1. SE2 0 1 - À ã îð è ò ìûí ¿ íä ý ñ
ë
Лекц № 4-5
Алгоритмд хэрэглэх
үндсэн үйлдлүүд

2. 2.3 Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
Êîìïüþòåðýýð áîäëîãî áîäîõ àëãîðèòì íü êîìïüþòåðèéí
áèåë¿¿ëæ ÷àäàõ ¿éëäë¿¿äèéí äàðààëàë õýëáýðòýé
áàéíà
Êîìïüþòåð íü (ïð îö å ññîð )
 êîìïüþòåðò ºãºãäºë ìýäýýëýë îðóóëàõ
 ñàíàõ îéä áàéãàà ìýäýýëëèéã õóâèðãàæ (àðèôìåòèê,




ëîãèêèéí ¿éëäýë õèéæ) áîëîâñðóóëàõ
çààñàí ¿éëäýëä øèëæèõ
òîäîðõîé íºõöºë øàëãàæ ò¿¿íèé ¿ð ä¿íãýýñ õàìààðàí
áîäîëòûã ÿëãààòàé çàìààð ¿ðãýëæë¿¿ëýõ
á¿ëýã ¿éëäëèéã äàâòàæ áèåë¿¿ëýõ
ïðîãðàìûí ¿ð ä¿í ìýäýýëëèéã ãàðãàõ
ãýñýí öººõºí òîîíû ¿éëäëèéã õèéæ ÷àääàã
2

3. 2.3.1 ªãºãäºë ìýäýýëýë îðóóëàõ ¿éëäýë
 ìýäýýëëèéã êîìïüþòåðýýð áîëîâñðóóëàõûí òóëä ò¿¿íèéã
ñàíàõ îéä áè÷ñýí áàéõ øààðäëàãàòàé

áîäëîãûí íºõöºëä ºãºãäñºí áºãººä çàéëøã¿é
øààðäëàãàòàé õýìæèãäýõ¿¿íèé àíõíû óòãàºãºãäëèéã êîìïüþòåðò îðóóëàõ ¿éëäýë õýðýãòýé
Æèøýý íü: y = ax2+bx+c ôóíêöèéí óòãûã x=x 0 öýã äýýð
áîäîõ àëãîðèòìä

a , b, c - êîýôôèöèåíò¿¿ä, x 0 õýìæèãäýõ¿¿íèé òîîí
óòãûã ºãºõ øààðäëàãàòàé
3

4. ªãºãäºë ìýäýýëýë îðóóëàõ ¿éëäýë
(2)
 Õýìæèãäýõ¿¿íèé óòãûã êîìïüþòåðèéí ãàðààñ îðóóëàõ
¿éëäëèéã àëãîðèòìä ïàðàëåëëîãðàìààð ä¿ðñëýæ, óòãûã
íü îðóóëàõ õýìæèãäýõ¿¿íèé íýðèéã äîòîð íü áè÷èæ
òýìäýãëýíý:
 îðóóëàõ ¿éëäëèéã áèåë¿¿ëýõäýý


êîìïüþòåðèéí ãàðààñ óòãà ºãºõèéã øààðäàíà;
îðóóëñàí óòãûã õóâüñàã÷èéí óòãà áîëãîí ñàíàõ îéí
¿¿ðò ñàíàíà
4

5. 2.3.2 Áîäîëò áà óòãà îëãîõ ¿éëäýë
 Êîìïüþòåðèéí ¿íäñýí çîðèóëàëò íü ìýäýýëýëèéã
õóâèðãàæ (¿ é ë ä ý ë õ è é æ ) áîëîâñðóóëàõ ÿâäàë
 òîäîðõîé òîìú¸îãîîð ºãºãäñºí ìàòåìàòèêèéí è ë ý ð õ è é ë ý ë è é í
ó ò ã ûã á îä îæ ãàðñàí ¿ð ä¿íã ÿìàð íýãýí õ ó â üñà ã ÷ è é í
ó ò ã à á îë ã îí ñà íà õ îé ä õ à ä ã à ë à õ ¿éëäýë àëãîðèòìä
çàéëøã¿é õýðýãòýé áàéäàã
 èéì ¿éëäëèéã ó ò ã à îë ã îõ ¿ é ë ä ý ë ãýæ íýðëýíý
5

6. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
(2)
“è ë ý ð õ è é ë ý ë ” çºâõºí ê îìïüþ ò å ð è é í á è å ë ¿ ¿ ë æ ÷ à ä à õ
¿ é ë ä ë ¿ ¿ ä ý ý ð çîõèîãäñîí áàéõ ¸ñòîé
1.
À è ô ìå ò è ê è é í ¿ é ë ä ý ë .
ð
+ (íýìýõ), - (õàñàõ), ⋅ (¿ðæèõ),
/ (õóâààõ) – á¿õýë òîîã á¿õýëä õóâààõàä á¿õýë óòãàòàé,
áóñàä á¿õ òîõèîëäîëä áîäèò óòãàòàé
(ìîäóëèàð õóâààõ áóþó ¿ëäýãäýë îëîõ ¿éëäýë) –
íà ò ó ð à ë ò îîã íà ò ó ð à ë ò îîíä õ ó â à à õ à ä ã à ð à õ ¿ ë ä ý ã ä ë è é ã îë îõ
¿ é ë ä ë è é ã º ð ã º ò ã º í á¿õýë òîîã á¿õýëä õóâààõàä õýðýãëýæ
õî¸ð á¿õýë ìîäóëèóäûã õ ó â à à õ à ä ã à ð à õ ¿ ë ä ý ã ä ë è é ã
õ ¿ ð ò â ý ð è é í ò ý ìä ý ã ò ý é º ã º õ ¿ é ë ä ý ë á îë ã îí à ø è ã ë à íà
52=1, 5-2=1, -52=-1, -5-2=-1
ÀÍÕÀÀÐ: xn, (-1)i ã.ì. çýðýã äýâø¿¿ëýõ ¿éëäëèéã áè÷èæ
áîëîõã¿é
6

7. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
(3)
2.
Ëîã è ê è é í ¿ é ë ä ý ë
Ǻâõºí “¿ íý í” áà “õ ó ä à ë ” óòãà àâäàã õýìæèãäýõ¿¿íèéã
ë îã è ê õ ý ìæ è ã ä ý õ ¿ ¿ í ãýýä “¿íýí” óòãûã 1-ýýð, “õ ó ä à ë ”
óòãûã 0-ýýð òýìäýãëýíý
x
y
x a nd y
0
õ ory
0
no t y
0
x xo r y
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
x → y = (not x) or y,
1
x ≡ y = (x and y) or (not x and not y)
7

8. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
(4)
2. Ëîãèêèéí ¿éëäýë
Æèøýý:
x ∈ [-1, 1]
- ãýäãèéã øàëãàõûí òóëä
x ∈ (- ∞, -1] ∪ [1, +∞]
x ∉ [-1, 1] - ãýäãèéã øàëãàõûí òóëä
-1 ≤ x and x ≤ 1
x≤ -1 or 1 ≤ x
x< -1 or 1 < x
not (-1 ≤ x and x ≤ 1)
8

9. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
(5)
3. Æèøèõ ¿éëäýë
Àðèôìåòèêèéí èëýðõèéëë¿¿äèéã < | = | > | ≤ | ≠ | ≥
òýìäýãò ¿éëäëýýð æèøèõ èëýðõèéëëèéã áè÷èæ áîëíî.
Èéì èëýðõèéëýë íü ëîãèê óòãàòàé (¿íýí ýñâýë õóäàë)
E1< E2, E1 = E2 E1 > E2
E1 ≤ E2



E1 ≠ E 2 E1 ≥ E 2
n òýãø òîî þó ãýäãèéã øàëãàõûí òóëä
n2 = 0
i õóâüñàã÷èéí óòãà 100 –ààñ õýòðýýã¿é áàéãàà ýñýõèéã
øàëãàõûí òóëä
i ≤ 100
Òýíö¿¿ (=), òýíö¿¿ áèø (≠) ¿éëäëèéã ÿìàð÷ òºðëèéí
óòãûí õóâüä áè÷èæ áîëíî
9

10. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
(6)
4. ¯ñýã,
öèôð, öýã òýìäýã ãýæ ìýò áè÷èãäýæ
ä¿ðñëýãääýã òýìäýãò¿¿äèéí äàðààëëûã á è ÷ â ý ð áóþó
ñò ð è íã (string) õ ý ìæ è ã ä ý õ ¿ ¿ í ãýæ íýðëýíý. Áè÷âýð
òºðëèéí òîãòìîëûã àïîñòðîô (‘’) òýìäãýýð çààãëàæ
áè÷èæ òýìäýãëýíý.
‘ýíý áîë òîãòìîë áè÷âýð’, ‘òýãøèòãýë øèéäã¿é’, ‘òàéëáàð’

