MÉTODOS ESTATÍSTICOS    E NUMÉRICOS          UNIDADE 10 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS                     ÍNDICE   IES Isidro P...
CONTIDOSTipos de estimación.Estimación puntual.Características dos estimadores puntuais.Estimadores puntuais: media mostra...
IntroduciónObserva estes tres problemas, correspondentes a situaciónsparecidas pero moi distintas: Problema 1:            ...
Introdución Problema 2: A idade media dunha mostra de 80 alumnos/as que se presentan aselectividade é de 18.1 anos. Cal é ...
Introdución Problema 3: Está admitido como certo que a idade media dos alumnos/as que sepresentan á selectividade é de 18....
IntroduciónNota :Ao traballar con mostras, hai que diferenciarentre:Os parámetros observados na mostra,chamados parámetros...
Introdución  Estimación de Parámetros                                                                                     ...
1. Tipos de estimación                           Puntual:                           Trátase de estimar un parámetro da pob...
2. Estimación puntualEstimación puntual: Ao estimar un parámetro poboacional por estimación puntual poden considerarse, en...
2. Estimación puntual Para controlar a fiabilidade da estimación proporcionada por un estatístico, definimos o concepto de...
2. Estimación puntualExemplo: Nun edificio viven 6 nenos de idades:Nenos     Celia            Raquel              María   ...
2. Estimación puntual Podemos polo tanto coñecer a idade media da poboación de nenos do edificio que sería:              μ...
2. Estimación puntual       Para controlar a fiabilidade da estimación, recorremos ao estudo do seguinte       estimador: ...
2. Estimación puntual                                                    xi                       p( X =xi)               ...
3. Características dos estimadores puntuais Nun estimador considéranse desexables as seguintes características:•     Ausen...
3. Características dos estimadores puntuaisAusencia de nesgo Observa as seguintes figuras onde se representa o valor real ...
3. Características dos estimadores puntuais No primeiro caso os valores do estimador están arredor de λ mentres no segundo...
3. Características dos estimadores puntuais Exemplo:  Lembrades o exemplo de estimador que puxemos ? Fixádevos no valor da...
3. Características dos estimadores puntuais Se no noso exemplo calculamos a esperanza do estimador X obtemos:   μX = ∑ xi ...
3. Características dos estimadores puntuaisEficiencia dun estimadorPero observa agora os valores que toman estes dous esti...
3. Características dos estimadores puntuais Loxicamente nos quedariamos co segundo, pois os valores que toma o estatístico...
3. Características dos estimadores puntuaisExemplo:Os 4 fillos dunha familia estudan 1,2,3,4 horas diariasrespectivamente....
3. Características dos estimadores puntuaisAs posibles mostra de tamaño 3daríannos os seguintes resultados:Calculemos as e...
3. Características dos estimadores puntuaisCal é máis eficiente? Pois aquel que teña menor varianza. Ao calculalas podemos...
3. Características dos estimadores puntuaisConsistencia dun estimador Intuitivamente canto maior é a mostra elixida, máis ...
3. Características dos estimadores puntuaisConclusión:Un estimador é bo se é non esguellado, omáis eficiente posible e con...
4. Estimadores puntuais: media mostral eproporción mostral A elección do estimador máis axeitado en cada caso excede o niv...
4. Estimadores puntuais: media mostral eproporción mostral Exemplo 1: Das 25 aulas dun centro educativo escolléronse 5 aoc...
4. Estimadores puntuais: media mostral eproporción mostralSolución:Estimaríamos o nº medio de alumnos por aula nocentro es...
4. Estimadores puntuais: media mostral eproporción mostralExemplo 2:Entre os estudantes dunha cidade escolléronse150 ao az...
4. Estimadores puntuais: media mostral eproporción mostralSolución:A proporción mostral é un bo estimador daproporción pob...
5. Intervalo de confianzaA estimación puntual serve de pouco mentresdescoñezamos cal é o grao de aproximación entre oesta...
5. Intervalo de confianza Por este motivo recórrese á estimación                                                  por inte...
5. Intervalo de confianza Supoñamos que para estimar unha media poboacional μ tomamos unha mostra de tamaño n e a partir d...
5. Intervalo de confianza Se construímos moitos intervalos de confianza para μ cun nivel de confianza do 90%              ...
5. Intervalo de confianzaNota: Como polo xeral só vamos a dispór dunha mostra, temos que contar (por exemplo cun 90% de co...
5. Intervalo de confianza Para o cálculo de intervalos de confianza é importante coñecer que é un intervalo característico...
5. Intervalo de confianzaIntervalos característicos en distribucións N(0,1)Exemplo:  Calcula o intervalo característico du...
5. Intervalo de confianza.                                                                                                ...
5. Intervalo de confianza      Vemos , entón, quep(Z≤k)=0.95      E recorremos átáboa da distribuciónN(0,1) para atopar o ...
5. Intervalo de confianza O intervalo característico para unha variable aleatoria Z que segue unha distribución normal N(0...
5. Intervalo de confianzaIntervalos característicos en distribucións N(μ,σ)Sexa X unha variable aleatoria que segue unhadi...
5. Intervalo de confianza Multiplicando toda a desigualdade pola desviación típica σ e sumando a toda a desigualdade a esp...
5. Intervalo de confianzaO método pivotal para o cálculo de intervalos de confianzaFixado un nivel de confianza p=1-α (0 <...
5. Intervalo de confianza3 Transformación do enunciado probabilístico: Se é posible despexar da expresión anterior, transf...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Método pivotal aplicado ao cálcul...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza1 Elección do estatístico pivotal ...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza    Temos entón    c1 − μ         ...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaConclusión:Deséxase estimar a medi...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Vexamos o feito nun exemplo concr...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaPartimos da seguinte situación: Po...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaEmpregaremos o método pivotalPolo ...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Para poder atopar dito intervalo ...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza                                  ...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Empregamos as táboas da N(0,1) pa...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaVolvendo ao problema orixinal  c1...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza  Restando μ á desigualdade :  p(-...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaOutra maneira de enfocalo:X variab...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaExemplo 2:Co fin de investigar o c...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaSOLUCIÓNX = cociente intelectual d...
6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzaTipificamos  c − 64 X − 64 c2 − ...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Tamén o podes resolver simplement...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaSolución:Neste caso pídese un inte...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Calculamos zα/2 , o valor crítico...
6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzaCalculamos x     41.48 + 42.34 + ...
6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Na seguinte páxina de internet te...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza Intervalo de confianza para a...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaDistinguiremos dous casos:Se ...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaSe a mostra é pequena n < 30: ...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza A distribución t de Studentco...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza 2 Formulación do enunciado pr...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza3 Transformación do enunciado ...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza Se a mostra é grande n ≥ 30 ...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaConclusión: Deséxase estimar a...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaSe o tamaño da mostra é n≥30, ...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaExemplo1:Nunha multinacional d...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaSolución:Neste caso pídese un ...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza                              ...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza Calculamos c, o valor crítico...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaO intervalo de confianza será:...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaExemplo 2:Para analizar o peso...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza          IES Isidro Parga Pon...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaSolución:Neste caso pídese un ...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaCalculamos x :                ...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza Calculamos zα/2 , o valor crí...
7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaO intervalo de confianza será:...
8. Intervalo de confianza para a proporción Intervalo de confianza para a proporción. Desexamos atopar un intervalo de con...
8. Intervalo de confianza para a proporción O método pivotal 1 Elección do estatístico pivotal: Para iso recórrese a unha ...
8. Intervalo de confianza para a proporción2 Formulación do enunciado probabilístico: Trataremos de atopar un intervalo ca...
8. Intervalo de confianza para a proporción3 Transformación do enunciado probabilístico:Facendo as operacións seguintes na...
8. Intervalo de confianza para a proporciónConclusión: Deséxase estimar a proporción p , de individuos cunha certa caracte...
8. Intervalo de confianza para a proporciónExemplo: Para estudar a proporciónde estudantes quepracticaban football,tómase ...
8. Intervalo de confianza para a proporción Queremos estimar a proporción de estudantes que practican football, polo que t...
8. Intervalo de confianza para a proporción Calculamos zα/2 , o valor críticopara unha distribución N(0,1)correspondente a...
