Rama Ch4

Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright Phöông phaùp phaân tích Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng
Nieân khoùa 2003-2004 Baøi ñoïc Chöông 4: Moâ hình hoài quy boäi

CHÖÔNG 4

Moâ Hình Hoài Qui Boäi
Trong Chöông 3 chuùng ta giôùi haïn trong tröôøng hôïp ñôn giaûn cuûa moâ hình hoài qui hai bieán.
Baây giôø, chuùng ta seõ xem xeùt hoài qui boäi, nghóa laø lieân heä bieán phuï thuoäc Y cho tröôùc vôùi
nhieàu bieán ñoäc laäp X1, X2, ..., Xk. Moâ hình hoài qui tuyeán tính ña bieán coù coâng thöùc toång quaùt
nhö sau:

Yt = β1 + β2Xt2 + ... + βkXtk + ut (4.1)

Xt1 ñöôïc ñaët baèng 1 ñeå coù ñöôïc “tung ñoä goác”. Chöõ t nhoû bieåu thò soá laàn quan saùt vaø
coù giaù trò töø 1 ñeán n. Caùc giaû thieát veà soá haïng nhieãu, ut, hoaøn toaøn gioáng nhöõng giaû thieát ñaõ
xaùc ñònh trong Chöông 3. Trong caùc ñaëc tröng toång quaùt cuûa moät moâ hình hoài qui boäi, Vieäc
löïa choïn caùc bieán ñoäc laäp vaø bieán phuï thuoäc xuaát phaùt töø caùc lyù thuyeát kinh teá, tröïc giaùc, vaø
kinh nghieäm quaù khöù. Trong ví duï veà ngaønh baát ñoäng saûn ôû Chöông 3, bieán phuï thuoäc laø giaù
cuûa caên nhaø moät hoä gia ñình. Chuùng ta ñaõ ñeà caäp ôû ñoù laø chæ soá giaù - höôûng thuï phuï thuoäc
vaøo ñaëc ñieåm cuûa caên nhaø. Baûng 4.1 trình baøy döõ lieäu boå sung cho 14 caên nhaø maãu ñaõ baùn.
Löu yù raèng, döõ lieäu cho X1 chæ ñôn giaûn laø moät coät goàm caùc soá 1 vaø töông öùng vôùi soá haïng
khoâng ñoåi. Tính caû soá haïng khoâng ñoåi, coù taát caû laø k bieán ñoäc laäp vaø vì vaäy coù k heä soá tuyeán
tính chöa bieát caàn öôùc löôïng.
Moâ hình tuyeán tính boäi trong ví duï naøy nhö sau:

PRICE = β1 + β2SQFT + β3BEDRMS + β4BATHS + u (4.2)

Cuõng nhö tröôùc, giaù ñöôïc tính baèng ñôn vò ngaøn ñoâ la. Ngoaøi dieän tích söû duïng, giaù coøn lieân
heä vôùi soá phoøng nguû cuõng nhö soá phoøng taém.
AÛnh höôûng cuûa thay ñoåi trong Yt khi chæ coù Xti thay ñoåi ñöôïc xaùc ñònh bôûi ∆ Yt
/∆Xti = βi. Vì vaäy, yù nghóa cuûa heä soá hoài qui βi laø, giöõ giaù trò cuûa taát caû caùc bieán khaùc khoâng
ñoåi, neáu Xti thay ñoåi moät ñôn vò thì Yt kyø voïng thay ñoåi, trung bình laø, βi ñôn vò. Do ñoù, β4
trong phöông trình (4.2) ñöôïc dieãn giaûi nhö sau: Giöõa hai caên nhaø coù cuøng dieän tích söû duïng
(SQFT) vaø soá phoøng nguû (BEDRMS), caên nhaø naøo coù theâm moät phoøng taém ñöôïc kyø voïng seõ
baùn vôùi giaù cao hôn, trung bình, khoaûng β4 ngaøn ñoâ la. Vì vaäy, phaân tích hoài qui boäi giuùp
chuùng ta kieåm soaùt ñöôïc moät taäp hôïp con caùc bieán giaûi thích vaø kieåm tra aûnh höôûng cuûa moät
bieán ñoäc laäp ñaõ choïn.

Ramu Ramanathan 1 Thuïc Ñoan/Haøo Thi


Baûng 4.1 Döõ lieäu veà nhaø moät hoä gia ñình (giaù tính baèng ngaøn ñoâ la)

Giaù Haèng soá SQFT BEDRMS BATHS
t (Y) (X1) (X2) (X3) (X4)
1 199,9 1 1.065 3 1,75
2 228 1 1.254 3 2
3 235 1 1.300 3 2
4 285 1 1.577 4 2,5
5 239 1 1.600 3 2
6 293 1 1.750 4 2
7 285 1 1.800 4 2,75
8 365 1 1.870 4 2
9 295 1 1.935 4 2,5
10 290 1 1.948 4 2
11 385 1 2.254 4 3
12 505 1 2.600 3 2,5
13 425 1 2.800 4 3
14 415 1 3.000 4 3

4.1 Phöông trình chuaån

Trong tröôøng hôïp moâ hình hoài qui boäi, Giaû thieát 3.4 ñöôïc hieäu chænh nhö sau: Moãi X cho
tröôùc sao cho Cov(Xsi, ut) = E(Xsi ut) = 0 vôùi moãi i töø 1 ñeán k vaø moãi s, t töø 1 ñeán n. Vì vaäy,
moãi bieán ñoäc laäp ñöôïc giaû ñònh laø khoâng lieân heä vôùi taát caû caùc soá haïng sai soá. Trong tröôøng
hôïp cuûa thuû tuïc bình phöông toái thieåu thoâng thöôøng (OLS), chuùng ta ñònh nghóa toång cuûa
bình phöông sai soá laø

n ^ ^ n ^
^
ESS = t Σ 1 ut2 = t Σ 1 (Yt - β1 - β2Xt2 - ... - βkXtk)2
= =

^ ^ ^
Thuû tuïc OLS cöïc tieåu ESS theo β1, β2 ..., βk. Baèng caùch thöïc hieän nhö trong Phaàn 3.A.3,
chuùng ta coù theå coù ñöôïc caùc phöông trình chuaån, soá phöông trình chuaån baèng soá heä soá tuyeán
tính öôùc löôïng. Do ñoù chuùng ta coù k phöông trình trong ñoù k heä soá hoài qui chöa bieát (caùc
toång ñöôïc tính theo chæ soá t – nghóa laø soá laàn quan saùt):
^ ^ ^
ΣYt = nβ1 + β2Σ Xt2 + ... + βkΣ Xtk
^ ^ ^
ΣYtXt2 = β1ΣXt2 + β2Σ X2t2 + ... + βkΣ XtkXt2
...............................................................................................................

^ ^ ^
ΣYtXti = β1ΣXti + β2Σ Xt2Xti + ... + βkΣ XtkXti



^ ^ ^
ΣYtXtk = β1ΣXtk + β2Σ Xt2Xtk + ... + βkΣ X2tk
k phöông trình chuaån treân coù theå giaûi ñöôïc caùc nghieäm ñôn β (chæ tröø moät vaøi tröôøng
hôïp ngoaïi leä trình baøy trong Chöông 5). Caùc chöông trình maùy tính chuaån thöïc hieän ñöôïc
moïi tính toaùn naøy khi nhaäp döõ lieäu vaøo vaø xaùc ñònh caùc bieán ñoäc laäp, bieán phuï thuoäc. Phuï
luïc 4.A.1 moâ taû caùc böôùc ñoái vôùi moâ hình ba bieán trong ñoù Y hoài qui theo moät soá haïng
khoâng ñoåi, X2 vaø X3.
Caùc tính chaát 3.1 ñeán 3.3 cuõng ñuùng trong tröôøng hôïp hoài qui tuyeán tính boäi. Do ñoù,
caùc öôùc löôïng OLS laø BLUE, khoâng thieân leäch, hieäu quaû vaø nhaát quaùn. Phaàn dö vaø caùc giaù
trò döï ñoaùn coù ñöôïc töø caùc lieân heä sau:

^ ^ ^ ^
ut = Yt - β1 - β2Xt2 - ... - βkXtk
^ ^ ^ ^ ^
Yt = β1 + β2Xt2 + ... + βkXtk = Yt - ut

VÍ DUÏ 4.1

Ñoái vôùi moâ hình ñaõ neâu trong Phöông trình (4.2), lieân heä öôùc löôïng laø (xem phaàn Thöïc
haønh maùy tính 4.1)

PRICE = 129,062 + 0,1548SQFT – 21,588BEDRMS – 12,193BATHS

Laäp töùc chuùng ta löu yù laø caùc heä soá hoài qui cuûa BEDRMS vaø BATHS ñeàu aâm, traùi vôùi
chuùng ta mong ñôïi. Chuùng ta coù theå caûm thaáy theo tröïc giaùc laø theâm phoøng taém hoaëc
phoøng nguû seõ taêng giaù trò cuûa caên nhaø. Tuy nhieân, heä soá hoài qui coù yù nghóa ñuùng chæ khi
moïi bieán khaùc ñeàu khoâng thay ñoåi. Do ñoù, neáu chuùng ta taêng soá phoøng nguû leân moät, giöõ
nguyeân SQFT vaø BATHS khoâng ñoåi, giaù trung bình ñöôïc kyø voïng seõ haï xuoáng khoaûng
$21.588. Neáu cuøng moät dieän tích söû duïng ñöôïc chia nhoû ñeå coù theâm moät phoøng nguû thì moãi
phoøng nguû seõ coù dieän tích nhoû hôn. Döõ lieäu cho thaáy laø, trung bình, ngöôøi mua ñaùnh giaù
thaáp vieäc chia nhoû dieän tích naøy vaø vì vaäy hoï seõ chæ saün loøng traû moät möùc giaù thaáp hôn.
Lyù luaän töông töï cho BATHS. Giöõ nguyeân SQFT vaø BEDRMS khoâng ñoåi, neáu ta
taêng theâm moät phoøng taém, giaù trung bình kyø voïng seõ giaûm khoaûng $12.193. Moät laàn nöõa,
taêng theâm phoøng taém nhöng vaãn giöõ nguyeân dieän tích söû duïng cuõng coù nghóa laø phoøng nguû
seõ nhoû hôn. Keát quaû cho thaáy söï khoâng ñoàng yù cuûa khaùch haøng vaø vì vaäy chuùng ta quan saùt
thaáy giaù trung bình giaûm. Töø laäp luaän naøy chuùng ta löu yù laø nhöõng daáu coù veû khoâng nhö
mong ñôïi luùc ñaàu (thöôøng ñöôïc goïi laø “daáu sai”) laïi ñöôïc giaûi thích hôïp lyù.
Giaû söû chuùng ta taêng theâm moät phoøng nguû vaø taêng theâm dieän tích söû duïng khoaûng
300 (cho theâm haønh lang vaø caùc yeáu toá lieân quan khaùc). BEDRMS seõ taêng theâm 1 vaø
SQFT taêng theâm 300. Thay ñoåi giaù trung bình (∆PRICE) laø keát quaû cuûa taùc ñoäng keát hôïp
nhö sau:



^ ^ ^ ^
∆ PRICE = β2 ∆SQFT+ β3∆BEDRMS = 300β2 + β3

Trong moâ hình, phaàn naøy theå hieän moät khoaûng taêng $24.852 trong giaù trung bình
öôùc löôïng [ñöôïc tính nhö sau (300 x 0,1548) – 21,588; ñôn vò ngaøn ñoâ la], möùc giaù naøy coù
veû hôïp lyù.

BAØI TAÄP THÖÏC HAØNH 4.1
Giaû söû taêng theâm moät phoøng taém vaø moät phoøng nguû, vôùi dieän tích söû duïng taêng theâm 350
boä vuoâng. Möùc giaù trung bình kyø voïng taêng theâm bao nhieâu? Giaù trò naøy coù ñaùng tin
khoâng?

