CastelSPietro-2016_RelazioneNavarra

Giancarlo Navarra
Università di Modena e Reggio Emilia
La dualità rappresentare-risolvere
in Early Algebra:
strategie per favorire in alunni giovani
il controllo del processo risolutivo
di problemi
Incontri con la Matematica 30
Castel S.Pietro Terme (BO) - 4-5-6 novembre 2016

• Rinnovamento dell’insegnamento dell’area
aritmetico-algebrica nella scuola primaria e
secondaria di 1° grado ( scuola
dell’infanzia).
• Nicolina A. Malara, Giancarlo Navarra
(Università di Modena e Reggio E.)
• Nasce negli anni 90 nel Nucleo di ricerca
diretto da Malara da lavori sulla didattica
dell’algebra avviati nei primi anni ’80.
• Primo posto al concorso SeT (2001).
• Collaborazioni con istituti e reti di scuole.
G. Navarra, Incontri con la Matematica 30, Castel S.Pietro (BO), 4-5-6 novembre 2016 2

Pensate a tre numeri
Quanti di voi hanno pensato ad esempio:
6 5
5
7
260, 2
15 394  )(
Introduzione
3G. Navarra, Incontri con la Matematica 30, Castel S.Pietro (BO), 4-5-6 novembre 2016
L’imprinting del numero naturale

Cos’è [(11+7):9]2×3
Le risposte classiche che riceviamo da
insegnanti e studenti sono: operazioni o
un’espressione.
Esse esprimono i depositi di ciò che resta, nel
profondo, delle conoscenze matematiche
acquisite nel corso della nostra esperienza
scolastica: conoscenze legate al fare, al
calcolare.
È difficile che questa scrittura venga vista
come un oggetto matematico.
Introduzione

Cos’è un oggetto matematico
(3+5)2
(a+b)2 quadrato di un binomio
a3–b3
(3–b3)(5a+4b)
è il quadrato di una somma
Uno studente che è stato abituato solo ad
operare sugli oggetti matematici è capace di
nominarli?
3+5
Nominare un oggetto matematico
differenza di due cubi
prodotto di due binomi
=82=64

(3+5)2
(a+b)2 quadrato di un binomio
a3–b3
(3–b3)(5a+4b)
è il quadrato di una somma
Uno studente che è stato abituato solo ad
operare sugli oggetti matematici è capace di
nominarli?
3+5
differenza di due cubi
prodotto di due binomi
=82=64
Gli studenti nei primi incontri con l’algebra
rimangono perplessi nel sentire parlare di
a+b in termini di somma perché per loro la
somma è il risultato di un’addizione, non
l’operazione che lo genera.
Tutto ha inizio con l’uguale.

Aritmetica del ‘far di conto’
3+5=8
Ma in algebra le cose non stanno così.
Procedurale vs Relazionale
Operazione Risultato
Operatore direzionale
significato spazio-temporale
Indicatore che 3 più 5 fa 8
Significato procedurale

In algebra
Aspetto centrale nel passaggio all’algebra.
Simmetria dell’uguaglianza
significato a-spaziale e a-temporale
Uguaglianza fra due rappresentazioni dello
stesso numero: la somma fra 3 e 5
Significato (meta) relazionale
3+5=8 8=3+5

Ipotesi di fondo:
I principali ostacoli nell’apprendimento
dell’algebra nascono in modi spesso
insospettabili in contesti aritmetici.
Early Algebra:
un approccio diverso a temi e modalità
di insegnamento dell’aritmetica
↓
cambio di concezione della disciplina
procedurale → relazionale
↓
superare una didattica legata al calcolo.
Il Progetto ArAl

Early algebra e pensiero algebrico

Rappresentazione canonica e non canonica
Elio
Figlio di Flavio
Nipote di Emma
Fratello di Lina
Alunno della…
Abitante in via…
Padrone di Kira
Amico del cuore…
…
12
6+6
15+0-3
24:2
3×1×4
36/3
22×3
√144
…
[(11+7):9]2×3
Cos’è [(11+7):9]2×3

Cos’è [(11+7):9]2×3
12
6+6
15+0-3
24:2
3×1×4
36/3
22×3
√144
…
[(11+7):9]2×3
Forma canonica
Forme non
canoniche di 12
Prodotto
Opaco
Processo
Trasparente