8. Intervalo de confianza para a proporción          O intervalo de confianza  para a proporción de estudantes  que xogan ...
9. Intervalo de confianza para a diferenza demediasIntervalo de confianza para a diferenza de medias. Desexamos atopar un ...
9. Intervalo de confianza para a diferenza demedias2 Formulación do enunciado probabilístico: Trataremos de atopar un inte...
9. Intervalo de confianza para a diferenza demedias3 Transformación do enunciado probabilístico     Facendo operacións na ...
9. Intervalo de confianza para a diferenza demediasConclusión: Deséxase estimar a diferenza de medias μ1-μ2 de dúas poboac...
9. Intervalo de confianza para a diferenza demediasExemplo:O tempo en minutos que tardan en reparar certo tipode avaría nu...
9. Intervalo de confianza para a diferenza demediasSolución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para a diferenza d...
9. Intervalo de confianza para a diferenzade medias Calculamos zα/2 , o valor críticopara unha distribución N(0,1)correspo...
9. Intervalo de confianza para a diferenza demediasO intervalo de confianza para a diferenza de medias quedaría :        ...
10. Intervalo de confianza para a varianza Intervalo de confianza para a varianza dunha distribución normal . Desexamos at...
10. Intervalo de confianza para a varianza2 Formulación do enunciado probabilístico:Trataremos de atopar un intervalo do e...
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
10.estimacióndeparámetros
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

10.estimacióndeparámetros

231 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
231
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2
Acciones
Compartido
0
Descargas
7
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

10.estimacióndeparámetros

  1. 1. MÉTODOS ESTATÍSTICOS E NUMÉRICOS UNIDADE 10 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS ÍNDICE IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas
  2. 2. CONTIDOSTipos de estimación.Estimación puntual.Características dos estimadores puntuais.Estimadores puntuais: media mostral e proporción mostral.Intervalo de confianza.Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianza.Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianza.Intervalo de confianza para a proporción.Intervalo de confianza para a diferenza de medias.Intervalo de confianza para a varianza dunha poboación normal.Erro máximo admisible.Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporción. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  3. 3. IntroduciónObserva estes tres problemas, correspondentes a situaciónsparecidas pero moi distintas: Problema 1: X A media de idade das alumnas e alumnos que se presentan á selectividadeé de 18.1 anos; e unha desviación típica de 0.5 anos. Eliximos ao azar unhamostra de 80 alumnos/as, cal é a probabilidade de que a media de idade damostra estea entre 17.9 e 18.3? Sabemos: Queremos saber: A media μ da poboación, que é 18.1 A media X dunha mostra. p(17.9< X <18.3)? Coñecemos a poboación e pretendemos deducir o comportamento dasmostras. Isto viuse no tema anterior baseándonos no teorema central dolímite. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  4. 4. Introdución Problema 2: A idade media dunha mostra de 80 alumnos/as que se presentan aselectividade é de 18.1 anos. Cal é a probabilidade de que a media de todosos alumnos que se presentan á selectividade estea entre 17.9 e 18.3 anos?Sabemos: Queremos saber:A media X dunha mostra: X X =18.1 A media μ da poboación. p(17.9<μ<18.3)? Coñecemos unha mostra, e pretendemos deducir aspectos da poboación.Pretendemos inferir ou estimar o valor da media poboacional a partir dovalor da media mostral. Este é o tema da presente unidade. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  5. 5. Introdución Problema 3: Está admitido como certo que a idade media dos alumnos/as que sepresentan á selectividade é de 18.1. Para comprobalo tomouse unha mostrade 80 alumnos/as que se presentan á selectividade e calculouse a súamedia, obtendo 18.3. É razoable admitir como válida a hipótese inicial deque μ=18.1?Sabemos: Queremos saber:A media dunha mostra: X =18.3 É admisible a afirmación de que a media da poboación é μ=18.1? Temos unha afirmación ou hipótese, pero sen garantías de certeza. Paracontrastalo, tomamos unha mostra, e a partir do resultado desta, decidimosse a hipótese é ou non é admisible. Este problema corresponde á chamada teoría da decisión ou contrastede hipótese que veremos na seguinte unidade IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  6. 6. IntroduciónNota :Ao traballar con mostras, hai que diferenciarentre:Os parámetros observados na mostra,chamados parámetros estatísticos ousimplemente estatísticos.Os parámetros reais correspondentes ápoboación, chamados parámetros poboacionaisou simplemente parámetros. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  7. 7. Introdución Estimación de Parámetros Parámetros: Parámetros poboacionais e Estatísticos Mostrais H to r m d laP b c n is g a a e o la io Media (µ ) 10 6 10 4 Varianza(σ 2) 10 2 Datos re u n ia 10 0 Desv. Est. (σ ) F cec 80(Poboación de Interese) 6 4 0 0 Etc. 20 0 -4 -2 0 C ss la e 2 4 Inferencias Histograma de la Muestra Mostraxe 16 Estatísticos: 14 12 Termo medio( X ) Frecuencia 10 Mostras 8 Varianza mostral(S2) 6 4 Desv. Est. mostral(S) 2 0 -4 -2 0 Clases 2 4 Etc. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  8. 8. 1. Tipos de estimación Puntual: Trátase de estimar un parámetro da poboación a partir dun estatístico obtido dunha mostra dela, dando un único valor como aproximación do parámetro poboacional. Tipos de Por intervalos de confianza:estimación: A partir dunha mostra aleatoria de tamaño n podemos estimar o valor dun parámetro da poboación dando un intervalo dentro do cal confiamos que estea o parámetro, intervalo de confianza, e calculando a probabilidade de que tal cousa ocorra; a dita probabilidade chamámoslle nivel de confianza. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  9. 9. 2. Estimación puntualEstimación puntual: Ao estimar un parámetro poboacional por estimación puntual poden considerarse, en principio, varios estatísticos. Exemplo: Para estimar a media poboacional μ podemos utilizar a media mostral x, pero tamén outros estatísticos, como mediana, moda... Debemos, polo tanto, facer un estudo para saber que estatístico proporciona unha estimación máis fiable do parámetro poboacional. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  10. 10. 2. Estimación puntual Para controlar a fiabilidade da estimación proporcionada por un estatístico, definimos o concepto de estimador: Chamamos estimador S dun parámetro poboacional λ a unha variable aleatoria que a cada unha das mostras dun certo tamaño n da poboación asócialle o valor dun estatístico dado con valores aproximados ao parámetro poboacional λ que desexamos estimar. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  11. 11. 2. Estimación puntualExemplo: Nun edificio viven 6 nenos de idades:Nenos Celia Raquel María Alex Marta XoánIdades 5 7 8 6 1 8 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  12. 12. 2. Estimación puntual Podemos polo tanto coñecer a idade media da poboación de nenos do edificio que sería: μ =(5+7+8+6+1+8)/6=5.83 Pero un veciño do edificio non coñece as idades de todos os nenos así que decide estimar cal é a idade media dos nenos do edificio preguntándolle a idade a tres dos nenos e calculando a media de idade de dita mostra. O parámetro media poboacional intenta estimarse mediante un estatístico dunha mostra de tres elementos que é a media mostral. Pero, o valor obtido deste xeito, realmente se aproxima á media poboacional? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  13. 13. 