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  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7 7.1. CAMPOS VECTORIALES EN n 7.1. 7.2. DEFINICIONES 7.2. 7.3. PROPIEDADES 7.3. 7.4. CAMPOS VECTORIALES 7.4. CONSERVATIVOS 7.5. INTEGRALES DE LÍNEAS 7.6. TEOREMA DE GREEN 7.7. INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA 7.8. INTEGRALES DE SUPERFICIE 7.8.1 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE FUNCIONES ESCALARES. 7.8.2 TEOREMA DE STOKES 7.8.3 INTEGRALES DE FLUJO 7.8.4 TEOREMA DE GAUSS Objetivos. Se persigue que el estudiante: • Calcule integrales de línea. • Aplique el Teorema de GREEN. • Calcule el área de regiones planas empleando integrales de líneas. • Calcule integrales de Superficie. • Aplique el Teorema de Stokes. • Aplique el teorema de Gauss 227
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial En el capítulo de funciones de variables se definió funciones vectoriales generales de la forma F :U ⊆ n → m , ahora trataremos con funciones de la forma F :U ⊆ n → n n 7.1. CAMPOS VECTORIALES EN Sean f1 , f 2 , , fn funciones escalares de las variables x1, x2 , , xn definidas en una región Ω de n . La función F : U ⊆ n → n tal que F = ( f1 ( x x , , x ) , f 2 ( x x , , x ) , , f n ( x x , 1, 2 n 1, 2 n 1, 2 , xn ) ) se llama Campo vectorial sobre Ω . Si F :U ⊆ 2 → 2 se lo denota como F = ( M ( x, y ) , N ( x, y ) ) . Si F : U ⊆ 3 → 3 se lo denota como: F = ( M ( x, y , z ) , N ( x, y , z ) , P ( x, y , z ) ) Ejemplo F :U ⊆ 2 → 2 ( tal que F = 2 x + y, x 2 − y 2 ) Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son: • Campos de velocidades • Campos gravitacionales. • Campos de fuerzas eléctricas. Un campo conocido es el Gradiente, ∇f , de una función escalar f . ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ Si llamamos el vector ∇ = ⎜ , , ⎟ , operador NABLA, podemos ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ obtener la definición del gradiente y otras definiciones más. 7.2 DEFINICIONES Sea f una función escalar y F = ( M , N , P ) un campo vectorial. Se define: 1. El gradiente de f como el vector 228
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∇f = ⎜ , , ⎟ f = ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 2. La Divergencia de F como ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ • F = ⎜ , , ⎟ • (M , N, P) ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂M ∂N ∂P = + + ∂x ∂y ∂z 3. El rotacional de F como el vector i j k ∂ ∂ ∂ ∇× F = ∂x ∂y ∂z M N P 4. El Lapalciano de f como ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∇ 2 f = ∇ • ∇f = ⎜ , , ⎟ • ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂2 f ∂2 f ∂2 f = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 7.3 PROPIEDADES Sea f una función escalar y sean F y G campos vectoriales. Entonces: ( ) 1. ∇ • F + G = ∇ • F + ∇ • G 2. ∇ • ( f F ) = f ( ∇ • F ) + ( ∇f ) • F 3. ∇ × ( f F ) = f ( ∇ × F ) + ( ∇f ) × F 4. ∇ • ( F × G ) = ( ∇ × F ) • G + ( ∇ × G ) • F 5. ∇ × ( ∇f ) = 0 ( ) 6. ∇ • ∇ × F = 0 229
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial ( 7. ∇ × ∇f + ∇ × F = ∇ × ∇ × F ) Las demostraciones de estas propiedades se la dejamos al lector. 7.4 CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe alguna función diferenciable f tal que F = ∇f . La función f se llama función potencial de F . 7.4.1 Teorema. Un campo vectorial F es conservativo y si sólo si ∇ × F = 0 . Ejemplo 1 Determine si F = ( 2 xy, x 2 − y ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial. SOLUCIÓN: El rotacional de F sería: i j k i j k ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× F = = = ( 0, 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z M N P 2 xy x2 − y 0 Por tanto, F si es conservativo. ∂N ∂M Note que para campos de 2 , basta que = para ser conservativos. ¿Por qué?. ∂x ∂y Cuando el campo es conservativo la función potencial existe y además: ⎛ ∂f ∂f ⎞ F = ∇f = ⎜ , ⎟ = ( 2 xy, x 2 − y ) ⎝ ∂x ∂y ⎠ Es decir conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces: ∫ ∂f = 2 xy ⇒ f = 2 xy dx ⇒ f ( x, y ) = x 2 y + g ( y ) + C1 ∂x ∫( ∂f y2 = x2 − y ⇒ f = x 2 − y ) dy ⇒ f ( x, y ) = x 2 y − + h ( x ) + C2 ∂y 2 Haciendo superposición de soluciones, la función potencial sería: y2 f ( x, y ) = x 2 y − +C 2 230
