Solucionparcial3 Cvusta2009 02

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Solucionparcial3 Cvusta2009 02

  1. 1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS ´ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ´ AREA DE MATEMATICAS ´ CALCULO VECTORIAL PARCIAL III Nombre: C´digo: o Fecha: Grupo: Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 1 hora 45 Minutos o Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta seleccionada o ´ a es correcta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es sustentada completamente con procesos que lleven a ella el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es sustentada el valor es de 0. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece en negrilla y encerrado por [ ]. No se permite el intercambio de objetos. 1. [1] El radio de un cilindro circular recto se incrementa a raz´n de 6 pulgadas por minuto, y la altura decrece a o raz´n de 4 pulgadas por minuto. La velocidad o ritmo de cambio del ´rea superficial cuando el radio es 12 pulgadas o a y la altura es 36 pulgadas, es:[Sugerencia El ´rea superficial del cilindro es S = 2πr(r + h)] a a) 1248π pul2 /min b) 312π pul2 /min c) 208π pul2 /min d) 624π pul2 /min 2. [1] Un rastreador t´rmico se encuentra en el punto (4, 3) sobre un placa met´lica cuya temperatura en (x, y) e a es T (x, y) = 100 − x 2 − 2y 2 . Si el rastreador se mueve continuamente en direcci´n de m´ximo incremento de o a temperatura, la trayectoria del rastreador es: y2 x2 3x2 3y 2 a) x = 16 b) y = 8 c) y = 16 d) x = 8 3. [1] Las ecuaciones de el plano tangente y la recta normal a la superficie x2 − 2y 2 − 3z 2 + xyz = 4 en el punto (3, −2, −1) son: a) 4x + 3y = 7 b) 5x + 8y = 14 c) 8x + 5y = 14 d) 3x + 4y = 7 x−3 y+2 x−3 y+2 x−3 y+2 x−3 y+2 4 = 3 ; z = −1 5 = 8 ; z = −1 8 = 5 ; z = −1 3 = 4 ; z = −1 4. [1] El material para la base de una caja abierta cuesta 1,5 veces m´s por unidad de ´rea que el material para a a construir los lados. Dada una cantidad fija de dinero C las dimensiones de la caja de m´ximo volumen que puede a ser fabricada, son: √ √ √ 2C 2C 2C a) × × √2 √2 √3 2C 2C 2C b) × × √3 √3 √4 2C 2C 2C c) × × √3 √3 √5 2C 2C 2C d) 2 × 2 × 4 5. [1] Un semic´ ırculo est´ sobre un rect´ngulo. Si el per´ a a ımetro es fijo y el ´rea es un m´ximo utilice multiplicadores a a de Lagrange para verificar que la longitud del rect´ngulo es el doble de su altura. a h l
  2. 2. ∂r ∂h ∂S ∂S 1. Tenemos S(r, h) = 2πr(r + h), ∂t = 6, ∂t = −4, ∂r = 4πr + 2πh, ∂h = 2πr ∂S ∂S ∂r ∂S ∂h = + ∂t ∂r ∂t ∂h ∂t = 12(2πr + πh) − 8πr, como r = 12 y h = 36 = 12(2π(12) + π(36)) − 8π(12) = 288π + 432π − 96π = 624π 2. Repres´ntese la trayectoria por la funci´n de posici´n r(t) = x(t)i + y(t)j. Un vector tangente en cada punto e o o (x(t), y(t)) est´ dado por r′ (t) = dx i + dy j como el rastreador busca el m´ximo incremento de temperatura, las a dt dt a direcciones de r ′ (t) y ∇T (x, y) = (−2x, −4y) coinciden en todo punto de la trayectoria. As´ ı, dx dy −2xk = dt −4yk = dt De donde dy dx = 2y x dy dx = 2y x 1 ln y = ln x + c 2 1 ln y 2 = ln x + c 1 eln y 2 = eln x+c 1 y 2 = eln x ec , Si hacemos ec = c1 1 y 2 = c1 x y = c2 x2 , Si hacemos c2 = C 1 1 y = Cx2 3 Como el rastreador comienza en el punto (4, 3), se puede determinar que C = 16 . Por tanto, la trayectoria del 2 rastreador del calor es y = 3x . 16 3. Sea f (x, y, z) = x2 − 2y 2 − 3z 2 + xyz = 4, entonces ∇f (x, y, z) = (2x + yz, −4y + xz, −6z + xy) en el punto (3, −2, −1), tenemos ∇f (3, −2, −1) = (8, 5, 0). Encontremos el plano tangente y la recta normal. ∇f (3, −2, −1) · (x − 3, y + 2, z + 1) = 0 8(x − 3) + 5(y + 2) + 0(z + 1) = 0 8x − 24 + 5y + 10 = 0 8x + 5y = 14 Asi x−3 y+2 = ; z = −1 8 5 3xy 4. Sea V (x, y, z) = xyz , y, C(x, y, z) = 2 + 2xz + 2yz = C ∇∇V (x, y, z) = λC(x, y, z) 3y 3x (yz, xz, xy) = λ( + 2z, + 2z, 2x + 2y) 2 2
  3. 3. Tenemos el sistema 3y yz = λ + 2z 2 3x xz = λ + 2z 2 xy = λ(2x + 2y) Multiplicando por x, y y z obtenemos 3xy xyz = λ + 2xz 2 3xy xyz = λ + 2yz 2 xyz = λ(2xz + 2yz) 3x Por tanto x = y, y, z = 4 , reemplazando en la restricci´n o 3xy + 2xz + 2yz = C 2 3x2 3x2 3x2 + + =C 2 2 2 9x2 =C 2 2C x2 = √9 2C x= 3 √ √ √ 2C 2C 2C As´ tenemos ı 3 × 3 × 4 . πl2 lπ 5. Sea A(h, l) = hl + 8 , y,P (h, l) = 2h + l + 2 =P ∇A(h, l) = λ∇P (h, l) lπ π l, h + = 2λ, λ 1 + 4 2 Tenemos el sistema l = 2λ lπ π h+ =λ 1+ 4 2 Solucionando l = 2h.

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