Cuaderno de Actividades: Física I




8) Ondas




Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo    205
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8) Ondas

8.1) Definición

La onda es una perturbación que se propaga transfiriendo ...
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    “Luz” ⇒ OEM (EM de Maxwell)




      F. Clásica =>
                    14 2 4   ...
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            P


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       “Ondas electro...
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    La ecuación que describe la perturbación deberá expresar esta
    dependencia (x, t...
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8.4) Ondas Armónicas viajeras


    i) Ecuación de ondas armónicas viajeras


    De to...
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    ii) Ecuación de onda


    y = y (x,t): onda mecánica cualquiera, por ejemplo.


  ...
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    ii) Reflexión y transmisión


    j) Reflexión de Os


           Móvil            ...
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    jj) Transmisión de Os



           λ1    λ2                 λ2        λ1    λ2 < λ...
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    Recordando desfase de Os: Puede expresarse en φ =λ = T.




       OR
            ...
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    iii)    Interferencia



                                      y1              y2
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    Las ondas estacionarias OE se producen por interferencia de dos ondas
    (Os) de...
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      Modos de normales de vibración:



                                              ...
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    Caso particular e importante de ondas mecánicas longitudinales.


    → Múltiple...
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                      ν(Hz)              I(w/m2)           β(dB)

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Componentes de contaminación:


    →…

    →…

    →…

    →La componente acústica: Ni...
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    → ν: relacionado al cambio aparente de la frecuencia de una fuente sonora.