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejemplo 2 Determine si F = ( 2 xy, x 2 + z 2 , 2 zy ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial. SOLUCIÓN: El rotacional de F sería: i j k i j k ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× F = = = ( 2 z − 2 z , 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z M N P 2 xy x2 + z 2 2 zy Por tanto, F si es conservativo. Ahora tenemos: ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ F = ∇f = ⎜ , , ⎟ = ( 2 xy, x 2 + z 2 , 2 zy ) ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Entonces ∫ f = 2 xy dx ⇒ f ( x, y, z ) = x 2 y + g ( y, z ) + C1 f = ∫( x 2 + z 2 ) dy ⇒ f ( x, y, z ) = x 2 y + z 2 y + h ( x, z ) + C2 f = ∫( 2 zy ) dz ⇒ f ( x, y, z ) = z 2 y + h ( x, y ) + C3 Haciendo Superposición de soluciones: f ( x, y, z ) = x 2 y + z 2 y + C 7.5 INTEGRALES DE LÍNEAS En los capítulos 6 y 7 tratamos integrales de funciones escalares sobre regiones de 2 o regiones de 3 , ahora trataremos integrales de funciones escalares y funciones vectoriales sobre curvas. 7.5.1 Integrales de líneas de funciones escalares. Sea f : U ⊆ n una función escalar de n variables definida en una región U que contiene una curva suave C de longitud finita, la integral de línea de f sobre C se define como: n ∫ f (x ,x , 1 2 , xn ) ds = lim Δ →0 ∑ f (x ,x , i =1 1 2 , xn ) Δs i C Supuesto que este límite exista. 231
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.5.1.1 Teorema. Calculo de una integral de línea como integral definida. Sea f continua en una región que contiene una curva suave C, definida por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b, entonces: ∫ f ds = ∫ ⎡⎣ f C C r ( t ) ⎤ r´( t ) dt ⎦ b = ∫ f ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) [ x1´( t )] + [ x2´( t )] + + [ xn ´( t )] dt 2 2 2 a Si f = 1 entonces tenemos ∫ ds , la longitud de la curva. C Ejemplo. Calcular ∫(x C 2 − y + 3 z ) ds donde C : segmento de recta desde el punto ( 0, 0, 0 ) al punto (1, 2,1) . SOLUCIÓN: ⎧x = 0 + t ⎪ La ecuación de C es ⎨ y = 0 + 2t ; es decir: r ( t ) = ( t , 2t , t ) . ⎪ ⎩z = 0 + t Entonces: ∫ ∫ C fds = C ⎡ f r ( t ) ⎤ r´( t ) dt ⎣ ⎦ 1 = ∫ 0 (t 2 − 2t + 3t ) 1 + 22 + 12 dt 1 = 6 ∫( 0 t 2 + t )dt 1 ⎛ t3 t2 ⎞ = 6⎜ + ⎟ ⎝ 3 2 ⎠0 ⎛1 1⎞ = 6⎜ + ⎟ ⎝3 2⎠ 5 6 = 6 232
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejemplo 2 Calcular ∫ xds C donde C : es la curva que se presenta en el gráfico: y (1,1) y=x y = x2 ( 0, 0 ) x SOLUCIÓN: Por la forma de C debemos hacer dos integrales; es decir: ∫ xds = ∫ xds + ∫ xds C C1 C2 donde C1 : y = x y C2 : y = x 2 . ⎧x = t Para la primera integral C1 = ⎨ ⎩y = t 1 ∫ ∫ 1 ⎛ t2 ⎞ 2 xds = t 1 + 1 dt = 2 ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝ 2 ⎠0 2 C1 0 ⎧x = t Para la segunda integral C2 = ⎨ ⎩y = t 2 1 2 (1 + 4t ) 0 0 3 ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 32 xds = t 12 + ( 2t ) dt = t 1 + 4t 2 dt = = − 5 2 3 8 12 12 C2 1 1 0 Por tanto: ∫ ∫ ∫ 2 1 1 32 xds = xds + xds = + − 5 2 12 12 C C1 C2 233
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.5.2 Integrales de línea de Campos vectoriales. Sea F : U ⊆ n → n un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . La integral de línea de F sobre C se define como: ∫ F • d r = ∫ F • T ds C C r´( t ) Reemplazando T= y ds = r´( t ) dt r´( t ) r´( t ) b ∫ C F • T ds = F • ∫ a r´( t ) r´( t ) dt Entonces: ∫ F • d r == ∫ ⎡( F ( x ( ) , x ( ) , C ⎣ C 1 t 2 t , xn ( t ) ) ) • ( r´( t ) )⎤ dt ⎦ Ejemplo Calcular ∫ C F • d r donde F = ( x, − xy, z 2 ) y C es la curva definida por r ( t ) = ( cos t , sent , t ) desde el punto ( 0, 0, 0 ) hasta el punto (1, 0, 2π ) . SOLUCIÓN: 2π ∫ C F • dr = ∫( 0 x, − xy, z 2 ) • ( − sent ,cos t ,1) dt 2π = ∫( 0 cos t , − cos tsent , t 2 ) • ( − sent ,cos t ,1) dt 2π = ∫ 0 ( − cos tsent − cos 2 tsent + t 2 ) dt 2π ⎛ cos 2 t cos3 t t 3 ⎞ =⎜ + + ⎟ ⎝ 2 3 3⎠0 ⎛ 1 1 8π 3 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ =⎜ + + ⎟ − ⎜ + + 0⎟ ⎝ 2 3 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠ 8π 3 = 3 234
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial La integral de línea que acabamos de definir se la puede interpretar como el trabajo que tiene que realizar un campo F al desplazar una partícula sobre la curva C , si denotamos al trabajo como W , entonces: W = F • dr ∫ C 7.5.2.1 Forma Diferencial En la integral ∫ ⎡ F • r´( t )⎤ dt C ⎣ ⎦ Suponga que F = ( M , N , P ) y que C : r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) ⎛ dx dy dz ⎞ entonces tenemos que r´(t ) = ⎜ , , ⎟ ⎝ dt dt dt ⎠ Reemplazando: ⎡ dx dy dz ⎤ ⎡ F • r´( t ) ⎤ dt = ⎢( M , N , P ) • ⎛ , , ⎞ ⎥ dt ∫ C ⎣ ⎦ C⎣ ∫ ⎜ ⎟ ⎝ dt dt dt ⎠ ⎦ Entonces: ∫ ⎡ F • r´( t )⎤ dt = ∫ Mdx + Ndy + Pdz C ⎣ ⎦ C Ejemplo Calcular ∫ C F • d r donde F = ( y, x 2 ) y C : y = 4 x − x 2 desde el punto ( 4, 0 ) hasta el punto (1,3) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial ∫ C F •dr = ∫ C Mdx + Ndy = ∫C ydx + x 2 dy En este caso y = 4 x − x 2 entonces dy = ( 4 − 2 x ) dx Reemplazando: 235
