SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 85
Descargar para leer sin conexión
ESPOL

ECUACIONES
DIFERENCIALES
(1ER PARCIAL)
    ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES
    MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE
    ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI
    ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
    ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON FACTOR
     INTEGRANTE
    ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
    ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES LINEALES
    APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER
     ORDEN
    ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
    RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR SERIES DE
     POTENCIA




[ ERICK CONDE]
Ecuaciones Diferenciales

                                          ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

������) ������������ ������������ − ������������ + ������������ − ������ − ������������ ������������ + ������������ − ������ − ������ = ������

������������ ������ ������ − 2 + 4 ������ − 2 − ������������ ������ ������ + 3 − ������ + 3                 =0

������������ ������ − 2 ������ + 4 − ������������ ������ + 3 ������ − 1 = 0

������������ ������ − 2 ������ + 4 = ������������ ������ + 3 ������ − 1

       ������ − 2        ������ − 1
������������          = ������������
       ������ + 3        ������ + 4

   ������ − 2           ������ − 1
          ������������ =           ������������
   ������ + 3           ������ + 4

   ������ − 2 + 5 − 5             ������ − 1 + 5 − 5
                  ������������ =                     ������������
        ������ + 3                     ������ + 4

       ������ + 3    5                   ������ + 4    5
              −      ������������ =                 −      ������������
       ������ + 3 ������ + 3                 ������ + 4 ������ + 4

������ − ������ ������������ ������ + ������ = ������ − ������ ������������ ������ + ������ + ������

       ������������                                            −������
������)         = ������ − ������ − ������ + ������ − ������ + ������
       ������������
������������                        1
     = − ������ − ������ − 1 +
������������                   ������ − ������ + 2

                       ������������     ������������
������ = ������ − ������    ⇒           =1−
                       ������������     ������������

       ������������                1                   ������������               1             ������������   ������ + 2 2 − 1
1−          = −������ − 1 +              ⇒              = ������ + 2 −           ⇒           =
       ������������             ������ + 2                 ������������            ������ + 2           ������������       ������ + 2

������������ ������ 2 + 4������ + 4 − 1                  ������������ ������ 2 + 4������ + 3            ������������   ������ + 3 (������ + 1)            (������ + 2)
     =                        ⇒               =                   ⇒          =                   ⇒                    ������������ =     ������������
������������        ������ + 2                       ������������      ������ + 2               ������������       (������ + 2)           ������ + 3 (������ + 1)

     (������ + 2)         ������        ������
                 =        +
 ������ + 3 (������ + 1)   ������ + 3   (������ + 1)

������ + 2 = ������ ������ + 1 + ������ ������ + 3             ⇒      ������ + 2 = ������ + ������ ������ + ������ + 3������

1 = ������ + ������

2 = ������ + 3������

Resolviendo el sistema A = ½, B = ½

          ������     ������
             +       ������������ =       ������������     ⇒       ������ ������������ ������ + 3 + ������ ������������ ������ + 1 = ������ + ������
       ������ + 3 ������ + 1

������                    ������
   ������������ ������ − ������ + ������ + ������������ ������ − ������ + ������ = ������ + ������
������                    ������



ERICK CONDE                                                                                                                    Página 2
Ecuaciones Diferenciales

       ������������        ������
������)         + ������ =
       ������������        ������
������������ ������                         ������������ ������ − ������������
    = − ������             ⇒             =
������������ ������                         ������������    ������

������������ ������(1 − ������)
     =
������������     ������

       ������
            ������������ = ������ ������������
     1 − ������

         ������                                                     1
              ������������ =         ������ ������������         ⇒         −1 +          ������������ =   ������ ������������
       1 − ������                                                 1 − ������

                              ������������
 −������ − ������������ ������ − ������ =              + ������
                               ������

4) (������ + ������) ������′ + ������ = ������′

                                ������������     ������������
������ = ������ + ������           ⇒             =1+
                                ������������     ������������

      ������������        ������������
������         −1+1 =      −1
      ������������        ������������

     ������������ ������������                              ������������ ������������
������       =     −1           ⇒          ������       −     = −1
     ������������ ������������                              ������������ ������������

������������
     ������ − 1 = −1               ⇒            ������������ ������ − 1 = −������������
������������

                                                 ������ 2
       ������ − 1 ������������ =       −������������            ⇒         − ������ = −������ + ������
                                                  2

 (������ + ������)������
             − ������ + ������ = −������ + ������
     ������

        ������������ ������������ + ������������ − ������
������)         =
        ������������ ������������ + ������������ + ������

������������   2������ + 3������ − 1
     =
������������ 2 2������ + 3������ + 3

                                ������������      ������������
������ = 2������ + 3������         ⇒             =2+3
                                ������������      ������������

1 ������������       ������ − 1
       −2 =
3 ������������      2������ + 3

������������     3 ������ − 1
     −2=
������������      2������ + 3

������������ 3������ − 3 + 4������ + 6                           ������������ 7������ + 3
     =                                      ⇒        =
������������      2������ + 3                                ������������ 2������ + 3



ERICK CONDE                                                                             Página 3
Ecuaciones Diferenciales
2������ + 3                                        2������ + 3
        ������������ = ������������            ⇒                       ������������ =              ������������
7������ + 3                                        7������ + 3

            ������                       ������������
2               ������������ + 3                   =            ������������
        7������ + 3                    7������ + 3

                                          ������ − 3
������ = 7������ + 3            ⇒          ������ =
                                             7

                                   ������������
������������ = 7������������ ⟹ ������������ =
                                    7

         ������ − 3                      ������������
2               ������������ + 3                  =          ������������
          49������                       7������

2                 3
   ������ − 3������������ ������ + ������������ ������ = ������ + ������
49                7

2                           3
   7������ + 3 − 3������������ 7������ + 3 + ������������ 7������ + 3 = ������ + ������
49                          7

 ������                                                      ������
     ������(������������ + ������������) + ������ − ������������������ ������(������������ + ������������) + ������ + ������������ ������(������������ + ������������) + ������ = ������ + ������
������������                                                     ������

    ������������     ������������
������)      =                                     ;       ������ ������ = ������
    ������������ ������ − ������������������������

Para este ejercicio lo mejor es “invertir la ecuación”

������������ 1 − 2������������ 2                          ������������   1 2������                            ������������ 2������   1
     =                         ⇒               =    −                      ⇒          +    = 3 ; ������������������������ ������������������������������������ó������ ������������������������������ ������������ ������������������������������ ������ ′ + ������ ������ ������ = ������(������)
������������    ������ 3                              ������������ ������ 3   ������                          ������������ ������   ������

                                                                 2
                  ������ ������ ������������                                        ������������
������ ������ = ������                         ⇒          ������ ������ = ������         ������         ⇒        ������ ������ = ������ 2 ������������   ������


������ ������ = ������ 2

       ������������           1
������ 2        + 2������������ =
       ������������           ������

 ������           1                                             1
     ������������ 2 =              ⇒         ������ ������������ 2 =               ������������
������������          ������                                            ������

                         1
    ������ ������������ 2 =             ������������          ⇒        ������������ 2 = ������������ ������ + ������           ⇒        0 1    2
                                                                                                       = ������������ 1 + ������     ⇒      ������ = 0
                         ������

          ������
������ =          ������������ ������
         ������������




ERICK CONDE                                                                                                                                                       Página 4
Ecuaciones Diferenciales

                                                                   MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE

1) ������ − ������������������������ ������ ������������ + ������������������ ������ ������������ = ������

������������������ ������ ������������ = ������ − ������������������2 ������ ������������

������������   ������������������2 ������ − ������
     =
������������       ������������������ ������
������������            ������
       +                 = ������������������ ������
������������         ������������������ ������

                                                                        1
                          ������ ������ ������������                                          ������������
������ ������ = ������                             ⇒        ������ ������ = ������          ������������������ ������             ⇒       ������ ������ = ������ ������������   ������������������ ������ –������������������ ������


������ ������ = ������������������ ������ − ������������������ ������

                                           ������������������ ������−������������������ ������
       ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ ′ +                              ������ = ������������������ ������ − ������������������ ������ ������������������ ������
                                                ������������������ ������

 ������
             ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ = ������������������ ������ − ������������������ ������ ������������������ ������
������������

 ������                                                     1      ������������������ ������
             ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ =                      −           ������������������ ������
������������                                                ������������������ ������ ������������������ ������

                                                  1 − ������������������ ������
������          ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ =                          ������������������ ������ ������������
                                                    ������������������ ������

       ������      ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ =                   1 − ������������������ ������ ������������


  ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ = ������ − ������������������ ������ + ������

            ������ − ������������������ ������ + ������
 ������ =
            ������������������ ������ − ������������������ ������

                         ������
2) ������′ + ������ = ������ ������������������(������������)

                                                                    1
                          ������ ������ ������������                                   ������������
������ ������ = ������                             ⇒        ������ ������ = ������          ������               ⇒      ������ ������ = ������ ������������   ������


������ ������ = ������

������ ′ ������ + ������ = 3������ ������������������(2������)

 ������
     ������������ = 3������ ������������������ 2������                      ⇒           ������ ������������ = 3������ ������������������(2������) ������������
������������

       ������ ������������ =               3������ ������������������(2������) ������������


������ = ������              ⇒          ������������ = ������������

                                                            ������������������(2������)
������������ = ������������������ 2������ ������������                 ⇒         ������ =
                                                                  2

      3                 3                                                                         ������                  ������
������������ = ������ ������������������(2������) −                        ������������������(2������)������������                ⇒          ������������ =      ������ ������������������(������������) + ������������������ ������������ + ������
      2                 2                                                                         ������                  ������

ERICK CONDE                                                                                                                                Página 5
Ecuaciones Diferenciales

                                      ������������                       ������ ������
������) ������������ + ������                              + ������������������ ������ = ������������������− ������������
                                      ������������
                                                          3    2
������������   3������ 3 ������  6������������ − 2������
     + 2        = 2
������������ ������ + 1       ������ + 1

                                                                                                     3������ 3                                                                               ������
                            ������ ������ ������������                                                                      ������������                                                             3 ������−           ������������
������ ������ = ������                                            ⇒               ������ ������ = ������                    ������ 2 +1                 ⇒                 ������ ������ = ������                             ������ 2 +1


                            ������ 2 1
                     3          − ������������ ������ 2 +1                                                                 3������ 2                                    −3
������ ������ = ������                   2 2                                           ⇒               ������ ������ = ������                      2     ������ 2 + 1                     2



           3������ 2                                                   3������ 2                                                        3������ 2                               3        2
      ������           2                ������������                      ������           2            3������ 3 ������                           ������           2               6������������ − 2������
                       3                 +                                     3                 =                                          3
     ������ 2 + 1               2       ������������                  ������ 2 + 1                 2   ������ 2 + 1                       ������ 2 + 1                  2        ������ 2 + 1


                       3������ 2                                                                                                          3������ 2
 ������       ������  2            6������                                                                                                   ������             2                                 6������
     ������ 2       3   =                                                              5            ⇒             ������ ������                                 3          =                         5       ������������
������������    ������ + 1    2
                      ������ 2 + 1                                                         2                                       ������ 2   +1                2
                                                                                                                                                                     ������ 2 + 1                2


                            3������ 2
                       ������            2                                         6������
     ������ ������                               3         =                                       5        ������������
                   ������ 2     +1               2
                                                                      ������ 2     +1              2



������ = ������ 2 + 1                        ⇒                ������������ = 2������ ������������

            3������ 2                                                                                            ������������������
       ������            2                                3                                                  ������           ������                                      ������
������                         3        =                 5       ������������             ⇒               ������                          ������        =−                                 ������        + ������
     ������ 2   +1                  2
                                                 ������       2                                           ������������    + ������              ������                  ������������     + ������            ������




       ������������
������)         = ������������������(������ + ������)
       ������������
                                                  ������������     ������������
������ = ������ + ������                        ⇒                  =1+
                                                  ������������     ������������

������������                                                                 ������������                                                                      ������������
     − 1 = ������������������ ������                                  ⇒                   = ������������������ ������ + 1                                  ⇒                           = ������������
������������                                                                 ������������                                                                ������������������ ������ + 1

           ������������
                   =                              ������������
     ������������������ ������ + 1

        2
             ������������                                                                                2
     1 + ������2      =                               ������������                ⇒                                  ������������ =                                             ������������
       2������                                                                                 ������2 + 2������ + 1
     1 + ������ 2+1


         2                                                                                        2                                                                       2
      ������ + 1                2 ������������       =                ������������             ⇒           −
                                                                                               ������ + 1
                                                                                                      = ������ + ������                               ⇒               −           ������    = ������ + ������
                                                                                                                                                                   ������������������    +1
                                                                                                                                                                          2

               ������
−           ������ + ������      = ������ + ������
     ������������������         + ������
               ������




ERICK CONDE                                                                                                                                                                                             Página 6
Ecuaciones Diferenciales

                              ������ ; ������ ≤ ������ ≤ ������
������) ������′ + ������������ =                                ; ������ ������ = ������
                              ������ ; ������ > 1
0 ≤ ������ ≤ 1

������ ′ + 2������ = 1

                 ������ ������ ������������                                 2������������
������ ������ = ������                        ⇒       ������ ������ = ������                     ⇒        ������ ������ = ������ 2������

������ ′ ������ 2������ + 2 ������ 2������ ������ = ������ 2������

 ������
     ������������ 2������ = ������ 2������            ⇒      ������ ������������ 2������    = ������ 2������ ������������
������������

                                                                    ������ 2������                                   ������ 2 0                     1
   ������ ������������ 2������ =          ������ 2������ ������������       ⇒       ������������ 2������ =             + ������     ⇒       0 ������ 2   0
                                                                                                         =          + ������   ⇒   ������ = −
                                                                      2                                         2                       2

        1 1 −2������
������ =     − ������
        2 2

������ > 1

������ ′ + 2������ = 0

������ ′ ������ 2������ + 2 ������ 2������ ������ = 0

 ������
     ������������ 2������ = 0             ⇒       ������ ������������ 2������      =0
������������

   ������ ������������ 2������ =          0 ������������        ⇒       ������������ 2������ = ������


������ = ������������ −2������

        1 1 −2������
         − ������        ; 0 ≤ ������ ≤ 1
������ ������ = 2 2
                −2������
           ������������      ; ������ > 1

                     1 1
lim ������������ −2������ = lim− − ������ −2������
������→1+           ������→1 2 2

            1 1 −2                              1       1
������������ −2 =    − ������                  ⇒        ������ = ������ 2 −
            2 2                                 2       2

        ������ ������ −������������
           − ������     ; ������ ≤ ������ ≤ ������
������ ������ = ������ ������
          ������ ������ ������ −������������
             ������ − ������     ; ������ > 1
          ������     ������




ERICK CONDE                                                                                                                                 Página 7
Ecuaciones Diferenciales

                                             ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

1) ������������������ ������������ + (������������������ − ������������ )������������ = ������

 3������������ − ������ 2 ������������ = −2������ 2 ������������

������������     −2������ 2                        ������������   3������������ − ������ 2
     =                            ⇒         =
������������   3������������ − ������ 2                    ������������     −2������ 2

������������    ������ 2   3������                     ������������   3       1 2
     =       −                    ⇒         +   ������ =       ������
������������   2������ 2 2������                       ������������ 2������      2������ 2

 1 ������������    3 ������       1                           1 ������������    3 −1     1
         +         =                    ⇒                 +    ������ =
������ 2 ������������ 2������ ������ 2   2������ 2                       ������ 2 ������������ 2������      2������ 2

                                ������������     1 ������������                 1 ������������       ������������
������ = ������ −1         ⇒                 = − 2           ⇒            2 ������������
                                                                         = −
                                ������������    ������ ������������                ������            ������������

������������   3        1
     −   ������ = − 2
������������ 2������       2������

                                                            3                             3
                                                       −       ������������
������ ������ = ������         ������ ������ ������������
                                   ⇒     ������ ������ = ������        2������        ⇒     ������ ������ = ������ − 2������������   ������


                   3
������ ������ = ������ − 2

        3    ������������        3 3               3  1
 ������ − 2           − ������ − 2     ������ = − ������ − 2
             ������������          2������               2������ 2

 ������       3               1 7
     ������ − 2 ������         = − ������ − 2
������������                      2

               3                  1 7
   ������ ������ − 2 ������ =                − ������ − 2 ������������
                                  2

