Diagramas de árbol        Qué son y cómo se hacen
 Un diagrama de árbol es una manera muy  adecuada para representar experimentos  compuestos Sirve especialmente cuando e...
 Las primeras ramas parten de un punto  central. Habrá tantas ramas como resultados  posibles. Encima de la línea de la...
 Veamos un ejemplo Tenemos una urna con 3 bolas blancas, 5  negras y 2 rojas. Sacamos una bola
 Nombramos a los sucesos B=Bola blanca, N=Bola  negra, R=Bola roja Recordamos que la probabilidad de cada suceso  son lo...
   Fíjate que la suma de las probabilidades tiene    que ser uno. 3/10+5/10+2/10=1                              B        ...
 Supongamos un nuevo experimento, en el que  sacamos dos bolas. El árbol de sucesos para la primera bola sigue  siendo e...
 Una vez que hemos  sacado una bola  blanca, tenemos 9  bolas en total, y sólo 2  blancas. El árbol de sucesos  ahora es...
   Las probabilidades que obtenemos ahora son    las condicionadas.   Por ejemplo, la primera rama es la    probabilidad...
   Unimos los dos esquemas.   Ahora tenemos que hacer lo mismo para la bola    negra y la roja.                         ...
 Si la primera bola es  negra, tenemos 9  bolas en total, y sólo  2 blancas. El árbol de sucesos  ahora es el siguiente:...
   Por último, si la    primera bola es roja,    el árbol de sucesos    ahora es el siguiente:                           ...
   Unimos todos los árboles.      Segunda bola                                    B              Primera bola   2/9      ...
 Este árbol es útil, sin embargo no nos dice algo tan  sencillo como la probabilidad de que la primera bola  sea blanca y...
 De la misma manera, procedemos en las otras dos  bolas La probabilidad de que las dos bolas sean blancas  será 3/10 · 2...
   Continuamos con el resto.      Segunda bola                                    B      P(B∩B)= 6/90              Primer...
   Al final del diagrama de árbol tenemos    todos los sucesos elementales, 9 en total.    Sus probabilidades suman 1.   ...
   Para hallar muchas probabilidades habrá    que sumar las correspondientes a varios    sucesos elementales.            ...
   Por ejemplo, si nos piden la probabilidad de que la    segunda bola sea blanca, sumaremos    P(B∩B)+P(N∩B)+P(R∩B)=6/90...
   Aunque las fracciones deben de ponerse    reducidas, es conveniente no hacerlo hasta que no    hayamos terminado todas...
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Diagramas de árbol

