9.mostraxe

431 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
431
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2
Acciones
Compartido
0
Descargas
5
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

9.mostraxe

  1. 1. MÉTODOS ESTATÍSTICOS E NUMÉRICOS UNIDADE 9 MOSTRAXE ÍNDICE IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas
  2. 2. Conceptos1. Introdución á Inferencia Estatística.2. Poboación e mostra3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe4. Teorema central do límite5. Distribución da media mostral dunha poboación normal.6. Distribución da proporción IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  3. 3. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaAs tres finalidades da Estatística son:• A descripción: ordenar, agrupar e representar a información. Desta parte ocúpase a Estatística Descriptiva• A predición: anticipación dos feitos analizando previamente a súa frecuencia. Disto ocúpase a Probabilidade• A análise: búsqueda de teorías que expliquen os fenómenos observados. Nisto traballa a Inferencia Estatística IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  4. 4. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaA Inferencia Estatística é a rama daEstatística mediante a cal se trata de obterconclusións dunha poboación en estudo,apoiándose no Cálculo de Probabilidades, a partirda información que proporciona unha mostrarepresentativa da mesma.Tamén se denomina Estatística Indutiva ouInferencia Indutiva. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  5. 5. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaEstatística Descritiva Probabilidade Século XIX Galton, Pearson, Fisher Inferencia IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  6. 6. 1. Introdución á Inferencia Estatística A unión entre o Cálculo de Probabilidades e a Estatística xorde polos problemas teóricos e metodolóxicos que suscita o contraste empírico da teoría de Darwin. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  7. 7. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaF. Galton , primo deDarwin propugna un novoenfoque estatístico na súaobra “NaturalInheritance” para o estudodos problemas da evoluciónque é aceptado conentusiasmo por W Weldon,quen busca colaboración nomatemático K.Pearsonpara a resolución de novosproblemas. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  8. 8. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaO laboratorio de K. Pearsonconvértese a principios do séculoXX no centro de investigación deanálise empírica de datos. Entreoutros acode W.S. Gasset, quepropón a nova distribución t(coñecida como t de Student).Pearson, Galton e Weldon fundana revista Biométrica, que aíndahoxe é unha das publicacións máisprestixiosas de estatística IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  9. 9. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaOs fundamentos daEstatística actual débense aR.A. Fisher (1890-1962) quenescribe no seu libro“Statistical Methods forResearch Workers” osprincipios da InferenciaEstatística.En 1930 aparece a teoríaxeral sobre o contraste dehipóteses elaborada por J.Neyman (1894-1981) e E.S.Pearson. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  10. 10. 1. Introdución á Inferencia Estatística A partir de 1950 comeza unha nova etapa no desenvolvemento da Estatística co uso das computadoras e a posibilidade de tratar grandes cantidades de datos IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  11. 11. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaDiferenzas entrea Inferencia e a ProbabilidadeAínda que a Inferencia Estatística seapoia no Cálculo de Probabilidades, os finsde ámbalas dúas disciplinas son bendistintos.Vexamos uns exemplos: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  12. 12. 1. Introdución á Inferencia Estatística Experimento Tirar unha moeda Inferencia Teoría de Probabilidade Analizamos se a moeda está trucada Supón que a moeda non comprobando se o modelo experimentalestá trucada e deduce que a obtido tirando a moeda un certo número de veces concorda co modeloprobabilidade de obter cara probabilístico ou cruz é 1/2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  13. 13. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaProbabilidade:Sabendo o contido da caixa, intentar sabero que teño na man (probabilidade de terunha certa cor) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  14. 14. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaInferencia:Sabendo o contido da man, tratar de saber o quehai na caixa (proporcións de globos de cada cor) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  15. 15. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaPodemos concluír que:A Inferencia Estatística é unha ciencia indutiva, é dicir,xeneraliza unhas propiedades observadas nun conxuntode datos a outro conxunto maior.O proceso indutivo é un proceso “arriscado", xa que todainferencia indutiva exacta é imposible.Trátase de conseguir técnicas que midan o grao deincerteza producida. Tal medida faise mediante o Cálculode Probabilidades. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  16. 16. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaEXEMPLO:Supoñamos que temos nun almacén 10 millóns desementes; sabemos que producen flores brancas ouvermellas.O que desexamos saber é cantos destes 10 millónsproducirán flores brancas IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  17. 17. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaO único xeitode dar unharespostacorrecta a esapregunta ésementar todasas sementes eobservarcantas saenbrancas. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  18. 18. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaA forma normal de proceder é seleccionar unhas poucassementes, as plantamos e observamos o número das queproducen flores brancas e,baseándonos nestes datos, facemos unha predición. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  19. 19. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaOs procedementos da InferenciaEstatística pódense clasificar en:•procedementos de inferenciaparamétrica•procedementos de inferencia nonparamétrica. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  20. 20. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaA Inferencia Paramétrica supón que adistribución de probabilidade dapoboación obxecto de estudo é coñecida,agás os valores que toman certosparámetros.Neste contexto, o obxectivo é estimar,dar intervalos de confianza oucontrastar hipóteses sobre ditosparámetros. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  21. 21. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaExemploNo caso das sementes, podemos supoñer queunha determinada característica (a cor da flor)dunha poboación (10 millóns de sementes) segueunha distribución de probabilidade cunparámetro descoñecido (binomial con parámetrodescoñecido p: probabilidade de que a flor sexabranca) e tomamos unha mostra. Calculamos ovalor de dita característica neste subconxuntode elementos poboacionais para facer inferenciassobre p. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  22. 22. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaPoboación 10 millóns de sementesCaracterística Cor da florDistribución de Binomial con parámetro pprobabilidades descoñecido (probabilidade de que a flor sexa branca)Mostra Valor da característica nesta mostra e inferimos p IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  23. 23. 1. Introdución á Inferencia EstatísticaA Inferencia non Paramétrica trataproblemas semellantes cando se tenunha distribución poboacionaltotalmente descoñecida, sobre a cal sóse realizan suposicións moi xerais (ésimétrica, continua, etc.) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  24. 24. 2. Poboación e Mostra Poboación e Mostra IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  25. 25. 2. Poboación e MostraPoboación: Colectivo: Universo:conxunto de elementos obxecto doestudo.Exemplos: Pacientes que chegan aurxencias dun hospital nundeterminado ano, pezas producidaspor unha máquina durante un certoperíodo de tempo… IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  26. 26. 2. Poboación e MostraPoboación IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  27. 27. 2. Poboación e MostraNotaA poboación definirase sen ambigüidade,de forma que sempre se poida clasificar unelemento como pertencente ou non a ela.Se podemos analizar toda a poboaciónteremos un censo, e poderanse sacarconclusións mediante técnicas descritivasdos datos. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  28. 28. 2. Poboación e MostraIndividuo: Unidade Estatística:cada un dos elementos dapoboación. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  29. 29. 2. Poboación e MostraIndividuo IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  30. 30. 2. Poboación e MostraXeralmente non é doado estudar toda apoboación por: o custo económico que suporía o estudo pode implicar a destrución dunelemento (estudar a temperatura máximaque pode soportar un cristal) o tempo que se necesitaría. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  31. 31. 2. Poboación e MostraMostra: subconxunto extraído da poboacióncuxo estudo serve para inferir característicasda poboación. Debe ser representativa esuficiente numericamente. Vexamos algúns exemplos no portal educativo do Instituto Galego de Estatística IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  32. 32. 2. Poboación e MostraMostra IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  33. 33. 2. Poboación e Mostra A mostra debe ser o máis representativa posible da poboación da que proceda, para que a información que subministra poida usarse con exito á hora de obter conclusións sobre a poboación. É importante que, cando existan diferenzas coñecidas de antemán nos elementos da poboación, a mostra as conteña tamén. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  34. 34. 2. Poboación e MostraMostraxe:Proceso de tomar mostrasdunha poboación.Tamaño mostral:Número de elementos damostra IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  35. 