Cos’è [(11+7):9]2×3
Un numero naturale
può essere espresso
in infiniti modi.
Ognuno ha un senso
in relazione al
contesto e al
processo
soggiacente.
12
6+6
15+0-3
24:2
3×1×4
36/3
22×3
√144
…
[(11+7):9]2×3

Cos’è [(11+7):9]2×3
G. Navarra, Incontri con la Matematica 30, Castel S.Pietro (BO), 4-5-6 novembre 2016
L’uguale acquista il
significato
relazionale di
equivalenza fra due
quantità, ad es:
36/3=[(11+7):9]2×3
12
6+6
15+0-3
24:2
3×1×4
36/3
22×3
√144
…
[(11+7):9]2×3
14

Cos’è [(11+7):9]2×3
Saper interpretare
queste forme
costruisce la base
per comprendere il
significato di scritture
come ab, k/3, x2y,
(a+b)2, a3–b3, (3–
b3)(5a+4b), …
12
6+6
15+0-3
24:2
3×1×4
36/3
22×3
√144
…
[(11+7):9]2×3

Faccio 11 più 7,
poi divido 18 per 9,
poi elevo 2 al quadrato,
poi moltiplico 4 per 3,
trovo il risultato.
Punto di vista procedurale
Eseguire ordinatamente operazioni
Si privilegia l’aspetto cognitivo
11+7
18:9
22
4×3
12
[(11+7):9]2×3
Ogni scrittura può essere vista in due modi:

Punto di vista relazionale
Interpretare la struttura di una frase
Si favorisce il livello metacognitivo
è una somma
è un quoziente
è il quadrato di un quoziente
è un prodotto, un multiplo di 3
[(11+7):9]2×3
11+7
(11+7):9
[(11+7):9]2
[(11+7):9]2×3

Punto di vista relazionale
Interpretare la struttura di una frase
Si favorisce il livello metacognitivo
[(11+7):9]2×3
• Il prodotto fra un quadrato e 3;
• Il triplo del quadrato di un quoziente;
• Il quadrato di un quoziente moltiplicato per 3;
• …
Parafrasi

Se vi sembra di vedere questo
cubo dall’alto, provate a vederlo
anche dal basso (e viceversa).
Per esempio:
 Balbettio algebrico

• Metafora
• approccio all’algebra come ad un nuovo
linguaggio
• analogia tra le modalità di apprendimento dei
linguaggi naturale e algebrico
• linguaggio naturale: sviluppo graduale
nell’appropriazione di significati e regole
• età scolare: leggere, scrivere, riflettere sugli
aspetti grammaticali/sintattici della lingua.
Balbettio algebrico

• Prefiguriamo uno sviluppo analogo per il
linguaggio algebrico
• La metafora del balbettio si contrappone alla
didattica tradizionale dell’algebra nella quale si
comincia privilegiando lo studio delle regole,
spesso ‘consegnate’ agli alunni come se la
manipolazione formale fosse indipendente
dalla comprensione dei significati.
Balbettio algebrico

• Si propone invece di costruire il pensiero
algebrico progressivamente, partendo dai
significati dell’aritmetica, attraverso la
costruzione di ambienti che stimolino in modo
informale l’elaborazione autonoma,
sperimentale, di un nuovo linguaggio nel quale
le regole emergano grazie ad un contratto
didattico tollerante verso momenti iniziali
sintatticamente promiscui.
• Brioshi
• Glossari
Balbettio algebrico

dualità procedurale / relazionale
↓
dualità risolvere / rappresentare
Rappresentare vs risolvere
Risolvere un problema:
cercare il risultato (prodotto, opaco)
Prospettiva aritmetica
Rappresentare un problema:
rendere trasparente il processo
cioè le relazioni fra gli enti.
Prospettiva prealgebrica.

Le ‘piramidi di numeri’. Esprimere la regola.
Per trovare il numero nel mattone in alto in una
minipiramide sommo (metto insieme,
addiziono, faccio) i numeri in basso.
Definizione procedurale
14
5 9
11
3 8
18
12 6 10 7

Le ‘piramidi di numeri’. Esprimere la regola.
In ogni minipiramide il numero nel mattone in
alto è la somma dei numeri nei due mattoni che
lo sostengono.
Definizione relazionale
14
5 9
11
3 8
18
12 6 10 7

Come trovi il numero in alto?
Definizione procedurale
Per trovare il numero in alto sommo 7 e 4 e fa
11, poi sommo 4 e 5 e fa 9 e poi sommo 11 e 9
e fa 20.
11 9
7 4 5
20

Cos’è il numero in alto?
La rappresentazione non canonica può essere
considerata un traghetto semantico verso la
generalizzazione.
Definizione relazionale
Il numero in alto è la somma fra i due numeri
laterali e il doppio di quello centrale.
11 9
7 4 5
20
7+4 4+5
7 4 5
7+4×2+5

La frase contiene un generale potenziale
attraverso il quale conquistare la traduzione in
linguaggio algebrico n=a+2b+c.
Il concetto di generale potenziale si pone come
ponte fra l’aritmetica e la notazione algebrica
con alunni fra i 6 e i 14 anni.
Quasi-variabile (Fuji & Stephens 2001) e quasi-
generalizzazione (Cooper & Warren, 2011).
752+48 48+530
752 48 350
752+48×2+530

In una minipiramide una macchia
impedisce di vedere il numero nel
mattone a destra.

Risolvere
Rappresentare
Trova il numero
nascosto dalla
macchia.
Rappresenta in
linguaggio matematico
la situazione in modo
che Brioshi trovi il
numero nascosto dalla
macchia.
Prospettiva del

Gli alunni risolvono il
problema con una
sottrazione:
19-8=11
Prospettiva del
Gli alunni possono
elaborare più
rappresentazioni:
8+ =19; +8=19;
19- =8; 19-8= ;
19=8+ ; 19= +8;
8=19- ; =19-8.
Risolvere Rappresentare

Ogni
rappresentazione
esprime le relazioni
fra gli enti del
problema, ossia la
sua struttura
Prospettiva del
Rappresentare
Gli alunni possono
elaborare più
rappresentazioni:
8+ =19; +8=19;
19- =8; 19-8= ;
19=8+ ; 19= +8;
8=19- ; =19-8.

Prospettiva del
Gli alunni
intervengono
su tre enti (due noti,
uno sconosciuto)
Rappresentare
Gli alunni possono
elaborare più
rappresentazioni:
8+ =19; +8=19;
19- =8; 19-8= ;
19=8+ ; 19= +8;
8=19- ; =19-8.

rappresentare
Prospettiva del
Esplicitano
due relazioni: una
additiva e una di
equivalenza
Gli alunni elaborano
più rappresentazioni:
8+ =19; +8=19;
19- =8; 19-8= ;
19=8+ ; 19= +8;
8=19- ; =19-8.
Rappresentare
Gli alunni possono
elaborare più
rappresentazioni:
8+ =19; +8=19;
19- =8; 19-8= ;
19=8+ ; 19= +8;
8=19- ; =19-8.

Prospettiva del
L’uguale è concepito
come simbolo di
equivalenza
(significato ‘meta’)
Rappresentare
Gli alunni possono
elaborare più
rappresentazioni:
8+ =19; +8=19;
19- =8; 19-8= ;
19=8+ ; 19= +8;
8=19- ; =19-8.

Prospettiva del
Si apre l’opportunità
di esplicitare la
proprietà
commutativa
dell’addizione e
quella riflessiva
dell’uguaglianza.
Rappresentare
Gli alunni possono
elaborare più
rappresentazioni:
8+ =19; +8=19;
19- =8; 19-8= ;
19=8+ ; 19= +8;
8=19- ; =19-8.

Prospettiva del
Gli alunni devono
decidere quale
possa essere la
frase da inviare a
Brioshi affinché lui
trovi il numero sotto
la macchia.
Rappresentare
Gli alunni possono
elaborare più
rappresentazioni:
8+ =19; +8=19;
19- =8; 19-8= ;
19=8+ ; 19= +8;
8=19- ; =19-8.embrione di equazione

Cosa cambia:
 l’atteggiamento del risolutore: la differenza
fra risolvere e rappresentare si collega ad un
aspetto nodale del gap epistemologico fra
aritmetica e algebra:
 l'aritmetica comporta un'immediata ricerca
della soluzione,
 l'algebra la pospone e comincia con una
trasposizione formale della situazione
problematica dal dominio del linguaggio
naturale ad uno specifico sistema di
rappresentazione.

