MÉTODOS ESTATÍSTICOS    E NUMÉRICOS            UNIDADE 4   TÉCNICAS DE RECONTO                     ÍNDICE   IES Isidro Par...
Conceptos1. Variacións sen repetición.2. Variacións con repetición.3. Permutacións sen repetición. Factorial dun   número....
Diagramas de árbore: Antes de comezar co tema propiamente dito, convén evidenciar a utilidade dos diagramas de árbore na r...
1. Variacións ordinarias ou sen repetición:    Chámanse variacións ordinarias ou sen repetición de    m elementos tomados ...
1. Variacións sen repetición.Exemplo:A bandeira dun país está formada por tresfranxas horizontais da mesma anchura edistin...
1. Variacións sen repetición.                                                                                          1ª ...
1. Variacións sen repetición. Como podes ver para a primeira franxa da bandeira tes cinco posibilidades ( as cinco cores) ...
2. Variacións con repetición. Chámanse variacións con repetición de m elementos tomados n a n ós distintos grupos que se p...
2. Variacións con repetición.Exemplo:A bandeira dun país está formada portres franxas horizontais da mesmaanchura. Cantas ...
2. Variacións con repetición.                                                                                             ...
2. Variacións con repetición. Como podes ver para a primeira franxa da bandeira tes cinco posibilidades ( as cinco cores )...
3. Permutacións sen repetición. Factorial dunnúmero. Chámanse permutacións ordinarias de n elementos ós distintos grupos q...
3. Permutacións sen repeticiónExemplo:Cantos números de 3 cifras se podenformar cos díxitos 6,7,8?.           IES Isidro P...
3. Permutacións sen repetición                 6                        7                        8          7             ...
3. Permutacións sen repetición Como podes ver, para as centenas temos 3 posibilidades, para as decenas xa só nos quedan dú...
3. Permutacións sen repeticiónFactorial dun número. Chámase factorial dun número natural n maior co 1 ó produto dos n prim...
4. Permutacións con repetición: Chámanse permutacións con repetición de n elementos onde o primeiro elemento repítese a ve...
4. Permutacións con repeticiónExemplo:Un xogador de xadrez trata de ordenarnunha fila, de tódalas formas posibles,tres peó...
4. Permutacións con repetición           IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numé...
4. Permutacións con repetición Se tódolos peóns fosen de distintas cores , trataríase de permutacións ordinarias de 5 elem...
4. Permutacións con repetición No noso problema concluímos, polo tanto, que:                             P5       5!    12...
5. Combinacións sen repetición. Chámanse combinacións ordinarias ou sen repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós d...
5. Combinacións sen repeticiónExemplo: No instituto decídese organizar un torneo de baloncesto. Preséntanse catro equipos....
5. Combinacións sen repetición           IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numé...
5. Combinacións sen repeticiónRepresentemos cada equipo por unha letra:            A,B,CeD Tendo en conta que o partido qu...
5. Combinacións sen repetición Podes observar no exemplo anterior que permutando cada unha das combinacións obtés as varia...
5. Combinacións sen repeticiónExemplo2:Como resposta a un anuncio de traballo,preséntanse 6 persoas para cubrir 3postos de...
5. Combinacións sen repetición Representemos cada unha das persoas que sepresentaron por unha letra: A, B ,C , D, E, F . T...
5. Combinacións sen repetición Podes observar, como no exemplo 1, que se tomas cada unha das combinacións e as permutas o ...
5. Combinacións sen repetición  En xeral, podemos concluír:                                       Cmn.Pn=Vmn De onde podem...
6. Combinacións con repetición. Chámanse combinacións con repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupo...
6. Combinacións con repetición.Exemplo:Cantas fichas ten o xogo do dominó?           IES Isidro Parga Pondal. Departamento...
6. Combinacións con repetición           IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numé...
6. Combinacións con repetición Unha ficha de dominó é un rectángulo con dúas partes; en cada parte unha serie de puntos in...