Döï baùo giaù trung bình cuûa moät caên nhaø vôùi 4 phoøng nguû, 3 phoøng taém vaø dieän tích söû duïng
laø 2.500 boä vuoâng. Döï baùo coù hôïp lyù so vôùi döõ lieäu trong Baûng 4.1 khoâng?

^
Moät öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa phöông sai phaàn dö σ2 ñöôïc tính baèng s2 = σ2 =
^
Σut2 /(n-k), vôùi n laø soá laàn quan saùt söû duïng trong öôùc löôïng vaø k laø soá heä soá hoài qui öôùc
löôïng, goàm caû soá haïng khoâng ñoåi. Chöùng minh phaùt bieåu naøy veà nguyeân taéc töông töï nhö
ñaõ trình baøy trong phaàn 3.A.7, nhöng phöùc taïp hôn nhieàu vì coù ñeán k phöông trình chuaån ôû
ñaây (xem Johnston, 1984, trang 180-181). Trong Chöông 3 chuùng ta chia toång bình phöông
sai soá cho n – 2 ñeå ñöôïc öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa σ2. ÔÛ ñaây, k phöông trình chuaån
ñaët ra k raøng buoäc, ñieàu naøy daãn ñeán vieäc “maát ñi” k baäc töï do. Vì vaäy, chuùng ta chia cho
^ ^
n – k. Bôûi vì σ2 phaûi khoâng aâm, n phaûi lôùn hôn k. Thuû tuïc ñeå tính sai soá chuaån cuûa caùc β laø
töông töï, nhöng caùc pheùp tính baây giôø seõ nhaøm chaùn hôn nhieàu. Caùc chöông trình maùy tính
cung caáp caùc pheùp toaùn thoáng keâ caàn thieát ñeå öôùc löôïng caùc thoâng soá vaø kieåm ñònh giaû
^
thuyeát veà chuùng. Coù theå thaáy laø Σut2 / σ2 coù phaân phoái Chi bình phöông vôùi baäc töï do n – k
(xem Johnston, 1984, trang 181). Caùc keát quaû naøy ñöôïc toùm taét trong tính chaát 4.1.

Tính Chaát 4.1
a. Moät öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa phöông sai sai soá (σ2) ñöôïc tính baèng

ESS Σut2 ^
^
s2 = σ2 = =
n-k n-k
vôùi ESS laø toång bình phöông cuûa caùc phaàn dö
b. ESS/σ2 coù phaân phoái Chi bình phöông vôùi baäc töï do n – k. Löu yù raèng tính chaát naøy phuï
thuoäc ñaëc bieät vaøo Giaû thieát 3.8 laø soá haïng sai soá ut tuaân theo phaân phoái chuaån N(0,σ2).



Caùc Giaù Trò Döï Baùo Vaø Sai Soá Chuaån

Cuõng nhö trong moâ hình hoài qui ñôn bieán, chuùng ta seõ quan taâm ñeán taïo ra caùc döï baùo coù
ñieàu kieän cuûa bieán phuï thuoäc vôùi caùc giaù trò cho tröôùc cuûa caùc bieán ñoäc laäp. Giaû söû Xfi laø
giaù trò cho tröôùc cuûa bieán ñoäc laäp thöù i vôùi i = 2, ..., k, vaø t = f, vôùi caùc giaù trò naøy chuùng ta
muoán döï baùo Y. Ñònh nghóa

β = β1 + β2Xf2 + … + βkXfk
^ ^
Vaø β = Yf, ñònh nghóa tröôùc ñoù t = f, vaø vì vaäy döï baùo caàn coù laø giaù trò öôùc löôïng cuûa β, vaø
sai soá chuaån töông öùng seõ giuùp chuùng ta xaây döïng moät khoaûng tin caäy cho döï baùo. Giaûi β1
töø phöông trình treân vaø thay vaøo moâ hình ban ñaàu, chuùng ta coù

Yt = β - β2Xf2 - ... - βkXfk + β2Xt2 +...+βkXtk + ut

Nhoùm soá haïng moät caùch thích hôïp, ta coù theå vieát laïi nhö sau:

Yt = β + β2 (Xt2 – Xf2) +... + βk(Xtk – Xfk) + ut
= β + β2Zt2 + ... + βkZtk + ut

vôùi Zti = Xti – Xfi, cho i = 2, ..., k. Vieäc vieát laïi coâng thöùc naøy chæ ra caùc böôùc sau ñeå tieán
haønh döï baùo

Böôùc 1 Vôùi giaù trò Xfi cho tröôùc cuûa bieán ñoäc laäp thöù i vaø t = f , taïo moät bieán môùi Zti = Xti
– Xfi vôùi i = 2, ..., k.
Böôùc 2 Hoài qui Yt theo moät soá haïng vaø caùc bieán môùi Zt2, ..., Ztk.
Böôùc 3 Soá haïng khoâng ñoåi ñöôïc öôùc löôïng laø moät döï baùo ñieåm caàn coù. Khoaûng tin caäy
^ ^
töông öùng (xem phaàn 3.8) ñöôïc tính baèng (β - t*sf, β + t*sf), vôùi t* laø giaù trò tôùi haïn
cuûa phaân phoái t vôùi baäc töï do n – k vaø möùc yù nghóa cho tröôùc, vaø sf laø sai soá chuaån
cuûa soá haïng khoâng ñoåi ñöôïc öôùc löôïng coù ñöôïc töø böôùc 2.

VÍ DUÏ 4.2
Trong ví duï veà baát ñoäng saûn, ñaët SQFT = 2.000, BEDRMS = 4 vaø BATHS = 2,5. Böôùc thöù
nhaát taïo caùc bieán môùi, SQFT2 = SQFT – 2000, BEDRMS2 = BEDRMS – 4 vaø BATHS2 =
BATHS – 2,5. Keá ñeán hoài qui PRICE theo moät soá haïng khoâng ñoåi vaø SQFT2, BEDRMS2
vaø BATHS2. Töø baøi thöïc haønh maùy tính phaàn 4.1 chuùng ta löu yù laø giaù trung bình döï baùo
cuûa caên nhaø naøy laø $321.830 vaø sai soá chuaån cuûa döï baùo laø $13.865. Ñieàu naøy cho khoaûng
tin caäy 95% laø 321.830 ± (2,201 x 13.865) tính ñöôïc khoaûng tin caäy laø (291.313; 352.347).



4.2 Ñoä Thích Hôïp

Khi ñaùnh giaù möùc ñoä thích hôïp, toång bình phöông toaøn phaàn, toång bình phöông hoài qui, vaø
toång bình phöông cuûa sai soá coù cuøng daïng nhö ñaõ trình baøy tröôùc, vaø ôû ñaây cuõng coù TSS =
RSS + ESS (mieãn laø moâ hình coù moät soá haïng khoâng ñoåi). Vì vaäy,
_ _
^ ^
TSS = Σ (Yt - Y)2 RSS = Σ(Yt - Y)2 ESS = Σut2

Möùc ñoä thích hôïp ñöôïc ño nhö tröôùc ñaây baèng R2 = 1 – (ESS/TSS). Neáu coù soá haïng
^
khoâng ñoåi trong moâ hình, R2 cuõng baèng vôùi bình phöông cuûa heä soá töông quan giöõa Yt vaø Yt
. Tuy nhieân, ñònh nghóa R2 theo caùch naøy seõ phaùt sinh moät vaán ñeà. Coù theå thaáy laø vieäc
theâm vaøo baát kyø moät bieán naøo (duø bieán naøy coù yù nghóa hay khoâng) thì R2 cuõng seõ khoâng
bao giôø giaûm. Chöùng minh baèng ñaïi soá phaùt bieåu naøy raát nhaøm chaùn, nhöng chuùng ta coù
theå lyù luaän theo tröïc giaùc. Khi moät bieán môùi ñöôïc theâm vaøo vaø ESS ñöôïc cöïc tieåu, chuùng ta
ñang cöïc tieåu theo moät taäp raát nhieàu bieán soá vaø vì vaäy ESS môùi coù veû seõ nhoû hôn (ít nhaát
thì cuõng khoâng lôùn hôn). Cuï theå hôn, giaû söû soá haïng βk+1Xtk+1 ñöôïc theâm vaøo phöông trình
(4.1) vaø ta coù ñöôïc moät moâ hình môùi. Neáu giaù trò cöïc tieåu cuûa toång bình phöông cuûa moâ
hình môùi naøy lôùn hôn giaù trò cuûa moâ hình cuõ, thì ta ñaët βk+1 baèng khoâng vaø söû duïng caùc öôùc
löôïng cuõ cho caùc giaù trò β khaùc seõ toát hôn, vaø vì vaäy caùc öôùc löôïng môùi khoâng theå coù ESS
cöïc tieåu. Ñieàu naøy keùo theo khi moät bieán môùi ñöôïc theâm vaøo, giaù trò R2 töông öùng khoâng
theå giaûm ñi maø coøn coù theå taêng theâm. Do vaäy, ngöôøi ta thöôøng coá gaéng theâm moät bieán môùi
vaøo chæ ñeå taêng R2 khoâng keå ñeán möùc ñoä quan troïng cuûa bieán ñoù ñoái vôùi vaán ñeà ñang giaûi
quyeát.
Ñeå ngaên chaën tình traïng “coù ñöa theâm bieán vaøo moâ hình” nhö ñaõ neâu treân, moät
pheùp ño khaùc veà möùc ñoä thích hôïp ñöôïc söû duïng thöôøng xuyeân hôn. Pheùp ño naøy goïi laø R2
hieäu chænh hoaëc R2 hieäu chænh theo baäc töï do (chuùng ta thaáy keát quaû naøy trong keát quaû in
ra cuûa maùy tính ôû Chöông 3). Ñeå phaùt trieån pheùp ño naøy, tröôùc heát phaûi nhôù laø R2 ño löôøng
tyû soá giöõa phöông sai cuûa Y “ñöôïc giaûi thích” baèng moâ hình; moät caùch töông ñöông, noù
baèng moät tröø tyû soá “khoâng ñöôïc giaûi thích” do phöông sai cuûa sai soá Var(u). Pheùp ño töï
–
nhieân goïi laø R2 (R-ngang bình phöông), baèng

– Var(u)
R2 = 1 –
Var(Y)

Chuùng ta bieát raèng moät öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa σ2 = Var (u) ñöôïc tính baèng
ESS/(n – k), vaø moät öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa Var (Y) ñöôïc tính baèng TSS/(n – 1).
Thay vaøo phöông trình treân ta coù



− ESS/(n − k) ESS(n − 1)
R2 = 1 − =1−
TSS/(n −1) TSS(n −k)
n−1 ^
σ2 (n − 1)
2
=1− (1 − R ) = 1 −
n −k TSS
2
Vieäc theâm vaøo moät bieán daãn ñeán taêng R nhöng cuõng laøm giaûm ñi moät baäc töï do, bôûi
vì chuùng ta ñang öôùc löôïng theâm moät tham soá nöõa. R2 hieäu chænh laø moät pheùp ño ñoä thích
hôïp toát hôn bôûi vì noù cho pheùp ñaùnh ñoåi giöõa vieäc taêng R2 vaø giaûm baäc töï do. Cuõng caàn löu
−
yù laø vì (n −1) / (n − k) khoâng bao giôø nhoû hôn 1. R2 seõ khoâng bao giôø lôùn hôn R2. Tuy
−
nhieân, maëc duø R2 khoâng theå aâm, R2 coù theå nhoû hôn khoâng. Ví duï, khi n = 26, k = 6, vaø R2 =
− −
0,1, chuùng ta coù R2 = − 0,125. R2 aâm cho thaáy laø moâ hình khoâng moâ taû ñaày ñuû quaù trình
phaùt döõ lieäu.

