1. ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР
Серия математическая:
25 (1961), 477—498
Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
ОБ ОДНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ
В работе рассматривается вопрос об оптимальном достижении
управляемой точкой малой окрестности другой, стохастически движу­
щейся точки. В связи с этим решается задача с малым параметром для
параболического дифференциального уравнения с частными производ­
ными.
§ 1. Постановка задачи
Точку z фазового пространства R переменных z1, . . ., zn назовем
управляемой, если ее движение в пространстве R описывается системой
обыкновенных дифференциальных уравнений
Z* = f (Z . . . , Zn, U . . ., О , I = 1, . . . , Щ (1)
где и = (и1, . . .,'и г ) — управляющий параметр.
Точку Q фазового пространства R назовем случайной, если процесс
ее движения есть марковский процесс. Как известно [см. (*)], вероят­
ностную характеристику этого процесса дает функция р (о, х, %, у),
равная плотности вероятности того, что случайная точка Q, находящаяся
в момент а в положении х, в момент т будет находиться в положении у.
Функция р (сг, х, т, ?/), как функция первой пары переменных а и х,
удовлетворяет параболическому дифференциальному уравнению второго
порядка — первому дифференциальному уравнению А. Н. Колмогорова
| £ + av (в, х) -р^ + Ь1(б,х)^- = 0 (2)
и является фундаментальным решением этого уравнения. Таким обра­
зом, решение уравнения (2) F (а, х), имеющее наперед заданное началь­
ное значение Fx (x):
F (о, х) - Fx (х), а -+ т, (3)
дается формулой
F(o,x)=^p(o,x,x,y)F1t!/)dy. (4)
(В этой формуле, как и всюду в дальнейшем, если специально не ука­
зана область интегрирования, интегрирование ведется по всему про­
странству R.)
Отметим еще одно важное свойство функции р (о, х, т, у). Пусть тре­
буется решить неоднородное параболическое уравнение, соответствующее

2. 478 Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
уравнению (2):
+ а (0 Х)
Ъ ' Ш? + Ь (<Т' х) ^ = Р (
°' х) (5)
при нулевом начальном условии. Тогда искомое решение дается формулой
и{о, х, т) = —^ds^p (о, х, s, у) Р (s, у) dy. (6)
а
В настоящей работе мы будем предполагать, что правые части системы
уравнений (1), описывающей движение управляемой точки z, непрерывно
зависят от всех переменных и непрерывно дифференцируемы по z1, . . ., zn
Относительно же коэффициентов уравнения (2), описывающего движе­
ние случайной точки Q, мы сделаем следующие предположения:
а) коэффициенты а^ (сг, х), Ь1 (а, х), г, / = 1, . . . п, определены и
непрерывны при а > О и при любых x^R;
б) все собственные значения матрицы || а^ (а, х) при этих значениях
аргументов ограничены сверху и снизу положительными константами;
в) коэффициенты Ьг (а, х) при возрастании J x возрастают не бы­
стрее, чем е|х1.
Итак, пусть в пространстве R движутся управляемая точка z и слу­
чайная точка Q. Пусть вместе с управляемой точкой z движется некоторая
ее окрестность 2 2 , например шар или, вообще, область, ограниченная
произвольной кусочно гладкой поверхностью, кусочно гладко меняющей­
ся вместе с z.
Если задан закон управления точкой z, т. е. если параметр и задан
как кусочно непрерывная функция времени и — и (/), то система диф­
ференциальных уравнений (1) однозначно определяет непрерывное дви­
жение точки z в пространстве R. Следовательно, если заданы начальные
положения управляемой точки z и случайной точки (?, то однозначно
определяется вероятность встречи точки Q с окрестностью 2 Z на отрезке
времени < <^ t < ; т или на бесконечном отрезке времени 0 < ; t <C ос, или
т
вероятность встречи с тем или иным весом. Эти вероятности являются,
таким образом, функционалами управления и (t), и естественно возни­
кает задача о таком выборе управлений и (t) точкой z, при которых эти
функционалы достигают экстремальных значений.
Чтобы точно формулировать задачу, введем в рассмотрение неотри­
цательную и не превосходящую единицы функцию h (t), определенную
на всей оси t. Обозначим через tyu (а, х, т) вероятность того, что случай­
ная точка Q, находящаяся в момент времени а в положении х, на отрезке
времени а <^ t <^ x встретится с окрестностью 2 2 управляемой точки z
(при этом предполагается, что начальное положение точки z, равное
z (а), задано). Ставится следующая задача: выбрать управление и (t),
точкой z таким образом, чтобы функционал
со
/ =h(s)~[qu(o, х, s)]ds (7)
О
достигал максимума.

3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 479
Управление и (t) и соответствующую ему траекторию z (t) системы (1),
обеспечивающие максимум функционала (7), будем называть оптималь­
ными. Таким образом, решение задачи сводится к принципу максиму­
ма [см. ( 2 )], если только функционал (7) известен как функционал от
и (0, z (t).
Само собой разумеется, что функционал (7) зависит также от размеров
и формы окрестности 2 2 управляемой точки 2. Как мы увидим
ниже, для его вычисления нам потребуется решать граничную задачу
для уравнения (2). При этом нас будет интересовать эффективная, хотя
бы и приближенная, формула для этого решения. Оказывается, что такую
формулу можно получить, если размер окрестности 2 2 считать малым*
Но задача «накрыть» малой управляемой окрестностью случайную точку
Q как раз и является естественной.
Итак, в настоящей работе окрестность 2 2 мы будем считать малой.
Д л я простоты мы будем предполагать, что 2 2 есть ^-мерный шар радиуса
8 с центром в точке z. Однако внимательный читатель сможет увидеть,
что все наши рассуждения и сам результат почти не изменятся, если под
2 Z понимать произвольную область малого «радиуса», ограниченную
произвольной кусочно гладкой поверхностью, кусочно гладко меняющей­
ся вместе с z.
§ 2. Сведение вычисления функционала I к решению граничной
задачи для уравнения Колмогорова
Прежде чем указать подход к вычислению функционала (7), сделаем
несколько замечаний, относящихся к произвольному марковскому про­
цессу.
Выделим в пространстве R фиксированную область Г, ограниченную
(п — 1)-мерной кусочно гладкой поверхностью S. Обозначим через
q (о, х, т, у) плотность вероятности точки Q, находящейся в момент а
в положении х, быть в момент х в положении ?/, не заходя при этом на
протяжении времени о <J t <^ т в область Г. Очевидно, что
q (о, х, т, у) < р (а, х, т, у),
(8)
l i m q (а, х, т, у) dy = lim р (а, х, т, у) dy = 1.
Далее, известно, что функция q (а, х, т, у) вне области Г является
фундаментальным решением уравнения (2), а при приближении точки
х к границе области Г справедливо соотношение
q (а, х, т, у) dy -> 0 при х -> х0£ S. (9)
д—г
Пусть теперь область Г не фиксирована, а движется вместе с t, т. е.
имеется однопараметрическое семейство областей Г*. Обозначим через
q (о, х, т, у) плотность вероятности случайной точки Q, находящейся
в момент времени а в положении х, быть в момент т в положении г/, не

