Simulacion del número pi usando el método montecarlo

IO - II Salirrosas Vílchez Carolina
Gayoso Rojas Ynès
Simulación PI Mayo,2016
SIMULACIÓN DEL NÚMERO PI
POR EL MÉTODO
DE MONTECARLO
Autores: Gayoso Rojas Ynès
Salirrosas Vílchez Carolina
Mayo, 2016

Gayoso Rojas Ynès
RESUMEN
Para poder hallar el número PI en la actualidad disponemos de muchas herramientas, unas de ellas la
tecnológica en este caso se utilizará el software MICROSOFT EXCEL haciendo uso del famoso método
de simulación MONTECARLO donde el objetivo es mantener constantes las cifras del número pi de
manera que se pueda acercar lo más posible.

Gayoso Rojas Ynès
INTRODUCCIÓN
La simulación es un comportamiento que se suele suceder en nuestra vida diaria, hasta nosotros
mismos cuando hemos fingido sorpresa. Para poder lograrlo hace uso de los conocidos números
aleatorios, que se han convertido en la base de la simulación, lo cual nos permite producir muchos
valores sin dificultad alguna.
En este caso la necesidad de simular surge para poder obtener una cantidad matemática que es el
numero PI, constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro Π
= L/D.
En la historia se ha obtenido varias aproximaciones, siendo una de las constantes matemática más
utilizada en la actualidad. Por ello, tal vez sea la constante que más desean hallar los matemáticos.

Gayoso Rojas Ynès
ANTECEDENTES DE SIMULACIÓN DEL NÚMERO PI
La aguja de Buffon
Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un célebre naturalista francés autor de una monumental
Historia Natural en 44 tomos que recopilaba el conocimiento científico con un fin eminentemente
divulgativo. Hoy en día su nombre aparece muchas veces asociado a un problema denominado "La
aguja de Buffon" que relaciona el número pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie
rayada.
Buffon demostró que, si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que
hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la
aguja corte a una línea es:
Vamos a utilizar este resultado para medir
Material Necesario
 Una superficie con líneas paralelas (Puede servir una hoja de papel sobre la que previamente
hayas dibujado varias líneas equidistantes o un suelo embaldosado)
 Una aguja, palillo u objeto similar, de longitud menor o igual a la distancia entre líneas (Para
simplificar es conveniente que la distancia entre dos rayas coincida con la longitud de la aguja)
Método
 Deja caer, de la forma más aleatoria posible, la aguja sobre la superficie.
 Anota el número de tiradas y el número de veces que la aguja corta a una línea.
 El cociente entre el número total de tiradas y el número de veces que la aguja corta a una línea
tiende a pi/2 (se parecerá tanto más cuanto mayor sea el número de tiradas)

Gayoso Rojas Ynès
 Si la aguja tiene una longitud (L) menor que la distancia entre dos líneas (D):
(Livio, 2009, págs. 8-12)
Algoritmos de Simulación
Algoritmo de Gauss-Legendre
El algoritmo de Gauss-Legendre es un algoritmo para computar los dígitos de π. El método se basa en
los trabajos individuales de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y Adrien-Marie Legendre (1752-1833)
combinados con algoritmos modernos para la multiplicación y la raíz cuadrada. Sustituye repetidamente
dos números por sus medias aritmética y geométrica, para obtener una aproximación a su media
aritmética geométrica. La versión que se presenta aquí se conoce también como el algoritmo de Brent-
Salamin (o Salamin-Brent); que fue descubierto en 1975 y de forma independiente por Richard Brent y
Eugene Salamin. Se usó entre el 18 y el 20 de septiembre de 1999 para calcular los primeros
206.158.430.000 dígitos decimales de π, y el resultado se comprobó usando el algoritmo de Borwein.
1- Establecimiento del valor inicial:
ao = 1 bo = 1 to = 1 po = 1
2- Repetir las siguientes instrucciones hasta que la diferencia entre An y Bn se encuentre dentro de
la precisión deseada:
Xn+1 = an + bn
yn+1 = √an bn
tn+1 = tn –pn (an – xn+1)
an+1 = xn+1
3- π se aproxima usando An, Bn y Tn como:
π ≈ (an + bn)
2
2
√2 4
2
4tn

