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        7.1.   CAMPOS VECTORIA...
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  1. 1. MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7 7.1. CAMPOS VECTORIALES EN n 7.1. 7.2. DEFINICIONES 7.2. 7.3. PROPIEDADES 7.3. 7.4. CAMPOS VECTORIALES 7.4. CONSERVATIVOS 7.5. INTEGRALES DE LÍNEAS 7.6. TEOREMA DE GREEN 7.7. INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA 7.8. INTEGRALES DE SUPERFICIE 7.8.1 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE FUNCIONES ESCALARES. 7.8.2 TEOREMA DE STOKES 7.8.3 INTEGRALES DE FLUJO 7.8.4 TEOREMA DE GAUSS Objetivos. Se persigue que el estudiante: • Calcule integrales de línea. • Aplique el Teorema de GREEN. • Calcule el área de regiones planas empleando integrales de líneas. • Calcule integrales de Superficie. • Aplique el Teorema de Stokes. • Aplique el teorema de Gauss 227
  2. 2. MOISES VILLENA Análisis Vectorial En el capítulo de funciones de variables se definió funciones vectoriales generales de la forma F :U ⊆ n → m , ahora trataremos con funciones de la forma F :U ⊆ n → n n 7.1. CAMPOS VECTORIALES EN Sean f1 , f 2 , , fn funciones escalares de las variables x1, x2 , , xn definidas en una región Ω de n . La función F : U ⊆ n → n tal que F = ( f1 ( x x , , x ) , f 2 ( x x , , x ) , , f n ( x x , 1, 2 n 1, 2 n 1, 2 , xn ) ) se llama Campo vectorial sobre Ω . Si F :U ⊆ 2 → 2 se lo denota como F = ( M ( x, y ) , N ( x, y ) ) . Si F : U ⊆ 3 → 3 se lo denota como: F = ( M ( x, y , z ) , N ( x, y , z ) , P ( x, y , z ) ) Ejemplo F :U ⊆ 2 → 2 ( tal que F = 2 x + y, x 2 − y 2 ) Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son: • Campos de velocidades • Campos gravitacionales. • Campos de fuerzas eléctricas. Un campo conocido es el Gradiente, ∇f , de una función escalar f . ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ Si llamamos el vector ∇ = ⎜ , , ⎟ , operador NABLA, podemos ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ obtener la definición del gradiente y otras definiciones más. 7.2 DEFINICIONES Sea f una función escalar y F = ( M , N , P ) un campo vectorial. Se define: 1. El gradiente de f como el vector 228
  3. 3. MOISES VILLENA Análisis Vectorial ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∇f = ⎜ , , ⎟ f = ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 2. La Divergencia de F como ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ • F = ⎜ , , ⎟ • (M , N, P) ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂M ∂N ∂P = + + ∂x ∂y ∂z 3. El rotacional de F como el vector i j k ∂ ∂ ∂ ∇× F = ∂x ∂y ∂z M N P 4. El Lapalciano de f como ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∇ 2 f = ∇ • ∇f = ⎜ , , ⎟ • ⎜ , , ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂2 f ∂2 f ∂2 f = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 7.3 PROPIEDADES Sea f una función escalar y sean F y G campos vectoriales. Entonces: ( ) 1. ∇ • F + G = ∇ • F + ∇ • G 2. ∇ • ( f F ) = f ( ∇ • F ) + ( ∇f ) • F 3. ∇ × ( f F ) = f ( ∇ × F ) + ( ∇f ) × F 4. ∇ • ( F × G ) = ( ∇ × F ) • G + ( ∇ × G ) • F 5. ∇ × ( ∇f ) = 0 ( ) 6. ∇ • ∇ × F = 0 229
