Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Mecánica  y An...
Elementos de Geometría Básica para Ingenieros <ul><li>Adaptación de un trabajo realizado por alumnos  que  cursaron  la As...
Índice <ul><li>Geometría: definición. </li></ul><ul><li>Elementos básicos: </li></ul><ul><li>conceptos y teoremas.  </li><...
Geometría <ul><li>Geometría   ( del  gri ego   geo,  'tierra';   metrein,   'medir'),  rama de las matemáticas que se ocup...
Elementos Geométricos Básicos <ul><li>Punto  </li></ul><ul><li>Línea </li></ul><ul><li>Superficie </li></ul><ul><li>Cuerpo...
Punto <ul><li>Se  le  considera  como  la intersección  de dos  líneas </li></ul><ul><li>y es denotado con una letra mayús...
Línea   <ul><li>Se considera  generada  por  un  </li></ul><ul><li>punto en movimiento que sigue </li></ul><ul><li>cierta ...
Superficie   <ul><li>Se considera generada por una línea </li></ul><ul><li>en  movimiento con  una  dirección </li></ul><u...
Cuerpo <ul><li>Se le considera como la parte del </li></ul><ul><li>espacio limitado  por  superficies </li></ul><ul><li>ll...
<ul><li>Ángulo.  Es la magni- </li></ul><ul><li>tud  de  rotación  de </li></ul><ul><li>una  semirrecta  que </li></ul><ul...
TIPOS DE ÁNGULOS Ángulo agudo es menor de 90° Ángulo recto mide 90°
Ángulo obtuso mayor de 90° y menor de 180° Ángulo llano es igual a 180°
Ángulo entrante es mayor de 180° y menor de 360° Ángulo perigonal es igual a 360°
<ul><li>Ángulos adyacentes complementarios . </li></ul>Son  dos  ángulos  que suman un ángulo recto Ángulos Adyacentes Sup...
Ángulos opuestos por el vértice. <ul><li>Son dos ángulos tales que </li></ul><ul><li>los lados de uno de  ellos, </li></ul...
Ángulos formados por dos  rectas paralelas, cortadas por una secante . <ul><li>Correspondientes (a, e) (c, g), (b,f), (d, ...
Polígonos <ul><li>Definición </li></ul><ul><li>Clasificación </li></ul><ul><li>Características </li></ul>
Poligonal <ul><li>Es la unión de segmentos de  un plano  </li></ul><ul><li>que se intersecan sólo en sus extremos, </li></...
Polígonos <ul><li>Un polígono es una poligonal </li></ul><ul><li>cerrada. </li></ul><ul><li>Polígono  circunscrito.  Es  a...
Clasificación de los Polígonos
Clasificación de acuerdo a sus lados
La suma de los ángulos interiores y  ángulos exteriores de  un polígono. <ul><li>Teorema. La  suma de  los  ángulos </li><...
Triángulos Un polígono con una trascendencia diferente. <ul><li>Definición </li></ul><ul><li>Elementos </li></ul><ul><li>C...
Definición <ul><li>Es la porción de  plano limitado por  tres rectas que se cortan dos a dos. </li></ul><ul><li>Polígono d...
Características <ul><li>Los  puntos  de  intersección son los vértices de triángulo:  A, B, C. </li></ul><ul><li>Los segme...
Elementos del triángulo <ul><li>Un triángulo tiene como elementos: </li></ul><ul><li>3 ángulos </li></ul><ul><li>3 lados <...
Clasificación de los triángulos <ul><li>Según los lados que  </li></ul><ul><li>lo conforma. </li></ul><ul><li>Según sus án...
Atendiendo a sus lados <ul><li>Triángulo Equilátero </li></ul><ul><li>Es aquél que tiene sus </li></ul><ul><li>tres lados ...
<ul><li>Triángulo Escaleno </li></ul><ul><li>Es aquél que tiene todos sus lados desiguales </li></ul>
<ul><li>Acutángulo </li></ul><ul><li>Es aquél que tiene los </li></ul><ul><li>tres ángulos agudos. </li></ul>Atendiendo a ...