Cosa cambia:
 Si affina il controllo dei termini specifici della
matematica.
 Si potenzia la traduzione fra linguaggi.
 L'attenzione si sposta dal fare operazioni al
rappresentare relazioni.
 L'uguale acquista il suo 'vero' significato
relazionale.
 Il risultato entra nella rappresentazione
come numero sconosciuto.

Cosa cambia:
 Si prende confidenza con un simbolo al
posto di un numero sconosciuto (la lettera può
essere una conquista successiva al punto di
domanda, alla macchia, ecc).
 Il linguaggio naturale diventa il mediatore
verso la rappresentazione matematica; si può
pervenire a formulazioni diverse – equivalenti
sul piano semantico - delle relazioni fra gli enti
– noti e sconosciuti – del problema.

Cosa cambia:
 Il linguaggio matematico diventa strumento
di comunicazione.
 Coloro che ricevono la frase in linguaggio
matematico trovano il valore dell'incognita
senza conoscere il problema. Si avvicinano al
concetto che un'equazione rappresenta una
classe di problemi, alla generalizzazione, alla
modellizzazione (inventano testi diversi che si
rappresentano con la stessa equazione).

Prima fase: equazioni per gioco
L’obiettivo non è la soluzione formale ma la
conquista del concetto di rappresentare: si
oggettiva la struttura del problema.
Gli alunni trovano il valore del numero
sconosciuto in modi naïf.
Problemi più articolati possono rendere
insufficienti le strategie adottate nelle equazioni
per gioco:
↓
Progetto Scene Dinamiche

I Primaria Secondaria I Secondaria II
1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 3 4 5
Equazion
i
Per
gioco
Dalla bilancia
all’equazione
Verso la
soluzion
e formale
Soluzione formale
dell’equazione
Evoluzione del balbettio algebrico
Progetto
Scene dinamiche
Progetto ‘Scene dinamiche’
Episodio

3) In classe ci sono due piccole librerie
colorate una di rosso e una di blu.
Nella libreria rossa ci sono 7 libri sul primo
scaffale, 9 sul secondo e altri sul terzo.
Nella blu ci sono 11 libri sul primo
scaffale e 12 sul secondo.
Rosa osserva “ Nelle due librerie c’è lo
stesso numero di libri!”
Rappresenta in linguaggio matematico
la situazione in modo che Brioshi possa
trovare il numero dei libri sul terzo
scaffale della libreria rossa.
4C: Dal problema alla rappresentazione
24Trieste, 22-23 febbraio 2016
Progetto ‘Scene dinamiche’ (fine seconda primaria)

Fase 1
Trasposizione formale della situazione
problematica dal dominio del linguaggio
naturale alla rappresentazione in linguaggio
matematico.

Dopo un po’ si alzano delle mani.
Nicola propone 7+9=.
I: Cosa rappresenta la macchia?
Intervengono numerosi alunni.

Anna: Nicola (7+9= )ha scritto che il numero
sconosciuto (indica la macchia) è la somma tra i
libri del primo scaffale (indica il 7) e i libri del
secondo (indica il 9).

I: Ma è questo che dice il problema?
La classe è in difficoltà. I propone di disegnare
la situazione. Gli alunni decidono di mettere una
macchia sul 3° scaffale.

I: Rappresentate per Brioshi il numero dei libri
della libreria rossa e di quelli della blu.
Nel corso della discussione collettiva
gli alunni confrontano le proposte.
Scelgono quelle di Ayoub, che scrive 7+9+
sotto la rossa e 11+12 sotto la blu.

Si interpretano le scritture.
I: 7+9+ cos’è?
Marco: È la somma tra il numero dei libri del
primo scaffale, il numero dei libri del secondo e
il numero dei libri del terzo.

I: E la scrittura a destra?
Gaia: È la somma fra 11 e 12. È la somma fra
il numero dei libri del primo scaffale e il
numero dei libri del secondo scaffale…
I: Di quale libreria?
Gaia: … della libreria blu.

