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y = 4 – x 2
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Remplazo en una de las ecuaciones originales:
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El gráfico queda de la siguiente manera:
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Igualaré a cero y en la ecuación original
z = 16 – 4 x 2
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Representando los gráficos en un solo plano en R 3.
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Cuando y = 0
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Calculo de superficies usando integrales, además al final un gráfico en varias dimensiones.

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Graficar - Calcular superficie

  1. 1. Usar integración iterada para calcular el área de la región que se especifica x = 4 x = y 2 en donde 0 ≤ y ≤ 2 A = ∫ d c ∫ g 2 (y) g 1 (y) d x d y x y 0 0 1 1 4 2 A =∫ 2 0 ∫ 4 y 2 d x d y y x 1 2 3 4 5 3 2 1    ▒▒▒▒▒▒▒▒▒ Barrido horizontal getresa@hotmail.com
  2. 2. A =∫ 2 0 4 y 2 d y │x A =∫ 2 0 ( 4 – y 2 ) d y A =∫ 2 0 4 d y – y 2 d y∫ 2 0 │A = 2 0 4 y y 3 3 2 0 │ A = 4 (2) – 4 (0) – (2) 3 3 (0) 3 3 – A = 8 – 8 3 A = 5,33 cm 2 – getresa@hotmail.com
  3. 3. y x 1 2 3 4 5 3 2 1    ▒ ▒ ▒ ▒ Barrido vertical x = y x x A =∫ 4 0 ∫ 0 d y d x A =∫ 4 0 0 d x │y A =∫ 4 0 x – 0 d x 1/2 3/2 A = x 3 2 │ 4 0 getresa@hotmail.com
  4. 4. A = 2 3 4 3 ( ) A = 2 3 ( 8 ) A = 5,33 cm 2 Observación: tanto barrido horizontal como vertical dan el mismo resultado getresa@hotmail.com
  5. 5. y x1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 3 2 1 ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ A = ∫ 3 0 ∫ 8 0 d x d y A = ∫ 3 0 │ 8 0 d yx A = ∫ 3 0 8 d y A = 8 y │ 3 0 A = 8 (3) – 8 (0) A = 24 cm 2 Barrido horizontal getresa@hotmail.com
  6. 6. x y 0 4 1 3 2 0 – 1 3 – 2 0 y = 4 – x 2 x en donde 0 ≤ x ≤ 2 y x 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 ▒ ▒ ▒ ▒ ▒ A = ∫ 2 0 ∫ 4 – x 2 0 d y d x A = ∫ 2 0 │ 0 d xy 4 – x 2 getresa@hotmail.com
  7. 7. A = ∫ 2 0 (4 – x 2 ) d x A = ∫ 2 0 4 d x – ∫ 2 0 x 2 d x │ │A = 4 x – 2 0 x 3 3 2 0 A = 4 (2) – (2) 3 3 24 – 8 3 A = A = 5,33 cm 2 getresa@hotmail.com
  8. 8. y = 4 – x 2 y = x + 2 x y 0 4 1 3 2 0 – 1 3 – 2 0 – 3 – 5 x y 0 2 1 3 2 4 – 1 1 – 2 0 y = 4 – x 2 y = x + 2 y x 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1      - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 ▒ ▒ ▒ Calcular el área entre las 2 ecuaciones getresa@hotmail.com
  9. 9. A = ∫ 1 – 2 ∫ 4 – x 2 x + 2 d y d x A = ∫ 1 – 2 4 – x 2 x + 2 d xy│ 1 A = ∫ – 2 ( 4 – x 2 ) – ( x + 2 ) d x 1 A = ∫ – 2 ( – x 2 – x + 2 ) d x A = x 3 3 x 2 2 – – + 2 x │ 1 – 2 A = (1)3 3 (1) 2 2 – – + 2 (1) – (– 2) 3 3 (– 2) 2 2 – – + 2 (– 2) A = 1 3– – 1 2 + 2 – 8 3 + 6 A = 4,5 cm 2 1 2 A = 5 – getresa@hotmail.com
  10. 10. Graficar y calcular superficie y = 4 x – x 2 y = – 3 x + 6 4 x – x 2 = – 3 x + 6 – x 2 + 4 x + 3 x – 6 = 0 – x 2 + 7 x – 6 = 0 Multiplico por – 1 la ecuación ya que no puede ser negativo x 2 x 2 – 7 x + 6 = 0 La ecuación es uno de los diez casos de factorización: ( x – 6 ) ( x – 1 ) = 0 x – 6 = 0  x = 6 x – 1 = 0  x = 1 Remplazando x en cualquiera de las ecuaciones originales obtenemos y: y = – 12 y = 3 ( 6 , – 12 ) ( 1 , 3 ) y = 4 x – x 2 y = – x 2 + 4 x a b b x = – 2 a 4 = – 2 (– 1 ) = 2 getresa@hotmail.com
