Unidade 1 da materia MATEMÁTICAS II

1. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
1
1.1. FUNCIÓNS ELEMENTAIS. OPERACIÓNS CON FUNCIÓNS
DEFINICIÓN DEFUNCIÓN
 Unha función é unha relación entre dúas magnitudes de xeito que a cada valor da primeira lle corresponde un
ÚNICO valor da segunda.
Para indicarque unhamagnitude ydepende ou é función doutra magnitude x emprégase a notación  xfy  .
A "x" chámaselle variable independente.
A "y" chámaselle variable dependente. (o seu valor depende do da x )
 f é unha funciónde R enR (real de variable real) se a cada númeroreal x  D lle fai corresponder outro número
real  xf
Se representamostodososparesde valores   xfx, nun sistema de coordenadas cartesianas temos a gráfica
da función.
CONCEPTOS
1) DOMINIO : conxunto de números reais que teñen imaxe.
FUNCIÓNS ELEMENTAIS DOMINIO
Polinómicas 𝑓(𝑥) Todosos númerosreais→𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ
Supoñemos que f(x) e g(x) son polinomios
Racionais 𝑦 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Todosos númerosreaisexceptoosque anulan o
denominador.
𝐷𝑜𝑚 = { 𝑥𝜖ℝ/𝑔(𝑥) ≠ 0}
Radicais 𝑦 = √𝑓(𝑥)
Os númerosreaisque fanque o radicandosexamaior
ou igual a cero.
𝐷𝑜𝑚 = { 𝑥𝜖ℝ/𝑓(𝑥) ≥ 0}
Logarítmicas 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑓(𝑥) 𝐷𝑜𝑚 = { 𝑥𝜖ℝ/𝑓(𝑥) > 0}
Exponenciais 𝑦 = 𝑎 𝑓(𝑥) ; 𝑎 > 0 Todosos números reais→𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ
Para ver o dominio dunha función dada a través da súa gráfica basta ter en conta que un valor x pertence ó
dominio se a vertical trazada polo mesmo corta á gráfica.
2) PERCORRIDO ou IMAXE: conxunto de valores que toma a variable dependente "y".
Para ver o percorrido dunha función dada a través da súa gráfica basta ter en conta que un valor y pertence ó
percorrido se a horizontal trazada polo mesmo corta á gráfica.
Exemplos:
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
𝐷𝑜𝑚( 𝑓) = ℝ
𝐼𝑚( 𝑓) = [0, ∞)
Esta gráfica noné
unhafunción.

2. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
2
1.2 LÍMITE DUNHA FUNCIÓN NUN PUNTO. LÍMITES LATERAIS. LÍMITES INFINITOS E NO INFINITO.
DEFINICIÓN DELÍMITE
 Límite dunha función f(x) , cando "x" tende cara "a", é o valor ó que se aproximan as imaxes da función, f(x) ,
cando a variable x se aproxima ó valor a.
Escríbese )(lim xf
ax
; a pode ser un nº real ,  ou  , o mesmo para o valor do límite.
Se "a" é un nº real falaremos de límites laterais:
 O límite lateral pola esquerda é o valor ó que se aproximan as imaxes cando tomamos
valores próximos pero inferiores a "a". Escríbese
)(lim xf
ax 

 O límite lateral poladereitaé ovalor ó que se aproximan as imaxes cando tomamos valores
próximos pero superiores a "a". Escríbese
)(lim xf
ax 

A función terá límite se existen os límites laterais e ademais coinciden.
lxfxfxfl
axaxax
 

)(lim)(lim)(lim
Se algún dos límites laterais é infinito a recta x = a será unha asíntota vertical.
 Se "a" é  ou  :
Cando l é finito a recta y = l é unha asíntota horizontal. )(lim)(lim xflouxfl
xx 

Cando l é infinito temos unha rama infinita. 