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Diagramas de árbol

  1. 1. Diagramas de árbol Qué son y cómo se hacen
  2. 2.  Un diagrama de árbol es una manera muy adecuada para representar experimentos compuestos Sirve especialmente cuando el segundo experimento depende del primeroDiagramas de árbol
  3. 3.  Las primeras ramas parten de un punto central. Habrá tantas ramas como resultados posibles. Encima de la línea de la rama se pone la probabilidad correspondiente A1 P(A1) P(A2) A2 P(A3) A3
  4. 4.  Veamos un ejemplo Tenemos una urna con 3 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Sacamos una bola
  5. 5.  Nombramos a los sucesos B=Bola blanca, N=Bola negra, R=Bola roja Recordamos que la probabilidad de cada suceso son los casos favorables entre los casos posibles. Así por ejemplo, la probabilidad de que salga negra será P(N)=5/10, ya que hay 5 bolas negras y 10 en total. B 3/10 5/10 N 2/10 R
  6. 6.  Fíjate que la suma de las probabilidades tiene que ser uno. 3/10+5/10+2/10=1 B 3/10 5/10 N 2/10 R
  7. 7.  Supongamos un nuevo experimento, en el que sacamos dos bolas. El árbol de sucesos para la primera bola sigue siendo el mismo, pero ¿qué pasa con la segunda? Vamos a ver que pasa si la primera bola es blanca B 3/10 5/10 N 2/10 R
  8. 8.  Una vez que hemos sacado una bola blanca, tenemos 9 bolas en total, y sólo 2 blancas. El árbol de sucesos ahora es el siguiente: Segunda bola B 2/9 Primera bola 5/9 N 2/9 R
  9. 9.  Las probabilidades que obtenemos ahora son las condicionadas. Por ejemplo, la primera rama es la probabilidad de que la segunda bola sea blanca, si la primera lo ha sido, es decir, P(segunda blanca/primera blanca). Por comodidad, lo representamos como P(B/B El árbol de sucesos ahora es el siguiente: Segunda bola B P(B/B)=2/9 Primera bola P(N/B)= 5/9 N P(R/B)= 2/9 R
  10. 10.  Unimos los dos esquemas. Ahora tenemos que hacer lo mismo para la bola negra y la roja. Segunda bola B 2/9 Primera bola 5/9 B N 3/10 2/9 5/10 N R 2/10 R
  11. 11.  Si la primera bola es negra, tenemos 9 bolas en total, y sólo 2 blancas. El árbol de sucesos ahora es el siguiente: Segunda bola B 3/9 Primera bola 4/9 N 2/9 R
  12. 12.  Por último, si la primera bola es roja, el árbol de sucesos ahora es el siguiente: Segunda bola B 3/9 Primera bola 4/9 N 1/9 R
  13. 13.  Unimos todos los árboles. Segunda bola B Primera bola 2/9 5/9 B N 2/93/10 R B 3/9 5/10 4/9 N N 2/9 R 2/10 B 3/9 R 5/9 N 1/9 R
  14. 14.  Este árbol es útil, sin embargo no nos dice algo tan sencillo como la probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra. La probabilidad de un suceso compuesto en el diagrama de árbol se haya multiplicando las probabilidades de las ramas Por ejemplo, la probabilidad que la primera bola sea blanca y la segunda negra será 3/10 · 5/9 = 15/90. Reduciendo, obtenemos 1/6 Segunda bola B Primera bola 2/9 5/9 B N P(B∩N) = 2/93/10 R B 3/9 5/10 4/9 N N 2/9
  15. 15.  De la misma manera, procedemos en las otras dos bolas La probabilidad de que las dos bolas sean blancas será 3/10 · 2/9 = 6/90. Reduciendo, obtenemos 1/15 La probabilidad que la primera sea blanca y la segunda roja será 3/10 · 6/90. Reduciendo, obtenemos 1/15 Segunda bola B P(B∩B) = 6/90 Primera bola 2/9 5/9 B N P(B∩N) = 15/90 2/93/10 R P(B∩N) = 6/90 B 3/9 5/10 4/9 N N 2/9
  16. 16.  Continuamos con el resto. Segunda bola B P(B∩B)= 6/90 Primera bola 2/9 5/9 B N P(B∩N)= 15/90 2/93/10 R P(B∩R)= 6/90 B P(N∩B)= 15/90 3/9 5/10 4/9 N N P(N∩N)= 20/90 2/9 R P(N∩R)= 10/90 2/10 B P(R∩B)= 6/90 3/9 R 5/9 N P(R∩N)= 10/90 1/9 R P(R∩R)= 2/90
  17. 17.  Al final del diagrama de árbol tenemos todos los sucesos elementales, 9 en total. Sus probabilidades suman 1. B P(B∩B)= 6/90 Primera bola 2/9 5/9 B N P(B∩N)= 15/90 2/93/10 R P(B∩R)= 6/90 B P(N∩B)= 15/90 3/9 5/10 4/9 N N P(N∩N)= 20/90 2/9 R P(N∩R)= 10/90 2/10 B P(R∩B)= 6/90 3/9 R 5/9 N P(R∩N)= 15/90 1/9 R P(R∩R)= 2/90
  18. 18.  Para hallar muchas probabilidades habrá que sumar las correspondientes a varios sucesos elementales. B P(B∩B)= 6/90 Primera bola 2/9 5/9 B N P(B∩N)= 15/90 2/93/10 R P(B∩R)= 6/90 B P(N∩B)= 15/90 3/9 5/10 4/9 N N P(N∩N)= 20/90 2/9 R P(N∩R)= 10/90 2/10 B P(R∩B)= 6/90 3/9 R 5/9 N P(R∩N)=10/90 1/9 R P(R∩R)= 2/90
  19. 19.  Por ejemplo, si nos piden la probabilidad de que la segunda bola sea blanca, sumaremos P(B∩B)+P(N∩B)+P(R∩B)=6/90+15/90+6/90=27/90 B P(B∩B)= 6/90 Primera bola 2/9 5/9 B N P(B∩N)= 15/90 2/9 3/10 R P(B∩R)= 6/90 B P(N∩B)= 15/90 3/9 5/10 4/9 N N P(N∩N)= 20/90 2/9 R P(N∩R)= 10/90 2/10 B P(R∩B)= 6/90 3/9 R 5/9 N P(R∩N)=10/90 1/9 R P(R∩R)= 2/90
  20. 20.  Aunque las fracciones deben de ponerse reducidas, es conveniente no hacerlo hasta que no hayamos terminado todas las cuentas, para que resulten más sencillas. B P(B∩B) = 6/90 = 1/15 Primera bola 2/9 5/9 B N P(B∩N) = 15/90 = 1/6 2/9 3/10 R P(B∩R) = 6/90= 1/15 B P(N∩B) = 15/90 = 1/6 3/9 5/10 4/9 N N P(N∩N) = 20/90 = 2/9 2/9 R P(N∩R) = 10/90= 1/9 2/10 B P(R∩B) = 6/90= 1/15 3/9 R 5/9 N P(R∩N) = 15/90= 1/6 1/9 R P(R∩R) = 2/90= 2/9
  21. 21. Espero que os haya sido útil

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