  11. 11. Remplazo en una de las ecuaciones originales: y = 4 ( 2 ) – ( 2 ) 2 y = 4 Punto máximo en la ecuación (curva) 4 x – x 2 ( 2, 4 ) y = 4 x – x 2 y = – 3 x + 6 x y 0 0 1 3 2 4 3 3 4 0 5 – 5 6 – 12 – 1 – 5 – 2 – 12 x y 0 6 1 3 2 0 3 – 3 4 – 6 5 – 9 6 – 12 – 1 9 getresa@hotmail.com
  12. 12. - 1 -2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7-3 -2 -1             9 8 7 6     ( 2, 4) ( 6, – 12 ) (1, 3) x y 1 er cuadrante2 do cuadrante 3 er cuadrante 4 to cuadrante getresa@hotmail.com
  13. 13. El área que se encuentra en el primer cuadrante entre las dos ecuaciones es el que vamos a calcular con el uso de integrales. 4 x – x 2 4 x – x 2 d y d x + d y d x =∫∫∫ ∫ 2 2 4 1 0– 3x + 6 4 x – x 2 4 x – x 2 d x + d x =│∫ ∫ 2 2 4 1 0– 3x + 6 y y │ ∫ 2 1 4 x – x 2 – (– 3 x + 6 ) dx + ∫ 2 4 4 x – x 2 – 0 dx = ∫ 2 1 ( 4 x – x 2 + 3 x – 6 ) dx + ∫ 2 4 ( 4 x – x 2 ) dx = ∫ 2 1 ∫ 2 1 ∫ 2 1 7 x dx – x 2 dx – 6 dx +∫ 2 4 4 x dx – ∫ 2 4 x 2 dx = 1 7 x 2 2 x 3 3 – 6 x– + 4 x 2 2 x 3 3 – =│ │ 2 4 2 getresa@hotmail.com
  14. 14. Después de realizar las integrales, remplazo x con los valores correspondientes: 7 (2) 2 2 (2) 3 3 – 6 (2) –– 7 (1) 2 2 – (1) 3 3 – 6 (1) +( ) 4 (4) 2 2 (4) 3 3 – ( )4 (2) 2 2 (2) 3 3 –– = 28 2 8 3 – 12 –– 7 2 – 1 3 – 6 +( ) 64 2 64 3– ( )8 2 8 3 –– = 1 3 64 3 8 3 14 – 8 3 – 12 – + 6 + 32 – – 8 + 7 2 + = 32 – – 7 2 63 3 = 192 – 21 – 126 6 = 45 6 = 7,5 cm 2 getresa@hotmail.com
  15. 15. Intersección de planos z = 16 – 4 x 2 – y 2 Este tipo de ecuaciones las podemos graficar igualando a cero cada una de las variables, tenemos tres variables, empezaré por z. (0) 2 = ( 16 – 4 x 2 – y 2 ) 0 = 16 – 4 x 2 – y 2 4 x 2 + y 2 = 16 Igualare a 0 x, para encontrar el valor de y. y 2 = 16 y 2 = 16 y = ± 4 Es el turno de igualar y a 0 4 x 2 = 16 x 2 = 16 / 4 x 2 = 4 x = ± 2 El gráfico en un plano de 2 ejes sería el siguiente: Al hablar de ejes estoy hablando del plano cartesiano el cual es de dos dimensiones pero pueden existir de muchas dimensiones. 2 getresa@hotmail.com
  16. 16. y – y x– x 1 2– 2 – 1 4 3 2 1 – 1 – 2 – 3 – 4 Igualaré x a cero en la ecuación original z = 16 – y 2 z 2 = ( 16 – y 2 ) z 2 = 16 – y 2 z 2 + y 2 = 16 Igualaré a cero z y y respectivamente para representarlo en el plano cartesiano y 2 = 16 y = ± 4 2 getresa@hotmail.com
  17. 17. z 2 = 16 z = ± 4 El gráfico queda de la siguiente manera: z – z y– y 1 2 3 4– 4 – 3 – 2 – 1 4 3 2 1 – 1 – 2 – 3 – 4 getresa@hotmail.com
  18. 18. Igualaré a cero y en la ecuación original z = 16 – 4 x 2 z 2 = ( 16 – 4 x 2 ) z 2 = 16 – 4 x 2 z 2 + 4 x 2 = 16 Igualaré a cero z y x respectivamente para representarlo en el plano cartesiano 4 x 2 = 16 x 2 = 16 / 4 x 2 = 4 x = ± 2 z 2 = 16 z = ± 4 2 z – z x– x 1 2– 2 – 1 4 3 2 1 – 1 – 2 – 3 – 4 getresa@hotmail.com
  19. 19. Representando los gráficos en un solo plano en R 3. x y z ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ Cuando z = 0 ¤ – x – y Cuando y = 0 Cuando x = 0 – z getresa@hotmail.com

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