Rama Ch2

Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng
Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 2: OÂn laïi xaùc suaát vaø thoáng keâ

CHÖÔNG 2

OÂn Laïi Xaùc Suaát vaø Thoáng Keâ

Trong chöông naøy, chuùng ta toùm taét caùc khaùi nieäm cuûa xaùc suaát vaø thoáng keâ ñöôïc söû duïng
trong kinh teá löôïng. Bôûi vì moät soá kieán thöùc tröôùc ñaây cuûa xaùc suaát vaø thoáng keâ cô baûn
ñöôïc giaû söû trong saùch naøy, vieäc oân laïi naøy ñöôïc thieát keá ñeå phuïc vuï chæ nhö laø moät söï
höôùng daãn laïi caùc chuû ñeà ñöôïc söû duïng trong caùc chöông sau naøy. Ñieàu ñoù khoâng coù nghóa
laø moät söï nghieân cöùu chaët cheõ vaø troïn veïn veà chuû ñeà naøy. Vì lyù do naøy, chuùng ta trình baøy
raát ít caùc chöùng minh. Ñeå thay theá, chuùng ta ñònh nghóa caùc khaùi nieäm quan troïng döôùi
tieâu ñeà “Ñònh nghóa” vaø toùm taét caùc keát quaû höõu duïng döôùi tieâu ñeà “Caùc tính chaát.” Muoán
coù söï thaûo luaän chi tieát cuûa caùc chuû ñeà, baïn neân tham khaûo caùc cuoán saùch tuyeät haûo ñöôïc
lieät keâ trong muïc luïc saùch tham khaûo ôû cuoái chöông. Caùc phaàn ñöôïc ñaùnh daáu hoa thò (*)
coù tính chaát cao caáp hôn vaø coù theå boû qua maø khoâng maát ñi yù nghóa chính cuûa noäi dung
chuû ñeà:
Chöông naøy oân laïi taát caû chuû ñeà coù lieân quan trong xaùc suaát vaø thoáng keâ. Neáu ñaõ coù
luùc do baïn ñaõ hoïc chuû ñeà naøy roài, baïn neân löôùt nhanh qua chöông naøy ñeå gôïi nhôù laïi. Tuy
nhieân, neáu baïn vöøa môùi hoaøn thaønh moät khoùa hoïc veà caùc taøi lieäu naøy, chuùng toâi ñeà nghò
baïn ñoïc Phaàn 2.1 ñeán 2.5 (ñaëc bieät chuù troïng veà ñoàng phöông sai vaø söï töông quan ñöôïc
thaûo luaän trong Phaàn 2.3) vaø tieáp ñeán ñi vaøo tröïc tieáp Chöông 3 hôn laø ñoïc phaàn coøn laïi
cuûa chöông naøy. Baïn coù theå quay laïi ñeå oân nhöõng phaàn coù lieân quan cuûa chöông naøy khi
caàn. Caùc phaàn trong Chöông 2 song song vôùi caùc phaàn trong Chöông 3, vaø söï tham khaûo
cheùo naøy ñöôïc chæ ñònh nhaèm giuùp cho moät söï hoaùn ñoåi suoân seû giöõa caùc phaàn coù theå thöïc
hieän ñöôïc. Ñieàu naøy cho pheùp baïn hieåu lyù thuyeát kinh teá löôïng cô baûn toát hôn vaø ñaùnh giaù
ñuùng söï höõu ích cuûa xaùc suaát vaø thoáng keâ moät caùch deã daøng hôn.

2.1 Caùc Bieán Ngaãu Nhieân vaø caùc Phaân Phoái Xaùc Suaát

Moät caùch ñieån hình, moät nhaø nghieân cöùu thöïc hieän moät thí nghieäm coù theå ñôn giaûn nhö
tung ñoàng xu hay quay caëp suùc saéc hoaëc coù theå phöùc taïp nhö laøm moät khaûo saùt caùc taùc
nhaân kinh teá hay thöïc hieän moät chöông trình ñieàu trò y hoïc thöïc nghieäm. Döïa treân keát
quaû cuûa thí nghieäm, moät nhaø phaân tích coù theå ño ñöôïc caùc giaù trò cuûa caùc bieán quan taâm
maø chuùng moâ taû ñaëc ñieåm cuûa keát quaû. Caùc bieán nhö vaäy ñöôïc bieát ñeán nhö bieán ngaãu
nhieân vaø thöôøng kyù hieäu laø X. Caùc ví duï bao goàm nhieät ñoä taïi moät thôøi ñieåm naøo ñoù, soá
cuoäc goïi ñeán qua moät toång ñaøi ñieän thoaïi trong moät khoaûng 5 phuùt, thu nhaäp cuûa moät hoä
gia ñình, toàn kho cuûa moät coâng ty, vaø giaù baùn cuûa moät caên nhaø cuõng nhö caùc ñaëc ñieåm
cuûa noù, nhö dieän tích sinh hoaït hay kích thöôùc loâ ñaát. Moät bieán ngaãu nhieân laø rôøi raïc neáu

Ramu Ramanathan 1 Thuïc Ñoan/Haøo Thi


noù chæ mang caùc giaù trò löïa choïn. Soá ñeøn ñieän töû TV theo loâ 20 vaø soá maët ngöûa trong 10
laàn tung moät ñoàng xu laø caùc ví duï cuûa caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. Moät bieán ngaãu nhieân
laø lieân tuïc neáu noù coù theå mang baát kyø giaù trò naøo trong moät khoaûng soá thöïc. Khi ñöôïc ño
löôøng chính xaùc, chieàu cao cuûa moät ngöôøi, nhieät ñoä taïi moät luùc rieâng bieät naøo ñoù, vaø
löôïng naêng löôïng tieâu thuï trong moät giôø laø caùc ví duï cuûa caùc bieán ngaãu nhieân lieân tuïc.
Quy öôùc söû duïng trong saùch naøy laø kyù hieäu moät bieán ngaãu nhieân baèng maãu töï hoa (nhö X
hay Y) vaø caùc keát quaû cuï theå cuûa noù bôûi maãu töï thöôøng (nhö x hay y).
Ñeå giöõ cho söï trình baøy ñöôïc ñôn giaûn, ta minh hoïa caùc khaùi nieäm khaùc nhau söû
duïng haàu heát caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. Caùc meänh ñeà deã daøng môû roäng tôùi tröôøng hôïp
cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc.
Lieân keát vôùi moãi bieán ngaãu nhieân laø moät phaân phoái xaùc suaát [kyù hieäu bôûi haøm
f(x)] noù xaùc ñònh xaùc suaát maø bieán ngaãu nhieân seõ mang caùc giaù trò trong caùc khoaûng xaùc
ñònh cuï theå. Ñònh nghóa chính thöùc cuûa moät bieán ngaãu nhieân khoâng ñöôïc trình baøy ôû ñaây
nhöng coù theå tìm thaáy trong moïi cuoán saùch lieät keâ trong muïc luïc saùch tham khaûo.
Trong cuoán saùch naøy ta chæ thaûo luaän nhöõng phaân phoái coù söû duïng tröïc tieáp trong
kinh teá löôïng. Ramanathan (1993) coù nhieàu ví duï cuûa caû caùc phaân phoái lieân tuïc vaø rôøi raïc
khoâng ñöôïc trình baøy ôû ñaây.

VÍ DUÏ 2.1
Nhö laø moät minh hoïa, Cuïc Thueá Noäi Boä Myõ coù thoâng tin veà toång thu nhaäp coù hieäu chænh
töø taát caû tieàn thu thueá thu nhaäp caù nhaân (keå caû tính traû chung) cho toaøn nöôùc Myõ. Giaû söû
ta thieát laäp caùc khoaûng thu nhaäp 1 – 10.000, 10.000 – 20.000, 20.000 – 30.000, v.v… vaø
tính toaùn tyû leä tieàn thu thueá thuoäc vaøo moãi nhoùm thu nhaäp. Ñieàu naøy taïo ra moät phaân
phoái taàn suaát. Tyû leä tieàn thu thuoäc vaøo nhoùm thu nhaäp 40.000 – 50.000 coù theå ñöôïc xem
laø xaùc suaát maø moät khoaûn thu thueá ñöôïc ruùt ngaãu nhieân seõ coù thu nhaäp thuoäc vaøo khoaûng
ñoù.
Trong Hình 2.1 tyû leä cuûa tieàn thu thueá ñöôïc veõ ñoà thò döïa vaøo caùc trung ñieåm cuûa
caùc khoaûng döôùi daïng bieåu ñoà thanh (ñöôïc bieát laø bieåu ñoà taàn suaát) trong ñoù dieän tích
cuûa caùc hình chöõ nhaät baèng vôùi caùc tyû leä töông öùng. Neáu kích thöôùc maãu laø ñuû lôùn vaø caùc
khoaûng ñuû nhoû, ta coù theå laøm gaàn ñuùng caùc taàn suaát vôùi moät ñöôøng cong trôn (nhö trình
baøy trong bieåu ñoà), ñoù laø phaân phoái xaùc suaát cuûa thu nhaäp.

VÍ DUÏ 2.2
Ñieåm trung bình (GPA) cuûa moät sinh vieân thay ñoåi töø 0 ñeán 4. Baûng 2.1 coù moät ví duï cuûa
phaân phoái xaùc suaát cuûa GPA. Hình 2.2 laø moät söï trình baøy baèng hình veõ cuûa phaân phoái
xaùc suaát. Xaùc suaát maø moät sinh vieân ñöôïc choïn ngaãu nhieân coù GPA ôû giöõa 2 vaø 2,5 laø
0,244. Söï dieãn giaûi cuûa caùc con soá khaùc laø töông töï.

Baûng 2.1 Phaân Phoái Xaùc Suaát Cuûa Ñieåm Trung Bình (GPA)



Khoaûng 0 – 0,5 0,5 – 1,0 1,0 – 1,5 1,5 – 2,0 2,0 – 2,5 2,5 – 3,0 3,0 – 3,5 3,5 – 4,0
x 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75
f(x) 0 0,002 0,010 0,049 0,244 0,342 0,255 0,098

Hình 2.1 Bieåu Ñoà Taàn Suaát Ñoái Vôùi Thu Nhaäp Haøng Naêm

Tyû leä
tieàn thu thueá

Thu nhaäp
theo ngaøn
5 15 25 35 45 55 ñoâ la

Hình 2.2 Phaân Phoái Xaùc Suaát Cuûa Ñieåm Trung Bình (GPA)

f(x)

0,342

0,300

0,200

0,100

X
0,25 0,75 1,25 1,75 2,25
f(x) 2,75 3,25 3,75
Hình 2.3 Ñoà
Thò Maät Ñoä Chuaån
Chuaån Hoùa


Ngöôøi söû duïng chöông trình GRELT neân thöû Phaàn Maùy Tính Thöïc Haønh trong Phuï luïc C.
Nhöõng ngöôøi khaùc ñöôïc khuyeán khích duøng chöông trình hoài qui cuûa chính hoï ñeå thu
ñöôïc phaân phoái taàn suaát cho DATA2-1 vaø DATA2-2 (xem Phuï luïc D).

