SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 47
Descargar para leer sin conexión
NÚMERO PHI

O número de ouro.



                        Paula Melero Valentín
                        Paula Pérez Martínez
                    Antía Rodríguez Martínez
Índice
• ¿Que é phi?
• Historia do número áureo.
• O número de ouro nas matemáticas (a sucesión
  de Fibonacci).
• O número de ouro na natureza.
• O número de ouro na música.
• O número de ouro na arte.
• O número de ouro no ser humano.
• O número de ouro no universo.
• Curiosidades áureas.
¿Que é phi?
•   Phi é o número áureo ou de ouro, tamén chamado número dourado, razón
    áurea, razón dourada, media áurea, proporción áurea e divina proporción;
    representado pola letra grega φ (fi). Recibe o seu nome en honor ó
    escultor grego Fideas.
•   É o número irracional:


•   Trátase dun número alxebraico que posúe moitas propiedades
    interesantes e que foi descuberto na antigüidade, non como “unidade”
    senón como relación ou proporción. Esta proporción atópase tanto
    nalgunhas figuras xeométricas como na natureza en elementos como
    caracolas, nervios das follas dalgunhas árbores, no grosor das ramas,
    etc.
•   O seu carácter estético atribúese en especial a obxectos que seguen a
    razón áurea, así como unha importancia mística. Ao largo da historia
    fóiselle atribuíndo importancia en diversas obras de arquitectura e
    outras artes.
Historia do numero áureo.
     Existen numerosos textos que suxiren que o número áureo se atopa
como proporción en certas estelas Babilonias e Asirias de ó redor de
catro mil anos de antigüidade.

     Sen embargo non existe documentación histórica que indique que o
número áureo foi usado conscientemente polos arquitectos ou artistas
na construción das estelas. Por esta razón Mario Livio concluíu que é moi
improbable que os Babilonios descubriran o número áureo.

     O primeiro en facer un estudo formal sobre o número áureo foi
Euclides, quen o definiu da seguinte maneira: “Dise que unha liña recta
está dividida no extremo e a súa proporcional cando a liña enteira é ao
segmento maior como o maior é ao menor”.

     Euclides tamén demostrou que este número non pode ser descrito
como a razón de dous números enteiros, é dicir, é irracional.

    Platón viviu antes de que Euclides estudara o número áureo, sen
embargo, ese atribúelle o desenrolo de teoremas relacionados co
número áureo debido a que o historiador grego Proclo escribiu:
     “Eudoxo... Multiplicou o número de teoremas relativos á sección ós
que Platón deu orixe.”
En 1509 o matemático e teólogo Luca Pacioli publica o seu libro De
     divina proportione (La divina proporción), no que se plantexan cinco
     razóns polas que considera apropiado considerar divino ó número
     áureo:
1.   A unicidade; Pacioli compara o valor único do número áureo coa
     unicidade de Deus.
2.   O feito de que estea definido por tres segmentos de recta, Pacioli
     asóciao coa Trinidad.
3.   A inconmensurabilidade; para Pacioli a infinidade do número áureo e a
     de Deus eran equivalentes.
4.   A autosimilaridade asociada ó número áureo; Pacioli compáraa coa
     omnipresencia e invariabilidade de Deus.
5.   Segundo Paiolo, da mesma maneira en que Deus deu ser ó Universo a
     través da quinta esencia, representada polo dodecaedro; o número
     áureo deu ser ó dodecaedro.

     En 1525, Alberto Durero publica Instrución sobre a medida con regra
     e compás de figuras planas e sólidas onde describe como trazar con
     regra e compás a espiral baseada na sección áurea, que se coñece
     como “espiral de Durero”.
O astrónomo Johannes Kleper, desenrolou un modelo Platónico
do Sistema Solar utilizando os sólidos platónicos, e referiuse ó
número áureo en termos grandiosos no libro Mysterium
Cosmographicum (O misterio cósmico):

“A xeometría ten dous grandes tesouros: un é o teorema
 de Pitágoras; o outro, a división dunha liña entre o extremo e
 a súa proporcional”

O primeiro uso coñecido do adxectivo áureo para referirse a
este número faino o matemático alemán Martín Ohm nunha nota ó pe de letra do
seu libro“ Die Reine Elemental Matematik” (As matemáticas puras elementais),
no que escribe:

“ Un tamén acostuma chamar a esta división dunha liña arbitraria en dúas partes
como estas a sección dourada”

A pesar de que a forma de escribir suxire que o termo xa era coñecido, o feito
de que non o incluíra na primeira edición do libro fai pensar que gañou
popularidade a partir de 1830.

Ó principio, nos textos matemáticos usábase a letra τ que viña do grego τομή, e
que significa corte ou sección; sen embargo, en 1900 Mark Barr en honor a Fidias
adxudicoulle a letra Φ, que era a primeira letra do seu nome (Φειδίας).
O número de ouro nas matemáticas (a sucesión
                    de Fibonacci).

1.    Phi a partir dun cadrado e un rectángulo.




      Para obter o número áureo nun cadrado, trázase un arco que teña por
      centro o punto medio dun dos seus lados e tal que o seu diámetro
      alcance o vértice do lado oposto. Dende ese punto lévase o arco ata a
      súa intersección con prolongación do primeiro lado, elixido obtendo un
      segmento que chamamos Phi. A relación entre Phi e un lado do
      cadrado é o número áureo.
Partindo dun cadrado que mida dous de lado, o segmento Phi (Φ)
mide 1 máis o diámetro do arco. Segundo Pitágoras nun triángulo
rectángulo o cadrado da hipotenusa é a suma dos cadrados dos
catetos.

  2² + 1² = 5 , polo que a hipotenusa é igual a √5.

  Súmaselle 1 para completar o segmento e obtense o valor de phi
para dous, polo tanto divídese por dous.

  (√5 + 1) ÷ 2 = 1,618034...
2.    Phi a partir dun triangulo rectángulo:




     Debúxase un triángulo rectángulo ABC co ángulo recto na esquina A. O
     segmento BC é a hipotenusa deste triángulo. O cateto AB mide 2 e o
     cateto AC mide 1. Trazamos unha prolongación da hipotenusa en
     dirección B->C ata que se cruza co arco de centro C e cun radio que
     alcanza o punto A. O punto onde se intersecan a prolongación da
     hipotenusa e o arco anteriormente mencionado é o punto E.
        Trázanse dous arcos, un con centro en B e radio que alcanza A
     (AB=2 -> radio=2) e outro con centro en E e radio de 2. Trázase unha
     liña que pase polos dous puntos onde se intersecan os dous arcos
     anteriores. Esta liña cruza a hipotenusa do triángulo no punto D.
        Os dous segmentos BD e ED miden exactamente o valor de Phi e
     CD é igual a Φ/1.
3.        Phi nun cadrado inscrito nun semicírculo:




          Debúxase un circulo partido polo seu diámetro (cor verde). Dentro deste
     semicírculo inscríbese un cadrado ABCD que ten un dos seus lados (CD) sobre
     o diámetro do semicírculo e as súas outras dúas esquinas (A e B) que
     intersequen co mesmo semicírculo.
          Se a lonxitude da liña CD é igual a 1, CE é igual a Phi.
4.   Phi a partir de círculos concéntricos :




     Trázanse dous círculos (cor verde) concéntricos nos que o diámetro dun
deles sexa o dobre do outro.
      Desprázanse estes dous círculos cambiando o seu centro dende Oa a
Ob, Ob debe situarse no primeiro círculo pequeno (cor verde). Agora temos
dous círculos concéntricos (cor verde) máis outros dous círculos concéntricos
(cor morado).
       Os dous círculos de diámetro pequeno intersécanse en dous puntos A e
B. Os dous círculos de diámetro grande tamén se intersecan en dous puntos
sendo C un deles. Se dividimos a medida do segmento AC pola medida do
segmento AB obtemos Φ.
5.   Phi a partir dun pentágono:




      No primeiro pentágono ABCDE, trázase unha liña AD e outra BE
que se cruzan en F, se BF é igual a un BE, é igual a Phi.