6. Combinacións con repetición    (0,0)   (1,1)          (2,2)           (3,3)          (4,4)          (5,5)           (6,...
6. Combinacións con repetición Nesta táboa observamos que o número de fichas de dominó é de 28. Tamén podemos observar que...
6. Combinacións con repetición  (0,7)   (1,7)           (2,7)              (3,7)             (4,7)            (5,7)       ...
6. Combinacións con repetición Esta táboa corresponde a combinacións sen repetición de 8 elementos (0,1,2,…,7) tomados 2 a...
Permutacións                                                                                                       Non    ...
7. Números combinatorios. Propiedades. O número Cmn recibe tamén o nome de número                                m combi...
7. Nº combinatorio. Propiedades.Propiedades dos números combinatorios:    m       m1.   = 1 e   = 1    0       ...
7. Nº combinatorio. Propiedades.3.   A suma de dous números combinatorios cos índices     superiores iguais e os índices i...
7. Nº combinatorio. Propiedades.Triángulo de Tartaglia ou dePascal: O triángulo de Tartaglia, foi popularizado por Pascal ...
7. Nº combinatorio. Propiedades. Este triángulo xérase comezando por colocar o número 1 no seu extremo superior e, a parti...
7. Nº combinatorio. Propiedades.           IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e nu...
7. Nº combinatorio. Propiedades.        n    0                                                  1    1                    ...
7. Nº combinatorio. Propiedades.           IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e nu...
7. Nº combinatorio. Propiedades. O curioso é que os números que compoñen dito triángulo corresponden exactamente cos númer...
7. Nº combinatorio. Propiedades. Coñecendo esta relación, as propiedades dos números combinatorios resultan evidentes.    ...
8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton. Coñecemos fórmulas para potencias pequenas dun binomio:          ( a + b)1 = a...
8. Potencia dun binomio. Binomio de NewtonPodemos calcular algunha potencia máis :    ( a + b ) 4 = ( a + b ) 3 ⋅ ( a + b ...
8. Potencia dun binomio. Binomio de NewtonPodemos observar:1.   O desenvolvemento dunha potencia de orde n está formado po...
8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton3.   As potencias de a e de b que compoñen cada sumando do     desenvolvemento d...
8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton   Conclusión:    Tendo en conta a relación entre os elementos do    triángulo d...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

4.técnicasdereconto

213 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
213
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
1
Acciones
Compartido
0
Descargas
4
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

4.técnicasdereconto

  1. 1. MÉTODOS ESTATÍSTICOS E NUMÉRICOS UNIDADE 4 TÉCNICAS DE RECONTO ÍNDICE IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas
  2. 2. Conceptos1. Variacións sen repetición.2. Variacións con repetición.3. Permutacións sen repetición. Factorial dun número.4. Permutacións con repetición.5. Combinacións sen repetición.6. Combinacións con repetición.7. Números combinatorios. Propiedades.8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  3. 3. Diagramas de árbore: Antes de comezar co tema propiamente dito, convén evidenciar a utilidade dos diagramas de árbore na resolución de moitos tipos de problemas matemáticos; en particular, de moitos dos que presentamos nesta unidade . Ver exemplos IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  4. 4. 1. Variacións ordinarias ou sen repetición: Chámanse variacións ordinarias ou sen repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos que se poden formar cos m elementos , de xeito que: Cada grupo contén n elementos distintos. Dous grupos son distintos se se diferencian nalgún elemento ou na orde de colocación destes. O número de variacións ordinarias de m elementos tomados n a n representase por Vm,no Vmn. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  5. 5. 