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LA SEMEJANZA Y 
SUS APLICACIONES
1. SEMEJANZA
      FIGURAS
       SEMEJANTES.
       Son aquellas:
      -Cuyos ángulos son
        iguales
      -Los segmentos
        correspondientes son
        proporcionales.
Teorema de Tales
        Si varias rectas
          paralelas (a, b, c)
          cortan a dos rectas
          cualesquiera, los
          segmentos que
          determinan en ellas
          son proporcionales
Triángulos semejantes
           Dos triángulos
            semejantes tienen:
           -Lados proporcionales
           -Ángulos iguales
6.APLICACIONES
                                        ESCALAS. Es el
                                         cociente entre cada
                                         longitud de la
                                         reproducción y la
                                         correspondiente
                                         longitud en la
                                         realidad.
Mapa topográfico con escala de          Es la razón de
reducción 1:250.000, lo que significa
que cada centímetro en el mapa son       semejanza entre la
2,5 kilómetros en la realidad.           reproducción y la
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Razón de semejanza en longitudes
                  la figura B sobre la A al
                    cociente entre la
                    longitud de un
                    segmento de la figura
                    B y la de su
                    homólogo en la figura
                    A.
En áreas:

     Si dos figuras A y B
       son semejantes, el
       cociente entre el área
       de B y el área de A
       es el cuadrado de la
       razón de semejanza
       de la figura B sobre la
       A.
En Volúmenes:
       Si dos figuras A y B
         son semejantes, el
         cociente entre el
         volumen de B y el de
         A es el cubo de la
         razón de semejanza
         de la figura B sobre la
         A.
TEOREMA DEL CATETO

En un triángulo
 rectángulo, el cateto es
 media proporcional
 entre la hipotenusa y la
 proyección del cateto
 sobre la hipotenusa.



 a:b = b:m → b · b = m · a → b² = m · a

 a:c = c:n → c · c = n · a → c ² = n · a
EJEMPLO 1:
     La hipotenusa de un
      triángulo rectángulo
      mide 30 cm y la
      proyección de un
      cateto sobre ella
      10.8 cm. Hallar el
TEOREMA DE LA ALTURA




En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es
  media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.
EJEMPLO 1:
Tenemos un triángulo rectángulo, de forma que la altura relativa a la hipotenusa determina sobre ésta, dos
   segmentos de longitudes 1,8 cm y 3,2 cm. Halla:

a) La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa.

b) La longitud de los catetos.

c) El área del triángulo.                                       Datos:
                                                               n=1,8 cm
                                                               m=3,2 cm
                                                               ¿h?
                                                               ¿a?

a) Usamos el Teorema de la altura: h² =n·m

    h²=1,8·3,2        h=2,4cm

b) El valor de la hipotenusa sería: a=m+n

   a= 1,8+3,2               a=5cm

c) Área= (base·altura):2=(5·2,4):2=12:2=6cm²
EJEMPLO 2:
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
TEOREMA DE PITÁGORAS
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Semejanza

  • 2. 1. SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES. Son aquellas: -Cuyos ángulos son iguales -Los segmentos correspondientes son proporcionales.
  • 3. Teorema de Tales Si varias rectas paralelas (a, b, c) cortan a dos rectas cualesquiera, los segmentos que determinan en ellas son proporcionales
  • 4. Triángulos semejantes Dos triángulos semejantes tienen: -Lados proporcionales -Ángulos iguales
  • 5. 6.APLICACIONES ESCALAS. Es el cociente entre cada longitud de la reproducción y la correspondiente longitud en la realidad. Mapa topográfico con escala de Es la razón de reducción 1:250.000, lo que significa que cada centímetro en el mapa son semejanza entre la 2,5 kilómetros en la realidad. reproducción y la realidad.
  • 6. Razón de semejanza en longitudes la figura B sobre la A al cociente entre la longitud de un segmento de la figura B y la de su homólogo en la figura A.
  • 7. En áreas: Si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre el área de B y el área de A es el cuadrado de la razón de semejanza de la figura B sobre la A.
  • 8. En Volúmenes: Si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre el volumen de B y el de A es el cubo de la razón de semejanza de la figura B sobre la A.
  • 9. TEOREMA DEL CATETO En un triángulo rectángulo, el cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre la hipotenusa. a:b = b:m → b · b = m · a → b² = m · a a:c = c:n → c · c = n · a → c ² = n · a
  • 10. EJEMPLO 1: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el
  • 11. TEOREMA DE LA ALTURA En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.
  • 12. EJEMPLO 1: Tenemos un triángulo rectángulo, de forma que la altura relativa a la hipotenusa determina sobre ésta, dos segmentos de longitudes 1,8 cm y 3,2 cm. Halla: a) La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa. b) La longitud de los catetos. c) El área del triángulo. Datos: n=1,8 cm m=3,2 cm ¿h? ¿a? a) Usamos el Teorema de la altura: h² =n·m h²=1,8·3,2 h=2,4cm b) El valor de la hipotenusa sería: a=m+n a= 1,8+3,2 a=5cm c) Área= (base·altura):2=(5·2,4):2=12:2=6cm²
  • 13. EJEMPLO 2: En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
  • 14. TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO