จำนวนจริง

1

เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 31101 เรื่ อง ระบบจานวนจริ ง ระดับชั้นม.4

ระบบจำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ (Rational
a, b เป็ นจานวนเต็ม และ b  0

นันคือ
่

 {x x 

ใช้
a
b

number) คือ จานวนที่สามารถเขียนให้อยูในรู ปเศษส่ วน
่

แทนเซตของจานวนตรรกยะ

เมื่อ a, b  I และ b  0 }

ตัวอย่ำงจำนวนตรรกยะ เช่น
- จานวนเต็ม
-

1 1
5
,3 ,
2 6
4
เช่น 0.5, 2.43, 5.465

เศษส่วน เช่น

ทศนิยมซ้ า
จำนวนอตรรกยะ (Irational number) คือ จานวนที่ไม่เป็ นจานวนตรรกยะ
ใช้  แทนเซตของจานวนอตรรกยะ
ตัวอย่ำงจำนวนอตรรกยะ เช่น
- จานวนที่อยูในรู ปกรณฑ์ ที่เมื่อหาค่าแล้วไม่เป็ นจานวนตรรกยะ เช่น 2, 5 3
่
- จานวนที่อยูในรู ปทศนิ ยมไม่ซ้ า เช่น 0.125693..., 0.12122122212222...
่
-

- , e

จำนวนจริง (Real Number) ประกอบด้วยเซตของจานวนตรรกยะและเซตของ
จานวนอตรรกยะ ใช้สญลักษณ์ แทนเซตของจานวนจริ ง นันคือ   
ั
่
แผนผังแสดงจำนวนชนิดต่ำง ๆ
จำนวนจริง
จานวนตรรกยะ
จานวนตรรกยะที่ไม่เป็ นจานวนเต็ม
จานวนเต็มลบ

จานวนอตรรกยะ
จานวนเต็ม
จานวนเต็มศูนย์

จานวนเต็มบวก

เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา
ั

a
b

โดยที่

2

คำชี้แจง ให้นกเรี ยนกาเครื่ องหมาย 
ั
จานวนนั้น ๆ ให้ถกต้อง
ู
ข้ อที่

จำนวนที่กำหนดให้

1
2

ใบงำนที่ 1
ลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ตรงกับชนิดของ

จำนวนจริง
จำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนเต็มลบ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ

-8

3
4
5
6
7
8
9
10



0.3


13
2

125
3

1.41
15
3
4 2
 

0.234
( 6)2

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

ั

3

สมบัติของจานวนจริ งเกี่ยวกับการบวก ว่าในระบบจานวนจริ ง จะเรี ยก จานวนจริ งที่บวกกับจานวน
จริ งจานวนใดก็ตามแล้วได้ผลลัพธ์เป็ นจานวนจริ งนั้นว่า เอกลักษณ์กำรบวก
กล่าวคือ ให้ a, z เป็ นจานวนจริ งใด ๆ โดยที่ z เป็ นเอกลักษณ์การบวก
จะได้ว่า
a z  za  a

ในระบบจานวนจริ ง มีเอกลักษณ์การบวกจานวนเดียว คือ 0
นันคือ
0a  a 0  a
่
อินเวอร์ สกำรบวก ของจำนวนจริง a ว่า หมายถึง จานวนจริ งที่บวกกับ a แล้วได้
ผลลัพธ์เป็ น 0 ใช้สญลักษณ์ -a แทนอินเวอร์สการบวก ของจานวนจริ ง a กล่าวคือ ถ้า a เป็ นจานวนจริ ง
ั
ใด ๆ จะได้ว่า
a  (a)  (a)  a  0

นันคือ ถ้าจานวนสองจานวนบวกกันได้ศนย์จะเรี ยกจานวนทั้งสองว่าเป็ นอินเวอร์สซึ่งกันและกัน
ู
่
จำนวน (a)

อินเวอร์ สกำรบวก (-a)

5
0.3
- 3
2
1 1

2 3
1 2

2

-5
-0.3
3
-2 
1 1
-(  )
2 3
1 2
2

ั

4


*** นอกจาก จานวนจริ งจะมีเอกลักษณ์การบวก และอินเวอร์สการบวกแล้ว จานวนจริ งยังมี
สมบัติอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับการบวก ดังนี้
สมบัติ
สมบัติปิด
สมบัติการสลับที่
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
สมบัติการมีเอกลักษณ์

สมบัตของกำรบวก
ิ
ถ้า a  และ b  แล้ว

ตัวอย่ำง
ถ้า 1, 2 แล้ว

a  b
a b  ba

1 2 
1 2  2 1

(a  b)  c  a  (b  c)

(1  2)  3  1  (2  3)

