1. Tema 3. Campos Escalares y Vectoriales
Lección 1
3.1. Función escalar de punto. Campos Escalares
3.2. Representación de campos escalares
3.3. Gradiente de un campo escalar. Derivada direccional
3.4. Función vectorial de punto. Campos Vectoriales
3.5. Representación de campos vectoriales
3.6. Circulación de un campo vectorial
Lección 2
3.7. Potencial de un campo vectorial
3.8. Flujo de un campo vectorial
3.9. Divergencia de un campo vectorial
3.10. Rotacional de un campo vectorial
3.11. Laplaciana de un campo escalar
3.12. Campos conservativos
Objetivos
• Conocer el significado de “campo” en Física.
• Representar los campos escalares y vectoriales.
• Saber aplicar el operador nabla a los diferentes
campos.
• Calcular el gradiente y la derivada direccional de
un campo escalar
• Calcular circulación y flujo de funciones vectoriales.
• Conocer las propiedades de los campos
conservativos.
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2. 3.1. Campos escalares
Se dice que en una región del espacio hay un campo escalar
cuando en ella hay definida una función escalar V=V(x,y,z) de
punto por la que a cada punto P(x,y,z) se le asocia un valor único
de la magnitud escalar correspondiente en un instante dado.
Ejemplos:
1) La temperatura T(x,y,z) de esta sala constituye un campo
escalar.
2) La intensidad luminosa IL(x,y,z) de esta sala constituye un campo
escalar.
3) La densidad del aire ρ(x,y,z) de esta sala constituye un campo
escalar.
3.2. Representación de campos escalares
Se llama superficie isoescalar, equiescalar o de nivel al lugar
geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) en los que la función
escalar de punto toma el mismo valor.
En consecuencia, la ecuación de una superficie de nivel es:
f(x,y,z)= k = cte.
Ejemplo:
1)
Curvas de nivel de altura z = cte
2

3. 3.3. Gradiente de un campo escalar
Se llama gradiente de un campo escalar V en un punto al vector
∂V r ∂V r ∂V r
r
r
gradV = ∇V = i+ j+ k
∂x ∂y ∂z
que resulta de la actuación del operador nabla sobre la función
escalar V
r ∂r ∂r ∂r ⎛∂ ∂ ∂⎞
j+ k =⎜ , , ⎟
∇= i+ ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟
∂x ∂y ∂z ⎝ ⎠
Ejemplo: El campo escalar de la temperatura de la sala en este instante
de tiempo viene dado por la función T(x,y,z) = z2. El gradiente del campo
de temperaturas viene dado por:
∂T r ∂T r ∂T r r
r
r
gradT = ∇T = i+ j+ k = 2 zk = (0,0,2 z )
∂x ∂y ∂z
3.3. Gradiente de un campo escalar
Propiedades de grad V:
1) tiene sentido creciente de la función
V1
2) tiene la dirección de la máxima
variación de la función Grad(V)
3) es perpendicular a las superficies V0
equipotenciales
Ejemplo anterior: El gradiente del campo escalar de temperaturas de la sala en
r
r
este instante de tiempo es:
gradT = ∇T = (0,0,2 z )
1 y 2) La dirección del vector grad T es la del vector unitario (0,0,1) = eje z, en
la que crece la temperatura y en la que lo hace con mayor velocidad.
3) El vector (0,0,2z) es perpendicular a la superficie de nivel en cualquier punto.
En el punto (1,1,1) gradT=(0,0,2) es perpendicular a la superficie de nivel en
dicho punto dada por la ecuación: z2 = 1 que corresponde al plano z = 1.