VÍ DUÏ 4.3

Baûng 4.2 trình baøy caùc heä soá hoài qui öôùc löôïng vaø caùc trò thoáng keâ lieân quan cuûa boán
moâ hình khaùc nhau (Phaàn thöïc haønh maùy tính 4.1 coù höôùng daãn caùc taïo nhöõng soá naøy). Caùc
döõ lieäu thaáp hôn baäc töï do (d.f.) ñöôïc thaûo luaän trong phaàn tieáp theo. Moâ hình A gioáng nhö
moâ hình ñaõ ñöôïc trình baøy trong Chöông 3. Trong moâ hình B, BEDRMS ñöôïc theâm vaøo vaø
trong moâ hình C caû BEDRMS vaø BATHS ñeàu ñöôïc theâm vaøo. Moâ hình D khoâng coù caùc
bieán giaûi thích, chæ coù soá haïng khoâng thay ñoåi. Noù seõ ñöôïc söû duïng trong phaàn 4.4. Roõ
raøng töø Baûng 4.2, khi caøng nhieàu bieán ñöôïc theâm vaøo, toång bình phöông phaàn dö giaûm vaø
−
R2 taêng. Tuy nhieân, R2 laïi giaûm khi theâm caùc bieán. Ñieàu naøy coù nghóa laø lôïi ích trong vieäc
R2 taêng ít hôn so vôùi maát maùt do giaûm baäc töï do, daãn ñeán maát maùt roøng trong “möùc ñoä thích
hôïp”. Moâ hình D coù moät giaù trò R2 baèng khoâng vì caùc giaù trò ESS vaø TSS cuûa noù laø nhö
nhau. Ñieàu naøy khoâng laï gì bôûi vì khoâng coù phaàn naøo trong moâ hình giaûi thích thay ñoåi veà
PRICE. Noù ñöôïc ñeà caäp ôû ñaây vì noù seõ coù ích trong vieäc kieåm ñònh giaû thuyeát (ñeà caäp ôû
phaàn 4.4 )

Trong moâ hình A. SQFT giaûi thích 80,6 phaàn traêm cuûa caùc thay ñoåi veà giaù nhaø. Tuy nhieân,
khi taát caû ba bieán ñeàu ñöôïc ñöa vaøo, moâ hình giaûi thích ñöôïc 78,7 phaàn traêm thay ñoåi veà
giaù, ñieàu naøy hôïp lyù ñoái vôùi nghieân cöùu cheùo. Neáu caùc bieán boå sung ñöôïc theâm vaøo, khaû
naêng giaûi thích cuûa moâ hình seõ cao hôn. Ví duï, kích thöôùc, soá löôïng vaø loaïi caùc ñoà gia duïng
… v.v. cuõng laø nhöõng bieán coù theå theâm vaøo. Tuy nhieân, khi caùc döõ lieäu naøy khoâng coù saün
trong maãu döõ lieäu, chuùng ta khoâng theå theâm nhieàu bieán nöõa vaøo. Trong Chöông 7, chuùng ta
thaûo luaän veà taùc ñoäng cuûa hoà bôi ñeán giaù nhaø.



Baûng 4.2 Caùc Moâ Hình Öôùc Löôïng Cho Döõ Lieäu Giaù Nhaø

Bieán soá Moâ hình A Moâ hình B Moâ hình C Moâ hình D
HAÈNG SOÁ 52,351 121,179 129,062 317,493
(1,404) (1,511) (1,462) (13,423)
SQFT 0,13875 0,14831 0,1548
(7,407) (6,993) (4,847)
BEDRMS − 23,911 − 21,588
(− 0,970) (− 0,799)
BATHS − 12,193
(− 0,282)
ESS 18.274 16.833 16.700 101.815
R2 0,821 0,835 0,836 0,000
− 0,806 0,805 0,787 0,000
R2
F 54,861 27,767 16,989 180,189
d.f. 12 11 10 13
SGMASQ 1.523* 1.530 1.670 7.832
AIC 1.737* 1.846 2.112 8.389
FPE 1.740* 1.858 2.147 8.391
HQ 1.722* 1.822 2.077 8.354
SCHWARZ 1.903* 2.117 2.535 8.781
SHIBATA 1.678* 1.718 1.874 8.311
GCV 1.777* 1.948 2.338 8.434
RICE 1.827* 2.104 2.783 8.485

Ghi chuù: caùc giaù trò trong ngoaëc laø nhöõng trò thoáng keâ t töông öùng, ñoù laø caùc heä soá chia cho sai soá chuaån cuûa
chuùng.
*
Ñaùnh daáu moâ hình “toát nhaát” ñoái vôùi tieâu chuaån, nghóa laø, coù giaù trò nhoû nhaát

BAØI THÖÏC HAØNH 4.3
− ^ − ^
Chöùng minh raèng R2 vaø σ2 chuyeån ñoäng ngöôïc chieàu nhau; nghóa laø neáu R2 taêng, thì σ2 nhaát
−
thieát phaûi giaûm. (Vì vaäy, choïn moät moâ hình coù R2 cao hôn ñoàng nghóa vôùi choïn moät moâ
^
hình coù σ2 thaáp hôn.)

−
Tính R2 vaø R2 khi khoâng coù soá haïng khoâng ñoåi *

Toång bình phöông goäp TSS = RSS + ESS chæ coù giaù trò khi vaø chæ khi moâ hình coù soá haïng
khoâng ñoåi. Neáu moâ hình khoâng coù soá haïng khoâng ñoåi, toång bình phöông goäp thích hôïp laø



^ ^ −
ΣYt2 = ΣYt2 + Σut2. Löu yù laø giaù trò trung bình Y khoâng ñöôïc tröø ra ôû ñaây. Moät soá chöông
trình maùy tính tính R2 baèng 1 − (ESS/ΣYt2) khi khoâng coù soá haïng tung ñoä goác. Coâng thöùc
naøy ñöôïc Vieän Tieâu chuaån vaø Coâng ngheä Quoác gia ñeà nghò söû duïng. Tuy nhieân, coù theå chæ
ra laø giaù trò tính theo caùch naøy khoâng töông thích vôùi giaù trò tính baèng TSS vì caùc maãu soá
khaùc nhau giöõa hai moâ hình. Neáu muïc tieâu laø so saùnh caùc moâ hình coù vaø khoâng coù soá haïng
khoâng thay ñoåi, veà maët möùc ñoä thích hôïp, coâng thöùc tính R2 khoâng theå ñoäc laäp vôùi moâ hình.
Toát hôn neân duøng 1 − (ESS/TSS) trong caû hai tröôøng hôïp ñeå coù theå so saùnh ñöôïc R2. Neáu
R2 ñöôïc tính baèng TSS trong maãu soá, coù theå noù seõ coù giaù trò aâm khi soá haïng khoâng ñoåi
khoâng coù maët trong moâ hình. Giaù trò aâm nhö vaäy theå hieän moâ hình coù theå khoâng ñöôïc ñaëc
tröng toát. Moät löïa choïn khaùc vaø coù leõ laø moät pheùp ño toát hôn cuûa R2 laø bình phöông cuûa heä
^
soá töông quan giöõa Yt vaøYt, giaù trò luoân luoân khoâng aâm.
−
Chuùng ta ñaõ laäp luaän tröôùc ñaây laø R2 = 1 − [Var(u) / Var(Y)] laø pheùp ño toát hôn cuûa
thay ñoåi trong bieán Y ñöôïc giaûi thích bôûi moâ hình. Ñieàu naøy cho coâng thöùc

− ESS ÷ (n − k)
R2 = 1 −
TSS ÷(n − 1)
trong moïi tröôøng hôïp.
−
Vì caùc chöông trình maùy tính khaùc nhau veà caùch tính R2 vaø R2 trong tröôøng hôïp
khoâng coù soá haïng khoâng ñoåi, vì vaäy ñeà nghò ñoäc giaû kieåâm tra baát kyø chöông trình naøo ñöôïc
söû duïng vaø xaùc ñònh xem caùc pheùp ño coù töông thích giöõa caùc moâ hình hay khoâng. Caùc nhaø
ñieàu tra thöôøng loaïi soá haïng khoâng ñoåi ra neáu noù khoâng coù yù nghóa ñeå laøm taêng möùc yù
nghóa thoáng keâ cuûa caùc bieán coøn laïi (ví duï, moâ hình giaù taøi saûn voán cuûa Ví duï 1.3 khoâng coù
soá haïng khoâng ñoåi), vieäc thöïc haønh naøy khoâng ñöôïc khuyeán khích vì noù coù theå daãn ñeán moâ
hình khoâng ñaëc tröng (xem theâm ôû phaàn 4.5)

4.3 Caùc Tieâu Chuaån Chung Ñeå Choïn Moâ Hình

Chuùng ta ñaõ chöùng minh tröôùc ñaây baèng caùch taêng soá bieán trong moät moâ hình, toång bình
^ −
phöông phaàn dö Σut2 seõ giaûm vaø R2 seõ taêng, nhöng ñoåi laïi baäc töï do seõ giaûm. R2 vaø sai soá
chuaån cuûa phaàn dö, [ESS / (n – k)]1/2, tính ñeán vieäc ñaùnh ñoåi giöõa giaûm ESS vaø giaûm baäc töï
do. Ñaây laø nhöõng tieâu chuaån thoâng duïng nhaát ñeå so saùnh caùc moâ hình.
Nhìn chung, moâ hình ñôn giaûn hôn ñöôïc öa thích hôn vì hai lyù do kyõ thuaät sau. Thöù
nhaát, ñöa quaù nhieàu bieán vaøo moâ hình khieán cho ñoä chính xaùc töông ñoái cuûa rieâng moãi heä
soá giaûm. Ñieàu naøy seõ ñöôïc nghieân cöùu kyõ trong Chöông 5. Thöù hai, vieäc giaûm baäc töï do
seõ giaûm naêng löïc cuûa kieåm ñònh treân caùc heä soá. Vì vaäy, xaùc suaát cuûa vieäc khoâng baùc boû giaû
thuyeát sai (sai laàm loaïi II) taêng khi baäc töï do giaûm. Caùc moâ hình ñôn giaûn cuõng deã hieåu



hôn caùc moâ hình phöùc taïp. Vì vaäy, lyù töôûng neân thieát laäp nhöõng tieâu chuaån haïn cheá nhöõng
moâ hình lôùn nhöng cuõng khoâng luoân luoân choïn moâ hình ñôn giaûn.
Trong nhöõng naêm gaàn ñaây, nhieàu tieâu chuaån choïn moâ hình ñöôïc ñeà nghò. Taát caû
nhöõng tieâu chuaån naøy coù daïng cuûa toång bình phöông phaàn dö (ESS) nhaân vôùi moät nhaân toá
baát lôïi phuï thuoäc vaøo möùc ñoä phöùc taïp cuûa moâ hình. Moâ hình caøng phöùc taïp ESS caøng
giaûm nhöng laïi taêng tính baát lôïi. Caùc tieâu chuaån vì vaäy phaûi cung caáp caùc loaïi ñaùnh ñoåi
khaùc giöõa möùc ñoä thích hôïp vaø ñoä phöùc taïp cuûa moâ hình. Moät moâ hình coù trò thoáng keâ tieâu
chuaån thaáp ñöôïc öa chuoäng hôn. Trong phaàn naøy, chuùng ta trình baøy toùm taét toång quaùt caùc
nhaân toá baát lôïi maø khoâng ñi saâu vaøo phaàn kyõ thuaät cuûa moãi yeáu toá. Neáu ñoäc giaû quan taâm
ñeán moät toùm taét ñaày ñuû chi tieát hôn cuøng vôùi nhöõng öùng duïng, baïn coù theå tham khaûo baøi
baùo cuûa Engle vaø Brown (1985).
Akaike (1970, 1974) xaây döïng hai phöông phaùp, moät ñöôïc goïi laø sai soá hoaøn toaøn
xaùc ñònh tröôùc (FPE) vaø phöông phaùp thöù hai goïi laø tieâu chuaån thoâng tin Akaike (AIC).
Hannan vaø Quinn (1979) ñeà nghò moät phöông phaùp khaùc (ñöôïc goïi laø tieâu chuaån HQ). Caùc
tieâu chuaån khaùc goàm cuûa Schwarz (1978), Shibata (1981), vaø Rice (1984), vaø phöông phaùp
tính chính xaùc cheùo toång quaùt (GCV) ñöôïc Craven vaø Wahba (1979) phaùt trieån vaø ñöôïc
Engle, Graner, Rice, vaø Weiss (1986) söû duïng. Moãi moät trò thoáng keâ naøy ñeàu döïa treân vaøi
tính chaát toái öu, chi tieát veà caùc phöông phaùp naøy ñöôïc ñeà caäp trong caùc baøi baùo lieät keâ treân
(löu yù laø caùc baøi baùo naøy ñoøi hoûi kieán thöùc veà ñaïi soá tuyeán tính). Baûng 4.3 toùm taét nhöõng
tieâu chuaån naøy (n laø soá laàn quan saùt vaø k laø soá thoâng soá öôùc löôïng).
− − ^
Khoâng caàn thieát phaûi ñöa R2 vaøo trong tieâu chuaån vì R2 vaø SGMASQ (σ2) quan heä
− −
nghòch, vaø vì vaäy giaù trò SGMASQ thaáp cuõng coù nghóa laø R2 seõ coù giaù trò cao. R2 chæ coù ích
khi xaùc ñònh tyû soá cuûa bieán ñoåi trong Y ñöôïc giaûi thích bôûi caùc bieán X.