Gayoso Rojas Ynès
Las primeras tres iteraciones dan:
Simulación:
3.140…
3.14159264…
3.114159265358919
(Vergara, 2013, págs. 6,7)
Metodología usada
La manera de calcular PI consiste en que dentro de un plano cartesiano con coordenadas X y Y
tengamos un circulo. Por azar debemos atinarle a cualquier punto. Hay puntos que estarán fuera o
dentro del círculo. Debemos sumar cuantos puntos cayeron dentro y cuantos fuera.
Para ellos vamos a tener que hacer uso de dos métodos el método de Montecarlo y el de Pitágoras.
Método de Montecarlo
Es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y los ordenadores para imitar, mediante
modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales.
Método de Pitágoras
Para simular el cálculo del número PI, utilizamos el teorema de Pitágoras, ayudado de su teoría lo
adaptamos a las coordenadas X y Y.
Para saber si un punto está dentro del círculo o no Lo sabremos si calculamos la distancia entre el
punto generado al azar y el punto (1,1) que es el centro del círculo. Si la distancia es mayor que 1,
indica que esta fuera del círculo de radio 1.
(Vergara, 2013, págs. 15,16)

Gayoso Rojas Ynès
Trabajando en la hoja de Excel
Nuestra estructura será la siguiente:
 Fijar la cantidad de puntos que vamos a elegir y el número de círculos:
Aquí podemos solo podemos notar que los puntos están en la parte izquierda de amarillo y los círculos.
En la parte superior de color verde.
En este caso hemos trabajado con 200 000 puntos y 30 círculos.

Gayoso Rojas Ynès
 Pasamos a rellenar: es decir cómo salieron esos 1 y 0
Como vemos se ha utilizado la fórmula de Pitágoras, pero adaptada a números aleatorio:
=SI(0.25>=(ALEATORIO()-0.5)^2+(ALEATORIO()-0.5)^2;1;0)
Esta fórmula se copia en cada celda.
 Hallar cuantos cayeron DENTRO Y FUERA del cada círculo.
DENTRO: son los representados por el número 1.
La cantidad de puntos que cayeron dentro se halla con la fórmula:
Se selecciona el rango de números y luego se indica qué es lo que va a contar en este caso los
números UNO.
FUERA: son los representados por el número 0.
La cantidad de puntos que cayeron dentro se halla con la fórmula:
Se selecciona el rango de números y luego se indica qué es lo que va a contar en este caso los
números CERO.

Gayoso Rojas Ynès
SE DEBE DE HALLAR LOS DENTRO Y FUERA DE CADA CIRCULO
 Sacar el numero PI de cada circulo usando la fórmula:
𝝅 =
𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐
𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔
× 𝟒
 Se halla el promedio general de todos los PI de cada círculo.
Este se lleva a cabo utilizando la función PROMEDIO.
Presentación de resultados
Trabajando con la hoja de Excel usando 200 000 puntos y 30 círculos hemos podido mantener constante
dos cifras después de la coma es decir solo hasta 3,14.

Gayoso Rojas Ynès
Conclusiones
 Nuestro análisis será tanto más preciso cuanto mayor sea el número de puntos y círculos
seleccionados.
 Las simulaciones haciendo uso de un ordenador ayudan a facilitar el proceso y por supuesto
ahorrar tiempo.
 Un software es de mucha utilidad porque vienen incluidos funciones matemáticas como es el
MICROSOFT EXCEL.
 El método de Montecarlo nos saca de lo tradicional es decir nos conlleva a utilizar la tecnología
para realizar la simulación.
Bibliografía
Livio, M. (2009). LA PROPORCION AÚREA: la historia de phi, el numero mas enigmatico del mundo .
Barcelona: Ariel.
Vergara, P. S. (2013). Simulación del Número PI. Santiago: Escuela de Informática de la Universidad
Tecnológica Metropolitana.

Simulacion del número pi usando el método montecarlo

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (16)

Similar a Simulacion del número pi usando el método montecarlo

Similar a Simulacion del número pi usando el método montecarlo (20)

Último

Último (20)

Simulacion del número pi usando el método montecarlo