Recomendados
Más contenido relacionado
La actualidad más candente
La actualidad más candente (20)
Destacado
Destacado (17)
Similar a Konstanta matematika “e”
Similar a Konstanta matematika “e” (20)
Konstanta matematika “e”
- 1. KONSTANTA MATEMATIKA “ e ” Artikel ini di buat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah teori bilangan Dosen pembimbing EkoYulianto M.Pd Oleh , Gini Alawiyah142151010 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SILIWANGI TASIMALAYA 2015
- 2. Bilangan apakah e itu ??? Tentu kalian pernah mendengar yang namanya Euler bukan??? Konstanta matematika e merupakan bilangan alam, bilangan natural, atau kadang-kadang disebut juga bilangan Euler. Sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss. Gambar 1. Leonhard Euler Juga, konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Gambar 2. John Napier Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π. Mengapa kok disebut bilangan natural / bilangan alam? Karena bilangan tersebut banyak ditemukan dalam kancah ilmu pengetahuan seperti statistika ( jumlah penduduk ), kriptografi, kimia untuk menghitung zat radio aktif serta ilmu pengetahuan lainnya dengan sifat - sifat yang memiliki karakteristik tersendiri bila dibandingkan dengan bilangan - bilangan yang lainnya. Sehingga didapat bahwa nilai e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352... Nah darimana bisa nemu e ≈ 2,718... ??? Begini, Nilai euler didapat dari pendekatan limit bilangan menuju 1 dari kanan dengan pangkat menuju tak hingga, seperti ini: = ( ) = ( ) Nah...!!! masih ingat rumus binomial newton kan ??? ( ) ∑ ( )
- 3. Karena bilangan e diatas memakai pendekatan limit, maka bilangan e dapat dijabarkan menjadi bilangan binomial sebagai berikut : ( ) = ∑ ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + . . . ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 + 1 + + . . . ( ) + . . . Karena h mendekati tak hingga, maka : ( ) + . . . = 2 ,718... Atau bisa juga melalui rumus ∑ Sehingga, ∑ = = = 2,718... e adalah bilangan irasioanal maka oleh karena itu nilai e tidak akan pernah berhenti sama seperti Bilangan e sendiri merupakan bilangan transendental. Dimana, bilangan transendental yaitu bilangan yang bukan merupakan akar dari fungsi polynomial ( suku banyak ) p(x) berkoefisien bilangan rasional. Sama halnya seperti pi. Adapun 30 digit pertama di belakang tanda koma dari bilangan ini adalah: e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 Pada tahun 1884 Boorman menghitung e sampai dengan 346 digit dibelakang koma dan telah dihitung sampai dengan 869.894.101 digit dibelakang koma oleh Sebastian Wedeniwski. (O’Connor, 2001) e = 2.71828182845904523536028747 13526624977572470936999595749669 67627724076630353547594571382178 52516642742746639193200305992181 74135966290435729003342952605956 30738132328627943490763233829880 75319525101901157383418793070215 40891499348841675092447614606680 82264800168477411853742345442437 107539077744992069551702761… apa hebatnya nilai e sehingga mendapat tempat khusus dalam semesta bilangan ??? Mengapa tidak bilangan yang lain ??? Secara sederhana, e adalah bilangan yang berhubungan dengan pertumbuhan yang bersifat eksponensial dan kontinyu. Tak ada yang tahu pasti kapan persisnya
