1. SOLUÇÕES
18
R EPRESENTAÇÃO DE S ÓLIDOS III
338.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os
pontos A e C, pelas suas projecções e pertencentes ao plano, em
função dos dados. O plano α é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus
traços são simétricos em relação ao eixo X. A é um ponto de hα,
que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. A e C
situam-se no mesmo plano de perfil (situam-se na mesma recta de
perfil), pelo que têm a mesma abcissa e C é um ponto de f α, que é
uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo. Uma
vez que o quadrado [A BCD] não se projecta em V.G. em nenhum
A
dos planos de projecção, para construir as suas projecções da
base da pirâmide, rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de
Projecção – a charneira foi hα e tem-se imediatamente A r ≡ A 1. Note
que, em termos de economia de traçados, seria indistinto o rebati-
mento para qualquer dos dois planos de projecção, pois o ponto C
é um ponto do Plano Frontal de Projecção. O ponto C foi o ponto
que nos permitiu rebater f α. Em rebatimento, construiu-se o quadra-
do [A BCD] em V.G. e determinou-se Or, o centro do quadrado em
A
rebatimento. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a rectas
frontais (de frente) do plano, obtendo-se as projecções de B e D
(ver exercício 180) – note que se omitiram as notações referentes às
rectas frontais (de frente) que nos permitiram inverter o rebatimento
de Br e Dr, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução
gráfica apresentada. A partir das projecções dos quatro vértices do
quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções
do sólido). As projecções de O determinaram-se directamente a partir do desenho das projecções das diagonais do quadrado. Em seguida,
pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide.
Note que a recta p é uma recta passante nesta situação particular. O vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 6 cm de O. Como a recta p é
oblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [OV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o
O
recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta p (o plano γ) para o Plano Horizontal de
Projecção – a charneira foi hγ (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto O e o seu ponto de concorrência
com o eixo X (que é um ponto fixo, pois situa-se na charneira). A recta pr fica definida por Or1 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X
(note que Or1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano γ). Sobre pr, a partir de Or1, mediram-se os 6 cm (a altura da
pirâmide), obtendo-se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de γ, obtendo-se as projecções de V sobre as pro-
jecções homónimas da recta p. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o con-
torno aparente frontal é [A 2B2V2C2D2] e o contorno aparente horizontal é [A 1V1B1C1D1]. Em projecção frontal, todos os vértices integram o
A A
contorno aparente frontal. No entanto, a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [B CV] pelo que a aresta [B C] da base é a única
B B
aresta invisível em projecção frontal (as restantes arestas são todas visíveis). Também em projecção horizontal se tem que todos os vértices
integram o contorno aparente horizontal. Também nesta projecção a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [A BV] pelo que a
A
aresta [A B] da base é a única aresta invisível em projecção horizontal (as restantes arestas são todas visíveis).
A
339.
Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos da-
dos. A recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 2 cm de cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projec-
ções do ponto O. O plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o pentágono não se projecta em V.G. em nenhum dos
planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hδ – hδ ≡ e1 ≡ hδr). Para rebater o plano δ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus
pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao
plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços do plano δ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do eixo
X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distância até à
perpendicular à charneira que passa por F1 e obteve-se Fr – f δr passa por Fr e é concorrente com hδr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é para-
lela a hδr (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebati-
mento). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu
rebatimento) e determinou-se Or sobre hr. Uma vez que a circunferência circunscrita ao pentágono é tangente a hδ, com centro em Or dese-
nhou-se uma circunferência tangente a hδr – o vértice A do polígono, porque tem cota nula, é o ponto de tangência da circunferência com hδr.
Em seguida, construiu-se o pentágono em V.G., em rebatimento. Para determinar as projecções do pentágono inverteu-se o rebatimento. A é
um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente A r ≡ A 1 – A 2 situa-se no eixo X. A inversão do rebatimento dos pontos B, C, D e E
(Continua na página seguinte)
127

2. SOLUÇÕES
processou-se com o recurso às rectas horizontais (de nível)
do plano que por eles passam, obtendo-se as suas projec-
ções (ver exercício 182 e respectivo relatório) – note que se
omitiram as notações referentes às rectas horizontais (de ní-
vel) que nos permitiram inverter o rebatimento dos pontos,
com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfi-
ca apresentada. A partir das projecções dos cinco pontos,
desenharam-se as projecções do pentágono (a traço leve,
pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exer-
cício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas pro-
jecções de O conduziram-se as projecções homónimas de
uma recta p, ortogonal a δ – a recta p é a recta suporte do
eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p,
a 8 cm (a altura da pirâmide) de O. Como a recta p é oblíqua
aos dois planos de projecção, o segmento [OV] não se pro-
O
jecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que
é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar.
Optou-se por rebater o plano projectante frontal da recta p
(o plano γ) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi
fγ (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos
seus pontos – o ponto O e o seu traço horizontal, H. A recta pr
fica definida por Or1 (Or1 é o ponto O no seu segundo rebati-
O
mento – o rebatimento do plano γ) e por Hr. Sobre pr, a partir
de Or1, mediram-se os 8 cm (a altura da pirâmide), obtendo-
se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o
rebatimento de γ, obtendo-se as projecções de V sobre as
projecções homónimas da recta p. A partir das projecções de
todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contor-
nos aparentes – o contorno aparente frontal é [A2V2D2E2] e
A
o contorno aparente horizontal é [B1V1E1D1C1]. Em projec-
B
ç ã o f r o n t a l, há dois vértices que não integram o contorno
aparente – C e D. Estes são os vértices de menor afastamento
do sólido, pelo que são invisíveis (bem como todas as ares-
tas que neles convergem). A base do sólido é invisível, bem
como as faces laterais [A BV], [B CV] e [CDV]. A aresta lateral [EV] é visível, pois separa duas faces visíveis em projecção frontal – as faces late-
A B C E
rais [AEV] e [DEV]. Em projecção horizontal, o vértice A é o único vértice que não integra o contorno aparente horizontal – este é invisível (por
A D
ser o vértice de menor cota), bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, a base do sólido é invisível, tal como
as faces laterais [A BV] e [AEV]. As restantes faces laterais são visíveis, bem como as restantes arestas.
