O documento descreve os diferentes métodos para calcular o ângulo entre uma reta e um plano em geometria descritiva. Explica como calcular o ângulo entre uma reta e planos horizontais, frontais, verticais e oblíquos, assim como entre uma reta de perfil e diferentes tipos de planos. Fornece exemplos passo-a-passo de como aplicar os métodos.

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Ângulo entre Recta e Plano © antónio de campos, 2010

2. GENERALIDADES O ângulo entre uma recta e um plano é o ângulo formado entre a recta dada e a projecção ortogonal da recta sobre o plano. r I p P’ r’ θº P α

3. r I p P’ r’ θº P α P’’ θ 1 º I’ r’’ β Se uma recta r faz um ângulo θ com um dado plano α, qualquer recta paralela à recta r fará o mesmo ângulo com qualquer plano paralelo ao plano α.

4. Ângulo entre uma Recta Horizontal e o Plano Frontal de Projecção Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta horizontal h e o Plano Frontal de Projecção. h 2 h 1 Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta h e o Plano Frontal de Projecção é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano. αº x F 1 F 2

5. Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Horizontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta r e um plano horizontal υ. r 1 Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano, rebatendo a recta r . O ângulo entre a recta r e o plano horizontal υ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre a r r e a r 1r . r 2 (f υ ) ≡ e 1 ≡ e 2 ≡ H r r r ≡ r 1r αº x H 1 H 2 A 1 A 2 A r

6. É dada uma recta frontal f , definida pelos pontos A (3; 2; -1) e B (-2; 2; 5). Determina a V.G. do ângulo entre a recta f e o Plano Horizontal de Projecção. f 1 f 2 Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta f e o Plano Horizontal de Projecção é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano. αº x y ≡ z A 1 A 2 B 1 B 2 H 1 H 2

7. É dada uma recta oblíqua r , definida pelos pontos A (2; -1; 2) e B (-3; 4; 5). É dado um plano frontal φ, que tem 2 cm de afastamento. Determina a V.G. do ângulo entre a recta r e o plano φ. r 1 r 2 (h φ ) Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano, rebatendo a recta r . O ângulo entre a recta r e o plano frontal φ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano. (f υ ) ≡ (e 2 ) e 1 ≡ F r r r αº x y ≡ z A 1 A 2 B 1 B 2 F 1 F 2 B r

8. Ângulo entre uma Recta de Perfil e um Plano Frontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta de perfil p e um plano frontal φ. Primeiro há que rebater a recta de perfil para determinar o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta p e o plano frontal φ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre a p r e a p 2r . p 1 ≡ p 2 (h φ ) ≡ e 2 ≡ (e 1 ) p r ≡ F 2 ≡ p 2r αº x A 1 B 2 A 2 B 1 A r B r F 1 F r

9. É dada uma recta de perfil p , definida pelos pontos M (4; 5) e N (2; 1). É dado um plano horizontal υ, que tem 3 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre a recta p e o plano υ. p1 ≡ p 2 (f υ ) Primeiro há que rebater a recta de perfil para determinar o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta p e o plano horizontal υ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, seja entre p r e h πr com vértice em H r . (e 1 ) ≡ f π ≡ h π ≡ e 2 ≡ h πr ≡ f πr p r αº x M 1 M 2 N 1 N 2 M r N r H r

10. Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Vertical Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano vertical α. r 2 r 1 f α h α Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta r e o plano α é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre r r e r’ r com vértice em I r . p 1 p 2 ≡ r’ 1 r’ 2 ≡ (f υ ) ≡ e 2 ≡ e 1 ≡ P’ r ≡ P r r r ≡ r’ r θº x I 1 I 2 P 1 P 2 P’ 1 P’ 2 I r1 I r

