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Para obtener las ecuaciones de movimiento para el sist...
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Como se debe mantener el p´endulo invertido en posici´...
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Un vez obtenido las nuevas ecuaciones (5), (6), (7) se...
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Modelado Matemático

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Modelado Matemático

  1. 1. Universidad Polit´ecnica de Victoria Modelado Matem´atico Mec´anico Universidad Polit´ecnica de Victoria Teor´ıa de control Modelado Matem´atico Mec´anico Jes´us Alberto Herrera Galv´an Jes´us Alejandro Smiller Sanchez Carlos Ru´ız Flores Septiembre 2015
  2. 2. Universidad Polit´ecnica de Victoria Modelado Matem´atico Mec´anico Un p´endulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la Figura (a). Este es un modelo del control de posici´on de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del problema del control de posici´on es conservar el propulsor primario espacial en una posici´on vertical.) El p´endulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier direcci´on, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aqu´ı se considera s´olo un problema en dos dimensiones, en el cual el p´endulo s´olo se mueve en el plano de la p´agina. Se aplica al carro la fuerza de control u. Sup´ongase que el centro de gravedad de la barra del p´endulo est´a en su centro geom´etrico. Obt´engase un modelo matem´atico para este sistema.
  3. 3. Universidad Polit´ecnica de Victoria Modelado Matem´atico Mec´anico Un p´endulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la Figura (a). Este es un modelo del control de posici´on de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del problema del control de posici´on es conservar el propulsor primario espacial en una posici´on vertical.) El p´endulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier direcci´on, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aqu´ı se considera s´olo un problema en dos dimensiones, en el cual el p´endulo s´olo se mueve en el plano de la p´agina. Se aplica al carro la fuerza de control u. Sup´ongase que el centro de gravedad de la barra del p´endulo est´a en su centro geom´etrico. Obt´engase un modelo matem´atico para este sistema.
  4. 4. Universidad Polit´ecnica de Victoria Modelado Matem´atico Mec´anico Un p´endulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la Figura (a). Este es un modelo del control de posici´on de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del problema del control de posici´on es conservar el propulsor primario espacial en una posici´on vertical.) El p´endulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier direcci´on, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aqu´ı se considera s´olo un problema en dos dimensiones, en el cual el p´endulo s´olo se mueve en el plano de la p´agina. Se aplica al carro la fuerza de control u. Sup´ongase que el centro de gravedad de la barra del p´endulo est´a en su centro geom´etrico. Obt´engase un modelo matem´atico para este sistema. Sea θ el ´angulo de la barra respecto de la l´ınea vertical. Sean adem´as las coordenadas (x, y) del centro de gravedad de la barra del p´endulo (xG , yG ). De este modo: xG = x + sin(θ) yG = l cos(θ)
  5. 5. Universidad Polit´ecnica de Victoria Modelado Matem´atico Mec´anico Para obtener las ecuaciones de movimiento para el sistema, consid´erese el diagrama de cuerpo libre que aparece en la Figura (b). El movimiento rotacional de la barra del p´endulo alrededor de su centro de gravedad se describe mediante la siguiente ecuaci´on ala cual llamaremos ecuaci´on (1) donde I es el momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad: I ¨θ = Vl sin(θ) − Hl cos(θ) (1) El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del p´endulo se obtiene mediante: m d2 dt2 (x + l sin(θ)) = H (2) El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del p´endulo es: m d2 dt2 (l cos(θ)) = V − mg (3) El movimiento horizontal del carro se describe mediante: M d2 x dt2 = u − H (4)
  6. 6. Universidad Polit´ecnica de Victoria Modelado Matem´atico Mec´anico Como se debe mantener el p´endulo invertido en posici´on vertical y se busca que no exista ning´un movimiento angular en el mismo, podemos suponer que las funciones trigonom´etricas (mostradas al principio) son iguales a cero, entonces: sin(0) = 0 = θ cos(0) = 1 Donde el Coseno de 0 es igual a 1 y el Seno de de 0 es igual 0 igual a θ. Una vez obtenido este resultado se procede a sustituir en las ecuaciones (1), (2) y (3) quedando de la siguiente forma: I ¨θ = Vlθ − Hl (5) *Como se dijo anteriormente, en la ecuaci´on (5) se sustituyen los valores de las funciones, as´ı se prosigue con las dem´as*. m d2x dt2 + m d2 dt2 (lθ) = H m(¨x + l ¨θ) = H (6) *En la ecuaci´on (6) se obtiene factor com´un y se cambia la notaci´on de la derivada.* m d2l dt2 = V − mg 0 = V − mg V = mg (7) *En la ecuaci´on (7) se obtiene 0 = V − mg debido que la derivada de una constante es igual a 0.*
  7. 7. Universidad Polit´ecnica de Victoria Modelado Matem´atico Mec´anico Un vez obtenido las nuevas ecuaciones (5), (6), (7) se procede a sustituir t´erminos de la ecuaci´on (6) en la ecuaci´on (4) que queda de la siguiente forma: M d2x dt2 = u − m(¨x + l ¨θ) m(¨x + l ¨θ) + M d2x dt2 = u m(¨x + l ¨θ) + M¨x = u M + m(¨x + l ¨θ) (8) *Ya sustituida la ecuaci´on, se despeja y posteriormente se busca un factor com´un para simplificar terminos.* Ahora se sustituir´an t´erminos de las ecuaciones (6) y (7) en la ecuaci´on (5) y tendr´a la siguiente forma: I ¨θ = Vlθ − Hl I ¨θ = mglθ − ml(¨x + l ¨θ) I ¨θ = mglθ − ml ¨x + ml2 ¨θ ml ¨x + ml2 ¨θ + I ¨θ = mglθ ¨θ(I + ml 2 ) + ml ¨x = mglθ (9) *Se sustituyen t´erminos y posteriormente se despeja la ecuaci´on para despu´es ordenarla* A partir de aqu´ı se puede decir que las ecuaciones (8) y (9) describen el movimiento del sistema del p´endulo invertido en el carro. Constituyen un modelo matem´atico del sistema y con de ellas se puede seguir su an´alisis en variables de estado y funci´on de transferencia.
  8. 8. Universidad Polit´ecnica de Victoria Modelado Matem´atico Mec´anico Problema extraido del libro: INGENIER´IA DE CONTROL MODERNA Katsuhiko Ogata 5ta. Edici´on PEARSON EDUCACI´ON, S.A., Madrid, 2010 Ejemplo 3 pagina 68.

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