UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
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1. Sea r′ (t) =   1+t2 i   +   t2 j   + 1 k, encontremos r(t) integrando r′ (t)
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Solucionquiz1 Cvusta2009 02

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Solucionquiz1 Cvusta2009 02

  1. 1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS ´ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ´ AREA DE MATEMATICAS ´ CALCULO VECTORIAL QUIZ I Nombre: C´digo: o Nombre: C´digo: o Fecha: Grupo: Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 1 hora 15 Minutos o Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta seleccionada es cor- o ´ a recta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece en negrilla y encerrado por [ ]. No se permite el intercambio de objetos. 1 1 1. [1] Sea r′ (t) = 1+t2 i + t2 j + 1 k con la condici´n r(1) = 2i. Tenemos que r(t) es: t o a) [2 + arctan t] i + − 1 j + ln tk t b) −2 + π + arctan t i + − 1 j + ln tk 4 t c) 2 − π + arctan t i + 1 − 1 j + ln tk 4 t d) 2 − π + arctan t i + − 1 j + ln tk 4 t 2. [1] La altura y el alcance m´ximos de un proyectil disparado desde una altura de 3 pies sobre el nivel del suelo con una a velocidad de 900 pies por segundo y con un ´ngulo de 45◦ sobre la horizontal son: a a) 3157,05 f t; 12, 800,5 f t b) 6331,1 f t; 25, 315,5 f t c) 4567,3 f t; 18, 252,5 f t d) 1110,3 f t; 8, 456,7 f t 3. [1] Un proyectil se lanza desde el suelo con un ´ngulo de 8◦ con la horizontal. El proyectil debe tener un alcance de 50 metros. a La rapidez inicial requerida es: a) 21,1 m/s b) 31,02 m/s c) 8 m/s d) 42,2 m/s 4. [1] Dibuje la gr´fica de la curva plana dada por la funci´n vectorial r(t) = 3 cos ti + 2 sin tj, y, en el punto r(π) encuentre y a o dibuje los vectores T y N. π 5. [1] La longitud de la curva C representada por la funci´n vectorial r(t) = (cos t + t sin t)i + (sin t − t cos t)j + t2 k de 0 ≤ t ≤ o 2 es: √ √ √ √ 5π 2 5π 2 5π 3π 2 a) 8 b) 4 c) 8 d) 8
  2. 2. 1 1 1. Sea r′ (t) = 1+t2 i + t2 j + 1 k, encontremos r(t) integrando r′ (t) t dt dt dt r(t) = i+ j+ k 1 + t2 t2 t 1 r(t) = [arctan t] i + − j + ln tk + C t Si t = 1 tenemos que 1 r(1) = (arctan 1) i + − j + ln 1k + C 1 π 2i = i + (−1) j + C 4 π π 1 Realizando procesos algebraicos tenemos C = 2 − 4 i + j y asi r(t) = 2 − 4 + arctan t i + 1 − t j + ln tk 2. Sea gt2 r(t) = ( v0 cos θ) ti + h + ( v0 sin θ) t − j 2 la funci´n vectorial que describe la posici´n de un proyectil lanzado de una altura h con rapidez inicial v0 y ´ngulo de o o a elevaci´n θ. Para nuestro caso o √ √ r(t) = 450 2 ti + 3 + 450 2 t − 16t2 j de donde √ x(t) = 450 2 t √ y(t) = 3 + 450 2 t − 16t2 √ √ Ahora la altura es m´xima si la velocidad en y es cero, as´ y ′ (t) = 450 2 − 32t = 0 si y solo si t = 225 2 ≈ 19,8873. Por tanto a ı 16 la altura m´xima es a √ √ √ 2 225 2 √ 225 2 225 2 y = 3 + 450 2 − 16 ≈ 6331,1 16 16 16 √ √ √ Ahora el alcance es m´ximo si la posici´n en y es cero, as´ y(t) = 3 + 450 2 t − 16t2 = 0 si y solo si t = 450 2+ 414242 ≈ a o ı 32 39,7795. Por tanto el alcance m´ximo es a √ √ √ √ 450 2 + 414242 √ 450 2 + 414242 x = 450 2 ≈ 25,315,5 32 32 3. Sea r(t) = ( v0 cos 8◦ ) ti + ( v0 sin 8◦ ) t − 4,9t2 j, entonces x(t) = ( v0 cos 8◦ ) t y(t) = ( v0 sin 8◦ ) t − 4,9t2 Como el alcance es de 50 metros, tenemos 50 = ( v0 cos 8◦ ) t de donde 50 t= v0 cos 8◦ Ahora para este valor de t, y = 0. Es decir 2 50 50 ( v0 sin 8◦ ) − 4,9 =0 v0 cos 8◦ v0 cos 8◦ (4,9)(2500) 50 tan 8◦ = 2 v0 cos2 8◦ 2 (4,9)(50) v0 = tan 8◦ cos2 8◦ v0 ≈ 42,2 m/s
  3. 3. 4. Sea r(t) = 3 cos ti + 2 sin tj entonces r′ (t) = −3 sin ti + 2 cos tj as´ ı r′ (t) = 9 sin2 t + 4 cos2 t = 9 sin2 t + 4 1 − sin2 t = 9 sin2 t + 4 − 4 sin2 t = 5 sin2 t + 4 de donde r(t) −1/2 T (t) = = 5 sin2 t + 4 (−3 sin ti + 2 cos tj) r′ (t) −1/2 1 −3/2 T ′ (t) = 5 sin2 t + 4 (−3 cos ti − 2 sin tj) + − 5 sin2 t + 4 (10 sin t cos t) (−3 sin ti + 2 cos tj) 2 Ahora si t = π obtenemos T ′ (π) = 3 i y T ′ (π) = 2 3 2 por tanto T (π) = −j N (π) = i y 2 1 N (π) r(π) T (π) −3 −2 −1 1 2 3 x −1 −2 5. Sea r(t) = (cos t + t sin t)i + (sin t − t cos t)j + t2 k entonces r′ (t) = (− sin t + sin t + t cos t)i + (cos t − cos t + t sin t)j + 2tk = (t cos t)i + (t sin t)j + 2tk as´ ı π 2 L= t2 cos2 t + t2 sin2 t + 4t2 dt 0 π 2 √ = 5t2 dt 0 π √ 2 = 5 tdt √ 0 5π 2 = 8

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