11. É dada uma recta oblíqua r , paralela ao β 1,3 , contém o ponto A (0; 3; 4) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. É dado um plano de topo θ, que faz um diedro de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção e corta o eixo x num ponto com –2 cm de abcissa. Determina a V.G. do ângulo entre a recta r e o plano θ. r 2 r 1 h θ f θ Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta r e o plano α é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre r r e r’ r com vértice em I r . p 2 p 1 r’ 1 ≡ r’ 2 ≡ (h φ ) ≡ e 1 ≡ e 2 ≡ A’ r ≡ A r ≡ r’ r r r αº x y ≡ z A 1 A 2 I 1 I 2 A’ 1 A’ 2 I r1 I r

12. α 90º - θº θº θº r p s r’ P P’ I Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Oblíquo Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar . Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante. É conduzida por um ponto qualquer P da recta r , uma recta p ortogonal ao plano α. Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p . 90º - θº é a V.G . entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido. θº é a V.G . do ângulo entre e recta r e o plano α.

13. Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano oblíquo δ. r 1 r 2 f δ Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar . Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante. É conduzida por um ponto qualquer P da recta r , uma recta p ortogonal ao plano δ. Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p , via rebatimento. 90º - βº é a V.G . entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido. βº é a V.G . do ângulo entre e recta r e o plano δ. p 2 p 1 (h φ ) ≡ e 1 e 2 ≡ B r ≡ A r p r r r 90º-βº βº h δ x P 1 P 2 B 1 B 2 A 1 A 2 P r1 P r

14. É dada uma recta oblíqua m contém o ponto M (0; 4; 5). A projecção horizontal da recta m faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. É dado um plano oblíquo δ, ortogonal ao β 1,3 , intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre a recta m e o plano δ. m 1 m 2 h δ f δ Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar . Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante. É conduzida pelo um ponto M da recta m , uma recta p ortogonal ao plano δ. Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, m e p , via rebatimento. 90º - αº é a V.G . entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido. αº é a V.G . do ângulo entre e recta m e o plano δ. p 1 (h φ ) p 2 ≡ e 1 e 2 ≡ A r ≡ B r m r p r 90º- αº αº x y ≡ z M 1 M 2 A 1 A 2 B 1 B 2 M r1 M r

15. Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano de Rampa Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano de rampa ρ. Uma vez que que se trata de um plano não projectante, será mais adequado o método do ângulo complementar . É conduzida por um ponto qualquer P da recta r , uma recta p ortogonal ao plano ρ . Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p , depois do processo de rebatimento das rectas. O plano π é o plano de perfil que contém a recta p . A recta i é a recta de intersecção entre os planos π e ρ, definida pelos seus traços, F e H . Para determinar a V.G. do ângulo, existe a necessidade de rebater o plano definido pelos duas rectas r e p , para um plano horizontal υ. 90º - βº é a V.G . entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido. βº é a V.G . do ângulo entre e recta r e o plano ρ . r 1 r 2 f ρ h ρ p 1 ≡ p 2 ≡ f π ≡ h π ≡ H 2 ≡ i 1 ≡ i 2 ≡ (e 2 ) ≡ e 1 ≡ h πr ≡ f πr ≡ H r i r p r A r (f υ ) ≡ e’ 2 ≡ A r1 ≡ B r e’ 1 p r1 r r1 90º-βº βº x P 1 P 2 F 1 F 2 H 1 P r F r A 1 A 2 B 2 B 1 P r1 P r2

16. Uma recta de perfil p é definida pelos pontos A (1; 1) e B (3; 2). É dado um plano de rampa ρ, com o seu traço horizontal de 5 cm de afastamento , e o seu traço frontal de 3 cm de cota . Determina a V.G. do ângulo entre a recta p e o plano ρ. p 1 ≡ p 2 h ρ f ρ Neste caso, o processo mais simples é via o processo de mudança do diedro de projecção. É conduzida por um ponto qualquer P da recta r , uma recta p ortogonal ao plano ρ. O ponto C de f ρ é utilizado para determinar o traço do plano ρ no plano 4 . O ângulo entre a recta p e o plano ρ é o ângulo entre p 4 e f 4ρ . p 4 f 4ρ αº x A 1 A 2 B 1 B 2 2 1 x’ 4 1 C 1 C 2 A 4 B 4 C 4