Baûng 4.3 Tieâu Chuaån Choïn Moâ Hình

SGMASQ: ESS  k- 1 HQ: ESS
  (ln n)2k/n
  1 –    n 
 n  n
AIC: ESS (2k/n)
 e
RICE: ESS  2k- 1
 n    1 –  
 n   n 
FPE: ESS n + k SCHWARZ: ESS k/n
   n
 n n–k  n 
GVC: ESS  k- 2 SHIBATA: ESS n + 2k
 
  1 –    n  n
 n  n

Moät caùch lyù töôûng, chuùng ta muoán coù moät moâ hình coù caùc giaù trò cuûa caùc trò thoáng keâ
ñeàu thaáp, khi so saùnh vôùi moät moâ hình khaùc. Maëc duø coù theå xeáp haïng moät vaøi tieâu chuaån
naøy ñoái vôùi moät giaù trò ESS, n, vaø k cho tröôùc, thöù töï naøy seõ khoâng coøn yù nghóa nöõa bôûi vì



caùc moâ hình ñeàu coù ESS vaø k khaùc nhau. Ramanathan (1992) khaûo saùt kyõ hôn moät soá
tröôøng hôïp ñaëc bieät. Trong nhöõng tröôøng hôïp daëc bieät naøy, moät soá tieâu chuaån trôû neân dö
thöøa – nghóa laø, moät moâ hình öu vieät hôn theo moät tieâu chuaån cuõng seõ öu vieät hôn xeùt theo
caùc tieâu chuaån khaùc. Tuy nhieân, moät caùch toång quaùt, coù theå tìm ñöôïc moät moâ hình öu vieät
theo moät tieâu chuaån nhöng laïi khoâng öu vieät theo tieâu chuaån khaùc. Ví duï, tieâu chuaån
Schwarz coi troïng veà tính phöùc taïp cuûa moâ hình hôn laø caùc yeáu toá khaùc vaø vì vaäy coù theå daãn
ñeán moät keát luaän khaùc. Moät moâ hình toát hôn moät moâ hình khaùc theo moät soá tieâu chuaån seõ
ñöôïc öa chuoäng hôn. Tuy nhieân, tieâu chuaån AIC laø tieâu chuaån ñöôïc söû duïng phoå bieán nhaát
trong phaân tích chuoãi thôøi gian.

VÍ DUÏ 4.4

Ñoái vôùi döõ lieäu giaù nhaø ôû, Baûng 4.2 coù 8 trò thoáng keâ löïa choïn moâ hình ñoái vôùi moãi moät
trong ba moâ hình. Taát caû caùc tieâu chuaån ñeàu ñaùnh giaù cao moâ hình ñôn giaûn nhaát, trong moâ
hình ñoù chæ coù moät bieán giaûi thích duy nhaát laø SQFT. Ñieàu naøy coù nghóa laø vieäc giaûm ESS
do tính phöùc taïp cuûa moâ hình khoâng ñuû ñeå ñaùnh ñoåi vôùi nhaân toá baát lôïi gaén lieàn vôùi moâ hình
phöùc taïp. Keát quaû naøy thaät söï khoâng quaù baát ngôø ñoái vôùi chuùng ta. Dieän tích söû duïng phuï
thuoäc vaøo soá phoøng nguû vaø phoøng taém trong nhaø. Moâ hình A vì vaäy khoâng tröïc tieáp ñeà caäp
ñeán BEDRMS vaø BATHS. Do ñoù, chuùng ta khoâng neân kyø voïng moâ hình B vaø C seõ toát hôn
khi giaûm ESS ñuû thaáp.

4.4 Kieåm Ñònh Giaû Thuyeát

Trong phaàn naøy chuùng ta thaûo luaän ba loaïi kieåm ñònh giaû thuyeát: (1) kieåm ñònh möùc yù nghóa
thoáng keâ cuûa caùc heä soá rieâng leû, (2) kieåm ñònh moät soá heä soá hoài qui lieân keát, vaø (3) kieåm
ñònh toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc heä soá hoài qui.

Kieåm Ñònh Caùc Heä Soá Rieâng Leû
Nhö trong Chöông 3, kieåm ñònh giaû thuyeát veà moät heä soá hoài qui ñôn ñöôïc tieán haønh baèng
^ ^
kieåm ñònh t. Caùc tính chaát maø moãi βi tuaân theo phaân phoái chuaån vaø ESS/σ2 = (n – k) σ2 /σ2
tuaân theo phaân phoái chi bình phöông cuõng ñöôïc môû roäng cho tröôøng hôïp ña bieán. Chæ coù
moät hieäu chænh laø ESS/σ2 phaân phoái chi bình phöông vôùi n – k d.f. Caùc böôùc tieán haønh
kieåm ñònh moät heä soá rieâng bieät nhö sau:

KIEÅM ÑÒNH t MOÄT PHÍA

Böôùc 1 Ho: β = β0, H1: β > β0.



^ ^
Böôùc 2 Thieát laäp trò thoáng keâ tc = (β – β0) / sβ, vôùi β laø giaù trò öôùc löôïng vaø sβ laø sai soá
^ ^

chuaån öôùc löôïng cuûa noù. Neáu β0 = 0, giaù trò t naøy seõ giaûm ñeán tyû soá cuûa heä soá hoài
qui chia cho sai soá chuaån cuûa noù. Vôùi giaû thuyeát H0, noù tuaân theo phaân phoái t vôùi
n – k d.f.
Böôùc 3 Tìm trong baûng tra t giaù trò töông öùng vôùi baäc töï do baèng n − k vaø tìm ñieåm t*n-k
(α) sao cho dieän tích cuûa phaàn beân phaûi ñieåm naøy baèng möùc yù nghóa (α).
Böôùc 4 Baùc boû giaû thuyeát khoâng neáu tc > t*. Neáu tröôøng hôïp H1 : β < β0, H0 seõ bò baùc boû
neáu tc < − t*. Moät caùch töông ñöông cho caû hai tröôøng hôïp, baùc boû neáu |tc| > t*.
Ñeå söû duïng phöông phaùp giaù trò p, tính p = P(t > |tc|, vôùi H0 cho tröôùc) vaø baùc boû H0 neáu giaù
trò p nhoû hôn möùc yù nghóa.

VÍ DUÏ 4.5
Chuùng ta haõy aùp duïng vôùi Moâ hình B vaø C trong Baûng 4.2. Moâ hình B coù baäc töï do laø 11
d.f. (14 − 3) vaø Moâ hình C coù baäc töï do baèng 10. Töø Baûng A.2, t*11(0,05) = 1,796 vaø t*10
(0,05) = 1,812 ñoái vôùi kieåm ñònh 5%. Vì vaäy, ñeå moät heä soá hoài qui döông hoaëc aâm coù yù
nghóa thoáng keâ, giaù trò tuyeät ñoái cuûa trò thoáng keâ t cho trong Baûng 4.2 phaûi lôùn hôn 1,796
ñoái vôùi Moâ hình B vaø lôùn hôn 1,812 ñoái vôùi Moâ hình C. Chuùng ta löu yù laø trong moãi moâ
hình heä soá hoài qui cuûa SQFT laø coù yù nghóa. Ñieàu naøy coù nghóa laø trong nhöõng tröôøng hôïp
ñoù chuùng ta khoâng theå baùc boû giaû thuyeát khoâng laø heä soá töông öùng baèng khoâng.
Coù hay khoâng moät möùc yù nghóa naøo khaùc 5 phaàn traêm taïi ñoù ta coù theå baùc boû giaû
thuyeát khoâng ñöôïc? Sau cuøng, khoâng coù gì ñaëc bieät ñoái vôùi möùc 5 phaàn traêm. Neáu möùc yù
nghóa thöïc söï cao hôn moät chuùt, chuùng ta vaãn coù theå saün saøng baùc boû giaû thuyeát khoâng.
Chuùng ta löu yù töø Baûng A.2 laø ñoái vôùi möùc yù nghóa 10 phaàn traêm, t*10 (0,1) = 1,372. Trò
thoáng keâ t cuûa BEDRMS trong Moâ hình C laø 0,799 veà trò tuyeät ñoái, nhoû hôn 1,372. Do ñoù,
chuùng ta keát luaän laø BEDRMS khoâng coù yù nghóa trong Moâ hình C, ôû möùc yù nghóa 10 phaàn
traêm.
Söû duïng chöông trình GRETL, chuùng ta ñaõ tính giaù trò p cho caùc heä soá cuûa BEDRMS
vaø BATHS (xem phaàn thöïc haønh maùy tính 4.1). Caùc heä soá naøy xeáp töø 0,175 ñeán 0,39, nguï
yù laø neáu chuùng ta baùc boû giaû thuyeát khoâng laø caùc heä soá naøy baèng khoâng, coù moät cô hoäi töø
17,5 ñeán 39 phaàn traêm phaïm sai laàm loaïi I. Khi caùc heä soá naøy cao hôn moät möùc chaáp nhaän
thoâng thöôøng, chuùng ta khoâng baùc boû H0 nhöng thay vì vaäy, keát luaän laø caùc heä soá naøy khoâng
khaùc khoâng moät caùch coù yù nghóa.

KIEÅM ÑÒNH t HAI PHÍA

Böôùc 1 H0: β = β0, H1: β ≠ β0.



^ ^
Böôùc 2 Thieát laäp trò thoáng keâ t, tc = (β− β0)/ sβ, vôùi β laø giaù trò öôùc löôïng vaø sβ laø sai soá
^ ^

^
chuaån cuûa noù. Theo giaû thuyeát H , β tuaân theo phaân phoái t vôùi baäc töï do n−k
0
Böôùc 3 Tìm trong Baûng t A.2 giaù trò töông öùng vôùi baäc töï do n − k vaø tìm t*n-k(α/2) sao
cho dieän tích beân phaûi cuûa noù baèng phaân nöûa möùc yù nghóa.
Böôùc 4 Baùc boû giaû thuyeát khoâng neáu |tc| > t*.

Ñeå söû duïng giaù trò p, tính giaù trò p = 2P(t> |tc|, vôùi H0 cho tröôùc) vaø baùc boû H0 neáu p nhoû hôn
möùc yù nghóa.
Toùm taét, giaù trò p (gioáng nhö xaùc suaát cuûa sai laàm loaïi I baùc boû giaû thuyeát ñuùng) thaáp
nghóa laø chuùng ta “an toaøn” khi baùc boû giaû thuyeát khoâng laø heä soá baèng khoâng (ñoái vôùi β0 =
0) vaø keát luaän laø heä soá naøy khaùc khoâng ñaùng keå. Neáu giaù trò p cao, thì chuùng ta khoâng theå
baùc boû giaû thuyeát khoâng nhöng thay vaøo ñoù keát luaän laø heä soá khoâng coù yù nghóa thoáng keâ.