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 1 ∫C ydx + x dy = 2 ∫ 4 ( 4 x − x ) dx + x ( 4 − 2 x ) dx 2 2 1 = ∫ 4 ( 4x − x 2 + 4 x 2 − 2 x3 ) dx 1 = ∫( 4 4 x + 3 x 2 − 2 x3 ) dx 1 ⎛ x2 x3 x4 ⎞ = ⎜4 +3 −2 ⎟ ⎝ 2 3 4 ⎠4 69 = 2 Ejercicios Propuestos 7.1 1. Calcular ∫ F • dr siendo C la trayectoria C (t ) = (t − 1)3 + 1, cos 5 (πt ), − cos 8 (πt ) , C ( t ∈ [1,2] y F ( x, y, z ) = 2 xz 3 + 6 y, 6 x − 2 yz, 3x 2 z 2 − y 2 ) 2. La fuerza ejercida por una carga eléctrica ubicada en el origen sobre una partícula cargada situada en un punto (x,y,z) , con vector posición r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) es F (r ) = k r 3 r ,donde k es una constante. Encuentre el trabajo realizado cuando la partícula se mueve a lo largo de una recta de (2,0,0) a (2,1,5). Veamos ahora que existen campos vectoriales que producen el mismo efecto independientemente de la trayectoria. 7.5.3 Independencia de la Trayectoria Ejemplo Calcular ∫ C F • d r donde F = ( 4 xy, 2 x 2 ) y C : y = x 2 desde el punto ( 0, 0 ) hasta el punto (1,1) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial ∫ C F •dr = ∫ C Mdx + Ndy = ∫ C 4 xydx + 2 x 2 dy 236
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial En este caso y = x 2 entonces dy = 2 xdx Reemplazando: 1 ∫ C 4 xydx + 2 x 2 dy = ∫ 0 4 x ( x 2 ) dx + 2 x 2 ( 2 xdx ) 1 = ∫ 0 8 x3 dx 1 8x4 = 4 0 =2 • Si empleamos la trayectoria y = x 3 entonces dy = 3x dx 2 Reemplazando: 1 ∫ C 4 xydx + 2 x dy = 2 ∫ 0 4 x ( x3 ) dx + 2 x 2 ( 3 x 2 dx ) 1 = ∫ 0 10 x 4 dx 1 10 x5 = 5 0 =2 • Si empleamos la trayectoria y = x entonces dy = dx Reemplazando: 1 ∫ C 4 xydx + 2 x dy = 2 ∫ 0 4 x ( x ) dx + 2 x 2 ( dx ) 1 = ∫ 0 6 x 2 dx 1 6 x3 = 3 0 =2 Note que se obtienen los mismos resultados para diferentes trayectorias, además observe que el campo F es conservativo debido a que: ∂N ∂M = ∂x ∂y ∂ ( 2 x2 ) ∂ ( 4 xy ) = ∂x ∂y 4x = 4x 237
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.5.3.1 Teorema Si F es continuo en una región abierta conexa, entonces la integral de línea ∫ F •dr C es independiente del camino si y sólo si F es conservativo. Ejemplo Calcular ∫C F • d r donde F = ( y 3 + 1,3 xy 2 + 1) y C : r ( t ) = (1 − cos t , sent ) desde el punto ( 0, 0 ) hasta el punto ( 2, 0 ) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial ∫C F •dr = ∫ C Mdx + Ndy = ∫( C y 3 + 1) dx + ( 3xy 2 + 1) dy ⎧ x = 1 − cos t ⎧dx = sentdt En este caso ⎨ entonces ⎨ ⎩ y = sent ⎩dy = cos tdt Reemplazando: ∫( C y 3 + 1) dx + ( 3 xy 2 + 1) dy = ∫( C sen3t + 1) ( sentdt ) + ( 3 (1 − cos t ) sen 2 t + 1) ( cos tdt ) Se observa que a integral está difícil de evaluar. Ahora veamos si F es conservativo: ∂N ∂M = ∂x ∂y ∂ ( 3xy 2 + 1) ∂ ( y 3 + 1) = ∂x ∂y 3y = 3y 2 2 Como F si es conservativo, entonces es independiente de la trayectoria: 238
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial y ( x − 1) + y2 = 1 2 ⎧ x = 1 − cos t ⎨ ⎩ y = sent x ( 0,0 ) ( 2,0 ) Mejor empleemos una trayectoria simple: y = 0 entonces dy = 0 Reemplazando: 2 ∫( C y 3 + 1) dx + ( 3xy 2 + 1) dy = ∫( 0 0 + 1) dx + ( 0 + 1)( 0 ) 2 = ∫ 0 dx = x0 2 =2 Sin embargo podemos evaluar la integral de línea de otra manera para campos conservativos. 7.5.3.2 Teorema Fundamental Sea C una curva suave a trozos situada en una región abierta R dada por dada por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . Si F = ( M , N , P ) es conservativo en R ; y M , N y P son continuas en R entonces: ∫ F • d r = ∫ ∇f •d r = f C C final − finicial Siendo f una función potencial de F . Es decir: 239
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∫ C C ∫ F • d r = ∇f •d r = ⎜ , , ⎟ • ( dx, dy, dz ) C⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∫ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ C⎝ ∫ = ⎜ dx + dy + dz ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎠ = df ∫ C = f final − f inicial Ejemplo 1 En el ejemplo anterior, como F = ( y 3 + 1,3 xy 2 + 1) es conservativo podemos encontrar su función potencial y aplicar el teorema anterior: Hallando la función potencial. ∂f = y 3 + 1 ⇒ f = ( y 3 + 1) x + g ( y ) + C1 ∂x ∂f = 3 xy 2 + 1 ⇒ f = xy 3 + y + h ( x ) + C2 ∂y Entonces: f ( x, y ) = xy 3 + x + y + C ∫ C F • d r = f final − finicial = ⎡ 2 ( 03 ) + 2 + 0 + C ⎤ − ⎡ 0 ( 0 3 ) + 0 + 0 + C ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =2 Ejemplo 2 ∫ ⎛z z ⎞ ⎛ 1 ⎞ Calcular F • d r donde F = ⎜ , , ln xy ⎟ y C : r (t ) = ⎜ , t 2 + t + 1, t ⎟ ⎝ x y ⎠ ⎝ 1+ t2 ⎠ C −1 ≤ t ≤ 1 . SOLUCIÓN: Realizar el cálculo de la integral de lineal convencionalmente puede resultar complicado. Veamos si F es conservativo: i j k i j k ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ x 1 y 1 ⎞ ∇× F = = = ⎜ − , − , 0 − 0 ⎟ = ( 0, 0, 0 ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ⎝ xy y xy x ⎠ M N P z z ln xy x y 240