35. 2. Poboación e MostraMostra nesgada:Unha mostra non representativa da poboaciónOs nesgos nos que adoitamos incorrer son :• Nesgo de selección: algúns membros da poboaciónteñen unha probabilidade máis alta que outros de estarrepresentados na mostra.• Nesgo por no resposta: unha parte da poboación nonestá representada porque non proporciona resposta. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  36. 36. 2. Poboación e MostraExemploSupoñamos que nocampus universitarioda Coruña proponse aeliminación dacirculación devehículos nalgunhaszonas. Quéreseincluír un estudosobre a opinión daspersoas vinculadas áuniversidade. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  37. 37. 2. Poboación e Mostra¿Canta xente está a favorde prohibir a entrada decoches no campus? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  38. 38. 2. Poboación e Mostra Definición da poboaciónConsideraranse elementos da poboación: Todos os estudantes matriculados duranteeste curso nos tres ciclos ou nun postgraooficial. Todo o persoal de administración e servizos. Todos os profesores a tempo completo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  39. 39. 2. Poboación e MostraPodemos estudar a opinión de toda apoboación?• SI facemos un CENSO estudo exhaustivo detodos os elementos da poboación.• NON collemos unha MOSTRA estudo nunconxunto representativo da poboación. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  40. 40. 2. Poboación e MostraNesgos que poden aparecer na mostra:• Nesgo de selección: Por exemplo, se só preguntamosás persoas que veñen en bus urbano a primeira hora.SOLUCIÓN: Deseñar a mostra cun procedementoobxectivo que garanta a representación de todos osindividuos da poboación.• Nesgo por non resposta. Por exemplo, se enviamos uncuestionario, pode que non contesten os que non teñancoche propio por sentirse pouco afectados.SOLUCIÓN: non sempre se pode evitar, pero débeseintentar controlar (incluír preguntas tipo: tes cochepropio . . . ? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  41. 41. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Mostraxe probabilística Tipos de mostraxe IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  42. 42. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeUn método de mostraxe é oprocedemento empregado para aobtención da mostra.A teoría que estuda os métodos axeitadosa cada modelo é a teoría de mostraxeou técnicas de mostraxe. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  43. 43. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeUnha mostraxe dise probabilística oualeatoria se todos os individuos damostra se elixen ao azar, de modo quetodos os individuos da poboación teñen, apriori, a mesma probabilidade de serelixidos IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  44. 44. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeA calidade da mostra é tan importantecoma o seu tamaño. Ao substituír oestudo da poboación polo da mostra,cométense erros. Pero con eles xacontamos e poden controlarse.Se a mostra está mal elixida (non érepresentativa) prodúcense errosadicionais imprevistos e incontrolablesnesgos). IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  45. 45. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeNa mostraxe probabilísticadistínguense dúas modalidades,dependendo do procedementoaleatorio de extracción utilizado:• Mostraxe con substitución.• Mostraxe sen substitución. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  46. 46. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeCando eliximos unha mostra de tamaño nnunha poboación, a elección de cada undos elementos da mostra é unha variablealeatoria.Temos polo tanto X1, X2,...,Xn variablesaleatorias, chamadas variables mostrais. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  47. 47. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeTanto na mostraxe consubstitución como sen ela, asdistribucións das variablesmostrais son iguais entre si eiguais á distribución deprobabilidade da poboación dacal proceden. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  48. 48. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeNon obstante, na mostraxe sensubstitución as variables mostraisnon se distribúenindependentemente, cousa quesucede cando existe substitución.Vexamos isto cun exemplo: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  49. 49. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeSexa unha urna con 100 bólas, das cales : 20 están marcadas co número 1 30 co 2 50 co 3.Extráense dúas bólas ao azar e mírase apuntuación que teñen. Imos determinar adistribución das variables mostrais X1 e X2cando a mostra se extrae con e sensubstitución. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  50. 50. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeA variable poboacional:X=Puntuación da bóla extraídaTen como distribución de probabilidade: P(X = 1) = 0, 20 P(X = 2) = 0, 30 P(X = 3) = 0, 50 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  51. 51. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Con substitución:P(X1 = 1) = P(X1 = 1  X2 = 1) + P(X1 = 1  X2 = 2) + P(X1 = 1  X2 = 3)= 0, 2 . 0, 2 + 0, 2 . 0 ,3 + 0, 2 . 0, 5 = 0, 2P(X1 = 2) = P(X1 = 2  X2 = 1) + P(X1 = 2  X2 = 2) + P(X1 = 2  X2 = 3)= 0, 3 . 0, 2 + 0, 3 . 0, 3 + 0, 3 . 0, 5 = 0, 3P(X1 = 3) = P(X1 = 3  X2 = 1) + P(X1 = 3  X2 = 2) + P(X1 = 3  X2 = 3)= 0, 5 0, 2 + 0, 5 0, 3 + 0, 5 0, 5 = 0, 5 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  52. 52. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeX2 distribúese igual a X1 e igual a X.Ademais as variables son independentesxa que: P(X1 = x1  X2 = x2 ) = P(X1 = x1 ) . P(X2 = x2 ) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  53. 53. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Sen substituciónP(X1 = 1) = P(X1 = 1  X2 = 1) + P(X1 = 1  X2 = 2) + P(X1 = 1  X2 = 3)= 0,2 . 19/99 + 0,2.30/99 + 0,2. 50/99 = 0,2P(X1 = 2) = P(X1 = 2  X2 = 1) + P(X1 = 2  X2 = 2) + P(X1 = 2  X2 = 3)= 0,3. 20/99 + 0,3. 29/99 + 0,3. 50/99 = 0,3P(X1 = 3) = P(X1 = 3  X2 = 1) + P(X1 = 3  X2 = 2) + P(X1 = 3  X2 = 3)= 0,5. 20/99 + 0,5.30/99 + 0,5.49/99 = 0,5 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  54. 54. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeX2 distribúese igual a X1 e igual a X.As variables non son independentes xa que: P(X1 = 1  X2 = 1) = 0, 2 ⋅ 19/99 ≠ 0,2 ⋅ 0, 2 = P(X1 = 1) ⋅ P(X2 = 1) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  55. 55. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Probabilísticos: •Aleatorio simple Todos os individuos da poboación •Aleatorio sistemático teñen a mesma probabilidade de simple formar parte da mostra. •Estratificado •Por conglomerados eTipos de áreasmostraxe •Polietápico Non aleatorio: •Intencional •Por cotas •Opinático •Semialeatorio •De xuízo •Por bóla de neve IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  56. 56. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Mostraxes probabilísticos ou aleatorios IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  57. 57. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe• Mostraxe aleatorio simple•É o tipo de mostraxe máis simple e no que se basean todos os demais.• É no que todos os individuos da poboación teñen a mesma probabilidade de ser escollidos. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  58. 58. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Os individuos elixidos en observacións anteriores a unha dada reinsertaranse na poboación, podendo aparecer novamente. As variables aleatorias que conforman a mostra poden supoñerse independentes e identicamente distribuídas. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  59. 59. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe A mostra aleatoria simple ten dúas propiedades: Inesgada: cada unidade ten a mesma probabilidade de saír elixida Independencia: a selección dunha unidade non inflúe na selección das outras IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  60. 60. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Algunhas das posibles formas deobter unha mostra por este métodoson:• A utilización de táboas denúmeros aleatorios.• A simulación dunha variablediscreta equiprobable. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  61. 61. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe• As táboas de números aleatorios son recopilacións de díxitos obtidos como resultado dalgún procedemento físico que garante a aparición de cada posible valor (entre 0 e 9) coa mesma probabilidade e de xeito que sexan independentes entre si. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  62. 62. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxePor exemplo, un histórico dos númerospremiados nos sorteos da Lotería Nacional. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  63. 63. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Procedemento: Numéranse os elementos da poboación. Escóllese n como o enteiro máis pequeno que garante que o número de elementos da poboación non sobrepasa 10n.Cada grupo de n díxitos aleatorios dá lugar a unelemento da poboación, sempre que o númeronon exceda o tamaño da poboación. Nesteúltimo caso, rexéitase o número obtido econtinúase ata completar o tamaño da mostradesexado. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  64. 64. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeActualmente é moi común quesexan obtidas mediante unxerador de números aleatorios.(Exemplo de xerador en:http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/ geogebra/figuras/azar_aleatorios.htm ) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  65. 65. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeExemploQueremos obter unhamostra aleatoria simple, detamaño 10, dos días do ano(nun ano non bisesto).Numeramos os días do anocorrelativamente,comezando polo 1 dexaneiro (número 1) eterminando polo 31 dedecembro (número 365). IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  66. 66. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe 3690 2492 7171 7720 6509 7549 2330 5733 4730 Agrupamos de 3 0813 6790 6858 1489 2669 3743 1901 4971 8280 6477 5289 4092 4223 6454 7632 7577 2816 9002en 3 os díxitos da 0772 2160 7236 0812 4195 5589 0830 8261 9232táboa de números 5692 9870 3583 8997 1533 6466 8830 7271 3809 2080 3828 7880 0586 8482 7811 6807 3309 2729 aleatorios e 1039 3382 7600 1077 4455 8806 1822 1669 7501 7227 0104 4141 1521 9104 5563 1392 8238 4882 8506 6348 4612 8252 1062 1757 0964 2983 2244 completamos a 5086 0303 7423 3298 3979 2831 2257 1508 7642 0092 1629 0377 3590 2209 4839 6332 1490 3092 mostra. 0935 5565 2315 8030 7651 5189 0075 9353 1921 2605 3973 8204 4143 2677 0034 8601 3340 8383 7277 9889 0390 5579 4620 5650 0210 2082 4664 5484 3900 3485 0741 9069 5920 4326 7704 6525 6905 7127 5933 1137 7583 6450 5658 7678 3444 8387 5323 3753 1859 6043 0294 5110 6340 9137 4094 4957 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  67. 67. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe 369 =) NON. 024 =) SI. Escollemos o 24 de xaneiro 927 =) NON. 171 =) SI. Escollemos o 20 de xuño. 772 =) NON. 065 =) SI. Escollemos o 6 de marzo. 097 =) SI. Escollemos o 7 de abril. 549 =) NON. 233=) SI. Escollemos o 22 de agosto. 057 =) SI. Escollemos o 26 de febreiro. 334 =) SI. Escollemos o 30 de novembro. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  68. 68. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe730 =) NON.081 =) SI. Escollemos o 22 de marzo.367 =) NON.906 =) NON.858 =) NON.148 =) SI. Escollemos o 28 de maio.926 =) NON.693 =) NON.743 =) NON.190 =) SI. Escollemos o 9 de xullo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  69. 69. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Mostraxe sistemático• Úsase frecuentemente cando os individuos da poboación están ordenados en listas. Este tipo de mostraxe é máis sinxelo emáis rápido computacionalmenteque a mostraxe aleatoria simple. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  70. 70. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Dende un punto de vista probabilístico, pode ser moi adecuado se os individuos cercanos na lista presentan valores dependentes entre si. O gran inconveniente é que existan periodicidades na lista que coincidan co salto k. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  71. 71. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Procedemento:Temos unha poboación de tamaño N, da quequeremos extraer unha mostra de nindividuos, a mostraxe sistemática consisteen:1.Achar k, a parte enteira de N/n.2.Elixir aleatoriamente l conequiprobabilidade no conxunto 1, 2, 3, …, k3.Considéranse os individuos nas posicións l , k + l , 2k + l , …, (n - 1)k + l IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  72. 72. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeExemploConsideramos a poboación: “Recadación dun cine para cada día doano 2004 (N = 366)”.Decidimos tomar unha mostra de 52 días, entón k=366/52=7, polotanto os 52 días da mostra corresponderán sempre ao mesmo día dasemana. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  73. 73. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Así se o valor elixido ao azar entre 1 e 7 é l = 6, a mostra consistirá en todas as recadacións dos sábados do ano 2004. Isto, obviamente producirá un nesgo considerable nas estimacións que se obteñan desta mostra. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  74. 74. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Mostraxe estratificado Está indicado para aqueles casos nos quetemos información sobre as unidades obxectode estudo, de tal forma, que podemos dividir apoboación en estratos ou grupos de individuosentre os cales existen importantes diferenzas. A mostraxe estratificada consiste en obterun número de individuos (denominado afixación)segundo unha mostraxe aleatoria simple dentrode cada estrato IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  75. 75. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Existen tres formas de proceder:•Afixación simple: Tómase o mesmonúmero de individuos en cada estrato.•Afixación proporcional: Elíxese o númerode individuos en cada estratoproporcionalmente ao tamaño do estratona poboación. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  76. 76. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe• Afixación óptima: Suponse que se coñeceo tamaño de cada estrato dentro dapoboación, Ni, a desviación típica dacaracterística obxecto de estudo en cadaestrato, i , e o custo da mostraxe de cadaunidade para cada estrato, ci . IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  77. 77. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeO número de individuos a elixir en cadaestrato é: σi Ni ⋅ ci ni = K σj ∑ Nj ⋅ c j=1 j IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  78. 78. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeExemplo: para saber o número de persoas quetraballan no subsector pesqueiro en Galicia, noIGE realízase unha mostraxe aleatoriaestratificada. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  79. 79. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeDivídese o sector en: marisqueo a flota pesca costeira pesca de altura,Cada unha destas secciónanse en diferentes estratossegundo o TRB (toneladas de rexistro bruto) dosbuques.Desta forma resultan un total de 9 estratos.Podes atopar máis información na páxina do IGE(http://www.ige.eu/estatico/pdfs/s3/metodoloxias/met_macro_pesca_20) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  80. 80. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Mostraxe por conglomerado Supón que a poboación pode dividirse en conglomerados ou grupos que son homoxéneos entre si. En lugar de elixir unha mostra en cada conglomerado, elíxesen aleatoriamente algúns conglomerados e tómanse censos ou mostras neles. Isto abarata o procedemento de mostraxe. Dentro de cada conglomerado, a forma de elixir mostras pode seguir calquera outro procedemento que se considere axeitado. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  81. 81. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeExemplo: unha enquisa nos fogares galegos.A enquisa divide a Galicia en seccións censais(conglomerados), aleatoriamente obténmostras de seccións censais e estuda cadaun dos fogares nas seccións censaispertencentes á mostra IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  82. 82. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Mostraxe polietápica A mostraxe polietápica fai referencia a plans de mostraxe máis complexos que se levan a cabo en varias etapas. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  83. 83. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeExemplo:Supoñamos que sequere analizar avixencia dos equiposinformáticos nunconxunto deempresas dun certoramo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  84. 84. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Poderiamos facer primeiro unha mostraxe estratificada seleccionando empresas de acordo ao seu tamaño: pequena mediana grande IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  85. 85. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Dentro de cada estrato da mostra, poderíase facer unha mostraxe por conglomerados, para seleccionar só unhas cantas empresas. En cada empresa, mediante estratos, seleccionaranse os equipos informáticos a analizar : portátiles, equipos de mesa e multifuncións. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  86. 86. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe •Portátiles Empresa pequena •Equipos de mesa •Multifuncións •PortátilesEmpresas •Equipos de mesa Empresa medianadun certo •Multifunciónsramo . Portátiles •Equipos de mesa Empresa grande •Multifuncións IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  87. 87. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe Mostraxes non aleatorios IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  88. 88. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxeEn ocasións, as propiedades aleatoriedadedesexables para calquera mostrasacrifícanse co fin de gañar rapidez oude aforrar custo. Nestes casos a incerteza dos resultados nunca se poderá medir co mesmo rigor que no caso de mostras aleatorias. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  89. 89. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe• Mostraxes non aleatorios:•Mostrase opinática: Cada elemento elíxese subxectivamente, por consideralo representativo dentro da poboación.•Mostraxe por cotas: Limita a subxectividade do entrevistador, obrigándolle a elixir un certo número de individuos da mostra con certa característica.•Mostraxe semialeatoria: Nalgunha fase da mostraxe aleatoria déixase á elección do entrevistador os individuos que deben seleccionarse. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  90. 90. 3. Mostraxe probabilística. Tipos de mostraxe• Mostraxes non aleatorias:•Mostraxe por rutas: Consiste en especificar as pautas a seguir nun itinerario para desembocar no individuo enquisado. Utilízase moi frecuentemente en traballo de campo en enquisas de opinión.•Mostraxe por bóla de neve: Consiste en lograr identificar a algún individuo representativo, e este levará a outro e así sucesivamente. É unha técnica utilizada en estudos de colectivos marxinais, seitas, etc. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  91. 91. 4. Teorema central do límite O teorema central do límite IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  92. 92. 4. Teorema central do límite• O teorema central do límite é un dos teoremas fundamentais da Estatística.• Estuda o comportamento da suma de variables aleatorias, cando crece o número de sumandos, asegurando a súa converxencia cara a unha distribución normal en condicións moi xerais.• O teorema central do límite establece o que pasa cando temos a suma dun grande número de variables aleatorias independentes. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  93. 93. 