มีจานวนจริ ง 0 ซึ่ง

05  5  50

0a  a  a 0

สมบัติการมีอินเวอร์ส

สาหรับจานวนจริ ง a จะมี
จานวนจริ ง –a ที่

3  (3)  (3)  3  0

a  (a)  (a)  a  0

ตัวอย่ำงที่ 1 ข้อความต่อไปนี้เป็ นจริ งตามสมบัติของจานวนจริ งข้อใด
1. 2  8 เป็ นจานวนจริ ง เป็ นจริ งตามสมบัติปิดของการบวก
เนื่องจาก 2  และ 8 ดังนั้น 2  8 
2. (3  1)  6  3  (1  6) เป็ นจริ งตามสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก
3. 8  0  8 เป็ นจริ งตามสมบัติการมีเอกลักษณ์ของการบวก
4. (2)  2  0 เป็ นจริ งตามสมบัติการมีอินเวอร์ สของการบวก
สมบัติของระบบจานวนจริ งเกี่ยวกับการคูณ ว่าในระบบจานวนจริ ง จะเรี ยก จานวนจริ งที่ไม่เป็ น
ศูนย์ซ่ึงคูณกับจานวนจริ งใดก็ตาม ได้ผลลัพธ์เป็ นจานวนจริ งจานวนนั้น เรี ยกว่า เอกลักษณ์กำรคูณ กล่าวคือ
ba  a  ab

ในระบบจานวนจริ ง มีเอกลักษณ์การคูณจานวนเดียว คือ 1
1a  a  a1
นันคือ
่
ในระบบจานวนจริ ง อินเวอร์ สกำรคูณของจำนวนจริง a  0 หมายถึง จานวนจริ งที่คูณกับ a แล้ว
ได้ ผลลัพธ์เป็ น 1 ใช้สญลักษณ์ a 1 แทนอินเวอร์สการบวกของจานวนจริ ง a
ั
a 1 a  1  a a 1
กล่าวคือ

ั

5

จานวน (a)

อินเวอร์สการคูณ ( a 1 )

a 1 a  1  a a 1

8

1
8

1
1
8  1  8
8
8



1.3

1
2
2

-2

1
2

หรื อ 13
10

1
หรื อ 10
1.3
13

1
1
( )(2)  1  (2)( )
2
2
1
1
( )( 2)  1  ( 2)( )
2
2
10 13
13 10
( )( )  1  ( )( )
13 10
10 13

ในระบบจานวนจริ งยังมีสมบัติอื่น ๆ เกี่ยวกับการคูณอีก กล่าวโดยสรุ ป สมบัติเกี่ยวกับการคูณของ
จานวนจริ ง มีดงนี้
ั
สมบัติ

ิ
ถ้า a  และ b  แล้ว

ตัวอย่ำง
ถ้า 1, 2 แล้ว

a b
ab  ba

(1 2) 
35  53

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (a b) c  a (b c)
สมบัติการมีเอกลักษณ์ มีจานวนจริ ง 1 และ 1  0 ซึ่ง

(2 3) 4  2 (3 4)
17  7  71

1a  a  a1


สาหรับ a ที่ a  0 จะมีจานวน
จริ ง a 1 โดยที่

1
1
3  1 3
3
3

a 1 a  1  a a 1

ในระบบจานวนจริ งยังมีสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณ สมบัติดงกล่าว ได้แก่
ั
สมบัตกำรแจกแจง กล่าวคือ
ิ
a(b  c)  ab  ac และ (b  c) a  ba  ca
ตัวอย่ำงที่ 2 ข้อความต่อไปนี้เป็ นจริ งตามสมบัติของจานวนจริ งข้อใด
1. มีจานวนจริ งที่คณกับ 0.9 แล้วได้ 1 เป็ นจริ งตามสมบัติการมีอินเวอร์ สของการคูณ
ู
2. 1 (8)   8 เป็ นจริ งตามสมบัติการมีเอกลักษณ์ของการคูณ
3. 98  (10  7)  980  686 เป็ นจริ งตามสมบัติการแจกแจง

ั

6

ให้

a, b, c 

สมบัติ
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
สมบัติการมีเอกลักษณ์

ิ

สมบัตของกำรคูณ
ิ

a  b

a b

a b  ba

ab  ba

(a  b)  c  a  (b  c)

(a b) c  a (b c)

มี 0 เป็ นเอกลักษณ์การบวก
มี 1 เป็ นเอกลักษณ์การคูณ
โดยที่ 0  a  a  0  a
โดยที่ 1 a  a 1  a
อินเวอร์สการบวกของ a คือ –a อินเวอร์สการคูณของ a คือ
1
โดยที่
โดยที่
a  (a)  (a)  a  0

a

1
1
  a  1, a  0
a
a
a(b  c)  ab  ac
a

สมบัติการแจกแจง

ั

7

ตอนที่ 1

ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู

ข้ อที่

ข้ อควำม

2

2, 6  R แล้ว 2 + 6  R
7+3 = 3+7

3

3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4

4

มีจานวนจริ ง

1

5
6
7
8
9
10

ถ้า

0 ซึ่ง 0 + 3 = 3 = 3 + 0
(-7) + 7 = 0 = 7 + (-7)