  4. 4. MOISES VILLENA Análisis Vectorial ( 7. ∇ × ∇f + ∇ × F = ∇ × ∇ × F ) Las demostraciones de estas propiedades se la dejamos al lector. 7.4 CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe alguna función diferenciable f tal que F = ∇f . La función f se llama función potencial de F . 7.4.1 Teorema. Un campo vectorial F es conservativo y si sólo si ∇ × F = 0 . Ejemplo 1 Determine si F = ( 2 xy, x 2 − y ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial. SOLUCIÓN: El rotacional de F sería: i j k i j k ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× F = = = ( 0, 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z M N P 2 xy x2 − y 0 Por tanto, F si es conservativo. ∂N ∂M Note que para campos de 2 , basta que = para ser conservativos. ¿Por qué?. ∂x ∂y Cuando el campo es conservativo la función potencial existe y además: ⎛ ∂f ∂f ⎞ F = ∇f = ⎜ , ⎟ = ( 2 xy, x 2 − y ) ⎝ ∂x ∂y ⎠ Es decir conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces: ∫ ∂f = 2 xy ⇒ f = 2 xy dx ⇒ f ( x, y ) = x 2 y + g ( y ) + C1 ∂x ∫( ∂f y2 = x2 − y ⇒ f = x 2 − y ) dy ⇒ f ( x, y ) = x 2 y − + h ( x ) + C2 ∂y 2 Haciendo superposición de soluciones, la función potencial sería: y2 f ( x, y ) = x 2 y − +C 2 230
  5. 5. MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejemplo 2 Determine si F = ( 2 xy, x 2 + z 2 , 2 zy ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial. SOLUCIÓN: El rotacional de F sería: i j k i j k ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× F = = = ( 2 z − 2 z , 0, 2 x − 2 x ) = ( 0, 0, 0 ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z M N P 2 xy x2 + z 2 2 zy Por tanto, F si es conservativo. Ahora tenemos: ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ F = ∇f = ⎜ , , ⎟ = ( 2 xy, x 2 + z 2 , 2 zy ) ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Entonces ∫ f = 2 xy dx ⇒ f ( x, y, z ) = x 2 y + g ( y, z ) + C1 f = ∫( x 2 + z 2 ) dy ⇒ f ( x, y, z ) = x 2 y + z 2 y + h ( x, z ) + C2 f = ∫( 2 zy ) dz ⇒ f ( x, y, z ) = z 2 y + h ( x, y ) + C3 Haciendo Superposición de soluciones: f ( x, y, z ) = x 2 y + z 2 y + C 7.5 INTEGRALES DE LÍNEAS En los capítulos 6 y 7 tratamos integrales de funciones escalares sobre regiones de 2 o regiones de 3 , ahora trataremos integrales de funciones escalares y funciones vectoriales sobre curvas. 7.5.1 Integrales de líneas de funciones escalares. Sea f : U ⊆ n una función escalar de n variables definida en una región U que contiene una curva suave C de longitud finita, la integral de línea de f sobre C se define como: n ∫ f (x ,x , 1 2 , xn ) ds = lim Δ →0 ∑ f (x ,x , i =1 1 2 , xn ) Δs i C Supuesto que este límite exista. 231
  6. 6. MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.5.1.1 Teorema. Calculo de una integral de línea como integral definida. Sea f continua en una región que contiene una curva suave C, definida por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b, entonces: ∫ f ds = ∫ ⎡⎣ f C C r ( t ) ⎤ r´( t ) dt ⎦ b = ∫ f ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) [ x1´( t )] + [ x2´( t )] + + [ xn ´( t )] dt 2 2 2 a Si f = 1 entonces tenemos ∫ ds , la longitud de la curva. C Ejemplo. Calcular ∫(x C 2 − y + 3 z ) ds donde C : segmento de recta desde el punto ( 0, 0, 0 ) al punto (1, 2,1) . SOLUCIÓN: ⎧x = 0 + t ⎪ La ecuación de C es ⎨ y = 0 + 2t ; es decir: r ( t ) = ( t , 2t , t ) . ⎪ ⎩z = 0 + t Entonces: ∫ ∫ C fds = C ⎡ f r ( t ) ⎤ r´( t ) dt ⎣ ⎦ 1 = ∫ 0 (t 2 − 2t + 3t ) 1 + 22 + 12 dt 1 = 6 ∫( 0 t 2 + t )dt 1 ⎛ t3 t2 ⎞ = 6⎜ + ⎟ ⎝ 3 2 ⎠0 ⎛1 1⎞ = 6⎜ + ⎟ ⎝3 2⎠ 5 6 = 6 232