- 4. bilangan e mulai dikenal, tapi ada dugaan bahwa munculnya bilangan tersebut berkaitan berkembangnya dunia perbankan ketika orang-orang sibuk menghitung berapa banyak uang yang mereka simpan atau mereka pinjamkan tumbuh. Mari sekarang kita coba lebih definitif. Apa yang dimaksud dengan “pertumbuhan yang bersifat eksponensial dan kontinyu” ??? Pertumbuhan yang bersifat eksponensial artinya pertumbuhan yang berbasiskan pangkat. Sebagai misal, andaikan ada suatu bakteri setiap menitnya berkembang biak dengan tingkat pertumbuhan 10n dimana n adalah menitnya sehingga jika dibuat tabel, maka pertumbuhan bakteri tersebut setiap menitnya adalah sebagai berikut: Menit Jumlah bakteri 0 1 1 10 2 100 3 1.000 4 10.000 Pertumbuhan jumlah bakteri seperti di atas dikenal sebagai pertumbuhan eksponensial. Sebagai pembanding, ada pertumbuhan yang tidak bersifat eksponensial semisal pertumbuhan yang jika dirumuskan akan menghasilkan rumus (n + 1) atau 2n. Sedangkan yang dimaksud dengan pertumbuhan kontinyu adalah pertumbuhan yang terus bertambah tanpa pernah berhenti atau terputus. Kontinyu di sini berarti bergerak secara mulus tanpa ada keterputusan sehingga jika digambarkan akan membentuk kurva yang mulus. Apakah pilihan nilai e adalah sesuatu yang bersifat acak saja??? Apa kegunaannya??? Apakah digit desimalnya bisa dimanfaatkan??? Seperti telah disebutkan, ada dugaan bahwa konteks persoalan pertumbuhan eksponensial dan kontinyu yang melahirkan bilangan e adalah persoalan pertumbuhan uang, entah uang yang kita simpan atau yang kita pinjamkan. Kita tentukan saja bahwa kasus kita adalah kasus pertumbuhan uang yang kita simpan. Kita tahu bahwa dalam dunia perbankan, berlaku prinsip bunga majemuk. Untuk menjelaskan apa itu bunga majemuk, ada baiknya kita langsung membicarakan contohnya. Dalam sistem perbankan, bunga simpanan ditentukan sebagai nilai
- 5. persentase per tahun dari pokok simpanan kita. Misalkan saja kita punya simpanan sebesar 100.000 dan bunga simpanan yang berlaku ialah 100% per tahun. Jika bunga dihitung setiap setahun sekali, maka berapakah jumlah uang simpanan kita? Jawabnya sederhana: Pokok simpanan + bunga simpanan 100.000 + ( 100% × 100.000 ) 100.000 + 100.000 200.000 Jadi, uang simpanan kita di akhir tahun menjadi 2 kali lipat dari nilai semula. Bagaimana jika bunga simpanan dihitung setiap 6 bulan sekali, atau dengan kata lain setahun 2 kali? Tapi, tidakkah sama saja menghitung bunga setahun sekali dan setahun dua kali? Sama sekali tidak. Prinsip bunga majemuk menyatakan bahwa perhitungan untuk 6 bulan yang kedua tidak lagi berdasarkan simpanan awal yang sebesar 100.000, tapi berdasarkan jumlah uang simpanan kita pada 6 bulan pertama yang sebesar 150.000 (yaitu jumlah simpanan awal ditambah dengan bunga 6 bulan pertama sebesar 100% : 2 = 50%). Untuk mempermudah membahasa- kannya, maka kita simbolkan masing- masing sebagai berikut: a = simpanan awal b = simpanan setelah 6 bulan pertama c = simpanan setelah 1 tahun m = bunga Jika dibahasakan ke dalam bahasa simbol, maka simpanan setelah 1 tahun ialah: c = b + (bm) Karena b = a + (am) maka c = a + (am) + ((a + (am))m) c = a + (am) + (am + am2) c = a + 2am + am2 c = 100.000 + (2 × 100.000 × 50%) + (100.000 × 50%2) c = 100.000 + 100.000 + 25.000 c = 225.000 Perhatikan bahwa nilai simpanan setelah 1 tahun dengan sistem perhitungan bunga setiap 6 bulan lebih besar jika dibandingkan dengan sistem perhitungan bunga setelah 1 tahun. Jika dalam sistem perhitungan setiap 1 tahun, kita mendapatkan nilai simpanan sebesar 2 kali lipat simpanan awal, dengan sistem 6 bulan, kita mendapatkan nilai simpanan sebesar 2,25 kali lipat simpanan awal. Dalam bahasa matematika yang lebih ringkas, situasi kita di atas bisa dibahasakan sebagai berikut: Tingkat pertumbuhan simpanan = ( ) .