สมบัติ
ปิ ด
การสลับที่
การเปลี่ยนหมู่
การมีเอกลักษณ์
การมีอินเวอร์ส

6+3 = 3+6
10 + (2 + 8) = (10 + 2) + 8

ถ้า

4, -3  R แล้ว 4 + (-3)  R
0+8 = 8 = 8+0
(-15) + 15 = 0 = 15 + (-15)

ตอนที่ 2

ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู

ข้ อที่

ข้ อควำม

1

ถ้า

2

72 = 27

3

5  (4  3) = (5  4)  3

4

18 = 8 = 81

5

1
1
3 = 1 = 3
3
3

6
7

10  3 = 3  10

8
9

1  10 = 10 = 10  1

10

ถ้า

ถ้า

5, 3  R

6, 7  R

แล้ว

สมบัติ

แล้ว

25R

ปิ ด
การสลับที่
การเปลี่ยนหมู่
การมีเอกลักษณ์
การมีอินเวอร์ส

76R

1
1
5 = 1 = 5
5
5

-2, 7  R

แล้ว

(-2)  7  R

ั

8

สมบัตของกำรเท่ ำกันของจำนวนจริง
ิ
ให้ a, b  จะได้ว่า
1. สมบัตกำรสะท้ อน
ิ
aa
เช่น
22
2. สมบัตกำรสมมำตร
ิ
ถ้า a  b แล้ว b  a
เช่น
ถ้า 3  2  1 แล้ว 2  1  3
3. สมบัตกำรถ่ ำยทอด
ิ
ถ้า a  b และ b  c แล้ว a  c
เช่น
22  4 และ 4  3  1 แล้ว 22  3  1
4. สมบัตกำรบวกด้ วยจำนวนที่เท่ ำกัน ถ้า a  b แล้ว a  c  b  c
ิ
เช่น
2  3  6 และ c  1 แล้ว (2  3)  1  6  1
5. สมบัตกำรคูณด้ วยจำนวนทีเท่ ำกัน ถ้า a  b แล้ว ac  bc
ิ
่
เช่น

4
2
2

และ c  3 แล้ว ( 4 )(3)  (2)(3)
2

สมบัตของกำรไม่เท่ ำกันของจำนวนจริง
ิ
ให้ a, b, c 
1. สมบัตกำรถ่ ำยทอด
ิ
ถ้า a  b และ b  c แล้ว a  c เช่น 10  5 และ 5  1 แล้ว 10  1
2. สมบัตกำรบวกด้ วยจำนวนที่เท่ ำกัน
ิ
ถ้า a  b แล้ว a  c  b  c
เช่น 2 > 0 ให้ c = 1 จะได้ 2  1  0  1 หรื อ 3 > 1
ให้ c = -1 จะได้ 2  (1)  0  (1) หรื อ 1 > -1
3. สมบัตกำรคูณด้ วยจำนวนเท่ ำกันที่มำกกว่ ำศูนย์
ิ
ถ้า a  b และ c  0 แล้ว ac  bc
เช่น 5 > 3 ให้ c = 2 จะได้ว่า 5  2  3 2 หรื อ 10 > 6

ั

9

ช่ วง คือ สับเซตของจานวนจริ งที่ไม่สามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้ ช่วงของ
จานวนจริ ง a และ b เมื่อ a  b แบ่งเป็ น 2 แบบ ดังนี้ คือ
1. ช่วงจากัด มี 4 แบบต่างกัน โดยมีความหมายและเขียนแทนได้ดวยเส้นจานวน ดังนี้
้
1) ช่วงเปิ ด (a, b) หมายถึง {x a  x  b}
a

b

2) ช่วงปิ ด [a, b] หมายถึง {x a  x  b}

a

b

3) ช่วงครึ่ งเปิ ด (a, b] หมายถึง {x a  x  b}
a

b

4) ช่วงครึ่ งเปิ ด [a, b)

หมายถึง {x

a  x  b}

a

b

2. ช่วงอนันต์

มี 5 แบบต่างกัน คือ
1) ช่วง (a, ) หมายถึง {x x  a}
a

2) ช่วง [a, )


x  a}

a

3) ช่วง (, a)


x  a}

a

ั

10

4) ช่วง (, a]


x  a}

a

5) ช่วง (, )


x }

ตัวอย่ำงที่ 1
1)

n > -4
-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

ในภาพเส้นทึบที่มีลกศรแทนจานวนจริ งทุกจานวนที่มีค่ามากกว่า
ู
สัญลักษณ์ “ O ” หมายถึง ไม่รวมจานวน -4
2)