Õî¸ð áè÷âýðèéã õîëáîõ ¿éëäëèéã íýìýõ òýìäãýýð (+)
òýìäýãëýæ s 1 +s 2
(¿¿íä s 1 , s 2 õî¸óëàà áè÷âýð
òºðëèéí õýìæèãäýõ¿¿í) õýëáýðòýé áè÷íý.
‘êâàäðàò’ + ‘ òýãøèòãýë øèéäã¿é’
‘êâàäðàò òýãøèòãýë øèéäã¿é’
10

11. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
5.
(6)
Ô ó íê ö à ø è ã ë à õ
Màòåìàòèêèéí ýëåìåíòàð ôóíêö¿¿ä áîëîí ºðãºí
õýðýãëýãääýã áóñàä òºðëèéí ôóíêö¿¿äèéí óòãûã
àðãóìåíòèéí ºãñºí óòãàíä áîäîæ ºãäºã ïðîãðàì
áàéäàã..

x
Èéì ïðîãðàìûã ñò à íä à ð ò ô ó íê ö ãýíý

Тэдгээрийн цуглуулгыг ñò à íä à ð ò ô ó íê ö ийн сан
г эдэг
Сангд байгаа функцийг аливаа алгоритм,
програмд шууд бичиж болно.

11

12. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
математикт
(6)
алгоритмд
s inx , c o s x , tg x
sin(x), cos(x), tg(x)
a rc s inx , a rc c o s x , a rc tg x
arcsin(x), arccos(x), arctg(x)
lnx , lg x
ln(x), lg(x)
x2
sqr(x)
square
x
sqrt(x)
square root
|x|
abs(x)
{x}
frac(x)
fraction
ex
exp(x)
exponent
12

13. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
(7)
Àëèâàà èëýðõèéëëèéã áè÷èõäýý:
1-ðò: Õààëòàí äîòîðõ äýä èëýðõèéëëèéí óòãûã ýõýëæ
áîäíî.
2-ðò: Ôóíêöèéí óòãûã áîäíî.
3-ðò: ¯ðæèõ, õóâààõ, ¿éëäë¿¿äèéã áèåë¿¿ëíý.
4-ðò: Íýìýõèéí òºðëèéí (íýìýõ, õàñàõ) ¿éëäë¿¿äèéã
áèåë¿¿ëíý
ãýñýí ¿ é ë ä ë ¿ ¿ ä è é í á è å ë ý ã ä ý õ ý ð ý ìá è é ã òîîöîæ,
øààðäëàãàòàé èëýðõèéëëèéã () õààëòàíä áè÷íý.
13

14. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
(8)
Óòãà îëãîõ ¿éëäëèéí æèøýý:
1. x := 0
2. x := y
3.
/x- õóâüñàã÷èä òýã óòãà îëãîæ áàéíà.
/y- õóâüñàã÷èéí óòãàòàé
òýíö¿¿ óòãûã x- õóâüñàã÷èä îëãîíî
i := i+1
/ i- õóâüñàã÷èéí óòãà íýãýýð íýìýãäýíý
(óòãà îëãîõ òýìäãèéí áàðóóí òàëä áè÷ñýí èëýðõèéëëèéí óòãûã
áîäîõäîî òýíä áè÷ñýí õóâüñàã÷óóäûí óòãûã ñàíàõ îéãîîñ óíøèõ
¿éëäëèéã ã¿éöýòãýäýã, õàðèí óòãà îëãîõäîî ñàíàõ îéä áè÷íý)
1. t := -t
áîëãîæ áè÷íý
/t õóâüñàã÷èéí óòãûí òýìäãèéã ýñðýã
14

15. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
5. d := b2-4⋅ a ⋅ c /a, b, c –
6. f := sin(x)/x
(9)
õóâüñàã÷óóä óòãàòàé áàéõ
/x-èéí óòãà òýãýýñ ÿëãààòàé áàéõ ¸ñòîé
15