  7. 7. MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejemplo 2 Calcular ∫ xds C donde C : es la curva que se presenta en el gráfico: y (1,1) y=x y = x2 ( 0, 0 ) x SOLUCIÓN: Por la forma de C debemos hacer dos integrales; es decir: ∫ xds = ∫ xds + ∫ xds C C1 C2 donde C1 : y = x y C2 : y = x 2 . ⎧x = t Para la primera integral C1 = ⎨ ⎩y = t 1 ∫ ∫ 1 ⎛ t2 ⎞ 2 xds = t 1 + 1 dt = 2 ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝ 2 ⎠0 2 C1 0 ⎧x = t Para la segunda integral C2 = ⎨ ⎩y = t 2 1 2 (1 + 4t ) 0 0 3 ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 32 xds = t 12 + ( 2t ) dt = t 1 + 4t 2 dt = = − 5 2 3 8 12 12 C2 1 1 0 Por tanto: ∫ ∫ ∫ 2 1 1 32 xds = xds + xds = + − 5 2 12 12 C C1 C2 233
  8. 8. MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.5.2 Integrales de línea de Campos vectoriales. Sea F : U ⊆ n → n un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . La integral de línea de F sobre C se define como: ∫ F • d r = ∫ F • T ds C C r´( t ) Reemplazando T= y ds = r´( t ) dt r´( t ) r´( t ) b ∫ C F • T ds = F • ∫ a r´( t ) r´( t ) dt Entonces: ∫ F • d r == ∫ ⎡( F ( x ( ) , x ( ) , C ⎣ C 1 t 2 t , xn ( t ) ) ) • ( r´( t ) )⎤ dt ⎦ Ejemplo Calcular ∫ C F • d r donde F = ( x, − xy, z 2 ) y C es la curva definida por r ( t ) = ( cos t , sent , t ) desde el punto ( 0, 0, 0 ) hasta el punto (1, 0, 2π ) . SOLUCIÓN: 2π ∫ C F • dr = ∫( 0 x, − xy, z 2 ) • ( − sent ,cos t ,1) dt 2π = ∫( 0 cos t , − cos tsent , t 2 ) • ( − sent ,cos t ,1) dt 2π = ∫ 0 ( − cos tsent − cos 2 tsent + t 2 ) dt 2π ⎛ cos 2 t cos3 t t 3 ⎞ =⎜ + + ⎟ ⎝ 2 3 3⎠0 ⎛ 1 1 8π 3 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ =⎜ + + ⎟ − ⎜ + + 0⎟ ⎝ 2 3 3 ⎠ ⎝2 3 ⎠ 8π 3 = 3 234
  9. 9. MOISES VILLENA Análisis Vectorial La integral de línea que acabamos de definir se la puede interpretar como el trabajo que tiene que realizar un campo F al desplazar una partícula sobre la curva C , si denotamos al trabajo como W , entonces: W = F • dr ∫ C 7.5.2.1 Forma Diferencial En la integral ∫ ⎡ F • r´( t )⎤ dt C ⎣ ⎦ Suponga que F = ( M , N , P ) y que C : r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) ⎛ dx dy dz ⎞ entonces tenemos que r´(t ) = ⎜ , , ⎟ ⎝ dt dt dt ⎠ Reemplazando: ⎡ dx dy dz ⎤ ⎡ F • r´( t ) ⎤ dt = ⎢( M , N , P ) • ⎛ , , ⎞ ⎥ dt ∫ C ⎣ ⎦ C⎣ ∫ ⎜ ⎟ ⎝ dt dt dt ⎠ ⎦ Entonces: ∫ ⎡ F • r´( t )⎤ dt = ∫ Mdx + Ndy + Pdz C ⎣ ⎦ C Ejemplo Calcular ∫ C F • d r donde F = ( y, x 2 ) y C : y = 4 x − x 2 desde el punto ( 4, 0 ) hasta el punto (1,3) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial ∫ C F •dr = ∫ C Mdx + Ndy = ∫C ydx + x 2 dy En este caso y = 4 x − x 2 entonces dy = ( 4 − 2 x ) dx Reemplazando: 235
  10. 10. MOISES VILLENA Análisis Vectorial 1 ∫C ydx + x dy = 2 ∫ 4 ( 4 x − x ) dx + x ( 4 − 2 x ) dx 2 2 1 = ∫ 4 ( 4x − x 2 + 4 x 2 − 2 x3 ) dx 1 = ∫( 4 4 x + 3 x 2 − 2 x3 ) dx 1 ⎛ x2 x3 x4 ⎞ = ⎜4 +3 −2 ⎟ ⎝ 2 3 4 ⎠4 69 = 2 Ejercicios Propuestos 7.1 1. Calcular ∫ F • dr siendo C la trayectoria C (t ) = (t − 1)3 + 1, cos 5 (πt ), − cos 8 (πt ) , C ( t ∈ [1,2] y F ( x, y, z ) = 2 xz 3 + 6 y, 6 x − 2 yz, 3x 2 z 2 − y 2 ) 2. La fuerza ejercida por una carga eléctrica ubicada en el origen sobre una partícula cargada situada en un punto (x,y,z) , con vector posición r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) es F (r ) = k r 3 r ,donde k es una constante. Encuentre el trabajo realizado cuando la partícula se mueve a lo largo de una recta de (2,0,0) a (2,1,5). Veamos ahora que existen campos vectoriales que producen el mismo efecto independientemente de la trayectoria. 