    →...
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Si ϕ (x,t) = 0,1 sen (3,14 x -1,05t + π/12) con x y ϕ en m y t en s, es la
ecuación de...
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La función de onda de una onda estacionaria sobre una cuerda está dada por
y(x,t) = 0,0...
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  1. 1. Cuaderno de Actividades: Física I 8) Ondas Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 205
  2. 2. Cuaderno de Actividades: Física I 8) Ondas 8.1) Definición La onda es una perturbación que se propaga transfiriendo energía y cantidad de movimiento. Esta transferencia de cantidad de movimiento y energía, debe considerarse como una forma desarrollada por el universo para transferir información. E p Espectro EM 8.2) Clasificación i) Por el medio de propagación j) Ondas mecánicas, OM Requieren de un material para propagarse. Ejems: “Onda sonora” “Onda en cuerda” “Onda de torsión”, “presión”… jj) Ondas electromagnéticas, OEM No requieren necesariamente de un medio material para propagarse. Ejems: Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 206
  3. 3. Cuaderno de Actividades: Física I “Luz” ⇒ OEM (EM de Maxwell) F. Clásica => 14 2 4 3 F .Re lativista A. Einstein r E r B E O.E.M. → {OE “+” OM } ≈ c, B r v ii) Por el movimiento relativo del medio respecto a la propagación j) Ondas Longitudinales El medio moviéndose paralelamente a la propagación. Ejems: “Ondas sonoras”…………..aire “Ondas en resortes” “Ondas de compresión, torsión” jj) Ondas transversales El movimiento relativo del medio es perpendicular a la de la propagación. Ejems: “Ondas en la cuerda” Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 207
  4. 4. Cuaderno de Actividades: Física I P P v “Ondas electromagnéticas” r r r Perturbación → E , B ⊥ v jjj) Ondas transversolongitudinales Cuando el medio se desplaza tanto transversal como longitudinalmente respecto a la propagación. Ejems: “Olas de mar” “Fluidos” 8.3) Pulsos i) Ecuación del pulso unidimensional Cuerda Y r P v y 0 x x La perturbación se propaga en el espacio – tiempo conservando su forma. La descripción de la Onda ⇒ el “estado” de los puntos P(x,y) ⇒ (x,t) Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 208
  5. 5. Cuaderno de Actividades: Física I La ecuación que describe la perturbación deberá expresar esta dependencia (x, t) conjuntamente con la velocidad v, la cual dependerá de las características del sistema (medio).   m  v = v  µ = λ = , T   ← “Ondas en cuerda”   L  Por lo tanto, para caracterizar a la cuerda (el medio, sus puntos) según la perturbación, usaremos un sistema (x,y,t), donde,  y : representa el estado del medio   x : localiza al medio( P) t : det er min a el tiempo de observacion  Estas funciones “y” tendrán la forma, y ≡ y ( x, t ) = f ( x ±vt ) → v: velocidad de propagación + ← x- - → x+ ii) La velocidad de propagación, v. Esta v esta vinculada a las características del medio. → Ondas Mecánicas: OM, v = v (µ=λ, densidad lineal de masa; T, tensión que soporta la cuerda) → Os Electromagnéticas: OEM, v = c = v (ε0, µ0) ∼ 3 x 108 No depende de las condiciones iniciales de la onda. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 209
  6. 6. Cuaderno de Actividades: Física I 8.4) Ondas Armónicas viajeras i) Ecuación de ondas armónicas viajeras De todos los pulsos serán estudiados aquellos de perfil armónico. P t=0 y v t x x λ y ≡f ( x − ) =ym sen {kx −wt + } vt φ ym =A :amplitud 2π k= = # de ondas λ λ = longitud de onda, “duración espacial de la perturbación” 2π w = frecuencia angular, w = T T: periodo, “duración temporal de la perturbación” φ : Desfasaje λ 1 v= = λν ;ν : Frecuencia lineal, ν= T T w v= : Velocidad de propagación k 2π 2π  y ( x, t ) = ym sen { kx − wt +φ} = ym sen  x− t +φ λ T  Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 210
  7. 7. Cuaderno de Actividades: Física I ii) Ecuación de onda y = y (x,t): onda mecánica cualquiera, por ejemplo. ∂2 y 1 ∂2 y = ∂x 2 v 2 ∂t 2 ← y ≡ y ( x, t ) = f ( x ±vt ) Esta es la ecuación que deben de satisfacer todo tipo de Onda, incluso las OEM. → 2da ley dinámica: r r r r r FR = ma → a → v → r √ ∂2 y 1 ∂2 y Análogamente→ = → y = y ( x, t ) √ ∂x 2 v 2 ∂t 2 8.5) Fenómenos Ondulatorios i) Superposición de Os y1 y2 y1 + y2 Dos Os y1 y y2 superponen sus efectos si coexisten en el espacio-tiempo, como indica la figura. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 211
  8. 8. Cuaderno de Actividades: Física I ii) Reflexión y transmisión j) Reflexión de Os Móvil Fijo Oi Oi OR OR Oi : Onda incidente OR : Onda reflejada La O reflejada en el extremo móvil en fase con la O incidente mientras que la O reflejada en el extremo fijo se desfasa π. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 212
  9. 9. Cuaderno de Actividades: Física I jj) Transmisión de Os λ1 λ2 λ2 λ1 λ2 < λ1 Oi Oi Oi AOi Oi OR ORE=OT ORE AOR AORE OR ν ν (*) OT ≡ ORE : Onda Trasmitida o refractada La O transmitida o refractada se encuentra en fase con la O incidente, para ambos casos. Lo que ocurre con las Os reflejadas es análogo al caso anterior, es decir, la cuerda menos densa se comporta, en la interfase, como extremo móvil y la cuerda más densa como extremo fijo. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 213
  10. 10. Cuaderno de Actividades: Física I Recordando desfase de Os: Puede expresarse en φ =λ = T. OR λ T φ= π , , 2 2 Imaginemos reflexión: extremo fijo Oi Interfase φ Como las νs de las Os son las mismas, por lo tanto: ν ≡ OR ≡ OT =RE OI ν ν Además, si consideramos conservación de la energía, EOI ≡EOR +EOT =RE y asumiendo: EO α A2 w2 λ, w = 2πν (*) λAO ≡λAO +λ AO 1 2 I 1 2 R 2 2 T ¿Es posible mejorar esta relación? Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 214
  11. 11. Cuaderno de Actividades: Física I iii) Interferencia y1 y2 y x ∃ R3 - t de O1 ∧ O2 Los fenómenos de interferencia pueden producirse por el ESPACIO o por el TIEMPO. O1: y1(x,t) ≡ A sen {kx - wt} O2: y2(x,t) ≡ A sen {kx -wt - φ} ↑ Observar que se están “ESCOGIENDO” Os con la misma amplitud, frecuencia y longitud de O. yR ≡ y1 + y2 y R ≡2 Asen {kx −wt − / 2} cos {φ/ 2} φ En esta expresión el factor cos (φ/2) describe la interferencia de las Os. ¿Como se describiría la interferencia en el tiempo? → w1∼ w2…”pulsaciones”…? 8.6) Ondas Estacionarias, OE Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 215
  12. 12. Cuaderno de Actividades: Física I Las ondas estacionarias OE se producen por interferencia de dos ondas (Os) de la misma amplitud y frecuencia que viajan en sentidos contrarios. m y λ≡ ;T L T v≡ λ≡µ 0 L x yR ≡ yest ≡ y1 + y2 ≡ Asen {kx - wt} + Asen {kx + wt} yEST ≡ 2 A sen { kx} cos { wt} 1 2 4 1 2 4 4 3 4 3 1 4 2 43 A( x ) Condiciones de frontera: y (x ≡ 0, L, ∀t) ≡ 0 → sen {k(x ≡L)} ≡ 0 kL ≡ nπ ; n ≡ 1,2,3…. nπ 2π 2L k= = → λn = L λ n nv λn ⇒ νn : v = λν ⇒ νn = 2L Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 216
  13. 13. Cuaderno de Actividades: Física I Modos de normales de vibración: 1er armónico n ≡1 n ≡2 2do armónico 1er sobretono 3er armónico 2do sobretono n ≡3 . . . n ……………………………… n-ésimo armónico {n-ésimo-1} sobretono 8.7) Ondas sonoras Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 217
  14. 14. Cuaderno de Actividades: Física I Caso particular e importante de ondas mecánicas longitudinales. → Múltiples aplicaciones Metrología Medicina Música Prospección minera Paleontología Comunicaciones Militar Tecnología Negocios “Afectivo” “Desarrollo de la inteligencia” … Estas ondas se pueden clasificar de diversas formas: → ν: Frecuencia → I: Intensidades → β : Nivel de I Mostraremos estas correlaciones en el siguiente grafico, Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 218
  15. 15. Cuaderno de Actividades: Física I ν(Hz) I(w/m2) β(dB) O supersónicas Umbral Superior 20x103 1 120 O sonoras Umbral Inferior 20 10-12 ≡ I0 0 O subsónicas Definición: Nivel de intensidad, β I  β ≡ 10 log    I0  u [β] ≡ decibel ≡ dB El Tema de Contaminación Ambiental: Contaminación por sonido Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 219