<ul><li>Triángulo Rectángulo </li></ul><ul><li>Es aquél que tiene un ángulo recto. </li></ul><ul><li>Hay que resaltar que ...
Rectas y puntos notables del triángulo <ul><li>En el estudio de los tríángulos los siete sabios de Grecia des- cubrieron  ...
Mediana <ul><li>Es el  segmento  trazado desde un vértice hasta el punto  medio  del  lado opuesto: </li></ul><ul><li>Hay ...
Altura  <ul><li>Es la perpendicular trazada desde un vértice opuesto o a su prolongación:  </li></ul><ul><li>Hay tres altu...
Bisectriz <ul><li>Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Por lo tanto hay tres bisectri...
Mediatriz <ul><li>Es la perpendicular en el punto medio de cada lado se denominan con la letra “M” y un subíndice que indi...
Conceptos <ul><li>Semejanza </li></ul><ul><li>Se refiere  a elementos geométricos que tienen la  misma  forma  pero  difer...
Primer Criterio <ul><li>Dos  triángulos  son  semejantes </li></ul><ul><li>si  por  lo   menos  tienen  dos </li></ul><ul>...
Tercer Criterio <ul><li>Dos triángulos son semejantes  cuando  tiene  proporcionales </li></ul><ul><li>sus tres lados  hom...
Congruencia en triángulos <ul><li>Dos triángulos  son   congruentes si  y  </li></ul><ul><li>solo s í  son   semejantes y ...
Primer Criterio <ul><li>Dos triángulos   son congruentes si tienen respectivamente  dos lados   homólogos  congruentes  y ...
Segundo Criterio <ul><li>Dos triángulos son congruentes  cuando tienen  respectivamente congruentes un lado homólogo  </li...
Tercer Criterio <ul><li>Dos triángulos son congruentes cuando tienen  respectivamente congruentes  sus  tres  lados homólo...
Teorema del Cateto <ul><li>En  todo  triángulo rectángulo  un  cateto  </li></ul><ul><li>es media proporcional entre la  h...
Teorema de Pitágoras <ul><li>La relación aritmética entre los catetos  y  la  hipotenusa  de cualquier triángulo  rectángu...
Teorema de la altura <ul><li>La   altura   relativa   a  hi-   potenusa   de   un   trián-  gulo   rectángulo es  me-   d ...
<ul><li>Circunferencia .  Es  el </li></ul><ul><li>conjunto  de  puntos  que </li></ul><ul><li>se encuentran a la misma </...
Rectas y segmentos asociados la circunferencia <ul><li>Radio .   Es  un  segmento que  une  al  centro  con cualquier  pun...
Rectas y segmentos asociados a la    circunferencia <ul><li>Secante.   Es  una recta  que corta a la  circunferencia  en d...
Ángulos en la circunferencia <ul><li>Ángulo central </li></ul><ul><li>Ángulo interior </li></ul><ul><li>Ángulo inscrito </...
Ángulo central <ul><li>Es el ángulo formado por dos radios. </li></ul><ul><li>Es el ángulo que tiene su vértice en el cent...
Ángulo interior <ul><li>Es el ángulo formado por dos cuerdas y que tiene su vértice dentro de la circunferencia. </li></ul...
Ángulo inscrito <ul><li>Es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en un punto de la circunferencia </li></ul>A B ...
Ángulo semi-inscrito <ul><li>Es el ángulo  formado  por una cuerda y  una  tangente, tiene su vértice en  el punto de tang...
Ángulo exterior <ul><li>Es el  ángulo  formado  por  dos secantes que  se  cortan en  un  punto exterior de  la circunfere...
Figuras en el círculo <ul><li>Segmento circular </li></ul><ul><li>Sector circular </li></ul><ul><li>Corona circular </li><...
Segmento Circular <ul><li>Es la zona  delimitada por una cuerda dentro de un círculo. </li></ul>
Sector circular <ul><li>Es la zona  de  un círculo delimitada por dos radios </li></ul>Sector circular
Corona Circular <ul><li>Porción del  plano  limitada  por dos circunferencias concéntricas. </li></ul>
Perímetros, áreas y volúmenes
Perímetro Es  la  medida de  límite  o frontera, de  un  polígono,  se obtiene sumando  todas  las longitudes de sus lados.
Área Es la medida de la superficie delimitada por el perímetro.
Algunas fórmulas para calcular áreas
Volumen Es la medida del espacio que se localiza en el interior y exterior del sólido geométrico.
Algunas fórmulas para calcular volúmenes
Bibliografía <ul><li>Jesus García Arenas y Celestí Bertran Infante </li></ul><ul><li>“ Geometría y Experiencias” </li></ul...
Bibliografía <ul><li>Doctor J. A. Baldor   </li></ul><ul><li>“ Geometría plana y del espacio; y trigonometría” </li></ul><...
Bibliografía <ul><li>Daniel Robles Robles y Maria de Lourdes Minquini y Castañeda </li></ul><ul><li>“ El Matemático de Seg...
Bibliografía <ul><li>Frank Ayres Jr. y Robert E. Moyer </li></ul><ul><li>“ Trigonometría (Serie Shaums)” </li></ul><ul><ul...
Bibliografía <ul><li>Arquimedes Caballero  </li></ul><ul><li>“ Matemáticas Primer Curso” </li></ul><ul><li>Editorial:  </l...
Bibliografía <ul><li>Arquimedes Caballero  </li></ul><ul><li>“ Ejercicios de Arimética y Geometría para las Escuelas Prima...
Bibliografía <ul><li>Microsoft  </li></ul><ul><li>“ Enciclopedia Encarta” </li></ul><ul><li>Editorial:  </li></ul><ul><ul>...
Bibliografía <ul><li>Lectus Vergara </li></ul><ul><li>“ Enciclopedia Temática de Matemáticas Lectus Vergara”  </li></ul><u...
Referencias de Imágenes y Videos <ul><li>En caso de que alguna imagen presentada en  este trabajo tenga derechos reservado...
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    1. 2. Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Mecánica y Análisis SEMESTRE 07-1
    2. 3. Elementos de Geometría Básica para Ingenieros <ul><li>Adaptación de un trabajo realizado por alumnos que cursaron la Asignatura Análisis Gráfico en el semestre 2001-2 </li></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>Cruz Andrade Jorge Pedro </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>Romero Serrano Noe de Jesús </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>Sánchez Galicia Roberto </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>Uribe López Oscar </li></ul></ul></ul></ul></ul>
    3. 4. Índice <ul><li>Geometría: definición. </li></ul><ul><li>Elementos básicos: </li></ul><ul><li>conceptos y teoremas. </li></ul><ul><li>Polígonos: características, </li></ul><ul><li>clasificación. Triángulos. </li></ul><ul><li>Circunferencia y círculo. </li></ul><ul><li>Áreas, perímetros y volúmenes. </li></ul>
    4. 5. Geometría <ul><li>Geometría ( del gri ego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. Se le con- sidera como la ciencia de la posi- ción, la forma y la magnitud , y que tiene por objeto el estudio de la ex- tensión considerada bajo sus tres dimensiones línea, superfice y cuerpo. </li></ul>Definición.
    5. 6. Elementos Geométricos Básicos <ul><li>Punto </li></ul><ul><li>Línea </li></ul><ul><li>Superficie </li></ul><ul><li>Cuerpo </li></ul><ul><li>Estos elementos no tienen definición. </li></ul>Sin embargo es importante tener una idea concreta de dichos elementos.
    6. 7. Punto <ul><li>Se le considera como la intersección de dos líneas </li></ul><ul><li>y es denotado con una letra mayúscula. Es la mínima expresión de la extensión y, </li></ul><ul><li>por tanto no tiene longitud, </li></ul><ul><li>ni anchura ni altura; sólo </li></ul><ul><li>nos indica una posición en </li></ul><ul><li>el espacio. </li></ul>P
    7. 8. Línea <ul><li>Se considera generada por un </li></ul><ul><li>punto en movimiento que sigue </li></ul><ul><li>cierta dirección . Su longitud es </li></ul><ul><li>indefinida. También se le con- </li></ul><ul><li>sidera como la intersección de </li></ul><ul><li>dos planos. </li></ul>Es posible conceptualizarla como aquello que limita a una super- ficie o como un conjunto de pun- tos que tienen como única medida la longitud.
    8. 9. Superficie <ul><li>Se considera generada por una línea </li></ul><ul><li>en movimiento con una dirección </li></ul><ul><li>determinada. </li></ul><ul><li>Se entiende intuitivamente como la </li></ul><ul><li>forma experior de los cuerpos. </li></ul><ul><li>También se considera como el límite </li></ul><ul><li>que separa a un cuerpo del espacio </li></ul><ul><li>que lo rodea. </li></ul><ul><li>Es importante resaltar que superficie </li></ul><ul><li>y área no son sinónimos. </li></ul>
    9. 10. Cuerpo <ul><li>Se le considera como la parte del </li></ul><ul><li>espacio limitado por superficies </li></ul><ul><li>llamadas caras. </li></ul><ul><li>El sólido entonces está limitado </li></ul><ul><li>por superfcies planas, como los </li></ul><ul><li>poliedros, por curvas, como la es- </li></ul><ul><li>fera, o planas y curvas, como el </li></ul><ul><li>cilíndro. </li></ul>
    10. 11. <ul><li>Ángulo. Es la magni- </li></ul><ul><li>tud de rotación de </li></ul><ul><li>una semirrecta que </li></ul><ul><li>gira sobre otra que </li></ul><ul><li>permanece fija. </li></ul>A 
    11. 12. TIPOS DE ÁNGULOS Ángulo agudo es menor de 90° Ángulo recto mide 90°
    12. 13. Ángulo obtuso mayor de 90° y menor de 180° Ángulo llano es igual a 180°
    13. 14. Ángulo entrante es mayor de 180° y menor de 360° Ángulo perigonal es igual a 360°
    14. 15. <ul><li>Ángulos adyacentes complementarios . </li></ul>Son dos ángulos que suman un ángulo recto Ángulos Adyacentes Suplementarios Son dos ángulos que suman dos ángulos rectos
    15. 16. Ángulos opuestos por el vértice. <ul><li>Son dos ángulos tales que </li></ul><ul><li>los lados de uno de ellos, </li></ul><ul><li>son las prolongaciones de </li></ul><ul><li>los lados del otro. </li></ul>Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado común que separe a los otros dos.
    16. 17. Ángulos formados por dos rectas paralelas, cortadas por una secante . <ul><li>Correspondientes (a, e) (c, g), (b,f), (d, h). </li></ul><ul><li>Adyacentes (a,c), (b, d), (e, f), (e,g), (f,h), (g,h), (c, d). </li></ul><ul><li>Opuestos por el vértice (a,d), (b,c), (e, h), (g, f). </li></ul><ul><li>Alternos internos (c, f), (d, e). </li></ul><ul><li>Alternos externos (a, h), (b, g). </li></ul><ul><li>Colaterales internos (c, e), (d, f). </li></ul><ul><li>Colaterales externos (a, g), (b, h). </li></ul>
    17. 18. Polígonos <ul><li>Definición </li></ul><ul><li>Clasificación </li></ul><ul><li>Características </li></ul>
    18. 19. Poligonal <ul><li>Es la unión de segmentos de un plano </li></ul><ul><li>que se intersecan sólo en sus extremos, </li></ul><ul><li>sin formar otro segmento. Los extre- </li></ul><ul><li>mos de los segmentos que integran la </li></ul><ul><li>poligonal se llaman vértices de la poli- </li></ul><ul><li>gonal y los segmentos son lados de la </li></ul><ul><li>poligonal. </li></ul><ul><li>Poligonal abierta. Es una poligonal </li></ul><ul><li>donde se puede determinar cual es su </li></ul><ul><li>lado inicial y cual su lado final. </li></ul><ul><li>Poligonal cerrada. Es cualquier poli- </li></ul><ul><li>gonal que no tiene determinados su </li></ul><ul><li>lado inicial y lado final. </li></ul>Abierta Cerrada
    19. 20. Polígonos <ul><li>Un polígono es una poligonal </li></ul><ul><li>cerrada. </li></ul><ul><li>Polígono circunscrito. Es aquél cuyos </li></ul><ul><li>lados son tangentes a una circunferencia. </li></ul><ul><li>Polígono inscrito. Es aquél cuyos vértices </li></ul><ul><li>pertenecen a una circunferencia. </li></ul><ul><li>Polígono convexo. Es áquél cuyos ángu- </li></ul><ul><li>los interiores (todos) son menores de </li></ul><ul><li>180°. </li></ul><ul><li>Polígono cóncavo. Es aquél que tiene </li></ul><ul><li>al menos un ángulo interior mayor de </li></ul><ul><li>180 °. </li></ul>
    20. 21. Clasificación de los Polígonos
    21. 22. Clasificación de acuerdo a sus lados
    22. 23. La suma de los ángulos interiores y ángulos exteriores de un polígono. <ul><li>Teorema. La suma de los ángulos </li></ul><ul><li>interiores (S) de un polígono con- </li></ul><ul><li>vexo es igual a tantas veces dos án- </li></ul><ul><li>gulos rectos como lados menos dos </li></ul><ul><li>tiene el polígono. </li></ul>Características La suma de los ángulos exteriores de todo polígono convexo es igual a cuatro ángulos rectos. S = 180° (n-2) Ángulo exterior de un polígono. Son cada uno de los ángulos formados al prolongarse sucesivamente los lados de un polígono convexo.
    23. 24. Triángulos Un polígono con una trascendencia diferente. <ul><li>Definición </li></ul><ul><li>Elementos </li></ul><ul><li>Clasificación </li></ul><ul><li>Congruencia </li></ul><ul><li>Semejanza </li></ul><ul><li>Rectas y puntos notables </li></ul>
    24. 25. Definición <ul><li>Es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. </li></ul><ul><li>Polígono de tres lados. </li></ul>
    25. 26. Características <ul><li>Los puntos de intersección son los vértices de triángulo: A, B, C. </li></ul><ul><li>Los segmentos determinados, son los lados del triángulo: </li></ul><ul><li>a, b, c. </li></ul>A B C a b c
    26. 27. Elementos del triángulo <ul><li>Un triángulo tiene como elementos: </li></ul><ul><li>3 ángulos </li></ul><ul><li>3 lados </li></ul><ul><li>3 vértices </li></ul>
    27. 28. Clasificación de los triángulos <ul><li>Según los lados que </li></ul><ul><li>lo conforma. </li></ul><ul><li>Según sus ángulos </li></ul><ul><li>interiores. </li></ul>
    28. 29. Atendiendo a sus lados <ul><li>Triángulo Equilátero </li></ul><ul><li>Es aquél que tiene sus </li></ul><ul><li>tres lados congruentes </li></ul>Triángulo Isósceles Es aquél que tiene dos lados congruentes
    29. 30. <ul><li>Triángulo Escaleno </li></ul><ul><li>Es aquél que tiene todos sus lados desiguales </li></ul>
    30. 31. <ul><li>Acutángulo </li></ul><ul><li>Es aquél que tiene los </li></ul><ul><li>tres ángulos agudos. </li></ul>Atendiendo a sus ángulos Obtusángulo Es aquél que tiene un ángulo obtuso.
    31. 32. <ul><li>Triángulo Rectángulo </li></ul><ul><li>Es aquél que tiene un ángulo recto. </li></ul><ul><li>Hay que resaltar que los lados de un triángulo rectángulo reciben nombres especiales: </li></ul><ul><li>Catetos son los lados que forman al ángulo recto. </li></ul><ul><li>Hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto: BC </li></ul>
    32. 33. Rectas y puntos notables del triángulo <ul><li>En el estudio de los tríángulos los siete sabios de Grecia des- cubrieron y desarrollaron a través de la búsqueda de las propiedades de elementos </li></ul><ul><li>geométricos, trazos que hacen al triángulo un polígono bas- tante trascentedente. </li></ul><ul><li>Mediana </li></ul><ul><li>Altura </li></ul><ul><li>Bisectriz </li></ul><ul><li>Mediatriz </li></ul>
    33. 34. Mediana <ul><li>Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto: </li></ul><ul><li>Hay tres medianas una correspondiente a cada lado. Se designan con la letra “m” y un subíndice que indica el lado: </li></ul><ul><li>Donde el punto de intersección G de las medianas se denomina baricentro. </li></ul>
    34. 35. Altura <ul><li>Es la perpendicular trazada desde un vértice opuesto o a su prolongación: </li></ul><ul><li>Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado. Se designan con la letra h y un subíndice que indica el lado. El punto O donde concurren las tres alturas se llama ortocentro. </li></ul>ALTURAS
    35. 36. Bisectriz <ul><li>Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Por lo tanto hay tres bisectrices para cada ángulo, aquí nombradas por las letras griegas α, β, γ. </li></ul><ul><li><1 = <2; </li></ul><ul><li><3 = <4; </li></ul><ul><li><5 = <6; </li></ul><ul><li>El punto I donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. </li></ul>
    36. 37. Mediatriz <ul><li>Es la perpendicular en el punto medio de cada lado se denominan con la letra “M” y un subíndice que indica el lado. </li></ul><ul><li>El punto K de intersección de la tres mediatrices se llama circuncentro. </li></ul>MEDIATRIZ
    37. 38. Conceptos <ul><li>Semejanza </li></ul><ul><li>Se refiere a elementos geométricos que tienen la misma forma pero diferente medida. </li></ul><ul><li>Equivalencia </li></ul><ul><li>Se da cuando elementos geométricos tienen la misma área pero diferente forma. </li></ul><ul><li>Congruencia </li></ul><ul><li>Se da cuando dos figuras son seme- jantes y equivalentes al mismo </li></ul><ul><li>tiempo. </li></ul><ul><li>Se presenta cuando mediante super- posición directa los puntos de una </li></ul><ul><li>figura caen exactamente sobre la otra. </li></ul><ul><li>Homólogo </li></ul><ul><li>Se designa así a los lados o a los ángulos correspondientes de figuras que son congruen- tes o semejantes. </li></ul>
    38. 39. Primer Criterio <ul><li>Dos triángulos son semejantes </li></ul><ul><li>si por lo menos tienen dos </li></ul><ul><li>ángulos homólogos congruentes. </li></ul>Segundo Criterio Dos triángulos son semejantes si tienen proporcionales dos lados homólogos y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
    39. 40. Tercer Criterio <ul><li>Dos triángulos son semejantes cuando tiene proporcionales </li></ul><ul><li>sus tres lados homólogos . </li></ul>
    40. 41. Congruencia en triángulos <ul><li>Dos triángulos son congruentes si y </li></ul><ul><li>solo s í son semejantes y equivalentes, </li></ul><ul><li>es decir los ángulos homólogos interiores son congruentes así como congruentes sus lados homólogos. </li></ul>
    41. 42. Primer Criterio <ul><li>Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente dos lados homólogos congruentes y el ángulo comprendido entre ellos también es congruente. </li></ul>
    42. 43. Segundo Criterio <ul><li>Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes un lado homólogo </li></ul><ul><li>y sus ángulos adyacentes. </li></ul>