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial Entonces F es conservativo y por ende independiente de la trayectoria; se podría utilizar una trayectoria simple, por ejemplo el segmento de recta que va desde el punto: ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ r ( −1) = ⎜ , ( −1) + ( −1) + 1, ( −1) ⎟ = ⎜ ,1, −1⎟ 2 ⎜ 1 + ( −1)2 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ al punto: ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ r (1) = ⎜ , (1) + (1) + 1, (1) ⎟ = ⎜ ,3,1⎟ 2 ⎜ 1 + (1)2 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ O mejor aún, se podría utilizar la función potencial, hallémosla: ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ⎛ z z ⎞ F = ∇f = ⎜ , , ⎟ = ⎜ , ´, ln xy ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ x y ⎠ ∫ z f = dx = z ln x + g ( y, z ) + C1 x ∫ z f = dy = z ln y + h ( x, z ) + C2 y f = ∫ ln xydz = z ln xy + I ( x, y ) + C3 = z ln x + z ln y + g ( x, y ) + C3 Por tanto f ( x, y, z ) = z ln xy + C ∫ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ F • d r = f ⎜ ,3,1⎟ − f ⎜ ,1, −1⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ C ⎡ ⎛1 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛1 ⎞ ⎤ = ⎢1ln ⎜ ( 3) ⎟ + C ⎥ − ⎢( −1) ln ⎜ (1) ⎟ + C ⎥ ⎣ ⎝2 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝2 ⎠ ⎦ 3 1 = ln + ln 2 2 3 = ln 4 Ejercicios Propuestos 7.2 1. Dado el campo vectorial F ( x, y, z ) = (2 xyz + sen x )i + x 2 zj + x 2 yk , demostrar que F es un campo conservativo y encontrar su función potencial. Si la trayectoria es cerrada y si el campo es conservativo y continuo dentro de la región que encierra la curva entonces: ∫ F •dr = 0 C Ejemplo ∫ ⎛ −y x ⎞ Calcular F • d r donde F = ⎜ 2 , 2 2 ⎟ y C : x2 + y2 = 1 ⎝x +y x +y ⎠ 2 C SOLUCIÓN: Veamos si F es conservativo. Como es un campo de 2 : 241
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial ⎞ 1( x + y ) − x ( 2 x ) 2 2 ∂N ∂ ⎛ x − x2 + y 2 = ⎜ ⎟ = = ∂x ∂x ⎝ x 2 + y 2 ( x2 + y 2 ) ( x2 + y2 ) 2 2 ⎠ ⎞ −1( x + y ) − y ( 2 y ) 2 2 ∂M ∂ ⎛ −y − x2 + y2 = ⎜ ⎟ = = ∂y ∂x ⎝ x 2 + y 2 ( x2 + y 2 ) ( x2 + y2 ) 2 2 ⎠ Por tanto F si es conservativo. Como la trayectoria es cerrada se podría pensar que el valor de la integral de línea debería ser cero, pero observe que el campo no es continuo en ( 0, 0 ) , entonces debemos evaluar la integral de línea. ⎧ x = cos t La curva en forma paramétrica es C : ⎨ y en forma vectorial r ( t ) = ( cos t , sent ) ⎩ y = sent La Integral de línea sería: 2π ∫ ∫ ∫ ⎛ −y x ⎞ 2 ⎟( F •dr = F • r´ dt = ⎜ 2 , 2 − sent , cos t ) dt ⎝x +y x +y ⎠ 2 C C 0 2π ∫ ⎛ − sent cos t ⎞ = ⎜ , ⎟ ( − sent , cos t ) dt ⎝ 1 1 ⎠ 0 2π = ∫(0 sen 2 t + cos 2 t ) dt 2π = ∫ 0 dt = 2π Existe otro mecanismo para evaluar integrales de líneas en el caso de caminos cerrados. 7.6 TEOREMA DE GREEN Sea F = ( M , N ) un campo vectorial de 2 . Sea R una región simplemente conexa con frontera C suave a trozos orientada en sentido ∂N ∂M antihorario. Si M , N , , son continuas en ∂x ∂y una región abierta que contiene a R , entonces: ⎛ ∂N ∂M ⎞ C ∫ C ∫ F • d r = Mdx + Ndy = ⎜ R ⎝ − ∂x ∂y ⎠ ⎟dA ∫∫ 242
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejemplo 1 Calcular ∫C F • d r donde F = ( y 3 , x 3 + 3 xy 2 ) y C : es el camino desde ( 0, 0 ) a (1,1) sobre y = x 2 y desde (1,1) a ( 0, 0 ) sobre y = x . SOLUCIÓN: La evaluaremos primero empleando una integral de línea y luego por el Teorema de Green para comparar procedimientos y comprobar resultados. y (1,1) y=x y = x2 x ( 0,0 ) PRIMER MÉTODO: Por integral de línea: ∫C F •dr = ∫C Mdx + Ndy = ∫C y 3 dx + ( x 3 + 3xy 2 ) dy Hay 2 trayectorias: C1 : y = x 2 entonces dy = 2 xdx 1 ∫ y 3 dx + ( x 3 + 3 xy 2 ) dy = ∫ (x ) 2 3 ( dx + x3 + 3x ( x 2 ) 2 ) ( 2 xdx ) C1 0 1 = ∫ 0 (x 6 + 2 x 4 + 6 x 6 )dx 1 = ∫ 0 (7x 6 + 2 x 4 )dx 1 x7 x5 =7 +2 7 5 0 7 = 5 243
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial C2 : y = x entonces dy = dx 0 ∫ y dx + ( x + 3 xy ) dy = ∫( ) ( x dx + x 3 + 3 x ( x ) ) ( xdx ) 3 3 2 3 2 C2 1 0 = ∫( 1 x 3 + x 3 + 3 x 3 )dx 0 = ∫( 1 5 x 3 )dx 0 x4 =5 4 1 5 =− 4 Por lo tanto: ∫ ∫ ∫ 7 5 3 F •dr = F •dr + F •dr = − = 5 4 20 C C1 C2 SEGUNDO METODO: Empleando el TEOREMA DE GREEN ⎛ ∂ ( x 3 + 3xy 2 ) ∂ ( y 3 ) ⎞ ∫ ∫∫ ∫∫ ⎛ ∂N ∂M ⎞ F •dr = ⎜ − ⎟dA = ⎜ − ⎟dA ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎜ ∂x ∂y ⎟ C R R ⎝ ⎠ La región R es: y (1,1) R y=x y = x2 x ( 0,0 ) 244