-4

n  2
-5

-4

-3

-2

-1

0

สัญลักษณ์ “” หมายถึง รวมจานวน

1
2

2

3

ด้วย

ั

4

5

6

11

คำชี้แจง

ั
ู

มีค่าน้อยกว่า -8 แทนด้วยสัญลักษณ์ ……………………………………………
2. b มีค่ามากกว่า 10 แทนด้วยสัญลักษณ์ ……………………………………………
3. x มีค่าน้อยกว่าหรื อเท่ากับ 5 แทนด้วยสัญลักษณ์ ………………………………….
4. y มีค่ามากกว่าหรื อเท่ากับ 20 แทนด้วยสัญลักษณ์ …………………………………
5. a  4 จานวนสามจานวนที่สอดคล้องกับอสมการ คือ ……………………………..
6. a  -4 จานวนสามจานวนที่สอดคล้องกับอสมการ คือ …………………………….
7. ถ้า 7 > 4 และ 4 > 2 แล้ว ……………………………………………………
8. ถ้า 8 > 2 แล้ว 8 + 6 > ………………………………………………………
9. ถ้า 10 + 5 > 6 + 5 แล้ว ……………………………………………………….
10. ถ้า 12 > 7 แล้ว 12  3 > ……………………………………………………
1. a

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

ั

12


กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม
ตัวแปร คือ สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแทนจานวน นิยมใช้ตวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น x, y แทน
ั
จานวน
ค่ำคงตัว คือ ตัวเลขที่แทนจานวน เช่น 1, 2, 3
นิพจน์ คือ ข้อความในรู ปสัญลักษณ์ เช่น 2, 3x, 5  x, x  8
เอกนำม คือ นิพจน์ที่เขียนในรู ปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้กาลัง
ของตัวแปรเป็ นจานวนเต็มบวกหรื อศูนย์ เช่น 3, 2x, 3xy, x 2
พหุนำม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนในรู ปเอกนาม หรื อการบวกเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป
กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม คือ การเขียน พหุนามในรู ปการคูณของพหุนามที่มดีกรี ต่ากว่า
ี
1) 8x  6  2(4x)  2(3)  2(4x  3)
2) 2x3  3x 2  x  x(2x 2 )  x(3x)  x(1)
 x(2x 2  3x  1)

พหุนำมดีกรีสอง ตัวแปรเดียว เป็ นพหุนามที่เขียนได้ในรู ป ax 2  bx  c เมื่อ a, b, c เป็ นค่าคงตัว
ที่ a  0 และ x เป็ นตัวแปร
1) 3x 2  6x  1
มี a = 3, b = -6 และ c = 1
2) 5x 2  8x  3
มี a = 5, b = 8 และ c = -3
พิจารณา พหุนามดีกรี สองตัวแปรเดียว ax 2  bx  c ในกรณี ที่ a = 1และ b, c เป็ นจานวนเต็ม
และ c  0 ว่าอยูในรู ปอย่างไร พร้อมยกตัวอย่างประกอบ ดังนี้
่
1) x 2  6x  1
2) x 2  8x  3

พิจารณา การหาผลคูณของพหุนามดีกรี หนึ่งกับพหุนามดีกรี หนึ่ง เพื่อเป็ นแนวทางในการแยก
ตัวประกอบพหุนามดีกรี สองตัวแปรเดียว
(x  2)(x  3)  x(x  2)  3(x  2)
 (x 2  2x)  (3x  6)
 x 2  (2  3)x  6
 x 2  5x  6

เมื่อเขียน x 2  5x  6 ในรู ปของผลคูณของพหุนามดีกรี หนึ่ง ซึ่งจะได้
x 2  5x  6  (x  2)(x  3)

ั

13

ขั้นตอนในการแยกตัวประกอบ x 2  5x  6 โดยพิจารณา ย้อนกลับจากการหาผลคูณข้างต้น
x 2  5x  6  x 2  (2  3)x  6
 x 2  (2x  3x)  6
 (x 2  2x)  (3x  6)
 x(x  2)  3(x  2)
 (x  2)(x  3)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี สอง x 2  bx  c เมื่อ b และ c เป็ นจานวนเต็ม จะทาได้ เมื่อ
สามารถหาจานวนเต็มสองจานวนที่คณกันได้ c และ บวกกันได้ b นันคือ
ู
่
ถ้าให้ m และ n แทนจานวนเต็มสองจานวนนั้น
จะได้
mn  b
m n  c

ดังนั้น

x 2  bx  c  x 2  (m  n)x  mn

 (x 2  mx)  (nx  mn)
 x(x  m)  n(x  m)
 (x  m)(x  n)