   3               1  2     5
������ −2 ������ = −         − ������ − 2 + ������
                   2  5
    3                    1  2     5
������ − 2 ������ −1 = −           − ������ − 2 + ������
                         2  5

                    ������
               ������− ������
������ =
            ������ − ������
               ������ ������ + ������
            ������




ERICK CONDE                                                                                           Página 8
Ecuaciones Diferenciales

         ������
������) ������′ + ������ = ������������ ������������
         ������
 1 ′ 1 ������                                     1 ′ 1 −2
     ������ +         = ������ 3            ⇒             ������ + ������ = ������ 3
������ 3      ������ ������ 3                            ������ 3     ������

                             ������������      1 ������������                          1 ������������       1 ������������
������ = ������ −2          ⇒             = −2 3                     ⇒           3 ������������ = − 2 ������������
                             ������������     ������ ������������                         ������

    1 ������������ 1                                 ������������ 2
−         + ������ = ������ 3               ⇒            − ������ = −2������ 3
    2 ������������ ������                                ������������ ������
                                                              2
                ������ ������ ������������                                   − ������������
������ ������ = ������                          ⇒      ������ ������ = ������         ������          ⇒      ������ ������ = ������ −2 ������������   ������


������ ������ = ������ −2

          ������������        2                                                   ������
 ������ −2         − ������ −2 ������ = −2������ 3 ������ −2                         ⇒            ������ −2 ������ = −2������
          ������������        ������                                                 ������������

    ������ ������ −2 ������ =            −2������ ������������        ⇒          ������ −2 ������ = −������ −2 + ������


                        ������
������ = ±
                              ������
             ������������    ������ −
                             ������������


      ������������           ������
������)        − ������������ = − ������������������
      ������������           ������
 1 ������������       ������   5                               1 ������������ 5         5
          − 5 3 = − ������                   ⇒                 −     = − ������
������ 3 ������������    ������    2                              ������ 3 ������������ ������ 2    2

                             ������������      1 ������������                          1 ������������       1 ������������
������ = ������ −2          ⇒             = −2 3                     ⇒                  = −
                             ������������     ������ ������������                         ������ 3 ������������     2 ������������

    1 ������������          5                            ������������
−          − 5������ = − ������                  ⇒            + 10������ = 5������
    2 ������������          2                            ������������

                ������ ������ ������������                                   10������������
������ ������ = ������                          ⇒      ������ ������ = ������                    ⇒      ������ ������ = ������10������

          ������������                                                         ������
 ������10������        + ������10������ 10������ = 5������������10������                    ⇒              ������������10������     = 5������������10������
          ������������                                                        ������������

    ������ ������������10������ =             5������������10������ ������������


������ = ������      ⇒          ������������ = ������������

                                             ������10������
������������ = ������10������ ������������           ⇒      ������ =
                                              10

                    ������������10������   1                                                      ������������10������ ������10������                               ������������������������������ ������������������������
������������10������ = 5                 −             ������10������ ������������        ⇒        ������������10������ =             −       + ������   ⇒   ������−������ ������������������������ =             −         + ������
                      10       10                                                        2      20                                     ������       ������������




ERICK CONDE                                                                                                                                                    Página 9
Ecuaciones Diferenciales

������) ������ ������������ − ������ + ������������������ ������ + ������������������ ������������ = ������

                                                                  ������������ ������
������ ������������ = ������ + ������������ 3 1 + ������������������ ������������               ⇒                 = + ������ 3 1 + ������������������
                                                                  ������������ ������

������������ ������                                           1 ������������     1
    − = ������ 3 1 + ������������������                     ⇒             −       = 1 + ������������������
������������ ������                                          ������ 3 ������������ ������������ 2

                            ������������      1 ������������                            1 ������������       1 ������������
������ = ������ −2         ⇒             = −2 3                  ⇒                       = −
                            ������������     ������ ������������                           ������ 3 ������������     2 ������������

    1 ������������ ������                                       ������������ 2������
−         − = 1 + ������������������                     ⇒          + = −2 1 + ������������������
    2 ������������ ������                                       ������������ ������
                                                             2
               ������ ������ ������������                                       ������������
������ ������ = ������                     ⇒            ������ ������ = ������       ������         ⇒      ������ ������ = ������ 2 ������������   ������


������ ������ = ������ 2

        ������������        2������                                                       ������
 ������ 2        + ������ 2     = −2 ������ 2 1 + ������������������                           ⇒          ������ 2 ������ = −2������ 2 1 + ������������������
        ������������        ������                                                       ������������

    ������ ������ 2 ������ = −2           ������ 2 + ������ 2 ������������������ ������������

                                     ������������
������ = ������������������        ⇒        ������������ =
                                      ������

                                      ������ 3
������������ = ������ 2 ������������       ⇒      ������ =
                                       3

                   ������ 3   ������ 3          1                                               2      2             1
������ 2 ������ = −2            +      ������������������ −          ������ 2 ������������             ⇒     ������ 2 ������ = − ������ 3 − ������ 3 ������������������ + ������ 3 + ������
                    3      3            3                                               3      3             9

               ������ ������ ������ ������ ������ ������
������������ ������−������ =      ������ − ������ − ������ ������������������ + ������
               ������     ������   ������




ERICK CONDE                                                                                                               Página 10
Ecuaciones Diferenciales

                                            ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

1) (������������������ − ������������������)������������ + (������������ − ������������ )������������ = ������
                                             ������������                                       ������������
                                                    = −2������                                     = −2������
                                             ������������                                       ������������


                                                                 ∴ ������������ ������������������������������������

������Ҩ                          ������Ҩ
     = 4������ 2 − 2������������    ;         = 5������ − ������ 2
������������                         ������������


  ������Ҩ =      (4������ 2 − 2������������)������������

      4 3
Ҩ=      ������ − ������ 2 ������ + ������(������)
      3

 ������ 4 3
       ������ − ������ 2 ������ + ������(������) = 5������ − ������ 2           ⇒   −������ 2 + ������′ ������ = 5������ − ������ 2
������������ 3


������′ ������ = 5������      ⇒         ������ ������ =      5������ ������������

          5 2
������ ������ =     ������ + ������
          2

������ ������            ������
   ������ − ������������ ������ + ������������ + ������ = ������
������               ������

2) ������(������ − ������)������������ ������������ + ������(������ − ������)������ ������������ + ������������ ������������ = ������
                                ������������                                                   ������������
                                       = 3������ 2 2(������ − 1)                                       = 3������ 2 2(������ − 1)
                                ������������                                                   ������������


                                                                 ∴ ������������ ������������������������������������

������Ҩ                             ������Ҩ
     = 2 ������ − 1 ������ 3 ;               = 3(������ − 1)2 ������ 2 + 2������
������������                            ������������


  ������Ҩ =        3(������ − 1)2 ������ 2 + 2������ ������������


Ҩ = (������ − 1)2 ������ 3 + ������ 2 + ������(������)

 ������
     (������ − 1)2 ������ 3 + ������ 2 + ������(������) = 2 ������ − 1 ������ 3          ⇒   2 ������ − 1 ������ 3 + ������′ ������ = 2(������ − 1)������ 3
������������

������′ ������ = 0      ⇒      ������ ������ = ������

(������ − ������)������ ������������ + ������������ + ������ = ������




ERICK CONDE                                                                                                        Página 11
Ecuaciones Diferenciales

3) (������������ + ������������������������ )������������ + ������������������������ ������������ = ������
                                                               ������������                                            ������������
                                                                      = ������������������ ������������                                    = ������������������ ������������
                                                               ������������                                            ������������


                                                                                      ∴ ������������ ������������������������������������

������Ҩ                                    ������Ҩ
     = 2������ + ������������ ������������           ;          = ������������ ������������
������������                                   ������������


   ������Ҩ =        ������������ ������������ ������������

                           ������������
������ = ������������       ⇒               = ������           ⇒      ������������ = ������ ������������
                           ������������


Ҩ=       ������ ������ ������������


Ҩ = ������ ������������ + ������(������)

 ������ ������������
     ������ + ������(������) = 2������ + ������������ ������������                    ⇒        ������������ ������������ + ������′ ������ = 2������ + ������������ ������������
������������

������′ ������ = 2������           ⇒             ������ ������ =       2������ ������������


������ ������ = ������ 2 + ������

������������������ + ������������ + ������ = ������

                       ������������������                             ������                                       ������������������
4) ������������������ ������ −           ������
                                + ������ ������������ ������ + ������ ������ − ������ ������������ + ������������ −                              ������
                                                                                                            + ������ ������������ ������ − ������ ������������ = ������

                                       ������������               1                                             ������������                      1
                                              = 4������ 3 − ������ ������������ ������ + ������������⁡
                                                                         (������)                                  = 4������ 3 − ������ ������������ ������ + ������ ������ ������ + 1 − 1
                                       ������������               ������                                            ������������                      ������

                                       ������������                                                                           ������������
                                              = 4������ 3 − ������ ������������ + ������������⁡
                                                                      (������)                                                   = 4������ 3 − ������ ������������ + ������������⁡
                                                                                                                                                     (������)
                                       ������������                                                                           ������������


                                                                                      ∴ ������������ ������������������������������������

������Ҩ               ������ ������������                  3                               ������Ҩ           ������ ������������
     = 4������ 3 ������ −         + ������ ������������ ������ + ������ ������ − 4                    ;         = ������ 4 −         + ������ ������������ ������ − ������
������������                ������                                                     ������������            ������

                           ������ ������������
   ������Ҩ =         ������ 4 −            + ������ ������������ ������ − ������ ������������
                             ������

                      ������ ������������
Ҩ = ������ 4 ������ −                 ������������ + ������������ ������ ������ ������ − ������������
                        ������




ERICK CONDE                                                                                                                                                 Página 12
Ecuaciones Diferenciales
                                                                               ������ ������������
                                                 ������������������������ ������������������������������������������������             ������������ ������������ ������������������������������������������������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������
                                                                                 ������

                                                                                                +∞
                                                                               ������ ������������ 1               (������������)������
                                                                                      =
                                                                                 ������     ������               ������!
                                                                                                ������=0

                                                                                         +∞
                                                                             ������ ������������            (������)������ (������)������−1
                                                                                     =
                                                                               ������                      ������!
                                                                                         ������=0

                                                                                                 +∞
                                                                 ������ ������������                 1              (������)������ (������)������−1
                                                                         ������������ =             +                           ������������
                                                                   ������                    ������                    ������!
                                                                                                ������=1

                                                                                                       +∞
                                                                      ������ ������������                                 (������)������ (������)������
                                                                              ������������ = ������������ ������ +
                                                                        ������                                      (������)������!
                                                                                                       ������=1

                                +∞
        4
                                       (������)������ (������)������
Ҩ = ������ ������ − ������������ ������ −                                + ������������ ������ ������ ������ − ������������ + ������(������)
                                         (������)������!
                                ������=1

                                +∞
 ������ 4                                (������)������ (������)������                                              ������ ������������                  3
     ������ ������ − ������������ ������ −                             + ������������ ������ ������ ������ − ������������ + ������(������) = 4������ 3 ������ −         + ������ ������������ ������ + ������ ������ − 4
������������                                   (������)������!                                                    ������
                              ������=1

             +∞
   3
                    ������(������)������−1 (������)������                                              ������ ������������                  3
4������ ������ −                              + ������ ������ ������ ������ + 1 − ������ + ������′ ������ = 4������ 3 ������ −         + ������ ������������ ������ + ������ ������ − 4
                         (������)������!                                                     ������
             ������=1

             +∞
                    (������)������ −1 (������)������                                               ������ ������������                  3
4������ 3 ������ −                           + ������ ������ ������ ������ + ������ − ������ + ������′ ������ = 4������ 3 ������ −         + ������ ������������ ������ + ������ ������ − 4
                           ������!                                                       ������
             ������=1


             ������ ������������                                     ������ ������������                  3
4������ 3 ������ −           + ������ ������ ������ ������ + ������′ ������ = 4������ 3 ������ −         + ������ ������������ ������ + ������ ������ − 4
               ������                                          ������

                3                                          3
������′ ������ = ������ ������ − 4                ⇒        ������ ������ =       ������ ������ − 4 ������������


������ = ������ − 4 ⟹ ������ = ������ + 4

������������ = ������������

                              1                                       4           1
������ ������ =        (������ + 4)������3 ������������            ⇒      ������ ������ =         (������3 + 4������3 ) ������������

       3 7         4                                     3         7             4
������ ������ = ������ 3 + 3������ 3 + ������                  ⇒      ������ ������ = (������ − 4) 3 + 3(������ − 4) 3 + ������
       7                                                 7

                         +∞
                                (������)������ (������)������                         ������         ������               ������
������������ ������ − ������������ ������ −                           + ������������ ������ ������ ������ − ������������ + (������ − ������) ������ + ������(������ − ������) ������ + ������ = ������
                                  (������)������!                             ������
                        ������=������




ERICK CONDE                                                                                                                                         Página 13
Ecuaciones Diferenciales

                           ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON FACTOR INTEGRANTE

1) ������������������������ + ������������������ ������ − ������ ������′ = ������

                                     ������������
4������������ 2 + 3������ 2 ������ − 1                    =0                ⇒             4������������ 2 ������������ + 3������ 2 ������ − 1 ������������ = 0
                                     ������������
                                                                                    ������������                                             ������������
                                                                                            = 8������������                                          = 6������������
                                                                                     ������������                                             ������������


                                                                                                          ∴ ������������ ������������ ������������������������������������

                 6������������ −8������������                         2������������                                                     ������������
                              ������������               −            ������������                                          −
������ ������ = ������          4������ ������ 2         = ������            4������ ������ 2             ⇒                ������ ������ = ������           2������



                 1                                                               1                                       1
                                                                                −2
������ ������ = ������ − 2������������        ������
                                     ⇒       ������ ������ = ������ ������������               ������                 ⇒       ������ ������ = ������ − 2

            1                                                         1
4������������ 2 ������ − 2 ������������ + 3������ 2 ������ − 1                            ������ − 2 ������������ = 0

     3                         1             1
4������������ 2 ������������ + 3������ 2 ������ 2 − ������ − 2 ������������ = 0

                                                                                                              1                                      1
                                                                                ������������                  3                              ������������
                                                                                            = 4������          ������ 2                              = 6������������ 2
                                                                                    ������������              2                              ������������

                                                                                                      1                                              1
                                                                                ������������                                                 ������������
                                                                                            = 6������������ 2                                        = 6������������ 2
                                                                                    ������������                                             ������������


                                                                                                            ∴ ������������ ������������������������������������

������Ҩ          3                 ������Ҩ             1        1
     = 4������������ 2        ;             = 3������ 2 ������ 2 − ������ − 2
������������                           ������������

                           3
   ������Ҩ =         4������������ 2 ������������

             3
Ҩ = 2������ 2 ������ 2 + ������(������)

 ������           3                     1        1                                                        3 1                        1        1
     2������ 2 ������ 2 + ������(������) = 3������ 2 ������ 2 − ������ − 2                                  ⇒             2������ 2     ������ 2 + ������′ ������ = 3������ 2 ������ 2 − ������ − 2
������������                                                                                                  2

     1                                   1                1
3������������ 2 + ������′ ������ = 3������ 2 ������ 2 − ������ − 2

                     1                                                          1
������′ ������ = −������ − 2               ⇒         ������ ������ =                     −������ − 2 ������������

         1 1
������ ������ = − ������ 2 + ������
         2

         ������  ������ ������
������������������ ������������ − ������ ������ + ������ = ������
             ������




ERICK CONDE                                                                                                                                              Página 14
Ecuaciones Diferenciales

������) ������ + ������������������ ������ + ������������������(������) ������������ + ������������������ ������ ������������ = ������
                                                                                ������������                                             ������������
                                                                                       = ������������������(������)                                     = 0
                                                                                ������������                                             ������������


                                                                                                ∴ ������������ ������������ ������������������������������������

                ������������������ (������ )
                             ������������                ������������
������ ������ = ������      ������������������ (������ )         = ������                   ⇒       ������ ������ = ������ ������

 ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������(������) ������������ + ������ ������ ������������������ ������ ������������ = 0

                                                                       ������������                                              ������������
                                                                              = ������ ������ ������������������(������)                                = ������ ������ ������������������(������)
                                                                       ������������                                              ������������


                                                                                                   ∴ ������������ ������������������������������������

������Ҩ                                                                             ������Ҩ
     = ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������(������)                    ;            = ������ ������ ������������������ ������
������������                                                                            ������������


