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TEMAS DE ENTRENAMIENTO 
                                       EXAMEN DE MEJORAMIENTO 
                                          CALCULO DIFERENCIAL 
                                            I TERMINO 2009 
 
    1.               Considere  una  arandela  de  caucho  que  está  siendo  comprimida.  En  un 
       determinado  momento  se  obtienen  las  siguientes  medidas:  el  diámetro  externo  de  la 
       arandela es de 3 cm, su diámetro interno es de 1 cm; el grosor de la arandela  disminuye a 
       una tasa de      ¼ cm/min, y el diámetro externo está aumentando a una tasa de ½ cm/min. 
       Si el volumen de la arandela se mantiene constante en π cm3  en todo momento ¿a qué 
       tasa  está  cambiando  el  diámetro  interno  en  el  mismo  instante  en  que  se  toman  las 
       medidas? 
    2.               Sea    f  una  función  definida    en  el  intervalo  [a,b]  con  f(a)  <0  y  f(b)  >  0      
       entonces:  ∃ c ∈ [a,b]/f(c) =0 
    3.                 El polinomio Mc Laurin de orden cuatro  de                              es:  

                                                   
    4.                Se  vierte  agua  en  un  recipiente  de  forma  cónica  con  una  rapidez  r.  el 
       recipiente  en  forma  de  cono    de  base  horizontal  tiene  el  vértice  dirigido  hacia  abajo,  el 
       radio de la base del cono es a, su altura b. determinar la velocidad a la que la superficie del 
       agua    se  eleva  cuando  la  profundidad  del  agua  es  y.  obtenga  el  valor  numérico  de  la 
       incógnita, suponiendo que a = 4 dm; b= 3 dm; r = 4 dm3 por minuto y y=1 dm 
        
    5.                Una pequeña isla está a 4 millas en línea recta del punto más cercano P de la 
       ribera de un gran lago. Si un hombre puede navegar desde la isla en su bote de motor a 20 
       millas por hora y caminar a 4 millas por hora, ¿en qué lugar debe desembarcar para llegar 
       en el tiempo más corto a un pueblo que dista 10 millas al sur del punto? 
        
    6.                Si  (gof)  es  continua  y  g  es  continua  entonces  se  puede  afirmar  que  f  es 
       continua 
        
    7.                Determine la ecuación de la recta normal a la curva:  xcosy = sen(x+y) en el 
       punto P(0,0) 
        


    8.              La  función                                     no  está    definida  en  x=1.  Halle  el 
       valor de a para que f sea continua 
        
    9.              Determine el valor de las constante a y b para  que f sea continua 
 
 
    10.                Un tanque en forma de cono invertido tiene una altura de 16 m y un radio de 
        4 m en la base. El agua fluye al tanque por la parte superior a razón de 2 m3/min. ¿Qué tan 
        rápido sube el nivel cuando el agua tiene 5m de profundidad? 
    11.                Se va a fabricar una lata de cobre cerrada de volumen específico y en forma 
        de  cilindro  circular    recto.  Hallar  la  razón  de  la  altura  al  radio  de  la  base,  si  se  desea  
        emplear la menor cantidad de material en su fabricación. 
    12.                Calcule el valor de A de ser posible, para que f(x) sea continua  en todo los 
        números reales 



                                                   
           
     
    13.               Determine si la función                                  tiene exactamente un 
        punto  de inflexión. 
    14.               Determine  si  la  siguiente  proposición  es  verdadera  o  falsa,  justifique  su 
        respuesta:   
          Si                               , entonces f es diferenciable en x=a 
    15.                Determine  si  la  ecuación  4y+12x‐13=0,  es  la  regla  de  correspondencia  de  la 
        recta tangente a la grafica de la función con regla de correspondencia f(x)= 3x2+4 y que sea 
        paralela a la recta 3x+y+2=0 
    16.                Graficar  indicando  dominio,  simetría,  asíntotas,  puntos  críticos,  monotonía, 

        extremos, concavidad, puntos de inflexión                        
    17.              Hallar  la  ecuación  de  la  recta  que  pasa  por  el  punto  (3,5)  y  que  forma  un 
        triangulo de área mínima con los ejes coordenados. 
    18.              Determine la relación entre la medida del radio R y la altura H de un cilindro 
        que tiene  la menor área de su superficie total posible, si se conoce que su volumen e V 
        unidades cúbicas. 
    19.                Si                   continua  en  el  intervalo  cerrado  [‐2,2]  entonces  es 
          diferenciable en el intervalo abierto (‐2,2) 

