1. Teoría de
Conjuntos
Génesis Viloria

2. Teoría de Conjuntos
 Permitevisualizar las intersecciones que
puedan existir entre las partes que
conforman un problema, así como cada
parte con el todo. Es un instrumento
esencial para el desarrollo de la
capacidad de análisis.

3. Conjuntos
 La palabra conjunto es una colección de objetos
cuyas propiedades o características están
claramente definidas. Cada objeto que forma
parte de un conjunto se llama elemento.
 Es una colección de objetos considerados como
una simple unidad. Los objetos que determinan un
conjunto se denominan elementos del conjunto.
Los conjuntos pueden denotarse con letras
mayúsculas como A, B, C,…y los elementos con
letras minúsculas como a, b, c,… o con números
separados por comas y encerrados entre dos
llaves. Así por ejemplo: el conjunto “A” formando
por las vocales, la podemos escribir: A:
{a, e, i, o, u} y un conjunto “B” cuyos elementos
son los tres números impares lo denotamos B =
{1, 3,5}.

4. Conjuntos de números
naturales
 Es el conjunto de los símbolos que se utilizan para
representar los cardinales (principales), y se
designan con la letra “N”, siendo su conjunto
infinito porque no tiene ultimo termino. Los
números naturales se pueden usar para contar o
medir (2 sillas, 3 metros), es decir, para expresar
cantidades, y en ese caso se
denominan Cardinales. Si, en cambio, se usan
para describir la posición o el orden de un
determinado elemento en relación con otros en
una secuencia ordenada, se llaman Ordinales.
 Cuando se dice: <<Vivo en el tercer piso>>, se
esta utilizando un numero Ordinal.

5. Conjunto de números Enteros
 Estaformado por los números naturales y
los números negativos. Se simboliza con la
letra “Z”.

6. Propiedades de los números
Enteros
 El conjunto de los números enteros:
 Es un conjunto infinito
 No tiene ni primero ni ultimo elemento
 Cada número tiene su opuesto. Por ejemplo, el
opuesto de + 2 es - 2.
 Si un numero esta a la derecha de otro en la recta
numérica, entonces es mayor que el.
 Ejemplo:
 2 = {…,-2,-1,o,1,2,3,…} Conjunto de números enteros.
 Z+ = {0,1,2,3,4,5,…} Conjunto de los enteros positivos.
 Z- = {…-4,-3,-2,-1} Conjunto de los números enteros
negativos.

7. Numeros enteros positivos
 Los números naturales, que se escriben con
un signo <<+>>delante (excepto el cero), Z se
llaman números enteros positivos. Por
ejemplo, el numero +6 es un entero positivo;
se puede representar como 6 o como +6. Los
números naturales precedidos de un signo
<<->> se llaman números enteros negativos.
En este caso, dado que representan una
cantidad que no se tiene, necesariamente se
debe anteponer el signo -. Por ejemplo, el
número -6 es Nº negativo. El “0” es el único
numero entero que no es positivo ni negativo.

8. Conjunto de los números
Racionales
 Estaformado por los números enteros y
los números fraccionarios. Se simbolizan
con la letra “Q”.

9. Propiedades del conjunto de
los números racionales
 Es un conjunto infinito.
 No tiene ni primero ni último elemento.
 Todo número racional ya sea entero o
fraccionario se puede expresar con
infinitas fracciones equivalentes.
 Se define de la siguiente manera:
 Ejemplo:
 Q = {a/b,b"0} Conjunto de los números
racionales para b"0

10. Conjunto de los numeros
irracionales
 Tipo
de números que no se pueden
expresar de manera sencilla como el
cociente de los números. Algunos
ejemplos son "2 y.

11. Los numeros irracionales
 Se caracterizan por poseer infinitas cifras
decimales que no se repiten nunca, es
decir, no periódicas. Por ello no pueden
ser expresados en forma de fracción de
dos enteros. Algunos números irracionales
son identificados mediante símbolos.
 Por Ejemplo:
 = 3,1415926535914039…
 e = 2,71828…

12. Conjunto de los numeros
reales
 Es el conjunto de los números (racionales
o irracionales) que puedan medir
longitudes, junto con sus inversos aditivos
y el cero. Se llama real a un número que
puede ser racional o irracional. Por lo
tanto, el conjunto de los números reales
es la unión del conjunto de los números
racionales y el conjunto de los números
irracionales.

13. Propiedades del conjunto de
los numeros reales
 El conjunto de los números reales es el
conjunto de todos los números que
corresponden a los puntos de la recta.
 El conjunto de los números reales es el
conjunto de todos los números que
pueden expresarse con decimales finitos
o infinitos periódicos o no periódicos.
 El conjunto de los números reales se
representa por la letra “R”.