VÍ DUÏ 4.6
Chuùng ta aùp duïng kieåm ñònh hai phía vôùi Moâ hình B vaø C. Trong Moâ hình B, baäc töï do laø
11 vì vaäy t*11(0,025) laø 2,201 ñoái vôùi möùc yù nghóa 5 phaàn traêm. Trong Moâ hình C,
t*10(0,025) = 2,228. Vì vaäy, ñeå moät heä soá hoài qui khaùc khoâng coù yù nghóa taïi möùc yù nghóa 5
phaàn traêm, trò thoáng keâ t cho trong baûng 4.2 phaûi lôùn hôn 2,201 veà giaù trò tuyeät ñoái ôû Moâ
hình B vaø lôùn hôn 2,228 veà giaù trò tuyeät ñoái ôû Moâ hình C. Chuùng ta löu yù laø trong moãi moâ
hình heä soá hoài qui cuûa SQFT ñeàu coù yù nghóa, trong khi taát caû caùc heä soá hoài qui khaùc khoâng
coù yù nghóa. Ñieàu naøy coù nghóa laø trong nhöõng tröôøng hôïp ñoù chuùng ta khoâng theå baùc boû giaû
thuyeát khoâng laø heä soá töông öùng baèng khoâng.
Coù hay khoâng moät möùc yù nghóa khaùc ngoaøi möùc 5 phaàn traêm coù theå baùc boû ñöôïc giaû
thuyeát khoâng? Giaù trò p baây giôø baèng hai laàn caùc giaù trò coù tröôùc ñaây (ñoù laø 0,35 ñeán 0,78).
Khi caùc giaù trò naøy cao, keát luaän laø caùc giaù trò khaùc khoâng quan saùt ñöôïc cuûa nhöõng heä soá
hoài qui naøy coù theå laø do sai soá maãu ngaãu nhieân. Vì vaäy, vôùi giaù trò SQFT cho tröôùc, caùc
bieán BEDRMS vaø BATHS khoâng aûnh höôûng quan troïng ñeán giaù caên nhaø. Keát quaû naøy
khaúng ñònh keát quaû tröôùc ñoù trong Moâ hình A ñaõ ñöôïc ñaùnh giaù laø toát theo taát caû 8 tieâu
chuaån.

Söû duïng chöông trình hoài qui cuûa baïn, öôùc löôïng Moâ hình B vaø C, vaø kieåm tra keát quaû trong
Baûng 4.2.

Coù theå thieát laäp ñöôïc tính chaát sau (xem Haitovsky, 1969):



Tính chaát 4.2
Neáu giaù trò tuyeät ñoái cuûa trò thoáng keâ t cuûa moät heä soá hoài qui nhoû hôn 1, thì vieäc loaïi heä soá
naøy ra khoûi moâ hình seõ laøm taêng R2 hieäu chænh. Töông töï, boû moät bieán coù trò thoáng keâ t lôùn
−
hôn 1 (veà giaù trò tuyeät ñoái) seõ laøm giaûm R2.
Ñieàu naøy coù theå chæ ra laø, beân caïnh trò thoáng keâ t tôùi haïn, chuùng ta coù theå söû duïng giaù trò t
baèng 1 nhö laø höôùng daãn trong vieäc xaùc ñònh xem coù theå boû bôùt moät bieán hay khoâng. Tuy
−
nhieân, vì R2 chæ laø moät trong nhieàu tieâu chuaån neân caùc giaù trò p rieâng leû, giaù trò thoáng keâ
choïn moâ hình vaø taàm quan troïng veà lyù thuyeát cuûa caùc bieán neân ñöôïc duøng ñeå xaùc ñònh caùc
bieán naøo coù theå loaïi boû (xem ví duï phaàn 4.6 vaø 4.7)

Kieåm ñònh moät soá heä soá lieân keát (kieåm ñònh Wald)
Kieåm ñònh t veà caùc heä soá rieâng leû duøng cho möùc yù nghóa cuûa caùc heä soá cuï theå. Ta cuõng coù
theå kieåm ñònh yù nghóa lieân keát cuûa moät soá heä soá hoài qui, ví duï nhö caùc moâ hình döôùi ñaây:

(U) PRICE = β1 + β2SQFT + β3BEDROOMS + β4BATHS + u
(R) PRICE = γ1 + γ2SQFT + v

Moâ hình U (laø moâ hình C trong Baûng 4.2) ñöôïc goïi laø moâ hình khoâng giôùi haïn, vaø Moâ hình
R (laø Moâ hình A trong Baûng 4.2) ñöôïc goïi laø moâ hình giôùi haïn. Ñoù laø do β3 vaø β4 buoäc
phaûi baèng khoâng trong Moâ hình R. Ta coù theå kieåm ñònh giaû thuyeát lieân keát β3 = β4 = 0 vôùi
giaû thuyeát ñoái laø ít nhaát moät trong nhöõng heä soá naøy khoâng baèng khoâng. Kieåm ñònh giaû
thuyeát lieân keát naøy ñöôïc goïi laø kieåm ñònh Wald (Wald, 1943). Thuû tuïc nhö sau.

Kieåm ñònh Wald toång quaùt Ñaët caùc moâ hình giôùi haïn vaø khoâng giôùi haïn laø (boû qua kyù hieäu
t ôû döôùi):

(U) Y = β1 + β2X2 + … + βmXm + βm+1Xm+1 + … + βkXk + u
(R) Y = β1 + β2X2 + … + βmXm + v

Maëc duø Moâ hình U coù veû khaùc nhöng noù hoaøn toaøn gioáng Phöông trình (4.1). Moâ hình R coù
ñöôïc baèng caùch boû bôùt moät soá bieán ôû Moâ hình U, ñoù laø Xm+1, Xm+2, …Xk. Vì vaäy, giaû thuyeát
khoâng laø βm+1 = βm+2 = … = βk = 0. Löu yù raèng (U) chöùa k heä soá hoài qui chöa bieát vaø (R)
chöùa m heä soá hoài qui chöa bieát. Do ñoù, Moâ hình R coù ít hôn k – m thoâng soá so vôùi U. Caâu
hoûi chuùng ta seõ neâu ra laø k –m bieán bò loaïi ra coù aûnh höôûng lieân keát coù yù nghóa ñoái vôùi Y
hay khoâng.
Giaû söû nhöõng bieán bò loaïi naøy khoâng coù aûnh höôûng coù yù nghóa ñoái vôùi Y. Chuùng ta
seõ khoâng kyø voïng toång bình phöông sai soá cuûa Moâ hình R (ESSR) quaù khaùc bieät vôùi toång



bình phöông sai soá cuûa Moâ hình U (ESSU). Noùi caùch khaùc, sai bieät ESSR – ESSU coù veû raát
nhoû. Nhöng giaù trò naøy nhoû nhö theá naøo? Chuùng ta bieát laø ESS raát nhaïy vôùi ñôn vò ño
löôøng, vaø vì vaäy coù theå laøm giaù trò naøy lôùn hôn hay nhoû hôn chæ ñôn giaûn baèng caùch thay ñoåi
thang ño. “Nhoû” hoaëc “lôùn” ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch so saùnh sai bieät treân vôùi ESSU, toång
bình phöông sai soá cuûa moâ hình hoaøn toaøn khoâng giôùi haïn. Vì vaäy, ESSR – ESSU ñöôïc so
saùnh vôùi ESSU. Neáu giaù trò ñaàu “nhoû” töông ñoái so vôùi giaù trò sau, chuùng ta keát luaän laø vieäc
loaïi boû caùc bieán Xm+1, Xm+2, …, Xk khoâng thay ñoåi ESS ñuû ñeå coù theå tin laø caùc heä soá cuûa
chuùng coù yù nghóa.
Chuùng ta bieát laø caùc toång cuûa nhöõng bình phöông ñoäc laäp coù phaân phoái chi bình phöông
(xem phaàn 2.7). Vì vaäy, ESSU/σ2 laø phaân phoái chi bình phöông vôùi n – k baäc töï do (n quan
saùt tröø k thoâng soá trong Moâ hình U). Coù theå thaáy trong giaû thuyeát khoâng laø vì tính chaát coäng
cuûa chi bình phöông (Tính chaát 2.12b), (ESSR – ESSU)/σ2 cuõng laø phaân phoái chi bình
phöông vôùi baäc töï do baèng soá bieán soá loaïi boû trong (R). Trong phaàn 2.7, chuùng ta thaáy laø tyû
soá cuûa hai phaân boá chi bình phöông ñoäc laäp coù phaân phoái F coù hai thoâng soá: baäc töï do cho
töû soá cuûa tyû soá, baäc töï do cho maãu soá. Trò thoáng keâ seõ caên cöù treân tyû soá F.
Caùc böôùc thoâng thöôøng ñeå kieåm ñònh Wald (thöôøng ñöôïc goïi laø kieåm ñònh F) nhö
sau:

Böôùc 1 Giaû thuyeát khoâng laø H0: βm+1 = βm+2 = … = βk = 0. Giaû thuyeát ngöôïc laïi laø H1: coù ít
nhaát moät trong nhöõng giaù trò β khoâng baèng khoâng. Giaû thuyeát khoâng coù k − m raøng
buoäc.
Böôùc 2 Tröôùc tieân hoài qui Y theo moät bieán khoâng ñoåi, X2, X3, …, Xk, vaø tính toång bình
phöông sai soá ESSU. Keá ñeán hoài qui Y theo moät bieán khoâng ñoåi, X2, X3, …, Xm vaø
tính ESSR. Chuùng ta bieát töø Tính chaát 4.1b laø ESSU/σ2 tuaân theo phaân phoái chi
bình phöông vôùi baäc töï do DFU = n − k (nghóa laø n soá quan saùt tröø k heä soá öôùc
löôïng). Töông töï, vôùi giaû thuyeát khoâng, ESSR/σ2 tuaân theo phaân phoái chi bình
phöông vôùi baäc töï do DFR = n − m. Coù theå thaáy laø chuùng ñoäc laäp vaø vôùi tính chaát
coäng ñöôïc cuûa phaân phoái chi bình phöông, sai bieät cuûa chuùng (ESSR − ESSU) / σ2
cuõng phaân phoái chi bình phöông, vôùi baäc töï do baèng sai bieät veà baäc töï do, nghóa laø,
DFR − DFU. Löu yù laø DFR − DFU cuõng baèng k − m, laø soá raøng buoäc trong giaû
thuyeát khoâng (ñoù laø soá bieán bò loaïi boû). Trong phaàn 2.7, chuùng ta ñaõ ñònh nghóa
phaân phoái F laø tyû soá cuûa hai bieán ngaãu nhieân phaân phoái chi bình phöông ñoäc laäp.
Ñieàu naøy cho ta trò thoáng keâ

(ESSR − ESSU) ÷ (DFR − DFU)
Fc = (4.3)
ESSU ÷ DFU
(ESSR − ESSU) / (k − m)
=
ESSU / (n – k)



(sai bieät trong ESS ÷ soá raøng buoäc)
=
( toång bình phöông sai soá cuûa Moâ hình U ÷ d.f. cuûa Moâ hình U)
2 2
(RU − RR)/ (k − m)
= 2
(1− RU) / (n – k)
vôùi R2 laø soá ño ñoä thích hôïp khoâng hieäu chænh. Chia cho baäc töï do ta ñöôïc toång
bình phöông treân moät baäc töï do. Vôùi giaû thuyeát khoâng, Fc coù phaân phoái F vôùi k −
m baäc töï do ñoái vôùi töû soá vaø n − k baäc töï do ñoái vôùi maãu soá.
Böôùc 3 Töø soá lieäu trong baûng F töông öùng vôùi baäc töï do k − m cho töû soá vaø n − k cho maãu
soá, vaø vôùi möùc yù nghóa cho tröôùc (goïi laø α), ta coù F*k-m,n-k (α) sao cho dieän tích
beân phaûi cuûa F* laø α.
Böôùc 4 Baùc boû giaû thuyeát khoâng ôû möùc yù nghóa α neáu Fc > F*. Ñoái vôùi phöông phaùp giaù
trò p, tính giaù trò p = P(F > Fc|H0) vaø baùc boû giaû thuyeát khoâng neáu giaù trò p nhoû hôn
möùc yù nghóa.