นันคือ x 2  bx  c แยกตัวประกอบได้เป็ น
่

(x  m)(x  n)

1) x 2  7x  12  (x  3)(x  4)
2) x 2  7x  12  (x  3)(x  4)
3) x 2  x  12  (x  4)(x  3)
4) x 2  x  12  (x  3)(x  4)

(4x  3)(2x  1)  2x(4x  3)  (4x  3)
 (8x 2  6x)  (4x  3)
 8x 2  (6x  4x)  3
 8x 2  10x  3


(4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3

การหาผลคูณของพหุนามดีกรี หนึ่ง โดยใช้สมบัติการแจกแจง
1) จาก (4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3
จะได้ว่า หน้า  หน้า = พจน์หน้าของผลคูณ
2) จาก (4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3
จะได้ว่า หลัง  หลัง = พจน์หลังของผลคูณ
ั

14

3)

จาก

(4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3

จะได้ว่า (หน้า  หลัง) + (หลัง  หน้า)

=

พจน์กลางของผลคูณ

พิจารณาการแยกตัวประกอบ 8x 2  10x  3 โดยอาศัยสมบัติยอนกลับ ดังนี้
้
1) หาพหุ นามดีกรี หนึ่ ง สองพหุ นามที่คูณกันได้ 8x 2 แล้วเขียนไว้ในวงเล็บเป็ นคู่ ๆ ดังนี้
(4x )(2x ) หรื อ (8x )(x
)
2) หาจานวนสองจานวนที่คูณกันแล้วได้ + 3 ไปเขียนเป็ นพจน์หลังของพหุ นามในข้อ 1) ดังนี้
(4x  1)(2x  3) = (4x  1)(2x  3)
(4x  3)(2x  1) = (4x  3)(2x 1)
3) ตรวจสอบดูว่าพจน์กลางของพหุ นามที่เป็ นผลคูณของพหุ นามคู่ใดในข้อ 2) มีค่าเท่ากับ 10x
(พจน์กลางของ 8x 2  10x  3 ) โดยนา (หน้า 

หลัง) + (หลัง  หน้า) จะได้ว่า
(4x  3)(2x  1) มีพจน์กลางเท่ากับ 10x
ในกรณี ที่พหุนามที่กาหนดให้ สามารถแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจงได้ ก็ให้ใช้สมบัติการ
แจกแจงก่อน
5x 2  10x  5  5(x 2  2x  1)
 5(x  1)(x  1)

ตัวอย่ำงที่ 8 จงแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี สองต่อไปนี้
1)
2)
3)
4)

12x 2  31x  9
12x 2  39x  9
14x 2  65x  9
221x 2  5x  6

พหุนามดีกรี สองที่แยกประกอบ แล้วได้ตวประกอบ เป็ นพหุนามดีกรี หนึ่งซ้ ากัน เรี ยกว่า กำลังสอง
ั
สมบูรณ์

ั

15

คำชี้แจง จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้
1) 3x2 + 6x2 =

…………………………………………………………………

2) 2x2 - x

…………………………………………………………………

=

3) 4x3 - 16x2 - 8x = ……………………………………………………………
4) x2 + 9x + 8 = ……………………………………………………….………
5) x2 - 10x + 24 = ………………………………………………..…………...
6) 3x2 + 4x - 15 = …………………………………………………………….
7) 2x2 - x - 1

= …………………………………………………………….

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

ั

16


สมกำรกำลังสองตัวแปรเดียว
“ถ้า a, b เป็ นจานวนจริ ง

และ ab = 0 แล้ว a หรื อ b อย่างน้อยหนึ่งค่าต้องเป็ นศูนย์”
วิธีหาคาตอบของสมการกาลังสอง สามารถใช้สูตรเพื่อ โดยการหาค่า x ได้ดงนี้
ั
b  b 2  4ac
2a
“ถ้า a, b เป็ นจานวนจริ ง

x

อาศัยความรู้เกี่ยวกับจานวนจริ งที่ว่า
และ ab = 0 แล้ว a หรื อ b
อย่างน้อยหนึ่งค่าต้องเป็ นศูนย์” หาคาตอบของสมการโดยอาศัยความรู้จากข้อความข้างต้น
จาก (x  3)(x  2)  0 จะได้ว่า (x  3)  0 หรื อ (x  2)  0
หาคาตอบของสมการ (x  3)(x  2)  0 โดยหาค่า x ที่ทาให้ x – 3 = 0
หรื อ x + 2 = 0 ซึ่งจะได้ x = 3 หรื อ x = -2
ดังนั้น คาตอบของสมการ (x  3)(x  2)  0 คือ 3, -2
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาคาตอบของสมการ x 2  5x  6  0
วิธีทำ
จาก
x 2  5x  6  0
จะได้
(x  3)(x  2)  0
ดังนั้น x  3  0 หรื อ x  2  0
x  3 หรื อ x  2
ตรวจสอบคาตอบ โดยแทนค่า x  3 หรื อ x  2 ลงใน
สมการ x 2  5x  6  0 จะได้
ซึ่งเป็ นจริ ง
(3)2  5(3)  6  0
และ (2)2  5(2)  6  0 ซึ่งเป็ นจริ ง
ดังนั้น คาตอบของสมการ x 2  5x  6  0 คือ 3 หรื อ 2
วิธีทำ