14. Conjunto escrito por extensión
 Un conjunto esta expresado por extensión
cuando se enumeran todos los elementos
que lo forman. Si el conjunto tiene infinitos
elementos, se nombraran algunos de ellos y
se escriben tres puntos suspensivos.
 Ejemplo:
 A = {a,e,i,o,u}
 B = {0,2,4,6,8}
 C = {c,o,n,j,t,s}Es un conjunto determinado
por extensión no se repite un mismo
elemento.

15. Conjunto escrito por
comprensión
 Un conjunto esta expresado por comprensión
cuando se enuncian las propiedades o
características comunes de sus elementos: El
conjunto “A” esta formado por los números
naturales comprendidos entre 0 y 5, ambos
inclusive.
 Ejemplo:
 A = {X/X Es una vocal}
 B = {X/X Es un numero par menor que 10}
 C = {X/X Es una letra de la palabra conjuntos}

16. Conjunto Universo
 Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es
un termino relativo se le denota por la letra U. Es un conjunto finito
o infinito de elementos, tal que cualesquiera de su subconjuntos A
queda determinado por una propiedad que depende
únicamente de los elementos de U y solo de ellos.
 Ejemplo:
 Si U es el conjunto de los números reales A puede ser el conjunto
de los números enteros.
 Ejemplo:
 Sean los conjuntos:
 A = {Aves} B = {Peces} C = {Conejos} D = {Monos}
 Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A,B,C y D
 U = {Animales}
 Gráficamente se representan por un rectángulo tal como se
observa a continuación.

17. Conjunto Unitario
 Es todo conjunto que esta formado por
un solo y único elemento.
 Ejemplo:
 A = {5}
 B = {Números pares entre 6 y 10} = {8}
 C = {La capital de Perú} = {Lima}
 D = {X/2x = 6} = {3}

18. Conjunto Vacío
 Es aquel que no posee ningún elemento, y se
representa por Ø.
 A = {Los perros que vuelan} A ={} A = {Ø} A =
{0}
 B = {X/X Es un mes que tiene 53 días} B ={} B =
{Ø} B = {0}
 C = {X/X³ = 8 y es impar} C = {} C = {Ø} C = {0}
 D = {X/X Es un día de 90 horas} D = {} D = {Ø}
D = {0}
 A = {X/X a los números impares X² = 4} ; A =
Ø

19. Subconjunto
 Definimos que un conjunto es subconjunto de
otro, cuando tiene todos sus elementos
incluidos en otro. Decimos que A esta incluido
o es subconjunto de B cuando se representan
de la siguiente manera, A c B si solo si todos
los elementos de A están en B.
 Ejemplo:
 A = {2,3,4,5}y B = {1,2,3,4,5,6} , Decimos que A
ûB
 A = {1,2,3} y B = {2,3,4,5} , A û B, A no es
subconjunto de B.

20. Identidad de Conjuntos
 Serían conjuntos idénticos entre ellos, aquellos que cumplieran dos
exigencias:

1.- Tener los mismos elementos. "Sean dos conjuntos A y B, en los
cuales todo elemento de A tiene otro idéntico en B y todo
elemento de B tiene otro idéntico en A".
 2.- Tener la misma convergencia, es decir, que la cohesión,
ordenación y cualquier norma de agrupamiento se da en ambos
conjuntos al mismo nivel.
Por tanto han de ser dos conjuntos indistinguibles uno del otro.
 Para representar dos conjuntos idénticos podemos usar el signo ><
 Así, A >< B nos dice que el conjunto A es idéntico al conjunto B y
viceversa.

21. Intersección de Conjuntos
 Se define la intersección de dos conjuntos A y B al
conjunto de elementos que son comunes a A y B
se denota por A " B, que se lee: A intersección B la
intersección de A y B también se puede definir:
 Si A y B son dos conjuntos cualesquiera se
denomina intersección de A y B y se representa
por A " B el conjunto formado por todos los
elementos que están simultáneamente en A y B,
es decir, A " B = {X/X A y X B}.
 AB
 A"B

22. Diferencia de Conjunto
 Si tenemos dos conjuntos cualesquiera A y B, se le
llama diferencia de A con B al conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A y no pertenecen
a B, se representan A - B y se lee “A menos B” o
elementos que tenga A y que no tenga B.
Simbólicamente se expresa:
 A - B = {X/X A X B} Análogamente se obtiene:
 B - A = {X/X B X A}
 Ejemplo:
 A = {1,2,3,4,5}
 B = {4,5,6,7,8}
 A - B = {1,2,3}
 B - A = {6,7,8}