A A
340.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas pro-
jecções, em função dos dados. O ponto A é um ponto do Plano Frontal de
Projecção (A tem afastamento nulo), pelo que é um ponto de f α. O ponto B é
A
B
um ponto do Plano Horizontal de Projecção (B tem cota nula), pelo que é um
ponto de hα. O plano α é ortogonal ao β2/4, pelo que tem os seus traços coinci-
dentes – estes estão coincidentes na recta que passa por A 2 e por B1. O triân-
gulo [A B C] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção
A
(o plano que o contém – o plano α – é oblíquo a ambos os planos de projec-
ção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Em
termos de economia de traçados, é indistinto o plano de projecção para o
qual se processe o rebatimento do plano α, pois temos um ponto de cada
plano de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Hori-
zontal de Projecção – a charneira é hα e B r ≡ B 1, pois B é um ponto da char-
neira. É necessário rebater f α, o que se processa rebatendo um dos seus
pontos – o ponto A . Por A 1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que
corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebati-
mento) – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos tra-
ços do plano e raio até A 2, transportou-se essa distância para a perpendicular
à charneira que passa por A 1, obtendo A r. O traço frontal do plano rebatido
(f αr) passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X. A partir de A r e B r cons-
f
truiu-se o triângulo [A B C] em V.G., em rebatimento e, com vista à determina-
A
ção das projecções da pirâmide, determinou-se também o seu centro –
o ponto O. A inversão do rebatimento dos pontos O e C processou-se com
(Continua na página seguinte)
128

3. SOLUÇÕES
o recurso às rectas frontais (de frente) que por eles passam – ver exercício 183 e respectivo relatório. A recta f é a recta frontal (de frente)
que nos permitiu determinar as projecções de C. A recta f ’ é a recta frontal (de frente) que nos permitiu determinar as projecções de O. A
partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar
para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas
de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, porque tem cota nula, é o traço ho-
rizontal da recta p, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qualquer outro rebatimento. A partir
das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [B2V2C2] e o B
contorno aparente horizontal é [A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A . Este é
A
o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A base do sólido é invisí-
vel, bem como as faces laterais [A BV] e [ACV]. Em projecção horizontal, todos os vértices integram o contorno aparente. No entanto, as
A A
faces laterais [A BV] e [B CV] são invisíveis, pelo que a aresta lateral [BV] (a aresta que separa aquelas faces) é invisível. Já a aresta [A C] da
A B B A
base é visível, pois separa duas faces visíveis em projecção horizontal – a base e a face lateral [ACV].
A
341.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus
traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente
ao plano, em função dos dados. O plano α tem os seus
traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. A recta h,
horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 4 cm de
cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar
as projecções do ponto O. O plano α não é paralelo a ne-
nhum dos planos de projecção, pelo que o triângulo não
se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção
– é necessário o recurso a um processo geométrico auxi-
liar. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizon-
tal de Projecção (a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr). Para
rebater o plano α há que rebater o seu traço frontal, o que
se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F
(traço frontal da recta h), por exemplo. Para tal conduziu-
-se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corres-
ponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco
do seu rebatimento). Os traços do plano α são concorren-
tes num ponto fixo (um ponto do eixo X, que é um ponto
da charneira). Com o recurso ao compasso, fazendo cen-
tro nesse ponto e raio até F2, transportou-se essa distân-
cia até à perpendicular à charneira que passa por F1 e
obteve-se Fr – f αr passa por Fr e é concorrente com hαr no
eixo X. A recta hr passa por Fr e é paralela a hαr (rectas
horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas
ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e
em rebatimento). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charnei-
ra que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se Or sobre hr. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 3,5 cm de raio,
desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência e de
acordo com os dados – o lado [A B] é horizontal (é paralelo a hαr), sendo A o vértice de maior afastamento e C o vértice de menor cota
A
(o vértice que se situa mais próximo de hαr). Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos três vértices do triângulo, com o recurso às rectas
horizontais (de nível) do plano que por eles passam (ver exercício 182 e respectivo relatório) – note que se omitiram as notações referentes
às rectas horizontais (de nível) que nos permitiram inverter o rebatimento dos pontos, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolu-
ção gráfica apresentada. A partir das projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-
-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se
as projecções homónimas de uma recta p, ortogonal a α – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, porque
tem afastamento nulo, é o traço frontal da recta p, o que nos permite determinar imediatamente as suas projecções, sem o recurso a qual-
quer outro rebatimento. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno
aparente frontal é [B 2V2C2] e o contorno aparente horizontal é [A 1B 1V1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno
B A
aparente – o vértice A . Este é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível (bem como todas as arestas que nele convergem).
A base do sólido é visível, bem como as faces laterais [A BV] e [ACV] (a face lateral [B CV] é a única face invisível em projecção frontal). Em
A A B
projecção horizontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C. Este é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é
invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). A face lateral [A BV] é a única face visível em projecção horizontal – a base e as
A
restantes faces são invisíveis.
129

4. SOLUÇÕES
342.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e A ,
pelas respectivas projecções, em função dos dados, e
desenharam-se as projecções da recta r. Em seguida, uma
vez que A é o traço frontal da recta r, foi possível desenhar
imediatamente f ψ, passando por A 2 e perpendicular a r 2.
Para determinar hψ poder-se-ia determinar o traço horizon-
tal da recta r, mas optou-se por conduzir, por O, uma recta
frontal (de frente) f, do plano (paralela a f ψ) – H é o traço
horizontal da recta f. O traço horizontal do plano, hψ, passa
por H1 e é concorrente com f ψ no eixo X. O plano ψ não é
paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o
quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos
de projecção – é necessário o recurso a um processo geo-
métrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Pla-
no Frontal de Projecção, com vista a uma maior economia
de traçados, optou-se por rebater o plano ψ para o Plano
Frontal de Projecção (a charneira é f ψ – f ψ ≡ e2 ≡ f ψr e tem-
-se imediatamente A r ≡ A 2). Para rebater o plano ψ há que
rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebaten-
do um dos seus pontos – o ponto H (traço horizontal da
recta f), por exemplo. Para tal conduziu-se, por H2, uma
perpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto-
gonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento).