3

4. 3.3. Gradiente de un campo escalar
gra d(V)
La derivada direccional representa la
velocidad de variación de la función dV/dr
por unidad de longitud en cualquier
dirección r
ur
dV/dr
r r
dV
= gra d V ⋅ u r
dr
Ejemplo anterior: El gradiente del campo escalar de temperaturas de la sala en
r
r
este instante de tiempo es:
gradT = ∇T = (0,0,2 z )
Para evaluar la velocidad de cambio de la temperatura por unidad de longitud a
lo largo del eje x hay que multiplicar grad T por el vector unitario en la dirección
del eje x (vector i). r
r
dT
= gradT ·i = (0,0,2 z )·(1,0,0) = 0
dx
3.4. Campos vectoriales
Si una magnitud física vectorial F es tal que su valor en un punto
P(x,y,z) depende de las coordenadas del punto en el que se mide, se
dice que es una función vectorial de punto, y se representa como:
r r r
r
F(x, y, z) = Fx (x, y, x) i + Fy (x, y, z) j + Fz (x, y, z) k
Se dice que en una región del espacio hay un campo vectorial
cuando en ella hay definida una función vectorial de punto para la
que a cada punto P(x,y,z) le corresponde un único valor de la
magnitud vectorial en un instante dado.
Ejemplos:
1) La velocidad del viento v(x,y,z) en el pasillo constituye un campo vectorial.
2) La distribución de fuerzas sobre un pilar F(x,y,z) constituye un campo vectorial.
3) La distribución de campo eléctrico en esta sala E(x,y,z) es un campo vectorial.
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5. 3.5. Representación de campos vectoriales
Lineas de campo son aquellas tangentes al campo vectorial en todos
sus puntos y vienen dadas por:
dx dy dz
= =
Fx Fy Fz
Ejemplos:
1) Líneas de campo eléctrico
en una carga puntual positiva +q
2) Líneas de campo eléctrico en una distribución
de una carga positiva +q y una negativa –q
3) Líneas del campo de velocidades de un fluido
alrededor de un cilindro
3.6. Circulación de un campo vectorial
Se define la circulación C del campo
F
vectorial F a lo largo de una curva entre los
A
puntos A y B como:
rr dr
B
∫ F • dr = C B ( F )
A
B
r
A
en coordenadas cartesianas se expresa:
∫ (F ⋅ dx + F ⋅ dy + F ⋅ dz ) = C
B
B
(F )
x y z A
A
Ejemplo: Dado el campo vectorial F = (2x,2y,2z) en coordenadas cartesianas, la
circulación del campo vectorial a lo largo de la recta y = 2x desde el punto
(0,0,0) al punto (2,4,0) vale:
(2x ⋅ dx + 8x ⋅ dx + 2z ⋅ dz ) = 5x 2 (0,0,0) = 20
(2,4,0)
C A (F ) = ∫
( 2, 4, 0 )
B
(0,0,0)
para la integración se ha considerado que y = 2x dy = 2dx
5

6. 3.7. Potencial de un campo vectorial
Si el campo vectorial F resulta ser un campo de gradientes de
una cierta función escalar de punto V(x,y,z) entonces la
circulación no depende del camino recorrido sino de los
puntos inicial y final.
r r
F = g r ad V B
C A ( F ) = ∫ dV = VB − VA
B
r r
B
C A ( F ) = ∫ gradV • dr
B A
A
Si se utiliza la función U= -V se tiene que:
B B
C A ( F ) = ∫ dV = ∫ − dU = U A − U B
B
A A
La función U se llama función potencial o simplemente potencial
del que deriva el campo vectorial F.
r r
r
F = −g r ad U = -∇U
3.7. Potencial de un campo vectorial
Las condiciones que tiene que cumplir el campo vectorial F(x,y,z)
para que derive de un potencial U(x,y,z) son:
∂Fy ∂Fz ∂Fx ∂Fy
∂Fx ∂Fz
= =
=
∂y ∂x ∂x ∂z ∂z ∂y
Ejemplo: Cálculo de la función potencial U del campo vectorial F
= (-2x,-2y,-2z).
1) ¿Deriva F de un potencial? Sí
∂Fy
∂Fx ∂Fy ∂Fz ∂Fx ∂Fz
= =0 = =0
= =0
∂x ∂z ∂z ∂y
∂y ∂x
2) ¿Cuál es la función potencial U?