Phaân Phoái Chuaån
Phaân phoái lieân tuïc ñöôïc duøng roäng raõi nhaát laø phaân phoái chuaån (coøn ñöôïc bieát laø phaân
phoái Gaussian). Daïng ñôn giaûn nhaát cuûa noù, ñöôïc bieát ñeán laø phaân phoái chuaån chuaån
hoùa (hoaëc chuaån chuaån hoùa), haøm maät ñoä xaùc suaát (PDF) cuûa phaân phoái naøy laø

1
f(x) = exp( −x 2 / 2) – ∞ < x < ∞
2π

trong ñoù exp laø haøm muõ. Maät ñoä chuaån f(x) laø ñoái xöùng xung quanh toïa ñoâï goác vaø coù hình
chuoâng (xem Hình 2.3). P(a ≤ X ≤ b) ñöôïc xaùc ñònh bôûi vuøng toâ maøu giöõa a vaø b.

VÍ DUÏ 2.3
Baûng Phuï luïc A.1 coù dieän tích döôùi ñöôøng cong chuaån chuaån hoùa giöõa 0 vaø ñieåm baát kyø z.
Nhö vaäy, laáy ví duï, dieän tích töø 0 ñeán 1,72 laø 0,4573. Bôûi vì ñöôøng cong chuaån laø ñoái
xöùng xung quanh toïa ñoä goác, dieän tích töø 0 ñeán –1,72 cuõng baèng 0,4573. Dieän tích töø
0,65 ñeán 1,44 coù ñöôïc laø ñoä cheânh leäch cuûa caùc dieän tích tính töø 0 vaø do ñoù baèng 0,4251
– 0,2422 = 0,1829. Duøng kyõ thuaät naøy vaø tính chaát ñoái xöùng, deã daøng xaùc minh raèng P(–
0,65 ≤ X ≤ 1,44) = 0,2422 + 0,4251 = 0,6673 vaø P(–1,44 ≤ X ≤ –0,65) = 0,1829. Ñeå tính



P(X > 1,12), ta duøng söï quan heä P(X > 1,12) = P(X> 0) – P(0 < X < 1,12) = 0,5 – 0,3686
= 0,1314.

Baûng 2.2 Phaân Phoái Xaùc Suaát cho Soá Maët Ngöûa trong Ba Laàn Tung Moät Ñoàng Xu.

x 0 1 2 3
f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Phaân Phoái Nhò Thöùc
Nhö moät ví duï cuûa moät haøm xaùc suaát rôøi raïc, goïi X laø soá maët ngöûa xuaát hieän trong ba laàn
tung moät ñoàng xu. X coù theå coù caùc giaù trò 0, 1, 2, hay 3. Taùm keát quaû rieâng bieät laãn nhau,
moãi keát quaû coù xaùc suaát nhö nhau laø 1/8, ñöôïc xaùc ñònh bôûi (HHH), (HHT), (HTH),
(THH), (HTT), (THT), TTH), vaø (TTT). Töø ñoù coù P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) +
P(THH) = 3/8. Tieán haønh theo caùch töông töï, ta coù theå thu ñöôïc caùc xaùc suaát cho moãi giaù
trò coù theå coù cuûa X. Baûng 2.2 cung caáp haøm xaùc suaát f(x) cho boán giaù trò cuûa X.
Phaân phoái laø moät phaàn töû cuûa moät hoï phaân phoái ñöôïc bieát ñeán nhö phaân phoái nhò
thöùc. Noù phaùt sinh khi chæ coù 2 keát quaû coù theå xaûy ra ñoái vôùi moät thí nghieäm, moät ñöôïc
meänh danh laø “thaønh coâng” vaø moät laø “thaát baïi”. Goïi p laø xaùc suaát cuûa thaønh coâng trong
moät thí nghieäm cho tröôùc. Xaùc suaát cuûa thaát baïi laø 1 – p. Hôn nöõa giaû söû raèng xaùc suaát
cuûa thaønh coâng laø nhö nhau cho moãi thí nghieäm vaø caùc thí nghieäm laø ñoäc laäp. Goïi X laø soá
laàn thaønh coâng trong n thí nghieäm ñoäc laäp. Vaäy f(x) coù theå trình baøy laø [xem Freund
(1992), trang 184-185]

n n!
f(x) =   p x q n −x = p x q n−x x = 0, 1, . . . , n
x x! (n − x)!

trong ñoù 1 – p = q vaø n! = n(n –1) … 1 (0! ñöôïc ñònh nghóa laø 1)

VÍ DUÏ 2.4
Moät söï ñieàu trò beänh baïch haàu ñaëc bieät coù 25 phaàn traêm xaùc suaát chöõa khoûi hoaøn toaøn.
Neáu 40 beänh nhaân ñöôïc choïn ngaãu nhieân ñöôïc ñem ñieàu trò, xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 15
beänh nhaân seõ ñöôïc chöõa khoûi laø gì?
Goïi X = soá laàn thaønh coâng trong 40 laàn thöû. Vaäy ta caàn P(X > 15) vôùi p = 0,25. Baûng
Phuï Luïc A.6 coù xaùc suaát tích luõy caän treân mong muoán laø 0,0544.

Thöû laøm Baøi taäp 2.1 ñeán 2.5 vaø nghieân cöùu caùc ñaùp aùn cho Baøi taäp 2.4 trong Phuï luïc B.



2.2 Kyø Voïng, Trung Bình vaø Phöông Sai Toaùn Hoïc

Xeùt thí nghieäm nhò thöùc ñaõ moâ taû tröôùc ñaây trong ñoù moät ñoàng xu ñöôïc tung ba laàn. Giaû
söû ta ñöôïc traû 3$ neáu keát quaû laø ba maët ngöûa, 2$ neáu coù hai maët ngöûa, 1$ neáu chæ coù moät
ngöûa, vaø khoâng coù gì heát neáu caû ba laàn tung ñeàu cho keát quaû maët saáp. Veà maët trung bình,
moãi thí nghieäm tung ba laàn, ta kyø voïng thaéng bao nhieâu? Töø Baûng 2.2 ta löu yù raèng trong
8 laàn thí nghieäm ta coù theå kyø voïng, veà maët trung bình, coù moät laàn coù ba maët ñeàu ngöûa
(daãn ñeán ñöôïc traû 3$), ba laàn coù hai maët ngöûa (toång tieàn ñöôïc traû laø 6$, tính 2$ cho moãi
laàn), vaø ba laàn vôùi moät maët ngöûa (toång tieàn ñöôïc traû laø 3$). Vaäy ta coù theå kyø voïng toång
tieàn ñöôïc traû laø 12$ (3+6+3) trong 8 laàn thöû, thaønh ra tieàn ñöôïc traû trung bình laø 1,5 $ cho
moãi laàn thöû.

Trung Bình Cuûa Moät Phaân Phoái
Giaù trò trung bình ñöôïc tính trong phaàn tröôùc ñöôïc goïi laø trung bình cuûa phaân phoái
(cuõng ñöôïc bieát ñeán nhö kyø voïng toaùn hoïc cuûa X vaø giaù trò kyø voïng cuûa X). Noù cuõng
ñöôïc bieát ñeán nhö momen baäc nhaát xung quanh giaù trò goác, hay momen ñònh taâm baäc
nhaát, vaø laø moät ñaïi löôïng cuûa ñònh vò. Noù ñöôïc kyù hieäu bôûi E(X) hay µ. E(X) laø moät
trung bình coù troïng soá cuûa X, vôùi troïng soá laø caùc xaùc suaát töông öùng. Trong tröôøng hôïp
toång quaùt, giaû söû moät bieán ngaãu nhieân rôøi raïc coù theå coù caùc giaù trò x1, x2, . . ., xn. P(X = xi)
= f(xi) laø haøm xaùc suaát cuûa bieán ñoù. Neáu tieàn ñöôïc traû cho keát quaû X = xi laø xi ñoâ-la, tieàn
ñöôïc traû trung bình seõ laø x1f(x1) + x2f(x2) + . . . + xnf(xn) = ∑[xif(xi)], trong ñoù ∑ kyù hieäu
cho pheùp laáy toång caùc soá haïng, vôùi i = 1 ñeán n. (Xem Phuï luïc 2.A.1 veà pheùp toång.) Vaäy
ta coù ñònh nghóa sau ñaây.

ÑÒNH NGHÓA 2.1 (Trung Bình Cuûa Moät Phaân Phoái)
Vôùi moät bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, trung bình cuûa phaân phoái (µ) ñöôïc ñònh nghóa laø

i =n
µ = E(X) = ∑ [x f (x )]
i =1
i i (2.1)

Bôûi vì E(X) laø troïng soá theo xaùc suaát, noù coù theå khaùc vôùi trung bình soá hoïc, x =
(∑xi)/n.
Khoâng coù lyù do vì sao keát quaû ñöôïc moâ taû ôû treân ñöôïc giôùi haïn baèng x. Noù coù theå laø
baát kyø haøm naøo cuûa x. Giaû söû keát quaû laø x2. Keát quaû trung bình seõ laø ∑[xi2f(xi)]. Ñieàu naøy
ñöôïc goïi laø momen baäc hai cuûa phaân phoái cuûa X xung quanh giaù trò goác. Khaùi nieäm cuûa
kyø voïng toaùn hoïc coù theå môû roäng cho baát kyø haøm soá naøo cuûa x. Vaäy, ta coù söï dieãn taû sau
ñaây cho giaù trò kyø voïng cuûa moät haøm toång quaùt g(X):

E[g(X)] = ∑[g(xi)f(xi)] (2.2)
VÍ DUÏ 2.5



Ñieåm Kieåm Tra Khaû Naêng Hoïc Thuaät Veà Töø Vöïng (VSAT) ñoái vôùi moät sinh vieân noäp
ñôn xin vaøo ñaïi hoïc coù giaù trò traûi töø 0 ñeán 700. Baûng 2.3 coù moät ví duï cuûa phaân phoái xaùc
suaát cuûa ñieåm VSAT cho moät toång theå lôùn caùc sinh vieân ñaïi hoïc. Trung bình cuûa phaân
phoái naøy ñöôïc tính laø 100 × 0 + 225 × 0,003 + … + 675 × 0,063 = 506,25.

Baûng 2.3 Phaân Phoái Xaùc Suaát Cuûa Ñieåm VSAT

Khoaûng x f(x)

0 – 200 100 0
200 – 250 225 0,003
250 – 300 275 0,021
300 – 350 325 0,033
350 – 400 375 0,061
400 – 450 425 0,131
450 – 500 475 0,201
500 – 550 525 0,234
550 – 600 575 0,169
600 – 650 625 0,084
650 – 700 675 0,063

Baøi Taäp Thöïc Haønh 2.1
Giaû söû coù 10.000 veù soá 1$ ñöôïc baùn vaø coù ba giaûi thöôûng ñöôïc ñöa ra: giaûi nhaát 5.000$,
giaûi nhì 2.000$, vaø giaûi ba 500$. Kyø voïng thaéng giaûi laø bao nhieâu?