I: E cos’ha osservato Rosa?
Anna: … che i libri erano uguali.
I: Non sono i libri a essere uguali…
Riccardo: Il numero dei libri sugli scaffali della
libreria rossa è uguale… al numero dei libri
della blu.

I: Ora traducete nel quaderno quello che Anna,
Riccardo e Martina hanno detto.
I svolge un ruolo di mediazione fra le proposte
degli alunni, che devono tradurre la frase di
Riccardo.
Marco scrive il segno ‘=‘ tra le due frasi.

Laura: Il numero di libri che non si sa quanti
sono si può rappresentare con una lettera!
Celeste: Possiamo mettere la m di macchia.
I: Cosa vuol dire m?
Celeste: Macchia.
I: Tu sommi numeri di libri più una macchia?

Riccardo: Il numero, metto n!
Eleonora: n indica il numero dei libri che ci sono
sotto la macchia.
I: Certo, allora potete usare m, n, …
Nicola: La lettera che vogliamo!
La maggioranza sceglie la n. Fabio scrive:

La classe non ha esperienza con situazioni
problematiche rappresentabili con scritture
contenenti, come in questo caso, più enti sia a
sinistra che a destra dell’uguale.
Ha esplorato con dei supporti concreti la
soluzione delle prime equazioni per gioco.

Bilancia a piatti:
metafora
dell’equilibrio
Scene dinamiche:
metafora
dell’equiestensione di
figure rettangolari

Il problema delle due librerie in una Terza primaria
Fase 2
Conquistare la soluzione dell’equazione
attraverso una Scena animata.

Il problema delle due librerie in una Terza primaria
I: Molto bene! Ora vediamo l’ animazione che ci
ha mandato Brioshi. Hanno lavorato anche loro
sul problema delle librerie e lui ci vuol mostrare
con un filmato come hanno fatto a trovare n
usando striscioline di carta come quelle che
conoscete anche voi.

?
Si presenta la Scena.
Il contratto didattico prevede che in questa fase
la classe assista in silenzio.
Si mostra nuovamente l’animazione a blocchi e
la classe interpreta i passaggi.

?
Si blocca la Scena. Molte mani si alzano.
Marco: Qua ha rappresentato i libri della
libreria blu. Qui il numero dei libri sugli scaffali
della rossa: 7 sul primo scaffale, 9 sul secondo
e la striscia rossa rappresenta il numero di libri
che non conosciamo.

I: Le strisce verticali cosa rappresentano?
Marco: Per me rappresentano l’uguale.
Si analizzano le relazioni tra gli elementi
dell’animazione (graffe, strisce) e quelli del
problema (libri, scaffali).
Si prosegue con l’animazione.

Laura: Sopra ha indicato in azzurro il 7 e sotto
ha indicato in azzurro… un pezzo 7…
I: Il secondo 7 è un pezzo di che numero?
Voci: Dell’11!
I: E il simbolo delle forbici cosa vuol dire?
Ayoub: Ha tagliato quei quadratini azzurri.

I: E quanti erano?
Ayoub: Erano 7 quadratini.
Si prosegue con l’animazione.
Marco: Brioshi ha tolto il 7 sopra e il 7 sotto.
Gli azzurri sono andati via e qui è rimasto 4.
I: Ma com’è che ha potuto togliere 7?

Giorgia: Ha evidenziato 7, qui però erano 11 e
ha colorato un pezzo del numero 11.
I: Quindi come vede Brioshi il numero 11? Per
togliere 7, quell’11 come lo vede? Come lo puoi
rappresentare?
Marco: 11-4.

I: 11-4… così rappresenti 7, non 11!
Si susseguono tentativi e discussioni.
Laura: 7+4! Rappresento 11 come 7+4!
L’animazione prosegue.

I: Cosa ha fatto Brioshi?
Nicola: Ha evidenziato di verde delle strisce…
non ho capito di quanti quadretti.
I: Ricordatevi quello che ha fatto prima Brioshi
con le strisce azzurre.
Alice: Ha evidenziato il 9 sopra e sotto.

