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2.1 Vectores.
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  1. 1. 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 64 CAPITULO 2 MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA 2.1 Vectores. 2.1.1 Introducción. Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos, saltó durante 1 minuto, volverá el próximo año, etc.). Existen muchas magnitudes físicas que pueden describirse perfectamente de esta manera simple, y que reciben el nombre de escalares. Son escalares el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura y otras magnitudes que luego definiremos apropiadamente. También existen magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración y otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud (¡camine 5 metros!, es una solicitud muy ambigua que puede conducir a una posición final distinta para cada persona que la reciba; en cambio, ¡camine 5 metros por Alameda hacia el Este! producirá exactamente el efecto requerido). Estas magnitudes se denominan vectoriales, y operan según el Álgebra Vectorial que recordaremos brevemente a continuación. 2.1.2 Vector. Lo definiremos como elementos que poseen tres atributos: magnitud, dirección y sentido Los vectores son elementos abstractos, pero pueden representarse en el espacio a través de segmentos dirigidos (flechas) cuya longitud es proporcional a la del vector representado. origen extremo A Fig 2. 1 Representación gráfica de un vector 2.1.3 Vectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes si son iguales sus respectivas magnitudes direcciones y sentidos. Esta definición, que implica que un vector puede estar en cualquier punto del espacio sin alterar sus características, define a los vectores libres. A D C B Fig 2. 2 Vectores equipolentes: rr r r A=B=C=D
  2. 2. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 65 2.1.4 Vectores opuestos. Dos vectores son opuestos cuando sus magnitudes y sus direcciones son iguales y sus sentidos son opuestos. A B Fig 2. 3 Vectores opuestos: r r A=- B 2.1.5 Ponderación de Vectores. El producto entre un escalar m y un vector r A se conoce como ponderación del vector. A B A Fig 2. 4 Ponderación de vectores: r r B=2A 2.1.6 Suma gráfica de vectores. Gráficamente la suma o RESULTANTE de vectores se obtiene uniendo sucesivamente los extremos y orígenes de ellos, como se muestra en la figura. El vector suma o resultante se obtiene uniendo el primer origen con el último extremo. C B A R Fig 2. 5 Resultante: rr r r A + B + C = R En el caso de dos vectores este procedimiento produce un triángulo formado por los vectores y la resultante. Otra forma gráfica de sumar dos vectores consiste en unir los orígenes y trazar líneas auxiliares paralelas a los vectores, que pasen por el extremo del otro. La resultante es el vector que une los orígenes comunes con la intersección de las paralelas auxiliares (método del paralelogramo). A B R Fig 2. 6 Resultante: Método del Paralelogramo Note que el orden de la suma no afecta el resultado, mostrando que es conmutativa: + = + r r r r A B B A Si sumamos los vectores rr r A, B y C de la figura anterior a través del método del paralelogramo, veremos claramente que: ( ) ( )+ + = + + r rr r r r A B C A B C Mostrando que la suma es asociativa (se recomienda comprobarlo gráficamente). Por otra parte, es innecesaria la definición de resta, pues claramente r r A-B es la suma de r A y el opuesto de r B .