Baøi Taäp Thöïc Haønh 2.2
Moät thôï baùnh mì coù haøm xaùc suaát nhö sau cho nhu caàu baùnh mì (tính theo taù hay 12 ñôn
vò moãi ngaøy). Toàn kho trung bình neân laø bao nhieâu?

x 0 1 2 3 4 5 6 hay lôùn hôn
f(x) 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 0,10 0

Chuùng ta vieát moät soá keát quaû lieân quan ñeán giaù trò kyø voïng maø khoâng coù chöùng
minh. Nhöõng keát quaû naøy ñöôïc kieán nghò neân ñöôïc nghieân cöùu kyõ löôõng bôûi vì chuùng seõ
ñöôïc söû duïng thöôøng xuyeân trong caùc chöông sau. (Haõy thöû chöùng minh chuùng.)

Tính chaát 2.1
a. E(X – µ) = E(X) – µ = 0.
b. Neáu c laø haèng soá hay laø bieán khoâng ngaãu nhieân, E(c) = c.
c. Neáu c laø haèng soá hay laø bieán khoâng ngaãu nhieân, E[cg(X)] = cE[g(x)].



d. E[u(X) + v(X)] = E[u(X)] + E[v(X)].

Dieãn taû baèng töø ngöõ, giaù trò kyø voïng cuûa ñoä leäch so vôùi trung bình laø 0. Giaù trò kyø
voïng cuûa moät haèng soá hay moät bieán khoâng ngaãu nhieân chính baèng noù. Giaù trò kyø voïng
cuûa moät haèng soá nhaân vôùi moät bieán ngaãu nhieân baèng haèng soá nhaân vôùi giaù trò kyø voïng.
Giaù trò kyø voïng cuûa toång caùc haøm soá cuûa X laø toång caùc kyø voïng. Ñaùp aùn cho Baøi taäp 2.6
trong Phuï luïc B coù chöùng minh veà Tính chaát 2.1 cho tröôøng hôïp rôøi raïc.

Phöông Sai vaø Ñoä Leäch Chuaån cuûa Moät Bieán Ngaãu Nhieân
Ñaët µ = E(X) laø trung bình cuûa phaân phoái cuûa X. Moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa haøm g(X),
maø kyø voïng cuûa noù ñöôïc ñònh nghóa trong Phöông trình (2.2), ñöôïc quan taâm ñaùng keå.
Cho g(X) = (X – µ)2. X – µ laø moät ñaïi löôïng ñeå xem X leäch bao nhieâu so vôùi trung bình
µ. Bình phöông ñaïi löôïng naøy seõ phoùng roäng caùc ñoä leäch vaø xöû lyù caùc ñoä leäch döông vaø
aâm nhö nhau. Trung bình coù troïng soá xaùc suaát cuûa caùc ñoä leäch bình phöông naøy (hay, cuï
theå hôn, kyø voïng cuûa chuùng) laø moät ño löôøng cuûa söï phaân taùn cuûa caùc giaù trò X xung
quanh giaù trò trung bình µ. Noù ñöôïc goïi laø phöông sai cuûa phaân phoái (hay momen ñònh
taâm baäc hai) vaø ñöôïc kyù hieäu bôûi σ2 hay Var(X). Noù laø moät ño löôøng cuûa söï phaân taùn
cuûa X xung quanh µ. Moät caùch chính thöùc, ta coù ñònh nghóa sau.

ÑÒNH NGHÓA 2.2 (Phöông Sai vaø Ñoä Leäch Chuaån)
Phöông sai cuûa X ñöôïc ñònh nghóa laø

σ2 = Var(X) = E[(X – µ)2] = ∑(xi – µ)2f(xi) (2.3)

Caên baäc hai (σ) cuûa bieåu thöùc naøy ñöôïc goïi laø ñoä leäch chuaån (s.d.).

Tính chaát 2.2 lieät keâ vaøi tính chaát cuûa phöông sai ñuùng cho caû phaân phoái lieân tuïc vaø
rôøi raïc.

Tính chaát 2.2
a. σ2 = E[(X – µ)2] = E[X2 – 2µX + µ2] = E(X2) – 2µE(X) + µ2 = E(X2) – µ2.
b. Theo ñoù neáu c laø moät haèng soá hay khoâng ngaãu nhieân, Var(c) = 0.
c. Neáu a vaø b laø caùc haèng soá hay khoâng ngaãu nhieân, Var(a + bX) = b2σ2.

VÍ DUÏ 2.6
Haøm xaùc suaát cuûa moät bieán ngaãu nhieân rôøi raïc ñöôïc cho nhö sau:



x 0 1 2 3
f(x) 0,1 0,3 0,4 0,2

Haõy tính trung bình, phöông sai, vaø ñoä leäch chuaån.

µ = E(X) = ∑xif(xi)
= (0 × 0,1) + (1 × 0,3) + (2 × 0,4) + (3 × 0,2)
= 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7
E(X ) = ∑xi2f(xi) = (0 × 0,1) + (1 × 0,3) + (4 × 0,4) + (9 × 0,2)
2

= 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7
Var(X) = E(X2) – µ2 = 3,7 – (1,7)2 = 0,81
σ = Var( X) = 0,9

BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 2.3
Haõy tính trung bình, phöông sai, vaø ñoä leäch chuaån cho caùc phaân phoái trong caùc Baûng 2.1
vaø 2.3.

Haõy chöùng toû raèng neáu bieán ngaãu nhieân X coù trung bình µ vaø ñoä leäch chuaån σ, bieán ngaãu
nhieân bieán ñoåi Z = (X – µ)/σ (thöôøng tham chieáu nhö laø giaù trò z) coù trung bình 0 vaø
phöông sai laø 1.

Phaân Phoái Chuaån Toång Quaùt
Phaân phoái chuaån ñöôïc trình baøy trong Phaàn 2.1 coù trung bình 0 vaø phöông sai ñôn vò. Moät
phaân phoái chuaån toång quaùt, vôùi trung bình µ vaø phöông sai σ2, thöôøng ñöôïc vieát laø N(µ,
σ2), coù haøm maät ñoä nhö sau:

1  (x − µ) 2 
f(x) = exp −  –∞<x<∞ (2.4)
σ 2π  2σ 2 

trong ñoù exp kyù hieäu cuûa haøm muõ. Neáu X laø phaân phoái chuaån, noù ñöôïc vieát laø X ∼ N(µ,
σ2). Ba phaân phoái xaùc suaát chuaån ñöôïc trình baøy trong Hình 2.4. Vaøi tính chaát cuûa phaân
phoái chuaån ñöôïc lieät keâ trong Tính chaát 2.3.



Tính chaát 2.3
Phaân phoái chuaån, vôùi trung bình µ vaø phöông sai σ2 [ñöôïc vieát laø N(µ, σ2)], coù caùc tính
chaát sau:
a. Ñoái xöùng xung quanh giaù trò trung bình µ vaø coù daïng hình chuoâng.
b. Dieän tích döôùi ñöôøng cong chuaån giöõa µ – σ vaø µ + σ – nghóa laø trong khoaûng 1 ñoä
leäch chuaån tính töø trung bình – hôi lôùn hôn 2/3(0,6826). 95,44 phaàn traêm dieän tích
naèm trong khoaûng 2 ñoä leäch chuaån tính töø giaù trò trung bình – nghóa laø, giöõa µ – 2σ
vaø µ + 2σ. 99,73 phaàn traêm dieän tích naèm trong khoaûng 3 ñoä leäch chuaån tính töø giaù
trò trung bình. Vaäy, gaàn nhö toaøn boä phaân phoái naèm giöõa µ – 3σ vaø µ + 3σ.

Hình 2.4 Ba Phaân Phoái Chuaån

f(x) σ = 10
(3)

σ = 15
(2)

(1)

σ = 20

X
10 20 30

c. Neáu X coù phaân phoái chuaån, vôùi trung bình µ vaø ñoä leäch chuaån σ, thì bieán ngaãu nhieân
“chuaån hoùa” Z = (X – µ)/σ coù phaân phoái chuaån chuaån hoùa N(0,1). Bôûi tính chaát naøy,
dieän tích giöõa hai ñieåm a vaø b trong N(µ, σ2) seõ baèng vôùi dieän tích giöõa caùc ñieåm muùt
chuaån hoùa (a – µ)/σ vaø (b – µ)/σ trong N(0, 1). Baûng A.1 coù caùc dieän tích theo chuaån
hoùa giöõa trung bình 0 vaø caùc giaù trò khaùc nhau cuûa Z.
d. Neáu X ñöôïc phaân phoái theo N(µ, σ2), thì Y = a + bX, trong ñoù a vaø b laø haèng soá coá
ñònh, ñöôïc phaân phoái theo N(a + bµ, b2σ2).

VÍ DUÏ 2.7



Moät nhaø saûn xuaát loáp xe ñaõ nhaän thaáy raèng tuoåi thoï cuûa moät loaïi loáp naøo ñoù laø moät bieán
ngaãu nhieân chuaån vôùi trung bình laø 30.000 daëm vaø ñoä leäch chuaån laø 2.000 daëm. Coâng ty
mong muoán ñaûm baûo loáp xe ñoù cho N daëm vôùi vieäc traû laïi toaøn boä tieàn neáu loáp xe khoâng
duøng ñöôïc ñeán giôùi haïn ñoù. Giaû söû coâng ty muoán ñaûm baûo raèng xaùc suaát maø moät loáp xe
bò traû laïi khoâng quaù 0,10 (nghóa laø khoâng quaù 10 phaàn traêm soá loáp xe seõ ñöôïc baùn). Giaù
trò N coâng ty neân choïn laø bao nhieâu?
Cho X laø tuoåi thoï cuûa loáp xe. Vaäy X ñöôïc phaân phoái theo N(30.000, 2.0002). Ta
 X -µ N − µ  X -µ
muoán P(X ≤ N) ≤ 0,10. P(X ≤ N) = P ≤  ≤ 0,10. Cho Z = laø chuaån
 σ σ  σ
 N−µ
chuaån hoùa. Vaäy P Z ≤ z =  ≤ 0,10. Töø Hình 2.5 ta thaáy raèng ñeå thu ñöôïc dieän tích
 σ 
cuûa 0,10 phía beân traùi cuûa z, ta caàn tìm ñieåm d (= – z) sao cho dieän tích giöõa 0 vaø d laø
0,40 (do tính chaát ñoái xöùng). Töø Baûng A.1 cuûa phuï luïc, ta löu yù raèng P(0 ≤ Z ≤ d = 1,282)
N -µ
= 0,40, nghóa laø neáu ≤ – 1,282, thì baát ñaúng thöùc treân seõ thoûa maõn. Vaäy, N ≤ µ –
σ
1,282σ = 30.000 – (1,282)2.000; nghóa laø N ≤ 27.436 daëm.

