1. Integral Kompleks
Lintasan
Integral Bergantung Lintasan
Integral Bebas Lintasan
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 1
2011

2. Lintasan # 1
Misal z(t) : I C merupakan fungsi kompleks dengan
domain real, I = [ a, b ], maka fungsi z(t) dinyatakan :
z( t ) x( t ) iy( t ) ; a t b
z(t) merupakan lintasan dari A ke B, notasi : C
Im = y(t)
B = z(b)
C
Re = x(t)
A = z(a)
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 2
2011

3. Contoh
Gambarkan bentuk lintasan C untuk –1 t 1 yang
dinyatakan :
z(t ) t i t2
x((t) = t  y x2
y(t ) t2
1
C
-1 1
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 3
2011

4. Lintasan # 2
Turunan dan Integral dari persamaan lintasan dinyatakan
sebagai berikut :
z( t ) x( t ) iy( t ) ; a t b
dz
(1). z ' (t) x ' (t) i y ' (t)
dt
b b b
(2). z( t )dt x( t ) dt i y( t ) dt
a a a
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 4
2011

5. Contoh
Hitung turunan dan integral dari persamaan lintasan berikut :
z(t ) t i t2 ; 1 t 1
(1 ). z ' ( t ) 1 2 it
1 1
( 2 ). z ( t ) dt t it 2 dt
1 1
1
1 2 i 3 2
t t i
2 3 1 3
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 5
2011

6. Jenis Lintasan
(1). Lintasan Buka
Def : bila ujung lintasan tidak berimpit
(2). Lintasan Tutup
Def : bila ujung lintaan beimpit
(a). Lintasan Tutup Sederhana
(b). Lintasan Tutup Tidak Sederhana
C C
C C
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 6
2011

7. Integral Lintasan
Integral dari fungsi kompleks f(z) atas lintasan C disebut integral
lintasan atau integral garis atau integral contour dan dinyatakan :
f(z) dz f(z) dz
C C : lintasan
C
tutup
Sifat integral lintasan : (2). f ( z) dz f ( z ) dz f ( z) dz
C C1 C2
z1 z0
(1). f ( z ) dz f ( z ) dz C1
C2
z0 z1
C
z1
z0
(3). k f ( z) m g( z) dz k f ( z) dz m g( z) dz
C C C
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 7
2011

8. Integral Bergantung Lintasan # 1
Cara menghitung integral lintasan dari f(z) atas lintasan C :
1. Nyatakan lintasan C dalam z(t) = x(t) + i y(t), a t b
2. Cari turunan, z’ (t)
3. Substitusikan z(t) dan z ‘ (t) ke dalam integran
4. Integrasikan f(z) z’ (t) terhadap t
b
f(z)dz f z( t ) z'( t )dt
C a
x = r cos t dan y = r sin t
Jenis lintasan : ( x, y )
C : z(t) = x(t) + i y(t) ; 0 t 2
1. Lingkaran r
2. Ellips t = r cos t + i r sin t
3. Garis
= r ( cos t + i sin t ) = r eit
4. Kurva
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 8
2011

9. Integral Bergantung Lintasan # 2
Y
z0 C
-a a
it
z( t ) ae
C : z(t) = z0 + r eit, 0 t 2 Y
ai C 0 t
X
-ai
it
z( t ) ae
t  t
2 2
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 9
2011

10. Contoh
Hitung integral dari f(z) = x - iy atas lintasan C berbentuk
lingkaran satuan dengan arah berlawanan jarum jam
z(t ) e it cos t i sin t ; 0 t 2
z ' (t ) sin t i cos t ; x = cos t dan y = sin t
2
f ( z) dz (x iy ) z' ( t ) dt
C 0
2
cos t i sin t sin t i cos t dt
0
2 2
it it 2 i
e i e dt i dt
0 0
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 10
2011

11. Integral Bergantung Lintasan #
x x0 2 y y0 2
2 2
1  Ellips
a b
b
( x,y )
t
-a (x0,y0) a
-b
z(t) = z0 + a cos t + i b sin t dengan
0 t 2 dan z0 = ( x0,y0 )
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 11
2011

12. Contoh
Hitung integral dari f(z) = x - i y dan lintasan C berlawanan arah
dengan jarum jam berbentuk ellips :
2
2 2 2 y
4x y 4  x 2
1
2
z(t) = cos t + 2 i sin t , dengan 0 t 2
z ‘ ( t ) = - sin t + 2 i cos t
2
f ( z) dz cos t 2isin t sin t 2icos t dt
C 0
2
3
sin 2t 2i dt
2
0
2
3
cos 2t 2it 4 i
4 0
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 12
2011

13. Integral Bergantung Lintasan # 4
Ruas garis dari titik z0 ke titik z1
t=1
z1
Dipilih untuk 0 t 1
t=½ t=¾
t=0 t=¼
z0
t = ½  z(t) = z0 + ½ ( z1 – z0 )
t = 1/4  z(t) = z0 + 1/4 ( z1 – z0 )
t = 3/4  z(t) = z0 + 3/4 ( z1 – z0 )
z(t ) z0 t z1 z 0 dengan 0 t 1
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 13
2011