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  • 1. TEMAS DE ENTRENAMIENTO  EXAMEN DE MEJORAMIENTO  CALCULO DIFERENCIAL  I TERMINO 2009    1. Considere  una  arandela  de  caucho  que  está  siendo  comprimida.  En  un  determinado  momento  se  obtienen  las  siguientes  medidas:  el  diámetro  externo  de  la  arandela es de 3 cm, su diámetro interno es de 1 cm; el grosor de la arandela  disminuye a  una tasa de      ¼ cm/min, y el diámetro externo está aumentando a una tasa de ½ cm/min.  Si el volumen de la arandela se mantiene constante en π cm3  en todo momento ¿a qué  tasa  está  cambiando  el  diámetro  interno  en  el  mismo  instante  en  que  se  toman  las  medidas?  2. Sea    f  una  función  definida    en  el  intervalo  [a,b]  con  f(a)  <0  y  f(b)  >  0       entonces:  ∃ c ∈ [a,b]/f(c) =0  3. El polinomio Mc Laurin de orden cuatro  de       es:     4. Se  vierte  agua  en  un  recipiente  de  forma  cónica  con  una  rapidez  r.  el  recipiente  en  forma  de  cono    de  base  horizontal  tiene  el  vértice  dirigido  hacia  abajo,  el  radio de la base del cono es a, su altura b. determinar la velocidad a la que la superficie del  agua    se  eleva  cuando  la  profundidad  del  agua  es  y.  obtenga  el  valor  numérico  de  la  incógnita, suponiendo que a = 4 dm; b= 3 dm; r = 4 dm3 por minuto y y=1 dm    5. Una pequeña isla está a 4 millas en línea recta del punto más cercano P de la  ribera de un gran lago. Si un hombre puede navegar desde la isla en su bote de motor a 20  millas por hora y caminar a 4 millas por hora, ¿en qué lugar debe desembarcar para llegar  en el tiempo más corto a un pueblo que dista 10 millas al sur del punto?    6. Si  (gof)  es  continua  y  g  es  continua  entonces  se  puede  afirmar  que  f  es  continua    7. Determine la ecuación de la recta normal a la curva:  xcosy = sen(x+y) en el  punto P(0,0)    8. La  función              no  está    definida  en  x=1.  Halle  el  valor de a para que f sea continua    9. Determine el valor de las constante a y b para  que f sea continua 
  • 2.     10. Un tanque en forma de cono invertido tiene una altura de 16 m y un radio de  4 m en la base. El agua fluye al tanque por la parte superior a razón de 2 m3/min. ¿Qué tan  rápido sube el nivel cuando el agua tiene 5m de profundidad?  11. Se va a fabricar una lata de cobre cerrada de volumen específico y en forma  de  cilindro  circular    recto.  Hallar  la  razón  de  la  altura  al  radio  de  la  base,  si  se  desea   emplear la menor cantidad de material en su fabricación.  12. Calcule el valor de A de ser posible, para que f(x) sea continua  en todo los  números reales        13. Determine si la función    tiene exactamente un  punto  de inflexión.  14. Determine  si  la  siguiente  proposición  es  verdadera  o  falsa,  justifique  su  respuesta:    Si   , entonces f es diferenciable en x=a  15. Determine  si  la  ecuación  4y+12x‐13=0,  es  la  regla  de  correspondencia  de  la  recta tangente a la grafica de la función con regla de correspondencia f(x)= 3x2+4 y que sea  paralela a la recta 3x+y+2=0  16. Graficar  indicando  dominio,  simetría,  asíntotas,  puntos  críticos,  monotonía,  extremos, concavidad, puntos de inflexión     17. Hallar  la  ecuación  de  la  recta  que  pasa  por  el  punto  (3,5)  y  que  forma  un  triangulo de área mínima con los ejes coordenados.  18. Determine la relación entre la medida del radio R y la altura H de un cilindro  que tiene  la menor área de su superficie total posible, si se conoce que su volumen e V  unidades cúbicas.  19. Si      continua  en  el  intervalo  cerrado  [‐2,2]  entonces  es  diferenciable en el intervalo abierto (‐2,2)