      No segundo pentágono ABCDE trázanse liñas dende cada esquina
ata as súas dúas esquinas opostas obtendo outro pentágono FGHIJ.
     Se AG é igual a 1, AB é igual a phi e FG ó inverso de Phi: 1/Φ.
6.   Phi a partir dun triángulo isósceles inscrito nun círculo:




     Na seguinte táboa, dividindo o valor de arriba polo de abaixo o
resultado é Phi:

     FG       AB        FB         CB        FH        AF         Arco AB
     FE       AK        FJ        CM         ON        AI         Arco AG
     Φ        Φ          Φ         Φ          Φ         Φ           Φ
• Debúxase un triángulo isósceles ABC inscrito nun círculo. Os centros dos
lados do triángulo son DEF. Trázase unha liña que pasa polo centro de dous
lados do triángulo levándoa ata o círculo no punto G. Se a medida FE é un, FG
é phi.

• No seguinte debuxo, trazo unha liña dende C ata G e outra de B ata F e
teñen a intersección en H.

• A liña CG cruza AB en K. Dende K trazo outra liña paralela a FB que cruza
FG en L e chega ata a liña AC en I.

• Perpendicularmente a IK trazo unha liña que cruza FB en J e vai ata a liña
CB en M.

• Dende M trazo unha liña paralela a IK que cruza CG en N e chega ata AC
no punto O.
7.   Phi a partir de tres círculos e un triángulo rectángulo:




•    Debúxanse 3 círculos de diámetro 1 que se intersecan sobre a mesma
     liña (CB). O primeiro círculo intersécase nun so punto co segundo e
     este tamén se interseca nun punto co terceiro.

•      O punto de intersección do primeiro círculo coa liña é C e co
     terceiro círculo é B. Sácase unha liña perpendicular ó segmento BC
     dende o punto C ata o punto A que é a intersección co primeiro
     círculo. Acabamos de debuxar un triángulo ABC.
• AB intersécase co segundo círculo en dous puntos D e E. DE é o
  diámetro do segundo círculo polo tanto mide 1. AC é o diámetro
  do primeiro círculo conseguintemente mide 1. BC mide o diámetro
  do segundo círculo máis a metade do primeiro e a metade do
  terceiro que é igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB é a hipotenusa do
  triángulo rectángulo e segundo Pitágoras nun triángulo rectángulo
  o cadrado da hipotenusa é a suma dos cadrados dos catetos:
   2² + 1² = 5 --> a hipotenusa é igual a v5.

   Recapitulando:
   AB= v5
   BC= 2
   CA= 1
   DE= 1

   Agora imos ver onde se atopa Phi:
   AE = BD = (v5 – 1) / 2 + 1 = (v5 + 1) / 2 = 1,618034... (Phi)
   AD = BE = (v5 – 1) / 2 + 1 = 0,618034… ( 1/ Phi)
8.   Phi no triángulo de Pascal :




•   Este é o triángulo de Pascal que se forma situando o número un polos
    seus dous laterais e os demais números áchase sumando os dous
    números que ten xusto enriba (segundo as V do debuxo). Sumando os
    números segundo as diagonais (liñas verdes e azuis no debuxo) obtemos
    a sucesión de Fibonacci.
•     Se collemos a terceira liña diagonal: 1-3-6-10-15-21-28-36... e lle
    sumamos un número á seguinte, obtemos os cadrados sucesivamente de
    cada numero:
     • 1 + 3 = 4 que é o cadrado de 2.
     • 3 + 6 = 9 que é o cadrado de 3.
     • 6 + 10 = 16 que é o cadrado de 4.
    Así poderíamos seguir ata o infinito.
9.        A sucesión de Fibonacci:

     Consideremos a seguinte sucesión de números:
                   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

     Cada número a partir do terceiro, obtense sumando os dous que lle
     preceden. Por exemplo, 21 = 13 + 8; o seguinte a 34 será 34 + 21 = 55.

     Esta sucesión é a chamada "sucesión de Fibonacci"*.

     *É o alcume co que se coñeceu ó rico comerciante Leonardo de Pisa.
     Viaxou polo Norte de África e Asia e trouxo a Europa algúns dos
     coñecementos da cultura árabe e hindú, entre outros a vantaxe do
     sistema de numeración arábigo ( o que usamos) fronte ó romano.

     A sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas.
     Para que resulte máis sinxelo imos enunciar os casos particulares e
     calcular os primeiros catorce termos desta sucesión:

a) Se se suman os catro primeiros termos e se engade 1, sae o sexto
   (1+1+2+3 + 1 = 8). Se se suman os cinco primeiros termos e se lle
   engade 1, obtense o sétimo (1+1+2+3+5    + 1 = 13).
b) Se se suman os tres primeiros termos que ocupan posición impar
   (t1,t3,t5) sae o sexto termo (t6), (1+2+5 = 8). Sie sumas os catro
   primeiros termos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sae o oitavo
   termo (t8), (1+2+5+13 = 21).

c) Se se suman os tres primeros termos que ocupan posición par (t2,t4,t6)
   e se engade 1, sae o séptimo termo (t7), (1+3+8 + 1 =13). Se se suman
   os catro primeiros termos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) e se lle
   engade 1, sae o noveno termo (t9), (1+3+8+21 + 1 =34).

d) Se tomamos dous termos consecutivos, por exemplo: t4=3 e t5=5;
   elevando ó cadrado e sumando: 32+52=9+25=34 que é o noveno (4+5)
   termo da sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando ó cadrado e
   sumando: 82+132=64+169=233 que é o (6+7) decimoterceiro termo da
   sucesión.

   Pero se elevamos ó cadrado os cinco primeiros termos e os sumamos, sae
   o produto do quinto e o sexto termo: 12+12+22+32+52=40=5*8.
   Se facemos o mesmo para os seis primeiros termos, sae o produto
   do sexto e o sétimo termo:

                 12+12+22+32+52+82=104=8*13.
e) E quizais o máis sorprendente sexa a seguinte propiedade. Dividamos
   dous termos consecutivos da sucesión, sempre o maior entre o menor e
   obtemos o seguinte:

        1 :1 = 1
        2:1 = 2
        3 : 2 = 1´5
        5 : 3 = 1´66666666
        8 : 5 = 1´6
        13 : 8 = 1´625
        21 :13 = 1´6153846....
        34 :21 = 1´6190476....
        55 :34 = 1´6176471....
        89 :55 = 1´6181818....

f) Ó tomar máis termos da sucesión e facer o seu cociente achegámonos ó
   número de ouro. Canto maiores son os termos, os cocientes achéganse
   máis a =1,61803....
O número de ouro na natureza.
         Na natureza hai sorprendentes elementos relacionados coa
    sección áurea:
•   A relación entre a distancia entre as espirais do interior
    espiralado de calquera caracol (non só do nautilus). FOTO
•   A relación entre os lados dun pentáculo.
•   A disposición dos pétalos das flores (o papel do número áureo na
    botánica recibe o nome de lei de Ludwig).
•   A distribución da follas nun talo.
•   A relación entre as nervaduras das follas das árbores.
•   A relación entre o grosor das pólas principais e o tronco, ou
    entre as ramas principais e as secundarias (o grosor dunha
    equivale a phi tomando como unidade a rama superior).
•   Existen cristais de Pirita dodecaédricos pentagonais cuxas caras
    son pentágonos perfectos.
•   A disposición das sementes dun xirasol está estruturada con 21 espirais
    cara á esquerda e 34 cara á dereita. Vinteun e trinta e catro son dous
    números consecutivos da sucesión de Fibonacci: 1-1-2-3-5-8-13-21-34-
    55-89-144-233...




•   O mesmo ocorre coas piñas dos piñeiros, temos dous números
    consecutivos da sucesión de Fibonacci: 8 e 13.
•   A medida do abdome dunha abella dividida por phi é igual á medida do
    seu tórax e á súa vez a medida do tórax dividida por phi é igual á medida
    da súa cabeza.




•   Tamén podemos encontrar phi na cuncha dun Nautilo
Leonardo de Pisa (Fibonacci) no seu Libro dos ábacos usa a
sucesión que leva o seu nome para calcular o número de pares de
coellos meses despois de que unha primeira parella comeza a
reproducirse ( supondo que os coellos están illados por muros,
empezan a reproducirse cando teñen dous meses de idade,
tardan un mes dende a fecundación ata a parición e cada camada
é de dous coellos).

Este é un problema matemático puramente independente de que
sexan coellos os involucrados . En realidade o plantexo recuriu a
coellos como podia recorres a outros seres; é un soporte para
facer comprensible unha incógnita, un acertixo matemático.
O número áureo na música.
    No pentagrama:

    Pentagrama que ilustra algunhas das razóns
áureas: os segmentos vermello e azul, azul e verde,
verde e morado.