7.5.3 Independencia de la Trayectoria Ejemplo Calcular ∫ C F • d r donde F = ( 4 xy, 2 x 2 ) y C : y = x 2 desde el punto ( 0, 0 ) hasta el punto (1,1) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial ∫ C F •dr = ∫ C Mdx + Ndy = ∫ C 4 xydx + 2 x 2 dy 236
  11. 11. MOISES VILLENA Análisis Vectorial En este caso y = x 2 entonces dy = 2 xdx Reemplazando: 1 ∫ C 4 xydx + 2 x 2 dy = ∫ 0 4 x ( x 2 ) dx + 2 x 2 ( 2 xdx ) 1 = ∫ 0 8 x3 dx 1 8x4 = 4 0 =2 • Si empleamos la trayectoria y = x 3 entonces dy = 3x dx 2 Reemplazando: 1 ∫ C 4 xydx + 2 x dy = 2 ∫ 0 4 x ( x3 ) dx + 2 x 2 ( 3 x 2 dx ) 1 = ∫ 0 10 x 4 dx 1 10 x5 = 5 0 =2 • Si empleamos la trayectoria y = x entonces dy = dx Reemplazando: 1 ∫ C 4 xydx + 2 x dy = 2 ∫ 0 4 x ( x ) dx + 2 x 2 ( dx ) 1 = ∫ 0 6 x 2 dx 1 6 x3 = 3 0 =2 Note que se obtienen los mismos resultados para diferentes trayectorias, además observe que el campo F es conservativo debido a que: ∂N ∂M = ∂x ∂y ∂ ( 2 x2 ) ∂ ( 4 xy ) = ∂x ∂y 4x = 4x 237
  12. 12. MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.5.3.1 Teorema Si F es continuo en una región abierta conexa, entonces la integral de línea ∫ F •dr C es independiente del camino si y sólo si F es conservativo. Ejemplo Calcular ∫C F • d r donde F = ( y 3 + 1,3 xy 2 + 1) y C : r ( t ) = (1 − cos t , sent ) desde el punto ( 0, 0 ) hasta el punto ( 2, 0 ) . SOLUCIÓN: Empleando la forma diferencial ∫C F •dr = ∫ C Mdx + Ndy = ∫( C y 3 + 1) dx + ( 3xy 2 + 1) dy ⎧ x = 1 − cos t ⎧dx = sentdt En este caso ⎨ entonces ⎨ ⎩ y = sent ⎩dy = cos tdt Reemplazando: ∫( C y 3 + 1) dx + ( 3 xy 2 + 1) dy = ∫( C sen3t + 1) ( sentdt ) + ( 3 (1 − cos t ) sen 2 t + 1) ( cos tdt ) Se observa que a integral está difícil de evaluar. Ahora veamos si F es conservativo: ∂N ∂M = ∂x ∂y ∂ ( 3xy 2 + 1) ∂ ( y 3 + 1) = ∂x ∂y 3y = 3y 2 2 Como F si es conservativo, entonces es independiente de la trayectoria: 238
  13. 13. MOISES VILLENA Análisis Vectorial y ( x − 1) + y2 = 1 2 ⎧ x = 1 − cos t ⎨ ⎩ y = sent x ( 0,0 ) ( 2,0 ) Mejor empleemos una trayectoria simple: y = 0 entonces dy = 0 Reemplazando: 2 ∫( C y 3 + 1) dx + ( 3xy 2 + 1) dy = ∫( 0 0 + 1) dx + ( 0 + 1)( 0 ) 2 = ∫ 0 dx = x0 2 =2 Sin embargo podemos evaluar la integral de línea de otra manera para campos conservativos. 7.5.3.2 Teorema Fundamental Sea C una curva suave a trozos situada en una región abierta R dada por dada por r ( t ) = ( x1 ( t ) , x2 ( t ) , , xn ( t ) ) donde a ≤ t ≤ b . Si F = ( M , N , P ) es conservativo en R ; y M , N y P son continuas en R entonces: ∫ F • d r = ∫ ∇f •d r = f C C final − finicial Siendo f una función potencial de F . Es decir: 239