Os traços do plano ψ são concorrentes num ponto fixo
(um ponto do eixo X, que é um ponto da charneira). Com
o recurso ao compasso, fazendo centro nesse ponto e
raio até H1, transportou-se essa distância até à perpendi-
cular à charneira que passa por H2 e obteve-se Hr – hψr
passa por Hr e é concorrente com f ψr no eixo X. A recta f r
passa por Hr e é paralela a f ψr. Conduzindo, por O2, uma
perpendicular à charneira (que corresponde ao plano orto-
gonal à charneira que contém o seu arco do rebatimento) determinou-se Or sobre f r. A recta r r fica definida por A r e por Or. Note que não se-
ria possível rebater o ponto O exclusivamente através do rebatimento da recta r, o que justifica o facto de se ter recorrido a uma recta frontal
(de frente) do plano, passando por O. Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao
quadrado e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência. A inversão do rebatimento dos pontos B e D efec-
tuou-se com o recurso à recta frontal (de frente) f, que passa por O, pois os dois pontos pertencem à mesma recta. A inversão do rebati-
mento do ponto C processou-se com o recurso a uma recta horizontal (de nível) do plano, passando por C – note que se omitiram as
notações referentes à projecção frontal da recta horizontal (de nível) que nos permitiu inverter o rebatimento de Cr, com vista a não sobre-
carregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Omitiu-se a representação da projecção horizontal da recta horizontal (de nível), pois
C é um ponto da recta r e, assim, as projecções de C situam-se sobre as projecções homónimas da recta r. A partir das projecções dos
quatro pontos, desenharam-se as projecções do polígono (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício,
que é as projecções do sólido). O enunciado refere expressamente que o quadrado [A B CD] é uma base de um prisma situado no 1o Diedro,
A
pelo que se infere que se trata da base inferior do sólido. Assim, em seguida conduziu-se, por C, uma recta p, ortogonal ao plano ψ – a recta p é
a recta suporte da aresta lateral [CC’] do prisma, que mede 5 cm (a altura do prisma). Como a recta p é oblíqua aos dois planos de projec-
C
ção, o segmento [CC’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geo-
C
métrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da recta p (o plano α) para o Plano Horizontal de Projecção – a
charneira foi hα (recta e’). A recta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos – o ponto C e H’, o seu traço horizontal. A recta pr fica
definida por Cr 1 e H’r (note que Cr 1 é o ponto C no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano α). Sobre pr, a partir de Cr 1, medi-
ram-se os 5 cm (a altura do prisma), obtendo-se C’r (garantindo que C’ se situa no 1º Diedro). Inverteu-se o rebatimento de α, obtendo-se
as projecções de C’, sobre as projecções homónimas da recta p. As projecções de A’, B’ e D’, os restantes vértices da base superior, deter-
minaram-se atendendo a que os lados do quadrado [A’B’C’D’] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A B CD] e que os
A A
seus vértices estão sobre as rectas ortogonais a ψ (paralelas à recta p) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecções
de C’, conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta suporte da
B
aresta lateral [BB’] – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’, a partir de C’, e ainda para A’, a partir de
B
B’ ou de D’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente
f r o n t a l é [B 2C2D2D’2A’2B’2] e o contorno aparente horizontal é [A 1D1C1C’1B’1A’1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não in-
B A
tegram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele
convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em
p r o j e c ç ã o h o r i z o n t a l, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota,
pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bem
como todas as arestas que nele convergem). A base [A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções e a base [A B CD] é invisível em ambas as
A A
projecções.
130

5. SOLUÇÕES
343.
Em primeiro lugar representou-se o plano λ, pelos seus
traços, e os pontos R e S, pelas suas projecções e perten-
centes ao plano, em função dos dados. O ponto R é um
ponto de h λ, pois tem cota nula. A recta h , horizontal
(de nível), pertencente ao plano e com 3 cm de cota, foi a
recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projec-
ções do ponto S. O plano λ não é paralelo a nenhum dos
planos de projecção, pelo que o triângulo não se projecta
em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é neces-
sário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Com
vista a uma maior economia de traçados, e uma vez que o
ponto R é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,
optou-se por rebater o plano λ para o Plano Horizontal de
Projecção (a charneira é hλ – hλ ≡ e1 ≡ hλr e tem-se imedia-
tamente Rr ≡ R1). Para rebater o plano λ há que rebater o
seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos
seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por
exemplo. Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular
à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à char-
neira que contém o arco do seu rebatimento). Os traços
do plano λ são concorrentes num ponto fixo (um ponto do
eixo X, que é um ponto da charneira). Com o recurso ao
compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até F2,
transportou-se essa distância até à perpendicular à char-
neira que passa por F1 e obteve-se Fr – fλr passa por Fr e
é concorrente com hλr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é
paralela a hλr. Por S1 conduziu-se uma perpendicular à
charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se Sr sobre hr. A partir de R r e Sr construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento,
obtendo Tr. A inversão do rebatimento de T processou-se com o recurso a uma recta frontal (de frente) do plano, passando por T (recta f). A partir
das projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do
exercício, que é as projecções do sólido). O enunciado refere expressamente que o triângulo [R’S’T’] é a base superior do prisma, pelo que se
R
infere que o triângulo [RST] é sua base inferior. Por outro lado, sabe-se que o vértice S’, da base superior, tem afastamento nulo – assim, em
R
seguida conduziu-se, por S, uma recta p, ortogonal ao plano λ (a recta p é a recta suporte da aresta lateral [SS’] do prisma). O ponto S’ é ime-
S
diatamente o traço frontal da recta p. As projecções de R’ e T’, os restantes vértices da base superior, determinaram-se atendendo a que os
lados do triângulo [R’S’T’] são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [RST] e que os seus vértices estão sobre as rectas ortogonais
R R
a λ (paralelas à recta p) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projecções de S’ conduziram-se as projecções da recta suporte
do segmento [R’S’], paralelas às projecções homónimas de [RS], até encontrarem as projecções homónimas da recta p’ (a recta suporte da
R R
aresta lateral [R R ’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é R’. Repetiu-se o processo para T’, a partir de S’ (a recta suporte da aresta
R
lateral [T T’] é a recta p’’). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno
T
aparente frontal é [R 2S2S’2T’2R’2] e o contorno aparente horizontal é [S1T1T’1R’1S’1]. Em projecção frontal, existe um vértice que não
R S
integra o contorno aparente – o vértice T’, que é o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que
nele convergem. Em projecção horizontal, também existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R , que é o vértice de
menor cota, pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. A base [RST] é visível em projecção frontal e invisível em
R
projecção horizontal. A base [R’S’T’] é visível em projecção horizontal (a aresta [S’T’] da base é visível) e invisível em projecção frontal (a
R S
aresta [R’S’] da base é invisível).
R
344.
Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos
dados. O plano γ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. A recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano e com 3 cm
de cota, foi a recta auxiliar a que se recorreu para determinar as projecções do ponto O. O plano γ não é paralelo a nenhum dos planos de
projecção, pelo que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geo-
métrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano γ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira é hγ – hγ ≡ e1 ≡ hγr). Para rebater o plano γ
há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (traço frontal da recta h), por exemplo.
Para tal conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do pla-
no (que é um ponto fixo) e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por F1, obtendo-se Fr. O tra-
ço frontal do plano rebatido, f γr, passa por Fr e é concorrente com hγr no eixo X. A recta hr passa por Fr e é paralela a hγr (rectas horizontais
de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano). Por O1 conduziu-se uma perpendicular à charneira e determi-
nou-se Or sobre hr. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e
construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência e de acordo com os dados – o lado [A B] é frontal (é paralelo a
A
f γr), sendo A o vértice de maior cota. Em seguida, inverteu-se o rebatimento dos três vértices do triângulo, com o recurso às rectas frontais
(de frente) do plano que por eles passam (ver exercício 187 e respectivo relatório). A partir das projecções dos três vértices do triângulo,
desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do
(Continua na página seguinte)
131

6. SOLUÇÕES
sólido) – note que o lado [A B ] é frontal
A
(paralelo a f γ), o lado [B C ] é horizontal
B
(paralelo a h γ) e o lado [A C] é de perfil.
A
Em seguida conduziu-se, por C, uma recta
c, ortogonal ao plano γ – a recta c é a rec-
ta suporte da aresta lateral [CC’] do pris-
C
ma, que mede 4 cm (a altura do prisma).
Como a recta c é oblíqua aos dois planos
de projecção, o segmento [C C ’ ] não se
C
projecta em V.G. em nenhum dos planos
de projecção, pelo que é necessário o re-
curso a um processo geométrico auxiliar.