  3. 3. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 66 ( )= + r r r r A- B A -B -B A R` Fig 2. 7 Resta de vectores = suma del opuesto Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores r A y r B y las paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales mayor y menor respectivamente. A B A+ B A- B Fig 2. 8 Suma y resta gráfica de vectores. 2.1.7 Vector unitario. Se define como un vector cuya magnitud es la unidad y cuya dirección y sentido son las del vector sobre el que está definido. Si consideramos un vector r A cuya magnitud es A, existe un vector unitario r A en la dirección de r A , tal que: = r ˆA AA Observe que entonces: = = r r 1 AˆA A A A A AAA = Fig 2. 9 Vector Unitario en la dirección de r A 2.1.8 Vector nulo. Vector cuya magnitud es cero. Gráficamente es representado por un punto. 2.1.9 Componente de un vector. La proyección ortogonal de un vector sobre una recta es una cantidad que se denomina componente (es un escalar). Esta se determina como la magnitud del segmento de la recta comprendido entre dos rectas perpendiculares a ella, y que pasan por el origen y el extremo del vector respectivamente. A AL L Fig 2. 10 Componente de r A sobre la recta L
  4. 4. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 67 2.1.10 Vectores en el plano coordenado cartesiano. Un vector puede definirse en el plano cartesiano, conformado por dos líneas perpendiculares denominadas ejes. Al eje horizontal se le denomina ABSCISA y se identificará con una letra mayúscula (usualmente X, aunque en física será una letra que represente una magnitud física), mientras que al eje vertical se le denominará ORDENADA (identificado por la letra Y, o una magnitud física). X Y X0 X1 Y1 Y0 Fig 2. 11 Vector en el plano coordenado cartesiano El dibujo anterior muestra el primer cuadrante de este plano (que contiene los semiejes positivos de X e Y), dividido en cuatro partes. Note que (X1–X0) es la componente del vector sobre el eje X; y que (Y1–y0) es la componente del vector sobre el eje Y. El origen del vector puede indicarse con propiedad a través de su ubicación en el plano, pues se encuentra en el punto (X0,Y0), mientras el extremo se encuentra en el punto (X1, Y1). 2.1.11 Vectores unitarios en el plano Resulta útil definir vectores unitarios cuyas direcciones y sentidos sean las de los semiejes positivos del plano cartesiano (versores), direcciones que ocuparemos como referencia en el futuro. Al vector unitario en dirección de +X se le define como ˆi , mientras que al vector unitario en dirección de +Y se le define como ˆj . 2.1.12 Vectores en el espacio coordenado cartesiano. En el espacio un vector tiene tres componentes, pues a las anteriores debe agregarse aquella que proyectará en el tercer eje, denominado eje Z. El espacio coordenado cartesiano está conformado por tres rectas perpendiculares entre sí (trirectangulares), como se muestra en la figura siguiente. Allí se muestra el primer octante (las tres rectas dividen el espacio en 8 partes iguales), octante denominado positivo, pues contiene los tres semiejes positivos. AZ AX AY X Z A Fig 2. 12 Proyecciones de un vector en el espacio
  5. 5. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 68 Como se ve en esta figura, un vector que no se encuentra ubicado en alguno de los planos cartesianos (XY, XZ o YZ), proyecta tres componentes, cuyas magnitudes son: AX=(X1 – X0), AY = (Y1 – Y0) AZ = (Z1 – Z0) Note que aquí el plano XY se encuentra en el piso. Finalmente, se puede definir un vector unitario en dirección y sentido del semieje positivo de Z, que se define usualmente como ˆk . Este versor, junto a los versores ˆ ˆi, j del plano XY forma un trío de versores trirectangulares. X Z Y i k j Fig 2. 13 Versores trirectangulares 2.1.13 Componentes cartesianas de un vector. Ahora estamos en condiciones de encontrar relaciones analíticas para trabajar con los vectores, prescindiendo de las representaciones gráficas, que si bien es cierto prestan mucha ayuda didáctica, nos confundirán cuando trabajemos con magnitudes físicas, pues se tiende a relacionar la longitud del dibujo de un vector con su magnitud. Consideremos un vector libre en el plano XY, representado con su origen en el origen del sistema cartesiano de coordenadas para simplificar el análisis; representemos gráficamente además, sus componentes cartesianas y sus versores: A X Y AY AX j i Fig 2. 14 Vector en el plano; componentes y versores En virtud de lo previamente definido, se puede suponer la existencia de dos vectores ficticios (que llamaremos vectores componentes), tales que sumados tengan al vector r A como resultante.