  14. 14. MOISES VILLENA Análisis Vectorial ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ∫ C C ∫ F • d r = ∇f •d r = ⎜ , , ⎟ • ( dx, dy, dz ) C⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∫ ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ C⎝ ∫ = ⎜ dx + dy + dz ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎠ = df ∫ C = f final − f inicial Ejemplo 1 En el ejemplo anterior, como F = ( y 3 + 1,3 xy 2 + 1) es conservativo podemos encontrar su función potencial y aplicar el teorema anterior: Hallando la función potencial. ∂f = y 3 + 1 ⇒ f = ( y 3 + 1) x + g ( y ) + C1 ∂x ∂f = 3 xy 2 + 1 ⇒ f = xy 3 + y + h ( x ) + C2 ∂y Entonces: f ( x, y ) = xy 3 + x + y + C ∫ C F • d r = f final − finicial = ⎡ 2 ( 03 ) + 2 + 0 + C ⎤ − ⎡ 0 ( 0 3 ) + 0 + 0 + C ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =2 Ejemplo 2 ∫ ⎛z z ⎞ ⎛ 1 ⎞ Calcular F • d r donde F = ⎜ , , ln xy ⎟ y C : r (t ) = ⎜ , t 2 + t + 1, t ⎟ ⎝ x y ⎠ ⎝ 1+ t2 ⎠ C −1 ≤ t ≤ 1 . SOLUCIÓN: Realizar el cálculo de la integral de lineal convencionalmente puede resultar complicado. Veamos si F es conservativo: i j k i j k ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ x 1 y 1 ⎞ ∇× F = = = ⎜ − , − , 0 − 0 ⎟ = ( 0, 0, 0 ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ⎝ xy y xy x ⎠ M N P z z ln xy x y 240
  15. 15. MOISES VILLENA Análisis Vectorial Entonces F es conservativo y por ende independiente de la trayectoria; se podría utilizar una trayectoria simple, por ejemplo el segmento de recta que va desde el punto: ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ r ( −1) = ⎜ , ( −1) + ( −1) + 1, ( −1) ⎟ = ⎜ ,1, −1⎟ 2 ⎜ 1 + ( −1)2 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ al punto: ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ r (1) = ⎜ , (1) + (1) + 1, (1) ⎟ = ⎜ ,3,1⎟ 2 ⎜ 1 + (1)2 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ O mejor aún, se podría utilizar la función potencial, hallémosla: ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞ ⎛ z z ⎞ F = ∇f = ⎜ , , ⎟ = ⎜ , ´, ln xy ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ x y ⎠ ∫ z f = dx = z ln x + g ( y, z ) + C1 x ∫ z f = dy = z ln y + h ( x, z ) + C2 y f = ∫ ln xydz = z ln xy + I ( x, y ) + C3 = z ln x + z ln y + g ( x, y ) + C3 Por tanto f ( x, y, z ) = z ln xy + C ∫ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ F • d r = f ⎜ ,3,1⎟ − f ⎜ ,1, −1⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ C ⎡ ⎛1 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛1 ⎞ ⎤ = ⎢1ln ⎜ ( 3) ⎟ + C ⎥ − ⎢( −1) ln ⎜ (1) ⎟ + C ⎥ ⎣ ⎝2 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝2 ⎠ ⎦ 3 1 = ln + ln 2 2 3 = ln 4 Ejercicios Propuestos 7.2 1. Dado el campo vectorial F ( x, y, z ) = (2 xyz + sen x )i + x 2 zj + x 2 yk , demostrar que F es un campo conservativo y encontrar su función potencial. Si la trayectoria es cerrada y si el campo es conservativo y continuo dentro de la región que encierra la curva entonces: ∫ F •dr = 0 C Ejemplo ∫ ⎛ −y x ⎞ Calcular F • d r donde F = ⎜ 2 , 2 2 ⎟ y C : x2 + y2 = 1 ⎝x +y x +y ⎠ 2 C SOLUCIÓN: Veamos si F es conservativo. Como es un campo de 2 : 241
  16. 16. MOISES VILLENA Análisis Vectorial ⎞ 1( x + y ) − x ( 2 x ) 2 2 ∂N ∂ ⎛ x − x2 + y 2 = ⎜ ⎟ = = ∂x ∂x ⎝ x 2 + y 2 ( x2 + y 2 ) ( x2 + y2 ) 2 2 ⎠ ⎞ −1( x + y ) − y ( 2 y ) 2 2 ∂M ∂ ⎛ −y − x2 + y2 = ⎜ ⎟ = = ∂y ∂x ⎝ x 2 + y 2 ( x2 + y 2 ) ( x2 + y2 ) 2 2 ⎠ Por tanto F si es conservativo. Como la trayectoria es cerrada se podría pensar que el valor de la integral de línea debería ser cero, pero observe que el campo no es continuo en ( 0, 0 ) , entonces debemos evaluar la integral de línea. ⎧ x = cos t La curva en forma paramétrica es C : ⎨ y en forma vectorial r ( t ) = ( cos t , sent ) ⎩ y = sent La Integral de línea sería: 2π ∫ ∫ ∫ ⎛ −y x ⎞ 2 ⎟( F •dr = F • r´ dt = ⎜ 2 , 2 − sent , cos t ) dt ⎝x +y x +y ⎠ 2 C C 0 2π ∫ ⎛ − sent cos t ⎞ = ⎜ , ⎟ ( − sent , cos t ) dt ⎝ 1 1 ⎠ 0 2π = ∫(0 sen 2 t + cos 2 t ) dt 2π = ∫ 0 dt = 2π Existe otro mecanismo para evaluar integrales de líneas en el caso de caminos cerrados. 