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 1 x ∫∫ ∫∫ ⎛ ∂N ∂M ⎞ ⎜ − ⎟dA = ( 3x 2 + 3 y 2 − 3 y 2 ) dydx ⎝ ∂x ∂y ⎠ R 0 x2 1 x = ∫∫( 0 x3 3x 2 ) dydx 1 ∫ x = 3x 2 y dx x2 0 1 = ∫ 0 3x 2 ( x − x 2 ) dx 1 = ∫ 0 ( 3x 3 − 3x 4 ) dx x4 x5 =3 −3 4 5 3 3 = − 4 5 3 = 20 Ejemplo 2 Calcular ∫ C F • d r donde F = ( arc senx + y 2 , cos y − x 2 ) y C : es el camino que se describe en la gráfica: y 2 x2 + y 2 = 4 x2 + y 2 = 1 1 x −2 −1 1 2 SOLUCIÓN: Aquí es mejor por GREEN, ¿Porqué? 245
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial ∫ ∫∫ ⎛ ∂N ∂M ⎞ F •dr = ⎜ − ⎟dA ⎝ ∂x ∂y ⎠ C R ⎛ ∂ ( cos y − x 2 ) ∂ ( arc senx + y 2 ) ⎞ = ∫∫ R ⎜ ⎜ ⎝ ∂x − ∂y ⎟dA ⎟ ⎠ = ∫∫ ( R −2 x − 2 y )dA Pasando a Polares: π 2 ∫∫ (R −2 x − 2 y )dA = −2 ∫∫( 0 1 r cos θ + rsenθ ) rdrdθ π 2 = −2 ∫∫( 0 1 cos θ + senθ ) r 2 drdθ π ∫ 2 r3 = −2 ( cos θ + senθ ) dθ 31 0 ⎛ 23 13 ⎞ π = −2 ⎜ − ⎟ ( senθ − cos θ ) 0 ⎝ 3 3⎠ ⎛8 1⎞ = −2 ⎜ − ⎟ ⎡1 − ( −1) ⎤ ⎣ ⎦ ⎝3 3⎠ 28 =− 3 7.7 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA. Con integrales de líneas también podemos calcular el área de regiones 1 1 planas. En la formula de Green, si tomamos M =− y y N= x entonces 2 2 ⎛ ∂N ∂M ⎞ ∫∫ R ⎜ ⎝ − ⎟dA = ∂x ∂y ⎠ ∫ Mdx + Ndy C ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞⎞ 1 1 ∫∫ R ⎜ 2 − ⎜ − 2 ⎟ ⎟dA = ⎝ ⎝ ⎠⎠ ∫ C − ydx + xdy 2 2 1 ∫∫ R dA = 2 ∫ xdy − ydx C 246
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.7.1 Teorema Sea R una región plana limitada por una curva cerrada simple a trozos C . El área de R viene dada por: 1 A= 2C xdy − ydx ∫ Ejemplo 1 Emplear una integral de línea para calcular el área de la región limitada por ⎧ y = 2x +1 ⎨ ⎩y = 4 − x 2 SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo de la región y 4 C2 : y = 4 − x 2 3 (1,3) R −3 1 x C1 : y = 2 x + 1 ( −3, −5) −5 La curva C que encierra R está compuesta por dos trayectorias diferentes, calcularemos la integral de línea por cada trayectoria, y luego sumaremos los resultados. Primero: C1 : y = 2 x + 1 entonces dy = 2dx Reemplazando y evaluando: 247
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 1 ∫ ∫( 1 1 xdy − ydx = x 2dx ) − ( 2 x + 1) dx 2 2 C1 −3 1 ∫( 1 = 2 x − 2 x − 1) dx 2 −3 1 ∫ 1 = −dx 2 −3 1 1 = − x −3 2 = −2 Segundo: C2 : y = 4 − x 2 entonces dy = −2 xdx Reemplazando y evaluando: −3 ∫ ∫ x ( −2 xdx ) − ( 4 − x 2 ) dx 1 1 xdy − ydx = 2 2 C2 1 −3 ∫( −2 x 2 + x 2 − 4 ) dx 1 = 2 1 −3 ∫( − x 2 − 4 ) dx 1 = 2 1 −3 1 ⎛ x3 ⎞ = − ⎜ + 4x ⎟ 2⎝ 3 ⎠1 38 = 3 Finalmente, sumando: 38 32 A = −2 + = 3 3 Ejemplo 2 x2 y2 Hallar el área de la elipse con ecuación + =1 a 2 b2 SOLUCIÓN: ⎧ x = a cos t Las ecuaciones paramétrica de la elipse son: C : ⎨ ⎩ y = bsent ⎧dx = − asent dt Entonces ⎨ ⎩dy = b cos t dt Reemplazando en la formula anterior y luego evaluando, resulta: 248
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 2π ∫ ∫( 1 1 A= xdy − ydx = a cos t )( b cos tdt ) − ( bsent )( −asentdt ) 2 2 C 0 2π ∫ 1 = ab cos 2 tdt + absen 2 tdt 2 0 2π ∫ ab ( cos 2 t + sen 2 t ) dt 1 = 2 0 2π ∫ 1 = abdt 2 0 2π ∫ 1 = ab dt 2 0 1 2π = ab t 0 2 = π ab Ejercicios Propuestos 7.3 ∫x dy − y 3 dx 3 3. Calcular donde C es el círculo unitario centrado en el origen. C 4. Sea F ( x, y ) = xe − y , − x 2 ye − y + 1 x 2 + y 2 2 2 ( ) , calcular el trabajo de F en el contorno del cuadrado determinado por: x ≤ a ; y ≤a ∫x ydx − y 2 xdy ; donde C es la curva que consta del arco 2 5. Evaluar la integral C 4 y = x de (0,0) a (2,2) y del segmento de recta que va de (2,2) a (0,0) 3 ∫ 2 (x ) + y 2 dx + ( x + y )2 dy , siendo C el 2 6. Verificar el teorema de Green en la integral C contorno del triángulo con vértices en los puntos (1,1),(2,2), (1,3). ∫ xydx + 2 x 2 7. Hallar dy donde C consta de los segmentos de recta que van desde (0,2) a (- C 2,0) y de allí a (2,0) y luego la parte de la circunferencia x 2 + y 2 = 4 para x>0 y y>0. 8. Una partícula empieza en el punto (-2,0), se mueve a lo largo del eje x hacia (2,0) y luego a lo largo de la semicircunferencia y = 4 − x 2 hacia el punto inicial. Encontrar el trabajo sobre esta partícula por el campo de fuerzas F ( x, y ) = x, x 3 + 3 xy 2 . ( ) ⎡ ⎞⎤ dy 9. Calcular: ∫ x 2 + y 2 dx + y ⎢ xy + ln⎛ x + x 2 + y 2 ⎜ ⎟⎥ , donde C es la ⎣ ⎝ ⎠⎦ circunferencia x 2 + y 2 = a 2 10. Utilizando una integral de línea calcular el área de la región encerrada por la curva 2 2 2 x 3 +y 3 =a 3 11. Empleando una integral de línea, encuentre el área de la región R limitada por las gráficas y = x 2 + 2 ; y = − x ; x = −2 ; x = 2 . 249