  6. 6. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 69 El vector componente situado en la abscisa tiene magnitud equivalente a AX y dirección ˆi , mientras el vector componente situado en la ordenada tiene magnitud equivalente a Ay y dirección ˆj . A X Y AX AY Fig 2. 15 Vectores componentes Aquí resulta claro que: = + r r r X YA A A Y si recordamos nuestra definición de versor tenemos que: r X X Aˆi= A por lo que r X x ˆA =A i r Y Y Aˆj= A por lo que r Y Y ˆA =A j Entonces el vector r A puede escribirse como: + r X Y ˆ ˆA = A i A j ( = + + r X Y Z ˆ ˆ ˆA A i A j A k ; En el espacio) Esta nos será muy útil para encontrar una forma más analítica de sumar vectores, como se verá a continuación. 2.1.14 Suma de Vectores en función de sus componentes. Supongamos la los vectores r r A y B en el plano XY como en la figura siguiente. Como son vectores libres, los hemos dibujado de manera tal que el extremo de r A coincida con el origen de r B , con lo que la suma de ambos se puede obtener gráficamente uniendo el origen de r A con el extremo de r B , como ya sabemos. A esta resultante le denominaremos r R . A X Y AX AY BBY BX R RY RX Fig 2. 16 Suma de vectores y sus componentes Entonces las componentes de r R son la suma aritmética de las componentes de los vectores r r A y B . = +X X XR A B = +Y Y YR A B Por lo que: = + + + r X X Y Y ˆ ˆR (A B )i (A B )j
  7. 7. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 70 Si el vector estuviese en el espacio, por extensión, se encuentra que: = + + + + + r X X Y Y Z Z ˆ ˆ ˆR (A B )i (A B )j (A B )k Esta expresión es válida para la suma de varios vectores, pues en ese caso a cada dimensión se le agregarán los términos correspondientes a las componentes de los nuevos vectores. Del mismo modo, la expresión permite restar vectores, pues como hemos visto, la resta corresponde a la suma del opuesto. Ejemplo 2.1 Sean los siguientes vectores: = + + r ˆ ˆ ˆA 3i 4j 2k ; = + r ˆ ˆ ˆB i 3j - 5k Encontrar: a) + r v A B b) − r v A B c) r 2A Solución: a) ( ) ( ) ( )+ = + + + + r r ˆ ˆ ˆA B 3 1 i 4 3 j 2 - 5 k + = + r r ˆ ˆ ˆA B 4i 7j - 3k Pues la resultante se obtiene sumando las componentes respectivas. b) ( ) ( ) ( )+ = − + − + + r r ˆ ˆ ˆA (- B) 3 1 i 4 3 j 2 5 k + = + + r r ˆ ˆ ˆA (-B) 2i j 7k Pues la resta no es más que la suma del opuesto. c) = + + r ˆ ˆ ˆ2A 6i 8j 4k 2.1.15 Notación polar. En muchas ocasiones nos veremos enfrentados a la necesidad de calcular o referirnos a los vectores en función de su magnitud y dirección directamente. Para ello recurriremos a la notación polar, que da cuenta de su magnitud a través de su módulo y a su dirección a través de un ángulo respecto de una recta de referencia. Consideremos un vector en el plano coordenado cartesiano, como se ve en la figura siguiente: A X Y AX AY θ Fig 2. 17 Componentes cartesianas y polares La dirección y sentido del vector pueden indicarse a través de un ángulo, que usualmente es el ángulo entre el vector y el semieje positivo de la abscisa y su magnitud, a través del módulo del vector; analíticamente: r A =(A,θ)
  8. 8. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 71 Las componentes cartesianas se pueden encontrar fácilmente a través de las polares mediante las expresiones: AX = A cos θ AY = A sen θ Del mismo modo, conocidas las componentes cartesianas, se pueden calcular las polares a través de las expresiones: A2 = AX 2 + AY 2 θ= arctg Y X A A Ejemplo 2.2 Sea r A un vector de módulo 5 y dirección 37º respecto de +X situado en el plano XY. Encontrar sus componentes cartesianas. Solución: Se tiene que A=5 y θx=37º. Por tanto: AX=5cos37º=5(0,8)=4 AY=5sen37º=5(0,6)=3 Si suponemos que el origen está en el punto (0,0) del sistema de coordenadas, entonces el extremo del vector estará en el punto (4,3) X Y 4 3 37º A = 5 Fig 2. 18 Representación gráfica del vector del ej. 2.2 Note que si el origen del vector estuviera por ejemplo, en el punto (2,1), entonces el extremo estaría en el punto (6,4) pues sus componentes cartesianas son AX=4 y AY=3. Fig 2. 19 Componentes del vector del ej. 2 Ejemplo 2.3 Sea r B un vector cuyas componentes cartesianas son BX=10 y BY=5 situado en el plano XY. Encontrar su magnitud y dirección. Solución: Se tiene que Bx=10 y BY=5. Por tanto: B2 =102 +52 ; B = 11,2 ⎛ ⎞ θ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 rctg 26,6º 10 1 4 62 3 4 X Y