)(lim xf
x
𝑔( 𝑥) = √ 𝑥2 − 4
𝐷𝑜𝑚( 𝑔) = (−∞,−2] ∪ [2,∞)
𝐼𝑚( 𝑔) = [0,∞)
𝑔(𝑥)

3. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
3
Exemplos
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙 𝟐 =
𝟏
𝟎
→ {
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟏
𝒙 𝟐⁄ = ∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝟏
𝒙 𝟐⁄ = ∞
⟹ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙 𝟐 = ∞
A recta 𝒙 = 𝟎 é unhaasíntota vertical
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟑𝒙 + 𝟐
𝒙 − 𝟏
=
𝟓
𝟎
→ {
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏+
𝟑𝒙 + 𝟐
𝒙 − 𝟏
= ∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏−
𝟑𝒙 + 𝟐
𝒙 − 𝟏
= −∞
⟹ ∄ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟑𝒙 + 𝟐
𝒙 − 𝟏
A recta 𝒙 = 𝟏 é unhaasíntota vertical
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇( 𝒙) = 𝟑
A recta 𝒚 = 𝟑 é unhaasíntota horizontal
𝒈( 𝒙) =
𝟐𝒙 𝟐
𝒙 𝟐 + 𝟏
𝑫𝒐𝒎( 𝒈) = ℝ ; 𝑰𝒎( 𝒈) = [𝟎, 𝟐)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒈( 𝒙) = 𝟐
A recta 𝒚 = 𝟐 é unhaasíntota horizontal
𝒉( 𝒙) = 𝟐 𝒙 + 𝟏 𝑫𝒐𝒎( 𝒉) = ℝ; 𝑰𝒎( 𝒉) = ( 𝟏,+∞)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
𝒉( 𝒙) = ∞ ⟹ 𝐴 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑒𝑛 é 𝑢𝑛ℎ𝑎 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝒉( 𝒙) = 𝟏 ⟹ 𝐴 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑦 = 1 é 𝑢𝑛ℎ𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝒇( 𝒙) = 𝒍𝒐𝒈( 𝒙) 𝑫𝒐𝒎( 𝒇) = (𝟎,∞); 𝑰𝒎( 𝒇) = ℝ
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
𝒇( 𝒙) = ∞ ⟹ 𝐴 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑒𝑛 é 𝑢𝑛ℎ𝑎 𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝒇( 𝒙) = −∞ ⟹ 𝐴 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑥 = 0 é 𝑢𝑛ℎ𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝒇( 𝒙) = ∄⟹ 𝐴 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑒 á 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑜 0

4. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
4
1.3. ALXEBRA DE LÍMITES. INDETERMINACIÓNS. CÁLCULO DE LÍMITES.
CÁLCULO DE LÍMITES DUNHA FUNCIÓNCANDO 𝒙 → 𝒂
Para calcularo límite dunhafunción cando 𝒙 → 𝒂 ; (𝒂 ∈ ℝ)substitúense as"x"polonúmero"𝒂" e opérase.
CÁLCULO DE LÍMITES DUNHA FUNCIÓNCANDO 𝒙 → ±∞
Para calcularo límite dunhafunción cando 𝒙 → +∞ ou 𝒙 → −∞ substitúense as"x"por+∞ ou por −∞ e opérase.
NOTA! Para calcular o límite cando 𝒙 → −∞podemosfacer sempre o seguinte cambio
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒇(−𝒙)
OPERACIÓNSCO INFINITO: INDETERMINACIÓNS
Nota! Prodúcese unhaindeterminacióncandoócalcularos límitesdasfunciónsobtemosunhasituaciónnaque non
podemosasignarunvaloró resultadodaoperación.Necesitamosfacerunhainvestigaciónmaisprofundapara
averiguaro valordese límite.
* SexaKun númerodistintode cero,temosasseguintesoperacións:
Nondistinguimosentre
+∞ 𝑒 − ∞. Bástanoscon
saberque:
𝑎−𝑛 =
1
𝑎 𝑛
Recordemososlímitesdalgunhasfuncións:
LÍMITES EXEMPLOS
Límite da función exponencial
lim
𝑥→∞
𝑎 𝑥 = {
∞ 𝑠𝑒 𝑎 > 1
0 𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1
lim
𝑥→∞
2 𝑥 = ∞
lim
𝑥→−∞
2 𝑥 = lim
𝑥→∞
2−𝑥 = lim
𝑥→∞
(
1
2
)
𝑥
= 0
SUMAS E RESTAS ∞± 𝑘 = ∞ ∞ + ∞ = ∞ ∞− ∞ → 𝑰𝑵𝑫
PRODUTOS ∞ · ±𝐾 = ±∞ ∞ · ∞ = ∞ 𝟎 · ∞ → 𝑰𝑵𝑫
COCIENTES
0
𝑘
= 0
𝐾
0
= ±∞
𝐾
±∞
= 0
∞
𝐾
= ±∞
0
∞
= 0
∞
0
= ∞
𝟎
𝟎
→ 𝑰𝑵𝑫
∞
∞
→ 𝑰𝑵𝑫
POTENCIAS
𝐾0 = 1
0∞ = 0
𝟎 𝟎 → 𝑰𝑵𝑫
∞ 𝟎 → 𝑰𝑵𝑫
0 𝐾 = {
0 𝑠𝑖 𝑘 > 0
∞ 𝑠𝑖 𝑘 < 0
∞ 𝐾 = {
+∞ 𝑠𝑒 𝑘 > 0
0 𝑠𝑒 𝑘 < 0
∞∞ = ∞
𝟏∞ → 𝑰𝑵𝑫
𝑘∞ = {
∞ 𝑠𝑖 𝑘 > 1
0 𝑠𝑖 0 < 𝑘 < 1

5. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
5
LÍMITES EXEMPLOS
Límite da función logarítmica
lim
𝑥→∞
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = {
∞ 𝑠𝑒 𝑎 > 1
−∞ 𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1
(recordar: o dominio da función logaritmo é (0,+∞)
polo tanto NON EXISTE lim
𝑥→−∞
𝑙𝑜𝑔 𝑥 )
lim
𝑥→∞
𝑙𝑜𝑔 𝑥 = ∞
lim
𝑥→∞
𝑙𝑜𝑔1
3
𝑥 = −∞
RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIÓNS
MÉTODO de COMPARACIÓNDE INFINITOS
Supoñamosque temosdúasfunciónsque cumpren lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑒 lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥) = ±∞
Entón:
1. f(x) é un infinitode orde superiorag(x) si: lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= ±∞ 𝑜𝑢 lim
𝑥→∞
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = ∞
2. f(x) é uninfinitode orde inferiorag(x) si: lim
x→∞
f(x)
g(x)
= 0 ou lim
x→∞
(f(x) − g(x)) = −∞
Comparaciónde potencias: 𝑥 𝑚 é 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑥 𝑛 𝑠𝑒 𝑚 > 𝑛
Comparación de funcións exponenciais: 𝑎 𝑥 é 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑏 𝑥 𝑠𝑒 𝑎 > 𝑏 > 1
Calquerafunciónexponencial de base maiorque 1é un infinitode orde superioracalquerapotenciade x
As potenciasde x soninfinitosde orde superiorásfunciónslogarítmicas
Exemplos:
lim
𝑥→∞
(
𝑒 𝑥
𝑥8 − 𝑥
) = ∞ lim
𝑥→∞
(
𝑥3 − 5
√𝑥9 − 𝑥
) = 0 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑥
9
2 > 𝑥3 lim
𝑥→∞
(
𝑥2
𝑙𝑜𝑔( 𝑥3 − 5)
) = ∞
RESOLUCIÓN INDETERMINACIÓN
∞
∞
1º MÉTODO: Divídese onumeradore o denominadorentre apotenciade maiorexponente.
Exemplos:
 lim
𝑥→∞
𝑥5−2𝑥3−1
𝑥4−𝑥2
= lim
𝑥→∞
𝑥5
𝑥5−
2𝑥3
𝑥5 −
1
𝑥5
𝑥4
𝑥5−
𝑥2
𝑥5
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠
→ lim
𝑥→∞
1−
2
𝑥2−
1
𝑥5
1
𝑥
−
1
𝑥3
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
→
1−0−0
0−0
=
1
0
= ∞
 lim
𝑥→∞
𝑥5−2𝑥3−1
−3𝑥5+𝑥3
= lim
𝑥→∞
𝑥5
𝑥5−
2𝑥3
𝑥5 −
1
𝑥5
−3𝑥5
𝑥5 +
𝑥3
𝑥5
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠
→ lim
𝑥→∞
1−
2
𝑥2−
1
𝑥5
−3+
1
𝑥2
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
→
1−0−0
−3−0
= −
1
3
 lim
𝑥→∞
2𝑥3−1
𝑥4−𝑥2
= lim
𝑥→∞
2𝑥3
𝑥4 −
1
𝑥4
𝑥4
𝑥4−
𝑥2
𝑥4
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠
→ lim
𝑥→∞
2
𝑥
−
1
𝑥4
1−
1
𝑥2
𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
→
0−0
1−0
=
0
1
= 0

6. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
6
2º MÉTODO: Por comparaciónde infinitos.
𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ±∞ 𝑛𝑢𝑛ℎ𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑓( 𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑎𝑥 𝑚 + 𝑎′𝑥 𝑚−1 + ⋯+ 𝑎′′
𝑏𝑥 𝑛 + 𝑏′𝑥 𝑛−1
+ ⋯+ 𝑏′′
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) ≈ lim
𝑥→±∞
𝑎𝑥 𝑚
𝑏𝑥 𝑛 = {
𝑎
𝑏
𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑚 = 𝑛
±∞ 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑚 > 𝑛
0 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑚 < 𝑛
RESOLUCIÓN INDETERMINACIÓN ∞ − ∞
1º MÉTODO: Por comparaciónde infinitos
Exemplos:
lim
𝑥→∞
( 𝑥7 − 𝑥5) = ∞ 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑟 𝑥7 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒; lim
𝑥→∞
(𝑥2 − √𝑥 − 2) = ∞ 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑟 𝑥2 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒
lim
𝑥→∞
( 𝑥5 − 3 𝑥) = −∞ 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑟 𝑥5 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒; lim
𝑥→∞
(𝑥2 − √ 𝑥7 − 2) = −∞ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
7
2
> 2
2º MÉTODO: Facendoa resta candopoidamos.
lim
𝑥→∞
(
𝑥2
𝑥 − 1
−
𝑥2
𝑥 + 1
) = lim
𝑥→∞
(
𝑥2.( 𝑥 + 1) − 𝑥2 · (𝑥 − 1)
( 𝑥 − 1) · (𝑥 + 1)
)= lim
𝑥→∞
(
𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥2
𝑥2 − 1
) = lim
𝑥→∞
(
2𝑥2
𝑥2 − 1
) = 2
3º MÉTODO: Se aparecenfunciónsirracionaispodemosmultiplicare dividirpoloconxugado
Exemplo:
lim
𝑥→∞
(√ 𝑥 − 2 − √ 𝑥 + 2 ) = lim
𝑥→∞
(√ 𝑥 − 2 − √ 𝑥 + 2 ) ·
√ 𝑥−2+√ 𝑥+2
√ 𝑥−2+√ 𝑥+2
= lim
𝑥→∞
𝑥−2−( 𝑥+2)
√ 𝑥−2+√ 𝑥+2
=
−4
∞
= 0
RESOLUCIÓN INDETERMINACIÓN 𝟎 · ∞
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑠 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜
∞
∞
𝑜𝑢
0
0
𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝒇( 𝒙) · 𝒈( 𝒙) =
𝒇(𝒙)
𝟏
𝒈(𝒙)
=
𝒈(𝒙)
𝟏
𝒇(𝒙)
Exemplo:
►
2
1
4
1
54
12
lim
54
)1(
lim0
54
1
)·1(lim 2
2
2
2
2









 x
xx
x
x
operamos
x
x
xxx
►







x
x
xxenmostransformaxx
xxx 1
ln
lim)ln(lim)(0)ln(lim
000
(para resolver este tipo de límites precisamos do cálculo diferencial (regra de L'Hôpital))

7. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
7
RESOLUCIÓN INDETERMINACIÓN 𝟏∞. O NÚMERO e: Cúmprese que ...........7182818284,2
1
1lim 







e
x
x
x
x
x
x







1
1
1
22
1
1
1 1
1







100
  7048138,201,1
100
1
1
100
100







10000
  7181459,20001,1
10000
1
1
10000
10000







Se temos unha función elevada a outra 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)
estudamos o límite da base e o do expoñente.
Hai que lembrar:
  0 ase
a
(logo  
 
0
11






a
a
) ;  







1
100
ase
ase
a
0
0 = indeterminación  0
 = indeterminación

1 = indeterminación
 Tamén se cumpre, que se   

xf
x
lim entón
 
 
e
xf
xf
x








1
1lim
Exemplos: e
x
x
x










3
3
1
1lim ; e
x
x
x










62
62
1
1lim ; e
xx
xx
x










2
2
1
1lim
 Tendo en conta o anterior, sempre que ó tentar calcular o límite dunha potencia apareza a
indeterminación 1∞ , ó resolvela veremos que o resultado está relacionado co número e.
    