   ������Ҩ =          ������ ������ ������������������ ������ ������������


Ҩ = ������ ������ ������������������ ������ + ������(������)

 ������ ������
     ������ ������������������ ������ + ������(������) = ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������(������)                                  ⇒      ������ ������ ������������������ ������ + ������′ ������ = ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������(������)
������������

������′ ������ = ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������                     ⇒          ������ ������ =             ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ ������������


������ = ������       ⇒         ������������ = ������������                 ;       ������������ = ������ ������ ������������          ⇒      ������ = ������ ������


   ������ ������ ������ = ������������ ������ −             ������ ������ ������������          ⇒          ������ ������ ������ = ������������ ������ − ������ ������


   ������ ������ ������������������ ������ ������������


������ = ������ ������    ⇒           ������������ = ������ ������ ������������             ;       ������������ = ������������������ ������ ������������            ⇒         ������ = −������������������(������)

   ������ ������ ������������������ ������ ������������ = −������ ������ ������������������ ������ +                       ������ ������ ������������������(������)������������


������ = ������ ������    ⇒           ������������ = ������ ������ ������������             ;       ������������ = ������������������ ������ ������������            ⇒         ������ = ������������������(������)

                                                                                                                                                                 ������ ������
   ������ ������ ������������������ ������ ������������ = −������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ −                              ������ ������ ������������������(������)������������         ⇒              ������ ������ ������������������ ������ ������������ =         ������������������ ������ − ������������������ ������
                                                                                                                                                                  2

                                       ������ ������
������ ������ = ������������ ������ − ������ ������ +                    ������������������ ������ − ������������������ ������                + ������
                                        2

                                                   ������������
������������ ������������������ ������ + ������������������ − ������������ +                        ������������������ ������ − ������������������ ������ + ������ = ������
                                                    ������




ERICK CONDE                                                                                                                                                                             Página 15
Ecuaciones Diferenciales

������) ������ ������������ + ������������������ − ������−������������ ������������ = ������
                                                                      ������������                         ������������
                                                                             =1                           = 2������
                                                                      ������������                         ������������


                                                                              ∴ ������������ ������������ ������������������������������������

                2������ −1
                       ������������
������ ������ = ������        ������          = ������ 2������ −������������   ������   ⇒   ������ ������ = ������ 2������ ������ −1

������ 2������ ������ −1 ������ ������������ + ������ 2������ ������ −1 2������������ − ������ −2������ ������������ = 0

                                                            ������������                                          ������������
                                                                   = ������ 2������ (2)                                  = 2������ 2������
                                                            ������������                                          ������������


                                                                                  ∴ ������������ ������������������������������������

������Ҩ                      ������Ҩ
     = ������ 2������     ;           = 2������������ 2������ − ������ −1
������������                     ������������


   ������Ҩ =        ������ 2������ ������������


Ҩ = ������������ 2������ + ������(������)

 ������
     ������������ 2������ + ������(������) = 2������������ 2������ − ������ −1              ⇒          2������������ 2������ + ������´(������) = 2������������ 2������ − ������ −1
������������

������′ ������ = −������ −1               ⇒       ������ ������ = −������������ ������ + ������

������������������������ − ������������ ������ + ������ = ������




ERICK CONDE                                                                                                                  Página 16
Ecuaciones Diferenciales

                                                            ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

������) ������ ������������ ������ − ������������ ������ ������������ − ������ ������������ = ������
               ������
������ ������������           ������������ − ������ ������������ = 0
               ������

               ������                                        ������      ������   ������������
������ ������������           ������������ = ������ ������������                ⇒           ������������    =
               ������                                        ������      ������   ������������

          ������                                                ������������           ������������
������ =                 ⇒          ������ = ������������           ⇒            = ������ + ������
          ������                                                ������������           ������������

                                    ������������                                           ������������
������ ln ������ = ������ + ������                             ⇒        ������ ln ������ − ������ = ������
                                    ������������                                           ������������

������������          ������������                                           ������                    ������������
     =                                          ⇒                =
 ������    ������ (ln ������ − 1)                                       ������������            ������ (ln ������ − 1)

                                               ������
������������ ������ + ������ = ������������ ������������                          − ������
                                               ������


          ������������ ������������ + ������ ������������ + ������������
������)            =
          ������������          ������������

������������ ������ 2 ������ ������ 2 + ������ 2
    =     +
������������ ������������      ������������


������������ ������                        ������    2
    = +                                  +1
������������ ������                        ������

          ������                                                ������������           ������������
������ =                 ⇒          ������ = ������������           ⇒            = ������ + ������
          ������                                                ������������           ������������

               ������������         1
������ + ������             = ������ + 2 + 1
               ������������        ������


     ������������         1                                                     ������������       1 + ������ 2
������        = ������ + 2 + 1 − ������                             ⇒          ������        =
     ������������        ������                                                     ������������         ������ 2

       ������                       ������������                          ������                     ������������
                    ������������ =                 ⇒                              ������������ =
     1 + ������ 2                    ������                         1 + ������ 2                  ������

������ = 1 + ������ 2                   ⇒          ������������ = 2������ ������������

1         ������������                ������������
                    =                      ⇒        ������ = ������������ ������ + ������               ⇒         1 + ������ 2 = ������������ ������ + ������
2              ������              ������


                    ������   ������
      ������ +                    = ������������ ������ + ������
                    ������




ERICK CONDE                                                                                                             Página 17
Ecuaciones Diferenciales

       ������������       ������������ + ������������������ + ������������������ ������       ������
������)         =            ������ + ������������������ + ������������������������
                                                +
       ������������   ������ − ������ ������                          ������

                            ������   2             ������                                                       ������ 2      ������
������������               ������ 2              +3           + 6 ������      ������                           ������������              +3      +6        ������
                            ������                 ������                                                       ������        ������
     =                                       2              +                     ⇒             =              2             +
������������             ������                       ������        ������        ������                           ������������   ������        ������       ������        ������
            ������      − 1 ������ 2                   +6      + 13                                          −1          +6     + 13
                 ������                       ������        ������                                            ������        ������       ������

       ������                                          ������������           ������������
������ =             ⇒        ������ = ������������          ⇒          = ������ + ������
       ������                                          ������������           ������������

            ������������        ������ 2 + 3������ + 6                                                 ������������        ������ 2 + 3������ + 6
������ + ������          =                        + ������                           ⇒        ������        =
            ������������   ������ − 1 ������ 2 + 6������ + 13                                              ������������   ������ − 1 ������ 2 + 6������ + 13

 ������ − 1 ������ 2 + 6������ + 13        ������������                                  ������ 3 + 5������ 2 + 7������ − 13        ������������
         2 + 3������ + 6
                        ������������ =                            ⇒                   2 + 3������ + 6
                                                                                             ������������ =
      ������                        ������                                         ������                        ������

   ������ 3 + 5������ 2 + 7������ − 13                         ������������
                           ������������ =
         ������ 2 + 3������ + 6                             ������

Resolviendo la división entre polinomios de la 1era integral, nos queda lo siguiente:

                         5������ + 25                  ������������
       ������ + 2 −                     =
                     ������ 2 + 3������ + 6                 ������

    5������ + 25    ������ 2������ + 3 + ������
               = 2
������ 2 + 3������ + 6    ������ + 3������ + 6

5������ + 25 = 2������������ + 3������ + ������

5 = 2������

25 = 3������ + ������

Resolviendo el sistema A = 5/2, B = 35/2

                                   ������ 2������ + 3          ������                                    ������������
   ������ + 2 ������������ −                               +               ������������ =
                                 ������ 2 + 3������ + 6 ������ 2 + 3������ + 6                                ������


                                   ������ 2������ + 3                 ������                                             ������������
   ������ + 2 ������������ −                                +                        ������������ =
                                 ������ 2 + 3������ + 6   ������ 2 + 3������ + 9 + 6 − 9                                      ������
                                                               4       4


                                   ������ 2������ + 3                    ������                                 ������������
   ������ + 2 ������������ −                                +                    2             ������������ =
                                 ������ 2 + 3������ + 6                  3           15                      ������
                                                          ������ +           +
                                                                 2           4

                                                                                         3
������ 2  5                      35                      2                       2 ������ +
     − ������������ ������ 2 + 3������ + 6 +                                ������������������������������������                 2           = ������������ ������ + ������
 2    2                      2                       15                                15


                                                                              ������ ������
������ ������       ������    ������    ������           ������        ������        ������������               ������ +
                 − ������������                   + ������    + ������ −       ������������������������������������   ������ ������                         = ������������ ������ + ������
������ ������             ������    ������                     ������         ������������                  ������������



ERICK CONDE                                                                                                                         Página 18
Ecuaciones Diferenciales

                     ������������������
������) ������′ =
                 ������������������ − ������������
              2������������                                 ������
                                                  2
������ ′ =         ������ 2         ⇒            ������′ =      ������
            3������ 2 ������ 2                               ������   2
                  − 2                            3−
             ������ 2  ������                                ������

       ������                                         ������������           ������������
������ =           ⇒        ������ = ������������         ⇒            = ������ + ������
       ������                                         ������������           ������������

            ������������   2������
������ + ������          =
            ������������ 3 − ������ 2

     ������������   2������
������        =        − ������
     ������������ 3 − ������ 2

     ������������ 2������ − 3������ + ������ 3
������        =
     ������������     3 − ������ 2

     3 − ������ 2              ������������
               ������������ =
     ������ 3 − ������              ������

        3 − ������ 2                  ������������
                  ������������ =
     ������(������ 2 − 1)                  ������

   3 − ������ 2  ������ ������ 2������ + ������
            = +
������(������ 2 − 1) ������  (������ 2 − 1)

3 − ������ 2 = ������(������ 2 − 1) + ������(2������ 2 ) + ������������

3 − ������ 2 = ������ + 2������ ������ 2 + ������������ − ������

3= −������

−1 = ������ + 2������

������ = 0

Resolviendo el sistema A = -3, B = ½ , C = 0

     ������               2������������                      ������             ������������
        ������������ +              ������������ +                   ������������ =
     ������            ������ 2 − 1                 ������ 2 − 1             ������

−3������������ ������ + ������������ ������ 2 − 1 = ������������ ������ + ������

              ������        ������        ������
−������������������          + ������������                − ������ = ������������ ������ + ������
              ������        ������




ERICK CONDE                                                                              Página 19
Ecuaciones Diferenciales

                                ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES LINEALES

       ������������ ������������ − ������ + ������
������)        =
       ������������ ������������ − ������ − ������

                                           ������ = ������ + ������     ⇒       ������������ = ������������    ;    ������ = ������ + ������    ⇒   ������������ = ������������

������������ 2 ������ + ������ − ������ + ������ + 5 2������ + 2������ − ������ − ������ + 5
    =                       =
������������ 2 ������ + ������ − ������ + ������ − 4 2������ + 2������ − ������ − ������ − 4

������������ 2������ − ������ + 2������ − ������ + 5
    =
������������ 2������ − ������ + 2������ − ������ − 4

 2������ − ������ + 5 = 0
                            ;    ������������������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������ ������ = 1 , ������ = −2
 2������ − ������ − 4 = 0

                                        ������
������������ 2������ − ������                   ������������ 2 ������ − 1
    =                  ⇒             =
������������ 2������ − ������                   ������������       ������
                                       2−
                                           ������

       ������                                     ������������           ������������
������ =           ⇒    ������ = ������������       ⇒              = ������ + ������
       ������                                     ������������           ������������

            ������������ 2������ − 1                     ������������ 2������ − 1 − 2������ + ������ 2
������ + ������          =              ⇒       ������        =
            ������������   2 − ������                    ������������       2 − ������

     ������������ ������ 2 − 1                      2 − ������             ������������
������        =             ⇒                           ������������ =
     ������������   2 − ������                  ������ + 1 (������ − 1)         ������

          2 − ������                    ������������
                      ������������ =
      ������ + 1 (������ − 1)                ������

     2 − ������         ������     ������
               =       +
 ������ + 1 ������ − 1   ������ + 1 ������ − 1

2 − ������ = ������ ������ − 1 + ������ ������ + 1                 ⇒      2 − ������ = ������ + ������ ������ + ������ − ������

−1 = ������ + ������

2 = ������ − ������

Resolviendo el sistema A = -3/2, B = ½

          ������     ������                   ������������
             +       ������������ =                     ⇒      ������ ������������ ������ + 1 + ������ ������������ ������ − 1 = ������������ ������ + ������
       ������ + 1 ������ − 1                   ������

 3    ������    1    ������                                                     3     ������ − ������      1     ������ − ������
− ������������ + 1 + ������������ − 1 = ������������ ������ + ������                            ⇒      − ������������         + 1 + ������������         − 1 = ������������ ������ − ������ + ������
 2    ������    2    ������                                                     2     ������ − ������      2     ������ − ������

 ������    ������ + ������       ������    ������ + ������
− ������������         + ������ + ������������         − ������ = ������������ ������ − ������ + ������
 ������    ������ − ������       ������    ������ − ������




ERICK CONDE                                                                                                                        Página 20
Ecuaciones Diferenciales

������) −������������ + ������ + ������ ������������ + ������ + ������ + ������ ������������ = ������
������������ 3������ − ������ − 6
     =
������������   ������ + ������ + 2

                                           ������ = ������ + ������       ⇒       ������������ = ������������    ;    ������ = ������ + ������   ⇒   ������������ = ������������

������������ 3 ������ + ������ − ������ + ������ − 6 3������ + 3������ − ������ − ������ − 6
     =                       =
������������   ������ + ������ + ������ + ������ + 2   ������ + ������ + ������ + ������ + 2

������������ 3������ − ������ + 3������ − ������ − 6
     =
������������   ������ + ������ + ������ + ������ + 2

 3������ − ������ − 6 = 0
                           ;       ������������������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������ ������ = 1 , ������ = −3
  ������ + ������ + 2 = 0

                                         ������
������������ 3������ − ������                   ������������ 3 − ������
     =                 ⇒            =
������������   ������ + ������                  ������������ 1 + ������
                                         ������

       ������                                       ������������           ������������
������ =           ⇒    ������ = ������������        ⇒               = ������ + ������
       ������                                       ������������           ������������

            ������������ 3 − ������                    ������������ 3 − ������ − ������ − ������ 2
������ + ������         =              ⇒      ������        =
            ������������ 1 + ������                    ������������      1 + ������

     ������������ −(������ 2 + 2������ − 3)                               ������ + 1             ������������
������        =                            ⇒          −                   ������������ =
     ������������       1 + ������                                ������ + 3 (������ − 1)         ������

              ������ + 1                     ������������
−                         ������������ =
          ������ + 3 (������ − 1)                 ������

     ������ + 1         ������     ������
                =      +
 ������ + 3 (������ − 1) ������ + 3 ������ − 1

������ + 1 = ������ ������ − 1 + ������ ������ + 3                    ⇒     ������ + 1 = ������ + ������ ������ + 3������ − ������

1 = ������ + ������

1 = 3������ − ������

Resolviendo el sistema A = ½ , B = ½

               ������     ������                   ������������
−                 +       ������������ =                      ⇒ − ������ ������������ ������ + 3 − ������ ������������ ������ − 1 = ������������ ������ + ������
            ������ + 3 ������ − 1                   ������

 1    ������    1    ������                                                      1     ������ − ������      1     ������ − ������
− ������������ + 3 − ������������ − 1 = ������������ ������ + ������                              ⇒     − ������������         + 3 − ������������         − 1 = ������������ ������ − ������ + ������
 2    ������    2    ������                                                      2     ������ − ������      2     ������ − ������

 ������    ������ + ������       ������    ������ + ������
− ������������         + ������ − ������������         − ������ = ������������ ������ − ������ + ������
 ������    ������ − ������       ������    ������ − ������




ERICK CONDE                                                                                                                         Página 21
Ecuaciones Diferenciales

         ������������    ������������ + ������������ + ������
������)           =−
         ������������     ������������ + ������ + ������

                                             ������ = ������ + ������          ⇒      ������������ = ������������    ;    ������ = ������ + ������     ⇒        ������������ = ������������

������������    4 ������ + ������ + 3 ������ + ������ + 5    4������ + ������ + 3������ + 3������ + 5
     =−                           =−
������������    2 ������ + ������ + ������ + ������ + 7      2������ + 2������ + ������ + ������ + 7