- 6. Dimana,n = banyaknya perhitungan bunga dalam setahun. Dalam sistem perhitungan bunga setiap 6 bulan, n = 2 dan menghasilkan tingkat pertumbuhan simpanan sebesar 2,25 kali lipat simpanan awal.. Jika kita lihat polanya, kita bisa menduga bahwa semakin sering perhitungan bunga dilakukan dalam setahun, semakin besar pula tingkat pertumbuhan simpanan. Untuk membuktikan dugaan tersebut, maka kita lakukan perhitungan jika n kita naikkan nilainya. Katakanlah semisal mulai dengan 3 kali setahun, 4 kali setahun, 5 kali setahun dan seterusnya hingga bahkan tak terbatas kali dalam setahun. ( Dengan kata lain, perhitungan bunga dilakukan setiap menit, atau bahkan setiap detik ). Hasil perhitungan kita tampilkan di dalam tabel berikut ini. n ( ) 1 2 2 2,25 3 2,37 5 2,448 10 2,5937 100 2,7048 1.000 2,7169 10.000 2,71814 100.000 2,718268 1.000.000 2,7182804 … … Perhatikan!!! Bahwa semakin besar nilai n, maka nilai ( ) semakin mendekati nilai tertentu, yaitu 2,718… Nilai inilah yang kemudian disebut sebagai e. Jika dirumuskan ke dalam bahasa limit, maka e itu tak lain dan tak bukan berasal dari: e = ( ) Dari rumus di atas, e adalah nilai maksimum dari pertumbuhan eksponensial. Sebagaimana dalam kasus perhitungan jumlah uang simpanan, bilangan e ini juga berguna untuk menghitung segala apapun yang sifatnya tumbuh secara eksponensial dan kontinyu, sebagai misal peluruhan radioaktif, jumlah penduduk, kriptografi dan sebagainya. Pemanfaatan digit desimal e pada kriptografi Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari bagaimana membuat suatu pesan yang dikirim pengirim dapat disampaikan kepada penerima dengan aman [ Schneier, 1996 ]. Kriptografi dapat memenuhi
- 7. kebutuhan umum suatu transaksi. Kebutuhan untuk kerahasiaan (confidentiality) dengan cara melakukan enkripsi (penyandian). Keutuhan (integrity) atas data-data pembayaran dilakukan dengan fungsi khas satu arah. Model-model enkripsi pada kriptografi Enkripsi dengan kunci Pribadi kunci enkripsi ini dikenal dengan istilah enkripsi dengan kunci pribadi, karena kunci hanya boleh diketahui oleh dua pribadi yang berkomunikasi tersebut. Cara enkripsi dengan kunci pribadi umumnya digunakan untuk kalangan bisni maupun pemerintahan. Beberapa metode yang termasuk dalam enkripsi dengan kunci pribadi antara lain: subtitution cipher, Caesar cipher (mono alphabetical cipher), transposition cipher, Data Encryption Standard (DES), Triplel DES, Rivest Code 2 (RC2) dan Rivest Code 4 (RC4), IDEA, Skipjack, Gost Block Cipher, dan Poly alphabetical cipher. Dari beberapa metode di atas, di dalam pembahasan esey ini hanya akan membahas 2 metode saja yaitu Caesar cipher dan subtitution cipher. 1. Variasi dari Caesar cipher. Misalkan sahabat akan mengirim sebuah pesan “KEAJAIBAN MATEMATIKA” pada tanggal 1 Maret. Penggunaan kode sederhana A↔1, B↔2, C↔3, D↔4, …, Z↔26, spasi ↔27 atau 0 (mod 27), maka pesan akan menjadi barisan dari 17 numerik yang merupakan plaintext, yaitu : 11 5 1 10 1 9 2 1 14 0 13 1 20 5 13 1 20 9 11 1 Tanggal 1 maret dijadikan sebagai kunci, yang ditulis dalam bentuk 0103, yang artinya bahwa kunci dari enkripsi adalah 17 digit mulai dari digit ke 103 dari nilai desimal bilangan e, yaitu mulai dari 4 6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 3 0 5 9 9 2 . Nilai ini selanjutnya tambahkan ke plaintext sebagai berikut: 11 5 1 10 1 9 2 1 14 0 13 1 20 5 13 1 20 9 11 1 4 6 6 3 9 1 9 3 2 0 0 3 0 5 9 9 2 4 6 6 15 11 7 13 10 10 11 4 16 0 13 4 20 10 22 10 22 13 17 7 Berdasarkan nilai numerik ciphertext di atas, selanjutnya dikonversikan ke string yang akan