4. Teorema central do límite Este teorema ten unha gran aplicación na inferencia estatística, xa que moitos parámetros de diferentes distribucións de probabilidade, como a media, poden expresarse en función dunha suma de variables. Permite tamén aproximar moitas distribucións de uso frecuente: binomial, Poisson, chi cuadrado, t-student, gamma, etc., cando os seus parámetros crecen e o cálculo faise difícil. Vexamos un exemplo www.terra.es/personal2/jpb00000/ttcentrallimite.htm) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  94. 94. 4. Teorema central do límite Teorema Central do Límite: Se nunha poboación con media μ e desviación típica σ, tomamos mostras aleatorias de tamaño n, a distribución de probabilidade da media mostral X tende a unha normal de media μ e desviación típica σ cando n tende a infinito; n é dicir: Para n grande, distribúese aproximadamente coma unha σ N(μ( ) n IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  95. 95. 4. Teorema central do límite• Exemplo:Supoñamos que atemperatura deCarballo é unhavariable aleatoriacontinua conmedia descoñecida μe desviación típica σ = 256 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  96. 96. 4. Teorema central do límiteFanse 64 observacións aleatorias de temperatura.Cal é a probabilidade de que a temperatura media observadaexceda en máis de 1,5 graos á μ ? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  97. 97. 4. Teorema central do límite Exemplo: Como temos un número suficientemente grande de observacións, podemos asumir que a temperatura media observada, X , distribúese coma:  256  N μ,  = N( μ,2)  64    X −μ Polo tanto a variable aleatoria Z = é unha N( 0,1) 2  X − μ (μ + 1.5) - μ P  = P( Z > 0.75 ) = 1 − P( Z < 0.75 ) = 1 − 0,7734 = 0,2266  2 > 2    IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  98. 98. 4. Teorema central do límite O obxectivo do noso estudoé poder estender á poboacióno que obteñamos dunhamostra. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  99. 99. 5. Distribución da media mostral Distribución da media mostral IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  100. 100. 5. Distribución da media mostralSupón que da poboación formada portodos os alumnos/as do instituto, extraesaleatoriamente unha mostra de 40alumnos/as, e pregúntaslles pola súaidade, atopando que a idade media obtidaé 15,8 anos . IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  101. 101. 5. Distribución da media mostral Pero,... Que ocorrería, seextraésemos outramostra? Coincidirían asmedias ? Coincidirían esasmedias coa media dapoboación? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  102. 102. 5. Distribución da media mostralParece lóxico pensar que aínda que nonteñan porqué coincidir, si deberían estarbastante próximas.Pero,... canto de próximas? dependería esta proximidade do tamañodas mostras que eliximos? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  103. 103. 5. Distribución da media mostral Para poder responder a estas cuestións é necesario que estudemos a variabilidade das medias obtidas das mostras que repetidamente se extraian.O seguinte resultado, respondeclaramente ás preguntas formuladas. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  104. 104. 6. Distribución da media mostral dunha poboaciónnormal Resultado:Supoñamos que queremos estudar unhavariable (lonxitude, peso, idade,..) nunhapoboación de tamaño N na que a media dapoboación para esa variable é μ e a súadesviación típica é σ IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  105. 105. 6. Distribución da media mostral dunha poboación normal Extraemos aleatoriamente todas as posibles mostrasde tamaño n. Obtemos a media de cada unha destas mostras x1 , x2 ,...., xj , e as consideramos unha distribuciónde datos (a distribución mostral de medias)•Verifícase que:a) A media dos datos é a media da poboación μ , é dicir,a media das medias das mostras é igual ca media dapoboación. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  106. 106. 6. Distribución da media mostral dunha poboación normalb) Estas medias distribúense arredor da media  dapoboación, cunha desviación típica (chamada desviacióntípica da media, ) igual á da poboación dividida pola raízde n, é dicir, a desviación da media mostral é: σ n c) A distribución das medias mostrais é unhadistribución  de tipo "normal" sempre que a poboación deprocedencia o sexa, ou incluso se non o é, sempre que otamaño das mostras sexa N = 30 ou maior. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  107. 107. 6. Distribución da media mostral dunha poboación normal• En consecuencia, se unha poboación ten media μ edesviación típica σ, e tomamos mostras de tamaño n (de tamaño cando menos 30, ou calquera tamaño, se apoboación é "normal"), as medias destas mostras seguenaproximadamente a distribución  σ  X ≡ N μ,   n IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  108. 108. 6. Distribución da media mostral dunha poboación normal• Canto maior é o valor de n, mellor é aaproximación "normal"A desviación típica da media é o grao de variabilidade dasmedias mostrais. Canto menor sexa, máis axustadas ámedia da poboación serán as medias que obteñamos dunhamostra. Da propia definición desta desviación típicaconclúese que canto maior é o tamaño da mostra, menor éeste grao de variabilidade e, polo tanto, máis similar ámedia da poboación será a media obtida da mostra. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  109. 109. 6. Distribución da media mostral dunha poboación normalNesta páxina podes atopar unha aplicacióninteractiva que o ilustrahttp://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducati IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  110. 110. 6. Distribución da media mostral dunha poboación normal ExemploUnha compañía aérea sabe que a bagaxe dos seuspasaxeiros ten como media 25 kg. cunha desviación típicade 6 kg. Un dos seus avións transporta a 50 pasaxeiros, cal é aprobabilidade de que o peso medio para estes pasaxeirossexa superior a 26 kg? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  111. 111. 6. Distribución da media mostral dunha poboación normal ExemploSe o avión non debecargar máis de 1300 kgnas súas bodegas paranon superar a marxede seguridade, en quetanto por cen os aviónsdesta compañíasuperan a marxe deseguridade? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  112. 112. 6. Distribución da media mostral dunha poboación normalO peso medio das bagaxes de dito grupo estarána distribución mostral de medias  6  N 25,  = N( 25,0,84 )  50 A probabilidade de que o peso medio para estespasaxeiros sexa superior a 26 kg sería: ( ) P X > 26 = P Z > 26 − 25  0,84   = P( Z > 1,18) = 0,119 ≈ 11,9%  IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  113. 113. 6. Distribución da media mostral dunha poboación normal Se o avión non debe cargar máis de 1300 kg nassúas bodegas, a media do conxunto dos 50pasaxeiros non debe superar os 1300 = 26 50Polo tanto nun 11,9% dos casos os avións destacompañía superan a marxe de seguridade. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  114. 114. 7. Distribución da proporción Distribución da Proporción IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  115. 115. 7. Distribución da proporciónA distribución binomial B(n,p), permítenoscoñecer como se distribúe o número de éxitoscorrespondente a un experimento realizado nveces, e no que a probabilidade de éxito en cadaexperimento é p. Dita distribución ten media edesviación típica: μ = n ⋅p σ = n ⋅p⋅q IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  116. 116. 7. Distribución da proporciónSupoñamos que X é a variable que mide o númerode éxitos. Os posibles valores de Xson: 0,1,2,...,n.Se definimos unha nova variable, X Y= nesta tomaría os valores correspondentes ásproporcións (en tanto por un) de éxito. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  117. 117. 7. Distribución da proporción XSe por exemplo n=200, como Y= teríase: nX=0 , (0 éxitos ) equivale a Y=0 ( é dicir, un 0%de éxitos)X=1 , (1 éxito ) equivale a Y=0,005 ( 0,5% deéxitos)X=2 , Y=0,01 ( é dicir, 2 éxitos equivalen a un 1%de éxitos)....X=n  , Y=1 ( n éxitos = 100% de éxitos) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  118. 118. 7. Distribución da proporciónDividindo por n, obteremos a media e adesviación típica da variable Y que representa aproporción de éxitos:        n ⋅p⋅q p⋅q σ= = n n n ⋅p μ= =p n IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  119. 119. 7. Distribución da proporciónSe np>5, nq>5, utilizando a aproximación normal ábinomial, poderemos afirmar que as proporciónsde éxito, para un experimento binomial de nprobas con probabilidade de éxito p en cadaproba, distribúense segundo:  p⋅q  N p,    n  IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  120. 120. 7. Distribución da proporciónPolo tanto, se nunha poboación, unha determinadacaracterística de tipo binomial (a poboación divídeseentre os que a teñen e os que non), preséntase nunhaproporción p, ao tomar mostras de tamaño n, asproporcións p obtidas, distribuiranse segundo  p⋅q  N p,    n  (a partir deste momento suporemos sempre que np>5,nq>5).Esta distribución denomínase distribuciónda proporción mostral IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  121. 121. 7. Distribución da proporción EXEMPLO:Nunha empresa estáestablecido que unha máquinaopera correctamente cando,como máximo un 5% da súaprodución é defectuosa.Elíxese aleatoriamente unhamostra de 100 artigosproducidos por unha certamáquina e 40 deles sondefectuosos.Existe razón para pensar que amáquina está estragada?. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  122. 122. 7. Distribución da proporción EXEMPLO:As proporcións mostrais para mostras de tamaño 40nunha máquina normal distribúense segundo  0,05 ⋅ 0,95  N 0,05;  = N( 0,05;0,0218)  100   é dicir, distribúense de forma "normal" arredor do 5%cunha desviación típica do 2,18%. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  123. 123. 7. Distribución da proporciónEn consecuencia, a probabilidade de valores como orexistrado 40 = 0,4 ≈ 40% 100resulta ser:  0,4 − 0,05  P( Y > 0,4 ) = P Z >  = p( Z > 16,05 ) = 0  0,0218 e podemos asegurar "estatisticamente" que a máquinaestá estragada. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

×