I: E per evidenziare il 9 come ha visto il 12?
Alexandra: Come 9+3!
I: Il 12 l’ha visto come 9+3, qui (indica 7+9+n)
c’è un 9 e qui (indica 12) l’altro 9, ‘nascosto’.
Così ha tolto i due 9. Poi cosa fa Brioshi?

Alunni: Ah! Aggiunge 3 a 4!
Marco: Aggiungo 4 a 3 che è diventato 7.
Riccardo: Io so cosa significa!
I: E cosa significa?
Riccardo: Significa che Brioshi ha trovato il
numero di libri sul terzo scaffale!

Fase 3
Traduzione dal linguaggio iconico al linguaggio
matematico di ogni singolo episodio della
Scena animata con la mediazione del
linguaggio naturale.

Tradurre rappresentazioni
Brioshi evidenzia 11
e 12 con delle
parentesi graffe.
Traduzione

Traduzione fra linguaggi: iconico  naturale  matematico
Brioshi taglia la
striscia lunga 11
quadretti in due
strisce lunghe 7 e 4,
e quella lunga 12 in
due strisce lunghe 9
e 3.
Traduzione

Brioshi elimina le
strisce lunghe 7
quadratini.
Traduzione

75
Trieste, 22-23 febbraio 2016
Brioshi elimina le
strisce lunghe 7
quadratini.
I: Adesso cosa fa?
Marco: Ha tolto un 7 e l’altro 7.
I: Come lo rappresentiamo per Brioshi?
Laura: Meno 7!
I: Mi sembra un’ottima idea, scriviamola: dove
vuoi mettere il meno 7?
Traduzione

Brioshi elimina le
strisce lunghe 7
quadratini.
Laura detta 7-7+9+n= e non sa continuare.
La discussione è vivace e ci sono molte
proposte. Gli alunni scelgono di scrivere 7-7 da
entrambe le parti.
Giorgia aggiorna la scrittura.
Traduzione

Brioshi elimina le
strisce lunghe 7
quadratini.
Riccardo M: Adesso togliamo il 7.
I: Perché puoi togliere il 7?
Riccardo: Perché abbiamo scritto 7-7.
Molti: … 7-7 è zero!
I: Sì. Come possiamo far vedere che lo
togliamo?
Traduzione

Brioshi elimina le
strisce lunghe 7
quadratini.
Traduzione
Alcuni alunni propongono di cancellare i
numeri, altri di scrivere 0, altri ancora di farci
sopra uno sgorbio.
Si decide di scrivere:

Brioshi sposta la
linea verticale
tratteggiata sinistra
verso destra.
Traduzione
Si ricopia la parte rimasta della frase.

Brioshi elimina le
strisce lunghe 9
quadratini.
Traduzione
Gli alunni ripropongono la strategia grafica
adottata in precedenza per cancellare i 7.

Brioshi sposta
nuovamente verso
destra la linea
verticale tratteggiata
sinistra e le strisce
rimaste sotto si
avvicinano.
Traduzione
Si ricopia la parte rimasta della frase.

Brioshi sposta
nuovamente verso
destra la linea
rimaste sotto si
avvicinano.Riccardo: Resta n=4+3.
I: E cosa significa?
Alunni: Che n è uguale a 7.
Traduzione

Brioshi sposta
nuovamente verso
destra la linea
rimaste sotto si
avvicinano.
Si scrive la conclusione.
Si interpreta il suo significato.
Traduzione

Traduzione

Conclusioni
Nodi:
• Grande lavoro che gli insegnanti compiono,
su se stessi prima che sui loro alunni, per
impostare una didattica dell’aritmetica che
favorisca lo sviluppo del pensiero
prealgebrico;
• formazione a monte e in itinere;
• libri di testo;
• scarsa continuità fra diversi ordini di scuola.

Conclusioni
Tutto questo a fronte del fatto che:
• l’early algebra influisce sui curricoli di
numerosi paesi europei ed extraeuropei;
• anche nelle Indicazioni Nazionali sono
presenti temi riconducibili ad essa:
argomentazione, rappresentazioni, relazioni
e strutture, linguaggio matematico, ricerca di
regolarità.

Vi ringrazio
www.progettoaral.it
Collana ArAl (Pitagora Editrice Bologna)
gruppo ‘Progetto ArAl’ in Facebook

CastelSPietro-2016_RelazioneNavarra

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