16. 2.3.3 ¯ð ä¿íã ãàðãàõ ¿éëäýë
Àëãîðèòì, ïðîãðàìûí ¿ð ä¿í - ìýäýýëëèéã ÿíç á¿ðèéí (òåêñò,
õ¿ñíýãò, ãðàôèê, çóðàã, ÿðèà ã.ì.) õýëáýðýýð ãàðãàõ ¿éëäë¿¿ä
øààðäëàãàòàé áîëäîã
ïðîãðàìûí ¿ð ä¿íä (øèéäòýé, øèéäã¿é, áîëíî, áîëîõã¿é ã.ì.)
òàéëáàð áè÷èã áóþó òîãòìîë òåêñò ãàðãàõ õýðýãòýé áîëäîã


Òîîí áîëîí ¿ñãýí ìýäýýëëèéã äýëãýö äýýð òåêñò õýëáýðòýé ãàðãàõ
¿éëäýë èë¿¿ ò¿ãýýìýë øààðäàãäàíà

‘ò à é ë á à ð ’, '¿ ð ä ¿ í', 'n= ' ã.ì. àïîñòðîô òýìäãýýð õàøèæ áè÷íý.
16

17. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
(14)
Aëãîðèòìûí ¿éëäëèéã òýìäýãëýñýí ä¿ðñèéã á ë îê ãýíý,
õîîðîíäîî õîëáîãäñîí ãåîìåòðèéí ä¿ðñýýð àëãîðèòìûã
ä¿ðñëýõèéã á ë îê - ñõ å ìý ý ð ä ¿ ð ñë ý õ ãýæ íýðëýíý


áëîê-ñõåìýýð àëãîðèòìûã ä¿ðñëýõýä ¿éëäë¿¿äèéí
áèåëýãäýõ äýñ äàðààëëûã òóëä ñó ìò à é áà ñó ìã ¿ é
õ ý ð ÷ ìý ý ð çààíà,
àëãîðèòìûí ýõëýë, òºãñãºëèéã áàñ òóñãàéëàí
òýìäýãëýæ çààæ ºãäºã
17

18. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä

(15)
óðñãàëûí òàñàðñàí øóãàìûã (íýã õóóäàñíààñ ººð
õóóäñàíä àëãîðèòìûã äàìæóóëæ áè÷èõ ýñâýë íýã
õóóäàñíààñ ººð õóóäàñ ðóó øèëæèõ øèëæèëòèéã)
òýìäýãëýíý:
18

19. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
(17)
Æèøýý 1: r >0 áîäèò òîî ºãºäñºí áîë r ðàäèóñòàé
òîéðãèéí óðò, r ðàäèóñòàé äóãóéí òàëáàé áîëîí r
ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëæ áè÷èõ
àëãîðèòì çîõèî.
 àëèâàà àëãîðèòìä, óòãà íü ºãºãäºõ ¸ñòîé
õýìæèãäýõ¿¿íèéã à ë ã îð è ò ìûí à ð ã ó ìå íò ãýæ íýðëýýä
à ð ã ãýæ òýìäýãëýå.
 ¿ð ä¿í áîëãîí óòãûã íü ãàðãàõ õýìæèãäýõ¿¿íèéã
à ë ã îð è ò ìûí ¿ ð ä ¿ í (¿ ð ä ¿ í) ãýíý
à ð ã r, ¿ ð ä ¿ í L, S, V
L=2 π⋅r,
s=π⋅r2, V=4/3 π⋅r3
19

20. Àëãîðèòìä õýðýãëýõ ¿íäñýí ¿éëäë¿¿ä
(18)
20

21. 2.3.4 Óäèðäëàãà äàìæóóëàõ ¿éëäýë



îð ó ó ë à õ , ó ò ã à îë ã îõ , ã à ð ã à õ ¿éëäë¿¿äýýñ á¿òñýí
àëãîðèòìä ¿éëäë¿¿ä íü áè÷èãäñýí äàðààëëààðàà
áèåëýãääýã
àëãîðèòìä ¿éëäë¿¿äèéí áèåëýãäýõ äàðààëëûã
ººð÷èëæ óäèðäàõ ¿éëäýë øààðäëàãàòàé áîëäîã
¿éëäë¿¿äèéí áèåëýãäýõ äàðààëëûã ººð÷ëºõ
¿éëäëèéã ó ä è ð ä ë à ã à ä à ìæ ó ó ë à õ ¿ é ë ä ý ë ãýæ
íýðëýäýã
def: Àëãîðèòìûí òîäîðõîé íýã àëõàìä ººð íýã àëõàìä øóóä
øèëæèæ óëìààð òýð ¿éëäëýýñ áîäîëòûã
¿ðãýëæë¿¿ëýõ áîëîìæèéã õàíãàäàã ¿éëäëèéã
íº õ ö º ë ò á è ø ó ä è ð ä ë à ã à ä à ìæ ó ó ë à õ áóþó ø è ë æ è õ
¿ é ë ä ý ë ãýíý.
21