7.6 TEOREMA DE GREEN Sea F = ( M , N ) un campo vectorial de 2 . Sea R una región simplemente conexa con frontera C suave a trozos orientada en sentido ∂N ∂M antihorario. Si M , N , , son continuas en ∂x ∂y una región abierta que contiene a R , entonces: ⎛ ∂N ∂M ⎞ C ∫ C ∫ F • d r = Mdx + Ndy = ⎜ R ⎝ − ∂x ∂y ⎠ ⎟dA ∫∫ 242
  17. 17. MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejemplo 1 Calcular ∫C F • d r donde F = ( y 3 , x 3 + 3 xy 2 ) y C : es el camino desde ( 0, 0 ) a (1,1) sobre y = x 2 y desde (1,1) a ( 0, 0 ) sobre y = x . SOLUCIÓN: La evaluaremos primero empleando una integral de línea y luego por el Teorema de Green para comparar procedimientos y comprobar resultados. y (1,1) y=x y = x2 x ( 0,0 ) PRIMER MÉTODO: Por integral de línea: ∫C F •dr = ∫C Mdx + Ndy = ∫C y 3 dx + ( x 3 + 3xy 2 ) dy Hay 2 trayectorias: C1 : y = x 2 entonces dy = 2 xdx 1 ∫ y 3 dx + ( x 3 + 3 xy 2 ) dy = ∫ (x ) 2 3 ( dx + x3 + 3x ( x 2 ) 2 ) ( 2 xdx ) C1 0 1 = ∫ 0 (x 6 + 2 x 4 + 6 x 6 )dx 1 = ∫ 0 (7x 6 + 2 x 4 )dx 1 x7 x5 =7 +2 7 5 0 7 = 5 243
  18. 18. MOISES VILLENA Análisis Vectorial C2 : y = x entonces dy = dx 0 ∫ y dx + ( x + 3 xy ) dy = ∫( ) ( x dx + x 3 + 3 x ( x ) ) ( xdx ) 3 3 2 3 2 C2 1 0 = ∫( 1 x 3 + x 3 + 3 x 3 )dx 0 = ∫( 1 5 x 3 )dx 0 x4 =5 4 1 5 =− 4 Por lo tanto: ∫ ∫ ∫ 7 5 3 F •dr = F •dr + F •dr = − = 5 4 20 C C1 C2 SEGUNDO METODO: Empleando el TEOREMA DE GREEN ⎛ ∂ ( x 3 + 3xy 2 ) ∂ ( y 3 ) ⎞ ∫ ∫∫ ∫∫ ⎛ ∂N ∂M ⎞ F •dr = ⎜ − ⎟dA = ⎜ − ⎟dA ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎜ ∂x ∂y ⎟ C R R ⎝ ⎠ La región R es: y (1,1) R y=x y = x2 x ( 0,0 ) 244
  19. 19. MOISES VILLENA Análisis Vectorial 1 x ∫∫ ∫∫ ⎛ ∂N ∂M ⎞ ⎜ − ⎟dA = ( 3x 2 + 3 y 2 − 3 y 2 ) dydx ⎝ ∂x ∂y ⎠ R 0 x2 1 x = ∫∫( 0 x3 3x 2 ) dydx 1 ∫ x = 3x 2 y dx x2 0 1 = ∫ 0 3x 2 ( x − x 2 ) dx 1 = ∫ 0 ( 3x 3 − 3x 4 ) dx x4 x5 =3 −3 4 5 3 3 = − 4 5 3 = 20 Ejemplo 2 Calcular ∫ C F • d r donde F = ( arc senx + y 2 , cos y − x 2 ) y C : es el camino que se describe en la gráfica: y 2 x2 + y 2 = 4 x2 + y 2 = 1 1 x −2 −1 1 2 SOLUCIÓN: Aquí es mejor por GREEN, ¿Porqué? 245
  20. 20. MOISES VILLENA Análisis Vectorial ∫ ∫∫ ⎛ ∂N ∂M ⎞ F •dr = ⎜ − ⎟dA ⎝ ∂x ∂y ⎠ C R ⎛ ∂ ( cos y − x 2 ) ∂ ( arc senx + y 2 ) ⎞ = ∫∫ R ⎜ ⎜ ⎝ ∂x − ∂y ⎟dA ⎟ ⎠ = ∫∫ ( R −2 x − 2 y )dA Pasando a Polares: π 2 ∫∫ (R −2 x − 2 y )dA = −2 ∫∫( 0 1 r cos θ + rsenθ ) rdrdθ π 2 = −2 ∫∫( 0 1 cos θ + senθ ) r 2 drdθ π ∫ 2 r3 = −2 ( cos θ + senθ ) dθ 31 0 ⎛ 23 13 ⎞ π = −2 ⎜ − ⎟ ( senθ − cos θ ) 0 ⎝ 3 3⎠ ⎛8 1⎞ = −2 ⎜ − ⎟ ⎡1 − ( −1) ⎤ ⎣ ⎦ ⎝3 3⎠ 28 =− 3 7.7 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA. Con integrales de líneas también podemos calcular el área de regiones 1 1 planas. En la formula de Green, si tomamos M =− y y N= x entonces 2 2 ⎛ ∂N ∂M ⎞ ∫∫ R ⎜ ⎝ − ⎟dA = ∂x ∂y ⎠ ∫ Mdx + Ndy C ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞⎞ 1 1 ∫∫ R ⎜ 2 − ⎜ − 2 ⎟ ⎟dA = ⎝ ⎝ ⎠⎠ ∫ C − ydx + xdy 2 2 1 ∫∫ R dA = 2 ∫ xdy − ydx C 246