  9. 9. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 72 2.1.16 En el espacio En el espacio la dirección queda determinada cuando se conocen los ángulos respecto de los tres ejes. La figura siguiente muestra los ángulos directores: Fig 2. 20 Un vector en el espacio. Aquí se ve que los ángulos directores θX, θY, θZ determinan la dirección. La magnitud corresponde el módulo del vector (A). El vector se puede representar analíticamente a través de su módulo A y de sus ángulos directores θX; θY; θZ Muy importantes son las siguientes relaciones extraídas de la figura anterior: cos θX = XA A cos θY = YA A cos θZ = ZA A Denominados cosenos directores, permiten calcular las componentes cartesianas a partir de la magnitud y los ángulos directores, pues de ellos se tiene: AX = A cos θX AY = A cos θY AZ = A cos θZ Dadas las componentes cartesianas se pueden conocer la magnitud y los ángulos directores a través de las siguientes relaciones, provenientes también de los cosenos directores: θX = arccos XA A θY = arccos YA A θZ = arccos ZA A El módulo se puede calcular a través de la expresión: A2 =AX 2 +AY 2 +AZ 2 Ejemplo 2.4 Consideremos el vector = + r ˆ ˆ ˆC 3i - 6j 2k ubicado en el espacio coordenado cartesiano. Encontrar su magnitud y dirección. Solución: Se tiene que CX=3, CY=-6 y CZ=2 . Podemos calcular su magnitud: C2 =32 +(-6)2 + 22 = 49 Por lo tanto su magnitud es: C=7 Y sus direcciones:
  10. 10. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 73 θx=arcos 3 7 =64,6º θy=arcos −6 7 =149 º θz=arcos 2 7 =73,4º 2.1.17 Productos entre Vectores. Existen dos formas de multiplicar vectores, siendo una denominada producto escalar (interno o de punto) y la otro producto vectorial (exterior o de cruz), puesto que ofrecen como resultado un escalar y un vector respectivamente. Producto Escalar. Dados dos vectores r A y r B , su producto escalar se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. r A • r B =ABcosθ (π≥θ≥0) La definición de producto escalar tiene aplicaciones muy relevantes, pues permite expresar magnitudes muy importantes para la física en forma muy sencilla. Las propiedades del producto escalar son: 1.- = r r r r A •B B • A (Conmutatividad) 2.- ( )+ = + r rr r r r r A • B C A • B A • C (Distributividad respecto de la suma). 3.- ( ) ( ) ( )= = r r r r r r m A •B mA • B A • mB siendo m un escalar. Aplicaciones: 1.- = r r 2 A • A A El producto escalar entre un vector y si mismo, constituye el cuadrado del vector, y corresponde al cuadrado de su módulo. Esto se debe a que si aplicamos la definición, tenemos: r A • r A =AAcos0º=AA(1)=A2 2.- •ˆ ˆi i =1 •ˆ ˆj j =1 •ˆ ˆk k =1 Por las razones expuestas en el punto 1. 3.- Si dos vectores son perpendiculares, entonces según la definición se tiene: r A • r B =ABcos90º=AB(0)= 0 Esta es condición de perpendicularidad. 4.- De acuerdo a lo anterior, entonces: •ˆ ˆi j =0 ˆj • ˆk =0 ˆi • ˆk =0 pues los vectores unitarios ˆi , ˆj , ˆk forman un sistema trirectangular. 5.- Ahora estamos en condiciones de encontrar una expresión que permita multiplicar escalarmente dos vectores expresados en coordenadas cartesianas. Sean los vectores:
  11. 11. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 74 = + + r x y z ˆ ˆ ˆA A i A j A k ; = + + r x y z ˆ ˆ ˆB B i B j B k Si queremos multiplicarlos escalarmente, tenemos, recordando la propiedad de distributividad del producto escalar respecto de la suma de vectores: ( ) ( )= + + + + r r x y z x y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA •B A i A j A k • B i B j B k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + + + + + + r r x x x y x z y x y y y z z x z y z z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA •B A B i • i A B i • j A B i • k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B j • i A B j • j A B j • k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B k • i A B k • j A B k • k Por tanto: = + + r r x x y y z zA •B A B A B A B Ejemplo 2.5 Sean los vectores: = + + r ˆ ˆ ˆA 3i 4j 2k ; = + r ˆ ˆ ˆB i 3j - 5k . Encontrar su producto escalar. Solución: De acuerdo a la definición, se tiene: r r A •B =(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5 Ejemplo 2.6 Dados los vectores del ejercicio anterior, calcular el ángulo entre ellos. Solución: De acuerdo a la definición de producto escalar, se tiene que: r r A •B =ABcos θ Donde θ  es el ángulo entre los vectores que nos solicitan. Por lo tanto: θ=arcos • r r A B AB note que aquí AB es el producto entre las magnitudes de los vectores r A y r B respectivamente. Entonces: A2 =32 +42 +22 A=5,4 B2 =12 +32 +(-5)2 B=5,9 r r A •B =5 según el ejercicio 2.5. Así que: θ=arcos ( )( ) 5 5,4 5,9 =arcos0,16=81º Producto Vectorial Sean los vectores r A y r B ; entonces su producto vectorial se define como: r A X r B = (ABsenθ) ˆu  (π≥θ≥0) Donde A y B son las magnitudes de los vectores r A y r B respectivamente; θ es el ángulo que forman ambos vectores y ˆu es un vector unitario cuya dirección es perpendicular al plano que forman r A y r B .