2. Estimación puntual Para controlar a fiabilidade da estimación, recorremos ao estudo do seguinte estimador: Experimento aleatorio = obtención dunha mostra de tamaño 3. Definimos unha variable aleatoria que a cada mostra de tres nenos asígnalle a idade media da mostra. X =idade media mostral dunha mostra de tamaño 3Mos Celia Celia Celia Celia Celia Celia Celia Celia Celia Celiatras Raquel e Raquel e Raquel e Raquel e María e María e María e Alex e Alex e Marta e María Alex Marta Xoán Alex Marta Xoán Marta Xoán Xoán x 6.67 6 4.33 6.67 6.33 4.33 7 4.33 6.33 4.67Mos Raquel Raquel Raquel Raquel Raquel Raquel María María María Alextras María e María e María e Alex e Alex e Marta e Alex e Alex e Marta e Marta e Alex Marta Xoán Marta Xoán Xoán Marta Xoán Xoán Xoán x 7 5.33 7.67 4.67 7 5.33 5 7.33 5.67 5 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  14. 14. 2. Estimación puntual xi p( X =xi) 4.33 3/20 Trátase dunha variable 4.67 2/20aleatoria discreta coa 5 2/20seguinte función masa de 5.33 2/20probabilidade 5.67 1/20 6 1/20 6.33 2/20 6.67 2/20 7 3/20 7.33 1/20 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  15. 15. 3. Características dos estimadores puntuais Nun estimador considéranse desexables as seguintes características:• Ausencia de nesgo• Eficiencia• Consistencia para considerar fiable a estimación correspondente. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  16. 16. 3. Características dos estimadores puntuaisAusencia de nesgo Observa as seguintes figuras onde se representa o valor real do parámetro poboacional a estimar λ e os valores que toman certos estimadores f(x)=8 correspondentes a certos tamaños de mostra e a certos estatísticos que f(x)=4 f(x)=0 Serie 1 poderiamos empregar. Serie 2 λ λ λ IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  17. 17. 3. Características dos estimadores puntuais No primeiro caso os valores do estimador están arredor de λ mentres no segundo caso a maior parte son maiores λ e no terceiro son maioritariamente menores ca λ. A nós interésanos que os valores do estimador se repartan ao redor de λ, coma no primeiro caso. Isto dáse cando a súa esperanza está próxima ao valor de λ e cando isto sucede dise que o estimador é non esguellado.Dise que un estimador S dun parámetro λ é non esguellado se asúa esperanza μS coincide con λ.Se μS< λ , dise que ten nesgo negativo (caso 3)Se μS> λ , dise que ten nesgo positivo (caso 2) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  18. 18. 3. Características dos estimadores puntuais Exemplo: Lembrades o exemplo de estimador que puxemos ? Fixádevos no valor da idade media da poboación denenos do edificio e nos valores que toma o estimador X f(x)=0 Serie 1que son as idades medias das mostras de tres Serie 2elementos que podemos tomar nesta poboación. Pensades que é ou non esguellado? 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 7.8 λ IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  19. 19. 3. Características dos estimadores puntuais Se no noso exemplo calculamos a esperanza do estimador X obtemos: μX = ∑ xi ⋅ pi = i 3 2 2 2 1 1 = 4.33 ⋅ + 4.67 ⋅ +5⋅ + 5.33 ⋅ + 5.67 ⋅ + 6⋅ + 20 20 20 20 20 20 2 2 3 1 1 + 6.33 ⋅ + 6.67 ⋅ +7⋅ + 7.33 ⋅ + 7.67 ⋅ = 20 20 20 20 20 = 5.83 = idade media dos nenos do edificio IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  20. 20. 3. Características dos estimadores puntuaisEficiencia dun estimadorPero observa agora os valores que toman estes dous estimadores f(x)=8non esguellados do mesmo parámetro poboacional λ. f(x)=4 Serie 1Cal cres ti que deberiamos empregar se queremos un resultado Serie 2fiable?. λ λ IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  21. 21. 3. Características dos estimadores puntuais Loxicamente nos quedariamos co segundo, pois os valores que toma o estatístico están máis concentrados arredor de λ. Isto ocorre cando a desviación típica do estimador é menor; e dise que dito estimador é máis eficiente. De entre dous estimadores, dicimos que é máis eficiente o que ten menor varianza ou desviación típica. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  22. 22. 3. Características dos estimadores puntuaisExemplo:Os 4 fillos dunha familia estudan 1,2,3,4 horas diariasrespectivamente. Se desexásemos estimar o nº medio de horas deestudo diario dos nenos desta familia mediante unha mostra detamaño 3, que estimador dos dous seguintes é máis eficiente?X =media mostral dunha mostra de tamaño3Me=mediana dunha mostra de tamaño 3. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  23. 23. 3. Características dos estimadores puntuaisAs posibles mostra de tamaño 3daríannos os seguintes resultados:Calculemos as esperanzas destas Mostras x Mevariables aleatorias (estimadores)para ver se teñen ou non nesgo (1,2,3) 2 2 μX = (2 + 2.33 + 2.67 + 3)/4 = 2.5 μMe = (2 + 2 + 3 + 3)/4 = 2.5 (1,2,4) 2.33 2O nº medio de horas de estudo dapoboación formada polos 4 nenos (1,3,4) 2.67 3era: μ = (1 + 2 + 3 + 4)/4 = 2.5 (2,3,4) 3 3Como μ = μX = μMe ambos estimadores son nonesguellados. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  24. 24. 3. Características dos estimadores puntuaisCal é máis eficiente? Pois aquel que teña menor varianza. Ao calculalas podemos ver que a media mostral ten unhavarianza máis baixa polo que é un estimador máiseficiente que a mediana. 1 1 1 1 σ X = ∑ xi ⋅ pi − x = 22 ⋅ 2 2 + 2.332 ⋅ + 2.67 2 ⋅ + 32 ⋅ − 2.52 = 0.13 i 4 4 4 4 2 1 1 σ Me = 22 ⋅ + 32 ⋅ − 2.52 = 0.25 2 2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  25. 25. 3. Características dos estimadores puntuaisConsistencia dun estimador Intuitivamente canto maior é a mostra elixida, máis próxima debería estar a estimación realizada dun parámetro ao valor real do parámetro. Dicimos que un estimador é consistente se a probabilidade de que estean moi próximos a estimación e o parámetro poboacional aumenta e tende a 1 ao incrementarse o tamaño da mostra. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  26. 26. 3. Características dos estimadores puntuaisConclusión:Un estimador é bo se é non esguellado, omáis eficiente posible e consistente. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  27. 27. 4. Estimadores puntuais: media mostral eproporción mostral A elección do estimador máis axeitado en cada caso excede o nivel deste curso. Abondará con saber:•A media poboacional μ aproxímase pola media mostral x A mediana . tamén é un estimador non esguellado para a media poboacional pero menos eficiente que a media mostral.•A varianza poboacional σ2 aproxímase pola cuasivarianza mostral ŝ2 que se define como: ˆ2 = n ⋅ s2 s n −1 Parece que o estimador máis adecuado debería ser a varianza mostral, pero pode demostrarse que non é así.•A proporción poboacional aproxímase por a proporción mostral.•A diferenza de medias de dúas poboaciones μ1-μ2 aproxímase pola diferenza de medias mostráis x1 − x 2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  28. 28. 4. Estimadores puntuais: media mostral eproporción mostral Exemplo 1: Das 25 aulas dun centro educativo escolléronse 5 aochou, e contouse o número de alumnos da clase,obténdose os seguintes resultados: 33, 27, 19, 34, 30.Estima o número total de alumnos do centro. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  29. 29. 4. Estimadores puntuais: media mostral eproporción mostralSolución:Estimaríamos o nº medio de alumnos por aula nocentro escolar calculando o nº medio dealumnos nas 5 aulas que se tomaron comomostra.Como a media mostral da (33+27+19+34+30)/5=28,6 consideramos que o nº medio de alumnospor aula no centro escolar é 28.6 e, polo tanto,estimariamos que o número total de alumnos nocentro escolar é de 25·28,6=715 alumnos IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  30. 30. 4. Estimadores puntuais: media mostral eproporción mostralExemplo 2:Entre os estudantes dunha cidade escolléronse150 ao azar e preguntóuselles se estaban deacordo co actual sistema de acceso áuniversidade. 