1) O documento discute o paralelismo entre retas no espaço, analisando suas projeções frontais e horizontais. 2) É mostrado que apenas verificar as projeções não é suficiente, sendo necessário confirmar o paralelismo com retas auxiliares. 3) Exemplos ilustram como usar retas auxiliares para determinar se retas de perfil são ou não paralelas.

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Paralelismo entre Rectas © antónio de campos, 2009

2. No espaço, duas rectas são paralelas se são complanares ( estritamente paralelas ) e não têm nenhum ponto em comum, ou se são rectas coincidentes. O presente estudo debruça-se sobre todas as situações de paralelismo estrito entre rectas.

3. As rectas a e b são paralelas entre si no espaço. As suas projecções horizontais a 1 e b 1 são paralelas entre si. As suas projecções frontais a 2 e b 2 são paralelas entre si. Em geral é assim.

4. Com as rectas de perfil, não basta verificar se as projecções frontais e horizontais são paralelas, é necessário confirmar, por exemplo, com rectas auxiliares . Em baixo, duas rectas de perfil que não são paralelas, apesar das suas projecções frontais e horizontais serem paralelas.

5. Neste exemplo, duas rectas auxiliares r e s são paralelas, pelo que são complanares. Assim sendo, as rectas p e p’ são complanares, e como não são concorrentes, são paralelas.

6. Neste exemplo, duas rectas auxiliares r e s não são paralelas, mas são complanares com as rectas p e p’ . Assim sendo, as rectas p e p’ são complanares, e como não são concorrentes, são paralelas.

7. A recta de perfil p está definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). A recta de perfil p ’ está definida pelos pontos C (-3; 4; 3) e D (1; 4). Averigúa a posição relativa das duas rectas. r 2 s 2 s 1 r 1 x y ≡ z p 1 ≡ p 2 A 1 A 2 B 1 B 2 p’ 1 ≡ p’ 2 C 1 C 2 D 1 D 2

8. p 1 ≡ p 2 p’ 1 ≡ p’ 2 r 2 s 2 s 1 r 1 Sobre a posição relativa das duas rectas, sabe-se imediatamente que não são concorrentes – podem ser paralelas ou enviesadas. Se forem paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com p e p’ serão, também elas, complanares. Recorreu-se a duas rectas auxiliares, as rectas r e s . A recta r é c oncorrente com p em A e com p' em D (está definida por dois pontos). A recta s é concorrente com p em B e com p' em C (está definida por dois pontos). As rectas r e s não são complanares (não são paralelas nem concorrentes), pelo que p e p' não são complanares – logo, não são paralelas. x y ≡ z A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 D 1 D 2

9. A mesma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as projecções de uma recta de perfil p ’, paralela à recta p e passando pelo ponto M (-2; 3; 4). r 2 s 2 s 1 r 1 A recta auxiliar s paralela à recta r (derivada dos pontos A e M conhecidos e concorrentes com p e p’) localiza o ponto N, definindo a recta de perfil p’ paralela à recta de perfil p. p’ 1 ≡ p’ 2 x y ≡ z N 2 M 1 M 2 N 1 A 1 A 2 B 1 B 2 p 1 ≡ p 2

10. Averigúa se as rectas de perfil p e p ’ são ou não paralelas. Ambas as rectas estão contidas no plano de perfil π. A recta p está definida pelos pontos E (3; 1) e F (1; 2). A recta p’ está definida pelos pontos M (6; 2) e N (4; 3). (e 1 ) F r Utilizou-se o rebatimento para o Plano Frontal de Projecção, obtendo-se a recta p r e p’ r , que são paralelas, e por tanto as rectas p e p ’ são também necessariamente paralelas. ≡ f π ≡ h π ≡ e 2 ≡ f πr ≡ h πr E r N r M r p r p’ r x p 1 ≡ p 2 ≡ p’ 1 ≡ p’ 2 E 1 E 2 F 1 F 2 ≡ M 2 N 1 M 1 N 2