1. Variacións sen repetición.Exemplo:A bandeira dun país está formada por tresfranxas horizontais da mesma anchura edistinta cor . Cantas bandeiras distintas podesformar coas cores vermella, amarela, verde,azul, violeta?. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  6. 6. 1. Variacións sen repetición. 1ª franxa 2ª franxa 3ª franxa IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  7. 7. 1. Variacións sen repetición. Como podes ver para a primeira franxa da bandeira tes cinco posibilidades ( as cinco cores) .Unha vez elixida esta, dita cor tes que descartala para a segunda franxa; quedan catro posibilidades (catro cores). Finalmente ó decidir a terceira franxa hai dúas cores xa descartadas por usadas e tes só tres posibilidades. Polo tanto, podemos concluír que o número de bandeiras posibles é: Nº bandeiras = V53= 5 . 4 . 3 En xeral, concluímos que Vmn= m.(m-1).(m-2).….(m-n+1) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  8. 8. 2. Variacións con repetición. Chámanse variacións con repetición de m elementos tomados n a n ós distintos grupos que se poden formar cos m elementos , de xeito que: Cada grupo contén n elementos repetidos ou non. Dous grupos son distintos se se diferencian nalgún elemento ou na orde de colocación destes. O número de variacións con repetición de m elementos tomados n a n represéntase por VRm,nou VRmn. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  9. 9. 2. Variacións con repetición.Exemplo:A bandeira dun país está formada portres franxas horizontais da mesmaanchura. Cantas bandeiras distintaspodes formar coas cores vermella,amarela, verde, azul, violeta?. (Como podedes observar a única diferenza co exemplo anterior é que as cores poden repetirse, pode haber unha franxa dobre da mesma cor, ou ser a bandeira dunha soa cor por ter tres franxas iguais) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  10. 10. 2. Variacións con repetición. 1ª franxa 2ª franxa 3ª franxa IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  11. 11. 2. Variacións con repetición. Como podes ver para a primeira franxa da bandeira tes cinco posibilidades ( as cinco cores ). Unha vez elixida esta, dita cor non tes que descartala, polo que para a segunda franxa segues a ter as mesmas posibilidades (cinco cores). E o mesmo ocorre coa terceira franxa. Polo tanto, podemos concluír que o número de bandeiras posibles é: Nº bandeiras = VR53= 5 . 5 . 5= 5 3 En xeral, concluímos que VRmn= m.m.n..m = mn IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  12. 12. 3. Permutacións sen repetición. Factorial dunnúmero. Chámanse permutacións ordinarias de n elementos ós distintos grupos que se poden formar de xeito que: Cada grupo contén os n elementos. Dous grupos diferéncianse na orde de colocación dos elementos. O número de permutacións ordinarias de n elementos represéntase por Pn IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  13. 13. 3. Permutacións sen repeticiónExemplo:Cantos números de 3 cifras se podenformar cos díxitos 6,7,8?. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  14. 14. 3. Permutacións sen repetición 6 7 8 7 8 6 8 6 7 8 7 8 6 7 6 678 687 768 786 867 876 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  15. 15. 3. Permutacións sen repetición Como podes ver, para as centenas temos 3 posibilidades, para as decenas xa só nos quedan dúas e para as unidades unha. Podemos concluír que podemos atopar : P3= 3.2.1 =6 números de tres cifras. En xeral, podemos concluír: Pn=n.(n-1).(n-2)…3.2.1 Observa que Pn =V33 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  16. 16. 3. Permutacións sen repeticiónFactorial dun número. Chámase factorial dun número natural n maior co 1 ó produto dos n primeiros números naturais. n! = n.(n-1).(n-2)…3.2.1 Se n = 1, defínese 1!=1 Se n = 0, defínese 0!=1 Polo tanto, é evidente que Pn=n! Por outra banda, Vmn=m.(m-1).(m-2)…(m-n+1)=m!/(m-n)! No noso exemplo P3=3!=3.2.1=6 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  17. 17. 