40 responderon que si. Estímesea proporción de alumnos de dita cidade queestán de acordo co sistema de acceso áuniversidade. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  31. 31. 4. Estimadores puntuais: media mostral eproporción mostralSolución:A proporción mostral é un bo estimador daproporción poboacional, así que calculamos aproporción de alumnos da mostra queresponderon afirmativamente e considerámolacomo proporción poboacional. 40 de 150 é un 26,67% Estimamos que un 26,67% da poboación está de acordo co sistema de acceso á universidade. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  32. 32. 5. Intervalo de confianzaA estimación puntual serve de pouco mentresdescoñezamos cal é o grao de aproximación entre oestatístico mostral e o parámetro poboacional.A estimación puntual non nos indica o erro cometidoen dita estimación.O razoable na práctica é incluír, xunto á estimaciónpuntual do parámetro, un certo intervalo numéricoque mida a marxe de erro que, de acordo coasobservacións mostrais, poda ter dita estimación.A idea de intervalo de confianza é propór un rango devalores entre os que posiblemente se encontre overdadeiro valor do parámetro. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  33. 33. 5. Intervalo de confianza Por este motivo recórrese á estimación por intervalos. A partir dunha mostra de tamaño n podemos estimar o valor dun parámetro da poboación do seguinte modo: Dando un intervalo dentro do cal confiamos que estea o parámetro, chamado intervalo de confianza.•Calculando a probabilidade de que tal cousa ocorra. A dita probabilidade chámaselle nivel de confianza que se nomea como p=1-α sendo α o nivel de significación. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  34. 34. 5. Intervalo de confianza Supoñamos que para estimar unha media poboacional μ tomamos unha mostra de tamaño n e a partir dela construímos un intervalo de confianza ao 90% para μ. É dicir, o nivel de confianza é 0,9 e o nivel de significación 0,1.No intervalo calculado pode ou non estar realmente μ.Nin sequera podemos dicir que μ está no intervalocalculado cunha probabilidade do 90%.Só podemos falar de que o intervalo contén a μ cunhaconfianza do 90%. Que significa entón nivel deconfianza do 90%? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  35. 35. 5. Intervalo de confianza Se construímos moitos intervalos de confianza para μ cun nivel de confianza do 90% μ O 90% de ditos intervalos de confianza conterán a media poboacional. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  36. 36. 5. Intervalo de confianzaNota: Como polo xeral só vamos a dispór dunha mostra, temos que contar (por exemplo cun 90% de confianza) que a mostra que temos pertence ao grupo das mostras boas (as que nos dan unha estimación do intervalo que contén o verdadeiro valor do parámetro). IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  37. 37. 5. Intervalo de confianza Para o cálculo de intervalos de confianza é importante coñecer que é un intervalo característico e como calculaloIntervalos característicos : Se unha variable aleatoria X ten unha distribución de esperanza ou media μ, chámase intervalo característico correspondente a unha probabilidade p a un intervalo centrado na media (μ-k, μ+k) tal que a probabilidade de que X pertenza a dito intervalo é p p(μ-k < X < μ+k)=p IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  38. 38. 5. Intervalo de confianzaIntervalos característicos en distribucións N(0,1)Exemplo: Calcula o intervalo característico dunha variablealeatoria Z que segue unha distribución normal N(0,1)correspondente á probabilidade p=0.9. Trátase de atopar un intervalo centrado na media μ=0 e polo tanto da forma (-k, k) que conteña unha probabilidade de 0.9. Fóra do intervalo haberá unha probabilidade de 1-p=1-0.9=0.1. Como o intervalo é simétrico , a área ou probabilidade de cada “cola” é de 0.1/2=0.05 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  39. 39. 5. Intervalo de confianza. y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2) 0.034 Relleno 2 Relleno 3 0.032 Relleno 4 x(t)=-1.65 , y(t)=t x(t)=1.65 , y(t)=t 0.03 0.028 0.026 N(0,1) 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 p(-k<z<k)=p=1-α=0,9 0.006 0.004 p(z>k)=(1-p)/2=α/2=0.05 p(z<-k)=(1-p)/2=α/2=0.05 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -k -0.002 k -0.004 p(z≤k)=p+(1-p)/2=1-α+α/2=0.95 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  40. 40. 5. Intervalo de confianza Vemos , entón, quep(Z≤k)=0.95 E recorremos átáboa da distribuciónN(0,1) para atopar o valorde k correspondente áprobabilidade 0.95 K é un valor entre 1.64 e1.65; polo que tomamos opunto medio 1.645 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  41. 41. 5. Intervalo de confianza O intervalo característico para unha variable aleatoria Z que segue unha distribución normal N(0,1) correspondente a unha probabilidade p= 0.9 sería: (-1.645, 1.645) Diremos que k=1.645 é o valor crítico correspondente a p=0.9. Habitualmente desígnase a probabilidade p mediante 1- α. O valor crítico correspondente denomínase zα/2 téndose as desigualdades: p(Z> zα/2 )=α/2 p(-zα/2 <Z< zα/2 )=1-α IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  42. 42. 5. Intervalo de confianzaIntervalos característicos en distribucións N(μ,σ)Sexa X unha variable aleatoria que segue unhadistribución N(μ,σ).Desexamos encontrar un intervalo centrado na media μ,(μ-k, μ+k) tal que p(μ-k<X<μ+k)=p=1-α. É dicir, unintervalo no que estea o (1-α).100% dos individuos dapoboación. Se X é N(μ,σ) entón Z=(X-μ)/σ é N(0,1). Calculariamos o intervalo característico para Z correspondente a p=1-α que sería (-zα/2 , zα/2 ) . Polo tanto: p(-zα/2 <Z< zα/2 )=p (-zα/2 < (X-μ)/σ < zα/2 )=p=1-α IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  43. 43. 5. Intervalo de confianza Multiplicando toda a desigualdade pola desviación típica σ e sumando a toda a desigualdade a esperanza ou media μ temos: p(μ- zα/2 ·σ < X < μ+ zα/2 ·σ )=p=1-α O intervalo característico será : (μ- zα/2 ·σ , μ+ zα/2 ·σ ) Exemplo: Calcula o intervalo característico para unha distribución N(3,2) correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.9. Calculariamos o valor crítico para a N(0,1) correspondente a unha probabilidade 0.9 . zα/2 =1.645 O intervalo característico sería (3-1.645·2, 3+1.645·2) =(-0.29 , 6.29) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  44. 44. 5. Intervalo de confianzaO método pivotal para o cálculo de intervalos de confianzaFixado un nivel de confianza p=1-α (0 < p < 1), o procedemento xeralpara a construción dun intervalo de confianza ao nivelp=1-α para un parámetro de interese λ desenvólvese de acordo coseguinte mecanismo:1 Elección do estatístico pivotal: Elíxese un estatístico que dependa só do parámetro que se desexa estimar e cuxa distribución sexa coñecida T.2 Formulación do enunciado probabilístico: Preséntase un enunciado probabilístico tendo en conta a distribución de probabilidade do estatístico elixido na etapa anterior e o valor p=1-α fixado como nivel de confianza, é dicir, determínanse constantes a e b tales que: P (a < T < b) = p=1-α ou dito doutro xeito, calcúlase un intervalo característico de T para unha probabilidade p. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  45. 45. 5. Intervalo de confianza3 Transformación do enunciado probabilístico: Se é posible despexar da expresión anterior, transfórmase o enunciado probabilístico noutros equivalentes, mediante operacións aritméticas, ata chegar a unha expresión na que o parámetro de interese figure só no centro da desigualdade. Dependendo das operacións aritméticas a realizar podemos obter: P (T-1(a)< λ < T-1(b))= p=1-α P (T-1(b)< λ < T-1(a))= p=1-α Calculando o valor do estimador T nun caso concreto e sustituíndo este dato no intervalo probabilístico construído anteriormente obtense o intervalo de confianza para λ con un nivel de confianza p=1-α. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  46. 46. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Método pivotal aplicado ao cálculo dun intervalo de confianza para a media dunha poboación normal con varianza coñecidaCaso xeral.X variable aleatoria que segue unha N(μ,σ),μ descoñecida.Para estimar μ tomamos unha mostra de tamañon, n≥30 e calculamos a media mostralComo calcular un intervalo de confianza paraμ ó p·100%= (1-α)·100%? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  47. 47. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza1 Elección do estatístico pivotal :Sabemos polo teorema central do límite que X = media mostral dunha  σ mostra de tamaño n segue unha distribución N μ,  se a poboación  npartida X é normal ou se o tamaño das mostras é n ≥ 30 .2 Formulació n do enunciado probabilístico :Intentemos calcular un intervalo característico nesta distribución con probabilidadep = 1 - α.p(c1 < X < c2 ) = p = 1 − αTipificamos para pasar a unha normalN(0, 1).    c1 − μ X − μ c2 − μ p < <  = p =1−α  σ σ σ   n n nCalculamos o intervalo característico da normal N(0,1) para unha probabilidade p = 1 - α.Para isto calculamos o valor crítico zα para esta probabilidade p = 1 - α. 2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  48. 48. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Temos entón c1 − μ c2 − μ = −zα e = zα σ 2 σ 2 n n σ σ c1 = −zα ⋅ + μ e c2 = zα ⋅ +μ 2 n 2 n e polo tanto ( ) p c1 < X < c2 = p = 1 − α ⇒  p − zα ⋅ σ n + μ < X < zα ⋅ σ n  + μ = p = 1 − α  2 2  3 Transform ación do enunciado probabilístico : E facendo as seguintes operacións na desigualdade : restar μ, restar X e multiplicar por − 1 , chegamos a :  σ σ  p X − zα ⋅ < μ < X + zα ⋅  = p =1−α  2 n 2 n Substituímos X polo valor concreto obtido da mostra e temos que o intervalo de confianza ao p ⋅ 100% = ( 1 - α ) ⋅ 100% para μ será :  σ σ   x − zα ⋅ , x + zα ⋅   2 n 2 n IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  49. 49. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaConclusión:Deséxase estimar a media, μ, dunha poboación condesviación típica, σ, coñecida.Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na quese obtén unha media mostral, x. Se a poboación de partida é normal ou se o tamaño da mostra é n≥30, entón o intervalo de confianza de μ cun nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:  σ σ   x − zα ⋅ , x + zα ⋅   2 n 2 n sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  50. 50. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Vexamos o feito nun exemplo concreto: Os estudantes de bacharelato de Galicia dormen un número de horas diarias que se distribúe segundo unha lei normal de media μ descoñecida e de desviación típica 3. A partir dunha mostra de tamaño 30 obtívose unha media mostral igual a 7 horas. Obtén un intervalo de confianza ao 90% para a media de horas de sono, μ. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  51. 51. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaPartimos da seguinte situación: Poboación: Alumnos de bacharelato de Galicia. Variable aleatoria: X=nº de horas diarias de sono dun alumno de bacharelato de Galicia, que segue unha distribución normal de media μ descoñecida e desviación típica 3; N(μ,3). Desexamos estimar a media poboacional μ para o que tomamos unha mostra de tamaño 30 e calculamos o estatístico media mostral, que sabemos é un estimador non esguellado da media poboacional, obtendo x =7. Pero non desexamos facer unha estimación puntual senón dar un intervalo de confianza ao 90% para a media poboacional μ. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  52. 52. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaEmpregaremos o método pivotalPolo Teorema Central do Límite: Como X segue unha distribución normal N(μ,3), a variable aleatoria X que a cada unha desas mostras asígnalle a súa media mostral mi-------› xi segue unha distribución normal de media μ e desviación típica 3/√30=0,55. N(μ,0´55). Primeiro trataremos de atopar un intervalo carácterístico (c1,c2) desta distribución normal N(μ,0,55) tal que p(c1< X<c2)=0.9. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  53. 53. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Para poder atopar dito intervalo temos que tipificar para poder traballar ca N(0,1) que é a única tabulada. Se X segue unha distribución N(μ,0.55), a variable aleatoria Z=(X-μ)/0.55 segue unha distribución N(0,1):  c1 − μ X − μ c2 − μ  p   0.55 < 0.55 < 0.55  = 0.9   IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  54. 54. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2) Lembremos como se calcula un intervalo característico da N(0,1) 0.034 Relleno 2 Relleno 3 0.032 Relleno 4para unha probabilidade p=1-α=0.9. x(t)=-1.65 , y(t)=t x(t)=1.65 , y(t)=t 0.03 Trátase de atopar un intervalo de forma (-k,k) tal que p(-k<z<k)=p= 0.028 N(0,1) =1-α=0.9 0.026 0.024 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 p(-k<z<k)=p=1-α=0,9 0.006 0.004 p(z>k)=(1-p)/2=α/2=0.05 p(z<-k)=(1-p)/2=α/2=0.05 0.002 x -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 -k -0.002 k -0.004 p(z≤k)=p+(1-p)/2=1-α+α/2=0.95 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  55. 55. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Empregamos as táboas da N(0,1) paracalcular o valor de k tamén nomeadocomo zα/2 tal que p(Z≤k)=p(Z< zα/2 )=0.95. Atopamos que é un valor intermedioentre 1.64 e 1.65 polo que tomamos1.645. K= zα/2=1.645 chámase valor críticocorrespondente á probabilidade p=1-α=0.9. Polo tanto o intervalo característicosería : (-1.645,1.645) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  56. 56. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaVolvendo ao problema orixinal  c1 − μ X − μ c2 − μ p   0.55 < 0.55 < 0.55  = 0.9  c1 − μ = −1.645 c1 = −1.645 ⋅ 0.55 + μ0.55c2 − μ = 1.645 c2 = 1.645 ⋅ 0.55 + μ0.55E como :p(c1 < X < c2 ) = 0.9p(μ − 1.645 ⋅ 0.55 < X < μ + 1.645 ⋅ 0.55) = 0.9pero a min "interésame un intervalo para estimar μ".Como o consigo? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  57. 57. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Restando μ á desigualdade : p(-1.645 ⋅ 0.55 < X - μ < 1.645 ⋅ 0.55) = 0.9 Restando X á desigualdade : p(-1.645 ⋅ 0.55 - X < -μ < 1.645 ⋅ 0.55 - X) = 0.9 Multiplicando a desigualdade por - 1 : p(1.645 ⋅ 0.55 + X > μ > −1.645 ⋅ 0.55 + X) = 0.9 p(X - 1.645 ⋅ 0.55 < μ < X + 1.645 ⋅ 0.55) = 0.9 Como temos unha mostra cun resultado da media mostral x = 7 substituímos obtendo : p(7 - 1.645 ⋅ 0.55 < μ < 7 + 1.645 ⋅ 0.55) = 0.9 p(6.09525 < μ < 7.90475) = 0.9 Poderiamos concluír que : O nº medio de horas de sono dos estudantes de bacharelato de Galicia está no intervalo (6.09525, 7.90475) cun nivel de confianza do 90%. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  58. 58. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaOutra maneira de enfocalo:X variable aleatoria que segue unha N(μ,σ), μ descoñecida.Para estimar μ tomamos unha mostra de tamaño n, n≥30 ecalculamos a media mostralComo calcular un intervalo de confianza para μ ao p·100%=(1-α)·100%?. Pensemos en x como unha estimación puntual de μ. Entón X segue unha distribución normal N(x, σ ) n Calculamos , entón, un intervalo característico para esta distribución correspondente a unha probabilidade p = 1 − α. Dito intervalo sería :  σ σ   x − zα ⋅ , x + zα ⋅   2 n 2 n Dito intervalo considérase o intervalo de confianza para μ ó p ⋅ 100% = = (1 − α) ⋅ 100%. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  59. 59. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaExemplo 2:Co fin de investigar o cociente de intelixencia mediodunha poboación estudiantil , pasouse unha proba a 200estudantes. A media mostral foi de 64 puntos. Poroutra banda, sábese por estudos anteriores que ocociente intelectual na poboación distribúesenormalmente cunha desviación típica poboacional de 9.3puntos.Acha un intervalo de confianza paraa media poboacional do cociente deintelixencia ao nivel de confianzado 92%. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  60. 60. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaSOLUCIÓNX = cociente intelectual dun estudantesegue unha distribución normal N( μ,9.3)Tomamos x como estimación puntual de μX segue unha distribución N(64, 9.3)E como consecuenciaX = media dunha mostra de tamaño 200 9.3segue unha distribución N(64, ) = N(64, 0.66) 200Calculemos un intervalo característico para esta distribución conprobabilidade 0.92p(c1 < X < c2 ) = 0.92 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  61. 61. 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzaTipificamos  c − 64 X − 64 c2 − 64 p 1   0.66 < 0.66 < 0.66  = 0.92  E traballamo s cunha N(0,1)Buscamos o valor crítico zα para p = 1 − α = 0.92 2Se dentro do intervalo característicohai unha probabilidade 0.92, fóra haiα = 0.08, e, en cada " cola" 0.04; polo tanto :p(Z ≤ zα ) = 0.96 2Buscamos na táboa obtendo zα = 1.75 2Polo tanto :c1 − 64 c − 64 = −1.75 e 2 = 1.75 0.66 0.66c1 = 64 − 1.75 ⋅ 0.66 = 62.8c2 = 64 + 1.75 ⋅ 0.66 = 65.2O intervalo de confianza buscado é ( 62.8, 65.2) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  62. 62. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Tamén o podes resolver simplemente empregando a fórmula, unha vez sabes de onde se obtén. Exemplo 3: Un nadador obtén os seguintes tempos, en minutos, en 10 probas cronometradas polo seu adestrador:41.48 42.34 41.95 41.86 41.60 42.04 41.81 42.18 41.72 42.26 Obter un intervalo de confianza para a marca media desta proba cun 95% de confianza, supoñendo que se coñece por outras probas que ditas marcas deste nadador seguen unha distribución normal con desviación típica de 0.3 minutos. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  63. 63. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianzaSolución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para a marca mediadesta proba para dito nadador (μ) sabendo que as súas marcasseguen unha normal con desviación típica σ=0.3 minutos.A mostra coa que contamos é de tamaño n=10.O intervalo de confianza será:  σ σ   x − zα ⋅ , x + zα ⋅   2 n 2 n sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.95 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  64. 64. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Calculamos zα/2 , o valor críticopara unha distribución N(0,1)correspondente a unhaprobabilidade p=1-α = 0.95 Fóra do intervalocaracterístico queda α=0.05 een cada cola α/2=0.025.Polo tanto p(Z≤ zα/2)=0.975E zα/2=1.96 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  65. 65. 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzaCalculamos x 41.48 + 42.34 + 41.95 + 41.86 + 41.60 + 42.04 + 41.81 + 42.18 + 41.72 + 42.26x= = 10 419.24= = 41.924 10e o intervalo de confianza ao 95% quedaría : σ σ  x − zα ⋅ , x + zα ⋅ = 2 n 2 n 0.3 0.3  41.924 − 1.96 ⋅ , 41.924 + 1.96 ⋅ = 10 10 = ( 41.738, 42.11) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  66. 66. 6. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que se coñece a varianza Na seguinte páxina de internet tes unha aplicación onde se calculan este tipo de intervalos de confianza. http://www.catedu.es/ matematicas_blecua/bacmat /temario/bac2/mas2_estima1.htm IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  67. 67. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que “non” se coñece a varianza.Hai que ter en conta:Na maioría das ocasións nas que se realiza unhainvestigación estatística a varianza poboacional σ é unparámetro tan descoñecido como a media poboacional µA cuasivarianza mostral 2 n ∑ i i (x − x ) 2 ⋅f s = ⋅ s2 = ié un bo estimador de σ2 . n −1 n −1Estimaremos a desviación típica poboacional medianteŝ=√ŝ2. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  68. 68. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaDistinguiremos dous casos:Se a mostra é pequena n < 30Se a mostra é grande n ≥ 30 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  69. 69. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaSe a mostra é pequena n < 30: Empregando o método do pivote 1 Elección do estatístico pivotal: Fariamos unha estimación puntual da varianza poboacional mediante a cuasivarianza mostral. Pero a distribución correspondente a X non é unha N(μ,ŝ/√n) polo que ao tipificala non obtemos unha N(0,1). Gosset estudou esta variable aleatoria como estimador para calcular intervalos de confianza para a media poboacional µ dunha poboación normal con σ2 descoñecida : X −μ tn −1 = sˆ n E segue unha distribución chamada t de student con n-1 graos de liberdade. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  70. 70. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza A distribución t de Studentcon n-1 graos de liberdade tenunha función de densidadecunha forma “parecida” a unhaN(0,1) sendo centrada no 0 etendo simetría par. Esta distribución estátabulada. Calcular un intervalocaracterístico destadistribución faise de xeitosimilar a como se fai na N(0,1). IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  71. 71. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza 2 Formulación do enunciado probabilístico: Calculariamos o intervalo característico dunha t de student con n-1 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1- α. Buscariamos na táboa o valor c tal que: 1−p α p( tn −1 < c ) = p + =1−α+ 2 2 Temos un intervalo característico ( −c, c) da t de student con n - 1 graos de liberdade que cumpre :    X −μ  p( − c < tn −1 < c ) = p − c < < c = p = 1 − α  sˆ   n  IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  72. 72. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza3 Transformación do enunciado probabilístico: Facendo operacións na desigualdade (multiplicar por s , restar X, multiplicar por − 1) ˆ n p X − c ⋅ s  ˆ < μ < X + c⋅ s  = p = 1− α ˆ   n n O intervalo de confianza para μ ao p ⋅ 100% = ( 1 − α ) ⋅ 100% será :  ˆ ,X + c⋅ s  X − c⋅ s ˆ   n n IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  73. 73. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza Se a mostra é grande n ≥ 30 Entón a t de student con n-1 graos de liberdade, tn-1 , aseméllase cada vez máis a unha N(0,1) . Polo que se traballa directamente coa N(0,1) para obter o intervalo característico con probabilidade p=1-α. A partir de aquí o problema resólvese igual chegando ao intervalo:  s ˆ s  ˆ  x − zα ⋅  , x + zα ⋅   2 n 2 n  IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  74. 74. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaConclusión: Deséxase estimar a media, μ, dunha poboación normal con desviación típica, σ, descoñecida. Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na que se obtén unha media mostral, x. Primeiro estímase puntualmente a desviación típica empregando ŝ=√ŝ2 sendo ŝ2 a cuasivarianza mostral.• Se o tamaño da mostra é n<30, entón o intervalo de confianza de μ cun nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:  s ˆ s  ˆ x − c⋅  ,x + c⋅   n n  sendo c o valor crítico nunha t de student con n-1 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-α IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  75. 75. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaSe o tamaño da mostra é n≥30, entón o intervalo deconfianza de μ cun nivel de confianza de p·100% =(1-α)·100% é:  s ˆ s  ˆ  x − zα ⋅  , x + zα ⋅   2 n 2 n sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  76. 76. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaExemplo1:Nunha multinacional de servicios modifícase aaplicación informática de xestión. Os tempos (en horas)que tardaron 15 traballadores elixidos ao azar enadaptarse ao novo sistema foron os seguintes:3.3, 2.9, 4.3, 2.6, 3.2, 4.1, 4.9, 2.8, 5.5, 5.3, 3.6, 3, 3.5,2.9, 4.7Determina un intervalo de confianza ao 95% para otempo medio de adaptación de todos os empregados daempresa. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  77. 77. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaSolución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para otempo medio de adaptación de todos os empregados(μ)sendo a desviación típica σ descoñecida, queestimaremos puntualmente por ŝ.A mostra coa que contamos é de tamaño n=15<30; polotanto, o intervalo de confianza será:  s ˆ s   ˆ s ˆ s  ˆ x − c⋅  ,x + c⋅  = x − c⋅   ,x + c⋅   n n  15 15   sendo c o valor crítico para unha distribución t de student con n-1=14 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.95 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  78. 78. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza xi (xi − x)2Calculamos x : 3.3 0.2209 3.3 + 2.9 + ... + 4.7 2.9 0.7569x= = 4.3 0.2809 15 2.6 1.3689 56.6 3.2 0.3249= = 3.77 horas 4.1 0.1089 15 4.9 1.2769Calculamos s : ˆ 2.8 0.9409 5.5 2.9929 ∑ (x − x ) 2 ⋅f 5.3 2.3409 n i i 3.6 0.0289s2 =ˆ ⋅ s2 = i 3 0.5929 n −1 n −1 3.5 0.0729ˆ 12.9295 = 0.92s2 = 2.9 0.7569 14 4.7 0.8649 12.9295s = 0.92 = 0.96 horasˆ IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  79. 79. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza Calculamos c, o valor críticopara unha distribución t destudent con n-1=14 graos deliberdade correspondente aunha probabilidade p=1-α = 0.95 Buscamos os graos de liberdadeen vertical (14) e aprobabilidade p en horizontal0.95.C=1.761 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  80. 80. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaO intervalo de confianza será:  sˆ s   ˆ s ˆ s  ˆ x − c⋅  ,x + c⋅  = x − c⋅   ,x + c⋅ =  n n  15 15    0.96 0.96  =  3.77 − 1.761 ⋅ , 3.77 + 1.761 ⋅ =  15 15  = ( 3.33, 4.21)O tempo medio de adaptaciónestá entre 3.33 horas e 4.21 horascun nivel de confianza dun 95% IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  81. 81. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaExemplo 2:Para analizar o peso duns botes de conserva,tómase unha mostra de tamaño 32. Os pesos enquilogramos obtidos son: 0.97 0.99 1.01 0.98 0.99 1.00 0.98 0.98 1.00 1.02 0.97 0.97 0.99 0.99 0.99 0.96 0.98 1.00 0.99 1.01 1.00 1.00 0.98 0.99 0.99 0.98 0.97 0.97 1.01 0.96 1.03 0.92 Calcula o intervalo de confianza ao 95% para o peso medio dos botes. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  82. 82. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  83. 83. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaSolución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para opeso medio en quilogramos duns botes de conserva(μ)sendo a desviación típica σ descoñecida, queestimaremos puntualmente por ŝ.A mostra coa que contamos é de tamaño n=32>30; polotanto, o intervalo de confianza será:  s ˆ s  ˆ  x − zα ⋅  , x + zα ⋅   2 n 2 n sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.95 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  84. 84. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaCalculamos x : xi fi xi ·fi (xi − x)2 (xi − x)2 ·f i ∑x ⋅f i i 31.57 0.92 1 0.92 0.004489 0.004489x= i = = 0.96 2 1.92 0.000729 0.001458 N 32= 0.987 Kg 0.97 5 4.85 0.000289 0.001445Calculamos s : ˆ 0.98 6 5.88 0.000049 0.000294 ∑ (x − x) 2 0.99 8 7.92 0.000009 0.000072 ⋅f n i i 1 5 5 0.000169 0.000845s =ˆ2 ⋅s = i 2 n −1 n −1 1.01 3 3.03 0.000529 0.001587 0.013128s2 =ˆ = 0.00042 1.02 1 1.02 0.001089 0.001089 31 1.03 1 1.03 0.001849 0.001849s = 0.00042 = 0.206 Kgˆ 32 31.57 0.013128 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  85. 85. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianza Calculamos zα/2 , o valor críticopara unha distribución N(0,1)correspondente a unhaprobabilidade p=1-α = 0.95 Fóra do intervalocaracterístico queda α=0.05 een cada cola α/2=0.025.Polo tanto p(Z≤ zα/2)=0.975E zα/2=1.96 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  86. 86. 7. Intervalo de confianza para a media dunhapoboación normal da que non se coñece a varianzaO intervalo de confianza será:  s ˆ s  ˆ  x − zα ⋅  , x + zα ⋅ =  2 n 2 n  0.206 0.206   0.987 − 1.96 ⋅ ,0.987 + 1.96 ⋅ =  32 32  ( 0.916,1.058)O peso medio dos botesde conserva está entre0.916 Kg e 1.058 Kg cunnivel de confianza do 95% IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  87. 87. 8. Intervalo de confianza para a proporción Intervalo de confianza para a proporción. Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do p’·100%=(1-α)·100% para a proporción p poboacional de certa característica C. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  88. 88. 8. Intervalo de confianza para a proporción O método pivotal 1 Elección do estatístico pivotal: Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén unha proporción mostral pr. Se x é o número de éxitos nas n probas, entón o estimador é: Pr=X/n X=nº de éxitos, en principio, corresponde a unha distribución binomial B(n,p) p=probabilidade de éxito , μ=np e σ=√npq. Pero se np>5 e nq>5 dita binomial aproxímase por unha normal N(np,√npq) . E neste caso Pr=x/n segue unha distribución normal N(np/n, √npq/n)=N(p,√(pq/n))=N(p,√(p(1-p)/n) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  89. 89. 8. Intervalo de confianza para a proporción2 Formulación do enunciado probabilístico: Trataremos de atopar un intervalo característico do estimador que conteña unha probabilidade p’=1-α e p(c1<Pr<c2)=p’=1-α, Tipificamos a normal, para traballar cunha N(0,1)     c −p Pr − p c −p p 1 < < 2  = p= 1 − α  p(1 - p) p(1 - p ) p( 1 - p )     n n n  Buscamos na táboa da N(0,1) o valor crítico para p= 1 − α α p(Z ≤ zα/2 ) = 1 − α + 2 Entón : c1 − p c2 − p = −zα/2 e = zα/2 p(1 - p ) p( 1 - p) n n p(1 - p ) p(1 - p ) c1 = p − zα/2 ⋅ e c2 = p + zα/2 ⋅ n n Polo tanto :  p(1 - p ) p(1 - p )  p(c1 < Pr < c2 ) = p p − zα/2 ⋅  < Pr < p + zα/2 ⋅  = p= 1 − α   n n  IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  90. 90. 8. Intervalo de confianza para a proporción3 Transformación do enunciado probabilístico:Facendo as operacións seguintes na desigualdade conseguimos que p quede no medio: Restar p :  p(1 - p) p( 1 - p)  p − zα/2 ⋅  < Pr - p < zα/2 ⋅  = p= 1 − α   n n  Restar Pr :  p(1 - p) p(1 - p)  p − zα/2 ⋅  − Pr < -p < zα/2 ⋅ − Pr  = p= 1 − α   n n  Multiplicar por − 1 :  p( 1 - p) p( 1 - p)  p zα/2 ⋅  + Pr > p > −zα/2 ⋅ + Pr  = p= 1 − α   n n   p(1 - p) p( 1 - p)  p Pr - zα/2 ⋅  < p < Pr + zα/2 ⋅  = p= 1 − α  n n   Sustituindo Pr polo valor concreto obtido da mostra, o mesmo que p, que non é coñecido obtemos como intervalo de confianza ao nivel de confianza dun p⋅100% = ( 1 − α ) ⋅ 100% :  pr(1 - pr) pr( 1 - pr )   pr - zα/2 ⋅ , pr + zα/2 ⋅   n n    IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  91. 91. 8. Intervalo de confianza para a proporciónConclusión: Deséxase estimar a proporción p , de individuos cunha certa característica que hai nunha poboación. Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén unha proporción mostral pr. O intervalo de confianza de p cun nivel de confianza p’·100%=(1-α)·100% é:  pr( 1 - pr ) pr(1 - pr )   pr - zα/2 ⋅ , pr + zα/2 ⋅   n n    sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p’=1-α IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  92. 92. 8. Intervalo de confianza para a proporciónExemplo: Para estudar a proporciónde estudantes quepracticaban football,tómase unha mostra detamaño 300. O resultadoobtido é que o practican210. Calcula o intervalo deconfianza para aproporción p cun nivel deconfianza do 98%. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  93. 93. 