     O número áureo ten un papel moi importante
nos pentágonos regulares e nos pentagramas. Cada
intersección de partes dun segmento, interseca a
outro segmento nunha razón áurea.

     O pentagrama inclúe dez triángulos isósceles: cinco acutángulos e
cinco obtusángulos. En ambos, a razón de lado maior e o menor é φ. Estes
triángulos coñécense como os triángulos áureos.

    Tendo en conta a gran simetría de este símbolo, obsérvase que
dentro do pentágono interior é posible debuxar unha nova estrela, cunha
recursividade ata o infinito.
Do mesmo modo, é posible debuxar un pentágono polo exterior,
que sería á súa vez o pentágono interior dunha estrela máis
grande. Ó medir a lonxitude total dunha das cinco liñas do
pentáculo interior, resulta igual á lonxitude de calquera dos
brazos da estrela maior, ou sexa Φ. Polo tanto o número de veces
en que aparece o número áureo no pentagrama é infinito ó anidar
infinitos pentagramas.

Tamén autores como Bártok, Messiaen ou stockhausen, entre
outros , compuxeron obras cuxas unidades formais se
relacionaban coa sección áurea.
O compositor mexicano Silvestre Revueltas utilizou tamén o
número áureo na súa obra Alcancías, para organizar as partes
(unidades formais).
O grupo de rock progresivo norteamericano Tool, no seu disco Lateralus
(2001) fai múltiples referencias a este número e á sucesión de Fibonacci,
sobre todo na canción que lle dá nome ó disco (audio da presentación),
pois os versos da mesma están cantados de tal forma que o número de
sílabas pronunciadas en cada un van compondo dita secuencia..

Zeysing notou a presenza dos números 3, 5, 8 e 13, da sucesión de
Fibonacci, no cálculo dos intervalos aferentes ós dous tipos de acordes
perfectos. Os dous tons de acorde maior final, mi e do por exemplo,
están entre si na razón cinco oitavos. Os dous tons do acorde menor
final, por exemplo, mi bemol e do, dan a razón tres quintos.

Nas estruturas formais das sonatas de Mozart, na Quinta Sinfonía de
Beethoven, en obras de Schubert e Debussý tamén observamos as
proporcións áureas, aínda que quizais compuxeron estas relacións de
maneira involuntaria e guiándose soamente nos equilibrios das masas
sonoras.
O número de ouro na arte:
Durante toda a historia da arte houbo diferentes estilos e normas sobre
as proporcións das figuras talladas. Estas proporcións baseábanse en
medidas matemáticas e xeométricas tomando como modelo o corpo
humano. Ademais tamén influían consideracións relixiosas, estéticas,
antropolóxicas e de “modas”.
Hai diferentes estudos sobre o corpo humano no que se diferenza ó
home da muller, xa que nesta a cabeza é máis alongada en relación co
corpo que no home, ademais as súas formas están vinculadas a cilindros
e globos e no home a cubos e liñas.
Os primeiros criterios sobre proporción orixináronse no antigo Exipto. A
escultura esta directamente relacionada coa arquitectura. As
proporcións eran medidas por un sistema cuadriculado no que a altura do
home era de 18 a 24 cadradiños segundo as épocas e 14 se estaba
sentado. Con este método determinábase a posición exacta de cada
parte do corpo.
Os gregos estudaron o corpo humano e crearon multitude de estatuas
humanas. Policleto destacou polos seus estudos, onde dicía que a beleza
estaba directamente relacionada coas proporcións numéricas do corpo
humano. Estas relacións entre as matemáticas e o corpo aparecen no seu
tratado “canon”.
•   O debuxo está realizado en lápiz e tinta e mide 34’2 x 24’5 cm. Na
    actualidade forma parte da colección da Galería da Academia de
    Venecia.
•   O cadrado está centrado nos xenitais e o círculo no embigo. A relación
    entre o lado do cadrado e o radio do círculo é a razón áurea. Para
    Vitruvio o corpo humano está dividido en dúas metades polos órganos
    xenitais, mentres que o embigo determina a sección áurea. No recén
    nacido, o embigo ocupa unha posición media e co crecemento migra ata a
    súa posición definitiva no adulto.
•   Dacordo coas notas do propio Leonardo no Home de Vitruvio dánse
    outras relacións:

     –   Unha palma equivale ó ancho de catro dedos.
     –   Un pé equivale ó ancho de catro palmas.
     –   Un antebrazo equivale ó ancho de seis palmas.
     –   A altura do home son catro antebrazos.
     –   Un paso é igual a un antebrazo.
     –   A envergadura dun home é igual á súa altura.
     –   A distancia entre o nacemento do pelo e o queixo é un décimo da altura do
         home.
     –   A altura da cabeza ó queixo é un oitavo da altura dun home.
     –   A distancia entre o nacemento do pelo e a parte superior do peito é un
         séptimo da altura dun home.
     –   A altura da cabeza ata o final das costelas é un cuarto da altura dun home.
     –   A anchura máxima dos ombreiros é un cuarto da altura dun home.
     –   A distancia do codo ó extremo da man é un quinto da altura dun home.
     –   A distancia do codo á axila é un quinto da altura dun home.
•A lonxitude da man é un décimo da altura dun home.
•A distancia da barbilla ó nariz é un tercio da lonxitude da cara.
•A distancia entre o nacemento do pelo e a cella é un tercio da lonxitude da
cara.
•A altura da orella é un tercio da lonxitude da cara.
•A distancia dende a planta do pe ata debaixo do xeonllo é a cuarta parte do
home.
•A distancia dende debaixo do xeonllo ata o inicio dos xenitais é a cuarta
parte do home.
•O inicio dos xenitais marca a metade da altura do home.
•O redescubrimento das proporcións matemáticas do corpo humano no s. XV
por Leonardo e outros autores, está considerado un dos grandes logros do
Renacemento.
•O debuxo tamén é a menudo considerado como un símbolo da simetría básica
do corpo humano e, por extensión, do universo no seu conxunto.
•Examinando o debuxo pode notarse que a combinación dos brazos e pernas
cra ralmente 16 posicións distintas. A posición cos brazos en cruz e os pés
xuntos vése inscrita no cadrado sobreimpreso.
Por outra parte, a posición superior dos brazos e as dúas pernas vése inscrita
no círculo sobreimpreso. Esto ilustra o principio de que no cambio entre dúas
posicións, o centro aparente da figura parece moverse, pero en realidade o
embigo da figura, que é o centro de gravidade verdadeiro, permanece
inmóbil.
Outro exemplo da proporción
áurea é a pirámide de Keops.
Se a distancia Ac é igual e 1, AB
mide a raíz cadrada de phi e BC
mide phi.
A pirámide de Keops mide 230
metros de lado e ten unha base
cadrada.

AC =230/2 = 115
√Φ ≈ 1.272

AB= Φ x 115 ≈ 186,07 que son os
metros da altura da pirámide.

BC = Φ x 115 ≈ 186,07 que son
os metros que hai dende o
centro dun lado da base ata o
pico da pirámide.
Esta tese foi defendida polos matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y
W.A. Price e conta cun testimonio histórico de Herótodo.

Os demais investigadores famosos inclínanse pola hipótese de que os
constructores intentaron unha cuadratura de círculo, pois a raíz
cadrada do número áureo aproxímase moitó ó cociente de catro sobre
pi. Sen embargo unha construcción tal aínda que se coñecera pi cunha
aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático.

Non obstante, en base a medicións non é posible escoller entre unha ou
outra pois a diferenza sobre o monumento real non é maior a 14’2 cm e
esta pequena variación queda enmascarada polas incertidumes das
medidas, os erros construtivos e, principalmente, porque a pirámide
perdeu o revestimento en mans dos primeiros construtores de El Cairo.
Os eixes dos catro pilares da
torre Eiffel forman un cadrado
de 100 metros, que sería o lado
pequeno dun rectángulo áureo.
Se pomos dous rectángulos
consecutivos conseguimos a
altura desta torre.