Hình 2.5 Ñoà Thò Maät Ñoä Chuaån Chuaån Hoùa
f(Z)

40% 40%

10% 10%

Z
z = – 1,828 0 d = 1,828

Heä Soá Bieán Thieân



Heä soá bieán thieân ñöôïc ñònh nghóa laø tyû soá σ/µ, trong ñoù töû soá laø ñoä leäch chuaån vaø maãu soá
laø trò trung bình. Ñoù laø moät ñaïi löôïng cuûa söï phaân taùn cuûa phaân phoái töông ñoái so vôùi trò
trung bình cuûa phaân phoái. Chuùng ta seõ gaëp phaûi khaùi nieäm naøy laàn nöõa trong Chöông 14
khi thöïc hieän moät döï aùn thöïc nghieäm.
Ñeå coù thaûo luaän cuûa caùc ño löôøng khaùc ñaëc tröng cho moät phaân phoái, xem
Ramanathan (1993, Phaàn 3.5). Phaàn Maùy Tính Thöïc Haønh 2.2 (xem Baûng Phuï luïc D.1)
minh hoïa caùc khaùi nieäm naøy cho ngöôøi söû duïng GRELT, duøng döõ lieäu maãu veà ñieåm trung
bình cuûa 427 sinh vieân.

2.3 Caùc Xaùc Suaát Keát Hôïp, Ñoàng Phöông Sai, vaø Töông Quan

Caùc haøm xaùc suaát ñöôïc xaùc ñònh vôùi moät caëp bieán ngaãu nhieân naøo ñoù (ví duï nhö bieán
PRICE vaø SQFT hay bieán tieâu duøng vaø thu nhaäp) ñöôïc goïi laø phaân phoái xaùc suaát keát hôïp
hay phaân phoái hai bieán. Ñeå vieäc trình baøy ñôn giaûn hôn, phaàn thaûo luaän chæ taäp trung vaøo
caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc. Söï khaùi quaùt hoaù ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán lieân tuïc coù theå deã
daøng suy ra. Goïi X vaø Y laø hai bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, x vaø y laø caùc giaù trò töông öùng maø
hai bieán treân coù theå ñaït ñöôïc. Xaùc suaát maø X = x vaø Y = y ñöôïc goïi laø haøm xaùc suaát keát
hôïp ñoái vôùi X vaø Y vaø ñöôïc bieåu thò thoâng qua haøm fXY(x, y). Vì theá ta coù haøm fXY(x, y)
= P(X = x, Y = y), coù nghóa laø P(X = x vaø Y = y). Vì haøm xaùc suaát thöôøng ñöôïc bieåu thò
baèng f() neân chuùng ta duøng kyù hieäu XY ñaët ôû beân döôùi ñeå quy ñònh hai bieán ngaãu nhieân
keát hôïp ñang quan saùt laø X vaø Y.

VÍ DUÏ 2.8

Haõy xem xeùt cuoäc thí nghieäm thaûy moät caëp suùc saéc. Coù theå coù 36 tröôøng hôïp xaûy ra,
ñöôïc bieåu thò theo (1, 1), (1, 2), …, (6, 6), trong ñoù chöõ soá ñaàu tieân laø keát quaû cuûa suùc saéc
thöù nhaát vaø soá haïng thöù hai bieåu thò keát quaû cuûa suùc saéc thöù hai. Moãi keát quaû ñeàu coù khaû
naêng xaûy ra nhö nhau, vaø vì vaäy xaùc suaát xaûy ra cuûa moãi keát quaû cuï theå laø 1/36. Baây giôø,
ñaët bieán ngaãu nhieân X = soá laàn xuaát hieän cuûa soá 3 ôû keát quaû thu ñöôïc. Do ñoù, neâu keát quaû
laø (1, 5) thì X = 0; neáu laø (3, 6) thì X = 1; vaø X = 2 khi vaø chæ khi keát quaû laø (3, 3). Giaù trò
X chæ chæ coù theå laø 0, 1, vaø 2. Keá tieáp, chuùng ta ñònh nghóa bieán ngaãu nhieân Y = soá laàn
xuaát hieän cuûa soá 5 xuaát hieän nôi keát quaû cuï theå, giaù trò cuûa Y cuõng chæ coù theå laø 0, 1, vaø 2.
Keát quaû (1, 3) seõ töông öùng vôùi X = 1 vaø Y = 0. Deã daøng kieåm chöùng caùc giaù trò xaùc suaát
keát hôïp cho trong baûng 2.4. Ví duï, bieán coá keát hôïp (X = 1, Y = 1) coù theå xaûy ra chæ khi coù
keát quaû laø (3, 5) hoaëc (5, 3), moãi tröôøng hôïp ñeàu coù xaùc suaát laø 1/36. Vì theá, f(1, 1) = P(X
= 1, Y = 1) = 1/36. Caùc giaù trò xaùc suaát khaùc cuõng ñöôïc tính toaùn töông töï (haõy kieåm
chöùng caùc keát luaän naøy nhö laø baøi taäp thöïc haønh).



Söï Ñoäc Laäp Thoáng Keâ
Caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc ñöôïc goïi laø söï ñoäc laäp thoáng keâ neáu P(X = x vaø Y = y) =
P(X = x) . P(Y = y). Vì vaäy trong tröôøng hôïp naøy, xaùc suaát keát hôïp laø tích cuûa caùc xaùc
suaát rieâng leû. Ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán coù daïng lieân tuïc, chuùng ta seõ coù fXY(x, y) = fX(x).
fY(y).

Xaùc Suaát Coù Ñieàu Kieän
Ñeå bieát theâm veà xaùc suaát cuûa nhöõng bieán coá xaûy ra keát hôïp cuûa hai bieán ngaãu nhieân X vaø
Y, chuùng ta cuõng caàn neân bieát veà xaùc suaát xaûy ra cuûa bieán ngaãu nhieân cuï theå (Y) naøo ñoù
cho tröôùc söï kieän ñaõ xaûy ra cuûa moät bieán (X) ngaãu nhieân khaùc. Ví duï, chuùng ta coù theå
muoán bieát xaùc suaát ñeå giaù mua moät caên nhaø laø 200.000 ñoâ la, neáu cho tröôùc dieän tích sinh
hoaït phaûi laø 1.500 thöôùc vuoâng Anh. Yeâu caàu naøy seõ daãn chuùng ta ñeán khaùi nieäm xaùc
suaát coù ñieàu kieän, ñöôïc ñònh nghóa trong tröôøng hôïp bieán ngaãu nhieân daïng rôøi raïc nhö
sau:

P(X = x, Y = y)
P(Y = y  X = x) = vôùi P(X = x) ≠ 0
P( X = x )

Kyù hieäu “” coù nghóa laø cho tröôùc. Haøm maät ñoä xaùc suaát coù ñieàu kieän (cho caû khi
bieán ngaãu nhieân laø rôøi raïc vaø lieân tuïc) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

fXY (x, y)
fYX(x, y) = vôùi moïi giaù trò cuûa x sao cho fX(x) > 0
f X ( x)

Trong ñoù fXY(x, y) laø haøm maät ñoä xaùc suaát keát hôïp cuûa X vaø Y vaø fX(x) laø haøm maät ñoä
xaùc suaát cuûa rieâng bieán X, thöôøng ñöôïc ñeà caäp ñeán nhö laø haøm maät ñoä caän bieân cuûa
bieán X. Löu yù raèng xaùc suaát coù ñieàu kieän phuï thuoäc vaøo caû giaù trò x vaø y. Khi caû hai bieán
ngaãu nhieân naøy phuï thuoäc thoáng keâ laãn nhau thì phaân phoái xaùc suaát coù ñieàu kieän trôû
thaønh caùc phaân phoái caän bieân töông öùng. Ñeå hieåu ñöôïc ñieàu naøy, haõy löu yù raèng söï ñoäc
laäp thoáng keâ ngaàm ñònh fXY(x, y) = fX(x) . fY(y). Ruùt ra töø keát luaän naøy, chuùng ta coù:

fYX (yx) = fXY(x, y)/fX(x) = fY(y) vaø fXY (xy) = fXY(x, y)/fY(y) = fX(x)

Baûng 2.4 Phaân phoái xaùc suaát keát hôïp ñoái vôùi soá laàn xuaát hieän caùc con soá 3 (X) vaø
soá 5 (Y) khi moät caëp suùc saéc ñöôïc thaûy.



X 0 1 2
Y
0 16/36 8/36 1/36
1 8/36 2/36 0
2 1/36 0 0
VÍ DUÏ 2.9

Baûng 2.4 trình baøy caùc giaù trò xaùc suaát keát hôïp cuûa soá laàn xuaát hieän cuûa soá 3 (X) vaø soá 5
(Y) khi moät caëp suùc saéc ñöôïc thaûy. Chuùng ta haõy tính keát quaû thöù nhaát cuûa maät ñoä caän
bieân cuûa bieán X vaø Y. Vì X = 0 coù theå xaûy ra khi Y = 0 hoaëc 1 hoaëc 2, P(X = 0) coù theå
tính toaùn ñöôïc baèng P(X = 0, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 0, Y = 2) = 16/36 + 8/36 +
1/36 = 25/36. Tính toaùn töông töï, chuùng ta coù P(X = 1) = 10/36 vaø P(X = 2) = 1/36. Löu yù
raèng toång cuûa ba giaù trò xaùc suaát treân laø baèng 1, vì ñieàu naøy laø hieån nhieân. Phaân phoái caän
bieân cuûa Y cuõng ñöôïc xaùc ñònh theo trình töï tính toaùn töông töï. Baûng 2.5 trình baøy caùc
giaù trò caän bieân cuûa X vaø Y ôû caùc haøng vaø coät ngoaøi cuøng töông öùng. Löu yù raèng caùc giaù
trò naøy xuaát hieän vôùi caùc quy luaät gioáng nhau.

Baûng 2.5 Phaân Phoái Caän Bieân Ñoái Vôùi Soá Laàn Xuaát Hieän Caùc Con Soá 3 (X) Vaø Soá
5 (Y) Khi Moät Caëp Suùc Saéc Ñöôïc Thaûy.

X 0 1 2 fY(y)
Y
0 16/36 8/36 1/36 25/36
1 8/36 2/36 0 10/36
2 1/36 0 0 1/36
fX(x) 25/36 10/36 1/36 1

Baûng 2.6 Phaân Phoái Coù Ñieàu Kieän Ñoái Vôùi Soá Laàn Xuaát Hieän Caùc Con Soá 5 (Y)
Cho Tröôùc Soá Laàn Xuaát Hieän Cuûa Caùc Soá 3 (X) Khi Moät Caëp Suùc Saéc
Ñöôïc Thaûy.

X 0 1 2
Y
0 0,64 0,32 0,04
1 0,80 0,20 0,00
2 1,00 0,00 0,00

Xaùc suaát coù ñieàu kieän ñeå Y = 0 vôùi X = 0 cho tröôùc ñöôïc tính toaùn nhö sau:
P(Y = 0X = 0) = P(X = 0, Y = 0)/ P(X = 0) = 16/36 ÷ 25/36 = 0,64



Tieán haønh töông töï, chuùng ta seõ coù ñöôïc caùc giaù trò phaân phoái coù ñieàu kieän cuûa bieán Y
vôùi X cho tröôùc trình baøy trong baûng 2.6.

Giaù Trò Kyø Voïng Toaùn Hoïc Trong Tröôøng Hôïp Hai Bieán

Khaùi nieäm kyø voïng toaùn hoïc coù theå môû roäng deã daøng sang tröôøng hôïp caùc bieán ngaãu
nhieân goàm hai bieán. Cho tröôùc haøm g(X, Y) vaø haøm xaùc suaát keát hôïp f(x, y), giaù trò kyø
voïng cuûa g(X, Y) ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch nhaân g(x, y) vôùi f(x, y) vaø coäng toång caùc giaù
trò coù theå coù cuûa x vaø y. Chuùng ta coù caùc ñònh nghóa sau ñaây.