4. 480 Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
встречаясь на протяжении времени а <^ t <^ x с движущейся областью
Г*. Тогда, очевидно, функция
?(<т, х, т, y)dy (10)
является решением уравнения (2) и удовлетворяет следующему гранич­
ному значению:
q (а, #, т, у) dy -»0 при ж -» Sa. (11)
Теперь мы можем указать подход к вычислению функционала (7).
Пусть движущаяся область Г* есть шар радиуса е с центром в управляе­
мой точке z (t). В соответствии с § 1 будем обозначать его через S z щ.
Положим
У(о,<х, 1) = i — q(o, х, r,y)dy. (12)
•" Непосредственно из определения следует, что функция г|) (а, х, т)
есть вероятность того, что случайная точка Q, находящаяся в момент
0 в положении х, на отрезке времени о <^ t ^ т будет «накрыта» окре­
стностью 2 2 (о управляемой точки z. Следовательно, функция я|) (а, ж, т),
определенная формулой (12), есть та же самая функция, которая фигу­
рирует в функционале (7).
Таким образом, для вычисления функционала (7) мы должны решить
уравнение
дв
' дх%дх3 У
' дх1 Х
'
при условиях:
ф (а, х, т) - 0, (14)
|) (а, х, т) — 1 при ж -» £ а .
» (15)
Мы покажем, что решение задачи (13), (14), (15) представляется в виде
ф (а, х, т) - е п - 2 ¥ (а, х, т) + о (е п - 2 ), (16)
и получим эффективную формулу для W (а, х, т), представляющую глав­
ную часть вероятности я|) (о, #, т).
§ 3. Некоторые предварительные оценки
В настоящем параграфе мы докажем ряд вспомогательных неравенств,
связанных с фундаментальным решением уравнения (2). Кроме того,
мы решим внешнюю задачу Дирихле для многомерного уравнения Лап­
ласа вне эллипсоида Se
a i 2 + . . • + Kln2 - е2 (17)
с единичным граничным значением. Результаты этого параграфа элемен­
тарны, однако мы выделяем их в специальный параграф, чтобы в после­
дующем можно было на них ссылаться не прерывая основных доказа­
тельств.

5. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 481
Обозначим через g (о, £, т, ц) фундаментальное решение уравнения
теплопроводности
Как известно, оно имеет вид:
g (в, Е, ?, Т]) = п.е 4(т-а)
Т
[2л; (t с- а ) ]
Положим, далее,
/•(6)= К £ 1 2 + . . . + Г 2
•'''* (20)
и введем следующие обозначения:
©А. (о, Е, т) - ^g (or, lf т], t)—L-.rfr,, (21)
Q, (a, E, t) = U * U (*. E, *, Л) -rr7d4. (22)
Чтобы интегралы, стоящие в правых частях формул (21) и (22), имели
смысл, мы, конечно, должны считать, что к < п. -; ; ^
Нам понадобятся следующие три неравенства, оценивающие фулШщи
©л (а, |, т) и Й* (а, |, т) при г (|) = е:
°>л (а> Е, t) |г (5)==Е < - ^ - при т — о > 8, (23)
©л (сг, Е, т) |г {1)==е < — при т — а < 8, (24)
Q*K6,t)|rR)=.<-^r. (25)
Здесь С — константа, не зависящая от е, а б (е) -» 0 при е -» 0.
В ы в о д н е р а в е н с т в (23), (24). Легко видеть, что •
со* (о, Е • • • , Еп, т) = ©л (сг, г (Е), 0, . . . , 0, т) =
(2Ь)
=— — К 2
'<~> - ^ ч - ;1
[2я(т —о)] ' '
Положим
т)* = г (Е) ж*, т — а = / 2 (Е) .Л
Тогда из (26) получим:
_1
со* (a, g, т) = - J — F (0, (27)
где
(.х*-1)Ч--.-+*п3 ,
2
(2яг)

6. 482 Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
Очевидно, что
V (0 -> 1 при t -> 0. (29)
Для дальнейшего отметим, что V (t) при больших значениях t имеет сле­
дующую асимптотику:
rv> (30)
'°{J)
Действительно, положив в формуле (28)
2 J/Iyi = х (31)
получим:
..+1/ n 2 J
V(t) = -^e
t *
U ^/
А)"* (32)
(К — константа), откуда и следует (29). Итак, имеем:
щ
1°> *>х) <i*®v {*т) • (33)
Но легко видеть, что
V(1^) < Me) при т - о > г, (34)
^ ( т ) < С при T f f
- <6> ( 35 )
откуда и вытекают неравенства (23), (24).
В ы в о д н е р а в е н с т в а (25). Мы имеем:
Q* (а, 1 . . ., Г , т) - О* (а, г (*), 0, . . ., 0, т) =
J I JL г*(т|) '
[2я(*-<з)]2
Отсюда, полагая rf = г (£) # s — о = г2 (£) г, получим:
т—о
Qft (a, gf т) = _ < ? F W Л| (36)
г (I) - <}
где V (t) — функция, определенная формулой (28). В частности,
т—о
£2
«* (а, £, т) | r №)=t = - ^ jj 7 ( 0 Л. (37)
О
Если теперь учесть асимптотику функции V (t) при больших значениях
t (см. формулу (30)), то сразу найдем:
т—о
£2
^ F (t) dt < С In в при ft = 2,
о
^ К (0 Л < С при /с > 2,
откуда и следует неравенство (25). Одновременно мы установили, что
Q»(a, £, т ) < - £ - . (38)
г (S)

7. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 483
Замечание к неравенствам (23), (24), (25). Пусть
р (б, | , т, ц) — фундаментальное решение общего уравнения Колмогорова
~ + а** (а, 1)-^~ + Ъ1 (а, I) ~ = О. (39)
v
да v » *>/ Q^IQ^O д1г
Исходя из этого фундаментального решения, определим функции
<ол (а, £, т) и йл- (сг, £, т) соответственно по формулам (21), (22), подста­
вив в них вместо q (а, £, т, и) функцию /? (а, £, т, т]). Оказывается, что
для так определенных функций о^ (а, £, т) и й* (о, £, т) справедливы те
же неравенства (23), (24), (25). Действительно, в теории параболических
уравнений доказывается, что при тех ограничениях на коэффициенты
уравнения (39), которые мы предположили выполненными в § 1, фунда­
ментальное решение уравнения (39) мажорируется фундаментальным
решением некоторого уравнения теплопроводности, т. е. для него имеет
место неравенство:
с -т^-1
р (а, £, т, г)) < —j- e -*-* ,
2
(?-с)
где у — константа. Эта оценка обеспечивает возможность буквального
повторения вычислений, проведенных при выводе неравенств (23), (24),
(25).
Для дальнейшего нам потребуется также решить внешнюю задачу
Дирихле для уравнения Лапласа
U + ...+ 4 = ° (40)
оря единичном граничном значении на эллипсоиде Sz (17).
Мы докажем следующее предложение:
ЛЕММА. Исчезающее в бесконечности решение внешней задачи Дирихле
для уравнения (40) с граничным условием
^(IJIfes^1. (41)
где Sz — эллипсоид (17), имеет вид
2
^(I) = e " - - ^ + S(!;e), (42)
еде а — положительная константа, однозначно определяемая размерами
эллипсоида (42), а г (|) = Vx2 + . . . + f™2. При этом функция л (£, е)
л/ж г (£) < 1 удовлетворяет следующим неравенствам:
я(1г)<М-^^, (43)
— я(£, е) < ^ ^ г - = - (44)
{М — константа).

8. 484 Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
Доказательство. Будем искать решение задачи (40)* (41)
в виде
v() = ^~2~1^Ж + S (¥, в), (45)
г "(g)
где а — пока не определенная константа, а л (£, е) — потенциал двой­
ного слоя, создаваемый эллипсоидом S£ в точке £, с не известной пока
плотностью (х (ц) (через ц мы обозначаем координаты точек, лежащих
на эллипсоиде Зг). Так как л (|, е) — решение уравнения (40), то оба
слагаемых в правой части формулы (45) при любом значении константы
а являются решениями уравнения (40). Таким образом, функция v (£),
представляемая формулой (45), является решением уравнения (40).
В силу хорошо известного свойства потенциала двойного слоя, граничное*
условие (41) дает:
ле(ц, в) = 1 - a - g ^ - (46>
Г (Г))
для любого т]б^£» где через ле (г), е) обозначен предел функции л (£, е)
при стремлении точки £ к точке г поверхности Sz извне. Но так как
лГе(т), е) = — 2ni (г|) + л0 (т), 8), (47)
где % (т], е) — значение л (£, е) в точке ц поверхности SZ1 то из (46) полу­
чаем:
-2л|х й ) + я 0 (ч) = 1 - « Ч & • (48)
Известно, что
M v ) = U(ii) п-^- Ф , ^ , (49)
J Р (м> 4i)
где ф — угол, составленный направлением нормали в точке гц с радиу­
сом-вектором р (т), T]i), проведенным из точки гц в точку т].
Введем обозначения:
Z
t
j 1
2^ /"" ~
~ !
^ ft' Л1) = 9 F
Р (TJ» MI)
C0S
Ф
n-i ,- - , >
(50)
Тогда из условия (48) мы получаем неоднородное интегральное уравнение
для неизвестной плотности i (ц):
р(ц)=к (ц^цг) |i Ы dSz + ф (л). (51)
Уравнение (51) есть уравнение Фредгольма второго рода. Согласно изве­
стной теореме Фредгольма, для его разрешимости необходимо и дост'а-

9. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 485
точно, чтобы свободный член был ортогонален ко всем собственным функ-
циям сопряженного однородного интегрального уравнения
(* —
V(T,)= )K(41,4)ii(41)dSt. (52)
iE
Известно также [см. ( 3 )], что если ядро К (п, %) дается формулой (50),
то уравнение (52) имеет только одну собственную функцию. Обозначим
эту функцию через v 0 (r) и будем считать ее известной.
Условие ортогональности дает возможность определить константу а.
Запишем его:
:
•••'•' - 1
v0(n)d££-0. (53)
) [ r n - 2 (t])
Отсюда следует:
I Vo(t|) dSt
a = —
."i-JStfi. ,..
В полученной формуле константа а зависит от е, но зависимости эта лишь
кажущаяся. В самом деле, обозначим через S эллипсоид
2
W + . . . +КЦП2 = 1, — . - iiv • - : - . , (54)
~ч 1
получающийся из эллипсоида 6е увеличением всех осей в — раз. Без труда
обнаружим, что
Vo(n)dS
(55)
С Vo (Л)
Уо(Л) r
jT
dS
г^(п)
S
Таким образом, а не зависит от е и полностью определяется размерами
эллипсоида (54).
Итак, функция v (g), даваемая формулой (45), при а, определяемой
по формуле (55), является решением задачи (40), (41). Остается лишь
проверить выполнение неравенств (43), (44). Но они непосредственно сле­
дуют из определения потенциала двойного слоя я (£, е):
1
J р {1, л)
§ 4. Вычисление функционала I в случае, когда уравнение
. Колмогорова имеет^постоянные коэффициенты
В этом параграфе вероятность р (о, х, т), а следовательно, функцио­
нал (7) будут вычисленыГдля одного важного частного случая, когда ч урав­
нение (2) имеет постоянные коэффициенты. Мы б^дем предполагать, что
размерность фазового пространства R больше двух: я > 2.

