2. И то, что носится в колеблющихся
очертаниях,
пусть закрепится в прочных мыслях.
( Гете. «Фауст» )
3. Оглавление
1. Свойства решений и устойчивость линейных систем
с периодическими коэффициентами
1.1. Основные понятия
1.2. Нормальные решения. Мультипликаторы
1.3. Выводы об устойчивости
2. Уравнения Хилла и Матье. Явление параметрического
резонанса
3. Диаграмма устойчивости Айнса-Стретта
4. Примеры
5. Опыты
Слайд 3
4. 1. Свойства решений и устойчивость линейных
систем с периодическими коэффициентами
1.1. Основные понятия
Параметрическими называются колебания,
которые описываются системой линейных
однородных дифференциальных уравнений (ДУ)
с периодическими коэффициентами.
В нормальной форме система ДУ записывается
xi = pi1 x1 + pi 2 x2 + ... + pin xn ,
(1)
где pi j (t + T ) = pi j (t ), i, j = 1,n.
Период коэффициентов уравнений T −
период параметрического возбуждения. Слайд 4
5. 1.1. Основные понятия
Система ДУ с периодическими коэффициентами
называется параметрически возмущенной.
В матричной форме система (1) записывается
x = P(t ) x ,
(2)
где x − вектор-столбец, P(t ) − периодическая матрица
n× n:
x1
x
x = 2 , x = colon( x1, x2 ,..., xn) , P(t + T ) = P(t ).
xn
Теория решений ДУ вида (1, 2) построена Флоке
(Floquet) и дополнена А.М. Ляпуновым. Слайд 5
6. 1.1. Основные понятия
Совокупность n линейно независимых решений
x1, x 2 , …,x n уравнения (2) образует фундаментальную
систему решений. Из этих решений составляется
фундаментальная матрица
x11 x12 ... x1n
x x22 ... x2 n
X = (x1 , ... , xn ) = 21 .
. . ... .
xn1 xn 2 ... xnn
Общее решения уравнения (2) есть суперпозиция
x(t ) = C1x1 (t ) + C2x 2 (t ) + ... + Cn xn (t ),
где С1,…, Сn – произвольные постоянные. Слайд 6
7. 1.1. Основные понятия
В матричной форме общее решение представим
x(t ) = X (t ) C,
где C = colon(C1 ,C2 ,..., Cn ).
Пусть начальным значением фундаментальной матрицы
является единичная матрица E
X (0) = E. (3)
Фундаментальная матрица, удовлетворяющая
начальному условию (3), называется
матрицантом.
Слайд 7
8. 1.1. Основные понятия
Каждому решению x k (t ) фундаментальной системы
соответствует решение x k (t + T ), которое можно
представить с помощью матрицанта
xk (t + T ) = X (t ) ak ,
где ak = colon (a1k , a2 k ,...ank ).
Составим матрицу таких решений
X(t + T ) = X (t ) A. (4)
В равенстве (4): A = (aik ) – квадратная матрица,
векторы a k – столбцы матрицы, aik – некоторые
Слайд 8
числа.
9. 1.1. Основные понятия
При t = 0 из равенства (4) с учетом (3) следует
X (T ) = A. (5)
Матрица A называется матрицей монодромии.
Обращаемся к формуле Лиувилля-Остроградского
t
∫ ( p11 + p22 +...+ p nn ) dt
X (t ) = X (0) e0 .
С помощью формулы Л.-О. получаем определитель
матрицы монодромии
T
∫ ( p11 + p22 +...+ pnn ) dt (6)
A = X (T ) = e 0 .
Слайд 9
Notas del editor
Тема «Параметрические колебания» является частью курса «Математическое моделирование в приборных системах».
В разделе 3 темы представлено построение границ устойчивости нулевого решения уравнения Матье с помощью миноров второго и третьего порядков определителей Хилла. В разделе 4 даны результаты численного моделирования колебаний маятников (обычного и «опрокинутого» ) с вибрирующей точкой подвеса, а также анализ устойчивости намагниченного шарового ротора, приводимого во вращение магнитным поле статора и находящегося в сферическом гидроподвесе. В разделе 5 дано описание с иллюстрациями опытов академика Челомея по изучению влияния вертикальной вибрации на устойчивость упругих стержней с грузами.
Во многих практически важных задачах механики, электромеханики, в технических задачах проблема устойчивости приводит к дифференциальным уравнениям возмущенного движения в виде линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами. Такую неавтономную систему называют параметрически возмущенной. Название возникло, по-видимому, исходя из сравнения с линейной системой с постоянными коэффициентами, являющимися параметрами системы или функциями параметров.
Самые общие свойства решений системы (1) содержатся в теории, созданной Флоке и продолженной А.М. Ляпуновым. В лекциях рассматриваем основные положения этой теории, опираясь на изложение Д.Р. Меркина в книге «Введение в теорию устойчивости движения»: Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения /Д.Р. Меркин. – СПб.: Изд-во «Лань», 2003. 312 с.
В фундаментальной матрице решения расположены в виде столбцов. Первый индекс i элемента матрицы означает номер функции (фазовой координаты, переменной состояния), второй индекс k – номер решения.
В дальнейшем будем полагать, что условие (3) выполняется. Название «матрицант» используется в книге: Якубович, В.А. Параметрический резонанс в линейных системах / В.А. Якубович, В.М. Старжинский М. : Наука, 1987. 328с.
Вследствие периодичности матрицы P(t) имеет место следующее свойство решений уравнения (2): если функция x(t) является решением этого уравнения, то и функция x(t+T) также является решением. Убеждаемся в справедливости этого положения с помощью простой замены переменной: подставив в уравнение (2) вместо t переменную t+T , получим с учетом условия периодичности P(t+T)=P(t) точно такое же уравнение, как и (2).
Формула Лиувилля-Остроградского доказывается в теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Например, можно обратиться к учебнику: Агафонов , С. А. Дифференциальные уравнения : Учеб. для втузов / С. А. Агафонов, А. Д. Герман, Т. В. Муратова; Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко . - М. : Издательство МГТУ , 2004 .