14. Contoh
2
Hitung integral dari : f(z) x y i xy
atas ruas garis dari z = 0 ke z = 1 + i
z(t) = t + ti , dengan 0 t 1
z ‘ (t) = 1 + i
1 1 2 2
f ( z) dz f ( z) z' ( t ) dt t t it 1 i dt
C 0 0
1
1 3 1 2 i 3 1 1 i
(1 i) t t t 1 i
3 2 3 0 3 2 3
1 7
i
2 6
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 14
2011

15. Integral Bergantung Lintasan # 5
Lintasan C berupa kurva y = f(x) dari titik (x0,y0) ke (x1,y1).
y = f(x)
(x1,y1)
(x0,y0) C
Misal x = t maka z(t) = t + i f(t) dengan x0 t x1
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 15
2011

16. Contoh
Hitung integral dari f(z) atas lintasan C sepanjang kurva y =
x2 dari titik ( 0,0 ) ke titik ( 1,1 ).
2
f(z) x y i xy
lintasan C : z(t) = x(t) + i y(t) = t + i t2 dengan 0 t 1
Turunan dari z(t) , z ‘ (t) = 1+ 2 i t
2 3
f ( z) 2t it
1 2 3
f ( z) dz 2t it 1 2i t dt
C 0
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 16
2011

17. Soal Latihan
1. Nyatakan berikut dalam z = z(t), a t b
a) Segmen garis dari z = 2 + 3i ke z = -2i + 4
b) Segmen garis dari z = 3 – i ke z = 2 + i
c) | z – 3i| = 1 dengan arah berlawanan jarum jam
d) | z + 2 – i| = 2 dengan arah positif
e) y = 2x – x2 dari (0,0) ke (1,1)
f) y = 1 + x2 dari (-1,2) ke (2,5)
2. Hitung integral dari fungsi f(z) atas lintasan C
a) f(z) = 2z + i ( z - 2) dengan C dari 1(a)
b) f(z) = 2x + i ( x + 2y) dengan C dari 1(d)
c) f(z) = Im ( z2 – i) dengan C dari 1(e)
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 17
2011

18. Integral Bebas Lintasan # 1
Domain D disebut tersambung sederhana bila setiap
lintasan tutup sederhana dalam D melingkupi titik-titik pada
D.
D Tersambung
Sederhana
Tidak
D Tersambung
Sederhana
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 18
2011

19. Integral Bebas Lintasan # 2
Integral fungsi f(z) yang analitik pada D, domain tersambung
sederhana terhadap setiap lintasan C D yang
menghubungkan dari titik a ke b
f(z) dz F( b) F(a)
C
dengan F ‘ (z ) = f ( z ) untuk z di D
Disebut integral Bebas Lintasan artinya nilai integral akan
sama untuk setiap bentuk lintasan asalkan lintasan
mempunyai ujung yang sama
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 19
2011

20. Integral Bebas Lintasan # 2
Misal integral dari fungsi f(z) analitik terhadap lintasan tutup C
bebas lintasan, maka :
f(z) dz 0
C
Contoh : Hitung integral f(z) = z sin z pada lintasan C
berupa ruas garis yang menghubungkan dari titik ( ,3 ) ke
titik (2 ,- )
f(z) = z sin z : fungsi entire, sehingga analitik pada domain
tersambung sederhana yang memuat lintasan C. Oleh
karena itu, integral lintasan dari f(z) tidak bergantung (bebas )
dari bentuk lintasan.
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 20
2011

21. Integral Bebas Lintasan # 3
2 i
f ( z) dz z sin z dz Gunakan Integral parsial :
C 3 i
u = z  du dz
dv = sin z dz  v = -cos z
2 i
z cos z sin z 3 i
i 2 cos i sin i
3 i cos 3 i sin 3 i
i 2 cosh sinh
3 i cosh3 sinh3
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 21
2011

22. Soal Latihan
Apakah integral dari f(z) atas lintasan C bebas
lintasan ? Cari nilai integralnya
1. f(z) = e-2z dan C ; segmen garis dari (-2,1) ke
(3,2)
2. f(z) = 1 / ( 2z – 3i) dan C lingkaran satuan
dengan arah berlawanan jarum jam
3. f(z) = x2 – 2xy – y2 + i ( x2 + 2xy – y2) dan C
merupakan kurva y = 2x2 – 3 dari titik ( 0,-3)
menuju titik (1,-1)
Jumat, 30 Desember Variabel Kompleks (MA 2113) VIII / 22
2011

23. Integral Kompleks
Titik Interior
Integral Cauchy
Turunan Fungsi Analitik
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 23

24. Titik Interior
Titik z0 disebut titik interior dari lintasan tutup C bila
terdapat lingkungan dari z0 yang termuat di dalam C
C
• z0
• z0
Bukan Titik Interior
Lintasan tutup C arah positif : bila berjalan menyusuri
lintasan maka daerah yang dilingkupi oleh C terletak di
sebelah kiri.
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 24

