Aplicaciones del calculo integral

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Aplicaciones del calculo integral

  1. 1. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Ing. Gerardo Valdés Bermudes
  2. 2. RESUMEN DE CONTENIDOS  Notación Sigma  Sumas de Riemman  Cálculo de Áreas  Integral Definida  Teorema fundamental del Calculo  Integral Indefinida  Formulas de Integración  Métodos de Integración  Integración Aproximada
  3. 3. NOTACIÓN SIGMA  Notación Sigma  Necesidad de generalizar el proceso de sumar  Sumas de Riemman  Suma de infinitos rectángulos que forman parte del área bajo una curva  Definición de Integral Definida  Teorema Fundamental del Cálculo
  4. 4. INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA APLICACIONES  Geométricamente, la expresión  Representa el área bajo la curva f´(x), entre los limites x=a y x=b.  Cuando se sustituyen x e y por variables relacionadas a situaciones reales, se tiene una aplicación real de la integral definida.
  5. 5. INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA APLICACIONES
  6. 6. INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA APLICACIONES
  7. 7. INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA APLICACIONES
  8. 8. INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA APLICACIONES En términos generales, cualquier producto entre dos cantidades que tenga un significado real puede tener aplicación en el cálculo integral.
  9. 9. TEOREMA DEL CAMBIO TOTAL  Teorema fundamental del cálculo  es la razón de cambio de y=f(x) con respecto a x.  f(b)-f(a) es el cambio en y cuando x cambia de a hacia b
  10. 10. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. HIDRODINÁMICA  Si V(t) es el volumen de agua de un deposito, en el instante t, entonces su derivada V’(t) es la proporción a la cual fluye el agua hacia el deposito en el instante t. Por eso:  Es el cambio en la cantidad de agua en el deposito entre los instantes t1 y t2.
  11. 11. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. QUÍMICA  Si es la concentración del producto de una reacción química en el instante t, entonces la velocidad de reacción es la derivada , en el instante t. Por eso:  Es el cambio en la concentración de C, desde el instante t1 hasta el t2.
  12. 12. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. FÍSICA  Si la masa de una varilla, medida desde el extremo izquierdo hasta un punto x, es m(x), entonces la densidad lineal es p(x)=m’(x). Por consiguiente,  Es la masa del segmento de varilla entre x=a y x=b.
  13. 13. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. SOCIOLOGÍA  Si la rapidez de crecimiento de una población es entonces,  Es el cambio total en la población durante el periodo desde t1 hasta t2.  (La población aumenta cuando ocurren nacimientos y disminuye cuando se suscitan muertes)
  14. 14. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. ECONOMÍA  Si C(x) es el costo de producir x unidades de un articulo, entonces el costo marginal es la derivada C´(x). De esa manera,  Es el incremento en el costo cuando la producción aumenta de x1 unidades hasta x2 unidades.
  15. 15. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. FÍSICA  Si un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con función de posición s(t), entonces su velocidad es v(t)=s  es el cambio de la posición o desplazamiento de la partícula durante el periodo desde t1 hasta t2.
  16. 16. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. CONDICIONES  Si una situación de la vida cotidiana en la que se relacionen dos variables, puede representarse como una función, entonces puede ser posible estudiarla con el enfoque del calculo diferencial e integral aplicando alguna de las formulas o métodos que estudiamos en el curso.  Cuando no se tenga una función para representar algún fenómeno, pero se tiene información de un grafico o una tabla, podemos hacer el estudio o análisis empleando la integración aproximada (Trapecios o Simpson).
  17. 17. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. EJEMPLO  Un corredor especialista en los 100 metros planos, puede desarrollar una velocidad en función del tiempo desde su arranque (t=0), de acuerdo con la siguiente formula: ¿Qué distancia recorrerá en los primeros 10 segundos? ¿y en los primeros 20 segundos?
  18. 18. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. EJEMPLO  En los primeros 10 segundos el corredor recorrerá:
  19. 19. EJEMPLO PRÁCTICO. CONSUMO DE ENERGÍA ELÉCTRICA  En la gráfica se muestra el consumo de energía eléctrica (potencia) en la ciudad de Culiacán un día de Agosto (P se mide en Megawatts y t en horas, a partir de la medianoche). Estime la energía que se utilizó ese día.
  20. 20. EJEMPLO PRÁCTICO. CONSUMO DE ENERGÍA ELÉCTRICA  Solución: La potencia es la relación de cambio de la energía: P(t)=E´(t). Por lo tanto, la cantidad de energía que se usó ese día es:  Empleando un método de integración aproximada (Trapecios o Simpson).  15840 Megawatts-horas.
  21. 21. EJEMPLO PRÁCTICO. DISTANCIA RECORRIDA  La velocidad de un automóvil se leyó en su velocímetro a intervalos de 10 segundos y se registró en una tabla. Usa un método de integración aproximada para estimar la distancia recorrida por el vehículo.
  22. 22. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. DETERMINACIÓN DE FORMULAS  En todas las disciplinas donde intervienen relaciones entre variables que pueden representarse como ecuaciones o funciones, el Cálculo es una herramienta importante en la deducción de nuevas formulas a partir de ciertas condiciones conocidas.
  23. 23. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. DETERMINACIÓN DE FORMULAS  ¿Qué formula nos permite calcular el área de una elipse?  Condiciones conocidas:  Ecuación de la elipse con centro en el origen:
  24. 24. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL. DETERMINACIÓN DE FORMULAS F22

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