Optou-se por rebater o plano projectante
horizontal da recta c (o plano α) para o
Plano Frontal de Projecção – a charneira
foi f α (recta e’). A recta c rebateu-se com o
recurso a dois dos seus pontos – o ponto
C e F’, o seu traço frontal. A recta c r fica
definida por C r 1 e F’ r (note que C r 1 é o
ponto C no seu segundo rebatimento – no
rebatimento do plano α). Sobre c r, a partir
de C r 1, mediram-se os 4 cm (a altura do
prisma), obtendo-se C’ r (garantindo que
C’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o re-
batimento de α, obtendo-se as projecções
de C’ sobre as projecções homónimas da
recta c. As projecções de A’ e B’, os ou-
tros dois vértices da base superior, deter-
minaram-se atendendo a que os lados do
triângulo [A’B’C’] são paralelos aos lados
A
correspondentes do triângulo [A B C] e que
A
os seus vértices estão sobre as rectas ortogonais a γ (paralelas à recta c) que contêm as respectivas arestas laterais. Assim, pelas projec-
ções de C’ conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta b (a rec-
B
ta suporte da aresta lateral [BB’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para A’ – pelas projecções de C’
B
conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [A’C’], até encontrarem as projecções homónimas da recta a (a recta suporte
A
da aresta lateral [A A ’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é A’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-
A
se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2A’2B’2B 2C2] e o contorno aparente horizontal é [A 1B 1B’1C’1C1]. Em
A A
projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C’, que é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo
que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também há um vértice que não integra o contor-
no aparente – o vértice A’, que é o vértice de maior cota do sólido, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. A
base [A’B’C’] é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal. A base [A B C] é visível em projecção frontal e invisível em
A A
projecção horizontal – a aresta [A B] da base é visível em projecção frontal e a aresta [B C] da base é invisível em projecção horizontal.
A B
345.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e B, pertencentes ao plano α, pelas suas projecções, em fun-
ção dos dados. O ponto A é um ponto de f α, que é uma recta frontal (de frente) do plano com cota nula. O ponto B é um ponto de hα, que é
uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário
o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projecção e que o ponto B é um pon-
to do Plano Horizontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano α para o Plano Frontal
de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção
(a charneira é hα – hα ≡ e1 ≡ hαr), pelo que se tem imediatamente B r ≡ B 1, pois B é um ponto da charneira. Para rebater o plano α há que re-
bater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto A , que é um ponto de f α. Para tal conduziu-se, por A 1,
uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do plano (que é um ponto fixo) e
raio até A 2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira que passa por A 1, obtendo-se A r. O traço frontal do plano rebatido,
f αr, passa por A r e é concorrente com hαr no eixo X. A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento. Para inverter o re-
batimento dos pontos C e D, recorreu-se à recta suporte do lado [CD] do quadrado – a recta s. A recta sr passa por Cr e Dr e é paralela à
C
recta r r, que é a recta que passa por A r e B r (a recta r é a recta suporte do lado [A B] do quadrado). As projecções da recta r determinam-se
A
imediatamente – estão definidas pelas projecções homónimas de A e B. A recta sr é concorrente com hαr no ponto Hr – H é o traço horizon-
tal da recta s. As projecções de H determinam-se imediatamente, pois H é um ponto da charneira (é fixo). A recta s fica definida por um pon-
to (H) e por uma direcção (é paralela à recta r ), o que nos permitiu desenhar as projecções da recta s – passam pelas projecções
H
homónimas de H e são paralelas às projecções homónimas da recta r. Conduzindo, por Cr e Dr, as perpendiculares à charneira que por
(Continua na página seguinte)
132

7. SOLUÇÕES
eles passam (e que correspondem aos planos ortogonais à charneira que contêm os respectivos arcos do rebatimento), determinaram-se
as projecções de C e D, sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-
-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). Em
seguida conduziu-se, por A , uma recta a, ortogonal ao plano α – a recta a é a recta suporte da aresta [A A ’] do cubo, cujo comprimento será
A
igual ao lado do quadrado [A r B r Cr Dr]. Como a recta a é oblíqua aos dois planos de projecção, o segmento [A A ’] não se projecta em V.G.
A A
em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano pro-
jectante horizontal da recta a (o plano γ) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f γ (recta e’). A recta a rebateu-se com o recurso
a dois dos seus pontos – o ponto A (que é o seu traço frontal) e um ponto P, qualquer, da recta. A recta ar fica definida por A r 1 e Pr (note
que A r 1 é o ponto A no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano γ). Transportou-se a medida do lado do quadrado [A r B r Cr Dr] A
para ar, a partir de A r 1, obtendo-se A’r (garantindo que A’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de γ, obtendo-se as projecções
de A’ sobre as projecções homónimas da recta a. As projecções de B’, C’ e D’, os outros três vértices da face superior do cubo, determina-
ram-se atendendo a que os lados do quadrado [A’B’C’D’] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A B CD] e que os seus
A A
vértices estão sobre as rectas ortogonais a α (paralelas à recta a) que contêm as respectivas arestas. Assim, pelas projecções de A’ condu-
ziram-se as projecções da recta suporte do segmento [A’B’], até encontrarem as projecções homónimas da recta b (a recta suporte da
A
aresta [BB’]) – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’ – pelas projecções de A’ conduziram-se as
B
projecções da recta suporte do segmento [A’D’], até encontrarem as projecções homónimas da recta d (a recta suporte da aresta [DD’]) e o
A D
ponto de concorrência das duas rectas é D’. Por fim, repetiu-se uma vez mais o processo descrito para C’ – pelas projecções de B’ (ou de D’)
conduziram-se as projecções da recta suporte do segmento [B’C’] (ou do segmento [C’D’]), até encontrarem as projecções homónimas da
B C
recta c (a recta suporte da aresta [CC’]) e o ponto de concorrência das duas rectas é C’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido,
C
desenharam-se os seus contornos aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é [B 2B’2A ’2D’2D2C2] e o c o n t o r n o a p a r e n t e h o r i z o n t a l é
B
[A 1A’1B’1C’1C1D1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice C’ (que é o vértice de
A
maior afastamento do cubo, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor
afastamento do cubo, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção horizontal, também existem
dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota do cubo, pelo que é visível bem como todas
as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota do cubo, pelo que é invisível bem como todas as arestas que
nele convergem). A face [A’B’C’D’] é visível em ambas as projecções e a face [A B CD] é invisível em ambas as projecções.