  16. 16. Cuaderno de Actividades: Física I Componentes de contaminación: →… →… →… →La componente acústica: Nivel recomendado por las entidades de Salud Ambiental…60-70 dB! 8.8) Energía y potencia Caso de O en la cuerda, v m µ≡ L i) Energía por unidad de longitud Energía 1 → % E≡ ≡ µ A2ω2 (J/m); A: amplitud, w: frecuencia Longitud 2 ii) Potencia 1 → P≡ 2 µ v A2 w 2 8.9) Efecto Doppler → Reportado por Christian Doppler en 1842. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 220
  17. 17. Cuaderno de Actividades: Física I → ν: relacionado al cambio aparente de la frecuencia de una fuente sonora. → La generalización hecha por H Fizeau en 1848 para las OEM generara cambios trascendentales en las concepciones del universo (Hubble- Bigbang) ν0 νF Observador Fuente O: Observador: F: fuente sonora, ampliable a cualquier O sonora. ν: Frecuencia emitida por la F y detectada por el O, ambos estacionarios. ν': Frecuencia aparente de la F detectada por O. v0: velocidad del O vF: velocidad de la F v : velocidad del sonido (∼ 340 CN)  v ± v0  ν' =  ν  v m vF  S6P22) Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 221
  18. 18. Cuaderno de Actividades: Física I Si ϕ (x,t) = 0,1 sen (3,14 x -1,05t + π/12) con x y ϕ en m y t en s, es la ecuación de una onda armónica que se propaga en una cuerda de masa 300 g y 5m de longitud. Hallar: a) La velocidad de la onda. b) La velocidad de la partícula situada en x = 0,3 m y en t = 3 s. c) Los puntos más cercanos a x = 1 m cuya diferencia de fase con éste sea π/ 3. d) La aceleración de una partícula en función del tiempo situada en x = 0,8 m. e) La tensión en la cuerda. Solución: y ( x, t ) = 0,1sen { π x − 1, 05t + π /12} m = 0,3; l = 5 λ w 1, 05 a) v ≡ ≡ λν ≡ ≡ T k π  π b) v y ≡ −0,1x1, 05 cos π x − 1, 05t +  , x ≡ 0,3 ∧ t ≡ 3 …  12  c) ∀t x2 x≡1 x1  π  π π x1 : π x1 − 1, 05t +  − π (1) − 1, 05t +  ≡   { 12   {   12  3  1 4 x1 − 1 ≡ → x1 ≡ 3 3 π 2 x2 : π − π x2 ≡ → x2 ≡ 3 3  π d) a y ≡ 0,1x ( 1, 05 ) sen π x − 1, 05t +  , x ≡ 0,8 … 2  12  w T m e) v ≡ ≡ ,µ ≡ ≡ λ →T ≡ k µ l S6P44) Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 222
  19. 19. Cuaderno de Actividades: Física I La función de onda de una onda estacionaria sobre una cuerda está dada por y(x,t) = 0,02 sen (0,3x) cos (25t) donde x y y están en centímetros y t está en segundos, a) Halle la longitud de onda y la velocidad de las ondas componentes b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda si esta función representa la tercera armónica? c) ¿En qué puntos es la velocidad de la partícula permanente cero? Solución: y ( x, t ) ≡ 0, 02 sen { 0,3x} cos { 25t} 2π 2π a) k ≡ 0,3 ≡ →λ ≡ λ 0, 3 w 25 v≡ ≡ k 0,3 b) L ≡ ? si yest ( x, t ) → n ≡ 3 2π 2L λ3 ≡ ≡ → L ≡? 0,3 n = 3 c) 0 L x λ x1 ≡ x2 ≡λ 2 ¿? Maqueta experimental S6P18) Una cuerda con densidad lineal 5 x 10-2 kg/m se somete a una tensión de 50N. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 223
  20. 20. Cuaderno de Actividades: Física I a) ¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar ondas senoidales de frecuencia 60 Hz y una amplitud de 60 cm? b) Deducir las relaciones que usa. SOLUCION: µ ≡ λ ≡ 5 ×10−2 , T ≡ 50 a) P ≡ ?/ O s :ν ≡ 60 y A ≡ 0, 6 1 1 T µT × A2 × ( 2π v ) ← v ≡ 2 P≡ µ vA2ω 2 → P ≡ y ω ≡ 2πν 2 2 µ 1 1 50 × 5 ×10−2 × ( 0, 6 ) × ( 2π × 60 ) 2 2 P≡ µ vA2ω 2 → P ≡ 2 2 P ≡ 40, 41 kW E b) P ≡ ...? t ¿? Maqueta experimental S6P13) Una fuente puntual emite ondas sonoras con una salida de potencia promedio de 80,0 W, Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 224
  21. 21. Cuaderno de Actividades: Física I a) Encuentre la intensidad a 3,00 m de la fuente b) Encuentre la distancia a la cual el sonido se reduce a un nivel de 40 dB. SOLUCION: P= 80 r P P 80 a) I ≡ A ≡ 4π r 2 ≡ → I ≡ 0, 71 4π ( 3) 2 b) r ≡ ? / β ≡ 40 I  β ≡ 10 log   ← I 0 ≡ 10−12  I0   80    80 × 1012 40 ≡ 10 log  4π−r 2 2 → ≡ 104 → r ≡ 2,52 ×104  10 1  4π r 2   Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 225

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