  21. 21. MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.7.1 Teorema Sea R una región plana limitada por una curva cerrada simple a trozos C . El área de R viene dada por: 1 A= 2C xdy − ydx ∫ Ejemplo 1 Emplear una integral de línea para calcular el área de la región limitada por ⎧ y = 2x +1 ⎨ ⎩y = 4 − x 2 SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo de la región y 4 C2 : y = 4 − x 2 3 (1,3) R −3 1 x C1 : y = 2 x + 1 ( −3, −5) −5 La curva C que encierra R está compuesta por dos trayectorias diferentes, calcularemos la integral de línea por cada trayectoria, y luego sumaremos los resultados. Primero: C1 : y = 2 x + 1 entonces dy = 2dx Reemplazando y evaluando: 247
  22. 22. MOISES VILLENA Análisis Vectorial 1 ∫ ∫( 1 1 xdy − ydx = x 2dx ) − ( 2 x + 1) dx 2 2 C1 −3 1 ∫( 1 = 2 x − 2 x − 1) dx 2 −3 1 ∫ 1 = −dx 2 −3 1 1 = − x −3 2 = −2 Segundo: C2 : y = 4 − x 2 entonces dy = −2 xdx Reemplazando y evaluando: −3 ∫ ∫ x ( −2 xdx ) − ( 4 − x 2 ) dx 1 1 xdy − ydx = 2 2 C2 1 −3 ∫( −2 x 2 + x 2 − 4 ) dx 1 = 2 1 −3 ∫( − x 2 − 4 ) dx 1 = 2 1 −3 1 ⎛ x3 ⎞ = − ⎜ + 4x ⎟ 2⎝ 3 ⎠1 38 = 3 Finalmente, sumando: 38 32 A = −2 + = 3 3 Ejemplo 2 x2 y2 Hallar el área de la elipse con ecuación + =1 a 2 b2 SOLUCIÓN: ⎧ x = a cos t Las ecuaciones paramétrica de la elipse son: C : ⎨ ⎩ y = bsent ⎧dx = − asent dt Entonces ⎨ ⎩dy = b cos t dt Reemplazando en la formula anterior y luego evaluando, resulta: 248
  23. 23. MOISES VILLENA Análisis Vectorial 2π ∫ ∫( 1 1 A= xdy − ydx = a cos t )( b cos tdt ) − ( bsent )( −asentdt ) 2 2 C 0 2π ∫ 1 = ab cos 2 tdt + absen 2 tdt 2 0 2π ∫ ab ( cos 2 t + sen 2 t ) dt 1 = 2 0 2π ∫ 1 = abdt 2 0 2π ∫ 1 = ab dt 2 0 1 2π = ab t 0 2 = π ab Ejercicios Propuestos 7.3 ∫x dy − y 3 dx 3 3. Calcular donde C es el círculo unitario centrado en el origen. C 4. Sea F ( x, y ) = xe − y , − x 2 ye − y + 1 x 2 + y 2 2 2 ( ) , calcular el trabajo de F en el contorno del cuadrado determinado por: x ≤ a ; y ≤a ∫x ydx − y 2 xdy ; donde C es la curva que consta del arco 2 5. Evaluar la integral C 4 y = x de (0,0) a (2,2) y del segmento de recta que va de (2,2) a (0,0) 3 ∫ 2 (x ) + y 2 dx + ( x + y )2 dy , siendo C el 2 6. Verificar el teorema de Green en la integral C contorno del triángulo con vértices en los puntos (1,1),(2,2), (1,3). ∫ xydx + 2 x 2 7. Hallar dy donde C consta de los segmentos de recta que van desde (0,2) a (- C 2,0) y de allí a (2,0) y luego la parte de la circunferencia x 2 + y 2 = 4 para x>0 y y>0. 8. Una partícula empieza en el punto (-2,0), se mueve a lo largo del eje x hacia (2,0) y luego a lo largo de la semicircunferencia y = 4 − x 2 hacia el punto inicial. Encontrar el trabajo sobre esta partícula por el campo de fuerzas F ( x, y ) = x, x 3 + 3 xy 2 . ( ) ⎡ ⎞⎤ dy 9. Calcular: ∫ x 2 + y 2 dx + y ⎢ xy + ln⎛ x + x 2 + y 2 ⎜ ⎟⎥ , donde C es la ⎣ ⎝ ⎠⎦ circunferencia x 2 + y 2 = a 2 10. Utilizando una integral de línea calcular el área de la región encerrada por la curva 2 2 2 x 3 +y 3 =a 3 11. Empleando una integral de línea, encuentre el área de la región R limitada por las gráficas y = x 2 + 2 ; y = − x ; x = −2 ; x = 2 . 249
  24. 24. MOISES VILLENA Análisis Vectorial 7.8 INTEGRALES DE SUPERFICIE 7.8.1 INTEGRALES DE SUPERFICIES DE FUNCIONES ESCALARES. En el capítulo de integrales Dobles se estableció la manera de calcular área de una superficie, ahora se trata de calcular el efecto de una función escalar sobre una superficie. Es decir, evaluar integrales del tipo: ∫∫ f ( x, y, z ) dS S Ejemplo. Calcular ∫∫ ( S xyz ) dS donde S : porción del plano x + y + z = 3 en el primer octante. SOLUCIÓN: Primero hacemos un dibujo de la superficie: z 3 S : z = 3− x − y 3 y 3 x Proyectamos la superficie en el plano xy , por tanto: ∫∫S ( xyz ) dS = ∫∫ R ( xyz ) 1 + z x 2 + z y 2 dydx La región de integración sería: 250