VÍ DUÏ 4.7
Trong ví duï veà baát ñoäng saûn cuûa chuùng ta, H0: β3 = β4 = 0 vaø H1: coù ít nhaát moät giaù trò β
khoâng baèng khoâng. Vì vaäy, Moâ hình U gioáng nhö Moâ hình C trong Baûng 4.2, vaø Moâ hình R
chính laø Moâ hình A. Soá raøng buoäc seõ laø 2. Cuõng vaäy, ESSR = 18.274 vaø ESSU = 16.700
(xem Baûng 4.2). Baäc töï do cuûa Moâ hình U laø 10. Vì vaäy, trò thoáng keâ F ñöôïc tính
(18.274 − 16.700) / 2
Fc = = 0,471
16.700 / 10

Töø baûng F (Baûng A.4b), F*2,10(0,05) = 4,1. Vì Fc khoâng lôùn hôn F*, chuùng ta khoâng
theå baùc boû giaû thuyeát khoâng, vaø vì vaäy chuùng ta keát luaän laø β3 vaø β4 thaät söï khoâng coù yù
nghóa ôû möùc 5 phaàn traêm. Ngay caû neáu möùc yù nghóa laø 10 phaàn traêm (xem Baûng A.4c),
F*2,10(0,1) = 2,92 > Fc. Ñieàu naøy coù nghóa laø veà phöông dieän möùc yù nghóa cuûa caùc bieán ñoäc
laäp, Moâ hình A ñôn giaûn hôn vaø toát hôn. Kieåm ñònh töông töï cuõng coù theå thöïc hieän ñeå so
saùnh Moâ hình A vaø B, nhöng vieäc naøy khoâng caàn thieát vì sai bieät giöõa hai moâ hình naøy chæ
do moät bieán, ñoù laø BEDRMS. Trong tröôøng hôïp naøy, phaân phoái F chæ coù moät baäc töï do ôû töû
soá. Khi ñieàu naøy xaûy ra, giaù trò cuûa F ñôn giaûn chæ laø bình phöông cuûa trò thoáng keâ t ñoái vôùi
BEDRMS (xem Tính chaát 2.14b). Chöùng minh ñieàu naøy raát deã. Moâ hình B baây giôø laø
khoâng giôùi haïn vaø vì vaäy

(18.274 − 16.700) / 1
Fc = = 0,942
16.700 / 11



Coù caên baäc hai laø 0,97, baèng vôùi trò thoáng keâ t trong Baûng 4.2. Vì vaäy, kieåm ñònh Wald caàn
phaûi tieán haønh chæ khi coù hai hoaëc nhieàu hôn hai heä soá hoài qui baèng khoâng trong giaû thuyeát
khoâng.
Giaù trò p trong ví duï naøy laø P(F > 0,471) = 0,64. Bôûi vì coù 64 phaàn traêm cô hoäi baùc
boû moät giaû thuyeát ñuùng H0 (laø caùc heä soá cuûa BEDRMS vaø BATHS baèng khoâng) laø quaù cao
khoâng theå chaáp nhaän ñöôïc, neân chuùng ta khoâng theå baùc boû H0 nhöng thay vaøo ñoù ta keát
luaän laø caùc heä soá coù giaù trò khaùc khoâng, khoâng coù yù nghóa thoáng keâ.
Chuùng ta thaáy töø Baûng 4.2 laø soá haïng khoâng ñoåi khoâng coù yù nghóa trong baát kyø moâ
hình naøo (tröø Moâ hình D). Tuy nhieân, thaät khoâng khoân ngoan khi loaïi boû soá haïng khoâng ñoåi
khoûi moâ hình. Ñoù laø do soá haïng khoâng ñoåi theå hieän moät caùch khoâng giaùn tieáp moät soá caùc
aûnh höôûng trung bình cuûa caùc bieán bò loaïi boû (vaán ñeà naøy ñöôïc thaûo luaän ñaày ñuû hôn trong
phaàn 4.5). Do ñoù, vieäc loaïi boû soá haïng khoâng thay ñoåi coù theå daãn ñeán sai nghieâm troïng
trong ñaëc tröng cuûa moâ hình.

Kieåm ñònh Wald ñaëc bieät veà ñoä thích hôïp toång quaùt Haõy xem xeùt moät tröôøng hôïp ñaëc
bieät cuûa kieåm ñònh Wald trong hai moâ hình sau:

(U) Y = β 1 + β 2X 2 + … + β kX k + u
(SR) Y = β1 + w

Moâ hình U laø moâ hình hoài qui boäi trong phöông trình (4.1), vôùi X1 laø soá haïng khoâng thay
ñoåi. Trong Moâ hình SR (thaät giôùi haïn), taát caû caùc bieán ngoaïi tröø soá haïng khoâng thay ñoåi
ñeàu bò loaïi khoûi moâ hình; nghóa laø, chuùng ta ñaët k − 1 raøng buoäc β2 = β3 = … = βk = 0. Giaû
thuyeát naøy seõ kieåm ñònh phaùt bieåu “Khoâng moät heä soá naøo trong moâ hình (ngoaïi tröø soá haïng
khoâng thay ñoåi) coù yù nghóa thoáng keâ.” Coù theå thöïc hieän kieåm ñònh Wald cho giaû thuyeát
naøy. Neáu giaû thuyeát khoâng bò baùc boû, chuùng ta keát luaän laø khoâng coù bieán naøo coù theå giaûi
thích moät caùch lieân keát thay ñoåi cuûa Y. Ñieàu naøy coù nghóa laø chuùng ta coù moät moâ hình xaáu
vaø phaûi thieát laäp laïi moâ hình naøy. ESSU laø toång bình phöông sai soá cuûa moâ hình ñaày ñuû.

Ñeå coù ESSSR, tröôùc heát chuùng ta cöïc tieåu Σw2t = Σ (Yt − β1)2 theo β1. Deã daøng chöùng
^ − −
minh ñöôïc laø β = Y (xem chöùng minh ôû phaàn 2.5). Do ñoù, ta coù ESS = Σ(Y − Y)2 gioáng
1 SR t
nhö toång bình phöông toaøn phaàn (TSSU) cuûa Moâ hình U (ñaây cuõng laø toång bình phöông cuûa
Moâ hình SR). Trò thoáng keâ F trôû thaønh

(TSSU − ESSU) / (k –1) RSSU / (k –1) R2 / (k –1)
Fc = = = (4.4)
ESSU / (n – k) ESSU / (n – k) (1– R2) / (n – k)



giaù trò naøy coù theå ñöôïc tính töø R2 khoâng hieäu chænh cuûa moâ hình ñaày ñuû. Caùc chöông trình
hoài qui ñeàu cung caáp trò thoáng keâ F naøy trong phaàn toùm taét thoáng keâ cuûa moät moâ hình.
Nhieäm vuï ñaàu tieân laø phaûi ñaûm baûo raèng giaû thuyeát khoâng cuûa kieåm ñònh F naøy bò baùc boû,
nghóa laø, Fc > F*k-1, n-k(α). Neáu khoâng, chuùng ta coù moät moâ hình trong ñoù khoâng coù bieán
ñoäc laäp naøo giaûi thích ñöôïc nhöõng thay ñoåi trong bieán phuï thuoäc, vaø vì vaäy moâ hình caàn
ñöôïc thieát laäp laïi.

VÍ DUÏ 4.8

Baûng 4.2 cung caáp trò thoáng keâ F kieåm ñònh Wald, cho tröôùc trong phöông trình (4.4), ñoái
vôùi ví duï veà giaù nhaø. Vôùi Moâ hình C, k = 4, vaø vì vaäy k − 1 = 3 vaø n − k = 14 − 4 = 10. Baäc
töï do cuûa trò thoáng keâ F laø 3 ñoái vôùi töû soá vaø 10 ñoái vôùi maãu soá. Töø baûng F, A.4b, giaù trò tôùi
haïn ñoái vôùi kieåm ñònh ôû 5 phaàn traêm laø F*3,10(0,05) = 3,71. Vì giaù trò F trong Baûng 4.2 laø
16,989 ñoái vôùi Moâ hình C, chuùng ta baùc boû giaû thuyeát khoâng laø taát caû heä soá hoài qui ngoaïi tröø
soá haïng khoâng ñoåi baèng khoâng. Vì vaäy, coù ít nhaát moät heä soá hoài qui khaùc khoâng coù yù nghóa
thoáng keâ. Töø kieåm ñònh t ñoái vôùi heä soá cuûa SQFT, chuùng ta ñaõ bieát ñöôïc tröôøng hôïp naøy.
Deã daøng chöùng minh ñöôïc laø F*2,11(0,05) = 3,98 ñoái vôùi Moâ hình B vaø F*1,12 (0,05) = 4,75
ñoái vôùi Moâ hình A, vaø vì vaäy taát caû caùc moâ hình ñeàu baùc boû giaû thuyeát khoâng laø khoâng coù
bieán giaûi thích naøo laø coù yù nghóa.
Chuùng ta löu yù raèng caùc trò thoáng keâ F cuûa Moâ hình B vaø C thaáp hôn nhieàu so vôùi
Moâ hình A. Ñieàu naøy laø do caùc sai bieät trong R2 khaù nhoû, trong khi tyû soá (n − 1) / (n − k)
taêng ñaùng keå khi k taêng. Do ñoù chuùng ta thaáy töø Phöông trình (4.4) coù theå giaûi thích sai bieät
lôùn veà F. Tuy nhieân, noùi chung, caùc sai bieät veà F giöõa caùc moâ hình laø khoâng quan troïng.
Chæ coù keát quaû cuûa kieåm ñònh Wald laø ñaùng quan taâm.


Trong Baûng 4.2, Moâ hình D laø moâ hình thaät giôùi haïn veà hoài qui PRICE chæ theo soá haïng
khoâng ñoåi. So saùnh moâ hình naøy vôùi Moâ hình C laø moâ hình khoâng giôùi haïn, vaø chöùng minh
giaù trò F cuûa kieåm ñònh Wald ñöôïc baùo caùo trong Baûng 4.2 cuûa Moâ hình C. Sau ñoù thöïc
−
hieän ñuùng nhö vaäy cho Moâ hình A vaø B. Cuoái cuøng, giaûi thích taïi sao R2 = R2 = 0 ñoái vôùi
Moâ hình D.
Khaùc bieät giöõa hai loaïi kieåm ñònh F caàn ñöôïc ghi chuù caån thaän. Coâng thöùc cho trong
Phöông trình (4.4) khoâng theå öùng duïng chæ khi moät soá ít caùc bieán bò loaïi boû. Noù coù theå öùng
duïng ñöôïc khi moâ hình giôùi haïn chæ coù moät soá haïng khoâng ñoåi. Trò thoáng keâ F in töø chöông
trình maùy tính kieåm ñònh tính thíchø hôïp chung, trong khi trò thoáng keâ F tính ñöôïc töø Phöông
trình (4.3) kieåm ñònh xem moät nhoùm caùc heä soá coù khaùc khoâng moät caùch coù yù nghóa thoáng keâ
hay khoâng. Cuõng löu yù laø kieåm ñònh F luoân luoân laø kieåm ñònh moät phía.