4. Permutacións con repetición: Chámanse permutacións con repetición de n elementos onde o primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces,…, o último k veces (a+b+…+k=n), os distintos grupos que podemos formar de tal xeito que: Nun grupo o primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces, e así ata o último que se repite k veces. A diferenza entre dous grupos está na orde de colocación dos seus elementos. O número de permutacións con repetición de n elementos onde o primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces,…, o último k veces ,represéntase por Pna,b,…,k IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  18. 18. 4. Permutacións con repeticiónExemplo:Un xogador de xadrez trata de ordenarnunha fila, de tódalas formas posibles,tres peóns brancos e dous negros. Cantasmaneiras atopará? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  19. 19. 4. Permutacións con repetición IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  20. 20. 4. Permutacións con repetición Se tódolos peóns fosen de distintas cores , trataríase de permutacións ordinarias de 5 elementos e o seu número sería: P5 = 5! =5.4.3.2.1 = 120 Pero temos tres peóns da mesma cor branca, polo que certo número destas permutacións van ser iguais. Dividimos polo tanto as 120 permutacións iniciais entre P3=3! =3.2.1=6 , pois por cada P3 permutacións de tres peóns de distinta cor temos unha cos tres ditos peóns brancos. Polo mesmo motivo dividiremos o resultado por P2 = 2!=2.1=2. Temos dous peóns negros; por cada P2 permutacións de dous peóns de distinta cor temos unha cos dous peóns negros. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  21. 21. 4. Permutacións con repetición No noso problema concluímos, polo tanto, que: P5 5! 120 P 5 3, 2 = = = = 10 P3 ⋅ P2 3!⋅2! 6 ⋅ 2 En xeral, razoando da mesma maneira concluiremos: Pn n! Pn a ,b ,..., k = = Pa ⋅ Pb ⋅ ... ⋅ Pk a!⋅b!⋅... ⋅ k! IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  22. 22. 5. Combinacións sen repetición. Chámanse combinacións ordinarias ou sen repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos que podemos formar cós m elementos de xeito que: Cada grupo contén n elementos distintos. Dous grupos son diferentes se teñen elementos distintos, pero non se están colocados en distinta orde. O número de combinacións de m elementos tomados n a n represéntase por Cm,n ou Cmn IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  23. 23. 5. Combinacións sen repeticiónExemplo: No instituto decídese organizar un torneo de baloncesto. Preséntanse catro equipos. Se na primeira fase deben enfrontarse de tódalas maneiras posibles na mesma cancha, de cantos partidos debe constar dita fase?. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  24. 24. 5. Combinacións sen repetición IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  25. 25. 5. Combinacións sen repeticiónRepresentemos cada equipo por unha letra: A,B,CeD Tendo en conta que o partido que enfronta A con B, e o mesmo que enfronta B con A (non hai local nin visitante), os emparellamentosposibles serán 6. Haberá polo tanto 6 partidos, 6 combinacións : AB BC CD AC BD AD IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  26. 26. 5. Combinacións sen repetición Podes observar no exemplo anterior que permutando cada unha das combinacións obtés as variacións dos catro equipos tomados 2a 2 (torneos onde hai partido de ida e partido de volta): AB BA BC CB CD DC AC CA BD DB AD DA Podemos concluír que C42.P2=V42 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  27. 27. 5. Combinacións sen repeticiónExemplo2:Como resposta a un anuncio de traballo,preséntanse 6 persoas para cubrir 3postos de caixeira de supermercado.Cantas posibilidades de contratación tena empresa?. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  28. 28. 5. Combinacións sen repetición Representemos cada unha das persoas que sepresentaron por unha letra: A, B ,C , D, E, F . Tendo en conta que contratados A, B e C os seus postosde traballo son idénticos, polo que a orde decontratación non inflúe en absoluto, as ternas que aempresa podería contratar son 20, 20 combinacións:ABC ACD ADE AEF BCD BDE BEF CDE CEF DEFABD ACE ADF BCE BDF CDFABE ACF BCFABF IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  29. 29. 