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Operador anulador

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  • 1. OPERADOR ANULADOR G E R M AN E D U A R D O AC E V E S G O M E Z 1 1 3 1 0 0 0 3 B : 2 0 9
  • 2. METODO ANULADORSe dice que L es un anulador de la función; por ejemplo, unafunción constante como y = k es anulada por D porque Dk = 0.La función y = x es anulada por el operador diferencial porque laprimera y segunda derivadas de x son 1 y 0, respectivamente. Enforma similar, , etcétera.El operador diferencial anula cada una de las siguientesfunciones:
  • 3. Como consecuencia inmediata de la ecuación y del hecho de que ladiferenciaciónse puede llevar a cabo término a término, un polinomioSe puede anular definiendo un operador que anule la potencia máximade x. Las funciones que anula un operador diferencial lineal L de ordenn son aquellas que se pueden obtener de la solución general de laecuación diferencial homogénea .
  • 4. FACTORIZACION DE OPERADORES• Factorización de operadores Cuando las ui, i = 0, 1, . . . , n son constantes reales, se• puede factor-izar un operador diferencial lineal (2) siempre que se factorice el polinomio• característico u,m” + un-lm”-’ + . . . + ulm + UO. En otras palabras, si 1-1 es una raíz de la ecuación}
  • 5. FACTORIZACION DE OPERADORESentonces L = (D -), donde la expresión polinomial P(D) es unoperador diferencial linealde orden n - 1; por ejemplo, si manejamos D como una cantidadalgebraica, el operador ti +SD + 6 se puede factorizar como (D + 2)(D + 3) o bien (D +3)(D + 2). Así, si una función y =f(x) tiene segunda derivada,(ll* + SD + 6)y = (D + 2)(D + 3)y = (D + 3)(D + 2)=y
  • 6. Operador anulador Si L es un operador diferencial concoeficientes constantes y f esuna función suficientemente diferenciable tal que Jww = 0,se dice que L es un anulador de la función; por ejemplo, unafunción constante como y = kes anulada por D porque Dk = 0. La función y = x es anuladapor el operador diferencial D2porque la primera y segunda derivadas de x son 1 y 0,respectivamente. En forma similar,D3x2 = 0 etcétera.
  • 7. FUSIONES ANULADORAS• CON ESTE CUADRO NOS PODEMO DAR CUENTA CUALES SON LAS FUNSIONES POSIBLES ANULADAS
  • 8. EJEMPLO:Determine un operador diferencial que anule a 5e” cos 2x - 9e”sen 2x.
  • 9. Y CONCLUIMOS Q:El operador diferencial que anula a una función noes único. En la parte b) del ejemplo 1 señalamosque D + 3 anula a ev3’, pero también la anulanoperadores diferenciales de orden superior,siempre que D + 3 sea uno de los factores deloperador; por ejemplo, (D + 3)(D + l), (D + 3)* yD~(D + 3) anulan, todos, a ee3’. Para este curso,cuando busquemos un anulador deuna función y =f(x) obtendremos el operador delorden mínimo posible que lo haga.
  • 10. CONCENTRATE