 ∂w ρ − ∂x3 = x3 = −0 1 ∂w ρ + ∂x3 , ~ ∈ ℜ2 Σ . x (2.19) x3 = +0 3. Условие на бесконечности (условие Зоммерфельда), состоящее в подобии уходящей сферической волне [26] и выполняющееся равномерно по всем направлениям x x : ⎛x ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ , grad w( x) ⎟ − ik ± w( x) = o⎜ ⎟, w( x) = O⎜ ⎟, ⎜x ⎟ ⎜x⎟ ⎜x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x →∞. (2.20) 4. Условие конечности энергии поля [23,27] (условие Мейкснера) в окрестности U ∂ ∑ (ε ) края экрана ∂ ∑ , где ε - малое положительное: ∫ (w 2 + ∇w U ∂ ∑ (ε ) 2 )dx < ∞ . (2.21) Следующим вариантом рассматриваемых нами плоскопараллельных структур есть специальный вариант (рис. 2.2), когда в основной задаче полупространства D+ и D− имеют одинаковые физические характеристики ( ρ + = ρ − = ρ , k + = k − = k , a+ = a− = a ), а абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран ∑ находится в плоскости D0 (2.6) на расстоянии d >0 от стенки { } D∗ = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ 3 | x3 = − d , обладающей свойством абсолютной жесткости: ∂v ∂x3 = 0. x∈D∗ (2.22)
- 40. 40 Рис. 2.2. Специальный вариант - абсолютно жесткий тонкий ограниченный плоский экран, находящийся над абсолютно жесткой стенкой в однородном пространстве { Обозначим через D = x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ℜ 3 | x3 > − d } полупространство над жесткой стенкой D∗ . Падающее поле p( x ), x ∈ D рассматриваем в виде плоской акустической волны [24], пришедшей от бесконечно далёкого источника, с учётом отражения от жесткой стенки D∗ , которое имело бы место при отсутствии там рассеивающего экрана Σ : ( ) p( x ) = p0 ( x ) + p+ ( x ) = e −ik ⋅x3⋅cosϕ + e ik ⋅x3⋅cosϕ ⋅ e −ik ⋅x1⋅cosϕ , x ∈ D , где ϕ0 - угол падения падающей волны p0 ( x ) на D∗ ; (2.23) r k = k ⋅ (sin ϕ ,0,− cos ϕ ) - волновой вектор в полупространстве D . Краевое условие для поля p( x ), x ∈ D следует из условия (2.22) абсолютной жесткости стенки D∗ и имеет вид: ∂p ∂x3 = 0 , ~ ∈ ℜ2 . x x3 = − d + 0 (2.24)