������������    4������ + 3������ + 4������ + 3������ + 5
     =−
������������     2������ + ������ + 2������ + ������ + 7

 4������ + 3������ + 5 = 0
                                ;      ������������������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������ ������ = −8 , ������ = 9
  2������ + ������ + 7 = 0

                                                      ������
������������    4������ + 3������                        ������������    4+3
     =−                       ⇒               =−      ������
������������    2������ + ������                         ������������        ������
                                                 2+
                                                     ������

         ������                                      ������������           ������������
������ =             ⇒    ������ = ������������         ⇒             = ������ + ������
         ������                                      ������������           ������������

              ������������    4 + 3������                        ������������    4 + 3������ − 2������ − ������ 2
������ + ������            =−                  ⇒        ������        =−
              ������������     2 + ������                        ������������          2 + ������

     ������������    −������ 2 + ������ − 4                              2 + ������          ������������
������        =−                             ⇒                        ������������ =
     ������������         2 + ������                            ������ 2 − ������ + 4         ������

            2 + ������              ������������
                     ������������ =
       ������ 2 − ������ + 4             ������

       2 + ������     ������ 2������ − 1 + ������
                =
������ 2   − ������ + 4      ������ 2 − ������ + 4

2 + ������ = 2������������ + (������ − ������)

1 = 2������

1 = ������ − ������

Resolviendo el sistema A = ½ , B = 5/2


        ������ 2������ − 1                 ������                                     ������������               ������ 2������ − 1             ������                      ������������
                      +                       ������������ =                              ⇒                        +            2          ������������ =
        ������ 2 − ������ + 4   ������ 2 − ������ + 1 + 4 − 1                              ������                ������ 2 − ������ + 4          1         17             ������
                                    4       4                                                                  ������ −         −
                                                                                                                    2         4

1                      5                        1
  ������������ ������ 2 − ������ + 4 +                          2             ������������ = ������������ ������ − ������ + ������
2                      2                    1            17
                                       ������ −          −
                                            2            4




ERICK CONDE                                                                                                                                        Página 22
Ecuaciones Diferenciales
              1
                  2                 ������������
          1             17
     ������ −             −
          2             4

              1
������ = ������ −              ⇒              ������������ = ������������
              2

         1                                               17
                  ������������          ;          ������������������ ������ =
          17                                             4
    ������2 −
          4

        1                                                     ������������
             ������������               ⇒
    ������2 − ������                                     ������ + ������ ������ − ������

              1                                   ������                    ������
                                           =             +
 ������ + ������ ������ − ������                               ������ + ������         ������ − ������

1 = ������ ������ − ������ + ������ ������ + ������                                       ⇒          1 = ������ + ������ ������ + ������ ������ − ������ ������

                                                              1                   1
Resolviendo el sistema ������ = − 2                                   ������
                                                                        , ������ =
                                                                                 2 ������

         ������                     ������                                                                                   1                       1
                      +                        ������������      ⇒             ������ ������������ ������ + ������ + ������ ������������ ������ − ������   ⇒    −          ������������ ������ + ������ +          ������������ ������ − ������
     ������ + ������              ������ − ������                                                                                   2 ������                    2 ������

     1           1  2    1           1  2
−       ������������ ������ − +    +    ������������ ������ − −
     17          2  17   17          2  17

Retornando a la ecuación

1                     5  1           1  2    1           1  2
  ������������ ������ 2 − ������ + 4 + −    ������������ ������ − +    +    ������������ ������ − −                                                    = ������������ ������ − ������ + ������
2                     2  17          2  17   17          2  17
              2
1        ������            ������     5  1      ������ 1 2    1      ������ 1 2
  ������������            −       +4 + −    ������������ − +    +    ������������ − −                                                        = ������������ ������ − ������ + ������
2        ������            ������     2  17     ������ 2 17   17     ������ 2 17

                       2
1        ������ − ������                    ������ − ������       5        ������ − ������ 1  2         ������ − ������ 1  2
  ������������                      −               +4 +      ������������        − −    − ������������        − +                                      = ������������ ������ − ������ + ������
2        ������ − ������                    ������ − ������      2 17      ������ − ������ 2  17        ������ − ������ 2  17

                           ������
������      ������ − ������                       ������ + ������          ������         ������ − ������ ������ ������          ������ − ������ ������ ������
   ������������                         −             + ������ +         ������������        − −      − ������������        − +                                  = ������������ ������ + ������ + ������
������      ������ + ������                       ������ + ������        ������ ������������      ������ + ������ ������ ������������        ������ + ������ ������ ������������




ERICK CONDE                                                                                                                                                Página 23
Ecuaciones Diferenciales

                                                                                                    APLICACIONES

                                                                 LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

1) Un asado de 4 libras inicialmente a 50°F se coloca en un horno a 375°F a las 5 P.M después de
75 minutos se observa que la temperatura del asado es 125°F ¿Cuándo estará el asado a 150°F?

                                                          ������������
                                                               = ������ ������ − ������ ; ������������������������������ ������ ������������ ������������ ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������
                                                          ������������

������������                                                      ������������
     = ������ 375 − ������                      ⇒                        = ������                 ������������          ⇒          −������������ 375 − ������ = ������������ + ������
������������                                                    375 − ������

No tomamos en cuenta el valor absoluto, debido a que la temperatura del asado nunca superará la temperatura del
horno, por lo tanto siempre será un valor positivo

������ ������������   375−������   = ������ −������������ −������          ⇒        375 − ������ = ������ −������������                      ������ −������              ⇒        375 − ������ = ������ −������������ ������
                                                                                      ������������������������������������������������������


������ ������ = 375 − ������������ −������������ ; ������������������������������������ó������ ������������ ������������ ������������������������������������������������������������������ ������������������ ������������������������������ ������������������������ ������������������������������������������������������ ������������������������������������ "������"

Según las condiciones que nos da el problema para:

                                            1
������ 0 = 50°������                  ������    ������ 1      = 125°������
                                            4

Reemplazando nuestra primera condición:

50 = 375 − ������������ −������(0)                      ⇒           50 = 375 − ������������ 0                       ⇒              ������ = 325

Reemplazando la segunda condición:

                                                                                                                                                    4
                                            5                                 5            375 − 125                                      5
                                                                                                                                              250
125 = 375 − 325 ������ −������                          4        ⇒          ������ −������        4   =                                  ⇒     ������ −������ =
                                                                                              325                                             325

Entonces reemplazando todas las constantes en nuestra ecuación, nos queda:

                                                                                                                         ������
                                                                                                                     4
                                                                                                       5
                                                                                                               250
������ ������ = 375 − ������               ������ −������ ������        ⇒             ������ ������ = 375 − 325
                                                                                                               325


Como el problema nos pide el tiempo en que el asado estará a 150°F, solo nos queda reemplazar, es decir T(t) = 150°F

                                                         ������                                           ������
                                                    4                                           4
                                    5
                                           250                               5
                                                                                      250                      375 − 150
150 = 375 − 325                                                 ⇒                                          =
                                           325                                        325                         325

                         ������
                     4                                                            9
          5
              250                    9                                 ������������
������������                          = ������������                    ⇒       ������ =              13
              325                    13                                                                              4
                                                                                                      5
                                                                                                           250
                                                                                             ������������
                                                                                                           325


 ������ ≈ ������. ������������ ������������������������������


ERICK CONDE                                                                                                                                             Página 24
Ecuaciones Diferenciales

2) Justo antes del mediodía se encuentra el cuerpo de una víctima de un presunto homicidio
dentro de un cuarto que se conserva a una temperatura constante de 70°F. A las 12 del día la
temperatura del cuerpo es de 80°F y a la 1 P.M es de 75°F. Considere que la temperatura del
cuerpo al morir es de 98.6°F y que este se ha enfriado de acuerdo con la ley de enfriamiento de
Newton. Determine la hora del homicidio.

������������                                              ������������
     = ������ ������ − ������                  ⇒                    = ������        ������������   ⇒   −������������ ������ − ������ = ������������ + ������
������������                                            ������ − ������

������ ������������   ������−������
                  = ������ −������������ −������        ⇒       ������ − ������ = ������������ −������������

������ ������ = ������ − ������������ −������������

El problema nos dice que el cuerpo está en un cuarto donde existe una temperatura constante, entonces A = 70

������ ������ = 70 − ������������ −������������

Si consideramos las 12 del día como t = 0, entonces T(0) = 80

80 = 70 − ������������ −������(0)                   ⇒        80 = 70 − ������              ⇒   ������ = −10

Después, nos dice que transcurrido una hora la temperatura del cuerpo es de 75°F, entonces T(1) = 75

                                                           1
75 = 70 + 10������ −������                      ⇒       ������ −������ =
                                                           2

Reemplazando todas estas constantes en nuestra ecuación:

                                   ������
                               1
������ ������ = 70 + 10
                               2

La última condición, nos dice que la temperatura del cuerpo al morir es de 98.6°F, es decir T(t) = 98.6

                                   ������                      ������                             ������
                               1                     1                                1                                 ������������ 2.86
98.6 = 70 + 10                              ⇒                   = 2.86     ⇒   ������������            = ������������ 2.86   ⇒   ������ =
                               2                     2                                2                                   ������������ 0.5

������ ≈ −1.5 ������������������������������

Pero la hora del asesinato sería 12 – 1.5 horas, es decir la hora del asesinato fue aproximadamente a las 10 y 30




ERICK CONDE                                                                                                                          Página 25
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Colegio de bachilleres del estado de tlaxcala
Colegio de bachilleres del estado de tlaxcalaColegio de bachilleres del estado de tlaxcala
Colegio de bachilleres del estado de tlaxcalaAntonio Flores Flores
 
Ejercicios de complejos
Ejercicios de complejosEjercicios de complejos
Ejercicios de complejosNorman Rivera
 
SOLUCIONES TEMA COMPLEJOS
SOLUCIONES TEMA COMPLEJOSSOLUCIONES TEMA COMPLEJOS
SOLUCIONES TEMA COMPLEJOSjrs74
 
Ejercicios resueltos de matematica decimo egb
Ejercicios resueltos de matematica decimo egbEjercicios resueltos de matematica decimo egb
Ejercicios resueltos de matematica decimo egbDoris Caiza
 
Ejercicios ecuaciones-de-primer-grado
Ejercicios ecuaciones-de-primer-gradoEjercicios ecuaciones-de-primer-grado
Ejercicios ecuaciones-de-primer-gradolenner_santos
 
Folleto de ecuaciones diferenciales (2do parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (2do parcial)Folleto de ecuaciones diferenciales (2do parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (2do parcial)ERICK CONDE
 
Ejercicios de aplicación de inecuaciones
Ejercicios de aplicación de inecuacionesEjercicios de aplicación de inecuaciones
Ejercicios de aplicación de inecuacionesPELVIS
 
Ejercicios NúMeros Complejos B Arnett
Ejercicios NúMeros Complejos B ArnettEjercicios NúMeros Complejos B Arnett
Ejercicios NúMeros Complejos B ArnettCarmen Batiz
 
Mat ii solucions tema1
Mat ii  solucions tema1Mat ii  solucions tema1
Mat ii solucions tema1mtmtkalodia
 
Ejercicios De Expresiones Algebraicas
Ejercicios De Expresiones AlgebraicasEjercicios De Expresiones Algebraicas
Ejercicios De Expresiones Algebraicasanmenra
 
Práctica preparatoria para el 2do examen parcial
Práctica preparatoria para el 2do  examen parcialPráctica preparatoria para el 2do  examen parcial
Práctica preparatoria para el 2do examen parcialPrefacultativo Fcpn Umsa
 
Youblisher.com 771168-ejemplos de-derivadas
Youblisher.com 771168-ejemplos de-derivadasYoublisher.com 771168-ejemplos de-derivadas
Youblisher.com 771168-ejemplos de-derivadasOscar Ríos Gómez
 
Ejercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
Ejercicios de variable compleja - Edgar De SantiagoEjercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
Ejercicios de variable compleja - Edgar De SantiagoRafael Yépez
 
Guia de calculo 1 MATEMATICA
Guia de calculo 1 MATEMATICAGuia de calculo 1 MATEMATICA
Guia de calculo 1 MATEMATICAArmando Cavero
 

La actualidad más candente (19)

RECURSOS 1
RECURSOS 1RECURSOS 1
RECURSOS 1
 
Colegio de bachilleres del estado de tlaxcala
Colegio de bachilleres del estado de tlaxcalaColegio de bachilleres del estado de tlaxcala
Colegio de bachilleres del estado de tlaxcala
 
Ejercicios de complejos
Ejercicios de complejosEjercicios de complejos
Ejercicios de complejos
 
3.algebra
3.algebra3.algebra
3.algebra
 
SOLUCIONES TEMA COMPLEJOS
SOLUCIONES TEMA COMPLEJOSSOLUCIONES TEMA COMPLEJOS
SOLUCIONES TEMA COMPLEJOS
 
301301 169 tarea 3
301301 169 tarea 3301301 169 tarea 3
301301 169 tarea 3
 
Ejercicios resueltos de matematica decimo egb
Ejercicios resueltos de matematica decimo egbEjercicios resueltos de matematica decimo egb
Ejercicios resueltos de matematica decimo egb
 
Ejercicios ecuaciones-de-primer-grado
Ejercicios ecuaciones-de-primer-gradoEjercicios ecuaciones-de-primer-grado
Ejercicios ecuaciones-de-primer-grado
 
05 polinomios
05 polinomios05 polinomios
05 polinomios
 
Folleto de ecuaciones diferenciales (2do parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (2do parcial)Folleto de ecuaciones diferenciales (2do parcial)
Folleto de ecuaciones diferenciales (2do parcial)
 
Ejercicios de aplicación de inecuaciones
Ejercicios de aplicación de inecuacionesEjercicios de aplicación de inecuaciones
Ejercicios de aplicación de inecuaciones
 
U 6
U 6U 6
U 6
 
Ejercicios NúMeros Complejos B Arnett
Ejercicios NúMeros Complejos B ArnettEjercicios NúMeros Complejos B Arnett
Ejercicios NúMeros Complejos B Arnett
 
Mat ii solucions tema1
Mat ii  solucions tema1Mat ii  solucions tema1
Mat ii solucions tema1
 
Ejercicios De Expresiones Algebraicas
Ejercicios De Expresiones AlgebraicasEjercicios De Expresiones Algebraicas
Ejercicios De Expresiones Algebraicas
 
Práctica preparatoria para el 2do examen parcial
Práctica preparatoria para el 2do  examen parcialPráctica preparatoria para el 2do  examen parcial
Práctica preparatoria para el 2do examen parcial
 
Youblisher.com 771168-ejemplos de-derivadas
Youblisher.com 771168-ejemplos de-derivadasYoublisher.com 771168-ejemplos de-derivadas
Youblisher.com 771168-ejemplos de-derivadas
 
Ejercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
Ejercicios de variable compleja - Edgar De SantiagoEjercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
Ejercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
 
Guia de calculo 1 MATEMATICA
Guia de calculo 1 MATEMATICAGuia de calculo 1 MATEMATICA
Guia de calculo 1 MATEMATICA
 

Destacado

Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1ERICK CONDE
 
Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2ERICK CONDE
 
MECANICA DE SUELOS
MECANICA DE SUELOSMECANICA DE SUELOS
MECANICA DE SUELOSMaili Ramos
 
10 ejercicios resueltos analisis estructural ii
10 ejercicios resueltos analisis estructural ii10 ejercicios resueltos analisis estructural ii
10 ejercicios resueltos analisis estructural iiSalomon Alcoba Trujillo
 
Resistencia de materiales singer
Resistencia de materiales   singerResistencia de materiales   singer
Resistencia de materiales singerjonathan
 
Vigas hiperestaticas
Vigas hiperestaticasVigas hiperestaticas
Vigas hiperestaticasJcarlos Drc
 
Solucionario de singer
Solucionario de singerSolucionario de singer
Solucionario de singerjonathan
 
Mecanica de suelos i 10 exploracion de suelos
Mecanica de suelos i 10 exploracion de suelosMecanica de suelos i 10 exploracion de suelos
Mecanica de suelos i 10 exploracion de suelosMELIZA YURA
 
[Schaum william a. nash] resistencia de materiales
[Schaum   william a. nash] resistencia de materiales[Schaum   william a. nash] resistencia de materiales
[Schaum william a. nash] resistencia de materialesvlady71
 