  12. 12. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 75 θ B u A A X B Fig 2. 21 Producto vectorial Entonces el vector × r r A B es un vector libre, perpendicular al plano AB, cuya magnitud es (A B sen θ) . Los vectores r A , r B y × r r A B forman un trío a derechas (un sistema dextrosum), lo que quiere decir que la dirección × r r A B es la que indica el dedo pulgar de la mano derecha cuando esta se cierra desde el vector r A hacia el vector r B , en el plano AB. B A A X B Fig 2. 22 Regla de la mano derecha. Las propiedades del producto vectorial son: 1.- × r r A B = − × r r B A Anticonmutatividad 2.- × + = × + × r rr r r r r A (B C) A B A C Distributividad respecto de la suma). 3.- m( × r r A B )=(m r A )x r B = r A x(m r B ) siendo m un escalar Aplicaciones: 1.- Si los vectores r A y r B son paralelos, entonces, por definición: × r r A B =(ABsenθ) ˆu = r 0 Esta es condición de paralelismo. 2.- ˆi X ˆi = r 0 ; ˆj X ˆj = r 0 ; ˆk X ˆk = r 0 Según la aplicación anterior. 3.- También se tiene aplicando la definición que: ˆi X ˆj ={(1)(1)(sen90º)} ˆk = ˆk ˆj X ˆk ={(1)(1)(sen90º)} ˆi = ˆi ˆk X ˆi ={(1)(1)(sen90º)} ˆj = ˆj Y según la propiedad de anticonmutatividad: ˆj X ˆi =- ˆk ˆk X ˆj =- ˆi ˆi X ˆk =- ˆj El gráfico siguiente resume lo encontrado, proporcionando además una buena forma de recordarlo en el futuro.
  13. 13. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 76 Fig 2. 23 Producto vectorial entre versores. Note que el producto vectorial entre 2 versores es el tercer versor, y es positivo cuando el producto sigue la dirección de las flechas en el gráfico, es decir, cuando el sentido es contrario al movimiento de las manecillas de un reloj (sentido antihorario). 4.- Ahora estamos en condiciones de encontrar una expresión que permita encontrar el producto vectorial para vectores que están expresados en función de sus componentes rectangulares (cartesianas) y sus respectivos versores. Sean los vectores: r A =AX ˆi +AY ˆj +AZ ˆk y r B =BX ˆi +BY ˆj +BZ ˆk . Si queremos multiplicarlos vectorialmente, tenemos, recordando la propiedad de distributividad del producto vectorial respecto de la suma de vectores: × r r A B =(AX ˆi +AY ˆj +AZ ˆk )X(BX ˆi +BY ˆj +BZ ˆk ) =AXBX( ˆi X ˆi )+AXBY( ˆi X ˆj )+AXBZ( ˆi X ˆk )+ +AYBX( ˆj X ˆi )+AYBY( ˆj X ˆj )+AYBZ( ˆj X ˆk )+ +AZBX( ˆk X ˆi )+AZBY( ˆk X ˆj )+AZBZ( ˆk X ˆk ) reemplazando los productos vectoriales entre paréntesis, se tiene: × r r A B =AXBY ˆk +AXBZ(- ˆj )+AYBX(- ˆk )+ +AYBZ ˆi +AZBX ˆj +AZBY(- ˆi ) × r r A B =(AYBZ–AZBY) ˆi +(AZBX–AXBZ) ˆj + +(AXBY-AYBX) ˆk Que equivale al desarrollo del determinante siguiente: = r r x y z x y z ˆ ˆ ˆi j k AxB A A A B B B 5.- La magnitud del producto vectorial es numéricamente igual que el área del paralelógramo formado por los vectores multiplicados y las paralelas que pasan por sus extremos. Para mostrar esto, consideraremos la figura siguiente, que muestra dos vectores unidos por el origen y las paralelas a ellos. θ B A ABsenθ Asenθ B Fig 2. 24 Área del paralelogramo formado por 2 vectores. i k j