∂U ∂U ∂U
∂U r ∂U r ∂U r
r r
− 2x = − , − 2y = − , − 2z = −
F = − gradU = − i+ j+ k
∂x ∂y ∂z
∂x ∂y ∂z
La función potencial de F es U(x,y,z) = - x2 - y2 - z2 + K
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7. 3.8. Flujo de un campo vectorial
Se define el flujo elemental dΦ del campo F a través de la
superficie dS como: F
dS
r r rr
dΦ = F ⋅ dS = F ⋅ n · dS n
El flujo total Φ del campo F a
través de la superficie S como la F
dS
integral del flujo elemental en toda la
superficie S n
rr rr
Φ S = ∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ n ⋅ dS
S S
signo del escalar Φ depende de la orientación elegida
3.8. Flujo de un campo vectorial
El flujo total Φ del campo F a través de la superficie S tiene
una interpretación mecánica. dΦ= F·dS es un volumen de base
dS y altura F·cosθ donde θ es el ángulo que forman el vector F
y el vector dS. El flujo total por tanto da el volumen total que
atraviesa la superficie S.
Ejemplo:
Líquido incompresible que fluye por una tubería de sección S
con una velocidad v. El producto v·S da la cantidad de líquido
(en volumen) que fluye por la tubería por unidad de tiempo en la
dirección del vector S. Por este motivo a la integral de superficie
de un vector F se le llama flujo del campo vectorial F a través
de la superficie S.
rr rr
Φ S = ∫ v ⋅ dS = ∫ v ⋅ n ⋅ dS
S
v
S S
7

8. 3.8. Flujo de un campo vectorial
Ejemplo: Cálculo del flujo total del campo vectorial E=(0,3,0) a
través de la cuadrado S del plano OXZ cuyos extremos son el punto
(0,0,0) y el punto (1,0,1).
La superficie considerada es un cuadrado de área S= 1 x 1 = 1
El vector normal a dicha superficie es el vector j = (0,1,0).
El flujo total viene dado por:
rr rr
Φ S ( E ) = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ n ⋅ dS =
S S
= ∫∫ (0,3,0) ⋅ (0,1,0) ⋅ dS = ∫∫ 3 ⋅ dS =
S S
= 3∫∫ dS = 3S = 3·1 = 3
S
3.9. Divergencia de un campo vectorial
Dado un campo vectorial F se define la divergencia de F como
el flujo del campo F a través de la superficie dS que contiene un
volumen elemental dV en el que está el punto P, dividido por el
volumen dV.
rr
r rr 1
∂V →0 ∂V ∫∫
divF = ∇ ⋅ F = lim FdS
S
La divergencia de un campo vectorial F en un punto es el flujo
de dicho campo por unidad de volumen alrededor de dicho
punto.
r dΦ
div F =
dV
y en coordenadas cartesianas vale:
r ⎛ ∂F ∂Fy ∂Fz ⎞
div ⋅ F = ⎜ x + + ⎟
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
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9. 3.9. Divergencia de un campo vectorial
La divergencia de un campo vectorial F en un punto P expresa
cómo el campo diverge respecto de dicho punto; es decir, la
divergencia es un escalar que da una idea de cómo el campo
entra o sale de un punto dado.
Si la divergencia de F en P es positiva entonces el campo F sale
del punto P. Si la divergencia de F en P es negativa entonces el
campo F entra hacia el punto P. Si la divergencia de F en P es
nula entonces el campo F gira (no entra ni sale de P) alrededor del
punto P.
Ejemplo: Dado el campo vectorial F = (2x,3y,4z) en coordenadas
cartesianas, la divergencia del campo vectorial vale:
r r r ⎛ ∂F ∂F ∂F ⎞
div ⋅ F = ∇·F = ⎜ x + y + z ⎟ = 2 + 3 + 4 = 9
⎜ ∂x ∂z ⎟
∂y
⎝ ⎠
3.10. Rotacional de un campo vectorial
Dado un campo vectorial y siendo un entorno superficial del
punto P limitado por la curva cerrada C, se define el
rotacional del campo F en P al vector:
rr rr
(rot F) ⋅ dS = ∫ F ⋅ d r
C
que extendido a una superficie finita resulta: No puede ser!!!
