1. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS<br />Sea:<br />M( x,y )dx + N(x,y) “forma ordinaria”<br />Es exacta si se cumple:<br />∂M∂x+δNδy <br /> Este es el criterio para comprobar la exactitud de una ecuación diferencial.<br />Procesos algebraicos para resolver la ecuación se resume mediante la expresión matemática:<br />Fx,y=Mx,ydx+[Nx,y-∂∂y Mx,ydx]dy<br />EJEMPLO: <br />2xy dx+x2-1dy=0<br />Verificar si es exacta:<br />∂M∂y2xy=2x ∂M∂x=δNδy Por lo tanto si es exacta.<br />∂N∂xx2-1=2x <br />Solución: <br />Fx,y=2xy dx+[x2-1-∂∂y 2xy dx] dy <br />x2y+x2-1-∂∂yx2ydy <br />x2y+x2-1-x2dy <br />x2y-dy <br /> x2y-y+c<br />Ecuaciones diferenciales exactas por factor integrante<br />Sea la expresión:<br />Mx,ydx+Nx,ydy=0 <br />Forma ordinaria: <br />∂M∂y≠δNδx <br />ux,ysea el factor que le permita ala expresion ser exacta. <br />u=epxda o u=epydg <br />Forma de solución: <br />px=My-NxN EJEMPLO: 3x2y dx+ydy=0 <br />py=Ny-MxM ∂M∂y3x2y=3x2<br />pX=3x2-0y=3x2y ∂N∂x=y=0<br />py=0-3x23x2y=-3x23x2y=-1y u=-dyy=e-lny=elny-1=y-1 Factor =1y<br />1y3x2ydx+ydy=0=3x2 dx+dy=0 <br />fx,y=3x2 dx+ [1-∂∂y 3x2 dx] dy <br />x3+1-∂∂y x3 dy <br />x3+dy= x3+y+c <br />Ecuaciones Diferenciales Lineales<br />a0xyn+ an-1xyn-1. . .a1(x)y+a0xy=f(x) <br />Traduciendo la expresión : axy+bxy=c(x)<br />La forma ordinaria: y+ Pxy=Q(x)<br />Q(x)=0 homogenia {variables separables≠o no homogenia{factor integrantevariacion de parametros <br />Sol. General: y=1u(x) Qx. uxdx<br />Ejemplo:<br />x dy=x sen x-ydx px=1x <br />x dydx=x sen x-y Qx=sen x u=e1xdx=elnx=x <br />dydx=x sen x-yx <br />y=sen x-yx <br />y+ yx=sen x y=1x sen xxdx ; y=1x x sen x dx <br />y=1x [-cosx+sen x+c] <br />y= -cosx+ sen xx+ cx <br /> <br />ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI<br />Ecuación de Bernoulli<br />Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.<br /> <br /> Definición Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la formadonde y son funciones reales y continuas en un intervalo y es una constante real diferente de y se conoce como ecuación de Bernoulli HYPERLINK quot;
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/footnode.htmlquot;
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1.2 <br /> <br />Observación: cuando la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y cuando se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.<br /> Teorema La ecuación de Bernoulli(1.12)se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución . <br />Demostración:<br />Al dividir la ecuación 1.12 por , resulta<br />(1.13)<br />Usando la regla de la cadena, calculemos a partir de la sustitución <br />Sustituyendo en la ecuación 1.13, esta se transforma en<br />la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.<br />