  14. 14. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 77 El área de este paralelógramo se calcula multiplicando la base (B) por la altura (Asenθ): Area=BAsenθ Que es igual a la magnitud del producto vectorial entre los vectores r A y r B . Note que el área del triángulo formado por los vectores y alguna de sus diagonales es justamente la mitad del área calculada. Ejemplo 2.7 Encontrar el producto vectorial entre los vectores: = + + r ˆ ˆ ˆA 3i 4j 2k ; = + r ˆ ˆ ˆB i 3j - 5k . Solución: de acuerdo a la definición se tiene: × = − r r ˆ ˆ ˆi j k A B 3 4 2 1 3 5 ( ) ( ) ( )= − − − + − r r ˆ ˆ ˆAXB -20 - 6 i 15 2 j 9 4 k = + + r r ˆ ˆAXB -26i 17j 5k Ejemplo 2.8 Encontrar un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores del ejemplo 7. Solución: Según la definición de producto vectorial se tiene que: = r r r r ˆAXB AXB u De donde: × = × r r r r A B ˆu A B = + + + + ˆ ˆ ˆ-26i 17j 5k 676 289 25 + + = = − + + ˆ ˆ ˆ-26i 17j 5 k ˆ ˆ ˆˆu 0,83i 0,54 j 0,16k 31,5 Que es el vector solicitado, cuya magnitud es 1 y dirección es la del vector × r r A B .
  15. 15. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 78 2.1.18 Ejercicios resueltos. Ejercicio 2.1.- Dos vectores r A y r B de 3 y 5 unidades de magnitud respectivamente, forman un ángulo de 37º. Determine analíticamente la magnitud de la resultante y de la diferencia entre ambos vectores. Solución: La resultante ( = + r r r R A B ) así como la diferencia o la suma del opuesto ( = r r r D A -B ) se puede ver en forma gráfica en la figura siguiente: A 37º A B B R=A+B 37º A B D=A- B 37º 180º - 37º Entonces aplicando el teorema del coseno R2 =A2 +B2 –2ABcos(180º-37º) R2 =9+25–2(3)(5)(- 0,8) R=7,6 y la diferencia es: D2 =A2 +B2 –2ABcos(37º) D2 =9+25–2(3)(5)(0,8) D=3,2 Ejercicio 2.2.- Hallar el vector resultante entre los vectores r A y r B de 3 y 4 unidades de magnitud respectivamente, que forman un ángulo de 60º entre ellos. Solución: En la siguiente figura se observan los vectores y sus ángulos: θ B A 120º R=A+B La magnitud de la resultante se puede calcular con el teorema del coseno: R2 =A2 +B2 –2ABcos120º R2 =14+9–2(4)(3)cos 120º R=6,1 El ángulo entre la resultante y el vector r A se puede calcular con el teorema del seno: sen sen120º A R θ = θ = sen 0,87 3 6,1 θ=arcsen0,43=25,5º
  16. 16. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 79 Ejercicio 2.3.- Un avión se mueve hacia el norte con una rapidez de 30 Km h , cuando es sometido a la acción del viento que sopla con rapidez de 40 Km h en dirección este. Encontrar el movimiento resultante del avión. Solución: En este problema se trabaja con la magnitud vectorial denominada velocidad. Para nosotros sin embargo, solo será un vector en este momento, y por tanto, la velocidad resultante no será más que la suma de los vectores velocidad correspondiente al movimiento del avión propiamente tal, y la velocidad del viento. En la siguiente figura se ilustra el ejemplo: V VV VA θ E N VA = velocidad del avión VV = velocidad del viento Entonces el vector velocidad del viento será el vector: = r v Km ˆV 40 i h mientras que la velocidad del avión será: = r A Km ˆV 30 j h si consideramos que el plano geográfico es el plano cartesiano XY. De esta manera, la resultante debe ser: ( )= + r Kmˆ ˆV 40i 30j h Cuya magnitud es V2 =(40 Km h )2 + (30 Km h ) 2 V=50 Km h . Que es la rapidez resultante con que se moverá realmente el avión. La dirección de la velocidad resultante será: θ=arctg A V V V =arctg 30 kph 40 kph =36,9º Es decir, la velocidad resultante tiene una dirección de 36,9º medidos desde el este hacia el norte (E36,9ºN). Ejercicio 2.4.- Otra magnitud física vectorial interesante es el denominado desplazamiento. Por desplazamiento se entiende el vector de posición que une los puntos inicial y final de un movimiento, sin importar la forma del camino recorrido entre ambos. Supongamos que dos personas caminan perdidas por un desierto plano y hostil de manera tal que finalizado cada día anotan en su diario de viaje lo siguiente:
  17. 17. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 80 • Día 1: caminamos 30 kilómetros en línea recta hacia el norte; no encontramos agua. • Día 2: hoy solo hemos logrado caminar 20 kilómetros en línea recta, en dirección norte 37º hacia el este (N37ºE); nos encontramos extenuados. No encontramos agua. • Día 3: Por fin hemos encontrado agua. El feliz hecho ocurrió hoy a las 16:00 horas, luego de caminar en línea recta durante 20 kilómetros hacia el sur. Nos encontramos a salvo. El relato anterior puede traducirse en términos de los desplazamientos diarios y del desplazamiento final en forma analítica: 53º D1 D2 D3 R N (Y) E (X) Entonces los desplazamientos diarios son: r 1D =30Km ˆj r 2D =20Km cos53º ˆi +20Km sen53º ˆj r 2D =12Km ˆi +16Km ˆj r 3D =20Km(- ˆj ) Por tanto, el desplazamiento resultante es = + + r r r r 1 2 3R D D D = + r ˆ ˆR 12Kmi 26Kmj ´ Cuya magnitud es: R2 =(12Km)2 +(26Km)2 R=28,6Km y cuya dirección es: θ=arctg 26 Km 12 Km =arctg2,17=65,3º En otras palabras, si nuestros viajeros hubiesen sabido la ubicación del pozo de agua, habrían caminado solo 28,6Km en línea recta, en dirección E65,3ºN. Ejercicio 2.5.- Encontrar el valor de a, de forma que r A y r B sean perpendiculares. = + + r ˆ ˆ ˆA 2i aj k ; = r ˆ ˆ ˆB 4i - 2j - 2k Solución: La condición de perpendicularidad es que el producto escalar entre ambos debe ser cero: A r • r B =8–2a–2=0 De donde se obtiene a = 3
  18. 18. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 81 Ejercicio 2.6.- Hallar la proyección del vector = + r ˆ ˆ ˆA i - 2j k sobre el vector = + r ˆ ˆ ˆB 4i - 4j 7k Solución: En la figura se observa la proyección pedida θ B A AB =Acos θ De la definición de producto escalar se tiene que: = θ r r A •B ABcos Que se puede escribir como: = r r BA •B A B Ya que AB=Acosθcomo se observa en la figura anterior. En consecuencia: + + = = r r B A •B 4 8 7 A B 9 =2,1 Ejercicio 2.7.- Dados los vectores = r ˆ ˆA 2i - j ; = + r ˆ ˆB i k y = + r ˆ ˆC j k , determinar: a) Un vector unitario en la dirección del vector + rr r A B - 3C . b) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores r B y r C . c) Área del paralelogramo formado por r A y r B . Solución: a) + = = = + ++ rr r rr r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA B - 3 C 3i - 4j - 2k 3i - 4j - 2k ˆu 5,399 16 4A B - 3C ˆu =0,56 ˆi –0,74 ˆj –0,37 ˆk b) = = = + rr r ˆ ˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆP BxC 1 0 1 -i - j k 0 1 1 c) El Área es el módulo del producto vectorial entre r A y r B , por tanto: × = = + r r ˆ ˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆA B 2 -1 0 -i - 2j k 1 0 1 = r r AXB 2,4 Ejercicio 2.8.- Dados los siguientes vectores: = + + r ˆ ˆ ˆA 3i 2j 2k ; = + r ˆ ˆ ˆB i - 3j 4k y = + r ˆ ˆ ˆC 2i 3j - k . a) Determine analíticamente si r A y r B son o no perpendiculares.