    43. 44. Tercer Criterio <ul><li>Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes sus tres lados homólogos. </li></ul>
    44. 45. Teorema del Cateto <ul><li>En todo triángulo rectángulo un cateto </li></ul><ul><li>es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. </li></ul>
    45. 46. Teorema de Pitágoras <ul><li>La relación aritmética entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo se conoce con el nombre de </li></ul><ul><li>Teorema de Pitágoras el cual </li></ul><ul><li>se enuncia de la siguiente ma- nera: </li></ul><ul><li>en un triángulo rectángulo </li></ul><ul><li>la suma de los cuadrados </li></ul><ul><li>construidos sobre los catetos es igual al cuadrado cons- </li></ul><ul><li>truido sobre la hipotenusa. </li></ul>c b a b 2 a 2 c 2
    46. 47. Teorema de la altura <ul><li>La altura relativa a hi- potenusa de un trián- gulo rectángulo es me- d ia proporcional entre los segmentos en que divide a ésta. </li></ul>
    47. 48. <ul><li>Circunferencia . Es el </li></ul><ul><li>conjunto de puntos que </li></ul><ul><li>se encuentran a la misma </li></ul><ul><li>distancia de otro punto </li></ul><ul><li>fijo, llamado centro. </li></ul><ul><li>Círculo. Es el conjunto </li></ul><ul><li>de puntos de la circunfe- </li></ul><ul><li>rencia y de los del interior </li></ul><ul><li>de ella. </li></ul>
    48. 49. Rectas y segmentos asociados la circunferencia <ul><li>Radio . Es un segmento que une al centro con cualquier punto de la circunferencia. </li></ul><ul><li>Cuerda . Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. </li></ul><ul><li>Diámetro . Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. </li></ul>
    49. 50. Rectas y segmentos asociados a la circunferencia <ul><li>Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos. </li></ul><ul><li>Tangente. Es una recta que corta a la circunferencia en </li></ul><ul><li>un solo punto. </li></ul><ul><li>Punto de tangencia . Es el punto que tienen en común </li></ul><ul><li>la tangente y la circunferencia. </li></ul>
    50. 51. Ángulos en la circunferencia <ul><li>Ángulo central </li></ul><ul><li>Ángulo interior </li></ul><ul><li>Ángulo inscrito </li></ul><ul><li>Ángulo semi-inscrito </li></ul><ul><li>Ángulo exterior </li></ul>
    51. 52. Ángulo central <ul><li>Es el ángulo formado por dos radios. </li></ul><ul><li>Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. </li></ul>A B  O
    52. 53. Ángulo interior <ul><li>Es el ángulo formado por dos cuerdas y que tiene su vértice dentro de la circunferencia. </li></ul>A B C D 
    53. 54. Ángulo inscrito <ul><li>Es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en un punto de la circunferencia </li></ul>A B C 
    54. 55. Ángulo semi-inscrito <ul><li>Es el ángulo formado por una cuerda y una tangente, tiene su vértice en el punto de tangencia. </li></ul><ul><li>Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia </li></ul><ul><li>y uno de sus lados es una tangente y el otro una secante. </li></ul> A B C
    55. 56. Ángulo exterior <ul><li>Es el ángulo formado por dos secantes que se cortan en un punto exterior de la circunferencia. </li></ul>A B C D E 
    56. 57. Figuras en el círculo <ul><li>Segmento circular </li></ul><ul><li>Sector circular </li></ul><ul><li>Corona circular </li></ul><ul><li>Trapecio circular </li></ul>
    57. 58. Segmento Circular <ul><li>Es la zona delimitada por una cuerda dentro de un círculo. </li></ul>
    58. 59. Sector circular <ul><li>Es la zona de un círculo delimitada por dos radios </li></ul>Sector circular
    59. 60. Corona Circular <ul><li>Porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas. </li></ul>
    60. 61. Perímetros, áreas y volúmenes
    61. 62. Perímetro Es la medida de límite o frontera, de un polígono, se obtiene sumando todas las longitudes de sus lados.