ÑÒNH NGHÓA 2.3 (GIAÙ TRÒ KYØ VOÏNG)

Giaù trò kyø voïng cuûa g(X, Y) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

E[g(X, Y)] = ∑∑ g(x, y)f (x, y)
x y

Trong ñoù pheùp tính toång hai laàn bieåu dieãn pheùp tính toång treân taát caû caùc giaù trò coù theå coù
cuûa x vaø y. (Vì vaäy giaù trò kyø voïng seõ baèng toång coù troïng soá vôùi giaù trò xaùc suaát keát hôïp
ñöôïc duøng laøm troïng soá).
Goïi µx laø giaù trò kyø voïng cuûa bieán ngaãu nhieân X, vaø µy laø giaù trò kyø voïng cuûa bieán
ngaãu nhieân Y. Phöông sai cuûa chuùng ñöôïc xaùc ñònh töông töï nhö tröôøng hôïp ñôn bieán:

σ 2 = E[(X − µ x ) 2 ] vaø σ 2 = E[(Y − µ y ) 2 ]
x y (2.5)


Töø caùc giaù trò xaùc suaát keát hôïp cho trong baûng 2.4, haõy tính trò trung bình µx = E(X), µy =
E(Y), vaø phöông sai σ 2 , σ 2 . Haõy kieåm chöùng raèng bieán X vaø Y laø khoâng ñoäc laäp thoáng
x y

keâ vôùi nhau.

Giaù Trò Kyø Voïng Coù Ñieàu Kieän vaø Phöông Sai Coù Ñieàu Kieän

Giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho tröôùc ñöôïc goïi laø giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho
tröôùc. Moät caùch cuï theå hôn, ñoái vôùi moät caëp bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, thì E(YX =x) =
∑ y fYX(x,y). Hay noùi caùch khaùc, ñoù laø giaù trò trung bình cuûa Y söû duïng giaù trò maät ñoä
Y =y

coù ñieàu kieän cuûa ∑ y fYX(x,y) nhö moät troïng soá. Giaù trò kyø voïng cuûa Y vôùi X cho tröôùc
Y =y



coøn ñöôïc goïi laø giaù trò hoài quy cuûa Y theo X. Töø baûng 2.6, chuùng ta coù theå thaáy raèng
E(YX = 0) = (0,64 × 0) + (0,32 × 1) + (0,04 × 2) = 0,32 + 0,08 = 0,4; E(YX = 1) = 0,2;
vaø E(YX = 2) = 0. Trong moâ hình hoài quy ñôn giaûn ñöôïc trình baøy trong ví duï 1.1,
chuùng ta coù PRICE = α + β SQFT + u. Neáu E(uSQFT) = 0 thì E(PRICESQFT) = α + β
SQFT. Vì vaäy, phaàn xaùc ñònh cuûa moâ hình laø giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa bieán
PRICE vôùi SQFT cho tröôùc, khi E(uSQFT) = 0.
Khaùi nieäm giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän ñaõ trình ôû treân coù theå môû roäng deã daøng ñeå
tính toaùn phöông sai coù ñieàu kieän, ñöôïc xaùc ñònh nhö sau. Goïi µ*(X) laø giaù trò kyø voïng
coù ñieàu kieän cuûa Y cho tröôùc X, ñöôïc kyù hieäu laø E(YX). Phöông sai coù ñieàu kieän cuûa Y
vôùi X cho tröôùc ñöôïc ñònh nghóa nhö sau Var(YX) = EYX [(Y – µ* )2 | X ]. Noùi caùch
khaùc, coá ñònh giaù trò cuûa bieán X vaø tính toaùn giaù trò trung bình coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi X
cho tröôùc, vaø sau ñoù tính toaùn phöông sai xung quanh giaù trò trung bình naøy vôùi troïng soá
laø maät ñoä coù ñieàu kieän fYX(x,y).
Moät soá tính chaát cuûa giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän söû duïng trong moân hoïc kinh teá löôïng
ñöôïc toùm taét sau ñaây. Ñeå hieåu roõ theâm veà phaàn chöùng minh, xin tham khaûo taùc giaû
Ramanathan (1993, phaàn 5.2).

Tính chaát 2.4 Ñoái vôùi moïi haøm u(x) thì ta luoân coù E[u(x)X] = u(x). Tính chaát naøy ngaàm ñònh
raèng khi tieán ñeán giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cho tröôùc X thì haøm u(X) tieán ñeán
giaù trò haèng soá. Do ñoù, moät tröôøng hôïp ñaëc bieät ñöôïc suy ra laø neáu c laø haèng soá thì
E(cX) = c.

Tính chaát 2.5 E([a(x) + b(X)Y]X) = a(X) + b(X) E(YX)

Tính chaát 2.6 EXY(Y) = EX [EYX (YX)]. Tính chaát naøy coù nghóa laø giaù trò kyø voïng khoâng ñieàu
kieän cuûa Y, söû duïng maät ñoä chung giöõa X vaø Y, coù theå tính toaùn ñöôïc baèng caùch
tính tröôùc tieân giaù trò kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi X cho tröôùc (laø bieåu thöùc
trong daáu ngoaëc vuoâng), sau ñoù tính giaù trò kyø voïng cuûa chuùng theo X. Tính chaát
naøy ñöôïc goïi laø luaät cuûa caùc giaù trò kyø voïng laëp (law of iterated expectations).

Tính chaát 2.7 Var(Y) = EX[Var(YX)] + VarX[E(YX)]. Noùi caùch khaùc, giaù trò phöông sai cuûa
Y söû duïng haøm maät ñoä keát hôïp fXY(x, y) tính toaùn ñöôïc seõ töông ñöông vôùi giaù trò
kyø voïng cuûa phöông sai coù ñieàu kieän cuûa bieán Y coäng vôùi phöông sai cuûa giaù trò
kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa bieán Y vôùi X cho tröôùc.

Ñoàng phöông sai vaø töông quan

Khi gaëp phaûi hai bieán ngaãu nhieân, moät trong nhöõng vaán ñeà thöôøng thu huùt söï quan taâm laø
moái quan heä giöõa hai bieán naøy nhö theá naøo? Khaùi nieäm ñoàng phöông sai vaø töông quan
laø hai caùch ñeå ño löôøng möùc ñoä quan heä “chaët” giöõa hai bieán ngaãu nhieân ñoù.



Haõy xem xeùt haøm g(X, Y) = (X – µX)(Y – µY). Giaù trò kyø voïng cuûa haøm soá naøy ñöôïc
goïi laø ñoàng phöông sai giöõa X vaø Y vaø ñöôïc kyù hieäu laø σXY hay Cov(X, Y).

ÑÒNH NGHÓA 2.4 (ÑOÀNG PHÖÔNG SAI)

Giaù trò ñoàng phöông sai giöõa X vaø Y ñöôïc xaùc ñònh nhö sau

σxy = Cov(X, Y) = E[(X – µx)(Y – µy)] = E[XY – Xµy – µxY + µxµy] (2.6)
= E(XY) – µyE(X) – µxE(Y) + µxµy = E(XY) – µxµy

Deã daøng suy ra töø keát luaän treân raèng Cov(X,X) = Var(X)

Caùc ñònh nghóa veà phöông sai vaø ñoàng phöông sai ñeàu ñuùng trong caû hai tröôøng hôïp
phaân phoái coù daïng rôøi raïc vaø lieân tuïc. Vì phöông sai chæ laø moät ñaïi löôïng ño löôøng möùc
ñoä phaân taùn cuûa bieán ngaãu nhieân xung quanh giaù trò trung bình, neân ñoàng phöông sai
giöõa hai bieán ngaãu nhieân seõ laø ñaïi löôïng ño löôøng möùc ñoä lieân keát chung giöõa chuùng. Giaû
söû raèng hai bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X vaø Y quan heä ñoàng höôùng vôùi nhau, vaø do ñoù khi
giaù trò Y taêng thì giaù trò X cuõng taêng theo nhö bieåu dieãn treân hình 2.6. Caùc voøng troøn nhoû
bieåu thò caùc caëp giaù trò cuûa X vaø Y töông öùng vôùi caùc keát quaû khaû dó giôùi haïn. Ñöôøng
gaïch chaám bieåu dieãn giaù trò trung bình µx vaø µy. Baèng caùch chuyeån truïc toaï ñoä ñeán ñöôøng
gaïch chaám naøy vôùi goác toaï ñoä laø (µx, µy), chuùng ta coù theå thaáy raèng Xi – µx vaø Yi – µy laø
ñoä daøi tính töø goác toaï ñoä môùi, ñoái vôùi moät keát quaû naøo ñoù ñöôïc kyù hieäu baèng haäu toá i . Töø
hình veõ, coù theå chöùng minh raèng caùc ñieåm naèm trong phaàn tö thöù nhaát vaø thöù ba seõ laøm
cho tích (Xi – µx)(Yi – µy) luoân coù giaù trò döông, vì töøng soá haïng trong bieåu thöùc seõ cuøng
döông hoaëc cuøng aâm. Khi chuùng ta tính toaùn ñaïi löôïng ñoàng phöông sai laø toång coù troïng
soá caùc tích bieåu thöùc treân, keát quaû cuoái cuøng coù khuynh höôùng nhaän giaù trò döông vì coù
nhieàu soá haïng döông hôn caùc soá haïng aâm. Vì vaäy, giaù trò ñoàng phöông sai coù khuynh
höôùng daáu döông. Trong tröôøng hôïp caû hai bieán X vaø Y di chuyeån theo höôùng ngöôïc laïi,
giaù trò Cov(X, Y) seõ coù daáu aâm.

Maëc duø ñaïi löôïng ñoàng phöông sai raát coù ích trong vieäc xaùc ñònh tính chaát cuûa moái
lieân keát giöõa X vaø Y nhöng noù toàn taïi moät vaán ñeà khaù nghieâm troïng laø caùc giaù trò tính
baèng soá raát nhaïy ñoái vôùi giaù trò ñôn vò duøng ñeå ño bieán X vaø Y. Neáu X laø moät loaïi bieán
taøi chính tính baèng ñoâ-la hôn laø tính baèng ñôn vò ngaøn ñoâ-la, ñaïi löôïng ñoàng phöông sai
seõ doác ñöùng do aûnh höôûng cuûa heä soá 1.000. Ñeå traùnh vaán ñeà naøy, ngöôøi ta seõ söû duïng ñaïi
löôïng ñoàng phöông sai “ñöôïc chuaån hoùa”. Ñaïi löôïng naøy coøn ñöôïc goïi laø heä soá töông
quan giöõa bieán X vaø Y vaø ñöôïc kyù hieäu laø ρxy.