10. 486 Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
Итак, мы будем решать уравнение
где ai;>, Ъ{ — постоянные коэффициенты, при начальных и граничных
условиях (14), (15), которые в дальнейшем будем записывать в виде:
г|) (т, х, х) = О, (57)
ф(а, ж, т)|„ = 1, (58)
^z (а)
где %Z(<J) —сфера радиуса 8 с центром в точке z (a).
Прежде всего перейдем от этой задачи к задаче с граничным условием
на сфере радиуса Б С центром в начале координат. Для этой цели в про­
странстве (z, t) введем новые координаты по формулам
z = £ + z (t), о < * < s, (59)
так, что
х = I + z (а), у - 1 + z (s).
1 (60)
При таком преобразовании координат сфера 22(о) перейдет в сферу Sz;
ll2 + . . . + Ъп* = в2. (61)
Положим
z
Ф(а, £, т) = я|) (а, £ + И> т )- (62)
Тогда для функции ф (а, £, т) мы получаем дифференциальное уравнение
^ + а ^_4Х+(6{-/(а))-^=0 (63)
ш условия:
Ф (т, 6, т) - 0, (64)
Ф(а, I, т)| 5 е = 1. (65)
Чтобы решить уравнение (63) при условиях (64), (65), нам потребу­
ются вспомогательные построения.
Нашим первым шагом будет конструкция некоторого специального
решения уравнения
Для того чтобы получить это специальное решение, перейдем с помощью
линейного преобразования от координат J-1, . . ., £п к координатам
£ . . ., £п, в которых уравнение (66) приведется к виду
§+Дф 0 = 0, (67)
где А — оператор Лапласа. При такому преобразовании координат сфера
Sz перейдет, очевидно, в эллипсоид Sz
ххГ + . . . + к¥* = е2, (68)
ij
где Хъ . . ., Кп суть собственные значения матрицы || a |.

11. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 487
Обозначим через g (а, £, т, rj) фундаментальное решение уравнения (67):
g (о, I т, ч) = - ! z exp { - ^ J l j . (69)
[2я (т - а)] 2
Положим
ф0 (о, f, т) = е"-* _ _ ^ _ + я (f, е) _
- g (а, I , т, л) Г е"-* ^ г - + л (л, в) 1 £/ч, (70)
где а — константа, определенная формулой (55), а я (1, е) — потенциал
двойного слоя, создаваемый эллипсоидом Sz в точке £. Перепишем фор­
мулу (70) в несколько ином виде:
ф0 (а, I, т) = ф0 (а, I , т) + бф0 (а, £ т), (71)
где
Ф (а, £: т) = е - 2 _ ^
о _^ g (а> Б> Tj ц) _Л_^ d (72)
Г (g) Г " (Т|)
Очевидно, функция ф0 (а, £, т) является решением уравнения (67)
м удовлетворяет начальному условию
Фо(т, I, т) = 0. (73)
Перейдем теперь от координат £', . . . ,"|п вновь к координатам I1, . . . , £п,
и пусть при этом функции
•ф0(а, | , т), ф0(а, |, т), бф 0 (а, |", т), g(o, f, t, TJ)
перейдут соответственно в функции
qT0(cr, | , т), ф0(сг, £, т), бф 0 (а, £, т), g(<x, £, т, TJ).
Нам впоследствии понадобится явное выражение для функции
<р0(а, £, т). Чтобы выписать его, надо знать, как запишутся в координа­
тах £ . . . , 1п функции г(1) и g(a, £, т, т]). Это легко выяснить. В са­
мом деле, обозначим через (щ элементы матрицы, обратной матрице ||ai;"||,
так что
aV* = д£. (74)
Тогда легко можно убедиться, что
(-п — g | = [ay (-п- — Г) (rj^ — i J )l 2 •
Учитывая еще, что
dt = VK • • • К dr], (76)

12. 488 Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
мы получим для функции ф0 (а, £, т) следующее явное выражение:
а
Фо (о, £, т) = *™ ^ - J g(а, £, т, т,) 8 " ' : ' ' К * * - * * ^ (77)
2 2
[*#'] K^W]
где
g(а, g, т, I]) = ^ ехр 1 4(т _б) | . (78)
[2я(т-с)]2
Итак, доказана следующая
ЛЕММА 1. Функция
Фо(<*> £, t) = ф0(а, £, т)+бф 0 (а, £, т),
гЗе ф0 (сг, £, т) определена формулой (77), является решением^ уравнения*
(66) а удовлетворяет нулевому начальному условию
Ф0(т, £, т) = 0. (79).
Следует отметить, что функция ф0 (а, £, т) не равна единице на сфере
Sz. Однако, как будет выяснено дальше, ее граничное значение в некото­
ром смысле лишь несущественно отличается от единицы.
Теперь уже все подготовлено, чтобы решать уравнение (63) при усло­
виях (64), (65). Сначала мы найдем некоторое специальное решение урав­
нения (63), удовлетворяющее лишь нулевому начальному условию (64).
Оценив затем граничное значение этого специального решения, мы уви­
дим, что оно лишь несущественно отличается от единицы. Отсюда мы
выведем, что и само это специальное решение лишь несущественно,
с точностью до величин более высокого порядка малости по е, отличается
от точного решения задачи (63), (64), (65). После этого полученное спе­
циальное решение будет упрощено путем отбрасывания некоторых чле­
нов и, таким образом, мы получим приближенное решение задачи (63),
(64), (65). Перейдем к осуществлению этой программы.
Будем искать специальное решение уравнения (63), удовлетворяющее
условию (64), в виде
Ф (<т, g, т) - фо (а, 6, т) + ф! (а, £, т), (80)
где фо (сг, £, т) — только что построенное специальное решение уравне­
ния (63), удовлетворяющее условию (64), а фх (а, £, т) — пока не извест­
ная функция. Непосредственно проверяется, что фх (сг, £, т) должна
удовлетворять неоднородному параболическому уравнению
&. + а н - i , + [bl - 7}' (о)] - % = _ [ & * _ z* (о)] а Ф«( д '£' т > (81)
и начальному условию
Ф1 (т, £,. т) = 0. (82)

13. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 489
1Решение задачи (81), (82) во всем пространстве В с помощью формулы,
аналогичной формуле (6) § 1, очевидно, невозможно, так как правая часть
уравнения (81) при £ = О имеет полюс порядка п, получающийся при
дифференцировании функции я (£, г). Однако эту трудность можно обой­
ти, так как нас интересует решение ф1 (а, £, т) лишь вне шара, ограни­
ченного сферой Se. Для этого рассмотрим функцию q (a, х, s, у), введен­
ную в начале § 2 и равную плотности вероятности того, что случайная
точка Q, находящаяся в момент времени а в положении х, в момент т
находится в положениии у, не встречаясь при этом на протяжении вре­
мени а <; t ^ s с шаром, ограниченным сферой 2 Z (o радиуса г с центром
в управляемой точке z (t). Очевидно, функция
q (or, Б, s, ц) = q (a, I + z (а), s, т) + z (s)) = q (а, х, s, у) (83)
см. формулы (59), (60)) является вне сферы Se фундаментальным реше­
нием уравнения (63), удовлетворяет граничному условию
Jg(cr, g, s, r)dv) ^ -0, (84)
ж решением задачи (81), (82) будет функция
ф2 (о, g, т) Л tf Л ? (<r, I, s, т|) [6* - **' (5)] ^ о ^ ^ т ) dt), (85)
'а 4 *»
где i?£ обозначает дополнение в й к шару, ограниченному сферой Sz.
Очевидно, что
ф! К S *) |^6S£ - 0.
»
Таким образом, нами получена следующая
ЛЕММА 2. Функция
Ф(о, £, т) =ф 0 (а, £, T)+(^(cr, £, т), (86)
где ф0 (о, £, т) определена формулой (70), а фа (а, £, т) — формулой (85),
является решением уравнения (63), удовлетворяет нулевому начальному
условию Ф (т, £, т) = 0 и имеет те же граничные значения на сфере Ss,
что и функция ф0 (<т, £, т).
Теперь мы докажем, что функция Ф (о, £, т) вне сферы радиуса г0
(т*0 — любое конечное, не зависящее от 8 число) аппроксимирует решение
задачи (63), (64), (65).
Доказательство этого факта базируется на одной лемме об оценке
решений параболического уравнения. Сформулируем эту лемму.
ЛЕММА 3 (об оценке решений параболического уравнения). Пусть
>и (а, g, т) — решение параболического уравнения
*L = _ а и ( 0 , 1)-^U-bl(о, l)^^L(и), (87)

14. 490 Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
удовлетворяют^ условиям:
и(т, £, т) = 0, (88>
и (в, £, т) | адве = W(a, т), (89)
где
fС при х — а < е,
VF(6, т ) < х / . ^ (90>
v у v
^ 16(e) л/? и х — 0 > е '
(С — константа, 6 (е) -* 0 л/ж 8 -» 0). Тогда для решения и (а, £, т)
справедлива следующая оценка:
| и (а, £, т) | < A (£, е) + 6 (8) х (а, £, т), (91).
где А (£, е) — положительная функция, имеющая при | £ j > г0 порядок
о (8П~2), а л/(сг, |, т) — решение уравнения (87), имеющее при а = т нуле­
вые начальные значения и принимающее на сфере $г единичное значение.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим
г/; (а, т) = г^ (а, т) + га2 (а, т), (92),
где функции WX (а, т), w2(a, х) определены следующим образом:
7
_ (С при х —а < е,
^1 (<*, t) = п . (93>
14 ; v
(0 при х — ог> 8, '
_ f0 при х — а<Г 8,
^>(а, т) = L / 4 ^ (94>
"V ' ' 16(8) ПРИ Т — 0 > 8.
Решения уравнения (87), имеющие нулевые начальные значения и крае­
вые значения, равные w(a, t), w1(a, т), w2 (0, т), обозначим соответствен­
но через и (а, | , т), ui (а, £, т), и"2 (о, £, т). Очевидно,
и (а, £, т) = щ (а, |, т) + и, (а, £, т). (95>
На основании теоремы о максимальном значении для решений пара­
болических уравнений, решение и (а, £, х) задачи (87), (88), (89) оцени­
вается следующим образом:
и (а, £, т ) < й ( а , £, т). (96>
Оценим отдельно функции их (а, £, т) и м2 (о, £, т). Для т (а, | , т) оцен­
ка получается из той же теоремы о максимальном значении решения пара­
болического уравнения:
Мог, Б, т ) < 6 ( е ) х ( а , ё, т). (97)
Для получения оценки функции Mj_(a, £, т) потребуются более тонкие
рассуждения. Прежде всего оценим ги (о, £, т) при т — a < s.
Положим
Т О - * ^ (98).

15. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 491
где К — константа, К ^> С. Будем теперь искать решение уравнения
(87) с начальным значением, равным у (£), и с граничным значением на
сфере SE1 равным К, в виде
v(o, £,,т) = Y(g)-i- v0(o, I, r). (99).
Тогда для функции v0 (a, £, т) получается неоднородное уравнение
%-+а^(р, g ) ^ + & > , E)-§-=L[T(g)b (ЮО)
которое мы должны решить при нулевых начальных и нулевых гранич­
ных условиях. Такое решение, как мы знаем, вне сферы S£ дается форму­
лой:
v0(a, £, т ) = — ds q(e, £, s, ц)Ь [т(г))Ыт]. (101)
Итак,
v(o, £, т) = г (|) — ^ с?5 [ q(e, I 5, Tj)L[Y(Ti)]rfT|. (102)
Очевидно,
й 2 (а, £, т ) < г ? ( а , £, т). (103)
Нам остается, таким образом, оценить лишь функцию v (с>, £, т) при,
| g j >• г0 и т — а <^ е. Заметив, что
^[тШО* 1 - 1 rn+i(E) r n(g)j
(104V»
где У11? /I2 — достаточно большие константы, и принимая во внимание
неравенство
q(o, | , т, т ] ) < / ? ( а , | , т, г)), (105)'
из формулы (102) получаем:
I v (a, g, т) ; < у (£) + ^ dv р (a, g, 5, rj) - ^ Т Г у ^ +
+ ds U ( a , g, * , T , ) - ^ l ? - r f T | . (106).
Интегралы, стоящие в правой части неравенства (106), обозначим соот­
ветственно через 1г, 1.2 и оценим отдельно их величины. Мы имеем:
Л < Л х е " - 2 - ' ^ as f ^ (a, £, <- !]) — i
,, dr =
r
i «i '~ w
= Л! • e"-2-^ Jrf*.(B„_V (a, ^ , s ) т о ( e " ' 2 ) , (107),
где 0 <^ v <^ 1. Отсюда, принимая во внимание неравенство
co,j_v(a, £, s)<" •— г