 
 
  gf
gf
f
g
gxg
e
ff
fxf 






























 1lim
1
1
1
1
1
1
1lim
1
1
1
1lim11limlim

8. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
8
Na práctica calculase usandoafórmula:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)
= 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
( 𝒇( 𝒙)−𝟏)·𝒈(𝒙)
Exemplo:
lim
𝑥→∞
(
3𝑥−1
3𝑥+4
)
2𝑥2
5+𝑥
= 𝑒
lim
𝑥→∞
−10𝑥2
3𝑥2+11𝑥−20 = 𝑒
−10
3
 facemos (
𝟑𝒙−𝟏
𝟑𝒙+𝟒
− 𝟏) ·
𝟐𝒙 𝟐
𝟓+𝒙
=
−𝟓
𝟑𝒙−𝟒
·
𝟐𝒙 𝟐
𝟓+𝒙
=
−𝟏𝟎𝒙 𝟐
𝟑𝒙 𝟐+𝟏𝟏𝒙−𝟐𝟎
RESOLUCIÓN INDETERMINACIÓN
𝟎
𝟎
1) 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑐) 𝑑𝑢𝑛ℎ𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓( 𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑠𝑒 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠.
Exemplo:
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
2𝑥 − 2
= lim
𝑥→1
( 𝑥 − 1) · (𝑥 + 1)
2(𝑥 − 1)
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1
2
= 1
2) Se na funciónhai unharaíz ⇒ multiplicase numerador e denominador polo seu conxugado e simplificamos.
lim
𝑥→4
√ 𝑥 − 2
𝑥 − 4
=⏞
0
0
lim
𝑥→4
(√ 𝑥 − 2) · (√ 𝑥 + 2)
( 𝑥 − 4) · (√ 𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
𝑥 − 4
( 𝑥 − 4) · (√ 𝑥 + 2)
= lim
𝑥→4
1
(√ 𝑥 + 2)
=
1
√4 + 2
=
1
4
► 
det1
5
2 2
43
13
lim
in
x
x
x x
x








 




























x
x
x
x
x
x x
xx
x
x
5
2
5
5
2
2
2
43
4313
1lim1
43
13
1lim
  



































x
x
xx
x x
5
2
.
43
5
5
43
2
5
43
1
1lim 

 ..3
10
lim 2
2
x
x
x
e 3
10

e

9. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
9
RESOLUCIÓN do caso
𝒌
𝟎
(𝒌 ≠ 𝟎) (non é indeterminaciónporque
𝒌
𝟎
= ±∞)
𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜( 𝑐) 𝑑𝑢𝑛ℎ𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓( 𝑥) =
𝑃( 𝑥)
𝑄( 𝑥)
.
𝑂 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟á, 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒,+∞ 𝑜𝑢 − ∞.
Procedemento: calcúlanse os límites laterais estudando o signo da función.
Exemplo:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙 𝟐 =
𝟏
𝟎
→ {
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟏
𝒙 𝟐⁄ = ∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎−
𝟏
𝒙 𝟐⁄ = ∞
⟹ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏
𝒙 𝟐 = ∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟏
𝒙 − 𝟏
=
𝟏
𝟎
→ {
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏+
𝟏
𝒙 − 𝟏
= ∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏−
𝟏
𝒙 − 𝟏
= −∞
⟹∄ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟏
𝒙 − 𝟏

10. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
10
1.4. ASÍNTOTAS DUNHA FUNCIÓN.No estudodasfunciónschamamosasíntota a unha liñarectaá que se
aproximainfinitamente agráficadunhafunción,perosenchegara atoparse ambasdurante dita aproximación
infinita(oque nonquere dicirque nopoidanatoparse noutroslugares).
a) ASÍNTOTAS HORIZONTAIS:
Se Rlxf
x


)(lim a recta ly  é asíntota horizontal de f cando x (pola dereita)
Se Rlxf
x


)(lim a recta ly  é asíntota horizontal de f cando x (pola esquerda)
A posiciónda curva respecto da asíntota coñécese estudandoo signo de   lxf  para valores grandes
de x. (Se é >0 a función vai “porriba” da asíntota e se é <0 irá por baixodela)
b) ASÍNTOTAS OBLÍCUAS :
Se 