  25. 25. MOISES VILLENA Análisis Vectorial y 3 y = 3− x x 3 Haciendo las sustituciones correspondientes y evaluando la integral doble: 3 3− x ∫∫ ( xyz ) 1 + z x + z y dydx = ∫ ∫( xy ( 3 − x − y ) ) 1 + ( −1) + ( −1) dydx 2 2 2 2 R 0 0 3 3− x = 3 ∫∫ 0 0 ( 3xy − x 2 y − xy 2 )dydx 3 3− x ∫ ⎡ 2 y3 ⎤ ⎢( 3 x − x ) − x ⎥ dx 2 y = 3 ⎣ 2 3 ⎦0 0 3 ⎡ (3 − x ) (3 − x ) ⎤ ∫ 2 3 = 3 ⎢ x (3 − x ) −x ⎥ dx ⎢ ⎣ 2 3 ⎥ ⎦ 0 3 ∫ ⎛1 1⎞ = 3⎜ − ⎟ x ( 3 − x ) dx 3 ⎝ 2 3⎠ u dv 0 3 ⎡ ⎤ 3 ⎢ (3 − x ) (3 − x ) ∫ 4 4 = x − dx ⎥ 6 ⎢ −4 −4 ⎥ ⎢ ⎣ ⎥0 ⎦ 3 3 ⎡ (3 − x ) (3 − x ) ⎤ 4 5 = ⎢x − ⎥ 6 ⎢⎣ −4 20 ⎥0 ⎦ 3 ⎡ 35 ⎤ = ⎢ ⎥ 6 ⎣ 20 ⎦ 81 3 = 40 Las integrales de funciones escalares sobre superficies parametrizas serían de la forma: ∫∫ R´ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) r u × r v dudv 251
  26. 26. MOISES VILLENA Análisis Vectorial Ejercicios propuestos 7.4 ∫∫ (x ) ( ) 2 1. Evaluar + y 2 dS , siendo S la superficie del cono z 2 = 3 x 2 + y 2 entre z=0 y S z=3 2. Considere la superficie S = S1 ∪ S 2 , siendo S1 la superficie del cilindro x 2 + y 2 = 4 entre z=1 y z=2, S2 la superficie semiesférica x + y + ( z − 2 ) = 4, 2 2 2 z ≥ 2 . Si F = (z , x, y ) , evaluar la integral ∫∫ (∇ × F )• ndS S Las integrales de superficies nos permitirán evaluar integrales de funciones vectoriales sobre curvas que encierran superficies, para lo cual tenemos una generalización del teorema de GREEN. 7.8.2 TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada con vector unitario N cuyo contorno es una curva cerrada simple C , suave a trozos. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta R que contiene a S y a C , entonces: ∫ F • d r = ∫∫ ( ∇ × F ) • N dS C S Ejemplo. Comprobar el Teorema de Stokes para F = ( 2 z , x, y 2 ) , S : superficie del paraboloide z = 5 − x 2 − y 2 y C : traza de S en el plano z = 1 . SOLUCIÓN: Identificando S y C : z S : x2 + y 2 + z = 5 ∇S N= ∇S C : x2 + y 2 = 4 z =1 y x 252
  27. 27. MOISES VILLENA Análisis Vectorial POR INTEGRAL DE LÍNEA. ∫ C F •dr = ∫ C Mdx + Ndy + Pdz = ∫C 2 zdx + xdy + y 2 dz ⎧ x = 2 cos t ⎧dx = −2 sent dt ⎪ ⎪ En este caso C : ⎨ y = 2 sent entonces ⎨ dy = 2 cos t dt ⎪z = 0 ⎪dz = 0 ⎩ ⎩ Reemplazando y evaluando: 2π ∫ 2 zdx + xdy + y dz = ∫ 2 ( 0 ) [ −2sentdt ] + ( 2 cos t ) [ 2 cos tdt ] + ( 2 sent ) ( 0 ) 2 2 C 0 2π = ∫0 4 cos 2 tdt 2π (1 + cos 2t ) =4 ∫ 0 2 dt 2π ⎛ sen 2t ⎞ = 2⎜t + ⎟ ⎝ 2 ⎠0 = 4π APLICANDO EL TEOREMA DE STOKES. POR INTEGRAL DE SUPERFICIE. ∫C F •dr = ∫∫ ( S ) ∇ × F • N dS Calculando el rotacional, el vector normal a la superficie y el diferencial de superficie: i j k ∂ ∂ ∂ ∇× F = = ( 2 y, 2,1) ∂x ∂y ∂z 2z x y2 ∇S ( 2 x, 2 y,1) N= = ∇S ( 2x) + ( 2 y ) +1 2 2 dS = ( 2x ) + ( 2 y ) + 1 dydx 2 2 Reemplazando: ( 2 x, 2 y,1) ∫∫ (∇ × F ) • N dS = ∫∫ ( 2 y, 2,1) • ( 2 x ) + ( 2 y ) + 1 dydx 2 2 ( 2x) + (2 y ) +1 2 2 S R = ∫∫ (R 4 xy + 4 y + 1) dydx En este caso la región de integración es el círculo centrado en el origen de radio 2, pasando a coordenadas cilíndricas: 253

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