  19. 19. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 82 b) Calcular ( ) rr r A • BXC Solución: a) Para ser perpendiculares deben cumplir con la condición r r A •B =0 r r A •B =3–6+8=5 Luego no son perpendiculares. b) La única interpretación posible de este producto, denominado producto triple (y que geométricamente representa el volumen del paralelogramo cuyas aristas son los vectores r A , r B y r C ) es la operación ( ) rr r A • BXC ) pues se tiene el producto escalar entre los vectores r A y ( ) rr BXC . En cambio la operación ( ) rr r A • BXC no está definida pues es la multiplicación vectorial entre un escalar ( r r A •B ) y un vector ( r C ). Recordemos que el producto vectorial está definido entre vectores. Por tanto: − = − + + − rr ˆ ˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆBxC= 1 3 4 9i 9j 9k 2 3 1 ( ) ( )= + + − + + rr r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA •BXC 3i 2j 2k • 9i 9j 9k = + + = rr r A •BXC -27 18 18 9 Ejercicio 2.9.- Hallar los productos siguientes: a) ˆ ˆ2jX3k b) ( )ˆ ˆ3iX -2k c) ( )ˆ ˆ ˆ2jXi - 3k Solución: a) =ˆ ˆ ˆ2jX3k 6i b) ( ) ( )( )= =ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3iX -2k 3 -2 iXk 6k c) ( ) ( )= − = −ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2jXi - 3k 2 -k 3k 5k Ejercicio 2.10.- Demostrar que los vectores: = + r ˆ ˆ ˆA 2i j - 4k ; = + r ˆ ˆ ˆB i - 3j 5k y = + r ˆ ˆ ˆC 3i - 2j k forman un triángulo rectángulo. Solución: En primer lugar hay que demostrar que forman un triángulo, para lo que se necesita que la resultante de dos de ellos sea el tercero o que la resultante de los tres sea el vector nulo, como se ve en la figura siguiente. C A B C A B A + B = C A + B + C = 0
  20. 20. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 83 En segundo lugar, para que sea rectángulo, el producto escalar entre dos de ellos debe ser nulo. En nuestro ejemplo, + = rr r A B C por lo que son un triángulo y rr A • C =6–2–4= 0 por lo que r A ⊥ r C . Ejercicio 2.11.- Deducir el teorema del seno. Solución: Suponer un triángulo formado por los vectores de la figura. C A B θAB θCA θBC α β γ Entonces + + = rr r r A B C 0 Multiplicando vectorialmente por r A : + + = rr r r r r r r AxA AXB AXC AX0 + = rr r r r AXB AXC 0 ( i ) Si la multiplicamos vectorialmente por r B : + + = rr r r r r r r BXA BXB BXC BX0 + = rr r r r BXA BXC 0 ( ii ) si la multiplicamos vectorialmente por C r : + + = r r r rr r r CXA CXB CXC 0 + = r rr r r CXA CXB 0 ( iii ) De (i): = rr r r AXB CXA De (ii): rr r r BXA=CXB De (iii): = r rr CXA BXC Pues el producto vectorial es anticonmutativo. De donde se tiene: = = r rr r r r AXB CXA BXC Es decir: AB senθAB ˆu =CA senθCA ˆu =BC senθBC ˆu por igualdad de vectores, se tiene: AB sen θAB = CA sen θCA = BC sen θBC y debido a que sen (180-θ)=senθ: AB senγ=CA senβ=BC senα Dividiendo por ABC: γ β α = = sen sen sen C B A Conocido con el nombre de teorema del seno.
  21. 21. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - http://fisicageneral.usach.cl 14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl 84 Ejercicio 2.12.- Deducir el teorema del coseno. Solución: Suponer que se tiene un triángulo formado por los vectores de la figura. C A B β Entonces: = r r r C A -B Elevando al cuadrado la expresión: ( ) ( )= r r r r r r C• C A -B • A -B ( ) ( ) ( ) ( )= + r r r r r r r r r r C• C A • A - A •B - B • A B •B ( ) ( ) ( )= + r r r r r r r r C• C A • A - 2 A •B B •B C2 =A2 +B2 –2ABcosβ Conocido como teorema del coseno.

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