Factorización de polinomios MCS 1º Bachillerato Rafael Merelo
Recordemos la factorización de números <ul><li>420 </li></ul><ul><li>210 </li></ul><ul><li>105 </li></ul><ul><li>35 </li><...
¿Cómo son los factores primos de los polinomios? <ul><li>Hay de tres tipos </li></ul><ul><li>De grado 0, números:  1, 5, -...
Vamos a ver ahora como se factoriza un polinomio
Polinomios de grado 1 <ul><li>Son del tipo P(x)=(ax+b) </li></ul><ul><li>Igualamos el polinomio a 0 y resolvemos la ecuaci...
<ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación </li></ul><ul><li>Obtenemos así la raíz  </li></ul><ul><li>La factorización...
<ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación </li></ul><ul><li>Obtenemos así la raíz  </li></ul><ul><li>La factorización...
Polinomios de grado 2 <ul><li>Son del tipo ax 2 +bx+c </li></ul><ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación ax 2 +bx+c=...
Ejemplo 3 <ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación </li></ul><ul><li>Obtenemos así las raíces x 1  y x 2 </li></ul><...
Ejemplo 4 <ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación </li></ul><ul><li>Obtenemos así la raíces x 1  y x 2 </li></ul><u...
Ejemplo 5 <ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación </li></ul><ul><li>Obtenemos así las raíces x 1  y x 2 </li></ul><...
Polinomios de grado 3 <ul><li>El polinomio es de la forma  ax 3  +bx 2 +cx+d=0 </li></ul><ul><li>Las raíces son divisores ...
Ejemplo 6 <ul><li>P(x) = x 3  – 3x 2  -  x + 3 </li></ul><ul><li>divisores de 3: 1, -1, 3 Y -3 </li></ul><ul><li>P(1)= 1 3...
Polinomios de grado 4 <ul><li>Hallamos los divisores del término independiente </li></ul><ul><li>Buscamos un divisor del  ...
Polinomios sin término independiente <ul><li>Si el término más pequeño es de grado n, podemos sacar como factor común x n ...
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Factorización polinomios

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En esta presentación se explica como se factorizan polinomios de una manera sencilla.