22. Óäèðäëàãà äàìæóóëàõ ¿éëäýë (2)

aëãîðèòìûã áëîê-ñõåìýýð ä¿ðñëýõ ¿åä øèëæèõ
¿éëäëèéã ñóìòàé õýð÷èìýýð òýìäýãëýäýã
Æèøýý 2:
r1, r2, r3, … (ri > 0, i≥1) áàéõ áîäèò òîîíóóä
ºãºäñºí áîë ri ðàäèóñòàé á¿õ òîéðãèéí óðò, äóãóéí
òàëáàé áîëîí áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ àëãîðèòì
çîõèî.
à ðã
r1, r2, r3, …
¿ ð ä ¿ í L1, S1, V1 , L2, S2, V2 , L3, S3, V3,, …
22

23. Óäèðäëàãà äàìæóóëàõ ¿éëäýë (3)
23

24. Óäèðäëàãà äàìæóóëàõ ¿éëäýë (4)

L, S, V õóâüñàã÷èéí óòãûã áîäîæ áè÷ñíèé äàðàà
ð à ä è ó ñûí ä à ð à à ÷ è é í ó ò ã ûã îð ó ó ë à õ ¿ é ë ä ý ë ä
ø è ë æ ä ý ã áàéõààð æ 1 _ 2 àëãîðèòìûã ººð÷ëºõ íü
ç¿éòýé:
24

25. Óäèðäëàãà äàìæóóëàõ ¿éëäýë (5)

øèëæèõ ¿éëäëèéã îëîí õýðýãëýõýä àëãîðèòì,
ïðîãðàìûã óíøèæ îéëãîõîä õ¿íäðýëòýé, á¿òöèéí õóâüä
ìóó àëãîðèòì áîëäîã

1970-ààä îíû ¿åä øèëæèõ ¿éëäýëã¿é ïðîãðàì÷ëàõ
îíîëûí ÷èãëýë õºãæèæ áàéñàí ¿åýñ õîéø çîõèîãäñîí
ïðîãðàì÷ëàëûí õýë¿¿ä øèëæèõ ¿éëäýë àøèãëàõã¿é
ïðîãðàì÷ëàõ áîëîìæèéã á¿ðýí õàíãàñàí áàéäàã
Ýíý õè÷ýýëèéí ÿâöàä áèä øèëæèõ ¿éëäëèéã õýðýãëýõã¿é
25

26. 2.3.5 ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë
æ 2 _ 1 àëãîðèòì íü L, S, V ãóðâàí
õýìæèãäýõ¿¿íèéã r-èéí îëîí óòãàíä
áîäîæ ¿ð ä¿íã ºãíº


ýíý ïðîöåññèéã òºãñãºõ ¿éëäýë
áàéõã¿é ó÷èð à ë ã îð è ò ì ç à à â à ë
ò º ã ñä º ã á à é õ øààðäëàãà
õàíãàãäààã¿é áàéíà
ïðîöåññèéã òºãñäºã áîëãîõûí òóëä rèéí óòãûã øàëãàæ òýãýýñ èõ
(ðàäèóñ ýåðýã óòãàòàé áàéäàã
ó÷èð) ¿åä áîäîëòûã
¿ðãýëæë¿¿ëäýã, õàðèí òýãýýñ áàãà
þìóó òýíö¿¿ (r≤ 0 ) áîë áîäîëòûã
òºãñãºäºã áàéõààð àëãîðèòìûã
çîõèîâîë çºâ áîëíî
26

27. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (2)
Èéì áàéäàë ìàø ò¿ãýýìýë òààðàëäàíà:
êâàäðàò òýãøèòãýë áîäîõ àëãîðèòìä à ≠0 áà d > 0
áàéõ