Solucionario fisica sears vol 2
Solucionario fisica sears vol 2Solucionario fisica sears vol 2
Solucionario fisica sears vol 2Karl Krieger
 
Manual de laboratorio de suelos en ingenieria civil joseph e. bowles
Manual de laboratorio de suelos en ingenieria civil   joseph e. bowlesManual de laboratorio de suelos en ingenieria civil   joseph e. bowles
Manual de laboratorio de suelos en ingenieria civil joseph e. bowlesDiego Huerfano
 
Laboratorio 3de tecnologia_de_materiales[1]
Laboratorio 3de tecnologia_de_materiales[1]Laboratorio 3de tecnologia_de_materiales[1]
Laboratorio 3de tecnologia_de_materiales[1]Anfer Huanca
 
PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS
PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOSPROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS
PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOSFiliberto Acevedo
 
Tecnologia de los_materiales_diapositivas_saia[1]
Tecnologia de los_materiales_diapositivas_saia[1]Tecnologia de los_materiales_diapositivas_saia[1]
Tecnologia de los_materiales_diapositivas_saia[1]yuise04
 
ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE ESTRUCTURAS
ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE ESTRUCTURASANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE ESTRUCTURAS
ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE ESTRUCTURASWilson Apellidos
 
Mecánica de Suelos I (2010)
Mecánica de Suelos I (2010)  Mecánica de Suelos I (2010)
Mecánica de Suelos I (2010) mosesic
 
Laboratorio propiedades de la materia.
Laboratorio propiedades de la materia.Laboratorio propiedades de la materia.
Laboratorio propiedades de la materia.Diana Cristina Gómez
 

Destacado (20)

Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1
 
Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2Solucionario ecuaciones2
Solucionario ecuaciones2
 
MECANICA DE SUELOS
MECANICA DE SUELOSMECANICA DE SUELOS
MECANICA DE SUELOS
 
Introducción a la Tecnologia de Materiales
Introducción a la Tecnologia de MaterialesIntroducción a la Tecnologia de Materiales
Introducción a la Tecnologia de Materiales
 
10 ejercicios resueltos analisis estructural ii
10 ejercicios resueltos analisis estructural ii10 ejercicios resueltos analisis estructural ii
10 ejercicios resueltos analisis estructural ii
 
Resistencia de materiales singer
Resistencia de materiales   singerResistencia de materiales   singer
Resistencia de materiales singer
 
Vigas hiperestaticas
Vigas hiperestaticasVigas hiperestaticas
Vigas hiperestaticas
 
Solucionario de singer
Solucionario de singerSolucionario de singer
Solucionario de singer
 
Mecanica de suelos i 10 exploracion de suelos
Mecanica de suelos i 10 exploracion de suelosMecanica de suelos i 10 exploracion de suelos
Mecanica de suelos i 10 exploracion de suelos
 
[Schaum william a. nash] resistencia de materiales
[Schaum   william a. nash] resistencia de materiales[Schaum   william a. nash] resistencia de materiales
[Schaum william a. nash] resistencia de materiales
 
Solucionario fisica sears vol 2
Solucionario fisica sears vol 2Solucionario fisica sears vol 2
Solucionario fisica sears vol 2
 
Manual de laboratorio de suelos en ingenieria civil joseph e. bowles
Manual de laboratorio de suelos en ingenieria civil   joseph e. bowlesManual de laboratorio de suelos en ingenieria civil   joseph e. bowles
Manual de laboratorio de suelos en ingenieria civil joseph e. bowles
 
Exploración de Suelos
Exploración de SuelosExploración de Suelos
Exploración de Suelos
 
Laboratorio 3de tecnologia_de_materiales[1]
Laboratorio 3de tecnologia_de_materiales[1]Laboratorio 3de tecnologia_de_materiales[1]
Laboratorio 3de tecnologia_de_materiales[1]
 
PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS
PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOSPROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS
PROBLEMAS DE MECANICA RESUELTOS
 
Tecnologia de los_materiales_diapositivas_saia[1]
Tecnologia de los_materiales_diapositivas_saia[1]Tecnologia de los_materiales_diapositivas_saia[1]
Tecnologia de los_materiales_diapositivas_saia[1]
 
ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE ESTRUCTURAS
ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE ESTRUCTURASANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE ESTRUCTURAS
ANALISIS ESTATICO Y DINAMICO DE ESTRUCTURAS
 
Mecánica de Suelos I (2010)
Mecánica de Suelos I (2010)  Mecánica de Suelos I (2010)
Mecánica de Suelos I (2010)
 
Laboratorio propiedades de la materia.
Laboratorio propiedades de la materia.Laboratorio propiedades de la materia.
Laboratorio propiedades de la materia.
 
Fisica 1 Soluciones
Fisica 1 SolucionesFisica 1 Soluciones
Fisica 1 Soluciones
 

Similar a Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)

Ecuaciones de primer grado2
Ecuaciones de primer grado2Ecuaciones de primer grado2
Ecuaciones de primer grado2miguetxebe
 
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1Ecuaciones resueltas 4eso_parte1
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1Educación
 
Factorizacion de polinomios
Factorizacion de polinomiosFactorizacion de polinomios
Factorizacion de polinomiosflor2510
 
Examen de trigonometría 1
Examen de trigonometría 1Examen de trigonometría 1
Examen de trigonometría 1Educación
 
fracciones algebraicas
fracciones algebraicasfracciones algebraicas
fracciones algebraicasGigi "G"
 
ejersisios de algebra lineal
ejersisios de algebra linealejersisios de algebra lineal
ejersisios de algebra linealsarefe
 
Actividad 5 mate primero divi enteros
Actividad 5 mate primero divi enterosActividad 5 mate primero divi enteros
Actividad 5 mate primero divi enterosflori
 
Ejercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorEjercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorlinagora1288
 
Ejercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorEjercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorlinagora1288
 
Ejercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorEjercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorlinagora1288
 
Ejercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorEjercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorlinagora1288
 
Ejercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorEjercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorlinagora1288
 

Similar a Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial) (20)

Ecuaciones de primer grado2
Ecuaciones de primer grado2Ecuaciones de primer grado2
Ecuaciones de primer grado2
 
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDAINTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
 
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1Ecuaciones resueltas 4eso_parte1
Ecuaciones resueltas 4eso_parte1
 
FRACCIONES ·3ªESO
FRACCIONES ·3ªESOFRACCIONES ·3ªESO
FRACCIONES ·3ªESO
 
Factorizacion de polinomios
Factorizacion de polinomiosFactorizacion de polinomios
Factorizacion de polinomios
 
Examen de trigonometría 1
Examen de trigonometría 1Examen de trigonometría 1
Examen de trigonometría 1
 
Lina
LinaLina
Lina
 
fracciones algebraicas
fracciones algebraicasfracciones algebraicas
fracciones algebraicas
 
ejersisios de algebra lineal
ejersisios de algebra linealejersisios de algebra lineal
ejersisios de algebra lineal
 
Actividad 5 mate primero divi enteros
Actividad 5 mate primero divi enterosActividad 5 mate primero divi enteros
Actividad 5 mate primero divi enteros
 
Ejercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorEjercicios serie taylor
Ejercicios serie taylor
 
Ejercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorEjercicios serie taylor
Ejercicios serie taylor
 
Ejercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorEjercicios serie taylor
Ejercicios serie taylor
 
Ejercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorEjercicios serie taylor
Ejercicios serie taylor
 
Ejercicios serie taylor
Ejercicios serie taylorEjercicios serie taylor
Ejercicios serie taylor
 
Factorizacion
FactorizacionFactorizacion
Factorizacion
 
Divisiones de binomios
Divisiones de binomios Divisiones de binomios
Divisiones de binomios
 
Trabajo de verano pcpi
Trabajo de verano pcpiTrabajo de verano pcpi
Trabajo de verano pcpi
 
Solución de ecuaciones por matrices
Solución de ecuaciones por matricesSolución de ecuaciones por matrices
Solución de ecuaciones por matrices
 
Calculo.ppt 0
Calculo.ppt 0Calculo.ppt 0
Calculo.ppt 0
 

Más de ERICK CONDE

Producción de campos magnéticos
Producción de campos magnéticosProducción de campos magnéticos
Producción de campos magnéticosERICK CONDE
 
Introducción a la electricidad
Introducción a la electricidadIntroducción a la electricidad
Introducción a la electricidadERICK CONDE
 
Inductancia, motores y generadores de cc
Inductancia, motores y generadores de ccInductancia, motores y generadores de cc
Inductancia, motores y generadores de ccERICK CONDE
 
Induccion electromagnética
Induccion electromagnéticaInduccion electromagnética
Induccion electromagnéticaERICK CONDE
 
Equivalente eléctrico del calor
Equivalente eléctrico del calorEquivalente eléctrico del calor
Equivalente eléctrico del calorERICK CONDE
 
Campo y potencial
Campo y potencialCampo y potencial
Campo y potencialERICK CONDE
 
Leyes de kirchhoff
Leyes de kirchhoff Leyes de kirchhoff
Leyes de kirchhoff ERICK CONDE
 

Más de ERICK CONDE (20)

Practica 10
Practica 10Practica 10
Practica 10
 
Practica 11
Practica 11Practica 11
Practica 11
 
Pre practica 9
Pre practica 9Pre practica 9
Pre practica 9
 
Practica 8
Practica 8Practica 8
Practica 8
 
Pre practica 8
Pre practica 8Pre practica 8
Pre practica 8
 
Practica #5
Practica #5Practica #5
Practica #5
 
Pre practica #6
Pre practica #6Pre practica #6
Pre practica #6
 
Practica #5
Practica #5Practica #5
Practica #5
 
Pre practica #6
Pre practica #6Pre practica #6
Pre practica #6
 
Producción de campos magnéticos
Producción de campos magnéticosProducción de campos magnéticos
Producción de campos magnéticos
 
Magnetismo
MagnetismoMagnetismo
Magnetismo
 
Ley de ohm
Ley de ohmLey de ohm
Ley de ohm
 
Introducción a la electricidad
Introducción a la electricidadIntroducción a la electricidad
Introducción a la electricidad
 
Inductancia, motores y generadores de cc
Inductancia, motores y generadores de ccInductancia, motores y generadores de cc
Inductancia, motores y generadores de cc
 
Induccion electromagnética
Induccion electromagnéticaInduccion electromagnética
Induccion electromagnética
 
Equivalente eléctrico del calor
Equivalente eléctrico del calorEquivalente eléctrico del calor
Equivalente eléctrico del calor
 
Electrización
ElectrizaciónElectrización
Electrización
 
Circuitos rc
Circuitos rcCircuitos rc
Circuitos rc
 
Campo y potencial
Campo y potencialCampo y potencial
Campo y potencial
 
Leyes de kirchhoff
Leyes de kirchhoff Leyes de kirchhoff
Leyes de kirchhoff
 

Último

Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsa
Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsaManejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsa
Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsaLuis Minaya
 
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docx
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docxEJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docx
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docxFabianValenciaJabo
 
c3.hu3.p1.p2.El ser humano y el sentido de su existencia.pptx
c3.hu3.p1.p2.El ser humano y el sentido de su existencia.pptxc3.hu3.p1.p2.El ser humano y el sentido de su existencia.pptx
c3.hu3.p1.p2.El ser humano y el sentido de su existencia.pptxMartín Ramírez
 
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdfssuser50d1252
 
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación iniciallibro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicialLorenaSanchez350426
 
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024gharce
 
Presentacion minimalista aesthetic simple beige_20240415_224856_0000.pdf
Presentacion minimalista aesthetic simple beige_20240415_224856_0000.pdfPresentacion minimalista aesthetic simple beige_20240415_224856_0000.pdf
Presentacion minimalista aesthetic simple beige_20240415_224856_0000.pdfSarayLuciaSnchezFigu
 
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docxPROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docxEribertoPerezRamirez
 
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...Angélica Soledad Vega Ramírez
 
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTESaraNolasco4
 
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdf
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdfEstrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdf
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdfAlfredoRamirez953210
 
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docx
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docxIII SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docx
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docxMaritza438836
 
Concurso José María Arguedas nacional.pptx
Concurso José María Arguedas nacional.pptxConcurso José María Arguedas nacional.pptx
Concurso José María Arguedas nacional.pptxkeithgiancarloroquef
 
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxPresentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxYeseniaRivera50
 
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...fcastellanos3
 
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docxMODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docxRAMON EUSTAQUIO CARO BAYONA
 
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdfRAMON EUSTAQUIO CARO BAYONA
 
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxPresentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxRosabel UA
 

Último (20)

Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsa
Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsaManejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsa
Manejo del Dengue, generalidades, actualización marzo 2024 minsa
 
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docx
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docxEJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docx
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docx
 
c3.hu3.p1.p2.El ser humano y el sentido de su existencia.pptx
c3.hu3.p1.p2.El ser humano y el sentido de su existencia.pptxc3.hu3.p1.p2.El ser humano y el sentido de su existencia.pptx
c3.hu3.p1.p2.El ser humano y el sentido de su existencia.pptx
 
recursos naturales america cuarto basico
recursos naturales america cuarto basicorecursos naturales america cuarto basico
recursos naturales america cuarto basico
 
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática TERCERO DE SECUNDARIA.pdf
 
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación iniciallibro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
libro para colorear de Peppa pig, ideal para educación inicial
 
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
 
Presentacion minimalista aesthetic simple beige_20240415_224856_0000.pdf
Presentacion minimalista aesthetic simple beige_20240415_224856_0000.pdfPresentacion minimalista aesthetic simple beige_20240415_224856_0000.pdf
Presentacion minimalista aesthetic simple beige_20240415_224856_0000.pdf
 
PPTX: La luz brilla en la oscuridad.pptx
PPTX: La luz brilla en la oscuridad.pptxPPTX: La luz brilla en la oscuridad.pptx
PPTX: La luz brilla en la oscuridad.pptx
 
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docxPROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
PROGRAMACION ANUAL DE MATEMATICA 2024.docx
 
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...
 
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE4º SOY LECTOR PART2- MD  EDUCATIVO.p df PARTE
4º SOY LECTOR PART2- MD EDUCATIVO.p df PARTE
 
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdf
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdfEstrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdf
Estrategias de enseñanza - aprendizaje. Seminario de Tecnologia..pptx.pdf
 
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docx
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docxIII SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docx
III SEGUNDO CICLO PLAN DE TUTORÍA 2024.docx
 
Concurso José María Arguedas nacional.pptx
Concurso José María Arguedas nacional.pptxConcurso José María Arguedas nacional.pptx
Concurso José María Arguedas nacional.pptx
 
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptxPresentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
Presentación de Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje Virtual.pptx
 
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
Estas son las escuelas y colegios que tendrán modalidad no presencial este lu...
 