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.8 INTEGRALES DE SUPERFICIE 7.8.1 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE FUNCIONES ESCALARES. En el capítulo de integrales Dobles se estableció la manera de calcular área de una superficie, ahora se trata de calcular el efecto de una función escalar sobre una superficie. Es decir, evaluar integrales del tipo: ∫∫ f ( x, y, z ) dS S Ejemplo. Calcular ∫∫ ( S xyz ) dS donde S : porción del plano x + y + z = 3 en el primer octante. SOLUCIÓN: Primero hacemos un dibujo de la superficie: z 3 S : z = 3− x − y 3 y 3 x Proyectamos la superficie en el plano xy , por tanto: ∫∫S ( xyz ) dS = ∫∫ R ( xyz ) 1 + z x 2 + z y 2 dydx La región de integración sería: 250
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial y 3 y = 3− x x 3 Haciendo las sustituciones correspondientes y evaluando la integral doble: 3 3− x ∫∫ ( xyz ) 1 + z x + z y dydx = ∫ ∫( xy ( 3 − x − y ) ) 1 + ( −1) + ( −1) dydx 2 2 2 2 R 0 0 3 3− x = 3 ∫∫ 0 0 ( 3xy − x 2 y − xy 2 )dydx 3 3− x ∫ ⎡ 2 y3 ⎤ ⎢( 3 x − x ) − x ⎥ dx 2 y = 3 ⎣ 2 3 ⎦0 0 3 ⎡ (3 − x ) (3 − x ) ⎤ ∫ 2 3 = 3 ⎢ x (3 − x ) −x ⎥ dx ⎢ ⎣ 2 3 ⎥ ⎦ 0 3 ∫ ⎛1 1⎞ = 3⎜ − ⎟ x ( 3 − x ) dx 3 ⎝ 2 3⎠ u dv 0 3 ⎡ ⎤ 3 ⎢ (3 − x ) (3 − x ) ∫ 4 4 = x − dx ⎥ 6 ⎢ −4 −4 ⎥ ⎢ ⎣ ⎥0 ⎦ 3 3 ⎡ (3 − x ) (3 − x ) ⎤ 4 5 = ⎢x − ⎥ 6 ⎢⎣ −4 20 ⎥0 ⎦ 3 ⎡ 35 ⎤ = ⎢ ⎥ 6 ⎣ 20 ⎦ 81 3 = 40 Las integrales de funciones escalares sobre superficies parametrizas serían de la forma: ∫∫ R´ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) r u × r v dudv 251
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejercicios propuestos 7.4 ∫∫ (x ) ( ) 2 1. Evaluar + y 2 dS , siendo S la superficie del cono z 2 = 3 x 2 + y 2 entre z=0 y S z=3 2. Considere la superficie S = S1 ∪ S 2 , siendo S1 la superficie del cilindro x 2 + y 2 = 4 entre z=1 y z=2, S2 la superficie semiesférica x + y + ( z − 2 ) = 4, 2 2 2 z ≥ 2 . Si F = (z , x, y ) , evaluar la integral ∫∫ (∇ × F )• ndS S Las integrales de superficies nos permitirán evaluar integrales de funciones vectoriales sobre curvas que encierran superficies, para lo cual tenemos una generalización del teorema de GREEN. 7.8.2 TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada con vector unitario N cuyo contorno es una curva cerrada simple C , suave a trozos. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta R que contiene a S y a C , entonces: ∫ F • d r = ∫∫ ( ∇ × F ) • N dS C S Ejemplo. Comprobar el Teorema de Stokes para F = ( 2 z , x, y 2 ) , S : superficie del paraboloide z = 5 − x 2 − y 2 y C : traza de S en el plano z = 1 . SOLUCIÓN: Identificando S y C : z S : x2 + y 2 + z = 5 ∇S N= ∇S C : x2 + y 2 = 4 z =1 y x 252
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial POR INTEGRAL DE LÍNEA. ∫ C F •dr = ∫ C Mdx + Ndy + Pdz = ∫C 2 zdx + xdy + y 2 dz ⎧ x = 2 cos t ⎧dx = −2 sent dt ⎪ ⎪ En este caso C : ⎨ y = 2 sent entonces ⎨ dy = 2 cos t dt ⎪z = 0 ⎪dz = 0 ⎩ ⎩ Reemplazando y evaluando: 2π ∫ 2 zdx + xdy + y dz = ∫ 2 ( 0 ) [ −2sentdt ] + ( 2 cos t ) [ 2 cos tdt ] + ( 2 sent ) ( 0 ) 2 2 C 0 2π = ∫0 4 cos 2 tdt 2π (1 + cos 2t ) =4 ∫ 0 2 dt 2π ⎛ sen 2t ⎞ = 2⎜t + ⎟ ⎝ 2 ⎠0 = 4π APLICANDO EL TEOREMA DE STOKES. POR INTEGRAL DE SUPERFICIE. ∫C F •dr = ∫∫ ( S ) ∇ × F • N dS Calculando el rotacional, el vector normal a la superficie y el diferencial de superficie: i j k ∂ ∂ ∂ ∇× F = = ( 2 y, 2,1) ∂x ∂y ∂z 2z x y2 ∇S ( 2 x, 2 y,1) N= = ∇S ( 2x) + ( 2 y ) +1 2 2 dS = ( 2x ) + ( 2 y ) + 1 dydx 2 2 Reemplazando: ( 2 x, 2 y,1) ∫∫ (∇ × F ) • N dS = ∫∫ ( 2 y, 2,1) • ( 2 x ) + ( 2 y ) + 1 dydx 2 2 ( 2x) + (2 y ) +1 2 2 S R = ∫∫ (R 4 xy + 4 y + 1) dydx En este caso la región de integración es el círculo centrado en el origen de radio 2, pasando a coordenadas cilíndricas: 253
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 2π 2 ∫∫ ( R 4 xy + 4 y + 1) dydx = ∫ ∫( ( 0 0 4 r cos θ )( rsenθ ) + 4rsenθ + 1) rdrdθ 2π ∫ 2 ⎡ r4 r3 r 2 ⎤ = ⎢ 2 sen2θ + 4senθ + ⎥ dθ ⎣ 4 3 2 ⎦0 0 2π ∫ ⎡ 24 23 2 2 ⎤ = ⎢ 2 sen2θ + 4senθ + ⎥ dθ ⎣ 4 3 2⎦ 0 2π ⎡ ⎛ − cos 2θ ⎞ 32 ⎤ = ⎢8 ⎜ ⎟ + ( − cos θ ) + 2θ ⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠ 3 ⎦0 = 4π Ejercicios propuestos 7.5 1. Calcular ∫∫ (rotF )• ndS , donde F ( x, y, z ) = y 2 i + xyj + xzk y S es la superficie S semiesférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 con z >0 2. Comprobar el teorema de Stokes si F ( x, y, z ) = ( y − z )i + ( z − x ) j + ( x − y )k calculando la circulación a lo largo de la curva de intersección de x 2 + y 2 = 1 con x + z = 1. 