)(lim xf
x
e  Rm
x
xf
x



0
)(
lim ;   Rnmxxf
x


)(lim a recta nmxy  é
asíntota oblicua de f cando x (pola dereita)
Se 

)(lim xf
x
e  Rm
x
xf
x



0
)(
lim ;   Rnmxxf
x


)(lim a recta nmxy  é
asíntota oblicua de f cando x (pola esquerda)
A posiciónda curva respecto da asíntota coñécese estudandoo signo de    nmxxf  para valores
grandes de x. (Se é >0 a funciónvai “por riba” da asíntota e se é <0 irá por baixo dela)
Unha funciónque tenasíntota horizontal por un lado non terá asíntota oblicuapor ese mesmo lado.
(Se 

)(lim xf
x
nonhai asíntotaoblicuae podemosterunha rama parabólica)
c) ASÍNTOTAS VERTICAIS:
Se  Rkxf
kx


)(lim a recta de ecuación kx  é asíntota vertical de f
A posición da curva respecto da asíntota coñécese calculando )(lim xf
kx 

, )(lim xf
kx 

Os valores Rk  onde pode haber asíntota vertical son valores que non pertencen ó dominio
da función, que están na súa “fronteira”. Así unha función definida en todo R non ten asíntotas
verticais.

11. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
11
1.5. CONTINUIDADE NUN PUNTO. CONTINUIDADE NUN INTERVALO. TIPOS DE DESCONTINUIDADES
CONTINUIDADE
Dise que unhafunción f(x) é continua para x = a cando :
 A funciónestádefinidaen a,é dicir,existe f(a)
 Existe(finito) )(lim xf
ax
 Cúmprese ademaisaigualdade : )()(lim afxf
ax


Candoalgunhadestascondiciónsnonse cumpradiremosque a funciónpresentaen x = a unhadescontinuidade.
TIPOS DE DESCONTINUIDADES.
Evitable:
Candoexiste Rlxf
ax


)(lim (existen,coincidene sonfinitososlímiteslaterais) pero:




 

definidaestánonaf
ou
afxf
ax
)(
)()(lim
Inevitable :cando non existe Rlxf
ax


)(lim . Pode ocorrer:
a) Os límiteslateraisexistene sonfinitosperodistintos→ descontinuidade de saltofinito.
b) Os límiteslateraisexistene algúndeles,ouambos,soninfinitos→ descontinuidadede saltoinfinito.
c) Algúndoslímiteslateraisnonexiste.
CONTINUIDADE NUNINTERVALO
 Unha funcióné continua nun intervaloaberto cando é continuaentodos ospuntosdo mesmo.
 Entre as funciónsmáisusuais pódese comprobarque:
 As funciónspolinómicassoncontinuasentodoR.
 As funciónsracionaissoncontinuasentodoR,agás nospuntosonde se anulao denominador.
 As funciónsexponenciais x
axf )( soncontinuasentodoR.
 As funciónslogarítmicas xxf alog)(  soncontinuasen(0,+∞)
 A función xxf )( é continuaen[0, +∞)
 A suma,diferenzae produtode dúasfunciónscontinuastaméné continua.Ocociente taménoé,
agás nos puntosque anulana funcióndodenominador.
 As funcións definidas a anacos presentan descontinuidades nos puntos de división dos distintos anacos, salvo
que neles os límites laterais coincidan co valor da función.
 Unha función é continua nun intervalo pechado [a,b] cando é continua en (a,b) e ademais:
)()(lim afxf
ax


; )()(lim bfxf
bx



12. UNIDADE 1:LÍMITES DE FUNCIÓNS. CONTINUIDADE. MatemáticasII--IESGARCÍA BARBÓN
12
1.6. TEOREMAS DE BOLZANO e de WEIERSTRASS.
TEOREMA DE BOLZANO
Sexa f unha funciónda que sabemos:
 f é continua no intervalo[ a , b ]
 signof( a ) ≠ signo f( b )
Entón:  bac , ∕   0cf
Interpretaciónxeométrica:Se temos unha funcióncontinua nun intervalopechado,que toma nos seusextremos
valoresde distintosigno, daquelaten que cortar ó eixe X nalgún punto dese intervalo.
TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS
Se f é unha funcióncontinua nun intervalo[ a , b ]
Entón:
f alcanza o máximo e o mínimo en [ a , b ] .
Ademáisalcanza todos os valorescomprendidosentre o máximo M e o mínimom, sendo
    Mmbaf ,, 