16. 492 Б. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
находим:
т
1г < А1 ~^~~ 8-2- [ds+O (8-2). (108)
г (Е) J
Следовательно, при т — о <; 8 и | £ | > г0
Л « о (е^-а). (109)
Аналогично получим, что при т — о <^ 8 и | £ | У> г0
12^0 (8^2). (НО)
Таким образом, функция v (a, £, т), мажорирующая на границе сферы
£ £ решение 1гх (а, £, т), при | £ | > г0 и т — а ^ 8 имеет порядок о (еп~2).
Отсюда следует, что и само решение их (а, £, т) при | £ | > г0 и т — cr ^ e
имеет порядок о (&п~2). Несколько изменяя предыдущее построение,
можно убедиться, что такая же оценка для щ (о, £, т) имеет место и при
т — а ^> е. Лемма доказана.
Теперь мы можем доказать, что функция Ф (а, £, т), фигурирующая
в формулировке леммы 2, вне сферы любого конечного радиуса с точно­
стью до величин порядка о (8П~2) аппроксимирует решение задачи (63),
(64), (65). Иными словами, справедлива следующая
ЛЕММА 4. Пусть ф (а, £, т) — решение уравнения (63), удовлетворяю­
щее начальным и^граничным условиям (64), (65), а Ф (а, £, т) — решение
уравнения (63), определенное в лемме 2. Тогда для , юбого г0, не зависящего
от 8 п/ж | £ | > г0, решение Ф (а, £, т) с точностью [до величин порядка
о (еп~2) аппроксимирует решение ф (о, £, т):
Ф (а, £, т) - Ф (а, £, т) ^ о (8—2). (111)
Доказательство. Обозначим через и (а, £, т) разность функ­
ций ф и Ф:
и (а, £, т) = < (а, £, т) — Ф (а, | , т).
р (112)
Функция и (а, £, т) является решением уравнения (63) и удовлетворяет
нулевым начальным условиям. Далее, из формулы (85) видно, что гра­
ничные значения функции и (а, £, т) на сфере Se совпадают с граничны­
ми значениями функции ф0 (о, £, т) -—jp0 (б, £, т). Оценим эти послед­
ние. Для этого запишем разность ф — ф0 в следующем виде:
? (о, 6, т) - фо (а, 6, т) = {Ф (а, Б, т) - ^ 8 - 2 _ | " - + я (I, 8) j j -
- ^ g ( a , | , т, ^ ) ^ п - 2 7 _ ^ _ + я(л ? e)]efrj. (ИЗ)
Граничные значения слагаемого, заклю еиного в фигурную скобку в
правой части формулы (ИЗ), равны нулю (см. § 3). Остается, таким обра­
зом, оценить лишь граничные значения второго слагаемого на сфере Sz
(в координатах £ . . . , £п — на эллипсоиде Se).

17. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 493
Так как для потенциала двойного слоя я (3-, е) справедлива оценка
(43), то, очевидно, имеем:
g(<x, £, т, т]) + я(т), е) rfrj
!
(Т]) ^
?г 2 1
Л! • е ~ • (оп__2 (а, | , т) -|- Л 2 • е"- . соп_! (а, g, т), (114)
где А1 и Л2 — константы, а соп„2 (о, g, т) и co n _ 1 (a, £, т) — функции,
определенные формулой (21) соответственно при к = п — 2, А = п — 1.
Используя теперь неравенства (23), (24), получаем., что граничные зна­
чения второго слагаемого в формуле (113), а следовательно, и граничные
значения w (а, т) функции и (а, £, т) удовлетворяют условиям леммы 3.
Следовательно, на основании леммы 3, мы можем заключить, что соотно­
шение (111) справедливо. Лемма 4, таким образом, доказана.
Упростим полученное приближенное решение Ф (а, £, т), отбросив
в нем величины, имеющие при | £ | > г0 порядок о (е п ~ 2 ). Чтобы сделать
это, выпишем решение Ф (о, g, т) в явном виде. Вспоминая формулы
(70), (71). (80), (85), мы можем написать:
Ф (о, I, т) = ф0 (a, g, т) 4- бф 0 (а, £, т) +
+ ^ds ^ q (а, т ; s, л) fft''— z1' (5)] - Д - [ср0 (о, g, т) + б ф0 (а, £, т)Ыи. (115)
Прежде всего ясно, что при 111 > /•„
бф 0 яго(е"-2). (116)
Поэтому второе слагаемое в правой части формулы (115) можно отбро­
сить. Несколько сложнее упрощается интеграл, стоящий в правой части
формулы (115). Во-первых, можно отбросить член
h = ds g(a, £, s, ц) [Ьг — z1'(s)]-?-r [6<p0(s, r,x)dr. (117)
В самом деле,
|/,K^ds ^{a,l,s,v[)bi-zi'{s) • б ф 0 ( 5 , 1], t ) fi?T|,
dr:
Но так как [см. формулы (70), (71), (43), (44)]
I д
г б ф 0 ( 5 , ц, т) < e " - i i ? ( r ] ) ,
дг
где R (т)) в нуле имеет полюс порядка не выше п, то
h< 8 " - 1 ~ v d s p (a, I, s, ii) | V — zv (s) I ! B 1 ft) j rfti, (119)
где 7/j (т)) имеет теперь в нуле уже полюс порядка не выше п — v
(0 <J v <C 1). Таким образом,
1Х « О (8™-2). (120)
2 Известия АН СССР, серия математическая, № 4