3. Calcule el trabajo efectuado por el campo de fuerza ( F ( x, y , z ) = x + z i + y + x x 2 ) ( y 2 ) j + (z z 2 ) + y k ;cuando una partícula se mueve bajo su influencia alrededor del borde de la porción de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que se encuentra en el primer octante, en dirección opuesta a la de las manecillas del reloj cuando se observa desde arriba. 4. Calcular ∫ ( y − z )dx + (z − x )dy + (x − y )dz . Donde C es la curva de intersección entre C las superficies x 2 + y 2 = 1 ; x + z = 1 . 5. ( Dado el campo de fuerzas F ( x, y , z ) = 2 x + 2 y,2 x,3 z 2 . Encontrar el trabajo que ) realizará F al mover una partícula a través de los puntos: (0,0,0 ) → (1,2,0 ) → (1,2,5 ) ⎛ x⎞ ⎛ 6. Evaluar ∫ F • dr , siendo F = ⎜ arctg y ⎟i + ⎜ ln ⎜ ⎟ ⎝ x 2 + y 2 ⎞ j + k y C: el triángulo ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ C con vértices (0,0,0), (1,1,1), (0,0,2). 7. Evaluar ∫ ( y + z )dx + (x + z )dy + (x + y )dz donde C es la frontera de la superficie C x + y + z2 =1 ; z ≥ 0 2 2 ∫− y dx + x 3 dy − z 3 dz ;donde C es la intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 , 3 8. Calcular C y el plano x+y+z=1, y la orientación de C corresponde al movimiento en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ∫ (y ) ( ) ( ) − z 2 dx + z 2 − x 2 dy + x 2 − y 2 dz ; donde C es la curva de 2 9. Calcular C intersección de la superficie del cubo 0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤ a; 0 ≤ z ≤ a ; y el plano 3 x+ y+z = a 2 254
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.8.3 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE CAMPOS VECTORIALES. INTEGRALES DE FLUJO Se trata ahora de determinar el efecto de funciones vectoriales F atravesando una superficie S , para esto se empleará integrales de superficie de la forma: ∫∫ F • N dS S Este tipo de integrales son llamadas integrales de Flujo. Ejemplo. Calcular ∫∫ S F • N dS para F = ( 2 z , x, y 2 ) y S : porción del plano x + y + z = 3 en el primer octante. SOLUCIÓN: z 3 F N S:x+ y+z =3 3 y −x y=3 3 x El flujo a través del plano estaría dado por: ( 2 z , x, y ) • ( 1,1,1) ∫∫S F • N dS = ∫∫ S 2 3 dS ( 2z + x + y2 ) = ∫∫ S 3 dS 255
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial Proyectando la superficie en el plano xy , la región de integración sería: y 3 y = 3− x x 3 Reemplazando y evaluando: 3− x ( 2 z + x + y ) dS = ( 2 (3 − x ) + x + y ) 3 ∫∫ ∫∫ 2 2 1 + 1 + 1 dydx 3 3 S 0 0 3 3− x = ∫∫ 0 0 ( 6 − x + y ) dydx 2 3 3− x ∫ ⎡ y3 ⎤ = ⎢( 6 − x ) y + ⎥ dx ⎣ 3 ⎦0 0 3 ⎡ (3 − x ) ⎤ ∫ 3 = ⎢( 6 − x )( 3 − x ) + ⎥ dx ⎢ ⎣ 3 ⎥ ⎦ 0 3 ⎡ (3 − x ) ⎤ ∫ 3 = ⎢18 − 9 x + x 2 + ⎥ dx ⎢ ⎣ 3 ⎥ ⎦ 0 3 ⎡ x 2 x3 ( 3 − x ) ⎤ 4 = ⎢18 x − 9 + + ⎥ ⎢ ⎣ 2 3 −12 ⎥ ⎦0 ⎡ ( 3) ( 3) ( 3 − 3) ⎤ ⎡ 34 ⎤ 2 3 4 = ⎢18 ( 3) − 9 + + ⎥ − ⎢− ⎥ ⎢ ⎣ 2 3 −12 ⎥ ⎣ 12 ⎦ ⎦ 81 27 81 = 24 − + + 2 3 12 Si la superficie es cerrada tenemos otra opción para evaluar la integral de flujo. 256
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.8.4 TEOREMA DE GAUSS Sea Q una región sólida limitada por una superficie S orientada por un vector normal unitario dirigido al exterior de Q . Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q , entonces: ∫∫ S F • N dS = ∫∫∫ ( ∇ • F ) dV Q Es decir, que en lugar de emplear una integral de superficie para calcular el flujo a través de una superficie cerrada se puede emplear una integral de volumen. Ejemplo 1 Comprobar el teorema de Gauss para F = ( 2 x, 2 y, z ) y Q el sólido limitado por las superficies z 2 = x 2 + y 2 y x 2 + y 2 + z 2 = 8 ; z ≥ 0 SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo z S2 : x 2 + y 2 + z 2 = 8 ρ= 8 S1 : x 2 + y 2 − z 2 = 0 π φ= 4 y x +y =4 2 2 x PRIMER MÉTODO: POR INTEGRAL DE SUPERFICIE. Como hay dos superficies que definen el sólido, calculamos el flujo por cada una y Luego los sumamos. Primero, el flujo por el cono: ( 2 x, 2 y, −2 z ) ∫∫ S1 F • N dS = ∫∫ S1 ( 2 x, 2 y , z ) • 4 x2 + 4 y 2 + 4 z 2 dS 257