ÑÒNH NGHÓA 2.5 (HEÄ SOÁ TÖÔNG QUAN)



Heä soá töông quan giöõa bieán X vaø Y ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

σ xy Cov(X, Y)
ρ xy = = (2.7)
σxσy [Var(X)Var(Y)]1 / 2

Neáu bieán X vaø Y coù quan heä döông thì heä soá töông quan seõ coù daáu döông. Neáu bieán
X vaø y coù quan heä aâm thì chuùng seõ di chuyeån theo höôùng ngöôïc laïi. Trong tröôøng hôïp
naøy, giaù trò ñoàng phöông sai vaø heä soá töông quan ñeàu coù daáu aâm. Heä soá töông quan hoaøn
toaøn coù theå baèng zero. Trong tröôøng hôïp naøy, chuùng ta coù theå keát luaän raèng bieán x vaø y
khoâng coù töông quan. Ngöôøi ta coù theå vieát raèng ρ 2 ≤ 1 hay töông ñöông vôùi ρxy ≤ 1.
xy

Giaù trò ρxyseõ baèng 1 khi vaø chæ khi coù moät moái quan heä tuyeán tính chính xaùc giöõa X vaø
Y theo bieåu thöùc Y – µy = β( X – µx). Neáu ρxy = 1 thì quan heä giöõa X vaø Y ñöôïc goïi
laø töông quan hoaøn haûo. Neâu löu yù raèng moái töông quan hoaøn haûo chæ xaûy ra khi giöõa X
vaø Y coù moái quan heä tuyeán tính moät caùch chính xaùc. Ví duï, Y coù theå xuaát hieän trong bieåu
thöùc daïng Y = X2, roõ raøng laø coù bieåu hieän moái quan heä nhöng heä soá töông quan giöõa X vaø
Y seõ khoâng theå baèng 1. Vì vaäy, heä soá töông quan seõ ño löôøng phaïm vi cuûa moái lieân keát
tuyeán tính giöõa hai bieán.
Neáu bieán X vaø Y laø hai bieán ñoäc laäp thì fXY(x, y) = fX(x) . fY(y), coù nghóa laø xaùc suaát
keát hôïp chính laø tích cuûa caùc xaùc suaát rieâng leû. Trong tröôøng hôïp naøy, neân löu yù töø ñònh
nghóa cuûa σxy, chuùng ta coù

σ xy = ∑∑ (x − µ x )(y − µ y )fx (x)f y (y)
x y

Vì bieán x vaø y baây giôø coù theå taùch rôøi nhau neân chuùng ta coù

  
σ xy = ∑ (x − µ x )f x (x) ∑ (y − µ y )fy (y)
 x  y 
= E ( X − µ x ) E (Y − µ y )

Nhöng do E(X – µx) = E(X) – µx = 0 (xin xem tính chaát 2.1a), neân σxy = 0 vaø ρxy = 0 neáu
hai bieán ngaãu nhieân naøy laø ñoäc laäp. Hay noùi caùch khaùc, neáu bieán X vaø Y laø hai bieán ñoäc
laäp thì chuùng seõ khoâng töông quan nhau.
Keát luaän ngöôïc laïi coù theå khoâng coøn chính xaùc (nghóa laø moái töông quan zero seõ
khoâng ngaàm ñònh tính chaát ñoäc laäp), vaø coù theå kieåm chöùng thoâng qua caùc ví duï sau. Ñaët
fXY(x, y) töông töï nhö trong baûng 2.7.



Cov(X, Y) = E(XY) – E(X) E(Y)
E(X) = (1 × 0,4) + (2 × 0,2) + (3 × 0,4) = 2
E(Y) = (6 × 0,4) + (8 × 0,2) + (10 × 0,4) = 8
E(XY) = (6 × 1 × 0,2) + (6 × 3 × 0,2) + (8 × 2 × 0,2) + (10 × 1 × 0,2)
+ (10 × 3 × 0,2) = 16

Vì vaäy, Cov(X, Y) = 0. Nhöng bieán X vaø Y laø khoâng ñoäc laäp vì P(X = 2, Y = 6) = 0, P(X
= 2) = 0,2, vaø P(Y = 6) = 0,4. Do ñoù, xaùc suaát keát hôïp seõ khoâng theå baèng tích cuûa caùc xaùc
suaát rieâng leû.


Söû duïng caùc bieán X vaø Y vôùi xaùc suaát keát hôïp cho trong baûng 2.4, haõy tính giaù trò Cov(X,
Y) vaø ρxy (löu yù raèng baïn ñaõ tính giaù trò trung bình vaø phöông sai trong baøi taäp 2.5)

+

Giaû söû bieán ngaãu nhieân X chæ coù theå nhaän caùc giaù trò 1, 2, 3, 4, vaø 5, moãi giaù trò öùng vôùi
xaùc suaát baèng nhau vaø baèng 0,2. Cho Y = X2. Haõy tính heä soá töông quan giöõa X vaø Y vaø
chöùng minh raèng heä soá naøy khoâng baèng 1, cho duø giöõa bieán X vaø Y coù moái quan heä chính
xaùc.

Baûng 2.7 Ví Duï Cho Thaáy Ñoàng Phöông Sai Baèng Khoâng Khoâng Nhaát Thieát Phaûi Laø
Ñoäc Laäp

Y 6 8 10 FX(x)
X
1 0,2 0 0,2 0,4
2 0 0,2 0 0,2
3 0,2 0 0,2 0,4
FY(y) 0,4 0,2 0,4 1

Tính chaát 2.8 lieät keâ moät soá tính chaát lieân quan ñeán hai bieán ngaãu nhieân.

Tính chaát 2.8
a. Neáu a vaø b laø haèng soá thì Var(aX + bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X,Y). Moät
tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa tính chaát naøy laø Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,
Y). Töông töï, Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) – 2Cov(X, Y).
b. Heä soá töông quan ρxy naèm trong khoaûng – 1 ñeán + 1.



c. Neáu X vaø Y laø hai bieán ñoäc laäp thì σxy = Cov(X, Y) = 0; coù nghóa laø, X vaø Y khoâng
töông quan nhau. Trong tröôøng hôïp naøy, keát hôïp (a) vaø heä quaû ruùt ra töø tính chaát naøy,
ta coù Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) vaø Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y).
d. Giaù trò ρxy seõ baèng 1 khi vaø chæ khi toàn taïi moái quan heä tuyeán tính chính xaùc giöõa X
vaø Y theo bieåu thöùc Y – µy = β( X – µx).
e. Giaù trò töông quan giöõa bieán X vaø chính noù baèng 1.
f. Neáu U = a0 + a1X, V = b0 + b1Y, vaø a1b1 > 0 thì ρuv = ρxy; nghóa laø heä soá töông quan seõ
thay ñoåi trong tröôøng hôïp ñôn vò ño ñöôïc ñieàu chænh theo tyû leä. Neáu a1b1 < 0 thì ρuv =
– ρxy. Tuy nhieân, neáu U = a0 + a1X + a2Y, V = b0 + b1X + b2Y thì ρuv ≠ ρxy. Ñieàu naøy
coù nghóa laø giaù trò töông quan khoâng thay ñoåi trong tröôøng hôïp coù söï bieán ñoåi tuyeán
tính toång quaùt (ai vaø bi ñöôïc giaû thieát coù giaù trò khaùc zero).
g. Neáu giaù trò a1, a2, b1 vaø b2 laø coá ñònh thì Cov(a1X + a2Y, b1X + b2Y) = a1b1Var(X) +
(a1b2 + a2b1)Cov(X, Y) + a2b2Var(Y).

Phaân Phoái Nhieàu Bieán *

Trong phaàn naøy, caùc khaùi nieäm vöøa trình baøy ôû treân seõ ñöôïc môû roäng cho tröôøng hôïp coù
nhieàu hôn hai bieán ngaãu nhieân. Goïi x1, x2, …, xn töông öùng vôùi n soá bieán ngaãu nhieân. Vaø
haøm maät ñoä xaùc suaát keát hôïp cuûa chuùng laø fX(x1, x2, …, xn). Töông töï nhö tröôùc ñaây,
chuùng laø ñoäc laäp neáu haøm maät ñoä xaùc suaát PDF chung laø tích cuûa moãi PDF rieâng leû. Vì
vaäy, chuùng ta coù

fX(x1, x2, …, xn) = fX1(x1) . fX2(x2) . . . fXn(xn)

Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät khi moãi giaù trò x ñöôïc phaân phoái gioáng nhau vaø ñoäc laäp laãn
nhau (ñöôïc kyù hieäu laø iid – independently and idetically distributed), chuùng ta coù

fX(x1, x2, …, xn) = fX (x1) . fX (x2) . . . fX (xn)

Trong ñoù fX(x) laø haøm phaân phoái chung cuûa moãi giaù trò x. Moät soá keát quaû ñaùng quan taâm
veà phaân phoái ña bieán ñöôïc trình baøy trong tính chaát 2.9.

Tính chaát 2.9
a. Neáu a1, a2, …, an laø haèng soá hoaëc khoâng ngaãu nhieân thì E[a1x1 + a2x2 + . . . + anxn] =
a1E(x1) + a2E(x2) + . . . + anE(xn). Vì vaäy, giaù trò kyø voïng cuûa moät toå hôïp tuyeán tính
caùc soá haïng baèng toå hôïp tuyeán tính cuûa moãi giaù trò kyø voïng rieâng leû. Trong kyù hieäu
pheùp laáy toång, ta coù E[Σ(aixi)] = ΣE(aixi) = ΣaiE(xi).
b. Neáu moãi xi ñeàu coù giaù trò trung bình baèng nhau thì E(xi) = µ, chuùng ta coù E(Σai xi) =
µΣai. Ñaëc bieät, neáu taát caû heä soá ai ñeàu baèng nhau vaø baèng 1/n thì chuùng ta seõ coù



E(Σxi/n) = E( x ) = µ. Vì vaäy, giaù trò kyø voïng cuûa giaù trò trung bình cuûa caùc bieán ngaãu
nhieân coù phaân phoái gioáng nhau seõ baèng giaù trò trung bình chung cuûa chuùng.
c. Var[Σ(aixi)] = Σi a 2 Var(xi) + ∑∑ a i a j Cov(xi, xj), trong ñoù caùc heä soá ai ñöôïc giaû
i
i≠ j

thieát laø haèng soá hoaëc khoâng ngaãu nhieân.
d. Neáu taát caû caùc bieán x1, x2, . . ., xn ñeàu ñoäc laäp thì moãi caëp töông quan (ρij) vaø ñoàng
phöông sai seõ baèng zero hay Cov(xi, xj) = 0 = ρij vôùi moïi i ≠ j.
e. Töø (c) vaø (d) ta coù theå ruùt ra keát luaän raèng khi bieán x ñoäc laäp thì Var[Σ(aixi)] =
Σ a 2 Var(xi), vì soá haïng ñoàng phöông sai seõ khoâng toàn taïi nöõa. Do ñoù, phöông sai
i

cuûa toång caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp seõ baèng toång caùc phöông sai. Ñaëc bieät, neáu taát
caû caùc giaù trò phöông sai ñeàu baèng nhau, nghóa laø Var(xi) = σ2 vôùi moãi i, thì
Var[Σ(aixi)] = σ2Σ a 2 . i

f. Neáu taát caû caùc x1, x2, . . ., xn ñeàu laø bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp nghóa laø taäp bieán xi coù
phaân phoái chuaån vôùi giaù trò trung bình µi vaø phöông sai σ 2 hay ñöôïc theå hieän baèng
i

kyù hieäu xi ∼ N(µi, σ i ) thì toå hôïp tuyeán tính cuûa taäp bieán x cho tröôùc coù daïng a1 x1 +
2

a2 x2 + . . . + an xn cuõng seõ coù daïng phaân phoái chuaån vôùi giaù trò trung bình laø a1 µ1 +
a2 µ2 + . . . + an µn vaø giaù trò phöông sai laø a 1 σ 1 + a 2 σ 2 + . . . + a 2 σ 2 . Trong kyù hieäu
2 2
2 2 n n

pheùp laáy toång, chuùng ta coù theå vieát nhö sau U = Σ( ai xi) ∼ N[(Σai µi), (Σ a 2 σ 2 )].
i i

g. Neáu taát caû caùc x1, x2, . . ., xn ñeàu ñoäc laäp vaø coù phaân phoái gioáng nhau (iid) tuaân theo
phaân phoái chuaån N(µ, σ2) thì giaù trò trung bình cuûa chuùng laø x = (1/n)Σxi seõ coù daïng
phaân phoái chuaån vôùi giaù trò trung bình baèng µ vaø phöông sai baèng σ2/n, nghóa laø x ∼
N(µ, σ2/n). Töông töï, chuùng ta coù z = n ( x − µ) / σ ∼ N(0, 1).