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Factorización polinomios

  1. 1. Factorización de polinomios MCS 1º Bachillerato Rafael Merelo
  2. 2. Recordemos la factorización de números <ul><li>420 </li></ul><ul><li>210 </li></ul><ul><li>105 </li></ul><ul><li>35 </li></ul><ul><li>7 </li></ul><ul><li>1 </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>3 </li></ul><ul><li>5 </li></ul><ul><li>7 </li></ul><ul><li>420 = 2 2  3 57 </li></ul><ul><ul><li>La factorización de polinomios es igual, hay que descomponer los polinomios en factores primos. </li></ul></ul>
  3. 3. ¿Cómo son los factores primos de los polinomios? <ul><li>Hay de tres tipos </li></ul><ul><li>De grado 0, números: 1, 5, -2 </li></ul><ul><li>De grado 1, polinomios del tipo (x-a) o (x+a): </li></ul><ul><ul><li>(x-5), (x+2) </li></ul></ul><ul><li>De grado2, polinomios de grado dos sin raíces reales: x 2 +bx+c: (x 2 +x+1), (x 2 +1) </li></ul>
  4. 4. Vamos a ver ahora como se factoriza un polinomio
  5. 5. Polinomios de grado 1 <ul><li>Son del tipo P(x)=(ax+b) </li></ul><ul><li>Igualamos el polinomio a 0 y resolvemos la ecuación ax+b=0 </li></ul><ul><li>Obtenemos así la raíz c </li></ul><ul><li>La factorización es a(x-c) </li></ul><ul><li>Observación: c = b/a </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación </li></ul><ul><li>Obtenemos así la raíz </li></ul><ul><li>La factorización es a(x-c) </li></ul>Ejemplo 1 <ul><li>P(x) = 3x – 9 </li></ul><ul><li>3x-9 = 0. La solución es x = 3 </li></ul><ul><li>La raíz del polinomio es 3 </li></ul><ul><li>P(x)= 3(x-3) </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación </li></ul><ul><li>Obtenemos así la raíz </li></ul><ul><li>La factorización es a(x-c) </li></ul>Ejemplo 2 <ul><li>P(x) = 5x –28 </li></ul><ul><li>5x-28 = 0. La solución es x = 28/5= 5,6 </li></ul><ul><li>La raíz del polinomio es 5,6 </li></ul><ul><li>P(x)= 5(x - 5,6) </li></ul>
  8. 8. Polinomios de grado 2 <ul><li>Son del tipo ax 2 +bx+c </li></ul><ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación ax 2 +bx+c=0 </li></ul><ul><li>Obtenemos así las raíces x 1 y x 2 </li></ul><ul><li>La factorización sera a(x- x 1 )(x- x 2 ) </li></ul><ul><li>Si las dos raíces son iguales será a(x- x 1 ) 2 </li></ul><ul><li>Si las raíces no son reales, es un polinomio irreducible de grado 2. Sacamos factor común la a </li></ul>
  9. 9. Ejemplo 3 <ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación </li></ul><ul><li>Obtenemos así las raíces x 1 y x 2 </li></ul><ul><li>La factorización sera a(x- x 1 )(x- x 2 ) </li></ul><ul><ul><li>P(x) = x 2 - 12x + 7 </li></ul></ul><ul><ul><li>Resolvemos la ecuación x 2 + 12x – 7 =0 </li></ul></ul><ul><ul><li>La raices del polinomio son 3 y 4 </li></ul></ul><ul><ul><li>La factorización es (x – 3)(x – 4) </li></ul></ul>
  10. 10. Ejemplo 4 <ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación </li></ul><ul><li>Obtenemos así la raíces x 1 y x 2 </li></ul><ul><li>Si las dos raíces son iguales ser á a (x - x 1 ) 2 </li></ul><ul><li>P(x) = 4x 2 + 24x + 36 </li></ul><ul><li>Resolvemos la ecuación 4x 2 + 24x + 36 = 0 </li></ul><ul><li>Tiene una raíz doble: -3 </li></ul><ul><li>La factorización es 4(x + 3) 2 </li></ul>
  11. 11. Ejemplo 5 <ul><li>Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación </li></ul><ul><li>Obtenemos así las raíces x 1 y x 2 </li></ul><ul><li>Si las raíces no son reales, es un polinomio irreducible de grado 2. Sacamos factor común la a </li></ul><ul><li>P(x) = 3x 2 +3 x + 6 </li></ul><ul><li>Resolvemos la ecuación 3x 2 +3 x + 6 = 0 </li></ul><ul><li>No tiene soluciones reales </li></ul><ul><li>La factorización es 3(x 2 + x + 2) </li></ul>
  12. 12. Polinomios de grado 3 <ul><li>El polinomio es de la forma ax 3 +bx 2 +cx+d=0 </li></ul><ul><li>Las raíces son divisores de d/a </li></ul><ul><li>Hallamos los divisores de d </li></ul><ul><li>Buscamos un divisor de d que sea raíz del polinomio, sustituyendo la x por el divisor, y comprobando que sale 0 </li></ul><ul><li>Hallamos el factor correspondiente a la raíz. Si la raíz es a, el factor es x-a </li></ul><ul><li>Dividimos por Ruffini el polinomio entre el factor. </li></ul><ul><li>Obtenemos al dividir un polinomio de segundo grado, que podemos factorizar siguiendo el método anterior. </li></ul><ul><li>Juntamos el factor obtenido en 3 con la descomposición obtenida en 5 </li></ul>
  13. 13. Ejemplo 6 <ul><li>P(x) = x 3 – 3x 2 - x + 3 </li></ul><ul><li>divisores de 3: 1, -1, 3 Y -3 </li></ul><ul><li>P(1)= 1 3 – 3 • 1 2 - 1 + 3 = 1 – 3 – 1 + 3 = 0 </li></ul><ul><li>raíz 1 ↔ factor (x - 1) </li></ul><ul><li>cociente : x 2 - 2x – 3 </li></ul><ul><li>x 2 - 2x – 3 = (x + 1)(x – 3) </li></ul><ul><li>P(x) = x 3 – 3x 2 - x + 3 = (x - 1)(x + 1)(x – 3) </li></ul><ul><li>Hallamos los divisores de 3 </li></ul><ul><li>Buscamos un divisor de 3 que sea raíz del polinomio. </li></ul><ul><li>Hallamos el factor correspondiente a la raíz. </li></ul><ul><li>Dividimos por Ruffini el polinomio entre el factor. </li></ul><ul><li>Obtenemos al dividir un polinomio de segundo grado, que podemos factorizar siguiendo el método anterior. </li></ul><ul><li>Juntamos el factor obtenido en 3 con la descomposición obtenida en 5 </li></ul>
  14. 14. Polinomios de grado 4 <ul><li>Hallamos los divisores del término independiente </li></ul><ul><li>Buscamos un divisor del independiente que sea raíz del polinomio, sustituyendo la x por el divisor, y comprobando que sale 0 </li></ul><ul><li>Hallamos el factor correspondiente a la raíz. Si la raíz es a, el factor es x-a </li></ul><ul><li>Dividimos por Ruffini el polinomio entre el factor. </li></ul><ul><li>Obtenemos al dividir un polinomio de tercer grado grado, que podemos factorizar siguiendo el método anterior. </li></ul><ul><li>Unimos lo obtenido en el paso 3 y el 5 </li></ul>
  15. 15. Polinomios sin término independiente <ul><li>Si el término más pequeño es de grado n, podemos sacar como factor común x n </li></ul><ul><li>Nos queda un polinomio de la forma x n Q(x) </li></ul><ul><li>Q(x) lo factorizamos siguiendo los métodos anteriores. </li></ul>

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