Tính trò thoáng keâ F khi moâ hình khoâng coù soá haïng khoâng ñoåi* Trong phaàn 4.2, chuùng ta
ñaõ thaûo luaän veà caùc sai bieät cuûa caùc soá ño R2 giöõa hai moâ hình, moät vôùi soá haïng khoâng ñoåi
vaø moâ hình thöù hai khoâng coù soá haïng khoâng ñoåi, vaø laäp luaän raèng coù theå söû duïng cuøng moät
coâng thöùc cho caû hai tröôøng hôïp ñeå so saùnh möùc ñoä thích hôïp töông ñoái cuûa chuùng. Tuy
nhieân, khi tính tyû soá F coâng thöùc ñöôïc söû duïng seõ khaùc. Ñeå giaûi thích vì sao laïi nhö vaäy,
chuùng ta haõy xem xeùt hai moâ hình sau:

(A) Y = β 2X 2 + β 3X 3 + … β kX k + u
(B) Y=w

Vôùi soá haïng khoâng thay ñoåi X1 (=1) bò loaïi boû. Löu yù laø Moâ hình khoâng giôùi haïn A baây giôø
chæ coù k − 1 thoâng soá (coù nghóa laø soá baäc töï do laø n − k +1) vaø Moâ hình giôùi haïn B khoâng coù
thoâng soá naøo (vôùi d.f. n). Ñeå kieåm ñònh ñoä thích hôïp chung cuûa moâ hình, giaû thuyeát khoâng
laïi laø H0: β2 = β3 = … = βk = 0, vaø giaû thuyeát ngöôïc laïi töông töï nhö tröôùc. Kieåm ñònh
Wald cuõng coù theå aùp duïng ôû ñaây vaø coâng thöùc thích hôïp laø Phöông trình (4.3). Ñaët ESSA =
^
Σut2 laø toång bình phöông sai soá cuûa Moâ hình A. Trong Moâ hình B, toång bình phöông sai soá
seõ laø ESSB = ΣY2t. Giaù trò F ñöôïc tính bôûi:

^
(ESSB − ESSA) / (k –1) (ΣYt2 – Σut2 ) / (k –1) ^
ΣYt2 / (k –1)
Fc = = = (4.4a)
ESSA / (n – k + 1) ESSA / (n – k + 1) ESSA / (n – k + 1)

^ ^
bôûi vì khai trieån ΣYt2 = ΣYt2 + Σut2 trong ñoù khoâng coù soá haïng khoâng ñoåi. Vôùi giaû thuyeát
khoâng, toång naøy coù phaân phoái F vôùi k − 1 vaø n − k + 1 baäc töï do. Tieâu chuaån ñeå chaáp
nhaän/baùc boû H0 cuõng töông töï. Giaù trò thoáng keâ F ñaïi dieän cho Moâ hình D kieåm ñònh giaû
thuyeát laø soá haïng khoâng ñoåi baèng khoâng. Vì chæ coù moät heä soá seõ bò loaïi khoûi ñaây, giaù trò F
laø bình phöông cuûa trò thoáng keâ t. Do ñoù, F = 180,189 maëc duø R2 = 0. Löu yù coâng thöùc
naøy chæ ñöôïc duøng ñeå kieåm ñònh ñoä thích hôïp chung hoaøn toaøn khaùc vôùi coâng thöùc trong
Phöông trình (4.4).

Kieåm Ñònh Toå Hôïp Tuyeán Tính Cuûa Caùc Heä Soá
Chuùng ta raát thöôøng gaëp nhöõng giaû thuyeát ñöôïc phaùt bieåu döôùi daïng toå hôïp tuyeán tính cuûa
caùc heä soá hoài qui. Moät ví duï minh hoïa nhö haøm tieâu thuï toång hôïp sau:

Ct = β1 + β2Wt + β3Pt + ut

Vôùi C laø chi tieâu cho tieâu duøng toång hôïp trong moät vuøng cho tröôùc, W laø toång tieàn löông thu
nhaäp, vaø P laø taát caû caùc thu nhaäp khaùc, phaàn lôùn laø töø lôïi nhuaän hoaëc thu hoài töø voán. β2 laø
xu höôùng caän bieân chi tieâu ngoaøi löông thu nhaäp, vaø β3 laø xu höôùng caän bieân chi tieâu ngoaøi



nhöõng thu nhaäp khaùc. Giaû thuyeát β2 = β3 nguï yù laø moät ñoâ la theâm vaøo cuûa thu nhaäp tieàn
löông vaø moät ñoâ la theâm vaøo cuûa thu nhaäp khaùc ñeàu ñoùng goùp cuøng moät khoaûng theâm vaøo
tieâu thuï bình quaân. Kieåm ñònh t veà caùc heä soá rieâng leû khoâng theå aùp duïng trong tröôøng hôïp
naøy nöõa vì giaû thuyeát laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa hai heä soá hoài qui. Giaû thuyeát H0: β2 = β3
ñoái laïi H1: β2 ≠ β3 coù theå ñöôïc kieåm ñònh baèng ba caùch khaùc nhau, moïi caùch ñeàu ñöa ñeán
cuøng moät keát luaän.
Trong nhöõng phaàn sau, chuùng ta seõ gaëp phaûi nhöõng loaïi toå hôïp tuyeán tính khaùc nhö
laø β2 + β3 = 1 hoaëc β2 + β3 = 0. Baây giôø chuùng ta thieát laäp thuû tuïc ñeå kieåm ñònh toå hôïp
tuyeán tính nhö vaäy cuûa caùc heä soá hoài qui. Vieäc naøy thöïc hieän ñoái vôùi moâ hình (khoâng giôùi
haïn) sau, vôùi hai bieán ñoäc laäp (X2 vaø X3):

(U) Yt = β1 + β2Xt2 + β3Xt3 + ut (4.5)

PHÖÔNG PHAÙP 1 (KIEÅM ÑÒNH WALD)
Böôùc 1 Söû duïng raøng buoäc, giaûi ñeå tìm moät trong nhöõng heä soá theo caùc heä soá coøn laïi, vaø
theá vaøo moâ hình khoâng giôùi haïn ñeå coù ñöôïc moâ hình giôùi haïn. Vì vaäy, ñeå kieåm
ñònh β2 = β3, thay cho β3 trong Phöông trình (4.5) vaø coù ñöôïc moâ hình sau:
(R) Yt = β1 + β2Xt2 + β2Xt3 + ut (4.6)
= β1 + β2(Xt2 + Xt3) + ut
Vieát laïi moâ hình giôùi haïn baèng caùch nhoùm caùc soá haïng thích hôïp. Trong tröôøng
hôïp cuûa chuùng ta, chuùng ta seõ taïo moät bieán môùi Zt = Xt2 + Xt3 vaø vieát moâ hình nhö
sau:
(R) Yt = β1 + β2Zt + ut
Böôùc 2 Öôùc löôïng caùc moâ hình giôùi haïn vaø khoâng giôùi haïn, vaø coù ñöôïc caùc toång bình
phöông sai soá, ESSR vaø ESSU.
Böôùc 3 Tính giaù trò thoáng keâ F Wald (Fc), duøng Phöông trình (4.3), vaø baäc töï do ñoái vôùi töû
soá vaø maãu soá
Böôùc 4 Töø baûng F, coù ñöôïc ñieåm F* sao cho dieän tích phaàn beân phaûi baèng möùc yù nghóa.
Moät caùch khaùc, tính giaù trò p = P(F > Fc).
Böôùc 5 Baùc boû H0 neáu Fc > F* hoaëc neáu giaù trò p nhoû hôn möùc yù nghóa.

Xuaát phaùt töø caùc moâ hình giôùi haïn ñeå kieåm ñònh β2 + β3 = 1 vaø β2 + β3 = 0

VÍ DUÏ 4.9
Taäp tin DATA 4-2 (xem Phuï luïc D) chöùa döõ lieäu haøng naêm veà Hoa Kyø trong thôøi kyø 1959-
1994 (vôùi n = 36). Caùc ñònh nghóa cuûa caùc bieán nhö sau:

CONS (Ct) = Chi tieâu thöïc cho tieâu duøng tính baèng tyû ñoâ la naêm 1992



GDP (Yt) = Toång saûn phaåm quoác daân thöïc tính baèng tyû ñoâ la naêm 1992
WAGES = Toång tieàn traû cho nhaân vieân (löông, vaø caùc khoaûn phuï trôï) tính baèng tyû ñoâ la
hieän haønh
PRDEFL = Giaù giaûm phaùt ñoái vôùi tieâu duøng, 1992 = 100 (ñaây laø chæ soá giaù cuûa haøng hoùa
tieâu duøng)

Moâ hình chuùng ta seõ öôùc löôïng laø haøm tieâu thuï sau ñaõ ñöôïc trình baøy ôû phaàn treân:
(U) Ct = β1 + β2Wt + β3Pt + ut (4.5)

Vôùi caùc bieán ñaõ ñöôïc moâ taû tröôùc. Tröôùc khi öôùc löôïng moâ hình, chuùng ta phaûi thöïc hieän
moät soá chuyeån ñoåi döõ lieäu ñeå coù ñöôïc taát caû caùc bieán taøi chính ôû daïng “thöïc” (nghóa laø ñoàng
ñoâ la khoâng ñoåi ñöôïc hieäu chænh ñoái vôùi laïm phaùt).
Tieâu duøng ñaõ ôû daïng thöïc. Ñeå coù thu nhaäp tieàn löông ôû daïng thöïc (Wt), chuùng ta
chia WAGES vôùi PRDEFL vaø nhaân vôùi 100. Toång lôïi nhuaän vaø caùc thu nhaäp khaùc töø voán
coù ñöôïc baèng caùch tröø thu nhaäp tieàn löông thöïc ra khoûi GDP.
100 WAGESt
Wt = Pt = Yt – Wt
PRDEFLt

Trong Phöông trình (4.5), ñaët raøng buoäc β2 = β3. Chuùng ta coù
(R) Ct = β1 + β2Wt + β2Pt + ut = β1 + β2(Wt + Pt) + ut (4.6)
= β1 + β2Yt + ut

vôùi Yt = Wt + Pt laø thu nhaäp toång hôïp. Phöông trình (4.5) laø moâ hình khoâng giôùi haïn (vôùi n
baäc töï do) vaø Phöông trình (4.6) laø moâ hình giôùi haïn. Do ñoù chuùng ta coù theå tính trò thoáng
keâ F Wald cho trong Phöông trình (4.3) (vôùi k – m = 1 bôûi vì chæ coù duy nhaát moät raøng
buoäc). Vì vaäy,

(ESSR – ESSU) / 1
Fc =
ESSU / (n – 3)

seõ ñöôïc kieåm ñònh vôùi F*1, n-3 (0,05) vaø baùc boû giaû thuyeát khoâng neáu Fc > F*.
Aùp duïng vaøo döõ lieäu tieâu duøng toång hôïp, ta coù Phöông trình öôùc löôïng (4.5) vaø (4.6).
(Xem phaàn thöïc haønh maùy tính 4.2)
^
Ct = – 222,16 + 0,69Wt + 0,47Pt ESSU = 38.977
^
C = – 221,4 + 0,71Y
t t ESS = 39.305 R
(39.305 – 38.977)
Fc = = 0,278
38.977 / 33



Töø Baûng A.4c, F*1,33(0,10) naèm giöõa 2,84 vaø 2,88. Vì Fc < F*, chuùng ta khoâng theå
baùc boû giaû thuyeát khoâng vaø keát luaän laø caùc xu höôùng bieân teá tieâu duøng ngoaøi löông vaø lôïi
nhuaän khoâng khaùc nhau moät caùch coù yù nghóa ôû möùc yù nghóa 10 phaàn traêm. Vì vaäy, maëc duø
giaù trò soá hoïc cuûa chuùng hoaøn toaøn khaùc nhau, veà maët thoáng keâ khaùc bieät naøy laø do ngaãu
nhieân.

PHÖÔNG PHAÙP 2 (KIEÅM ÑÒNH t GIAÙN TIEÁP) Trong phöông phaùp thöù hai, moâ hình ñöôïc thay
ñoåi theo caùch khaùc vaø kieåm ñònh t giaùn tieáp ñöôïc tieán haønh. Caùc böôùc thöïc hieän nhö sau:
Böôùc 1 Xaùc ñònh moät thoâng soá môùi, goïi laø δ, coù giaù trò baèng khoâng khi giaû thuyeát khoâng laø
ñuùng. Do ñoù khi H0 laø β2 = β3, chuùng ta seõ ñònh nghóa δ = β2 – β3, vaø khi giaû thuyeát
H0 laø β2 + β3 = 1 thì δ = β2 + β3 – 1.
Böôùc 2 Dieãn taû moät trong nhöõng tham soá theo δ vaø caùc tham soá coøn laïi, thay vaøo moâ hình
vaø nhoùm caùc soá haïng moät caùch hôïp lyù.
^
Böôùc 3 Tieán haønh kieåm ñònh t söû duïng δ, öôùc löôïng cuûa δ.