2.4 Laáy Maãu Ngaãu Nhieân vaø Caùc Phaân Phoái Laáy Maãu

Moät kieåm ñònh baèng thoáng keâ coù theå phaùt sinh theâm ngoaøi nhu caàu giaûi quyeát moät baøi
toaùn cuï theå naøo ñoù. Noù coù theå laø moät söï coá gaéng nhaèm giaûi thích moät caùch hôïp lyù haønh vi
trong quaù khöù cuûa moät taùc nhaân naøo ñoù hay döï baùo caùc haønh vi trong töông lai cuûa
chuùng. Trong vieäc ñònh daïng vaán ñeà, ñieàu quan troïng laø phaûi xaùc ñònh ñöôïc moät khoâng
gian thoáng keâ hôïp lyù, hay toång theå maø bao goàm toång taát caû caùc phaàn töû coù lieân quan ñeán
thoâng tin yeâu caàu. Thuaät ngöõ toång theå ñöôïc duøng theo moät nghóa toång quaùt vaø khoâng chæ
giôùi haïn khi ñeà caäp ñeán caùc sinh vaät maø thoâi. Taát caû caùc haït gioáng trong thuøng löu tröõ,
moïi coâng ty trong thaønh phoá, vaø taát caû caùc boàn söõa ñöôïc saûn xuaát bôûi traïi boø söõa cuõng
ñöôïc goïi laø toång theå.
Moät nhaø phaân tích seõ quan taâm nhieàu ñeán nhöõng keát luaän ruùt ra veà nhöõng tính chaát
cuûa toång theå. Ñieàu hieån nhieân laø chi phí seõ raát cao neáu nghieân cöùu töøng phaàn töû cuûa taäp
chính ñeå ñöa ra caùc keát luaän. Do ñoù maø nhaø phaân tích seõ choïn ra moät maãu goàm moät soá
phaàn töû, tieán haønh quan saùt chuùng, vaø söû duïng nhöõng quan saùt naøy ñeå ruùt caùc keát luaän veà
ñaëc ñieåm cuûa toång theå maø maãu phaàn töû laøm ñaïi dieän. Quaù trình naøy ñöôïc goïi laø laáy maãu.



Coù theå coù raát nhieàu caùch laáy maãu: laáy maãu ngaãu nhieân, laáy maãu phaùn ñoaùn, laáy maãu
choïn loïc, laáy maãu coù hoaëc khoâng coù hoaøn traû phaàn töû trôû laïi toång theå, laáy maãu phaân taàng,
v.v. Trong taøi lieäu naøy, chuùng toâi chæ ñeà caäp ñeán laáy maãu ngaãu nhieân, laø caùch laáy maãu
thöôøng duøng nhaát.

ÑÒNH NGHÓA 2.6 (Laáy maãu ngaãu nhieân)

Moät maãu ngaãu nhieân ñôn giaûn cuûa n yeáu toá laø moät maãu coù tính chaát raèng moïi toå hôïp cuûa
n yeáu toá ñeàu coù moät cô hoäi laø maãu ñöôïc choïn baèng nhau. Moät maãu ngaãu nhieân cuûa caùc
quan saùt ñoái vôùi moät bieán ngaãu nhieân X laø moät taäp hôïp cuûa caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp,
ñöôïc phaân phoái gioáng nhau (iid) X1, X2, . . . , Xn, moãi bieán coù cuøng phaân phoái xaùc suaát
nhö phaân phoái cuûa X.
Caùc Phaân Phoái Maãu
Moät haøm cuûa caùc giaù trò quan saùt cuûa caùc bieán ngaãu nhieân khoâng chöùa baát kyø thoâng soá
chöa bieát naøo ñöôïc goïi laø moät trò thoáng keâ maãu. Hai trò thoáng keâ maãu ñöôïc söû duïng moät
_
caùch thöôøng xuyeân nhaát laø trung bình maãu (kyù hieäu laø x) vaø phöông sai maãu (kyù hieäu laø
s2):
_ 1
Trung bình maãu: x = (x1 + x2 + . . . + xn)/n = ∑xI (2.8)
n

1 _ 1 _
Phöông sai maãu: s2 = (x1 – x)2 + (x2 – x)2 (2.9)
(n − 1) (n − 1)
1 _
+...+ (xn – x)2
(n − 1)
1 _
=
(n − 1)
∑ (xi - x)2
Lyù do phaûi chia cho n – 1 chöù khoâng phaûi laø n ñöôïc giaûi thích trong Phaàn 2.7. Caên baäc
hai cuûa phöông sai maãu (s) ñöôïc goïi laø ñoä leäch chuaån maãu hay sai soá chuaån. Söï khaùc
bieät giöõa moät trò thoáng keâ maãu vaø moät thoâng soá toång theå phaûi ñöôïc hieåu moät caùch roõ
raøng. Giaû söû bieán ngaãu nhieân X coù giaù trò kyø voïng µ vaø phöông sai σ2. Ñaây laø nhöõng
thoâng soá toång theå coù giaù trò coá ñònh vaø khoâng ngaãu nhieân. Tuy nhieân ngöôïc laïi trung bình
_
maãu x vaø phöông sai maãu s2 laø caùc bieán ngaãu nhieân. Ñieàu naøy laø do nhöõng thöû nghieäm
khaùc nhau cuûa moät thí nghieäm cho caùc giaù trò trung bình maãu vaø phöông sai khaùc nhau.
Bôûi vì caùc trò thoáng keâ naøy laø caùc bieán ngaãu nhieân, noù coù yù nghóa khi noùi veà caùc phaân
phoái cuûa chuùng. Neáu chuùng ta ruùt ra moät maãu ngaãu nhieân coù côõ maãu laø n vaø tính trung
_
bình maãu x, chuùng ta thu ñöôïc moät giaù trò nhaát ñònh. Laëp laïi thí nghieäm naøy nhieàu laàn,
moãi laàn ruùt ra moät maãu ngaãu nhieân coù cuøng côõ maãu n. Chuùng ta seõ coù ñöôïc nhieàu giaù trò
cuûa trung bình maãu. Chuùng ta khi ñoù coù theå tính tyû soá nhöõng laàn maø caùc giaù trò trung bình



naøy rôi vaøo moät khoaûng xaùc ñònh. Tyû soá naøy cho chuùng ta xaùc suaát maø taïi ñoù trung bình
maãu seõ naèm trong khoaûng xaùc ñònh ñoù (xem khaùi nieäm taàn suaát trong xaùc suaát ñaõ ñöôïc
giôùi thieäu trong Phaàn 2.1 vaø trong Ví duï 2.1). Baèng caùch thay ñoåi khoaûng naøy, chuùng ta
coù theå ñaït ñöôïc toaøn boä khoaûng xaùc suaát, töø ñoù phaùt ra moät phaân phoái xaùc suaát. Phaân
phoái naøy ñöôïc goïi laø phaân phoái cuûa trung bình maãu. Vôùi moät caùch töông töï, chuùng ta coù
theå tính phöông sai maãu cho moãi laàn laëp laïi thöû nghieäm ñoù vaø söû duïng caùc giaù trò khaùc
nhau coù ñöôïc töø caùch naøy ñeå ñaït ñöôïc phaân phoái cuûa phöông sai maãu. Bôûi vì trung bình
vaø phöông sai maãu naøy laø daønh cho moät maãu coù kích côõ xaùc ñònh laø n, chuùng ta seõ kyø
voïng caùc phaân phoái maãu phuï thuoäc vaøo n cuõng nhö vaøo nhöõng thoâng soá cuûa phaân phoái
toång theå maø maãu ñaõ ñöôïc ruùt ra töø ñoù.

Laáy Maãu töø moät Phaân phoái Chuaån
Caùc phaân phoái maãu cuûa trung bình vaø phöông sai maãu laø moái quan taâm ñaùng keå trong
kinh teá löôïng vaø thoáng keâ, ñaëc bieät laø khi toång theå maø caùc quan saùt ñöôïc ruùt ra töø ñoù coù
phaân phoái chuaån. Cho X laø moät bieán ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình µ vaø
phöông sai σ2. Vì vaäy, X ∼ N(µ,σ2). Haõy ruùt ra moät maãu ngaãu nhieân coù côõ n töø toång theå,
_
ño löôøng bieán ngaãu nhieân, vaø thu ñöôïc caùc quan saùt x1, x2, . . . , xn. Phaân phoái maãu cuûa x
vaø s2? Chuùng ta löu yù raèng trung bình maãu laø moät söï keát hôïp tuyeán tính cuûa n bieán ngaãu
nhieân. töø Tính chaát 2.9g, chuùng ta thaáy raèng söï keát hôïp tuyeán tính naøy cuõng coù moät phaân
_ _
phoái chuaån. Cuï theå laø x cuõng coù trung bình µ vaø Var(x) = σ2 / n. Do ñoù chuùng ta coù tính
chaát sau.

Tính chaát 2.10
a. Neáu moät maãu ngaãu nhieân x1, x2, . . . , xn ñöôïc ruùt ra töø moät toång theå chuaån vôùi trung
_
bình µ vaø phöông sai σ2, trung bình maãu x ñöôïc phaân phoái chuaån vôùi trung bình µ vaø
_
phöông sai σ2/n. Vì vaäy, x ∼ N (µ,σ2/n). Chuùng ta chuù yù töø ñieåm naøy phaân phoái cuûa
trung bình maãu coù moät söï phaân taùn nhoû hôn chung quanh trung bình, vaø côõ maãu caøng
lôùn thì phöông sai caøng nhoû.
_ _
b. Phaân phoái cuûa Z = (x − µ) / (σ / √n ) = √n (x − µ) / σ laø N (0,1).