จงหาคาตอบของสมการ (4x  8)(x  5)  (5x  2)(x  2)
(4x  8)(x  5)  (5x  2)(x  2)
จาก
จะได้ 4x 2  12x  40  5x 2 12x  4
0  5x 2  4x 2  12x  12x  4  40
0  x 2 24x  44

หรื อ

x 2 24x  44  0

(x  22)(x  2)  0


หรื อ x  2  0
x  22 หรื อ x  2

x  22  0

ั

17

คาตอบของสมการ คือ 22 หรื อ

4
5
3


x 1 x  2 x

ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาคาตอบของสมการ
วิธีทำ

2

4
5
3


x 1 x  2 x

จาก

ทาส่วนให้หมดไปก่อน โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย
x(x 1)(x  2) จะได้
4x(x  2)  5x(x  1)  3(x  1)(x  2)
4x 2  8x  5x 2  5x  3(x 2  x  2)
 x 2  13x  3x 2  3x  6
 4x 2  10x  6  0

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย (-2) จะได้

2x 2  5x  3  0

(2x  1)(x  3)  0


หรื อ

2x  1  0

1
2

x

x 3  0

หรื อ

x3

คาตอบของสมการ คือ  1 หรื อ 3
2

ตัวอย่ำงที่ 4 จงหาคาตอบของสมการ 5x 2  3x  0
วิธีทำ
จาก 5x 2  3x  0
a  5, b  3 และ c = 0
ั
5x 2  3x แยกตัวประกอบ โดยใช้สมบัติแจกแจง ได้ดงนี้
จาก
5x 2  3x  0
x(5x  3)  0

จะได้

x0

หรื อ

x0

หรื อ

5x  3  0
x

3
5

ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ 0,  3
5

ั

18

ตัวอย่ำงที่ 5 จงหาคาตอบของสมการ
วิธีทำ
จาก 9x 2  50
จะได้

x2 

9x 2  50

50
9

x2  

50
9



5 2
3

ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ 5

2
3

หรื อ  5

2
3

*** นอกจากใช้วิธีแยกตัวประกอบดังที่กล่าวมาแล้ว ยังสามารถใช้สูตร

เพื่อหาคาตอบของสมการกาลังสอง โดยการหาค่า x ได้ดงนี้
ั
x

b  b 2  4ac
2a

ตัวอย่ำงที่ 6 จงหาคาตอบของสมการ x 2  2x 11  0 โดยใช้สูตร
วิธีทำ
จาก
x 2  2x  11  0
จะได้
a  1, b  2 และ c = -11
b2  4ac  (2)2  4(1)(11)
 48

จาก

หรื อ

4 3

b  b 2  4ac
2a
2  4 3
x
2

x

 1  2 3

คาตอบของสมการ คือ

1  2 3

หรื อ

1  2 3

ั

19

จงหำคำตอบของสมกำรต่อไปนี้
1) x 2  7x  12  0
2) x 2  16x  15

 0

3) x  x

 30

2

4) x

 5x  6

2

5) 5x  4x  1
2

6) 12x

2

0
 107x  9

7) 18m  8

  35m 2

8) 6  7x  x 2

0

9) 9  42y  49y 2  0
10) 16x 2

  1  8x

ั

20

กำรแก้สมกำรและอสมกำรตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสอง
“ถ้า a, b เป็ นจานวนจริ ง และ ab = 0 แล้ว a หรื อ b อย่างน้อยหนึ่ งค่าต้องเป็ นศูนย์”
วิธีหาคาตอบของสมการกาลังสอง สามารถใช้สูตรเพื่อ โดยการหาค่า x ได้ดงนี้
ั
x

b  b 2  4ac
2a

วิธีการแก้อสมการ แบ่งออกเป็ น 2 กรณี คือ
1) การแก้อสมการที่ตวแปรมีเลขชี้กาลังเท่ากับหนึ่ ง ทาเช่นเดียวกับการแก้สมการ แต่ตอง
ั
้
ระมัดระวังการคูณด้วยจานวนลบ เพราะจะทาให้เครื่ องหมายของอสมการเปลี่ยนแปลงได้
2) การแก้อสมการที่ตวแปรมีเลขชี้กาลังตั้งแต่สองขึ้นไป มีวิธีทาโดยทัวไป ดังนี้ คือ
ั
่
2.1) จัดข้างใดข้างหนึ่ งของอสมการให้เป็ นศูนย์
2.2) แยกตัวประกอบ โดยให้ตวประกอบมีตวแปรที่มีเลขชี้กาลังเท่ากับหนึ่ ง
ั
ั
และสัมประสิทธ์หน้าตัวแปรต้องเป็ นจานวนบวกเสมอ
เมื่อได้ตวประกอบในรู ป
ั
(a1x  b1 )(a 2 x  b2 )(a 3x  b3 ) . . . (a n x  bn )  0