25. Integral Cauchy
Misal lintasan C tutup dengan arah
berlawanan jarum jam (arah positif ), z0 :
interior dari C dan f(z) analitik pada daerah
yang dilingkupi oleh C maka integral
Cauchy :
f ( z)
dz 2 i f (z 0 )
z z0
C
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 25

26. Contoh
C berupa | z | = 2 dan berlawanan jarum jam,
hitung :
z
e
dz f(z) = ez analitik di
C z i dalam C dan z0 = i
i
2 i f (i) 2 ie
2 sin 1 i cos 1
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 26

27. Contoh
Hitung integral dari g(z) atas lintasan C berupa lingkaran | z | = 4 dengan
arah berlawanan jarum
cos z cos z f (z) cos z
g( z ) 2  f (z)
z 6z 5 z 5 z 1 z 1 z 5
z0 = 1 : interior f(z) Analitik pada
dari lintasan C daerah yang dilingkupi
oleh C
cos 1
f (1)
4
cos z f ( z) cos 1
dz dz 2 i f (1) 2 i
Cz
2
C
z 1 4
6z 5
1
i cos 1
2
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 27

28. Contoh
Hitung integral dari g(z) atas C berupa | z | = 2 dan
berlawanan jarum jam
z sinz z sinz
g(z)
2 z i z i
z 1
A B
sin z
z i z i
z A B
2 z i z i
z 1
1 1
2( z i) 2( z i)
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 28

29. Contoh (Lanjutan)
z sinz 1 sinz sinz
dz [ ] dz
2 2 z i z i
C z 1 C
1 sinz 1 sinz
dz dz
2 z i 2 z i
C C
1 1
2 i sin i 2 i sin ( i)
2 2
i sin i sin i
=0
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 29

30. Soal Latihan
sin z dz
1. Hitung integral z z2 1
bila C
diberikan berikut C
:
a) | z | = ½ dengan arah positif
b) | z – i| = ½ berlawana arah dengan jarum
jam
c) Segiempat arah positif dengan titik sudut
– ½ , ½ , -½ i dan 2i.
d) | z | = 2 dengan arah berlawanan dengan
jarum jam
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 30

31. Turunan Fungsi Analitik
Misal f(z) analitik di z0 (titik interior) dari C : lintasan tutup
dan arah positif, maka integral Cauchy :
1 f(z)
f(z 0 ) dz
2 i C z z0
1 f ( z)
f ' z0 dz
2 i 2
C z z0
2 f ( z)
f " z0 dz
2 i 3
C z z0
(n) n! f ( z) dz
f (z 0 )
2 i
C s z0 n 1
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 31

32. Contoh
Hitung integral dari g(z) atas lintasan C berupa | z | = 2
dan berlawanan jarum jam
z
ze Titik interior dari
g( z)
z i3 C: z0 = i
f(z) = z ez  f ‘(z) = ez + z ez
 f “(z) = 2 ez + z ez
z i i
ze
dz if" i i 2e i e
3
C z i
cos1 2 sin1 i 2cos1 sin1
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 32

33. Contoh
Hitung integral dari g(z) atas lintasan tutup C dengan arah positif bila
1. C : | z + 1 | = ½
2. C : | z | = 2
sin z
g( z) -1
2
zz 1
1. C : | z + 1 | = ½  interior z0 = -1
f(z) analitik pada C, sebab f(z)
f ( z) sin z tidak analitik di z = 0,
g( z )  f (z)
z 12 z sedangkan z = 0 terletak
diluar C
z cos z sin z
f ' ( z)
2 sin z
z dz 2 i f ' ( 1)
2
f ' ( 1) cos 1 sin 1 Cz z 1
2 i cos 1 sin 1
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 33

34. Contoh # 2
2. C : |z| = 2  interior z0 = -1 dan z0 = 0
sin z
g( z)
zz 12
A B C
g( z) sin z -1 0
z z 1 z 1 2 2
1 2 1
g( z) sin z
z z 1 z 12
Gunakan :
sin z sin z sin z 1 f ( z)
g(z) dz dz 2 dz dz f ' z0 dz
z z 1 2 2 i 2
C C C C z 1 C z z0
2 i sin 0 2[2 i sin 1] 2 i cos 1
4 i sin 1 2 i cos 1
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 34

35. Soal Latihan
Hitung integral dari f(z) atas lintasan C yang mempunyai
arah positif bila :
1
1). f ( z ) ;C |z| 1
2
z2 1
(z 1) e z
2 ). f ( z ) ;C |z i| 2
z4 z2
sinz
3 ). f ( z ) ;C |z 2 3i | 1
z 3i 2
z3
4 ). f ( z ) ;C |z | 2
z 1 z i 3
Jumat, 30 Desember 2011 Variabel Kompleks (MA 2113) IX / 35