A A
133

8. SOLUÇÕES
346.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e T, pelas
suas projecções, em função dos dados. Em seguida, dese-
nharam-se os traços do plano ρ – T tem cota nula, pelo que
hρ passa por T1, e R tem afastamento nulo, pelo que f ρ passa
por R 2. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos
planos de projecção – para construir as suas projecções é
necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma
vez que o ponto R é um ponto do Plano Frontal de Projecção
e que o ponto T é um ponto do Plano Horizontal de Projec-
ção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o
rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção ou
para o Plano Horizontal de Projecção. Optou-se por rebater o
plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi
hρ. Tr ≡ T1, pois T é um ponto da charneira. Para rebater o
plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa
rebatendo um dos seus pontos – o ponto R (que é um ponto
de f ρ), por exemplo. Para tal conduziu-se, por R , uma perpen-
dicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à
charneira que contém o arco do seu rebatimento) – com o
compasso, fazendo centro em R 1 e raio até R 2 (o raio é a cota
de R ) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos
permitiu construir o triângulo do rebatimento de R em V.G. e
determinar Rr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em
rebatimento, f ρr, passa por R r e é paralelo ao eixo X (e a hρr).
A partir de R r e Tr construiu-se o quadrado em V.G., em reba-
timento, determinando Sr e Ur, bem como Or (O é o centro da
O
circunferência circunscrita ao quadrado). Para inverter o reba-
timento de Sr conduziu-se, por Sr , uma recta sr, paralela à
recta r r – a recta r é a recta que passa por R e T, cujas projec-
ções se determinaram imediatamente. O traço horizontal da
recta s é fixo (é um ponto da charneira), pelo que as suas
projecções se determinaram imediatamente (note que não se
identificou o traço horizontal da recta s, nem em projecções
nem em rebatimento, de forma a não sobrecarregar visual-
mente a resolução gráfica apresentada). A recta s, em projecções, fica definida por um ponto (o seu traço horizontal) e por uma direcção (é
paralela à recta r), o que nos permitiu desenhar imediatamente as suas projecções, paralelas às projecções homónimas da recta r. Condu-
zindo, por Sr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), de-
terminaram-se as projecções de S sobre as projecções homónimas da recta s. Repetiu-se o processo para o ponto U – a recta m é a recta
paralela à recta r que passa por U e está igualmente definida por um ponto e uma direcção (as projecções do ponto U determinaram-se a
partir das projecções da recta m). A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço
leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). As projecções do ponto O determina-
ram-se a partir das duas diagonais do quadrado – O2 é o ponto de concorrência das projecções frontais das duas diagonais do quadrado e
O1 é o ponto de concorrência das projecções horizontais das duas diagonais do quadrado. Em seguida, pelas projecções de O, conduzi-
ram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo da pirâmide e é uma recta de perfil. A recta p está
definida por um ponto (o ponto O) e pela sua direcção (é ortogonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a
recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelos
seus traços, F e H). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares
no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 8 cm de O (a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [OV] O
não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, é necessário o recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se
pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e ’ ). A recta i r fica definida por Fr e Hr. Note que o
ponto Or 1 tem também de se situar sobre i r, pois O é um ponto da recta i (Or 1 é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do
O
plano π). A recta pr passa por Or 1 e é perpendicular a i r em Or 1. Sobre pr, a partir de Or 1, mediram-se os 8 cm, obtendo-se Vr (garantindo
que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de V. A partir das projecções de todos os vértices do
sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o c o n t o r n o a p a r e n t e f r o n t a l é [S2T2U2V2] e o c o n t o r n o a p a r e n t e h o r i z o n t a l é
S
[R 1S1V1U1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R , que é o vértice de menor afastamento
R
do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também há um vértice que não
integra o contorno aparente – o vértice T, que é o vértice de menor cota do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele
convergem. A aresta lateral [TV] é visível em projecção frontal, pois separa duas faces visíveis em projecção frontal – as faces laterais [STV]
T S
e [TUV]. A aresta lateral [R V] é visível em projecção horizontal, pois separa duas faces visíveis em projecção horizontal – as faces laterais
T R
[RSV] e [RUV].
R R
134

9. SOLUÇÕES
347.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados – o plano ρ tem os seus traços simétricos em relação
ao eixo X, pois é ortogonal ao β1/3. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar as projecções de A e B – A tem cota nula, pelo que é um
ponto de hρ e B tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de f ρ. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pelo que se situam na mesma
linha de chamada. Uma vez que o triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas projec-
ções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e que
o ponto B é um ponto do Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ρ para
o Plano Frontal de Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção. Optou--se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projec-
ção – a charneira foi hρ. A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se proces-
sa rebatendo um dos seus pontos – o ponto B (que é um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por B, uma perpendicular à
charneira – com o compasso, fazendo centro em B 1 e raio até B 2 (a cota de B) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permi-
tiu construir o triângulo do rebatimento de B em V.G. e determinar B r (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa
por B r e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, determinando Cr (garantindo que
C é o vértice de menor abcissa, ou seja, o vértice que se situa mais à direita) e Or (O é o centro do triângulo). Para inverter o rebatimento de
O
Or conduziu-se, por Or e por B r, uma recta r r – r r é concorrente com hρr no ponto Hr (H é o traço horizontal da recta r e B é o seu traço fron-
H
tal). H é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente, o que nos permitiu, em seguida, determinar
as projecções da recta r, passando pelas projecções homónimas de H e B. Conduzindo, por Or, uma perpendicular à charneira, determina-
ram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas de r. Cr situa-se na recta fronto-horizontal que passa por Or e cujas projecções
se determinaram a partir das projecções homónimas de O – conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira, determinaram--se as pro-
jecções de C sobre as projecções homónimas da recta fronto-horizontal. A partir das projecções dos três vértices do triângulo,
desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do
sólido). Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte do eixo
da pirâmide e é uma recta de perfil. A recta p está definida por um ponto (o ponto O) e pela sua direcção (é ortogonal a ρ). A recta p é orto-
gonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e determinou-se a recta de intersec-
ção de π com ρ – recta i (que está definida pelos seus traços, F e H’). A recta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a
recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 7 cm de O
(a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [OV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, é necessário o
O
recurso a um outro processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi
f π (recta e’). A recta i r fica definida por Fr e H’r. Note que o ponto Or 1 tem também de se situar sobre i r, pois O é um ponto da recta i (Or 1 é o
O
ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano π). A recta pr passa por Or 1 e é perpendicular a i r em Or 1. Sobre pr, a partir
de Or 1, mediram-se os 7 cm, obtendo-se Vr (garantindo que V se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projec-
ções de V. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente fron-
tal é [A 2B 2V2C2] e o contorno aparente horizontal é [A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno
A A
aparente – no entanto, a base é invisível em projecção frontal, tal como a face lateral [B CV]. Assim, em projecção frontal, apenas a aresta
B
[B C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). Em projecção horizontal, todos
B
os vértices da pirâmide integram também o contorno aparente – no entanto, a base é invisível em projecção horizontal, tal como a face lateral
[ACV]. Assim, em projecção horizontal, apenas a aresta [A C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na
A A
parte visível do sólido).