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docxMODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
MODELO DE INFORME DE INDAGACION CIENTIFICA .docx
 
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
05 Fenomenos fisicos y quimicos de la materia.pdf
 
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxPresentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
 

Folleto de ecuaciones diferenciales (1er parcial)

  • 1. ESPOL ECUACIONES DIFERENCIALES (1ER PARCIAL)  ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES  MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE  ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI  ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS  ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON FACTOR INTEGRANTE  ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS  ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES LINEALES  APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER ORDEN  ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR  RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR SERIES DE POTENCIA [ ERICK CONDE]
  • 2. Ecuaciones Diferenciales ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES ������) ������������ ������������ − ������������ + ������������ − ������ − ������������ ������������ + ������������ − ������ − ������ = ������ ������������ ������ ������ − 2 + 4 ������ − 2 − ������������ ������ ������ + 3 − ������ + 3 =0 ������������ ������ − 2 ������ + 4 − ������������ ������ + 3 ������ − 1 = 0 ������������ ������ − 2 ������ + 4 = ������������ ������ + 3 ������ − 1 ������ − 2 ������ − 1 ������������ = ������������ ������ + 3 ������ + 4 ������ − 2 ������ − 1 ������������ = ������������ ������ + 3 ������ + 4 ������ − 2 + 5 − 5 ������ − 1 + 5 − 5 ������������ = ������������ ������ + 3 ������ + 4 ������ + 3 5 ������ + 4 5 − ������������ = − ������������ ������ + 3 ������ + 3 ������ + 4 ������ + 4 ������ − ������ ������������ ������ + ������ = ������ − ������ ������������ ������ + ������ + ������ ������������ −������ ������) = ������ − ������ − ������ + ������ − ������ + ������ ������������ ������������ 1 = − ������ − ������ − 1 + ������������ ������ − ������ + 2 ������������ ������������ ������ = ������ − ������ ⇒ =1− ������������ ������������ ������������ 1 ������������ 1 ������������ ������ + 2 2 − 1 1− = −������ − 1 + ⇒ = ������ + 2 − ⇒ = ������������ ������ + 2 ������������ ������ + 2 ������������ ������ + 2 ������������ ������ 2 + 4������ + 4 − 1 ������������ ������ 2 + 4������ + 3 ������������ ������ + 3 (������ + 1) (������ + 2) = ⇒ = ⇒ = ⇒ ������������ = ������������ ������������ ������ + 2 ������������ ������ + 2 ������������ (������ + 2) ������ + 3 (������ + 1) (������ + 2) ������ ������ = + ������ + 3 (������ + 1) ������ + 3 (������ + 1) ������ + 2 = ������ ������ + 1 + ������ ������ + 3 ⇒ ������ + 2 = ������ + ������ ������ + ������ + 3������ 1 = ������ + ������ 2 = ������ + 3������ Resolviendo el sistema A = ½, B = ½ ������ ������ + ������������ = ������������ ⇒ ������ ������������ ������ + 3 + ������ ������������ ������ + 1 = ������ + ������ ������ + 3 ������ + 1 ������ ������ ������������ ������ − ������ + ������ + ������������ ������ − ������ + ������ = ������ + ������ ������ ������ ERICK CONDE Página 2
  • 3. Ecuaciones Diferenciales ������������ ������ ������) + ������ = ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������ − ������������ = − ������ ⇒ = ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������(1 − ������) = ������������ ������ ������ ������������ = ������ ������������ 1 − ������ ������ 1 ������������ = ������ ������������ ⇒ −1 + ������������ = ������ ������������ 1 − ������ 1 − ������ ������������ −������ − ������������ ������ − ������ = + ������ ������ 4) (������ + ������) ������′ + ������ = ������′ ������������ ������������ ������ = ������ + ������ ⇒ =1+ ������������ ������������ ������������ ������������ ������ −1+1 = −1 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������ = −1 ⇒ ������ − = −1 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������ − 1 = −1 ⇒ ������������ ������ − 1 = −������������ ������������ ������ 2 ������ − 1 ������������ = −������������ ⇒ − ������ = −������ + ������ 2 (������ + ������)������ − ������ + ������ = −������ + ������ ������ ������������ ������������ + ������������ − ������ ������) = ������������ ������������ + ������������ + ������ ������������ 2������ + 3������ − 1 = ������������ 2 2������ + 3������ + 3 ������������ ������������ ������ = 2������ + 3������ ⇒ =2+3 ������������ ������������ 1 ������������ ������ − 1 −2 = 3 ������������ 2������ + 3 ������������ 3 ������ − 1 −2= ������������ 2������ + 3 ������������ 3������ − 3 + 4������ + 6 ������������ 7������ + 3 = ⇒ = ������������ 2������ + 3 ������������ 2������ + 3 ERICK CONDE Página 3
  • 4. Ecuaciones Diferenciales 2������ + 3 2������ + 3 ������������ = ������������ ⇒ ������������ = ������������ 7������ + 3 7������ + 3 ������ ������������ 2 ������������ + 3 = ������������ 7������ + 3 7������ + 3 ������ − 3 ������ = 7������ + 3 ⇒ ������ = 7 ������������ ������������ = 7������������ ⟹ ������������ = 7 ������ − 3 ������������ 2 ������������ + 3 = ������������ 49������ 7������ 2 3 ������ − 3������������ ������ + ������������ ������ = ������ + ������ 49 7 2 3 7������ + 3 − 3������������ 7������ + 3 + ������������ 7������ + 3 = ������ + ������ 49 7 ������ ������ ������(������������ + ������������) + ������ − ������������������ ������(������������ + ������������) + ������ + ������������ ������(������������ + ������������) + ������ = ������ + ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������) = ; ������ ������ = ������ ������������ ������ − ������������������������ Para este ejercicio lo mejor es “invertir la ecuación” ������������ 1 − 2������������ 2 ������������ 1 2������ ������������ 2������ 1 = ⇒ = − ⇒ + = 3 ; ������������������������ ������������������������������������ó������ ������������������������������ ������������ ������������������������������ ������ ′ + ������ ������ ������ = ������(������) ������������ ������ 3 ������������ ������ 3 ������ ������������ ������ ������ 2 ������ ������ ������������ ������������ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������ ⇒ ������ ������ = ������ 2 ������������ ������ ������ ������ = ������ 2 ������������ 1 ������ 2 + 2������������ = ������������ ������ ������ 1 1 ������������ 2 = ⇒ ������ ������������ 2 = ������������ ������������ ������ ������ 1 ������ ������������ 2 = ������������ ⇒ ������������ 2 = ������������ ������ + ������ ⇒ 0 1 2 = ������������ 1 + ������ ⇒ ������ = 0 ������ ������ ������ = ������������ ������ ������������ ERICK CONDE Página 4
  • 5. Ecuaciones Diferenciales MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE 1) ������ − ������������������������ ������ ������������ + ������������������ ������ ������������ = ������ ������������������ ������ ������������ = ������ − ������������������2 ������ ������������ ������������ ������������������2 ������ − ������ = ������������ ������������������ ������ ������������ ������ + = ������������������ ������ ������������ ������������������ ������ 1 ������ ������ ������������ ������������ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������������������ ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������������ ������������������ ������ –������������������ ������ ������ ������ = ������������������ ������ − ������������������ ������ ������������������ ������−������������������ ������ ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ ′ + ������ = ������������������ ������ − ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������ ������ ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ = ������������������ ������ − ������������������ ������ ������������������ ������ ������������ ������ 1 ������������������ ������ ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ = − ������������������ ������ ������������ ������������������ ������ ������������������ ������ 1 − ������������������ ������ ������ ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ = ������������������ ������ ������������ ������������������ ������ ������ ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ = 1 − ������������������ ������ ������������ ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ = ������ − ������������������ ������ + ������ ������ − ������������������ ������ + ������ ������ = ������������������ ������ − ������������������ ������ ������ 2) ������′ + ������ = ������ ������������������(������������) 1 ������ ������ ������������ ������������ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������������ ������ ������ ������ = ������ ������ ′ ������ + ������ = 3������ ������������������(2������) ������ ������������ = 3������ ������������������ 2������ ⇒ ������ ������������ = 3������ ������������������(2������) ������������ ������������ ������ ������������ = 3������ ������������������(2������) ������������ ������ = ������ ⇒ ������������ = ������������ ������������������(2������) ������������ = ������������������ 2������ ������������ ⇒ ������ = 2 3 3 ������ ������ ������������ = ������ ������������������(2������) − ������������������(2������)������������ ⇒ ������������ = ������ ������������������(������������) + ������������������ ������������ + ������ 2 2 ������ ������ ERICK CONDE Página 5
  • 6. Ecuaciones Diferenciales ������������ ������ ������ ������) ������������ + ������ + ������������������ ������ = ������������������− ������������ ������������ 3 2 ������������ 3������ 3 ������ 6������������ − 2������ + 2 = 2 ������������ ������ + 1 ������ + 1 3������ 3 ������ ������ ������ ������������ ������������ 3 ������− ������������ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������ 2 +1 ⇒ ������ ������ = ������ ������ 2 +1 ������ 2 1 3 − ������������ ������ 2 +1 3������ 2 −3 ������ ������ = ������ 2 2 ⇒ ������ ������ = ������ 2 ������ 2 + 1 2 3������ 2 3������ 2 3������ 2 3 2 ������ 2 ������������ ������ 2 3������ 3 ������ ������ 2 6������������ − 2������ 3 + 3 = 3 ������ 2 + 1 2 ������������ ������ 2 + 1 2 ������ 2 + 1 ������ 2 + 1 2 ������ 2 + 1 3������ 2 3������ 2 ������ ������ 2 6������ ������ 2 6������ ������ 2 3 = 5 ⇒ ������ ������ 3 = 5 ������������ ������������ ������ + 1 2 ������ 2 + 1 2 ������ 2 +1 2 ������ 2 + 1 2 3������ 2 ������ 2 6������ ������ ������ 3 = 5 ������������ ������ 2 +1 2 ������ 2 +1 2 ������ = ������ 2 + 1 ⇒ ������������ = 2������ ������������ 3������ 2 ������������������ ������ 2 3 ������ ������ ������ ������ 3 = 5 ������������ ⇒ ������ ������ =− ������ + ������ ������ 2 +1 2 ������ 2 ������������ + ������ ������ ������������ + ������ ������ ������������ ������) = ������������������(������ + ������) ������������ ������������ ������������ ������ = ������ + ������ ⇒ =1+ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ − 1 = ������������������ ������ ⇒ = ������������������ ������ + 1 ⇒ = ������������ ������������ ������������ ������������������ ������ + 1 ������������ = ������������ ������������������ ������ + 1 2 ������������ 2 1 + ������2 = ������������ ⇒ ������������ = ������������ 2������ ������2 + 2������ + 1 1 + ������ 2+1 2 2 2 ������ + 1 2 ������������ = ������������ ⇒ − ������ + 1 = ������ + ������ ⇒ − ������ = ������ + ������ ������������������ +1 2 ������ − ������ + ������ = ������ + ������ ������������������ + ������ ������ ERICK CONDE Página 6
  • 7. Ecuaciones Diferenciales ������ ; ������ ≤ ������ ≤ ������ ������) ������′ + ������������ = ; ������ ������ = ������ ������ ; ������ > 1 0 ≤ ������ ≤ 1 ������ ′ + 2������ = 1 ������ ������ ������������ 2������������ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ������ = ������ 2������ ������ ′ ������ 2������ + 2 ������ 2������ ������ = ������ 2������ ������ ������������ 2������ = ������ 2������ ⇒ ������ ������������ 2������ = ������ 2������ ������������ ������������ ������ 2������ ������ 2 0 1 ������ ������������ 2������ = ������ 2������ ������������ ⇒ ������������ 2������ = + ������ ⇒ 0 ������ 2 0 = + ������ ⇒ ������ = − 2 2 2 1 1 −2������ ������ = − ������ 2 2 ������ > 1 ������ ′ + 2������ = 0 ������ ′ ������ 2������ + 2 ������ 2������ ������ = 0 ������ ������������ 2������ = 0 ⇒ ������ ������������ 2������ =0 ������������ ������ ������������ 2������ = 0 ������������ ⇒ ������������ 2������ = ������ ������ = ������������ −2������ 1 1 −2������ − ������ ; 0 ≤ ������ ≤ 1 ������ ������ = 2 2 −2������ ������������ ; ������ > 1 1 1 lim ������������ −2������ = lim− − ������ −2������ ������→1+ ������→1 2 2 1 1 −2 1 1 ������������ −2 = − ������ ⇒ ������ = ������ 2 − 2 2 2 2 ������ ������ −������������ − ������ ; ������ ≤ ������ ≤ ������ ������ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ −������������ ������ − ������ ; ������ > 1 ������ ������ ERICK CONDE Página 7
  • 8. Ecuaciones Diferenciales ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI 1) ������������������ ������������ + (������������������ − ������������ )������������ = ������ 3������������ − ������ 2 ������������ = −2������ 2 ������������ ������������ −2������ 2 ������������ 3������������ − ������ 2 = ⇒ = ������������ 3������������ − ������ 2 ������������ −2������ 2 ������������ ������ 2 3������ ������������ 3 1 2 = − ⇒ + ������ = ������ ������������ 2������ 2 2������ ������������ 2������ 2������ 2 1 ������������ 3 ������ 1 1 ������������ 3 −1 1 + = ⇒ + ������ = ������ 2 ������������ 2������ ������ 2 2������ 2 ������ 2 ������������ 2������ 2������ 2 ������������ 1 ������������ 1 ������������ ������������ ������ = ������ −1 ⇒ = − 2 ⇒ 2 ������������ = − ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ 3 1 − ������ = − 2 ������������ 2������ 2������ 3 3 − ������������ ������ ������ = ������ ������ ������ ������������ ⇒ ������ ������ = ������ 2������ ⇒ ������ ������ = ������ − 2������������ ������ 3 ������ ������ = ������ − 2 3 ������������ 3 3 3 1 ������ − 2 − ������ − 2 ������ = − ������ − 2 ������������ 2������ 2������ 2 ������ 3 1 7 ������ − 2 ������ = − ������ − 2 ������������ 2 3 1 7 ������ ������ − 2 ������ = − ������ − 2 ������������ 2 3 1 2 5 ������ −2 ������ = − − ������ − 2 + ������ 2 5 3 1 2 5 ������ − 2 ������ −1 = − − ������ − 2 + ������ 2 5 ������ ������− ������ ������ = ������ − ������ ������ ������ + ������ ������ ERICK CONDE Página 8
  • 9. Ecuaciones Diferenciales ������ ������) ������′ + ������ = ������������ ������������ ������ 1 ′ 1 ������ 1 ′ 1 −2 ������ + = ������ 3 ⇒ ������ + ������ = ������ 3 ������ 3 ������ ������ 3 ������ 3 ������ ������������ 1 ������������ 1 ������������ 1 ������������ ������ = ������ −2 ⇒ = −2 3 ⇒ 3 ������������ = − 2 ������������ ������������ ������ ������������ ������ 1 ������������ 1 ������������ 2 − + ������ = ������ 3 ⇒ − ������ = −2������ 3 2 ������������ ������ ������������ ������ 2 ������ ������ ������������ − ������������ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������ ⇒ ������ ������ = ������ −2 ������������ ������ ������ ������ = ������ −2 ������������ 2 ������ ������ −2 − ������ −2 ������ = −2������ 3 ������ −2 ⇒ ������ −2 ������ = −2������ ������������ ������ ������������ ������ ������ −2 ������ = −2������ ������������ ⇒ ������ −2 ������ = −������ −2 + ������ ������ ������ = ± ������ ������������ ������ − ������������ ������������ ������ ������) − ������������ = − ������������������ ������������ ������ 1 ������������ ������ 5 1 ������������ 5 5 − 5 3 = − ������ ⇒ − = − ������ ������ 3 ������������ ������ 2 ������ 3 ������������ ������ 2 2 ������������ 1 ������������ 1 ������������ 1 ������������ ������ = ������ −2 ⇒ = −2 3 ⇒ = − ������������ ������ ������������ ������ 3 ������������ 2 ������������ 1 ������������ 5 ������������ − − 5������ = − ������ ⇒ + 10������ = 5������ 2 ������������ 2 ������������ ������ ������ ������������ 10������������ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ������ = ������10������ ������������ ������ ������10������ + ������10������ 10������ = 5������������10������ ⇒ ������������10������ = 5������������10������ ������������ ������������ ������ ������������10������ = 5������������10������ ������������ ������ = ������ ⇒ ������������ = ������������ ������10������ ������������ = ������10������ ������������ ⇒ ������ = 10 ������������10������ 1 ������������10������ ������10������ ������������������������������ ������������������������ ������������10������ = 5 − ������10������ ������������ ⇒ ������������10������ = − + ������ ⇒ ������−������ ������������������������ = − + ������ 10 10 2 20 ������ ������������ ERICK CONDE Página 9