หรื อ
เมื่อ
ของ

(a1x  b1 )(a 2 x  b2 )(a 3x  b3 ) . . . (a n x  bn )  0

bi b j

ai a j

สาหรับทุก ๆ i  j (นันคือตัวประกอบต้องไม่ซ้ ากัน) แล้วหาเซตคาตอบ
่

(a1x  b1 )(a 2 x  b2 )(a 3x  b3 ) . . . (a n x  bn )  0 .................(*)

2.3) เขียนกราฟของเซตคาตอบของสมการ(*) หรื อค่าของ x ที่ทาให้อสมการเป็ นศูนย์

ลงบนเส้นจานวน จะได้
b1
a1

b2
a2

bn 1
a n 1

bn
an

2.4) ใส่ เครื่ องหมาย + , - สลับกันไปในแต่ละช่วง โดยเริ่ มจากขวามือสุ ดของ

อสมการ เช่น
+

-

b1
a1

-

+

b2
a2

bn 1
a n 1

ั

+

bn
an

21

2.5) เซตคาตอบของอสมการ
(a1x  b1 )(a 2 x  b2 )(a 3x  b3 ) . . . (a n x  b n )  0

คือ ยูเนียนของช่วงที่มีเครื่ องหมายลบทั้งหมด
2.6) เซตคาตอบของอสมการ
(a1x  b1 )(a 2 x  b2 )(a 3x  b3 ) . . . (a n x  b n )  0

คือ ยูเนียนของช่วงที่มีเครื่ องหมายบวกทั้งหมด
ในการแก้อสมการตัวแปรเดียวดีกรี หนึ่ง หรื อการหาคาตอบของอสมการนั้นจะต้องอาศัยสมบัติของ
การไม่เท่ากัน
1 จงหาคาตอบของอสมการต่อไปนี้
2x + x < 10
4x – 4  2x + 4

ตัวอย่ำงที่
1.
2.

วิธีทำ

1)

2x + 2
2x + 2 + (-2)
2x

<
<
<

เซตคาตอบของ
2)

4x – 4
4x – 4 + 4
4x
4x + (-2x)
2x

x

เซตคาตอบของอสมการ

1.

คือ

{x | x < 4}

 2x + 4
 2x + 4 + 4
 2x + 8
 2x + (-2x) + 8
 8



1
(8)
2

4

4x – 4  2x + 4

2 จงแก้อสมการต่อไปนี้
-x + 4 < -12
-x + 7  4

วิธีทำ

1
(8)
2

x < 4
2x + 2 < 10

1
(2x)
2

1.
2.

10
10 + (-2)
8

<

1
(2x)
2

และเขียนแทนด้วยเซต

คือ

{x | x  4}

พร้อมทั้งแสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวน

-x + 4 < 12

บวกทั้งสองข้างของอสมการด้วย

-4 จะได้
-x + 4 + (-4) < -12 + (-4)
-x < -8
x >

8

(เอา -1

ั

คูณทั้งสองข้าง)

22

เซตคาตอบของอสมการคือ เซตของจานวนจริ งที่มากกว่า
-1

0

1

2

3

4

5

6

หรื อ

8

7

8

9

10

หรื อ

{x | x  3}

{x | x > 8}

-x + 7  4

2.

บวกทั้งสองข้างของอสมการด้วย

-7

จะได้

 4 + (-7)
 -3

3

-x + 7 + (-7)
-x
x

เซตคาตอบของอสมการคือ เซตของจานวนจริ งที่นอยกว่าหรื อเท่ากับ
้
-3

-2

-1

0

1

2

3

4

3

5

ตัวอย่ำงที่ 3 จงแก้อสมการ x2 + x – 6 > 0 และแสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวน
วิธีทำ
จาก
x2 + x – 6 > 0
จะได้ (x + 3)(x – 2) > 0
พิจารณาค่าของ x ในช่วง (-  , -3), (-3, 2) และ (2,  )
โดยเลือกค่า x ที่อยูในช่วงดังกล่าว
่
x
(x + 3)(x – 2)
ช่วง
ค่าของ (x + 3)(x – 2)
(-  , -3)
-5
(-2)(-7) = 14
มีค่าเป็ นบวก
(-3, 2)
1
4(-1) = -4
มีค่าเป็ นลบ
(2,  )
4
(7)(2) = 14
มีค่าเป็ นบวก
และเมื่อเลือกค่า x ในช่วงดังกล่าวเพิ่ม จะพบว่า (x + 3)(x – 2) มีค่าเป็ นบวกหรื อ
มากกว่าศูนย์ เมื่อ x อยูในช่วง (-  , -3) และ (2,  )
่
แสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวนได้ดงนี้
ั
-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