r
r
r r
∫∫ (rot F) ⋅ dS = ∫ F ⋅ d l
S C
9

10. 3.10. Rotacional de un campo vectorial
El flujo del rot F a través del
elemento dS es igual a la
circulación elemental del campo F a
n
lo largo de la curva cerrada C que F
cierra el contorno, y en el sentido
positivo indicado en la figura.
dS
La expresión del rotacional del
campo vectorial F en coordenadas
S
C
cartesianas es:
r r r
i j k
∂ ∂ ∂
rrr
rot F = ∇ × F =
∂x ∂y ∂z
Fx Fy Fz
El rotacional de un campo vectorial F en un punto P expresa la
tendencia del campo F a girar alrededor de dicho punto.
3.10. Rotacional de un campo vectorial
Propiedad del rotacional: El rotacional del gradiente es nulo.
r
r r
i j k
∂ ∂ ∂
rr
rot ( gradU ) = ∇ × (∇U ) = =
∂x ∂y ∂z
∂U ∂U ∂U
∂x ∂y ∂z
⎡ ∂ 2U ∂ 2U ⎤ r ⎡ ∂ 2U ∂ 2U ⎤ r ⎡ ∂ 2U ∂ 2U ⎤ r
=⎢ − ⎥i + ⎢ − ⎥ j + ⎢ ∂x∂y − ∂y∂x ⎥ k = (0,0,0)
⎣ ∂y∂z ∂z∂y ⎦ ⎣ ∂z∂x ∂x∂z ⎦ ⎣ ⎦
Consecuencia: Si un campo F es irrotacional (rot F= 0) entonces
deriva de un potencial U, y se dice que el campo F es conservativo.
r
r r
i j k
Ejemplo: Dado el campo vectorial F =
coordenadas rot F = ∇ × F = ∂ ∂ ∂
rrr
= (0,0,0)
(2x,3y,4z) en
∂x ∂y ∂z
cartesianas, el rotacional del campo
2x 3 y 4z
vectorial vale:
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11. 3.11. Laplaciana de un campo escalar
A la divergencia del gradiente de un campo escalar U se le llama
laplaciana del campo escalar U
rr r
r
div ⋅ (g r adU) = ∇ ⋅ (∇U) = ∇ 2 U = ΔU
que en coordenadas cartesianas se expresa como:
∂2 U ∂2 U ∂2 U
ΔU = 2 + 2 + 2
∂x ∂y ∂z
Ejemplo: El campo escalar de la temperatura de la sala en este instante de
tiempo viene dado por la función T(x,y,z) = z2. La laplaciana del campo de
temperaturas viene dada por:
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
ΔT = + + = 0+0+2 = 2
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
3.12. Campos conservativos
Un campo vectorial se dice que es conservativo cuando para
todo par de puntos A y B la circulación entre ellos depende
únicamente de la posición de A y B y no del camino recorrido
entre ellos.
C A = C'A = C''A
B B B
Consecuencia: Un campo vectorial es conservativo si y sólo si
la circulación a lo largo de cualquier curva cerrada es cero.
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12. 3.12. Campos conservativos
Si un campo vectorial F es el opuesto del gradiente de un campo
escalar U, entonces F es conservativo ya que la circulación del
campo F es independiente del camino y sólo depende del valor de
la función U en los puntos inicial y final.
⎛ ∂U ∂U ∂U ⎞
r r
F = − gra d U = ⎜ −
⎜ ∂x ,− ∂y ,− ∂z ⎟
⎟
⎝ ⎠ B
C A = ∫ − dU = U A − U B
B
r r A
B
C A = ∫ − gradU • dr
B
A
Consecuencia: Un campo es conservativo si y sólo si es irrotacional
(ya que entonces la circulación a lo largo de una curva cerrada es
siempre cero).
3.12. Campos conservativos
Dado un campo vectorial F las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
– F es conservativo.
– Existe U tal que F= -grad U
– F es irrotacional
rr
∫
– F ·dr = 0 para cualquier curva cerrada.
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