18. 494 Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
Нам остается упростить член
т
J, = ^ds^q(o, I, s, r) [Ъ1 - zi (в)] - Л [Фо (б-, л , x)]di. (121)
Покажем, что при j £ j > г0
т
/ 2 = ds р (о, g, s, Ti) [6* - г*' (s)] Л - [ф0 (s, л, t)]dri + о(в'-*). (122)
Мы имеем:
I2 = [jdsip(a, I, s, т)) [ й * _ г * » ] - Л - [ф0 (s, т), т)] +
а
+ ^ s ^ (р (а, £, 5, т]) — g (а, £, 5, т|)] [6* — z1' (s)] JJ [<р0(s, rj, t)] drj +
о
т
+ ds p(a, I, s, т]) [6* - zi'(s)} Л - [Фо(*, т|, x)]di. (123)
Последнее слагаемое в правой части формулы (123) имеет, очевидно,
порядок о (еп—2). Обозначим через и (а, £, т) второе слагаемое. Функция
и (а, £, т) при а = т имеет нулевое начальное значение и является в
области /? е решением уравнения (63). Так как
| - ^ [ ф о ( * , Т1, т ) ] | < е ™ - 2 Д ( т 1 ) , (124)
где R(r) имеет полюс порядка не выше п — 1, то граничные значения
функции и (о, £, т) оцениваются следующим образом:
| и (a, g, т) |E6S£ < М- 8—^ Qn_T (а, g, т) ^т (125)
Отсюда, на основании неравенства (25), заключаем, что
и(о, 1,т)^<Ь(г), (126) •
где б (е) — 0 при г — 0. Следовательно, всюду в области Л£
> >
|и(а, £, т) | < б (е) а (а, £, т). (127)
Лемма 4 и неравенства (120), (127), а также формула (123) доказывают
следующее предложение.
ЛЕММА 5. Функция
т
Ф (а, | , т) = ф0 (<т, I, х) + ds [p(a, I, s, л ) [Ь{ - z*' («)] ^ О ^ т , , (128)
где ф0 (a, £, т) определена формулой (77) тг/ж j g | > г0 (г0 — произвольное,
не зависящее от е положительное число), с точностью до величин порядка
о(еп—2) аппроксимирует решение ф (а, £, т) уравнения (63), удовлетво­
ряющее условиям, (64), (65).

19. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 495
Чтобы подвести итог всем рассмотрениям настоящего параграфа,
нам остается вновь возвратиться к старым координатам х и у согласно
формулам (59), (60). Проведя соответствующие замены, на основании
леммы 5 мы можем сформулировать следующее предложение.
ТЕОРЕМА 1. Пусть движение управляемой точки z, имеющей в на­
чальный момент времени G положение z (о), описывается системой диф­
ференциальных уравнений
z1 = f (z1, . . . , zn, и1, . . . , ur), i = 1, . . . , п,
где (и1, . . . , иг) — управляющие параметры. Пусть в пространстве В
переменных z1, . . . , zn движется еще случайная точка Q, плотность пере­
хода которой р (о, х, х, у) удовлетворяет уравнению Колмогорова с по­
стоянными коэффициентами
dp i а д2р у i dp A
-т£- - - № —г*—.. ч- о —ч- = 0.
д
3 дхгдх1 дхг
Обозначим через 2 Z шар радиуса е с центром в управляемой точке z, дви­
жущейся вместе с z. Обозначим, далее, через я|) (а, х, т) вероятность того,
что случайная точка Qt находящаяся в момент о в положении х, на отрезке
времени о <J t <J х будет «накрыта» шаром 2 Z . Тогда вероятность
if (а, х, х), являющаяся функционалом управления и (t), представляется
при х — z (а) | ^> г0, где г0 — произвольное -положительное, не зависящее
от е число, в следуюгцем виде:
Ц (сг, х, х) - 8П~2 [ij?0 (о, х, х) +Цг (а, х, х)]+ о (г71-*).
Чтобы выписать явные выражения для функций aj)0 (а, х, х) и
рг (а, х, т), введем следующие обозначения:
а) Хь . . . , Хп — собственные значения матрицы а1Ц
б) || dij -~ матрица, обратная матрице || aij ||;
в) G (а, х, х, г) = g (G, x — z (G), X, TJ) = . .
= Kexpl—:
2
4тг^) —};
[2я(т — с)]
г) а — константа, не зависящая от уравнений, описывающих движе­
ние точек z и Q, и определяемая формулой (55) § 3.
Тогда
П—2
[а. • (я* - zl (в)) (xj — ^ (а))] Т "
•S G{G X, х, т|) ^=2"-*%
*i (а, *, т) = J efe J p (а, я;, в, у) [Ь1 - **' (s)) ^ W ) dy.
Таким образом, теорема 1 дает явное выражение для главного члена
вероятности tj) (а, х, х) и, следовательно, для главного члена функцио­
нала (7).