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial Proyectamos la superficie en el plano xy ∫∫ ∫∫ ( 2 x, 2 y, −2 z ) ( 2 x, 2 y, −2 z ) 4x2 + 4 y 2 + 4z 2 ( 2 x, 2 y , z ) • dS = ( 2 x, 2 y , z ) • dA 4x + 4 y + 4z 2 2 2 4x + 4 y + 4z 2 2 2 2z S1 R ( 4x2 + 4 y2 − 2z 2 ) = ∫∫ R 2z dA Pasando a coordenadas cilíndricas: 2π ( 4x + 4 y2 − 2z 2 ) ( 4r − 2r 2 ) 2 ∫∫ ∫∫ 2 2 dA = rdrdθ 2z 2r R 0 0 2π 2 = ∫∫ 0 0 r 2 drdθ 3 2 r 2π = θ 0 3 0 16 = π 3 Segundo, el flujo por la esfera ( 2 x, 2 y , 2 z ) ∫∫S2 F • N dS = ∫∫ S2 ( 2 x, 2 y , z ) • 4 x2 + 4 y 2 + 4 z 2 dS Proyectamos la superficie en el plano xy ∫∫ ∫∫ ( 2 x, 2 y, −2 z ) ( 2 x, 2 y , 2 z ) 4x2 + 4 y 2 + 4z 2 ( 2 x, 2 y , z ) • dS = ( 2 x, 2 y , z ) • dA 4 x2 + 4 y2 + 4z 2 4x2 + 4 y 2 + 4z 2 2z S1 R ( 4x2 + 4 y2 + 2 z 2 ) = ∫∫ R 2z dA Pasando a coordenadas cilíndricas: ( 4r + 2 (8 − r 2 ) ) rdrdθ 2π ( 4x + 4 y2 + 2z2 ) 2 ∫∫ ∫∫ 2 2 dA = R 2z 0 0 2 (8 − r ) 2 2π 2 ∫∫ 2r 2 + 16 = rdrdθ 0 0 2 (8 − r ) 2 2π 2 ⎡ ⎤ ∫∫ r3 ⎢ + 8 (8 − r 2 ) r ⎥ drdθ −1 = 2 ⎢ ⎥ 0 0 ⎢ ⎣ (8 − r ) 2 ⎥ ⎦ La primera integral es por sustitución trigonométrica y la segunda por sustitución. El resultado es: ∫∫ ⎛ 160 176 ⎞ F • N dS = ⎜ 2− ⎟π ⎝ 3 3 ⎠ S2 Sumando los dos flujos 258
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial ∫∫ S F • N dS = ∫∫S1 F • N dS + ∫∫ S2 F • N dS ⎛ 160 176 ⎞ 16 =⎜ 2− ⎟π + π ⎝ 3 3 ⎠ 3 = 160 3 π 2 −1 π ( ) SEGUNDO MÉTODO: APLICANDO EL TEOREMA DE GAUSS ∫∫ S F • N dS = ∫∫∫ ( Q ∇ • F dV ) = ∫∫∫ ( Q 2 + 2 + 1) dV =5 ∫∫∫ Q dV Lo mejor será pasarlo a coordenadas esféricas: π 2π 4 8 5 ∫∫∫ Q dV = 5 ∫∫∫ 0 0 0 ρ 2 senφ d ρ dφ dθ 8 ρ3 π ( − cos φ ) 0 4 θ 0 2π =5 3 0 ( 8) 3 ⎛ 2⎞ =5 ⎜1 − ⎜ ⎟ ( 2π ) 3 ⎝ 2 ⎟ ⎠ 16 2 ⎛ 2⎞ =5 ⎜1 − ⎜ ⎟ ( 2π ) 3 ⎝ 2 ⎟ ⎠ = 160 3 2 −1 π ( ) Ejemplo 2 Sea Q la región limitada por el cilindro x 2 + y 2 = 4 , el plano x + z = 6 y el plano xy . Hallar el flujo de F = ( x 2 + senz , xy + cos z , xz + e y ) a través de la superficie que limita a Q . SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo: 259
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial z x+z =6 x2 + y2 = 4 y x Aquí es mejor aplicar el teorema de Gauss. ∫∫ S F • N dS = ∫∫∫ ( Q ∇ • F dV ) = ∫∫∫ Q ( 2 x + x + x ) dV = ∫∫∫ Q 4 xdV Pasando a coordenadas cilíndricas: 2π 2 6− r cosθ ∫∫∫Q 4 xdV = 4 ∫∫ ∫ 0 0 0 r cos θ dzrdrdθ 2π 2 ∫∫ 6− r cosθ =4 r 2 cos θ z 0 drdθ 0 0 2π 2 =4 ∫∫ 0 0 r 2 cos θ ( 6 − r cos θ )drdθ 2π 2 =4 ∫ ∫( 0 0 6r 2 cos θ − r 3 cos 2 θ )drdθ 2π ∫ 2 ⎛ r3 r4 ⎞ =4 ⎜ 6 cos θ − cos θ ⎟ dθ 2 ⎝ 3 4 ⎠0 0 2π =4 ∫( 0 16 cos θ − 4 cos 2 θ ) dθ 2π ⎛ ⎞ ∫ ⎜ 1 + cos 2θ ⎟ = 4 ⎜16senθ − 4 dθ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎝ 0 ⎠ 2π ⎛ ⎛ sen 2θ ⎞⎞ = 4 ⎜16senθ − 2 ⎜ θ + ⎟⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠0 = 4 ( −2 ( 2π ) ) = −16π 260
  • MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejercicios propuestos 7.6 1. ( Sea F = 2 yzi + (− x + 3 y + 2 ) j + x 2 + z k , evaluar ) ∫∫ (∇ × F )• dS , donde S es el cilindro x 2 + y 2 = 81 , 0 ≤ z ≤ 1 ∫∫ F • dS , donde F ( x, y, z) = 3xy i + 3 xy 2 j + z 3 k ; y S es la superficie de 2 2. Calcular S la esfera unitaria. 3. Sea Q la región sólida en R3 limitada por los planos coordenados y el plano 2 x + 2 y + z = 6 , y F ( x, y, z ) = xi + yj + zk . Calcular la integral de Superficie de F en el contorno de Q. 4. Calcular ∫∫ rotF • ndS , donde F ( x, y, z ) = ( y − z , yz,− xy ) . S consta de las cinco S caras del cubo 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 2; 0 ≤ z ≤ 2 ; no situadas en el plano xy, y n es el vector normal unitario exterior a cada cara. ∫∫∫ x 5. Evaluar dV , donde E es el sólido en el primer octante limitado por E x + y2 + z2 2 los planos y = x ; y = 3 x ; el cono z = x 2 + y 2 ; el plano z = 0 ; y las esferas x2 + y2 + z2 = 2 y x2 + y2 + z2 = 8 . 6. ( ) Sea F ( x, y , z ) = z arctg y 2 i + z 3 ln x 2 + 1 j + zk . Encuentre el flujo de F a través de la porción de la superficie x + y + z = 2 , que se encuentra arriba del plano z = 1 y 2 2 está orientada hacia arriba. 7. ( Calcular el flujo del campo vectorial F ( x, y, z ) = xz 2 , x 2 y − z 3 ,2 xy + y 2 z a través ) de toda la superficie S de la región semiesférica limitada por z = 9 − x2 − y2 , z=0 8. ( ) ( Calcular el flujo del vector F = x 3 i + y 3 − y j + z 3 + z − xy k , a través de la ) superficie x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ⎛ z2 ⎞ 9. Calcular el flujo del vector F = (2 x + 1)i + y ( z + 1) j − ⎜ ⎟k , a través de la superficie ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ del sólido x + y + z = 1 10. Verificar el teorema de la divergencia de Gauss para evaluar ∫∫ F • dS , donde S es la S superficie cerrada determinada por x + y 2 2 = 4, z =0 y z = 2 , y F es el campo ( vectorial F ( x, y, z ) = 4 x,−2 y , z 2 2 ) ∫∫ F.dS 1 3 11. Evaluar donde F = xy 2 i + x 2 yj + z k y S es la 3 S superficie del elipsoide x 2 + y 2 + z 2 = 1 12. Calcular ∫∫ F • dS , donde F ( x, y , z ) = (2 x + 3 z )i − (xz + y ) j + y 2 + 2 z k donde ( ) S S es la superficie externa del sólido limitado por z 2 = 4 x 2 + y 2 ( ) ;0 ≤ z ≤ 4 Calcular el flujo de F ( x, y, z ) = xi + yj + zk , a través de la región limitada por 261