135

10. SOLUÇÕES
348.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos
seus traços, em função dos dados – o plano ρ tem
os seus traços simétricos em relação ao eixo X,
pois é ortogonal ao β1/3. A recta r é a recta do plano
a que se recorreu para determinar as projecções do
ponto Q (a recta r está definida pelos seus traços,
H e F). Uma vez que o triângulo não se projecta em
V.G. em nenhum dos planos de projecção, para
construir as suas projecções é necessário o recurso
a um processo geométrico auxiliar. Note que o ân-
gulo dado (o ângulo que um dos lados do triângulo
faz com hρ) é um ângulo que está contido no plano
(trata-se do ângulo entre duas rectas) e não tem
correspondência directa em projecções, pois o pla-
no ρ não é paralelo a nenhum dos planos de pro-
jecção. Ao nível da economia de traçados é
indistinto rebater o plano ρ para o Plano Frontal de
Projecção ou para o Plano Horizontal de Projecção.
Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizon-
tal de Projecção – a charneira foi hρ. Hr ≡ H1, pois H
(o traço horizontal da recta r) é um ponto da char-
neira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu
traço frontal, o que se processa rebatendo um dos
seus pontos – o ponto F (o traço frontal da recta r),
por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, uma per-
pendicular à charneira – com o compasso, fazendo
centro em F1 e raio até F2 (a cota de F) transportou-
-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu
construir o triângulo do rebatimento de F em V.G. e
determinar Fr (ver exercício 188). O traço frontal do
plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por Fr e é para-
lelo ao eixo X (e a hρr). Por Fr e Hr conduziu-se r r –
conduzindo, por Q1, uma perpendicular à charneira
(que corresponde ao plano ortogonal à charneira
que contém o arco do seu rebatimento) determinou-se Qr sobre r r. Com centro em Qr, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângu-
lo e construiu-se o polígono, em V.G., inscrito na circunferência e de acordo com os dados. O ângulo que um lado do triângulo faz com hρ
pode, agora, em rebatimento, ser medido em V.G. – o lado [A B] é o lado do triângulo que faz, com hρ, um ângulo de 20o e o vértice C será,
A
assim, o vértice de menor cota do triângulo. Note que caso se tratasse da outra situação possível, em que C seria o vértice de maior cota do
polígono, C não se situaria no espaço do 1o Diedro, o que implica que a situação apresentada é a única solução do problema. Para inverter o
rebatimento de A r e Cr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta sr – sr é concorrente com hρr em H’r (H’ é o traço horizontal da recta s) e é
H
concorrente com f ρr em F’r (F’ é o traço frontal da recta s). A recta s é a recta suporte do lado [A C] do triângulo. H’ é um ponto da charneira,
F A
pelo que as suas projecções se determinaram imediatamente. As projecções de F’ determinaram-se conduzindo, por F’r uma perpendicular
à charneira – F’ é um ponto de f ρ. A partir das projecções de F’ e H’, desenharam-se as projecções da recta s. Conduzindo, por A r e Cr, as
perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de A e C sobre as projecções homónimas de s. Para in-
verter o rebatimento de B r conduziu-se, por A r e B r, uma recta mr – mr é concorrente com f ρr em F’’r (F’’ é o traço frontal da recta m). A recta
F
m é a recta suporte do lado [A B] do triângulo. As projecções de F’’ determinaram-se conduzindo, por F’’r uma perpendicular à charneira – F’’
A
é um ponto de f ρ. A partir das projecções de A e F’’, desenharam-se as projecções da recta m. Conduzindo, por B r, uma perpendicular à
charneira, determinaram-se as projecções de B sobre as projecções homónimas de m. A partir das projecções dos três vértices do triângu-
lo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções
do sólido). Sobre a determinação das projecções de V, o vértice da pirâmide, ver relatório do exercício anterior. A partir das projecções de
todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2C2B 2V2] e o contorno apa-
A
rente horizontal é [A 1B 1C1V1]. Em projecção frontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente – no entanto, a base é in-
A
visível em projecção frontal, tal como a face lateral [A BV]. Assim, em projecção frontal, apenas a aresta [A B] da base é invisível (as restantes
A A
arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido). Em projecção horizontal, todos os vértices da pirâmide integram tam-
bém o contorno aparente – no entanto, a base é invisível em projecção horizontal, tal como a face lateral [ACV]. Assim, em projecção hori-
A
zontal, apenas a aresta [A C] da base é invisível (as restantes arestas são todas visíveis, pois situam-se na parte visível do sólido).
A
136

11. SOLUÇÕES
349.
Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar as
projecções de B – o lado [A B] é fronto-horizontal e projecta-se em V.G. em ambos os planos de projecção. A recta g é a recta fronto-hori-
A
zontal que passa por A e B. O plano está definido por um ponto (o ponto A ) e pela sua orientação (é dada a amplitude do diedro que o pla-
no faz com o Plano Horizontal de Projecção). O primeiro problema que o exercício nos coloca é a determinação dos traços do plano, o que
poderia ser resolvido com o recurso a uma recta de perfil do plano, passando por A , e com o rebatimento do plano de perfil que contivesse
a recta. No entanto, optou-se por uma situação diferente – o recurso a uma mudança do diedro de projecção, transformando o plano ρ num
plano de topo. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (plano 2) por um novo plano de projecção (plano 4), ortogonal ao plano ρ
p p
– o novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 1 (o Plano Horizontal de Projecção, que se manteve) com o plano 4 e é per-
pendicular ao eixo X. As projecções de A e B no plano 4 determinaram-se em função da sua cota (que é a mesma), que se manteve, o que
nos permitiu, também, determinar a projecção da recta g no plano 4 – a recta g, no novo diedro de projecção, é uma recta de topo, razão
pela qual se assinalou g4 entre parêntesis. O plano ρ, no novo diedro de projecção, é um plano de topo e o diedro que o plano faz com o
Plano Horizontal de Projecção projecta-se em V.G. no plano 4 – assim, o traço do plano ρ no plano 4 (f 4ρ) passa por A 4 (e por B 4) e faz,
f
com o eixo X’, um ângulo de 40o (o ângulo dado). Uma vez que os dois traços do planos são concorrentes no eixo X’, pelo ponto em que f 4ρ
intersecta o eixo X conduziu-se uma paralela ao eixo X inicial, que é hρ. Em seguida, recorrendo a um ponto M, do plano (e com afastamen-
to nulo no diedro de projecção inicial), determinou-se f ρ (o traço frontal do plano ρ no diedro de projecção inicial) – M é um ponto de f ρ. O
triângulo não se projecta em V.G., pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Aproveitando a mudança do diedro de projecção efectuada, procedeu-se ao rebatimento do plano ρ como plano projec-
tante (no novo diedro de projecção, o plano ρ é um plano de topo). A charneira foi hρ (hρ ≡ e1 ≡ hρr) que, no novo diedro de projecção, é
h
uma recta de topo – a projecção da charneira no plano 4 é um ponto (e4), que se assinalou devidamente entre parêntesis. Para rebater o
f
traço frontal do plano (f ρ) efectuou-se o rebatimento do ponto M (que é um ponto de f ρ), pelo rebatimento do plano de topo (sugere-se que
o aluno ponha a folha de papel com o eixo X’ na horizontal, para melhor entendimento deste processo), obtendo M r – f ρr passa por M r e é
paralelo a hρr. Também através do rebatimento do plano de topo se rebateram os pontos A e B. A partir de A r e B r, construiu-se o triângulo
[A B C], em V.G., em rebatimento, e determinou-se ainda Or, o centro do triângulo. Para determinar as projecções de C conduziu-se, por Cr
A
uma recta r r – a recta r é a recta suporte do lado [A C] do triângulo. A recta r r é concorrente com hρr em Hr (H é o traço horizontal da recta r)
A H
(Continua na página seguinte)
137

12. SOLUÇÕES
e é concorrente com f ρr em Fr (F é o traço frontal da recta r). H é um ponto da charneira, pelo que as suas projecções se determinaram ime-
F
diatamente. As projecções de F determinaram-se conduzindo, por Fr, uma perpendicular à charneira – F é um ponto de f ρ. A partir das pro-
jecções de F e H, desenharam-se as projecções da recta r (note que as projecções da recta r passam pelas projecções homónimas do
ponto A , que é um ponto da recta – bastaria o traço horizontal da recta e o ponto A para desenhar as projecções da recta). Conduzindo, por
Cr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de C sobre as projecções homónimas de r. Para inverter o rebatimento
de Or conduziu-se, por Or, uma recta mr, fronto-horizontal – mr é concorrente com r r num ponto Pr, cujas projecções se determinaram ime-
diatamente, sobre as projecções homónimas da recta r. Pelas projecções de P conduziram-se as projecções homónimas de m. Conduzin-
do, por Or , uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de O sobre as projecções homónimas de m. A partir das
projecções dos três vértices do triângulo [A B C], desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o
A
objectivo do exercício, que é as projecções do sólido). O problema seguinte consiste em determinar as projecções do vértice D (o quarto
vértice do tetraedro), pois não é conhecida a altura do sólido – apenas se sabe que as suas arestas têm todas o mesmo comprimento.