- 8. menghasilkan pesan “OKGMJJKDP MDTJVJVMQG”. Untuk mengembalikan pesan ke bentuk aslinya, maka dikonversi ke bentuk bilangan dan dikurangi dengan digit bilangan e mulai dari digit ke 103. 2. Variasi dari Transformasi Affine Pada tranformasi affine diperlukan dua buah kunci, misal kunci 1 dan kunci 2. Andaikan a merupakan nilai dari digit ke (x+1) yang lokasinya ditunjuk oleh kunci 1 (yaitu: x), sedang b merupakan nilai dari digit ke (x+y+1) yang lokasinya dirujuk oleh kunci 2 (yaitu: y). Berdasarkan kedua nilai digit tersebut, maka Ciphertext (C) dan Plaintext (P) dihubungkan berdasarkan persamaan: C = aP + b (mod 27). Misal diberikan kunci 1 = 3 dan kunci 2 = 11, maka a = nilai dari digit ke (3+1)= 2 dan b = nilai dari digit ke (3+11+1) = 2. Sehingga diperoleh persamaan : C = (2P + 2) (mod 27) … (2) Andaikan pesan yang akan dikirm adalah “KEAMANAN JARINGAN”, maka plaintext dalam barisan integer dinyatakan dengan 11 5 1 10 1 9 2 1 14 0 13 1 20 5 13 1 20 9 11 1 yang selanjutnya akan dienkripsi berdasarkan persamaan 2 di atas sebagai berikut: 24 12 4 22 4 20 6 4 20 2 28 4 42 12 28 4 42 20 24 4 ( nilai 2P + 2 ), yang selanjutnya dimoduluskan dengan angka 27 sebagai berikut: 24 12 4 22 4 20 6 4 20 2 1 4 15 12 1 4 15 20 24 4 (mod 27) Hasil enkripsi ini dalam bentuk string adalah“XLDVDTFDTBADOLADOTX D”. (mod 27) KESIMPULAN e merupakan konstanta bilangan real yang sering disebut bilangan alam, bilangan natural, atau kadang-kadang disebut juga bilangan Euler yang nilainya mendekati 2.71828 18284 59045 23536... untuk memperoleh nilai e maka dilakukan cara sebagai berikut, yaitu: Bentuk pendekatan limit yang dijabarkan menjadi bilangan binomial Bentuk deret Dan kegunaan e salah satunya digunakan dalam kriptografi sebagaimana yang telah dibahas dalam artikel ini.
- 9. SARAN Seiring dengan perkembangan zaman, teknologipun semakin canggih. Maka keamanan sangatlah penting. Oleh karena itu, digit desimal euler dapat dimanfaatkan dan diaplikasikan sebagai kunci untuk membuka suatu berangkas. Serta, sebagai permainan yang bersifat mengasah otak. Untuk lebih mengenal bilangan e, tentunya kita memerlukan tambahan referensi yang memuat kegunaan e dalam aplikasi lainnya. Hal tersebut merupakan tugas kita sebagai calon matematikawan kelak. DAFTAR PUSTAKA Anonim. Apa itu e??? [Online]. Tersedia :http:// ariaturns. wordpress. com/ 2008/09/17/ apa-itu-e/. [20 mei 2015] Anonim. Asal Usul Bilangan Euler (e). [Online]. Tersedia : http:// aiihoppus.blogspot.com/ 2012/ 12/ asal-usul-bilangan-euler- e.html?m=1. [18 mei 2015] Anonim. Bilangan Apakah e itu?. [Online]. Tersedia :https:// mengerti- matematika.wordpress.com/ 2012/08/05/bilangan-apakah- e-itu/. [20 mei 2015] Anonim. Bilangan Euler . [Online]. Tersedia: https:// matematikajitu. Wordpress. com/ 2012/ 07/26/ bilangan-euler/. [18 Mei 2015] Kuswarihernawati, bambangsumarno HM. Pemanfaatan keunikan digit desimal bilangan euler pada kriptografi. [Online]. Tersedia :http:// staff.uny.ac.id/ sites/ default/ files/ penelitian/ kuswari%20 hernawati, %20S.Si.,M.Kom./ Bilangan % 20 Euler % 20pada %20 Kriptografi. pdf. [18 Mei 2015]