5. Combinacións sen repetición Podes observar, como no exemplo 1, que se tomas cada unha das combinacións e as permutas o que obtés son as variacións de 6 elementos tomados 3 a 3. Serían as posibilidades de contratación que tería a empresa se a orde importara o tratarse de postos de distinta categoría. A partir de ABC obtés ABC ACB BCA BAC CAB CBA A partir de ABD obtés ABD ADB BAD BDA DAB DBA E así sucesivamente. Concluímos que C63.P3=V63 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  30. 30. 5. Combinacións sen repetición En xeral, podemos concluír: Cmn.Pn=Vmn De onde podemos obter: Vmn m ⋅ ( m − 1) ⋅ ( m − 2 ) ⋅ ... ⋅ ( m − n + 1) m!Cm = n = = Pn n! ( m − n )!⋅n! IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  31. 31. 6. Combinacións con repetición. Chámanse combinacións con repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos que podemos formar cos m elementos de xeito que: Cada grupo contén n elementos distintos ou non. Dous grupos son diferentes se teñen elementos distintos ou en distinto número, pero non se están colocados en distinta orde. O número de combinacións con repetición de m elementos tomados n a n represéntase por CRm,n ou CRmn IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  32. 32. 6. Combinacións con repetición.Exemplo:Cantas fichas ten o xogo do dominó? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  33. 33. 6. Combinacións con repetición IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  34. 34. 6. Combinacións con repetición Unha ficha de dominó é un rectángulo con dúas partes; en cada parte unha serie de puntos indica unha puntuación dende 0 (en branco) a 6. Polo tanto, as fichas de dominó son parellas de números elixidas entre os números do 0 ó 6, podéndose repetir ditos números (fichas dobres), e non importando a orde pois a ficha de dominó (4,5) é a mesma que a ficha (5,4). Temos as seguintes posibilidades... IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  35. 35. 6. Combinacións con repetición (0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6) (0,3) (1,4) (2,5) (3,6) (0,4) (1,5) (2,6) (0,5) (1,6) (0.6) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  36. 36. 6. Combinacións con repetición Nesta táboa observamos que o número de fichas de dominó é de 28. Tamén podemos observar que se nas fichas dobres sustituímos o segundo nº polo nº 7, por exemplo, obteriamos: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  37. 37. 6. Combinacións con repetición (0,7) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6) (0,3) (1,4) (2,5) (3,6) (0,4) (1,5) (2,6) (0,5) (1,6) (0.6) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  38. 38. 6. Combinacións con repetición Esta táboa corresponde a combinacións sen repetición de 8 elementos (0,1,2,…,7) tomados 2 a 2. É dicir: CR = C 2 7 2 8  m + n − 1 En xeral: CRm = Cm + n −1 =  n n     n  IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  39. 39. Permutacións Non sen repetición Si Pódense Interveñen Permutacións repetir Si tódolos elementos? Permutacións elementos? Si con repetición Variacións sen Non repetición Non Pódense É Variacións repetir Variacións senimportante elementos? Si repeticióna orde? Combinacións Non sen repetición Non Pódense Combinacións repetir elementos? Combinacións Si sen repetición IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  40. 40. 7. Números combinatorios. Propiedades. O número Cmn recibe tamén o nome de número m combinatorio, represéntase por  n  , e lese m     sobre n. m! m  C n = =  m ( m − n )!⋅n!  n    IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  41. 41. 7. Nº combinatorio. Propiedades.Propiedades dos números combinatorios:  m  m1.   = 1 e   = 1  0  m    2. Dous números combinatorios co índice superior igual e a suma dos índices inferiores igual ó índice superior, son iguais.  m  m   =  n   m − n      IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  42. 42. 7. Nº combinatorio. Propiedades.3. A suma de dous números combinatorios cos índices superiores iguais e os índices inferiores tales que difiren nunha unidade, e igual a outro nº combinatorio cuxo índice inferior é o maior dos índices inferiores, e o índice superior é maior nunha unidade ó índice superior dos sumandos.  