Assim, o ponto D situa-se numa recta ortogonal ao plano ρ que passa por O, estando equidistante dos outros três vértices do sólido. A recta
ortogonal ao plano ρ que passa por O é uma recta de perfil (recta p) e a aresta [CD] também é de perfil, pelo que é possível resolver o exer-
C
cício em rebatimento, recorrendo ao rebatimento do plano de perfil que contém as duas rectas (a recta p e a recta suporte da aresta [CD]).
C
No entanto, atendendo à mudança do diedro de projecção efectuada, há que reconhecer que o plano 4 é paralelo à aresta [CD], pelo que
C
esta se projecta em V.G. no plano 4. Por outro lado, na mudança do diedro de projecção efectuada, o plano ρ é um plano de topo e a orto-
gonalidade entre a recta p e o plano ρ também é directa. Assim, o processo mais simples consiste, efectivamente, em recorrer à mudança
do diedro de projecção, para concluir o exercício. Em primeiro lugar, determinaram-se as projecções de O e C no plano 4, através das
linhas de chamada (perpendiculares ao eixo X’) que passam por O1 e C1 – O4 e C4 situam-se sobre f 4ρ, pois no novo diedro de projecção, o
plano ρ é projectante frontal. A projecção da recta p, no plano 4, passa por O4 e é perpendicular a f 4ρ. Com o compasso, fazendo centro em
C4 e com 6 cm de raio (a medida da aresta do tetraedro, que é a medida do lado do triângulo [A B C]), determinou-se D4 sobre p4. D1 teve
A
determinação directa, a partir de D4, e D2 determinou-se através da cota de D (que se manteve). A partir das projecções de todos os vértices
do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [A 2B 2D2] e o contorno aparente horizontal é
A
[A 1C1B 1D1]. Em projecção frontal, há um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C, que é o vértice de menor afastamento
A
do sólido, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a face [A B D] é a única face visível em projecção
A
frontal. Em projecção horizontal, todos os vértices da pirâmide integram o contorno aparente – no entanto, a face [A B C] é invisível em pro-
A
jecção horizontal, tal como a face [A B D]. Assim, em projecção horizontal, apenas a aresta [A B] é invisível.
A A
350. Resolução
(Relatório na página seguinte)
138

13. SOLUÇÕES
350. Relatório
Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenhou-se o traço hori-
zontal do plano ρ – B tem cota nula, pelo que hρ passa por B1. Por A e B conduziu-se uma recta r, do plano, e determinou-se o seu traço
frontal – f ρ passa por F2. Uma vez que o quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, para construir as suas pro-
jecções é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Uma vez que o ponto B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção,
ao nível da economia de traçados é preferível efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção (economiza-se o re-
batimento de um ponto). Rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. B r ≡ B 1, pois B é um ponto da
charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o ponto F (que é
um ponto de f ρ), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em F1 e raio
até F2 (a cota de F) transportou-se essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do rebatimento de F em V.G. e de-
terminar Fr (ver exercício 188). O traço frontal do plano ρ em rebatimento, f ρr, passa por Fr e é paralelo ao eixo X (e a hρr). A recta r r está de-
finida por B r e por Fr. Conduzindo, por A 1, uma perpendicular à charneira, determinou-se A r sobre r r. A partir de A r e B r construiu-se o
quadrado em V.G., em rebatimento, determinando Cr e Dr. Para inverter o rebatimento de Cr e Dr conduziu-se, pelos dois pontos, uma recta
sr, paralela à recta r r. A recta sr é concorrente com f ρr no ponto F’r (F’ é o traço frontal da recta s). Note que o traço horizontal da recta s se
F
situa fora dos limites do desenho. Conduzindo, por F’r, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de F’ – F’ é um pon-
to de f ρ. As projecções da recta s determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de F’ e são paralelas às projec-
ções homónimas da recta r (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Conduzindo, por Cr e Dr, as perpendiculares à charneira
que por eles passam, determinaram-se as projecções de C e D sobre as projecções homónimas da recta s. A partir das projecções dos
quatro vértices do quadrado, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de um traçado auxiliar para o objectivo do exer-
cício, que é as projecções do sólido). Em seguida, pelas projecções de A conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a
recta p é a recta suporte da aresta lateral [A A ’] e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – A – e pela sua direcção – é orto-
A
gonal a ρ). A recta p é ortogonal às rectas de perfil do plano ρ. Para definir a recta p conduziu-se, pela recta, um plano de perfil π e
determinou-se a recta de intersecção de π com ρ – recta i (que está definida pelos seus traços, F’’ e H). A recta i contém o ponto A (que é
um ponto dos dois planos) e a recta p também – as duas rectas são perpendiculares no ponto A . Por outro lado, ο vértice A’ situa-se sobre
p, a 7 cm de A (a altura do prisma). Atendendo a que o segmento [A A ’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção,
A
recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π (recta e’). A recta i r fica definida por F’’r e Hr.