áóòàðõàéí óòãà áîäîõ ¿éëäëèéí ºìíº õóâààðü
òýãýýñ ÿëãààòàé áàéõ

òýãø çýðãèéí ÿçãóóð ãàðãàõûí ºìíº ÿçãóóð äîîðõè
èëýðõèéëëèéí óòãà ýåðýã
áàéõ íºõöºëèéã øàëãàõ õýðýãòýé

df: êîìïüþòåðèéí àëãîðèòìä òîäîðõîé íºõöºëèéã øàëãàæ
ò¿¿íèé óòãà (“¿ íý í” ýñâýë “õ ó ä à ë ”) ÿìàð áàéãààãààñ
õàìààð÷ áèåëýëòèéã õî¸ð ÿëãààòàé çàìààð
¿ðãýëæë¿¿ëýõ áîëîìæèéã ºãäºã ¿éëäëèéã íº õ ö º ë
ø à ë ã à õ ¿ é ë ä ý ë ãýíý.
27

28. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (3)
êîìïüþòåðèéí àëãîðèòìä øàëãàõ íºõöºëèéã


Å F, E= F, E> F, E≤F, E ≠ F, E≥F
<
ëîãèê õýìæèãäýõ¿¿íèéã (ëîãèê èëýðõèéëëèéã) no t,
a nd , o r, x o r ¿éëäëýýð õîëáîñîí ëîãèêèéí èëýðõèéëýë
õýëáýðòýé áè÷íý
28

29. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (4)
ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäëèéã äàíãààð õýðýãëýäýãã¿é, õàðèí
ýíý ¿éëäëèéí òóñëàìæòàéãààð ÿíç á¿ðèéí õýëáýðòýé
íèéëìýë ¿éëäëèéã ¿¿ñãýæ àøèãëàäàã:
1. ‘a’ á¿òýöòýé ¿éëäëèéã ñà ë à à ë à õ ¿ é ë ä ý ë ãýíý.
a)
“õýðýâ íº õ ö º ë ¿ íý í óòãàòàé áîë ¿ é ë ä ý ë -1 – è é ã áèåë¿¿ë
õàðèí õ ó ä à ë áîë ¿ é ë ä ý ë -2 – è é ã áèåë¿¿ë ”
29

30. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (4+)
íº õ ö º ë ¿ íý í óòãàòàé ¿åä
íº õ ö º ë õ ó ä à ë óòãàòàé áîë
30

31. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (5)
2. ‘á’ á¿òýöòýé ¿éëäëèéã à ë ã à ñà õ ¿ é ë ä ý ë ãýíý.
á)
“õýðýâ íº õ ö º ë ¿ íý í óòãàòàé áîë ¿ é ë ä ý ë -1 – è é ã áèåë¿¿ë
áà õàðèí õ ó ä à ë áîë ø ó ó ä ä à ð à à ÷ è é í ¿ é ë ä ý ë ä øèëæ”
31

32. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (6)
3.
íº õ ö º ë ¿íýí áàéõàä áèåë¿¿ëýõ îëîí ¿éëäëèéã áè÷èõ
øààðäëàãàòàé áîë ‘â’ õýëáýðòýé íèéëìýë ¿éëäýë
¿¿ñãýõ íü èë¿¿ òîõèðîìæòîé
â) àëãàñàõ ¿éëäýë
32

33. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (7)
33

34. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (8)
Æèøýý 3: õ , ó áîäèò òîîíû õóâüä
 x− y
z=
y − x +1
, õýðýâ x > y
, õýðýâ x ≤ y
áàéõ z õýìæèãäýõ¿¿íèé óòãûã îë.
àðã õ , ó ; ¿ ðä¿ í z
, õýðýâ x > y
 x− y
z=
1 − ( x − y ) , õýðýâ x ≤ y
34

35. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (9)
35

36. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (10)
Æèøýý 4: õ áîäèò òîî ºãºãäñºí áîë
 x2
y=
4
, õýðýâ
−2≤ x ≤ 2
, ýñðýã òîõèîëäîëä
áàéõ ó -èéí óòãûã îë.
àðã õ ; ¿ ðä¿ í ó
− 2 ≤ x and x ≤ 2 à ý íý íº õ ö º ë è é ã
ø à ë ã à õ íº õ ö º ë íü
á
õ ý ë á ý ð ò ý é á è ÷ è æ á îë íî
|x | ≤ 2
36

37. ͺõöºë øàëãàõ ¿éëäýë (11)
37