m   m   m + 1  +  n   n + 1 =  n + 1           IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  43. 43. 7. Nº combinatorio. Propiedades.Triángulo de Tartaglia ou dePascal: O triángulo de Tartaglia, foi popularizado por Pascal quen atopou a súa relación cos números combinatorios. Dito triángulo coñecíase tamén nas matemáticas orientais como triángulo de Yang Hui. (Se queredes saber máis sobre este tema podedes ir á páxina web: www.estatísticaparatodos.es) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  44. 44. 7. Nº combinatorio. Propiedades. Este triángulo xérase comezando por colocar o número 1 no seu extremo superior e, a partir de aquí, as sucesivas filas constrúense colocando un 1 en cada esquina, o resto de casas é igual á suma dos dous números que teñen xusto enriba, nunha infinita serie de uns laterais e de sumas de casas que producen un incesante aumento dos números que o compoñen. Esta figura, que podería parecer un simple entretemento de cálculo, esconde unha diversidade de propiedades e curiosidades tan grande que o converten nun pequeno universo matemático en si mesmo e unha ferramenta de grande utilidade no campo numérico. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  45. 45. 7. Nº combinatorio. Propiedades. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  46. 46. 7. Nº combinatorio. Propiedades. n 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  47. 47. 7. Nº combinatorio. Propiedades. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  48. 48. 7. Nº combinatorio. Propiedades. O curioso é que os números que compoñen dito triángulo corresponden exactamente cos números combinatorios. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  49. 49. 7. Nº combinatorio. Propiedades. Coñecendo esta relación, as propiedades dos números combinatorios resultan evidentes. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  50. 50. 8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton. Coñecemos fórmulas para potencias pequenas dun binomio: ( a + b)1 = a + b ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  51. 51. 8. Potencia dun binomio. Binomio de NewtonPodemos calcular algunha potencia máis : ( a + b ) 4 = ( a + b ) 3 ⋅ ( a + b ) = ( a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) ⋅ ( a + b ) = = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 ( a + b ) 5 = ( a + b ) 4 ⋅ ( a + b ) = ( a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 ) ⋅ ( a + b ) = = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  52. 52. 8. Potencia dun binomio. Binomio de NewtonPodemos observar:1. O desenvolvemento dunha potencia de orde n está formado por n+1 sumandos. Exemplo: A potencia cúbica ten 4 sumandos A potencia de orde catro ten 5 sumandos2. Os coeficientes do desenvolvemento dunha potencia de orde n corresponden cos elementos da fila n do triángulo de Tartaglia Exemplo: Os coeficientes da potencia cúbica son 1 3 3 1, fila 3 do triángulo de Tartaglia. Os coeficientes da potencia quinta son 1 5 10 10 5 1, fila 5 do triángulo de Tartaglia. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  53. 53. 8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton3. As potencias de a e de b que compoñen cada sumando do desenvolvemento da potencia de orde n actúan do seguinte xeito: As potencias de a diminúen dende an ata a0=1. As potencias de b aumentan dende b0=1 ata bn. Exemplo: Orde 3: a3 a2b ab2 b3 Orde 4: a4 a3b a2b2 ab3 b4 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  54. 54. 8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton Conclusión: Tendo en conta a relación entre os elementos do triángulo de Tartaglia e os números combinatorios, chegamos á expresión coñecida como binomio de Newton:( a + b) n =  n  n  n  n −1  n  n − 2 2  n  2 n − 2  n  n −1  n  n   a +  a b +  a b + ..... +   1  2  n − 2 a b +  n − 1ab +  n b       0           Analogamente:  n  n  n  n−1  n  n− 2 2 n− 2  n  2 n− 2 n−1  n  n  n n( a − b) =   a −   a b +   a b − ..... + ( − 1)   a b + ( − 1)   ab + ( − 1)   b n n−1  0  1  2  n − 2  n − 1  n IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

×