  • 10. Ecuaciones Diferenciales ������) ������ ������������ − ������ + ������������������ ������ + ������������������ ������������ = ������ ������������ ������ ������ ������������ = ������ + ������������ 3 1 + ������������������ ������������ ⇒ = + ������ 3 1 + ������������������ ������������ ������ ������������ ������ 1 ������������ 1 − = ������ 3 1 + ������������������ ⇒ − = 1 + ������������������ ������������ ������ ������ 3 ������������ ������������ 2 ������������ 1 ������������ 1 ������������ 1 ������������ ������ = ������ −2 ⇒ = −2 3 ⇒ = − ������������ ������ ������������ ������ 3 ������������ 2 ������������ 1 ������������ ������ ������������ 2������ − − = 1 + ������������������ ⇒ + = −2 1 + ������������������ 2 ������������ ������ ������������ ������ 2 ������ ������ ������������ ������������ ������ ������ = ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������ ⇒ ������ ������ = ������ 2 ������������ ������ ������ ������ = ������ 2 ������������ 2������ ������ ������ 2 + ������ 2 = −2 ������ 2 1 + ������������������ ⇒ ������ 2 ������ = −2������ 2 1 + ������������������ ������������ ������ ������������ ������ ������ 2 ������ = −2 ������ 2 + ������ 2 ������������������ ������������ ������������ ������ = ������������������ ⇒ ������������ = ������ ������ 3 ������������ = ������ 2 ������������ ⇒ ������ = 3 ������ 3 ������ 3 1 2 2 1 ������ 2 ������ = −2 + ������������������ − ������ 2 ������������ ⇒ ������ 2 ������ = − ������ 3 − ������ 3 ������������������ + ������ 3 + ������ 3 3 3 3 3 9 ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������−������ = ������ − ������ − ������ ������������������ + ������ ������ ������ ������ ERICK CONDE Página 10
  • 11. Ecuaciones Diferenciales ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 1) (������������������ − ������������������)������������ + (������������ − ������������ )������������ = ������ ������������ ������������ = −2������ = −2������ ������������ ������������ ∴ ������������ ������������������������������������ ������Ҩ ������Ҩ = 4������ 2 − 2������������ ; = 5������ − ������ 2 ������������ ������������ ������Ҩ = (4������ 2 − 2������������)������������ 4 3 Ҩ= ������ − ������ 2 ������ + ������(������) 3 ������ 4 3 ������ − ������ 2 ������ + ������(������) = 5������ − ������ 2 ⇒ −������ 2 + ������′ ������ = 5������ − ������ 2 ������������ 3 ������′ ������ = 5������ ⇒ ������ ������ = 5������ ������������ 5 2 ������ ������ = ������ + ������ 2 ������ ������ ������ ������ − ������������ ������ + ������������ + ������ = ������ ������ ������ 2) ������(������ − ������)������������ ������������ + ������(������ − ������)������ ������������ + ������������ ������������ = ������ ������������ ������������ = 3������ 2 2(������ − 1) = 3������ 2 2(������ − 1) ������������ ������������ ∴ ������������ ������������������������������������ ������Ҩ ������Ҩ = 2 ������ − 1 ������ 3 ; = 3(������ − 1)2 ������ 2 + 2������ ������������ ������������ ������Ҩ = 3(������ − 1)2 ������ 2 + 2������ ������������ Ҩ = (������ − 1)2 ������ 3 + ������ 2 + ������(������) ������ (������ − 1)2 ������ 3 + ������ 2 + ������(������) = 2 ������ − 1 ������ 3 ⇒ 2 ������ − 1 ������ 3 + ������′ ������ = 2(������ − 1)������ 3 ������������ ������′ ������ = 0 ⇒ ������ ������ = ������ (������ − ������)������ ������������ + ������������ + ������ = ������ ERICK CONDE Página 11
  • 12. Ecuaciones Diferenciales 3) (������������ + ������������������������ )������������ + ������������������������ ������������ = ������ ������������ ������������ = ������������������ ������������ = ������������������ ������������ ������������ ������������ ∴ ������������ ������������������������������������ ������Ҩ ������Ҩ = 2������ + ������������ ������������ ; = ������������ ������������ ������������ ������������ ������Ҩ = ������������ ������������ ������������ ������������ ������ = ������������ ⇒ = ������ ⇒ ������������ = ������ ������������ ������������ Ҩ= ������ ������ ������������ Ҩ = ������ ������������ + ������(������) ������ ������������ ������ + ������(������) = 2������ + ������������ ������������ ⇒ ������������ ������������ + ������′ ������ = 2������ + ������������ ������������ ������������ ������′ ������ = 2������ ⇒ ������ ������ = 2������ ������������ ������ ������ = ������ 2 + ������ ������������������ + ������������ + ������ = ������ ������������������ ������ ������������������ 4) ������������������ ������ − ������ + ������ ������������ ������ + ������ ������ − ������ ������������ + ������������ − ������ + ������ ������������ ������ − ������ ������������ = ������ ������������ 1 ������������ 1 = 4������ 3 − ������ ������������ ������ + ������������⁡ (������) = 4������ 3 − ������ ������������ ������ + ������ ������ ������ + 1 − 1 ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ = 4������ 3 − ������ ������������ + ������������⁡ (������) = 4������ 3 − ������ ������������ + ������������⁡ (������) ������������ ������������ ∴ ������������ ������������������������������������ ������Ҩ ������ ������������ 3 ������Ҩ ������ ������������ = 4������ 3 ������ − + ������ ������������ ������ + ������ ������ − 4 ; = ������ 4 − + ������ ������������ ������ − ������ ������������ ������ ������������ ������ ������ ������������ ������Ҩ = ������ 4 − + ������ ������������ ������ − ������ ������������ ������ ������ ������������ Ҩ = ������ 4 ������ − ������������ + ������������ ������ ������ ������ − ������������ ������ ERICK CONDE Página 12
  • 13. Ecuaciones Diferenciales ������ ������������ ������������������������ ������������������������������������������������ ������������ ������������ ������������������������������������������������������ ������������������������������������������������ ������������������������������������ ������ +∞ ������ ������������ 1 (������������)������ = ������ ������ ������! ������=0 +∞ ������ ������������ (������)������ (������)������−1 = ������ ������! ������=0 +∞ ������ ������������ 1 (������)������ (������)������−1 ������������ = + ������������ ������ ������ ������! ������=1 +∞ ������ ������������ (������)������ (������)������ ������������ = ������������ ������ + ������ (������)������! ������=1 +∞ 4 (������)������ (������)������ Ҩ = ������ ������ − ������������ ������ − + ������������ ������ ������ ������ − ������������ + ������(������) (������)������! ������=1 +∞ ������ 4 (������)������ (������)������ ������ ������������ 3 ������ ������ − ������������ ������ − + ������������ ������ ������ ������ − ������������ + ������(������) = 4������ 3 ������ − + ������ ������������ ������ + ������ ������ − 4 ������������ (������)������! ������ ������=1 +∞ 3 ������(������)������−1 (������)������ ������ ������������ 3 4������ ������ − + ������ ������ ������ ������ + 1 − ������ + ������′ ������ = 4������ 3 ������ − + ������ ������������ ������ + ������ ������ − 4 (������)������! ������ ������=1 +∞ (������)������ −1 (������)������ ������ ������������ 3 4������ 3 ������ − + ������ ������ ������ ������ + ������ − ������ + ������′ ������ = 4������ 3 ������ − + ������ ������������ ������ + ������ ������ − 4 ������! ������ ������=1 ������ ������������ ������ ������������ 3 4������ 3 ������ − + ������ ������ ������ ������ + ������′ ������ = 4������ 3 ������ − + ������ ������������ ������ + ������ ������ − 4 ������ ������ 3 3 ������′ ������ = ������ ������ − 4 ⇒ ������ ������ = ������ ������ − 4 ������������ ������ = ������ − 4 ⟹ ������ = ������ + 4 ������������ = ������������ 1 4 1 ������ ������ = (������ + 4)������3 ������������ ⇒ ������ ������ = (������3 + 4������3 ) ������������ 3 7 4 3 7 4 ������ ������ = ������ 3 + 3������ 3 + ������ ⇒ ������ ������ = (������ − 4) 3 + 3(������ − 4) 3 + ������ 7 7 +∞ (������)������ (������)������ ������ ������ ������ ������������ ������ − ������������ ������ − + ������������ ������ ������ ������ − ������������ + (������ − ������) ������ + ������(������ − ������) ������ + ������ = ������ (������)������! ������ ������=������ ERICK CONDE Página 13
  • 14. Ecuaciones Diferenciales ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON FACTOR INTEGRANTE 1) ������������������������ + ������������������ ������ − ������ ������′ = ������ ������������ 4������������ 2 + 3������ 2 ������ − 1 =0 ⇒ 4������������ 2 ������������ + 3������ 2 ������ − 1 ������������ = 0 ������������ ������������ ������������ = 8������������ = 6������������ ������������ ������������ ∴ ������������ ������������ ������������������������������������ 6������������ −8������������ 2������������ ������������ ������������ − ������������ − ������ ������ = ������ 4������ ������ 2 = ������ 4������ ������ 2 ⇒ ������ ������ = ������ 2������ 1 1 1 −2 ������ ������ = ������ − 2������������ ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������������ ������ ⇒ ������ ������ = ������ − 2 1 1 4������������ 2 ������ − 2 ������������ + 3������ 2 ������ − 1 ������ − 2 ������������ = 0 3 1 1 4������������ 2 ������������ + 3������ 2 ������ 2 − ������ − 2 ������������ = 0 1 1 ������������ 3 ������������ = 4������ ������ 2 = 6������������ 2 ������������ 2 ������������ 1 1 ������������ ������������ = 6������������ 2 = 6������������ 2 ������������ ������������ ∴ ������������ ������������������������������������ ������Ҩ 3 ������Ҩ 1 1 = 4������������ 2 ; = 3������ 2 ������ 2 − ������ − 2 ������������ ������������ 3 ������Ҩ = 4������������ 2 ������������ 3 Ҩ = 2������ 2 ������ 2 + ������(������) ������ 3 1 1 3 1 1 1 2������ 2 ������ 2 + ������(������) = 3������ 2 ������ 2 − ������ − 2 ⇒ 2������ 2 ������ 2 + ������′ ������ = 3������ 2 ������ 2 − ������ − 2 ������������ 2 1 1 1 3������������ 2 + ������′ ������ = 3������ 2 ������ 2 − ������ − 2 1 1 ������′ ������ = −������ − 2 ⇒ ������ ������ = −������ − 2 ������������ 1 1 ������ ������ = − ������ 2 + ������ 2 ������ ������ ������ ������������������ ������������ − ������ ������ + ������ = ������ ������ ERICK CONDE Página 14
  • 15. Ecuaciones Diferenciales ������) ������ + ������������������ ������ + ������������������(������) ������������ + ������������������ ������ ������������ = ������ ������������ ������������ = ������������������(������) = 0 ������������ ������������ ∴ ������������ ������������ ������������������������������������ ������������������ (������ ) ������������ ������������ ������ ������ = ������ ������������������ (������ ) = ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������(������) ������������ + ������ ������ ������������������ ������ ������������ = 0 ������������ ������������ = ������ ������ ������������������(������) = ������ ������ ������������������(������) ������������ ������������ ∴ ������������ ������������������������������������ ������Ҩ ������Ҩ = ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������(������) ; = ������ ������ ������������������ ������ ������������ ������������ ������Ҩ = ������ ������ ������������������ ������ ������������ Ҩ = ������ ������ ������������������ ������ + ������(������) ������ ������ ������ ������������������ ������ + ������(������) = ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������(������) ⇒ ������ ������ ������������������ ������ + ������′ ������ = ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������(������) ������������ ������′ ������ = ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ ⇒ ������ ������ = ������ ������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ ������������ ������ = ������ ⇒ ������������ = ������������ ; ������������ = ������ ������ ������������ ⇒ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ = ������������ ������ − ������ ������ ������������ ⇒ ������ ������ ������ = ������������ ������ − ������ ������ ������ ������ ������������������ ������ ������������ ������ = ������ ������ ⇒ ������������ = ������ ������ ������������ ; ������������ = ������������������ ������ ������������ ⇒ ������ = −������������������(������) ������ ������ ������������������ ������ ������������ = −������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������(������)������������ ������ = ������ ������ ⇒ ������������ = ������ ������ ������������ ; ������������ = ������������������ ������ ������������ ⇒ ������ = ������������������(������) ������ ������ ������ ������ ������������������ ������ ������������ = −������ ������ ������������������ ������ + ������ ������ ������������������ ������ − ������ ������ ������������������(������)������������ ⇒ ������ ������ ������������������ ������ ������������ = ������������������ ������ − ������������������ ������ 2 ������ ������ ������ ������ = ������������ ������ − ������ ������ + ������������������ ������ − ������������������ ������ + ������ 2 ������������ ������������ ������������������ ������ + ������������������ − ������������ + ������������������ ������ − ������������������ ������ + ������ = ������ ������ ERICK CONDE Página 15
  • 16. Ecuaciones Diferenciales ������) ������ ������������ + ������������������ − ������−������������ ������������ = ������ ������������ ������������ =1 = 2������ ������������ ������������ ∴ ������������ ������������ ������������������������������������ 2������ −1 ������������ ������ ������ = ������ ������ = ������ 2������ −������������ ������ ⇒ ������ ������ = ������ 2������ ������ −1 ������ 2������ ������ −1 ������ ������������ + ������ 2������ ������ −1 2������������ − ������ −2������ ������������ = 0 ������������ ������������ = ������ 2������ (2) = 2������ 2������ ������������ ������������ ∴ ������������ ������������������������������������ ������Ҩ ������Ҩ = ������ 2������ ; = 2������������ 2������ − ������ −1 ������������ ������������ ������Ҩ = ������ 2������ ������������ Ҩ = ������������ 2������ + ������(������) ������ ������������ 2������ + ������(������) = 2������������ 2������ − ������ −1 ⇒ 2������������ 2������ + ������´(������) = 2������������ 2������ − ������ −1 ������������ ������′ ������ = −������ −1 ⇒ ������ ������ = −������������ ������ + ������ ������������������������ − ������������ ������ + ������ = ������ ERICK CONDE Página 16
  • 17. Ecuaciones Diferenciales ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS ������) ������ ������������ ������ − ������������ ������ ������������ − ������ ������������ = ������ ������ ������ ������������ ������������ − ������ ������������ = 0 ������ ������ ������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ = ������ ������������ ⇒ ������������ = ������ ������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ = ⇒ ������ = ������������ ⇒ = ������ + ������ ������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������ ln ������ = ������ + ������ ⇒ ������ ln ������ − ������ = ������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������ ������������ = ⇒ = ������ ������ (ln ������ − 1) ������������ ������ (ln ������ − 1) ������ ������������ ������ + ������ = ������������ ������������ − ������ ������ ������������ ������������ + ������ ������������ + ������������ ������) = ������������ ������������ ������������ ������ 2 ������ ������ 2 + ������ 2 = + ������������ ������������ ������������ ������������ ������ ������ 2 = + +1 ������������ ������ ������ ������ ������������ ������������ ������ = ⇒ ������ = ������������ ⇒ = ������ + ������ ������ ������������ ������������ ������������ 1 ������ + ������ = ������ + 2 + 1 ������������ ������ ������������ 1 ������������ 1 + ������ 2 ������ = ������ + 2 + 1 − ������ ⇒ ������ = ������������ ������ ������������ ������ 2 ������ ������������ ������ ������������ ������������ = ⇒ ������������ = 1 + ������ 2 ������ 1 + ������ 2 ������ ������ = 1 + ������ 2 ⇒ ������������ = 2������ ������������ 1 ������������ ������������ = ⇒ ������ = ������������ ������ + ������ ⇒ 1 + ������ 2 = ������������ ������ + ������ 2 ������ ������ ������ ������ ������ + = ������������ ������ + ������ ������ ERICK CONDE Página 17