Caùc coâng thöùc cuûa phaân phoái cuûa phöông sai maãu ñöôïc xaùc ñònh trong Phöông trình
(2.9) seõ ñöôïc baøn tieáp ôû Phaàn 2.7.

Caùc phaân phoái Maãu Lôùn
Khi côõ maãu lôùn, chuùng ta coù theå thu ñöôïc töø moät soá tính chaát khaù höõu ích trong thöïc teá.
Hai trong soá naøy laø luaät soá lôùn vaø lyù thuyeát giôùi haïn trung taâm ñöôïc phaùt bieåu ôû Tính
chaát 2.11.



Tính chaát 2.11
_
a. Luaät soá lôùn: Goïi Z laø trung bình cuûa moät maãu ngaãu nhieân caùc giaù trò Z1, Z2, . . . ,
_
Zn , ñöôïc phaân phoái moät caùch ñoäc laäp vaø gioáng nhau. Khi ñoù Z hoäi tu veà E(Z). Noùi
ngaén goïn laø khi n taêng, trung bình maãu cuûa moät taäp hôïp caùc bieán ngaãu nhieân tieán tôùi
_ _
giaù trò kyû voïng cuûa noù. Moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa söï gia taêng naøy xaûy ra khi Z = x
_ _
, trung bình maãu. Bôûi vì E(x) = µ, trung bình cuûa toång theå, x hoäi tuï veà µ. Töông töï s2
_
= [∑(xi – x)2] / (n –1) hoäi tuï veà σ2 khi n tieán tôùi voâ cöïc.
b. Lyù thuyeát giôùi haïn trung taâm: Goïi x1, x2, . . . , xn laø maãu ngaãu nhieân cuûa caùc quan
saùt töø cuøng moät phaân phoái vaø goïi E(xi) = µ vaø Var(xi) = σ2. Khi ñoù phaân phoái maãu
_
cuûa bieán ngaãu nhieân Zn = √n (x − µ) / σ hoäi tuï veà phaân phoái chuaån chuaån hoùa N
(0,1) khi n hoäi tuï veà voâ cöïc.
Lyù thuyeát giôùi haïn trung taâm raát coù hieäu löïc bôûi vì noù vaãn ñuùng ngay caû khi phaân phoái
xuaát phaùt cuûa caùc quan saùt laø khoâng chuaån. Ñieàu naøy coù nghóa laø neáu chuùng ta chaéc chaén
raèng côõ maãu laø lôùn, thì chuùng ta coù theå söû duïng bieán ngaãu nhieân Zn ñöôïc xaùc ñònh ôû treân
ñeå traû lôøi caùc caâu hoûi veà toång theå cuûa caùc quan saùt maø chuùng ta ruùt ra ñöôïc, vaø chuùng ta
khoâng caàn bieát phaân phoái chính xaùc cuûa toång theå maø töø ñoù caùc quan saùt ñöôïc ruùt ra.

2.5 Caùc thuû tuïc Öôùc löôïng Caùc Thoâng soá
Cho ñeán ñaây chuùng ta ñaõ coù thaûo luaän caùc chuû ñeà cuï theå veà xaùc suaát vaø thoáng keâ ñeå töï
chuaån bò cho hai muïc tieâu cô baûn cuûa baát kyø moät nghieân cöùu thöïc nghieäm naøo: vieäc öôùc
löôïng caùc thoâng soá chöa bieát vaø vieäc kieåm ñònh caùc giaû thuyeát. Trong phaàn naøy chuùng ta
seõ thaûo luaän vaán ñeà cuûa vieäc öôùc löôïng. Kieåm ñònh giaû thuyeát seõ ñöôïc ñeà caäp ôû Phaàn 2.8.
Trong moät khaûo saùt thöïc nghieäm, nhaø phaân tích thöôøng vaãn bieát, hoaëc coù theå öôùc
ñoaùn ñöôïc daïng toång quaùt cuûa caùc phaân phoái xaùc suaát cuûa caùc bieán ngaãu nhieân ñöôïc quan
taâm. Tuy nhieân, caùc giaù trò cuï theå cuûa caùc thoâng soá toång theå cuûa caùc phaân phoái laø chöa
bieát. Nhö ñaõ coù ñeà caäp tröôùc ñaây, moät ñieàu tra toaøn dieän veà toång theå laø vöôït ngoaøi phaïm
vi caâu hoûi vì chi phí cho vieäc naøy quaù lôùn. Do ñoù, nhaø khaûo saùt chæ ñaït ñeán moät maãu quan
saùt ñoái vôùi caùc bieán ñöôïc quan taâm vaø söû duïng chuùng ñeå ruùt ra nhöõng suy luaän veà phaân
phoái xaùc suaát ñaèng sau ñoù.
Nhö laø moät minh hoïa, giaû söû chuùng ta bieát raèng chieàu cao cuûa moät ngöôøi coù phaân phoái
gaàn nhö chuaån nhöng chuùng ta khoâng bieát trò trung bình, µ, cuûa phaân phoái, hay phöông
sai cuûa noù, σ2. Vaán ñeà cuûa vieäc öôùc löôïng ñôn giaûn chæ laø moät caùch löïa choïn moät maãu
caùc ñoái töôïng, ño ñaïc chieàu cao töøng ngöôøi moät, vaø sau ñoù duøng caùc phöông phaùp ñònh
löôïng ñeå thu ñöôïc caùc öôùc löôïng cuûa µ vaø σ2. Thuaät ngöõ öôùc löôïng ñöôïc duøng ñeå chæ
coâng thöùc cho chuùng ta giaù trò baèng soá cuûa caùc thoâng soá ñöôïc quan taâm. Moãi giaù trò baèng
soá chính laø moät giaù trò öôùc löôïng.



Trong phaàn naøy chuùng ta trình baøy hai thuû tuïc coù theå thay theá nhau ñeå öôùc löôïng
caùc thoâng soá chöa bieát cuûa phaân phoái xaùc suaát maø caùc quan saùt x1, x2, . . . , xn ñöôïc ruùt ra
töø ñoù. trong Phuï luïc, Phaàn 2.A.3, ta moâ taû theâm moät phöông phaùp naâng cao. trong phaàn
thaûo luaän tieáp theo, chuùng ta seõ giaû söû raèng nhaø khaûo saùt bieát ñöôïc baûn chaát cuûa phaân
phoái xaùc suaát nhöng chöa bieát caùc giaù trò cuûa caùc thoâng soá.

Phöông phaùp Momen
Phöông phaùp laâu ñôøi nhaát ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá laø phöông phaùp momen. Neáu moät
phaân phoái coù k thoâng soá chöa bieát, thuû tuïc nhaèm tính toaùn heä soá caùc momen maãu k baäc
nhaát cuûa phaân phoái vaø söû duïng chuùng nhö laø caùc öôùc löôïng cuûa caùc momen toång theå
töông öùng. Trong Phaàn 2.2, chuùng toâi ñaõ coù löu yù raèng trung bình toång theå cuûa phaân
phoái (µ) cuõng ñöôïc ñeà caäp ñeán nhö laø momen baäc nhaát cuûa phaân phoái xung quanh giaù trò
goác. Ñoù laø giaù trò trung bình coù troïng soá cuûa taát caû caùc x coù theå coù, caùc troïng soá laø caùc xaùc
_
suaát töông öùng. Trung bình maãu (x) laø trò trung bình soá hoïc cuûa caùc quan saùt maãu x1, x2, .
_
. . , xn . Baèng phöông phaùp caùc momen, x ñöôïc tính nhö laø moät öôùc löôïng cuûa µ. Phöông
sai cuûa moät bieán ngaãu nhieân laø σ2 = E [(X – µ)2] vaø ñöôïc bieát nhö laø momen baäc hai xung
quanh giaù trò trung bình. Phöông sai maãu (s2), ñöôïc ñònh nghóa trong Phöông trình (2.9),
ñöôïc söû duïng nhö laø moät öôùc löôïng cuûa phöông sai toång theå cuûa phaân phoái. Trong nhieàu
tröôøng hôïp (ví duï nhö, phaân phoái chuaån), trung bình vaø phöông sai ñaëc tröng hoaøn toaøn
cho moät phaân phoái, vaø do ñoù khoâng coù nhu caàu phaûi söû duïng caùc momen baäc cao hôn nhö
laø giaù trò kyø voïng cuûa (X – µ)3. Chuùng ta seõ thaáy trong Phaàn 2.6 raèng trung bình maãu coù
moät soá tính chaát mong muoán.
Cuøng vôùi nguyeân lyù naøy coù theå ñöôïc aùp duïng ñeå öôùc löôïng heä soá cuûa söï töông quan
giöõa hai bieán ngaãu nhieân X vaø Y (xem Ñònh nghóa 2.5). Goïi x1, x2, . . . , xn vaø y1, y2, . . . ,
yn laø caùc maãu quan saùt ngaãu nhieân ñoäc laäp (vôùi côõ maãu n) töông öùng vôùi X vaø Y. Phöông
sai toång theå giöõa chuùng ñöôïc cho trong Ñònh nghóa 2.4 laø E [(X – µx) (Y – µy)], trong ñoù
µx vaø µy laø caùc trung bình toång theå töông öùng cuûa X vaø Y. Moät trò öôùc löôïng cuûa thoâng soá
naøy ñöôïc cho bôûi phöông sai maãu

1
Sxy = Cov(X, Y) =
n–1
∑ (x – x) (y – y)
_
i
_
i (2.10)

Neáu caùc caëp giaù trò cuûa xi vaø yi ñöôïc veõ ra ñoà thò, chuùng ta coù ñöôïc moät ñoà thò nhö
Hình 2.7, trong ñoù X vaø Y coù töông quan thuaän vôùi nhau (nghóa laø, X vaø Y noùi chung laø
cuøng dòch chuyeån theo cuøng moät höôùng). Chuùng ta ñaõ coù ñeà caäp raèng moät ñoà thò ñieåm
nhö vaäy ñöôïc goïi laø bieåu ñoà phaân taùn. Hình 2.6 cuõng töông töï nhö vaäy ngoaïi tröø vieäc
trung bình veõ nhöõng ñieåm ñeà caäp ñeán toång theå, trong khi ôû ñaây noù laïi ñeà caäp ñeán maãu.



_ _
Baèng caùch chuyeån ñoåi caùc truïc thaønh caùc ñöôøng neùt ñöùt xuaát phaùt töø ñieåm (x,y), chuùng ta
_ _ _ _
coù theå thaáy raèng (xi – x) vaø (yi – y) laø nhöõng khoaûng caùch töø ñieåm trung bình (x,y).
Hình 2.7 Moät Bieåu ñoà Phaân taùn ñoái vôùi Töông quan Thuaän

Y

1
2

_
y

4
3

_
X
0 x
Hình 2.8 Moät Bieåu ñoà Phaân taùn ñoái vôùi Moái quan heä xaáp xæ baäc hai

Y

1
2

_
y

3 4

_
X
0 x


Rama Ch2

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (18)

Destacado

Destacado (18)

Similar a Rama Ch2

Similar a Rama Ch2 (18)

Más de Vince Vo

Más de Vince Vo (12)

Último

Último (20)

Rama Ch2