  100 x Φ x 2 ≈ 323,61
Tamén atopamos a phi nas
diferentes partes da torre.
No debuxo, o espazo azul sería 1
e phi sería o espazo azul máis o
dourado.
A continuación imos mostrar a construción fase por fase do mapa
              áureo do rostro da Mona Lisa:

• No esquema nº 1 pódese ver como o rostro da Gioconda se encadra
perfectamente nun rectángulo áureo.
• Dentro dese rectángulo áureo se se debuxa un cadrado no esquema nº 2 queda
arriba outro rectángulo áureo.
• No rectángulo áureo obtido no esquema nº 2 realízase a mesma operación (nº 3).
• Vólvese a realizar a mesma operación no esquema nº 4.
• No nº 5 trasládase simetricamente segundo a liña que pasa xusto enriba dos ollos
o cadrado grande de arriba e o último rectángulo áureo obtido. Pódese ver que la
liña apuntada sae exactamente do nacemento do pelo (xusto na raia do pelo), pasa
pola metade do nariz e remata na metade de onde empeza a boca da Mona Lisa.
• No debuxo nº 6 se se realiza a mesma operación descrita no nº 2 dos veces, o
punto que se sinala é exactamente o centro da pupila do ollo esquerdo da Gioconda e
no nº 8 o ollo dereito.
• No debuxo 7 trasládase simetricamente segundo a liña que vai do pelo á la boca o
debuxado no nº 6.
• Por último,no nº 8 trázase un novo rectángulo áureo no cal a esquina inferior
esquerda do último cadrado debuxado é exactamente o centro da pupila do ollo
dereito da Gioconda.
Paula Melero Paula PéRez AntíA RodríGuez NúMero Phi 260309
Tamén podemos atopar a proporción áurea
en Las Meninas de Velázque
Outro exemplo é a Tumba Rupestre de
Mira, que está baseada nun pentágono
regular , no cal o cociente entre a diagonal
do pentágono regular e o lado de dito
pentágono é o número áureo.
O cadro de Dalí Leda atómica, pintado en
1949, sintetiza séculos de tradición
matemática e simbólica, especialmente
pitagórica.
Trátase dunha filigrana baseada na
proporción áurea, pero elaborada de tal
forma que non é evidente para o
espectador.
No boceto de 1947 advírtese a
meticulosidade do análise xeométrico
realizado por Dalí baseado no pentagrama
místico pitagórico.
(Este cadro foi feito en colaboración co
matemático Matila Ghyka).
A relación entre as partes, o teito e as columnas do partenón de Atenas
(s. V a.C.). Durante o primeiro cuarto do século XX, Jay Hambidge, da
Universidade de Yale, inspirouse nunha paisaxe do Theeteto de Platón
para estudar as proporcións relativas das superficies, algo moi natural
cando se trata de obras arquitectónicas.
En 1837 descubríronse correccións ópticas no Partenón. Se as columnas
e os ángulos que o conforman fosen totalmente rectos e todas as súas
liñas fosen paralelas, polas propiedades da división humana o conxunto
veríase máis ancho arriba que na súa base e as columnas percibiríanse
inclinadas cara á fora. Sen embargo os construtores compensaron estes
efectos de ilusión óptica inclinando ou curvando en sentido inverso ós
elemnetos involucrados.
O número de ouro no ser humano:

    A anatomía dos seres humanos baséase nunha relación Phi exacta,así
    podemos ver:
•   A relación entre a altura do ser humano e altura do seu embigo.
•   A relación entre a distancia do ombro ós dedos e a distancia dos codos ós
    dedos.
•   Podemos atopar a Phi se observamos a espiral que forma a nosa orella.
•   A relación entre a altura da cadeira e o xeonllo.
•   A relación entre o primeiro óso dos dedos (metacarpiano) e a primeira
    falanxe, ou entre a primeira e a segunda, ou entre a segunda e a terceira .
    Se dividimos todo é Phi.
•   A relación entre a man e o antebrazo.
•   A relación entre o diámetro da boca e o do nariz.
•   Tamén é Phi a relación entre o diámetro dos ollos e a liña inter - pupilar.
•   Cando a tráquea se divide nos seus bronquios, se se mide o diámetro dos
    bronquios pola tráquea obtense Phi, ó igual que se obtén da relación entre
    a aorta coas súas ramas terminais (ilíacas primitivas).
•   A relación que hai entre a metade dereita o esquerda da nosa mandíbula
    superior e a distancia do beizo ó nariz.
•   Está comprobado que a maior cantidade de números Phi no rostro e o
    corpo fan que a maioría das persoas recoñezan a eses individuos como
    guapos, belos e proporcionais. Se se miden os números Phi dunha
    poboación determinada e se a compara cunha poboación de modelos
    publicitarios, estes últimos resultan achegarse máis ó número Phi.
O número de ouro no universo
Podemos atopar a phi na relación que existe entre as distancias dos
distintos planetas do sistema solar ó sol.




Na terceira columna da seguinte táboa amósase o resultado de dividir a
distancia dos planetas ó sol pola distancia ó anterior.
( Para Mercurio como ten planeta anterior asignóuselle 1).

Moitas veces cando falamos do sistema sola omitimos o cinto de
asteroides, que tamén representa unha masa considerable para o
equilibrio do universo, sendo Ceres o asteroide maior.
Ceres é tan grande que ten forma esférica coma os planetas e representa
un terzo da masa total do cinto, situándose entre Marte e Xúpiter.
Relación entre
                        Distancia ó sol
                                          as distancias
Planetas                en millóns de
                                          dos sucesivos
                        Km.
                                          planetas
     Mercurio                 57,9               1
       Venus                 108,2             1,869
      Tierra                 149,6             1,383
      Marte                  227.9             1,523
       Ceres                 413,7             1,815
      Júpiter                778,6             1,881
      Saturno                1433,5            1,841
       Urano                 2872,5            2,004
     Neptuno                 4495,1            1,565
      Plutón                  5870             1,306


                Total                         16,187
                 Media                         1,6187
               Numero Phi                      1,6180
Nos aneis de Cassini do planeta de Saturno tamén se atopa a relación
phi.




Se o segmento dourado é igual a 1, o segmento azul é igual a phi.
Curiosidades áureas
Supondo que a distancia de 0º a 100º é phi:




Unha unidade partindo de 0º serían aproximadamente 62º, que é a
temperatura límite da vida, a temperatura mínima necesaria para matar
ás bacterias. ( A pasteurización realízase en media hora a esta
temperatura).
Unha unidade partindo de 100º cara 0º serían 38º, que é a temperatura
    aproximada dos mamíferos. A temperatura normal do home é de 37º,
    sen embargo a dos cans ou gatos é de 39º, por iso a media está moi
    preto dos 38º.

•   100/Φ ≈ 61,8 ≈ temperatura limite de la vida.
•   100 - [100/Φ] ≈ 38,2 ≈ temperatura de los mamíferos.




    Como non, tamén podemos atopar exemplos de rectángulos áureos nas
    tarxetas de crédito, no noso carné de identidade ou nas caixatiñas de
    tabaco.
Nas xoias tamén atopamos exemplos de proporción áurea.
Xeralmente son obxectos de metais preciosos que serven como adornos.
O valor sentimental que se lle dá ás xoias conforma consigo a
perfección, coincidindo ademais en ocasións coas proporcións divinas que
outorga o número áureo.




Outros claros exemplos son instrumentos musicais como a frauta, libros,
décimos de lotería ou ata ferramenta de traballo.
Na páxina seis da novela de Dan Brown El código Da Vinci, aparece unha
versión desordenada dos primeiros oito números da sucesión de
Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como unha pista deixada
polo curador do museo do Louvre, Jacques Saunière. Nas páxinas 121 a
123 explica algunhas das aparicións deste número Phi na natureza.

Tamán no episodio de “Sabotaje” da serie de televisión NUMB3RS, o
xenio das matemáticas Charlie Epps menciona que o número phi se atopa
na estrutura dos cristais, na espiral das galaxias e na cuncha dos
nautilus.

Na cinta de Darren Aronfsky Pi, fe en el caos, o personaxe central, Max
Cohen explica a relación que hai entre os números de Fibonacci e a
sección áurea, aínda que denominándoa incorrectamente como Theta no
canto de Phi.
Fin.

Más contenido relacionado

Similar a Paula Melero Paula PéRez AntíA RodríGuez NúMero Phi 260309

Razón áurea e sucesión de Fibonacci
Razón áurea e sucesión de FibonacciRazón áurea e sucesión de Fibonacci
Razón áurea e sucesión de Fibonaccisusoigto
 
Poliedros galego
Poliedros galegoPoliedros galego
Poliedros galegoxes4pdc
 
Xeometria espacial0
Xeometria espacial0Xeometria espacial0
Xeometria espacial0Manuel Busto
 
A atracción tal
A atracción  talA atracción  tal
A atracción talmatemat1
 
Lugares xeométricos e polígonos
Lugares xeométricos e polígonosLugares xeométricos e polígonos
Lugares xeométricos e polígonosNIEVES LAGO
 
Clasificación de Polierdos. Propidades
Clasificación de Polierdos. PropidadesClasificación de Polierdos. Propidades
Clasificación de Polierdos. Propidadespilagarcia
 

Similar a Paula Melero Paula PéRez AntíA RodríGuez NúMero Phi 260309 (10)

Polígonos 4ºA
Polígonos 4ºAPolígonos 4ºA
Polígonos 4ºA
 
Razón áurea e sucesión de Fibonacci
Razón áurea e sucesión de FibonacciRazón áurea e sucesión de Fibonacci
Razón áurea e sucesión de Fibonacci
 
Poliedros galego
Poliedros galegoPoliedros galego
Poliedros galego
 
Xeometria espacial0
Xeometria espacial0Xeometria espacial0
Xeometria espacial0
 
Geometria a través de la Historia
Geometria a través de la HistoriaGeometria a través de la Historia
Geometria a través de la Historia
 
Número aureo1
Número aureo1Número aureo1
Número aureo1
 
A atracción tal
A atracción  talA atracción  tal
A atracción tal
 
Lugares xeométricos e polígonos
Lugares xeométricos e polígonosLugares xeométricos e polígonos
Lugares xeométricos e polígonos
 
Clasificación de Polierdos. Propidades
Clasificación de Polierdos. PropidadesClasificación de Polierdos. Propidades
Clasificación de Polierdos. Propidades
 
Poliedros
PoliedrosPoliedros
Poliedros
 

Paula Melero Paula PéRez AntíA RodríGuez NúMero Phi 260309

  • 1. NÚMERO PHI O número de ouro. Paula Melero Valentín Paula Pérez Martínez Antía Rodríguez Martínez
  • 2. Índice • ¿Que é phi? • Historia do número áureo. • O número de ouro nas matemáticas (a sucesión de Fibonacci). • O número de ouro na natureza. • O número de ouro na música. • O número de ouro na arte. • O número de ouro no ser humano. • O número de ouro no universo. • Curiosidades áureas.
  • 3. ¿Que é phi? • Phi é o número áureo ou de ouro, tamén chamado número dourado, razón áurea, razón dourada, media áurea, proporción áurea e divina proporción; representado pola letra grega φ (fi). Recibe o seu nome en honor ó escultor grego Fideas. • É o número irracional: • Trátase dun número alxebraico que posúe moitas propiedades interesantes e que foi descuberto na antigüidade, non como “unidade” senón como relación ou proporción. Esta proporción atópase tanto nalgunhas figuras xeométricas como na natureza en elementos como caracolas, nervios das follas dalgunhas árbores, no grosor das ramas, etc. • O seu carácter estético atribúese en especial a obxectos que seguen a razón áurea, así como unha importancia mística. Ao largo da historia fóiselle atribuíndo importancia en diversas obras de arquitectura e outras artes.
  • 4. Historia do numero áureo. Existen numerosos textos que suxiren que o número áureo se atopa como proporción en certas estelas Babilonias e Asirias de ó redor de catro mil anos de antigüidade. Sen embargo non existe documentación histórica que indique que o número áureo foi usado conscientemente polos arquitectos ou artistas na construción das estelas. Por esta razón Mario Livio concluíu que é moi improbable que os Babilonios descubriran o número áureo. O primeiro en facer un estudo formal sobre o número áureo foi Euclides, quen o definiu da seguinte maneira: “Dise que unha liña recta está dividida no extremo e a súa proporcional cando a liña enteira é ao segmento maior como o maior é ao menor”. Euclides tamén demostrou que este número non pode ser descrito como a razón de dous números enteiros, é dicir, é irracional. Platón viviu antes de que Euclides estudara o número áureo, sen embargo, ese atribúelle o desenrolo de teoremas relacionados co número áureo debido a que o historiador grego Proclo escribiu: “Eudoxo... Multiplicou o número de teoremas relativos á sección ós que Platón deu orixe.”
  • 5. En 1509 o matemático e teólogo Luca Pacioli publica o seu libro De divina proportione (La divina proporción), no que se plantexan cinco razóns polas que considera apropiado considerar divino ó número áureo: 1. A unicidade; Pacioli compara o valor único do número áureo coa unicidade de Deus. 2. O feito de que estea definido por tres segmentos de recta, Pacioli asóciao coa Trinidad. 3. A inconmensurabilidade; para Pacioli a infinidade do número áureo e a de Deus eran equivalentes. 4. A autosimilaridade asociada ó número áureo; Pacioli compáraa coa omnipresencia e invariabilidade de Deus. 5. Segundo Paiolo, da mesma maneira en que Deus deu ser ó Universo a través da quinta esencia, representada polo dodecaedro; o número áureo deu ser ó dodecaedro. En 1525, Alberto Durero publica Instrución sobre a medida con regra e compás de figuras planas e sólidas onde describe como trazar con regra e compás a espiral baseada na sección áurea, que se coñece como “espiral de Durero”.
  • 6. O astrónomo Johannes Kleper, desenrolou un modelo Platónico do Sistema Solar utilizando os sólidos platónicos, e referiuse ó número áureo en termos grandiosos no libro Mysterium Cosmographicum (O misterio cósmico): “A xeometría ten dous grandes tesouros: un é o teorema de Pitágoras; o outro, a división dunha liña entre o extremo e a súa proporcional” O primeiro uso coñecido do adxectivo áureo para referirse a este número faino o matemático alemán Martín Ohm nunha nota ó pe de letra do seu libro“ Die Reine Elemental Matematik” (As matemáticas puras elementais), no que escribe: “ Un tamén acostuma chamar a esta división dunha liña arbitraria en dúas partes como estas a sección dourada” A pesar de que a forma de escribir suxire que o termo xa era coñecido, o feito de que non o incluíra na primeira edición do libro fai pensar que gañou popularidade a partir de 1830. Ó principio, nos textos matemáticos usábase a letra τ que viña do grego τομή, e que significa corte ou sección; sen embargo, en 1900 Mark Barr en honor a Fidias adxudicoulle a letra Φ, que era a primeira letra do seu nome (Φειδίας).
  • 7. O número de ouro nas matemáticas (a sucesión de Fibonacci). 1. Phi a partir dun cadrado e un rectángulo. Para obter o número áureo nun cadrado, trázase un arco que teña por centro o punto medio dun dos seus lados e tal que o seu diámetro alcance o vértice do lado oposto. Dende ese punto lévase o arco ata a súa intersección con prolongación do primeiro lado, elixido obtendo un segmento que chamamos Phi. A relación entre Phi e un lado do cadrado é o número áureo.
  • 8. Partindo dun cadrado que mida dous de lado, o segmento Phi (Φ) mide 1 máis o diámetro do arco. Segundo Pitágoras nun triángulo rectángulo o cadrado da hipotenusa é a suma dos cadrados dos catetos. 2² + 1² = 5 , polo que a hipotenusa é igual a √5. Súmaselle 1 para completar o segmento e obtense o valor de phi para dous, polo tanto divídese por dous. (√5 + 1) ÷ 2 = 1,618034...
  • 9. 2. Phi a partir dun triangulo rectángulo: Debúxase un triángulo rectángulo ABC co ángulo recto na esquina A. O segmento BC é a hipotenusa deste triángulo. O cateto AB mide 2 e o cateto AC mide 1. Trazamos unha prolongación da hipotenusa en dirección B->C ata que se cruza co arco de centro C e cun radio que alcanza o punto A. O punto onde se intersecan a prolongación da hipotenusa e o arco anteriormente mencionado é o punto E. Trázanse dous arcos, un con centro en B e radio que alcanza A (AB=2 -> radio=2) e outro con centro en E e radio de 2. Trázase unha liña que pase polos dous puntos onde se intersecan os dous arcos anteriores. Esta liña cruza a hipotenusa do triángulo no punto D. Os dous segmentos BD e ED miden exactamente o valor de Phi e CD é igual a Φ/1.
  • 10. 3. Phi nun cadrado inscrito nun semicírculo: Debúxase un circulo partido polo seu diámetro (cor verde). Dentro deste semicírculo inscríbese un cadrado ABCD que ten un dos seus lados (CD) sobre o diámetro do semicírculo e as súas outras dúas esquinas (A e B) que intersequen co mesmo semicírculo. Se a lonxitude da liña CD é igual a 1, CE é igual a Phi.
  • 11. 4. Phi a partir de círculos concéntricos : Trázanse dous círculos (cor verde) concéntricos nos que o diámetro dun deles sexa o dobre do outro. Desprázanse estes dous círculos cambiando o seu centro dende Oa a Ob, Ob debe situarse no primeiro círculo pequeno (cor verde). Agora temos dous círculos concéntricos (cor verde) máis outros dous círculos concéntricos (cor morado). Os dous círculos de diámetro pequeno intersécanse en dous puntos A e B. Os dous círculos de diámetro grande tamén se intersecan en dous puntos sendo C un deles. Se dividimos a medida do segmento AC pola medida do segmento AB obtemos Φ.
  • 12. 5. Phi a partir dun pentágono: No primeiro pentágono ABCDE, trázase unha liña AD e outra BE que se cruzan en F, se BF é igual a un BE, é igual a Phi. No segundo pentágono ABCDE trázanse liñas dende cada esquina ata as súas dúas esquinas opostas obtendo outro pentágono FGHIJ. Se AG é igual a 1, AB é igual a phi e FG ó inverso de Phi: 1/Φ.
  • 13. 6. Phi a partir dun triángulo isósceles inscrito nun círculo: Na seguinte táboa, dividindo o valor de arriba polo de abaixo o resultado é Phi: FG AB FB CB FH AF Arco AB FE AK FJ CM ON AI Arco AG Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
  • 14. • Debúxase un triángulo isósceles ABC inscrito nun círculo. Os centros dos lados do triángulo son DEF. Trázase unha liña que pasa polo centro de dous lados do triángulo levándoa ata o círculo no punto G. Se a medida FE é un, FG é phi. • No seguinte debuxo, trazo unha liña dende C ata G e outra de B ata F e teñen a intersección en H. • A liña CG cruza AB en K. Dende K trazo outra liña paralela a FB que cruza FG en L e chega ata a liña AC en I. • Perpendicularmente a IK trazo unha liña que cruza FB en J e vai ata a liña CB en M. • Dende M trazo unha liña paralela a IK que cruza CG en N e chega ata AC no punto O.
  • 15. 7. Phi a partir de tres círculos e un triángulo rectángulo: • Debúxanse 3 círculos de diámetro 1 que se intersecan sobre a mesma liña (CB). O primeiro círculo intersécase nun so punto co segundo e este tamén se interseca nun punto co terceiro. • O punto de intersección do primeiro círculo coa liña é C e co terceiro círculo é B. Sácase unha liña perpendicular ó segmento BC dende o punto C ata o punto A que é a intersección co primeiro círculo. Acabamos de debuxar un triángulo ABC.
  • 16. • AB intersécase co segundo círculo en dous puntos D e E. DE é o diámetro do segundo círculo polo tanto mide 1. AC é o diámetro do primeiro círculo conseguintemente mide 1. BC mide o diámetro do segundo círculo máis a metade do primeiro e a metade do terceiro que é igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB é a hipotenusa do triángulo rectángulo e segundo Pitágoras nun triángulo rectángulo o cadrado da hipotenusa é a suma dos cadrados dos catetos: 2² + 1² = 5 --> a hipotenusa é igual a v5. Recapitulando: AB= v5 BC= 2 CA= 1 DE= 1 Agora imos ver onde se atopa Phi: AE = BD = (v5 – 1) / 2 + 1 = (v5 + 1) / 2 = 1,618034... (Phi) AD = BE = (v5 – 1) / 2 + 1 = 0,618034… ( 1/ Phi)
  • 17. 8. Phi no triángulo de Pascal : • Este é o triángulo de Pascal que se forma situando o número un polos seus dous laterais e os demais números áchase sumando os dous números que ten xusto enriba (segundo as V do debuxo). Sumando os números segundo as diagonais (liñas verdes e azuis no debuxo) obtemos a sucesión de Fibonacci. • Se collemos a terceira liña diagonal: 1-3-6-10-15-21-28-36... e lle sumamos un número á seguinte, obtemos os cadrados sucesivamente de cada numero: • 1 + 3 = 4 que é o cadrado de 2. • 3 + 6 = 9 que é o cadrado de 3. • 6 + 10 = 16 que é o cadrado de 4. Así poderíamos seguir ata o infinito.
  • 18. 9. A sucesión de Fibonacci: Consideremos a seguinte sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Cada número a partir do terceiro, obtense sumando os dous que lle preceden. Por exemplo, 21 = 13 + 8; o seguinte a 34 será 34 + 21 = 55. Esta sucesión é a chamada "sucesión de Fibonacci"*. *É o alcume co que se coñeceu ó rico comerciante Leonardo de Pisa. Viaxou polo Norte de África e Asia e trouxo a Europa algúns dos coñecementos da cultura árabe e hindú, entre outros a vantaxe do sistema de numeración arábigo ( o que usamos) fronte ó romano. A sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte máis sinxelo imos enunciar os casos particulares e calcular os primeiros catorce termos desta sucesión: a) Se se suman os catro primeiros termos e se engade 1, sae o sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Se se suman os cinco primeiros termos e se lle engade 1, obtense o sétimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).
  • 19. b) Se se suman os tres primeiros termos que ocupan posición impar (t1,t3,t5) sae o sexto termo (t6), (1+2+5 = 8). Sie sumas os catro primeiros termos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sae o oitavo termo (t8), (1+2+5+13 = 21). c) Se se suman os tres primeros termos que ocupan posición par (t2,t4,t6) e se engade 1, sae o séptimo termo (t7), (1+3+8 + 1 =13). Se se suman os catro primeiros termos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) e se lle engade 1, sae o noveno termo (t9), (1+3+8+21 + 1 =34). d) Se tomamos dous termos consecutivos, por exemplo: t4=3 e t5=5; elevando ó cadrado e sumando: 32+52=9+25=34 que é o noveno (4+5) termo da sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando ó cadrado e sumando: 82+132=64+169=233 que é o (6+7) decimoterceiro termo da sucesión. Pero se elevamos ó cadrado os cinco primeiros termos e os sumamos, sae o produto do quinto e o sexto termo: 12+12+22+32+52=40=5*8. Se facemos o mesmo para os seis primeiros termos, sae o produto do sexto e o sétimo termo: 12+12+22+32+52+82=104=8*13.
  • 20. e) E quizais o máis sorprendente sexa a seguinte propiedade. Dividamos dous termos consecutivos da sucesión, sempre o maior entre o menor e obtemos o seguinte: 1 :1 = 1 2:1 = 2 3 : 2 = 1´5 5 : 3 = 1´66666666 8 : 5 = 1´6 13 : 8 = 1´625 21 :13 = 1´6153846.... 34 :21 = 1´6190476.... 55 :34 = 1´6176471.... 89 :55 = 1´6181818.... f) Ó tomar máis termos da sucesión e facer o seu cociente achegámonos ó número de ouro. Canto maiores son os termos, os cocientes achéganse máis a =1,61803....
  • 21. O número de ouro na natureza. Na natureza hai sorprendentes elementos relacionados coa sección áurea: • A relación entre a distancia entre as espirais do interior espiralado de calquera caracol (non só do nautilus). FOTO • A relación entre os lados dun pentáculo. • A disposición dos pétalos das flores (o papel do número áureo na botánica recibe o nome de lei de Ludwig). • A distribución da follas nun talo. • A relación entre as nervaduras das follas das árbores. • A relación entre o grosor das pólas principais e o tronco, ou entre as ramas principais e as secundarias (o grosor dunha equivale a phi tomando como unidade a rama superior). • Existen cristais de Pirita dodecaédricos pentagonais cuxas caras son pentágonos perfectos.
  • 22. A disposición das sementes dun xirasol está estruturada con 21 espirais cara á esquerda e 34 cara á dereita. Vinteun e trinta e catro son dous números consecutivos da sucesión de Fibonacci: 1-1-2-3-5-8-13-21-34- 55-89-144-233... • O mesmo ocorre coas piñas dos piñeiros, temos dous números consecutivos da sucesión de Fibonacci: 8 e 13.
  • 23. A medida do abdome dunha abella dividida por phi é igual á medida do seu tórax e á súa vez a medida do tórax dividida por phi é igual á medida da súa cabeza. • Tamén podemos encontrar phi na cuncha dun Nautilo
  • 24. Leonardo de Pisa (Fibonacci) no seu Libro dos ábacos usa a sucesión que leva o seu nome para calcular o número de pares de coellos meses despois de que unha primeira parella comeza a reproducirse ( supondo que os coellos están illados por muros, empezan a reproducirse cando teñen dous meses de idade, tardan un mes dende a fecundación ata a parición e cada camada é de dous coellos). Este é un problema matemático puramente independente de que sexan coellos os involucrados . En realidade o plantexo recuriu a coellos como podia recorres a outros seres; é un soporte para facer comprensible unha incógnita, un acertixo matemático.
  • 25. O número áureo na música. No pentagrama: Pentagrama que ilustra algunhas das razóns áureas: os segmentos vermello e azul, azul e verde, verde e morado. O número áureo ten un papel moi importante nos pentágonos regulares e nos pentagramas. Cada intersección de partes dun segmento, interseca a outro segmento nunha razón áurea. O pentagrama inclúe dez triángulos isósceles: cinco acutángulos e cinco obtusángulos. En ambos, a razón de lado maior e o menor é φ. Estes triángulos coñécense como os triángulos áureos. Tendo en conta a gran simetría de este símbolo, obsérvase que dentro do pentágono interior é posible debuxar unha nova estrela, cunha recursividade ata o infinito.
  • 26. Do mesmo modo, é posible debuxar un pentágono polo exterior, que sería á súa vez o pentágono interior dunha estrela máis grande. Ó medir a lonxitude total dunha das cinco liñas do pentáculo interior, resulta igual á lonxitude de calquera dos brazos da estrela maior, ou sexa Φ. Polo tanto o número de veces en que aparece o número áureo no pentagrama é infinito ó anidar infinitos pentagramas. Tamén autores como Bártok, Messiaen ou stockhausen, entre outros , compuxeron obras cuxas unidades formais se relacionaban coa sección áurea. O compositor mexicano Silvestre Revueltas utilizou tamén o número áureo na súa obra Alcancías, para organizar as partes (unidades formais).
  • 27. O grupo de rock progresivo norteamericano Tool, no seu disco Lateralus (2001) fai múltiples referencias a este número e á sucesión de Fibonacci, sobre todo na canción que lle dá nome ó disco (audio da presentación), pois os versos da mesma están cantados de tal forma que o número de sílabas pronunciadas en cada un van compondo dita secuencia.. Zeysing notou a presenza dos números 3, 5, 8 e 13, da sucesión de Fibonacci, no cálculo dos intervalos aferentes ós dous tipos de acordes perfectos. Os dous tons de acorde maior final, mi e do por exemplo, están entre si na razón cinco oitavos. Os dous tons do acorde menor final, por exemplo, mi bemol e do, dan a razón tres quintos. Nas estruturas formais das sonatas de Mozart, na Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert e Debussý tamén observamos as proporcións áureas, aínda que quizais compuxeron estas relacións de maneira involuntaria e guiándose soamente nos equilibrios das masas sonoras.
  • 28. O número de ouro na arte: Durante toda a historia da arte houbo diferentes estilos e normas sobre as proporcións das figuras talladas. Estas proporcións baseábanse en medidas matemáticas e xeométricas tomando como modelo o corpo humano. Ademais tamén influían consideracións relixiosas, estéticas, antropolóxicas e de “modas”. Hai diferentes estudos sobre o corpo humano no que se diferenza ó home da muller, xa que nesta a cabeza é máis alongada en relación co corpo que no home, ademais as súas formas están vinculadas a cilindros e globos e no home a cubos e liñas. Os primeiros criterios sobre proporción orixináronse no antigo Exipto. A escultura esta directamente relacionada coa arquitectura. As proporcións eran medidas por un sistema cuadriculado no que a altura do home era de 18 a 24 cadradiños segundo as épocas e 14 se estaba sentado. Con este método determinábase a posición exacta de cada parte do corpo. Os gregos estudaron o corpo humano e crearon multitude de estatuas humanas. Policleto destacou polos seus estudos, onde dicía que a beleza estaba directamente relacionada coas proporcións numéricas do corpo humano. Estas relacións entre as matemáticas e o corpo aparecen no seu tratado “canon”.
  • 29. O debuxo está realizado en lápiz e tinta e mide 34’2 x 24’5 cm. Na actualidade forma parte da colección da Galería da Academia de Venecia. • O cadrado está centrado nos xenitais e o círculo no embigo. A relación entre o lado do cadrado e o radio do círculo é a razón áurea. Para Vitruvio o corpo humano está dividido en dúas metades polos órganos xenitais, mentres que o embigo determina a sección áurea. No recén nacido, o embigo ocupa unha posición media e co crecemento migra ata a súa posición definitiva no adulto. • Dacordo coas notas do propio Leonardo no Home de Vitruvio dánse outras relacións: – Unha palma equivale ó ancho de catro dedos. – Un pé equivale ó ancho de catro palmas. – Un antebrazo equivale ó ancho de seis palmas. – A altura do home son catro antebrazos. – Un paso é igual a un antebrazo. – A envergadura dun home é igual á súa altura. – A distancia entre o nacemento do pelo e o queixo é un décimo da altura do home. – A altura da cabeza ó queixo é un oitavo da altura dun home. – A distancia entre o nacemento do pelo e a parte superior do peito é un séptimo da altura dun home. – A altura da cabeza ata o final das costelas é un cuarto da altura dun home. – A anchura máxima dos ombreiros é un cuarto da altura dun home. – A distancia do codo ó extremo da man é un quinto da altura dun home. – A distancia do codo á axila é un quinto da altura dun home.
  • 30. •A lonxitude da man é un décimo da altura dun home. •A distancia da barbilla ó nariz é un tercio da lonxitude da cara. •A distancia entre o nacemento do pelo e a cella é un tercio da lonxitude da cara. •A altura da orella é un tercio da lonxitude da cara. •A distancia dende a planta do pe ata debaixo do xeonllo é a cuarta parte do home. •A distancia dende debaixo do xeonllo ata o inicio dos xenitais é a cuarta parte do home. •O inicio dos xenitais marca a metade da altura do home. •O redescubrimento das proporcións matemáticas do corpo humano no s. XV por Leonardo e outros autores, está considerado un dos grandes logros do Renacemento. •O debuxo tamén é a menudo considerado como un símbolo da simetría básica do corpo humano e, por extensión, do universo no seu conxunto. •Examinando o debuxo pode notarse que a combinación dos brazos e pernas cra ralmente 16 posicións distintas. A posición cos brazos en cruz e os pés xuntos vése inscrita no cadrado sobreimpreso. Por outra parte, a posición superior dos brazos e as dúas pernas vése inscrita no círculo sobreimpreso. Esto ilustra o principio de que no cambio entre dúas posicións, o centro aparente da figura parece moverse, pero en realidade o embigo da figura, que é o centro de gravidade verdadeiro, permanece inmóbil.
  • 31. Outro exemplo da proporción áurea é a pirámide de Keops. Se a distancia Ac é igual e 1, AB mide a raíz cadrada de phi e BC mide phi. A pirámide de Keops mide 230 metros de lado e ten unha base cadrada. AC =230/2 = 115 √Φ ≈ 1.272 AB= Φ x 115 ≈ 186,07 que son os metros da altura da pirámide. BC = Φ x 115 ≈ 186,07 que son os metros que hai dende o centro dun lado da base ata o pico da pirámide.
  • 32. Esta tese foi defendida polos matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W.A. Price e conta cun testimonio histórico de Herótodo. Os demais investigadores famosos inclínanse pola hipótese de que os constructores intentaron unha cuadratura de círculo, pois a raíz cadrada do número áureo aproxímase moitó ó cociente de catro sobre pi. Sen embargo unha construcción tal aínda que se coñecera pi cunha aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático. Non obstante, en base a medicións non é posible escoller entre unha ou outra pois a diferenza sobre o monumento real non é maior a 14’2 cm e esta pequena variación queda enmascarada polas incertidumes das medidas, os erros construtivos e, principalmente, porque a pirámide perdeu o revestimento en mans dos primeiros construtores de El Cairo.
  • 33. Os eixes dos catro pilares da torre Eiffel forman un cadrado de 100 metros, que sería o lado pequeno dun rectángulo áureo. Se pomos dous rectángulos consecutivos conseguimos a altura desta torre. 100 x Φ x 2 ≈ 323,61 Tamén atopamos a phi nas diferentes partes da torre. No debuxo, o espazo azul sería 1 e phi sería o espazo azul máis o dourado.
  • 34. A continuación imos mostrar a construción fase por fase do mapa áureo do rostro da Mona Lisa: • No esquema nº 1 pódese ver como o rostro da Gioconda se encadra perfectamente nun rectángulo áureo. • Dentro dese rectángulo áureo se se debuxa un cadrado no esquema nº 2 queda arriba outro rectángulo áureo. • No rectángulo áureo obtido no esquema nº 2 realízase a mesma operación (nº 3). • Vólvese a realizar a mesma operación no esquema nº 4. • No nº 5 trasládase simetricamente segundo a liña que pasa xusto enriba dos ollos o cadrado grande de arriba e o último rectángulo áureo obtido. Pódese ver que la liña apuntada sae exactamente do nacemento do pelo (xusto na raia do pelo), pasa pola metade do nariz e remata na metade de onde empeza a boca da Mona Lisa. • No debuxo nº 6 se se realiza a mesma operación descrita no nº 2 dos veces, o punto que se sinala é exactamente o centro da pupila do ollo esquerdo da Gioconda e no nº 8 o ollo dereito. • No debuxo 7 trasládase simetricamente segundo a liña que vai do pelo á la boca o debuxado no nº 6. • Por último,no nº 8 trázase un novo rectángulo áureo no cal a esquina inferior esquerda do último cadrado debuxado é exactamente o centro da pupila do ollo dereito da Gioconda.
  • 36. Tamén podemos atopar a proporción áurea en Las Meninas de Velázque Outro exemplo é a Tumba Rupestre de Mira, que está baseada nun pentágono regular , no cal o cociente entre a diagonal do pentágono regular e o lado de dito pentágono é o número áureo. O cadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza séculos de tradición matemática e simbólica, especialmente pitagórica. Trátase dunha filigrana baseada na proporción áurea, pero elaborada de tal forma que non é evidente para o espectador. No boceto de 1947 advírtese a meticulosidade do análise xeométrico realizado por Dalí baseado no pentagrama místico pitagórico. (Este cadro foi feito en colaboración co matemático Matila Ghyka).
  • 37. A relación entre as partes, o teito e as columnas do partenón de Atenas (s. V a.C.). Durante o primeiro cuarto do século XX, Jay Hambidge, da Universidade de Yale, inspirouse nunha paisaxe do Theeteto de Platón para estudar as proporcións relativas das superficies, algo moi natural cando se trata de obras arquitectónicas. En 1837 descubríronse correccións ópticas no Partenón. Se as columnas e os ángulos que o conforman fosen totalmente rectos e todas as súas liñas fosen paralelas, polas propiedades da división humana o conxunto veríase máis ancho arriba que na súa base e as columnas percibiríanse inclinadas cara á fora. Sen embargo os construtores compensaron estes efectos de ilusión óptica inclinando ou curvando en sentido inverso ós elemnetos involucrados.
  • 38. O número de ouro no ser humano: A anatomía dos seres humanos baséase nunha relación Phi exacta,así podemos ver: • A relación entre a altura do ser humano e altura do seu embigo. • A relación entre a distancia do ombro ós dedos e a distancia dos codos ós dedos. • Podemos atopar a Phi se observamos a espiral que forma a nosa orella. • A relación entre a altura da cadeira e o xeonllo. • A relación entre o primeiro óso dos dedos (metacarpiano) e a primeira falanxe, ou entre a primeira e a segunda, ou entre a segunda e a terceira . Se dividimos todo é Phi. • A relación entre a man e o antebrazo. • A relación entre o diámetro da boca e o do nariz. • Tamén é Phi a relación entre o diámetro dos ollos e a liña inter - pupilar. • Cando a tráquea se divide nos seus bronquios, se se mide o diámetro dos bronquios pola tráquea obtense Phi, ó igual que se obtén da relación entre a aorta coas súas ramas terminais (ilíacas primitivas).
  • 39. A relación que hai entre a metade dereita o esquerda da nosa mandíbula superior e a distancia do beizo ó nariz. • Está comprobado que a maior cantidade de números Phi no rostro e o corpo fan que a maioría das persoas recoñezan a eses individuos como guapos, belos e proporcionais. Se se miden os números Phi dunha poboación determinada e se a compara cunha poboación de modelos publicitarios, estes últimos resultan achegarse máis ó número Phi.
  • 40. O número de ouro no universo Podemos atopar a phi na relación que existe entre as distancias dos distintos planetas do sistema solar ó sol. Na terceira columna da seguinte táboa amósase o resultado de dividir a distancia dos planetas ó sol pola distancia ó anterior. ( Para Mercurio como ten planeta anterior asignóuselle 1). Moitas veces cando falamos do sistema sola omitimos o cinto de asteroides, que tamén representa unha masa considerable para o equilibrio do universo, sendo Ceres o asteroide maior. Ceres é tan grande que ten forma esférica coma os planetas e representa un terzo da masa total do cinto, situándose entre Marte e Xúpiter.
  • 41. Relación entre Distancia ó sol as distancias Planetas en millóns de dos sucesivos Km. planetas Mercurio 57,9 1 Venus 108,2 1,869 Tierra 149,6 1,383 Marte 227.9 1,523 Ceres 413,7 1,815 Júpiter 778,6 1,881 Saturno 1433,5 1,841 Urano 2872,5 2,004 Neptuno 4495,1 1,565 Plutón 5870 1,306 Total 16,187 Media 1,6187 Numero Phi 1,6180
  • 42. Nos aneis de Cassini do planeta de Saturno tamén se atopa a relación phi. Se o segmento dourado é igual a 1, o segmento azul é igual a phi.
  • 43. Curiosidades áureas Supondo que a distancia de 0º a 100º é phi: Unha unidade partindo de 0º serían aproximadamente 62º, que é a temperatura límite da vida, a temperatura mínima necesaria para matar ás bacterias. ( A pasteurización realízase en media hora a esta temperatura).
  • 44. Unha unidade partindo de 100º cara 0º serían 38º, que é a temperatura aproximada dos mamíferos. A temperatura normal do home é de 37º, sen embargo a dos cans ou gatos é de 39º, por iso a media está moi preto dos 38º. • 100/Φ ≈ 61,8 ≈ temperatura limite de la vida. • 100 - [100/Φ] ≈ 38,2 ≈ temperatura de los mamíferos. Como non, tamén podemos atopar exemplos de rectángulos áureos nas tarxetas de crédito, no noso carné de identidade ou nas caixatiñas de tabaco.
  • 45. Nas xoias tamén atopamos exemplos de proporción áurea. Xeralmente son obxectos de metais preciosos que serven como adornos. O valor sentimental que se lle dá ás xoias conforma consigo a perfección, coincidindo ademais en ocasións coas proporcións divinas que outorga o número áureo. Outros claros exemplos son instrumentos musicais como a frauta, libros, décimos de lotería ou ata ferramenta de traballo.
  • 46. Na páxina seis da novela de Dan Brown El código Da Vinci, aparece unha versión desordenada dos primeiros oito números da sucesión de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como unha pista deixada polo curador do museo do Louvre, Jacques Saunière. Nas páxinas 121 a 123 explica algunhas das aparicións deste número Phi na natureza. Tamán no episodio de “Sabotaje” da serie de televisión NUMB3RS, o xenio das matemáticas Charlie Epps menciona que o número phi se atopa na estrutura dos cristais, na espiral das galaxias e na cuncha dos nautilus. Na cinta de Darren Aronfsky Pi, fe en el caos, o personaxe central, Max Cohen explica a relación que hai entre os números de Fibonacci e a sección áurea, aínda que denominándoa incorrectamente como Theta no canto de Phi.
  • 47. Fin.