    62. 63. Área Es la medida de la superficie delimitada por el perímetro.
    63. 64. Algunas fórmulas para calcular áreas
    64. 65. Volumen Es la medida del espacio que se localiza en el interior y exterior del sólido geométrico.
    65. 66. Algunas fórmulas para calcular volúmenes
    66. 67. Bibliografía <ul><li>Jesus García Arenas y Celestí Bertran Infante </li></ul><ul><li>“ Geometría y Experiencias” </li></ul><ul><li>Editorial: </li></ul><ul><li>Biblioteca de Recursos Didacticos Alambra </li></ul><ul><li>Longman Editores </li></ul><ul><li>Alambra Mexicana </li></ul><ul><li>5 reimpresión </li></ul><ul><li>México 1997 </li></ul>
    67. 68. Bibliografía <ul><li>Doctor J. A. Baldor </li></ul><ul><li>“ Geometría plana y del espacio; y trigonometría” </li></ul><ul><li>Editorial: </li></ul><ul><li>Publicaciones Cultural </li></ul><ul><li>Décima Sexta reimpresión </li></ul><ul><li>México 1999 </li></ul>
    68. 69. Bibliografía <ul><li>Daniel Robles Robles y Maria de Lourdes Minquini y Castañeda </li></ul><ul><li>“ El Matemático de Segundo de Secundaria” </li></ul><ul><li>Editorial: </li></ul><ul><li>Fernández Editores </li></ul><ul><li>Tercera Edición </li></ul><ul><li>México 1993 </li></ul>
    69. 70. Bibliografía <ul><li>Frank Ayres Jr. y Robert E. Moyer </li></ul><ul><li>“ Trigonometría (Serie Shaums)” </li></ul><ul><ul><li>Editorial: </li></ul></ul><ul><ul><li>McGraw Hill </li></ul></ul><ul><ul><li>Segunda Edición </li></ul></ul><ul><ul><li>México 1991 </li></ul></ul>
    70. 71. Bibliografía <ul><li>Arquimedes Caballero </li></ul><ul><li>“ Matemáticas Primer Curso” </li></ul><ul><li>Editorial: </li></ul><ul><ul><li>Esfinge </li></ul></ul><ul><li>Trigésima Sexta edición </li></ul><ul><ul><li>Mexico 1992 </li></ul></ul>
    71. 72. Bibliografía <ul><li>Arquimedes Caballero </li></ul><ul><li>“ Ejercicios de Arimética y Geometría para las Escuelas Primarias” ( Cuadernos Alfa) </li></ul><ul><li>Editorial: </li></ul><ul><ul><li>Esfinge </li></ul></ul><ul><ul><li>Vigésimo Quinta Edición </li></ul></ul><ul><ul><li>Mexico 1985 </li></ul></ul>
    72. 73. Bibliografía <ul><li>Microsoft </li></ul><ul><li>“ Enciclopedia Encarta” </li></ul><ul><li>Editorial: </li></ul><ul><ul><li>Microsoft </li></ul></ul><ul><ul><li>1999 y 2000 </li></ul></ul>
    73. 74. Bibliografía <ul><li>Lectus Vergara </li></ul><ul><li>“ Enciclopedia Temática de Matemáticas Lectus Vergara” </li></ul><ul><li>Editorial: </li></ul><ul><li>Lectus Vergara </li></ul>
    74. 75. Referencias de Imágenes y Videos <ul><li>En caso de que alguna imagen presentada en este trabajo tenga derechos reservados, ó exclusividad. Por favor comuniquese con nosotros al correo: </li></ul><ul><li>[email_address] </li></ul><ul><li>Dicha imagen será eliminada de inmediato. </li></ul><ul><li>Por las demás imágenes no presentadas en las referencias de este trabajo, estas son propias y desarrolladas por los coautores. </li></ul>
    75. 76. Fin
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