20. 496 Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
§ 5. Вычисление функционала (7) в общем случае
В настоящем параграфе вероятность г|э (а, х, т), а следовательно, и
функционал (7) будут вычислены для случая, когда коэффициенты урав­
нения Колмогорова зависят от а и х. Мы предполагаем, что эти коэффи­
циенты удовлетворяют условиям а), б), в), сформулированным в § 2. Схема
вычисления в значительной степени воспроизводит схему, которой мы
следовали в предыдущем параграфе, поэтому подробно мы будем про­
водить лишь существенно новые построения.
Итак, вам нужно решить уравнение
+ al5
^ ^^-£ij+bi^x^° (129>
при условиях
-ф (т, х, т) = 0, (130)
я|)(а, Х) t) S o = l. (131)
Как и в § 4, с помощью формул (51), (60) приведем эту задачу к за­
даче решения уравнения
:
§ + « i i ( £ + 2 ( a ) , a ) - i ^ r + L64S + 3 ( o r ) , a ) - z ' - ' ( a ) ] J | - = 0 (132)
при условиях
<р(тЛ, т) = 0, (133)
Ф(а, 6, T)| S E = 1. (134)
Перепишем уравнение (132) в несколько иной форме:
:
I J + « у ( * ( " > . ° ) - ^ Г + 1^(6 + z(а), о)-аН*(«), а)1-^Х +
+ [6*(5 + 2 (а),а)-^(а)]^-=0. (135)
Нашим первым шагом будет конструкция некоторого специального реше­
ния q>J (a, £,' т) уравнения
• ^ + а « (2 (0), О) - ^ ^ = 0. (136)
Для того чтобы получить это специальное решение, перейдем с по­
мощью линейного преобразования от координат I 1 , . . ., | , г к координатам
I"1» . • . , Т в которых уравнение (136) запишется в виде
§-+Аф„=0. (137)
Такое преобразование координат теперь уже зависит от параметра 9.
Сфера Sz перейдет, очевидно, в эллипсоид
^(9)1" 1 2 + . • . + М В ) | п , = е2, ( 138 )
где Ях (0), . . ., >„п(0) суть собственные значения матрицы a^(z (0), 0||.
Так же как и в предыдущем параграфе, мы можем сконструировать
функцию
Ф90 = Ф° (*, 1*) + бфо № *)> ( 139 )

21. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 497
где
Ф0 «г, I т) = г - -Щ- - J j(o, I х, л) ^Щ^1^ <**>)
которая является решением уравнения (137) и удовлетворяет нулевому
начальному условию.
Перейдем теперь от [координат £ . . ., gn вновь к координатам
£ . . ., |п> и пусть при этом функции
5
Фо' Ф~о' Фо> #9
перейдут соответственно в функции
~е о с ~о е
Фо. фо, О фо, g .
Мы можем выписать функцию ф0 (a, g, т) в явном виде. Для этого, как
и раньше, обозначим через а) (z (8), 8) элементы матрицы, обратной
матрице || al'J (z (в), 8) ||, так что
а « И в ) , 9)ад.( 2 (в), в) = (141)
Тогда
ф > , | , Т) = в»"* ^(6)
п—2
2
«{,•(«(6), 0]
- J «• (а, £, т, Л) ^ • а ( 0 ) - П 1 ( 9 ) . . . М 9 ) f (142)
2
К,-(М9), 0)rf-V]
где
£ (а, g, т, т)) = j - exp ^ '— 4(T_g) J -(143)
-
2
[2я(т-в)]
Рассмотрим теперь функцию фо (a, g, т), т. е. построенную нами функ­
цию при значении параметра в. равном о. Функция фо (а, g, т) уже не
удовлетворяет уравнению (136), в коэффициентах которого вместо 8
подставлено о Однако очевидна следующая
ЛЕММА 1'. Функция
Ф (а, g, х) = фо (а, | , т) + бфо,
о
где фо определена формулой (142), является решением дифференциального
уравнения
^ . + ^(,(а),а)^-^.[ф»1^=0 (144)
и имеет нулевые начальные значения при а = т.
Теперь, как и в предыдущем параграфе, мы можем искать специаль­
ное решение уравнения (132), имеющее нулевые начальные значения, в
следующем виде:
Ф (а, Е, т) - фо7 (а, g, т) + фх (а, g, т), (145)

22. 498 Е. Ф. МИЩЕНКО, Л. С. ПОНТРЯГИН
где фо (сх, £, т) — только что построенное решение уравнения (144), а
ф1 (<?, £ f) — пока не известная функция. Подставляя Ф (о, £, т) в урав­
>
нение (132) и учитывая лемму 1' дляф х (о, £, т), мы получим неоднородное
параболическое уравнение
%• + & (I + ж {а), о)^-+ [Ь> (Б + г (а), о) - * • » ] | f =
= - ( № ( £ > z (а), а) - a» (z (а), о)}8^'1' %)
+
+ lb' (£ + z (a), a) - z»' (a)] a < ( ° ' * ' T > + A. ft» (a, g, T)]e==( j {i46)
и начальное условие
Ф (т, ё, т) = 0.
Х (147)
Так как правая часть уравнения (146) имеет при £ = 0 полюс порядка
п (а не (д + 1)!), то мы можем почти буквально повторить все рассужде­
ния предыдущего параграфа и доказать лемму, аналогичную лемме 5.
ЛЕММА 5'. Функция
Ф (а, £, т) - Ф° (о, £, т) +
+ cfe р (а, 1 + z (а), 5, т) + ^(5)). [а1* (т) + z (s), 5) — а4* (2 (s), 5)] х
х + [b {ri + z
т ^s) -zi (s)] -^H+
+ -^Гф?(*.Л.т)]в=,}^. (148)
где фо (сг, 5» т ) определена формулой (142), при | £ j > г0 (г0 — произ­
вольное положительное число, не зависящее от г) с точностью до величин
порядка о (вп~2) аппроксимирует решение ф (о, £, т) уравнения (132),
удовлетворяющее начальным и граничным условиям (165)—(169).
Чтобы формулировать теперь окончательный результат, мы вновь
должны перейти к координатам х и у по формулам (51), (60). Тогда из
леммы 5 последует теорема, аналогичная теореме 1 предыдущего пара­
графа. Мы не будем здесь выписывать окончательных формул, так как
при желании читатель легко это сделает сам.
Поступило
29.Х.1960
ЛИТЕРАТУРА
1
К о l m o g o r o f f A.- N-, Uber die analytischcn Methoden in der Wahrscheinlich-
keitsrechnung, Math. Ann., 104 (1931), 415—458.
2
С о б о л е в С. Л., Уравнения математической физики, Физматгиз, М-, 1954.
3
Б о л т я н с к и й В. Г., Г а м к р е л и д з е Р. В., П о н т р я г и н Л. С , Тео­
рия оптимальных процессов. I, Известия Ак. наук СССР, серия матем., 24 (1960),
3-42.
4
М и щ е н к о Е . Ф . , П о и т р я г и н Л . С , Одна статистическая задача оптималь­
ного управления, Доклады Ак. наук СССР, 128, № 5 (1959), 390—392.