  • 18. Ecuaciones Diferenciales ������������ ������������ + ������������������ + ������������������ ������ ������ ������) = ������ + ������������������ + ������������������������ + ������������ ������ − ������ ������ ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������������ ������ 2 +3 + 6 ������ ������ ������������ +3 +6 ������ ������ ������ ������ ������ = 2 + ⇒ = 2 + ������������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������ − 1 ������ 2 +6 + 13 −1 +6 + 13 ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������������ ������ = ⇒ ������ = ������������ ⇒ = ������ + ������ ������ ������������ ������������ ������������ ������ 2 + 3������ + 6 ������������ ������ 2 + 3������ + 6 ������ + ������ = + ������ ⇒ ������ = ������������ ������ − 1 ������ 2 + 6������ + 13 ������������ ������ − 1 ������ 2 + 6������ + 13 ������ − 1 ������ 2 + 6������ + 13 ������������ ������ 3 + 5������ 2 + 7������ − 13 ������������ 2 + 3������ + 6 ������������ = ⇒ 2 + 3������ + 6 ������������ = ������ ������ ������ ������ ������ 3 + 5������ 2 + 7������ − 13 ������������ ������������ = ������ 2 + 3������ + 6 ������ Resolviendo la división entre polinomios de la 1era integral, nos queda lo siguiente: 5������ + 25 ������������ ������ + 2 − = ������ 2 + 3������ + 6 ������ 5������ + 25 ������ 2������ + 3 + ������ = 2 ������ 2 + 3������ + 6 ������ + 3������ + 6 5������ + 25 = 2������������ + 3������ + ������ 5 = 2������ 25 = 3������ + ������ Resolviendo el sistema A = 5/2, B = 35/2 ������ 2������ + 3 ������ ������������ ������ + 2 ������������ − + ������������ = ������ 2 + 3������ + 6 ������ 2 + 3������ + 6 ������ ������ 2������ + 3 ������ ������������ ������ + 2 ������������ − + ������������ = ������ 2 + 3������ + 6 ������ 2 + 3������ + 9 + 6 − 9 ������ 4 4 ������ 2������ + 3 ������ ������������ ������ + 2 ������������ − + 2 ������������ = ������ 2 + 3������ + 6 3 15 ������ ������ + + 2 4 3 ������ 2 5 35 2 2 ������ + − ������������ ������ 2 + 3������ + 6 + ������������������������������������ 2 = ������������ ������ + ������ 2 2 2 15 15 ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������ + − ������������ + ������ + ������ − ������������������������������������ ������ ������ = ������������ ������ + ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������������ ERICK CONDE Página 18
  • 19. Ecuaciones Diferenciales ������������������ ������) ������′ = ������������������ − ������������ 2������������ ������ 2 ������ ′ = ������ 2 ⇒ ������′ = ������ 3������ 2 ������ 2 ������ 2 − 2 3− ������ 2 ������ ������ ������ ������������ ������������ ������ = ⇒ ������ = ������������ ⇒ = ������ + ������ ������ ������������ ������������ ������������ 2������ ������ + ������ = ������������ 3 − ������ 2 ������������ 2������ ������ = − ������ ������������ 3 − ������ 2 ������������ 2������ − 3������ + ������ 3 ������ = ������������ 3 − ������ 2 3 − ������ 2 ������������ ������������ = ������ 3 − ������ ������ 3 − ������ 2 ������������ ������������ = ������(������ 2 − 1) ������ 3 − ������ 2 ������ ������ 2������ + ������ = + ������(������ 2 − 1) ������ (������ 2 − 1) 3 − ������ 2 = ������(������ 2 − 1) + ������(2������ 2 ) + ������������ 3 − ������ 2 = ������ + 2������ ������ 2 + ������������ − ������ 3= −������ −1 = ������ + 2������ ������ = 0 Resolviendo el sistema A = -3, B = ½ , C = 0 ������ 2������������ ������ ������������ ������������ + ������������ + ������������ = ������ ������ 2 − 1 ������ 2 − 1 ������ −3������������ ������ + ������������ ������ 2 − 1 = ������������ ������ + ������ ������ ������ ������ −������������������ + ������������ − ������ = ������������ ������ + ������ ������ ������ ERICK CONDE Página 19
  • 20. Ecuaciones Diferenciales ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES LINEALES ������������ ������������ − ������ + ������ ������) = ������������ ������������ − ������ − ������ ������ = ������ + ������ ⇒ ������������ = ������������ ; ������ = ������ + ������ ⇒ ������������ = ������������ ������������ 2 ������ + ������ − ������ + ������ + 5 2������ + 2������ − ������ − ������ + 5 = = ������������ 2 ������ + ������ − ������ + ������ − 4 2������ + 2������ − ������ − ������ − 4 ������������ 2������ − ������ + 2������ − ������ + 5 = ������������ 2������ − ������ + 2������ − ������ − 4 2������ − ������ + 5 = 0 ; ������������������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������ ������ = 1 , ������ = −2 2������ − ������ − 4 = 0 ������ ������������ 2������ − ������ ������������ 2 ������ − 1 = ⇒ = ������������ 2������ − ������ ������������ ������ 2− ������ ������ ������������ ������������ ������ = ⇒ ������ = ������������ ⇒ = ������ + ������ ������ ������������ ������������ ������������ 2������ − 1 ������������ 2������ − 1 − 2������ + ������ 2 ������ + ������ = ⇒ ������ = ������������ 2 − ������ ������������ 2 − ������ ������������ ������ 2 − 1 2 − ������ ������������ ������ = ⇒ ������������ = ������������ 2 − ������ ������ + 1 (������ − 1) ������ 2 − ������ ������������ ������������ = ������ + 1 (������ − 1) ������ 2 − ������ ������ ������ = + ������ + 1 ������ − 1 ������ + 1 ������ − 1 2 − ������ = ������ ������ − 1 + ������ ������ + 1 ⇒ 2 − ������ = ������ + ������ ������ + ������ − ������ −1 = ������ + ������ 2 = ������ − ������ Resolviendo el sistema A = -3/2, B = ½ ������ ������ ������������ + ������������ = ⇒ ������ ������������ ������ + 1 + ������ ������������ ������ − 1 = ������������ ������ + ������ ������ + 1 ������ − 1 ������ 3 ������ 1 ������ 3 ������ − ������ 1 ������ − ������ − ������������ + 1 + ������������ − 1 = ������������ ������ + ������ ⇒ − ������������ + 1 + ������������ − 1 = ������������ ������ − ������ + ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ − ������ 2 ������ − ������ ������ ������ + ������ ������ ������ + ������ − ������������ + ������ + ������������ − ������ = ������������ ������ − ������ + ������ ������ ������ − ������ ������ ������ − ������ ERICK CONDE Página 20
  • 21. Ecuaciones Diferenciales ������) −������������ + ������ + ������ ������������ + ������ + ������ + ������ ������������ = ������ ������������ 3������ − ������ − 6 = ������������ ������ + ������ + 2 ������ = ������ + ������ ⇒ ������������ = ������������ ; ������ = ������ + ������ ⇒ ������������ = ������������ ������������ 3 ������ + ������ − ������ + ������ − 6 3������ + 3������ − ������ − ������ − 6 = = ������������ ������ + ������ + ������ + ������ + 2 ������ + ������ + ������ + ������ + 2 ������������ 3������ − ������ + 3������ − ������ − 6 = ������������ ������ + ������ + ������ + ������ + 2 3������ − ������ − 6 = 0 ; ������������������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������ ������ = 1 , ������ = −3 ������ + ������ + 2 = 0 ������ ������������ 3������ − ������ ������������ 3 − ������ = ⇒ = ������������ ������ + ������ ������������ 1 + ������ ������ ������ ������������ ������������ ������ = ⇒ ������ = ������������ ⇒ = ������ + ������ ������ ������������ ������������ ������������ 3 − ������ ������������ 3 − ������ − ������ − ������ 2 ������ + ������ = ⇒ ������ = ������������ 1 + ������ ������������ 1 + ������ ������������ −(������ 2 + 2������ − 3) ������ + 1 ������������ ������ = ⇒ − ������������ = ������������ 1 + ������ ������ + 3 (������ − 1) ������ ������ + 1 ������������ − ������������ = ������ + 3 (������ − 1) ������ ������ + 1 ������ ������ = + ������ + 3 (������ − 1) ������ + 3 ������ − 1 ������ + 1 = ������ ������ − 1 + ������ ������ + 3 ⇒ ������ + 1 = ������ + ������ ������ + 3������ − ������ 1 = ������ + ������ 1 = 3������ − ������ Resolviendo el sistema A = ½ , B = ½ ������ ������ ������������ − + ������������ = ⇒ − ������ ������������ ������ + 3 − ������ ������������ ������ − 1 = ������������ ������ + ������ ������ + 3 ������ − 1 ������ 1 ������ 1 ������ 1 ������ − ������ 1 ������ − ������ − ������������ + 3 − ������������ − 1 = ������������ ������ + ������ ⇒ − ������������ + 3 − ������������ − 1 = ������������ ������ − ������ + ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ − ������ 2 ������ − ������ ������ ������ + ������ ������ ������ + ������ − ������������ + ������ − ������������ − ������ = ������������ ������ − ������ + ������ ������ ������ − ������ ������ ������ − ������ ERICK CONDE Página 21
  • 22. Ecuaciones Diferenciales ������������ ������������ + ������������ + ������ ������) =− ������������ ������������ + ������ + ������ ������ = ������ + ������ ⇒ ������������ = ������������ ; ������ = ������ + ������ ⇒ ������������ = ������������ ������������ 4 ������ + ������ + 3 ������ + ������ + 5 4������ + ������ + 3������ + 3������ + 5 =− =− ������������ 2 ������ + ������ + ������ + ������ + 7 2������ + 2������ + ������ + ������ + 7 ������������ 4������ + 3������ + 4������ + 3������ + 5 =− ������������ 2������ + ������ + 2������ + ������ + 7 4������ + 3������ + 5 = 0 ; ������������������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������������ ������ = −8 , ������ = 9 2������ + ������ + 7 = 0 ������ ������������ 4������ + 3������ ������������ 4+3 =− ⇒ =− ������ ������������ 2������ + ������ ������������ ������ 2+ ������ ������ ������������ ������������ ������ = ⇒ ������ = ������������ ⇒ = ������ + ������ ������ ������������ ������������ ������������ 4 + 3������ ������������ 4 + 3������ − 2������ − ������ 2 ������ + ������ =− ⇒ ������ =− ������������ 2 + ������ ������������ 2 + ������ ������������ −������ 2 + ������ − 4 2 + ������ ������������ ������ =− ⇒ ������������ = ������������ 2 + ������ ������ 2 − ������ + 4 ������ 2 + ������ ������������ ������������ = ������ 2 − ������ + 4 ������ 2 + ������ ������ 2������ − 1 + ������ = ������ 2 − ������ + 4 ������ 2 − ������ + 4 2 + ������ = 2������������ + (������ − ������) 1 = 2������ 1 = ������ − ������ Resolviendo el sistema A = ½ , B = 5/2 ������ 2������ − 1 ������ ������������ ������ 2������ − 1 ������ ������������ + ������������ = ⇒ + 2 ������������ = ������ 2 − ������ + 4 ������ 2 − ������ + 1 + 4 − 1 ������ ������ 2 − ������ + 4 1 17 ������ 4 4 ������ − − 2 4 1 5 1 ������������ ������ 2 − ������ + 4 + 2 ������������ = ������������ ������ − ������ + ������ 2 2 1 17 ������ − − 2 4 ERICK CONDE Página 22
  • 23. Ecuaciones Diferenciales 1 2 ������������ 1 17 ������ − − 2 4 1 ������ = ������ − ⇒ ������������ = ������������ 2 1 17 ������������ ; ������������������ ������ = 17 4 ������2 − 4 1 ������������ ������������ ⇒ ������2 − ������ ������ + ������ ������ − ������ 1 ������ ������ = + ������ + ������ ������ − ������ ������ + ������ ������ − ������ 1 = ������ ������ − ������ + ������ ������ + ������ ⇒ 1 = ������ + ������ ������ + ������ ������ − ������ ������ 1 1 Resolviendo el sistema ������ = − 2 ������ , ������ = 2 ������ ������ ������ 1 1 + ������������ ⇒ ������ ������������ ������ + ������ + ������ ������������ ������ − ������ ⇒ − ������������ ������ + ������ + ������������ ������ − ������ ������ + ������ ������ − ������ 2 ������ 2 ������ 1 1 2 1 1 2 − ������������ ������ − + + ������������ ������ − − 17 2 17 17 2 17 Retornando a la ecuación 1 5 1 1 2 1 1 2 ������������ ������ 2 − ������ + 4 + − ������������ ������ − + + ������������ ������ − − = ������������ ������ − ������ + ������ 2 2 17 2 17 17 2 17 2 1 ������ ������ 5 1 ������ 1 2 1 ������ 1 2 ������������ − +4 + − ������������ − + + ������������ − − = ������������ ������ − ������ + ������ 2 ������ ������ 2 17 ������ 2 17 17 ������ 2 17 2 1 ������ − ������ ������ − ������ 5 ������ − ������ 1 2 ������ − ������ 1 2 ������������ − +4 + ������������ − − − ������������ − + = ������������ ������ − ������ + ������ 2 ������ − ������ ������ − ������ 2 17 ������ − ������ 2 17 ������ − ������ 2 17 ������ ������ ������ − ������ ������ + ������ ������ ������ − ������ ������ ������ ������ − ������ ������ ������ ������������ − + ������ + ������������ − − − ������������ − + = ������������ ������ + ������ + ������ ������ ������ + ������ ������ + ������ ������ ������������ ������ + ������ ������ ������������ ������ + ������ ������ ������������ ERICK CONDE Página 23
  • 24. Ecuaciones Diferenciales APLICACIONES LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON 1) Un asado de 4 libras inicialmente a 50°F se coloca en un horno a 375°F a las 5 P.M después de 75 minutos se observa que la temperatura del asado es 125°F ¿Cuándo estará el asado a 150°F? ������������ = ������ ������ − ������ ; ������������������������������ ������ ������������ ������������ ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������ ������������ ������������ ������������ = ������ 375 − ������ ⇒ = ������ ������������ ⇒ −������������ 375 − ������ = ������������ + ������ ������������ 375 − ������ No tomamos en cuenta el valor absoluto, debido a que la temperatura del asado nunca superará la temperatura del horno, por lo tanto siempre será un valor positivo ������ ������������ 375−������ = ������ −������������ −������ ⇒ 375 − ������ = ������ −������������ ������ −������ ⇒ 375 − ������ = ������ −������������ ������ ������������������������������������������������������ ������ ������ = 375 − ������������ −������������ ; ������������������������������������ó������ ������������ ������������ ������������������������������������������������������������������ ������������������ ������������������������������ ������������������������ ������������������������������������������������������ ������������������������������������ "������" Según las condiciones que nos da el problema para: 1 ������ 0 = 50°������ ������ ������ 1 = 125°������ 4 Reemplazando nuestra primera condición: 50 = 375 − ������������ −������(0) ⇒ 50 = 375 − ������������ 0 ⇒ ������ = 325 Reemplazando la segunda condición: 4 5 5 375 − 125 5 250 125 = 375 − 325 ������ −������ 4 ⇒ ������ −������ 4 = ⇒ ������ −������ = 325 325 Entonces reemplazando todas las constantes en nuestra ecuación, nos queda: ������ 4 5 250 ������ ������ = 375 − ������ ������ −������ ������ ⇒ ������ ������ = 375 − 325 325 Como el problema nos pide el tiempo en que el asado estará a 150°F, solo nos queda reemplazar, es decir T(t) = 150°F ������ ������ 4 4 5 250 5 250 375 − 150 150 = 375 − 325 ⇒ = 325 325 325 ������ 4 9 5 250 9 ������������ ������������ = ������������ ⇒ ������ = 13 325 13 4 5 250 ������������ 325 ������ ≈ ������. ������������ ������������������������������ ERICK CONDE Página 24
  • 25. Ecuaciones Diferenciales 2) Justo antes del mediodía se encuentra el cuerpo de una víctima de un presunto homicidio dentro de un cuarto que se conserva a una temperatura constante de 70°F. A las 12 del día la temperatura del cuerpo es de 80°F y a la 1 P.M es de 75°F. Considere que la temperatura del cuerpo al morir es de 98.6°F y que este se ha enfriado de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton. Determine la hora del homicidio. ������������ ������������ = ������ ������ − ������ ⇒ = ������ ������������ ⇒ −������������ ������ − ������ = ������������ + ������ ������������ ������ − ������ ������ ������������ ������−������ = ������ −������������ −������ ⇒ ������ − ������ = ������������ −������������ ������ ������ = ������ − ������������ −������������ El problema nos dice que el cuerpo está en un cuarto donde existe una temperatura constante, entonces A = 70 ������ ������ = 70 − ������������ −������������ Si consideramos las 12 del día como t = 0, entonces T(0) = 80 80 = 70 − ������������ −������(0) ⇒ 80 = 70 − ������ ⇒ ������ = −10 Después, nos dice que transcurrido una hora la temperatura del cuerpo es de 75°F, entonces T(1) = 75 1 75 = 70 + 10������ −������ ⇒ ������ −������ = 2 Reemplazando todas estas constantes en nuestra ecuación: ������ 1 ������ ������ = 70 + 10 2 La última condición, nos dice que la temperatura del cuerpo al morir es de 98.6°F, es decir T(t) = 98.6 ������ ������ ������ 1 1 1 ������������ 2.86 98.6 = 70 + 10 ⇒ = 2.86 ⇒ ������������ = ������������ 2.86 ⇒ ������ = 2 2 2 ������������ 0.5 ������ ≈ −1.5 ������������������������������ Pero la hora del asesinato sería 12 – 1.5 horas, es decir la hora del asesinato fue aproximadamente a las 10 y 30 ERICK CONDE Página 25