8. Intervalo de confianza para a proporción Queremos estimar a proporción de estudantes que practican football, polo que tomamos unha mostra de tamaño n=300, obtendo unha proporción mostral pr=210/300=0.7 (70%). Sabemos que o intervalo de confianza para unha proporción p cun nivel de confianza do 98% é:  pr( 1 - pr ) pr( 1 - pr )   pr - zα/2 ⋅ , pr + zα/2 ⋅   n n    sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade 0.98 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  94. 94. 8. Intervalo de confianza para a proporción Calculamos zα/2 , o valor críticopara unha distribución N(0,1)correspondente a unhaprobabilidade p’=1-α = 0.98 Fóra do intervalocaracterístico queda α=0.02 een cada cola α/2=0.01Polo tanto p(Z≤ zα/2)=0.99 zα/2 está entre 2.32 e 2.33,tomaremos 2.325 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  95. 95. 8. Intervalo de confianza para a proporción O intervalo de confianza para a proporción de estudantes que xogan ao fútbol cun nivel de confianza dun 98% será:  pr( 1 - pr) pr(1 - pr )   pr - zα/2 ⋅ , pr + zα/2 ⋅ =  n n     0.7 ⋅ ( 1 − 0.7 ) 0.7 ⋅ ( 1 − 0.7 )   0.7 − 2.325 ⋅ , 0.7 + 2.325 ⋅ =  300 300    ( 0.64, 0.76) O intervalo está entre un 64% e un 76% IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  96. 96. 9. Intervalo de confianza para a diferenza demediasIntervalo de confianza para a diferenza de medias. Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do p·100% = (1-α)·100% para a diferenza de medias μ1-μ2 de dúas poboacións sendo as desviacións típicas de ditas poboacións coñecidas σ1 e σ2.O método pivotal 1 Elección do estatístico pivotal: Para iso recórrese a dúas mostras de tamaños n1 e n2, nas que se x obteñen dúas medias mostrais x1 e 2 .Empregaremos como estimador : X1 − X2 A distribución desta variable viuse que correspondía a unha normal N(μ1-μ2, √(σ12/ n1 + σ22/ n2 )) se as poboacións iniciais eran normais ou se o tamaño das mostras é maior de 30 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  97. 97. 9. Intervalo de confianza para a diferenza demedias2 Formulación do enunciado probabilístico: Trataremos de atopar un intervalo característico do estimador que conteña unha probabilidade p=1-α ( ) p c1 < X1 − X2 < c2 = p = 1 − α Tipificamos para traballar coa N(0,1)      c1 − ( μ1 − μ2 ) (X1 − X2 ) − ( μ1 − μ2 ) c2 − ( μ1 − μ2 )  p < <  = p= 1 − α  σ1 + σ 2 σ12 σ2 σ12 σ2  2 2 2 2  n + +  1 n2 n1 n2 n1 n2   α Buscamos na táboa da N(0,1) o valor crítico para p = 1 − α; p(Z ≤ zα/2 ) = 1 − α + 2 Entón : c1 − ( μ1 − μ2 ) c2 − ( μ1 − μ2 ) = −zα/2 e = zα/2 σ 2 σ 2 σ12 σ2 2 1 + 2 + n1 n2 n1 n2 σ12 σ2 2 σ12 σ2 2 c1 = ( μ1 − μ2 ) − zα/2 ⋅ + e c2 = ( μ1 − μ2 ) + zα/2 ⋅ + n1 n2 n1 n2 Polo tanto :  σ2 σ2 σ2 σ2  p(c1 < X1 − X2 < c2 ) = p ( μ1 − μ2 ) − zα/2 ⋅ 1 + 2 < X1 − X2 < ( μ1 − μ2 ) + zα/2 ⋅ 1 + 2  = p = 1 − α  n1 n2 n1 n2    IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  98. 98. 9. Intervalo de confianza para a diferenza demedias3 Transformación do enunciado probabilístico Facendo operacións na desigualdade conseguimos que μ1 − μ2quede no medio Restar μ1 − μ2 :  σ2 σ2 σ2 σ2  p − zα/2 ⋅ 1 + 2 < (X1 − X2 ) − (μ1 − μ2 ) < zα/2 ⋅ 1 + 2  = p = 1 − α  n1 n2 n1 n2    Restar X1 − X2 :    − z ⋅ σ1 + σ2 − (X − X ) < −(μ − μ ) < z ⋅ σ1 + σ2 − (X − X )  = p = 1 − α 2 2 2 2 p  α/2 n1 n2 1 2 1 2 α/2 n1 n2 1 2    Multiplicar por − 1 :  σ2 σ2 σ2 σ2  p zα/2 ⋅ 1 + 2 + (X1 − X2 ) > (μ1 − μ2 > −zα/2 ⋅ 1 + 2 + (X1 − X2 )  = p = 1 − α  n1 n2 n1 n2     σ2 σ2 σ2 σ2  p (X1 − X2 ) − zα/2 ⋅ 1 + 2 < μ1 − μ2 < (X1 − X2 ) + zα/2 ⋅ 1 + 2  = p = 1 − α  n1 n2 n1 n2    Substituíndo X1 − X2 polo valor concreto obtido da mostra, obtemos como intervalo de confianza ao nivel de confianza dun p ⋅ 100% = ( 1 − α ) ⋅ 100% :  2   ( x − x ) − z ⋅ σ1 + σ 2 , ( x − x ) + z ⋅ σ 1 + σ 2  2 2 2  1 2 α/2 n1 n2 1 2 α/2 n1 n2    IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  99. 99. 9. Intervalo de confianza para a diferenza demediasConclusión: Deséxase estimar a diferenza de medias μ1-μ2 de dúas poboacións con desviacións típicas, σ1 e σ2, , coñecidas . Para isto recórrese a dúas mostras de tamaños n1 e n2 nas que se obteñen dúas medias mostrais. Entón, o intervalo de confianza de μ1-μ2 cun nivel de confianza de p·100%= (1- α)·100% é:  σ12 σ2 2 σ12 σ2  2  (x − x ) − z ⋅ + , (x1 − x2 ) + zα/2 ⋅ +   1 2 α/2 n1 n2 n1 n2    sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α Se as desviacións típicas, σ1 e σ2, , non fosen coñecidas, pero o tamaño das dúas mostras fose maior de 30 tomariamos no lugar das varianzas poboacionais, as cuasivarianzas mostrais, ŝ1 e ŝ2 . IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  100. 100. 9. Intervalo de confianza para a diferenza demediasExemplo:O tempo en minutos que tardan en reparar certo tipode avaría nun taller A segue unha distribución normalcon desviación típica de 25 minutos; mentres nun tallerB a desviación típica é de 30 minutos. Nunha mostra de10 reparacións dese tipo de avaría no taller A o tempomedio foi de 80 minutos, mentres que nunha mostra de15 reparacións en B a media foi de 75 minutos. Calcula o intervalo de confianza para a diferenza de tempos medios, cun nivel de significación α do 1%. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  101. 101. 9. Intervalo de confianza para a diferenza demediasSolución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para a diferenza detempos medios de reparación dun tipo de avaría entre doustalleres A e B (μ1-μ2 ) sabendo que o tempo de reparación destetipo de avaría segue nos dous talleres unha distribución normalcon desviacións típicas σ1=25 minutos e σ2=30 minutosrespectivamente.As mostra coas que contamos son de tamaños n1=10 e n2=15;obténdose nelas tempos medios mostrais de 80 minutos e 75minutos respectivamente.Polo tanto, o intervalo de confianza será:  σ12 σ2 2 σ12 σ2  2  (x − x ) − z ⋅ + , (x1 − x2 ) + zα/2 ⋅ +   1 2 α/2 n1 n2 n1 n2    sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α=1-0.1=0.99 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  102. 102. 9. Intervalo de confianza para a diferenzade medias Calculamos zα/2 , o valor críticopara unha distribución N(0,1)correspondente a unhaprobabilidade p=1-α = 0.99 Fóra do intervalocaracterístico queda α=0.01 e encada cola α/2=0.005Polo tanto p(Z≤ zα/2)=0.995 zα/2 está entre 2.57 e 2.58,tomaremos 2.575 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  103. 103. 9. Intervalo de confianza para a diferenza demediasO intervalo de confianza para a diferenza de medias quedaría : σ12 σ2 2 σ12 σ2  2 (x − x ) − z ⋅ + , (x1 − x2 ) + zα/2 ⋅ + = 1 2 α/2 n1 n2 n1 n2   252 302 252 302  (80 − 75) − 2.575 ⋅ + , (80 − 75) + 2.575 ⋅ + = 10 15 10 15  ( − 23.5, 33.5) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  104. 104. 10. Intervalo de confianza para a varianza Intervalo de confianza para a varianza dunha distribución normal . Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do p·100%=(1- α)·100% para a varianza σ2 dunha poboación normal.O método pivotal 1 Elección do estatístico pivotal: Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén a cuasivarianza mostral ŝ . Empregaremos como estimador ˆ n − 1 ⋅ S2 ( ) σ2 Polo Teorema de Fisher sabemos que dita variable aleatoria segue unha distribución chi-cadrado con n-1 graos de liberdade No seguinte enlace podes observar a forma que ten a función de densidade de dita distribución. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  105. 105. 10. Intervalo de confianza para a varianza2 Formulación do enunciado probabilístico:Trataremos de atopar un intervalo do estimador queconteña unha probabilidade p=1-α e que deixe a cadalado (dúas colas) unha probabilidade (1-p)/2=α/2  p c1 < (n − 1) ⋅ S2 < c  = p = 1 - α ˆ   σ2 2   Buscamos na táboa da chi - cadrado con n - 1 graos de liberdade os valores c e c que deixan á súa esquerda probabilidades 1 2 1−p α 1−p α de = e p+ =1− 2 2 2 2 respectivamente. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

×