VÍ DUÏ 4.10

Trong tröôøng hôïp haøm tieâu thuï, δ = β2 – β3. Giaû thuyeát khoâng baây giôø trôû thaønh H0: δ = 0
ñoái vôùi H1: δ ≠ 0. Cuõng coù β3 = β2 – δ. Thay vaøo moâ hình ta coù

Ct = β1 + β2Wt + (β2 – δ)Pt + ut
= β1 + β2 (Wt + Pt) – δPt + ut

Vì Yt = Wt + Pt, moâ hình naøy trôû thaønh

Ct = β1 + β2Yt – δPt + ut (4.7)

Moâ hình naøy veà maët khaùi nieäm hoaøn toaøn töông ñöông vôùi Phöông trình (4.5). Baây giôø hoài
qui C theo moät soá haïng khoâng ñoåi, Y, vaø P, vaø söû duïng trò thoáng keâ t cho δ ñeå kieåm ñònh giaû
thuyeát mong muoán. Trong tröôøng hôïp naøy, kieåm ñònh giaûm ñeán kieåm ñònh t chuaån nhöng
theo moâ hình hieäu chænh. (Xem nhö baøi taäp thöïc haønh, haõy aùp duïng kyõ thuaät naøy ñoái vôùi β2
+ β3 = 1)
Ñoái vôùi döõ lieäu cuûa chuùng ta, Phöông trình öôùc löôïng (4.7) laø (xem phaàn thöïc haønh
maùy tính 4.2)
^
C = –222,16 + 0,69Y + 0,04P
t t t
(–11,4) (21,3) (0,5)



^
Caùc giaù trò trong ngoaëc ñôn laø trò thoáng keâ t töông öùng. Ñoái vôùi δ, giaù trò t laø 0,5, nhoû hôn
t*33(0,05) ôû giöõa 2,021 vaø 2,042. Do ñoù, ôû ñaây cuõng khoâng baùc boû giaû thuyeát khoâng.

PHÖÔNG PHAÙP 3 (KIEÅM ÑÒNH t TRÖÏC TIEÁP) Phöông phaùp cuoái cuøng aùp duïng moät kieåm ñònh
t tröïc tieáp vaø khoâng ñoøi hoûi öôùc löôïng cuûa moät heä soá hoài qui naøo khaùc.

Böôùc 1 Nhö trong phöông phaùp 2, xaùc ñònh moät thoâng soá môùi – goïi laø δ – coù giaù trò baèng
khoâng khi giaû thuyeát khoâng laø ñuùng. Do ñoù khi H0 laø β2 = β3, chuùng ta seõ ñònh
nghóa δ = β2 – β3, vaø khi giaû thuyeát H0 laø β2 + β3 = 1 thì δ = β2 + β3 – 1.
Böôùc 2 Tröïc tieáp laáy phaân phoái thoáng keâ cuûa δ, vaø söû duïng ñeå tính trò thoáng keâ t.
Böôùc 3 Tieán haønh kieåm ñònh t treân δ söû duïng tröïc tieáp ñeå tính trò thoáng keâ.

Kieåm ñònh tröôùc ñöôïc minh hoïa ôû ñaây chæ cho ví duï chuùng ta söû duïng, H0: β2 = β3.
(Xem nhö baøi taäp thöïc haønh, haõy aùp duïng phöông phaùp naøy ñoái vôùi giaû thuyeát β2 + β3 = 1)
Vì caùc öôùc löôïng OLS laø toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc quan saùt treân bieán phuï thuoäc vaø
do ñoù laø toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc soá haïng sai soá phaân phoái chuaån, chuùng ta bieát laø

^ ^
β2 ~ N(β2, σ2β^ ) β3 ~ N(β3, σ2β^ )
2 3

vôùi σ2 laø phöông sai töông öùng. Hôn nöõa, moät toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc bieán chuaån cuõng
phaân phoái chuaån. Do ñoù,

^ ^ ^ ^
β2 – β3 ~ [β2 – β3, Var(β2 – β3)]

^ ^ ^ ^ ^ ^
Töø Tính chaát 2.8a, phöông sai cuûa β2 –β3 tính baèng Var(β2) + Var (β3) – 2 Cov(β2,β3
). Chuyeån nhöõng soá treân veà phaân phoái chuaån chuaån hoùa (baèng caùch tröø ñi giaù trò trung bình
vaø chia cho ñoä leäch chuaån), chuùng ta coù

^ ^
β2 –β3 – (β2 – β3 )
~ N(0,1)
^ ^ ^ ^
[Var(β ) + Var(β ) – 2 Cov(β ,β )]1/2
2 3 2 3

Vôùi giaû thuyeát khoâng, H0: β2 – β3 = 0. Cuõng vaäy, chuùng ta khoâng bieát chính xaùc caùc phöông
sai vaø ñoàng phöông sai, nhöng coù theå öôùc löôïng ñöôïc chuùng (haàu heát caùc chöông trình maùy
tính ñeàu coù löïa choïn cung caáp caùc giaù trò naøy). Neáu chuùng ta thay caùc öôùc löôïng cuûa caùc
phöông sai vaø ñoàng phöông sai naøy, trò thoáng keâ treân khoâng coøn tuaân theo phaân phoái N(0,1)
maø theo phaân phoái thoáng keâ tn-k (n – 3 trong ví duï cuûa chuùng ta). Vì vaäy, coù theå söû duïng



cuøng kieåm ñònh t cho trò thoáng keâ tính töø ñaúûng thöùc treân vôùi caùc öôùc löôïng phuø hôïp ñöôïc
thay vaøo. Trò thoáng keâ t ñöôïc tính baèng
^ ^
β2 –β3
tc =
^ ^ ^ ^
[Var(β2) + Var(β3) – 2 Cov(β2,β3)]1/2

Vì β2 = β3 theo giaû thuyeát khoâng. Vôùi möùc yù nghó 5%, H0 bò baùc boû vaø giaû thuyeát H1: β2 - β3
> 0 ñöôïc cuûng coá neáu giaù trò tc lôùn hôn t*n-k(0,05). Ñoái vôùi tröôøng hôïp giaû thieát ngöôïc laïi coù
daïng hai phía, H1: β2 ≠ β3, ta tra giaù trò t*n-k(0,025) vaø baùc boû H0 neáu |tc| > t*. Vì phöông
phaùp naøy ñoøi hoûi phaûi thöïc hieän moät soá tính toaùn phuï, neân moät trong caùc phöông khaùc
thöôøng ñöôïc ñeà nghò söû duïng hôn phöông phaùp 3.

VÍ DUÏ 4.11:

Ñeå minh hoïa, chuùng ta xem phöông trình (4.5), phöông trình naøy ñöôïc öôùc löôïng töø taäp döõ
lieäu DATA4-2 ôû phuï luïc D. Phöông trình öôùc löôïng cuøng vôùi caùc trò phöông sai vaø ñoàng
phöông sai ñöôïc trình baøy döôùi ñaây (xem Phaàn Thöïc Haønh Maùy Tính 4.2):

C t = −222,16 + 0,693Wt + 0,736 Pt
ˆ
2
R = 0,999 d.f. = 33 ESS = 38.977

Varβ 2 = (0,032606) 2
ˆ Varβ 3 = (0,048822) 2
ˆ

Cov(β 2 , β 3 ) = −0,001552
ˆ ˆ

Trò thoáng keâ t ñöôïc tính theo:

0,693 − 0,736
tc = = −0,53
[(0,032606) + (0,048822)2 − 2(−0,001552)]1 / 2
2

Vì t*33(0,05) coù giaù trò naèm giöõa 2,021 vaø 2,042, vaø giaù trò naøy lôùn hôn nhieàu so vôùi giaù trò
tính toaùn nhieàu neân chuùng ta khoâng baùc boû giaû thuyeát H0 cho raèng khuynh höôùng caän bieân
chi tieâu töø tieàn löông vaø thu nhaäp khaùc laø nhö nhau. Keát quaû naøy giöõ nguyeân cho duø giaû
thuyeát ngöôïc laïi H1 laø moät phía hay hai phía.



Chuùng ta thaáy raèng caû ba phöông phaùp ñeàu cho ra cuøng moät keát quaû. Trong ba phöông
phaùp ñöôïc trình baøy, Phöông phaùp 2 thöïc hieän deã nhaát vì noù khoâng ñoøi hoûi caùc tính toaùn
phuï nhöng laïi coù theå söû duïng ñeå kieåm ñònh giaû thuyeát baèng pheùp kieåm ñònh t tröïc tieáp theo
moät moâ hình ñöôïc ñieàu chænh moät tí. Tuy nhieân, kieåm ñònh Wald ñöôïc trình baøy trong
phöông phaùp 1 coù theå ñöôïc aùp duïng trong nhieàu tröôøng hôïp toång quaùt hôn.

4.5. Caùc Sai Soá Ñaëc Tröng

Nhö ñaõ ñeà caäp tröôùc ñaây, vieäc löïa choïn caùc bieán ñoäc laäp vaø phuï thuoäc trong moâ hình kinh teá
löôïng phaûi ñöôïc döïa treân lyù thuyeát kinh teá, kieán thöùc veà caùc haønh vi tieàm aån, vaø kinh
nghieäm quaù khöù. Tuy nhieân, caùc baûn chaát caùc quan heä giöõa caùc bieán kinh teá laø khoâng bao
giôø bieát, vaø vì vaäy chuùng ta coù theå mong ñôïi nhöõng sai soá trong vieäc xaùc ñònh caùc ñaëc tröng
cuûa moâ hình kinh teá löôïng. Sai soá ñaëc tröng xaûy ra neáu chuùng ta xaùc ñònh sai moâ hình theo
caùc loaïi nhö choïn bieán, daïng haøm soá, hoaëc caáu truùc sai soá (nghóa laø soá haïng ngaãu nhieân ut
vaø caùc tính chaát cuûa noù). Trong phaàn naøy chuùng ta seõ khaûo saùt sai soá ñaëc tröng loaïi thöù
nhaát. Trong chöông 6 chuùng ta seõ xem xeùt ñeán vieäc löïa choïn caùc daïng haøm soá vaø caùc sai soá
ñaëc tröng cuûa soá haïng ngaãu nhieân seõ ñöôïc thaûo luaän ôû chöông 8 vaø 9.

Khi choïn caùc bieán ñoäc laäp cuûa moâ hình, ta coù theå phaïm phaûi hai loaïi sai soá sau: (1) boû
qua moät bieán thuoäc veà moâ hình vaø (2) ñöa vaøo moät bieán khoâng lieân quan. Trong haøm caàu,
neáu chuùng ta boû qua bieán giaù caû haøng hoùa hoaëc thu nhaäp cuûa hoä gia ñình, chuùng ta coù theå
gaây ra tröôøng hôïp sai soá ñaëc tröng loaïi thöù nhaát. Trong ví duï veà baát ñoäng saûn tröôùc ñaây, giaû
söû caùc bieán veà loaïi maùi lôïp hoaëc thieát bò ñieän söû duïng hoaëc khoaûng caùch ñeán caùc tröôøng hoïc
laân caän khoâng taùc ñoäng ñaùng keå ñeán giaù baùn ngoâi nhaø. Neáu chuùng ta vaãn tieáp tuïc ñöa
nhöõng bieán naøy vaøo moâ hình, chuùng ta seõ phaïm phaûi sai soá ñaëc tröng loaïi thöù hai, nghóa laø,
ñöa thöøa bieán vaøo moâ hình. Trong nhöõng phaàn sau, chuùng ta seõ xem xeùt caùc heä quaû lyù
thuyeát cuûa töøng loaïi sai soá ñaëc tröng naøy ñoàng thôøi trình baøy caùc baèng chöùng thöïc nghieäm.

Boû qua bieán quan troïng.

Ñaàu tieân chuùng ta khaûo saùt tröôøng hôïp trong ñoù moät bieán thuoäc veà moâ hình bò boû qua. Giaû
söû moâ hình thaät laø:

Yt = β1 + β2Xt2 + β3Xt3 + ut

Nhöng chuùng ta öôùc löôïng ñöôïc moâ hình

Yt = β1 + β2Xt2 + vt


Rama Ch4

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Vince Vo

More from Vince Vo (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Rama Ch4