Note que o ponto A r 1 tem também de se situar sobre i r, pois A é um ponto da recta i (A r 1 é o ponto A no seu segundo rebatimento – no
A
rebatimento do plano π). A recta pr passa por A r 1 e é perpendicular a i r em A r 1. Sobre pr, a partir de A r 1, mediram-se os 7 cm, obtendo-se
A’r (garantindo que A’ se situa no 1o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projecções de A’. A partir das projecções de A’
desenharam-se as projecções do quadrado [A’B’C’D’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [A BCD] – B’, C’ e D’
A A
estão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm B, C e D, respectivamente. Assim, pelas projecções de A’ conduziram-se as projec-
ções homónimas da recta suporte do segmento [A’B’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que contém a aresta
A
lateral [BB’] – o ponto de concorrência das duas rectas é B’. Repetiu-se o processo para D’, a partir de A’, e ainda para C’, a partir de B’ ou
B
de D’. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é
[A 2B 2C2C’2D’2A’2] e o contorno aparente horizontal é [A 1A’1B’1C’1C1D1]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o
A A
contorno aparente – o vértice B’ (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem)
e o vértice D (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projecção
h o r i z o n t a l, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é o vértice de maior cota, pelo que é
visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice B (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bem como todas
as arestas que nele convergem). Note que a base [A B CD] é invisível em ambas as projecções e que a base [A’B’C’D’] é visível em ambas
A A
as projecções. Em projecção horizontal, as faces laterais [CC’D’D] e [AA’D’D] são visíveis – no entanto, estas faces são invisíveis em projecção
C A
frontal. Já as faces [A A ’ B ’ B] e [BB’C’C], são visíveis em projecção frontal e invisíveis em projecção horizontal.
A B
139

14. SOLUÇÕES
351.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos R e S, pelas suas projec-
ções, em função dos dados. Por R e S conduziu-se uma recta r, do plano,
e determinaram-se os seus traços nos planos de projecção – pelos traços
da recta conduziram-se os traços homónimos do plano ρ. Uma vez que o
triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção,
para construir as suas projecções é necessário o recurso a um processo
geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal
de Projecção – a charneira foi hρ. Hr ≡ H1, pois H (o traço horizontal da
recta r) é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o
seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos – o
ponto F (o traço frontal da recta r, que é um ponto de f ρ), por exemplo.
Para tal, conduziu-se, por F, uma perpendicular à charneira – com o com-
passo, fazendo centro em F1 e raio até F2 (a cota de F) transportou-se
essa distância até ao eixo X, o que nos permitiu construir o triângulo do
rebatimento de F em V.G. e determinar Fr (ver exercício 188). O traço frontal
do plano ρ em rebatimento, fρr, passa por Fr e é paralelo ao eixo X (e a hρr).
A recta rr está definida por Hr e por Fr. Conduzindo, por R 1 e por S1, as
perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se R r e
Sr sobre rr. A partir de R r e Sr construiu-se o triângulo equilátero [R rSrTr]
R
em V.G., em rebatimento, determinando Tr. Para inverter o rebatimento de
Tr conduziu-se, pelo ponto, uma recta sr, paralela à recta rr. A recta sr é
concorrente com f ρr no ponto F’r (F’ é o traço frontal da recta s) e é con-
F
corrente com hρr no ponto H’r (H’ é o traço horizontal da recta s). Condu-
H
zindo, por F’ r , uma perpendicular à charneira, determinaram-se as
projecções de F’ – F’ é um ponto de f ρ. H’r ≡ H’1, pois H’ é um ponto da
charneira. As projecções da recta s determinaram-se imediatamente –
passam pelas projecções homónimas de F’ e H’ (e são paralelas às pro-
jecções homónimas da recta r). Conduzindo, por Tr, uma perpendicular
à charneira, determinaram-se as projecções de T sobre as projecções
homónimas da recta s. A partir das projecções dos três vértices do triân-
gulo, desenharam-se as suas projecções (a traço leve, pois trata-se de
um traçado auxiliar para o objectivo do exercício, que é as projecções do
sólido). Em seguida, pelas projecções de R conduziram-se as projecções de uma recta p, ortogonal a ρ – a recta p é a recta suporte da aresta
lateral [RR’] e é uma recta de perfil (que está definida por um ponto – R – e pela sua direcção – é ortogonal a ρ). A determinação das projec-
R
ções do ponto R’, o extremo superior da aresta lateral [RR’] determinou-se conforme exposto no relatório do exercício anterior para o ponto A’.
R
O plano π é o plano de perfil que contém a recta p. A recta i (definida por F’’ e por H’’) é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ.
Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – ir fica definida por F’’r e por H’’r (e passa por R r1). A recta pr é perpendicular a ir em
R r1. R’r situa-se sobre pr a 6 cm de R r1 (a altura do prisma). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de R’. A partir das
projecções de R’ desenharam-se as projecções do triângulo [R’S’T’], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [RST]
R R
– S’ e T’ estão nas rectas de perfil ortogonais a ρ que contêm S e T, respectivamente. Assim, pelas projecções de R’ conduziram-se as projec-
ções homónimas da recta suporte do segmento [R’S’], até encontrarem as projecções homónimas da recta de perfil que contem a aresta lateral
R
[SS’] – o ponto de concorrência das duas rectas é S’. Repetiu-se o processo para T’, a partir de R’. A partir das projecções de todos os vértices
S
do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente frontal é [S2S’2R’2T’2T2] e o contorno aparente horizontal é
S
R
[R 1S1S’1T’1T1]. Em projecção frontal, existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice R’, que é o vértice de menor afasta-
mento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem. Em projecção horizontal, também existe um vértice que não inte-
gra o contorno aparente – o vértice R’, que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem. Note
que a base [RST] é invisível em ambas as projecções e que a base [R’S’T’] é visível em ambas as projecções. Em projecção horizontal, as faces
R R
laterais [RR’S’S] e [RR’T’T] são visíveis – no entanto, estas faces são invisíveis em projecção frontal. Já a face lateral [S S’T’T] é visível em
R R S
projecção frontal e invisível em projecção horizontal.
352.
Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ é ortogonal ao β1/3, pelo que os seus traços
são simétricos em relação ao eixo X. Uma vez que a circunferência circunscrita ao rectângulo [A BCD] é tangente aos dois planos de projec-
A
ção, sabe-se que a circunferência é tangente aos dois traços do plano. Por outro lado, uma vez que a diagonal [A C] do plano é de perfil e que
A
A tem cota nula, sabe-se que a circunferência será tangente a hρ em A. É possível, imediatamente, determinar as projecções de A (que é um
ponto de hρ). Por outro lado, atendendo a que C será o outro extremo da diagonal, C terá de ser o ponto em que a circunferência será tangente
a f ρ – este raciocínio permite-nos, imediatamente, determinar as projecções de C (que é um ponto de f ρ com a mesma abcissa de A). Só é pos-
sível desenhar a circunferência em V.G., com o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos
de projecção. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção e que C é um ponto
do Plano Frontal de Projecção, ao nível da economia de traçados é indistinto efectuar o rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Pro-
jecção ou para o Plano Frontal de Projecção. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ. Ar ≡ A1,
pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos –
o ponto C, por exemplo. Para tal, conduziu-se, por C, uma perpendicular à charneira – com o compasso, fazendo centro em C1 e raio até C2
(Continua na página seguinte)
140