ั

4

23

ข้ อที่
1

2

ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู

โจทย์อสมกำร
จงหาเซตคาตอบของอสมการต่อไปนี้และเขียนแทนด้วยเซต
1.1
1.2
1.3
1.4

x+3 < 6
2x + 4  10
3x – 7  5
-4 + 4x  8

เซต
1.1 …………………
1.2 …………………
1.3 …………………
1.4 …………………

จงแก้อสมการต่อไปนี้ และแสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวน
2.1 -3x  -6
2.2 -5x – 1  -11
2.3 -8x + 6 > -10
2.4 -5 – 5x > -2x - 8

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

ั

24


ค่ ำสั มบูรณ์ ของจำนวนจริง
บทนิยำม ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริ ง
ถ้า a เป็ นจานวนจริ งใด ๆ ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

a

โดยมีความหมาย ดังนี้

 a, a  0
a 
a, a  0

2  2
8  8

และ
และ

หรื อ 2
  (8) หรื อ 8

2   (2)
8

ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาค่าของ
1.
2.
3.
4.

| -9 |
| -10 + 2 |
| 8 - 20 |
| 5 | + | -3 |

วิธีทำ
1.
2.
3.
4.

| -9 | = -(-9) = 9
| -10 + 2 | = | -8 | = -(-8) = 8
| 8 - 20 | = | -12 | = -(-12) = 12
| 5 | + | -3 | = 5 + [ -(-3) ] = 5 + 3 = 8

โดยทัวไป ถ้า
่
1.

เป็ นจานวนบวกใด ๆ
| x | < a มีความหมายเช่นเดียวกันกับ -a < x < a
และ | x |  a มีความหมายเช่นเดียวกันกับ -a  x  a
เช่น | x | < 3 หมายความว่า ระยะจากจุด x ไปยัง 0 บนเส้นจานวน
น้อยกว่า 3 หน่วย เขียนแสดงบนเส้นจานวนได้ดงนี้
ั
-4

a

-3

-2

จากรู ป จะเห็นว่า
|x|  3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

มีความหมายเช่นเดียวกัน -3 < x < 3
เขียนแสดงค่า x บนเส้นจานวนได้ดงนี้
ั
|x| < 3

-1

0

1

2

3

4

ั

25

มีความหมายเช่นเดียวกันกับ x < -a หรื อ x > a
 a มีความหมายเช่นเดียวกันกับ x  a หรื อ x  a
> 2 เขียนแสดงค่า x บนเส้นจานวนได้ดงนี้
ั

2. | x | > a

และ
เช่น

|x|
|x|

-2

-1

0

1

2

3

จากรู ป จะเห็นว่า | x | > 2 มีความหมายเช่นเดียวกับ
| x |  2 เขียนแสดงค่า x บนเส้นจานวนได้ดงนี้
ั
-4

1.
2.

วิธีทำ

-3
3

-2

-1

จงแสดงค่าของ

0
x

1

2

3

หรื อ

4

บนเส้นจานวน เมื่อกาหนดให้

|x| > 6
|x|  5

มีความหมายเช่นเดียวกับ x
เขียนแสดงค่าของ x บนเส้นจานวนได้ดงนี้
ั
1.

x < -2

|x| > 6

หรื อ

x > 6

หรื อ

x  5

< -6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
2. | x |  5

มีความหมายเช่นเดียวกับ

x  -5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

ั

x>2

26

ั
ู

1. | -7 |

=

…………………………………………………………………

2. | 8 -13 |

=

………………………………………………………………....

3. | 12 | + | -5 | - | 20 |
4. | -25 | - | -3 |
5.

 10
| - 5|

=

= ……………………………………………………….

= ………………………………………………………………
………………………………………………………………...
=

……………………………………………………

7. | 8  102 | + | 5  102 | =

……………………………………………………

6. | 10 -7 | + | 20 - 30 |

8. | 10 + 2 | + | 20 - 3 | - | 10 - 18 | = ……………………..…………………….

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

ั

จำนวนจริง

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (19)

Similar a จำนวนจริง

Similar a จำนวนจริง (20)

Más de KruGift Girlz

Más de KruGift Girlz (13)

จำนวนจริง