FRACTALES<br />UNA PRESENTACION SOBRE LA GENERACION DE LOS FRACTALES TOMADA DE LA WEB.<br />
Rep. de objetos tridimensionales en animación y realidad virtual<br />ESCET – URJC<br />Curso 2004-05<br />Aproximación fr...
Índice<br /><ul><li> Sistemas de Funciones Iteradas (SFI)
 Obtención de un fractal a partir de un SFI
 Aproximación (práctica) de objetos
 El continente fractal: rutas turísticas
Bibliografía</li></li></ul><li>La semana pasado vimos un método sencillo para crear<br />fractales autosemejantesempleando...
Por ejemplo, si tomamos las semejanzas del plano  w1, w2 y w3<br /> y tomamos B como<br />un cuadrado…<br />
Usando semejanzas contractivas se pueden obtener <br />(casi) todos los fractales clásicos que hemos visto...<br />¿se pue...
Aplicaciones contractivas <br />Una aplicación  f:RnRn es una semejanza contractiva si d( f(x) , f(y) )=r d( x , y ),<br /...
Una aplicación  f:RnRn es una aplicación contractiva si d( f(x) , f(y))    r d( x, y ),<br />con d(·,·) la distancia y 0 <...
 Hay muchas más aplicaciones contractivas, como por ejemplo,
Las  aplicaciones afines</li></ul>son contractivas si <br />
Sistema de funciones iteradas <br />Si tomamos unas funciones contractivas<br />S={ g1 ,g2 ,…, gm}, <br />(un sistema de f...
Idea de la demostración<br />Partimos de unas funciones contractivasS={ g1 ,g2 , …, gm  }.<br />Si <br />Consideramos S: H...
Obtención del atractor de un SFI<br />Si tenemos un sistema de funciones iteradas<br />S={ g1 ,g2 , …, gm  }.<br />¿cómo c...
Obtención del atractor de un SFI<br />Método Aleatorio: Si S={g1, g2, …, gm}, tomamos xo (cualquiera). <br />Elegimos al a...
Aproximación de Objetos mediante SFI<br />Si C es un objeto, ¿existe un fractal Fque se parezca a C?<br />Matemáticamente,...
Teorema del Collage<br />Si tenemos un compactoC y aplicaciones contractivas<br />S={ g1 ,g2 ,…, gm}, de razones de contra...
Idea de la demostración<br />Si tenemos S={g1, g2, …, gm} y C es un compacto construimos <br />Entonces, <br />Si n tiende...
¿cómo emplear este resultado?<br />Si queremos aproximar un compacto C empleando que <br />En la práctica buscamos S={g1, ...
Ejemplo: Aproximación de una hoja<br />¿podemos aproximar la siguiente imagen?<br />
Ejemplo: Aproximación de una hoja<br />
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Fractales en la web.

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ESTA ES UNA PRESENTACION PUBLICADA EN LA WEB SOBRE LA GENERACION DE FRACTALES A PARTIR DE LA ITERACION DE FUNCIONES.

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Fractales en la web.

  1. 1. FRACTALES<br />UNA PRESENTACION SOBRE LA GENERACION DE LOS FRACTALES TOMADA DE LA WEB.<br />
  2. 2. Rep. de objetos tridimensionales en animación y realidad virtual<br />ESCET – URJC<br />Curso 2004-05<br />Aproximación fractal de objetos<br />
  3. 3. Índice<br /><ul><li> Sistemas de Funciones Iteradas (SFI)
  4. 4. Obtención de un fractal a partir de un SFI
  5. 5. Aproximación (práctica) de objetos
  6. 6. El continente fractal: rutas turísticas
  7. 7. Bibliografía</li></li></ul><li>La semana pasado vimos un método sencillo para crear<br />fractales autosemejantesempleando semejanzas.<br />Si tenemos unas semejanzas contractivasf1, f2 ,.., fm, es decir<br />aplicaciones fi :RnRn tales que <br />d( fi(x), fi(y) )=r d(x,y),<br />con 0 < r < 1, y para un conjunto Bcompacto tomamos<br />
  8. 8. Por ejemplo, si tomamos las semejanzas del plano w1, w2 y w3<br /> y tomamos B como<br />un cuadrado…<br />
  9. 9. Usando semejanzas contractivas se pueden obtener <br />(casi) todos los fractales clásicos que hemos visto...<br />¿se pueden generar otros objetos más complejos?<br />Para ello debemos afinar nuestras herramientas definiendo<br />algo más general que las semejanzas contractivas. <br />(Barnsley, 1985)<br />…en la práctica, serán aplicaciones de la forma<br />
  10. 10. Aplicaciones contractivas <br />Una aplicación f:RnRn es una semejanza contractiva si d( f(x) , f(y) )=r d( x , y ),<br />con d(·,·) la distancia y 0 < r < 1 (razón de la semejanza). <br />Una aplicación f:RnRn es una aplicación contractiva si d( f(x) , f(y)) r d( x, y ),<br />con d(·,·) la distancia y 0 < r < 1 (razón de la contracción). <br />Aplicación contractiva = transformación que acerca puntos<br />
  11. 11. Una aplicación f:RnRn es una aplicación contractiva si d( f(x) , f(y)) r d( x, y ),<br />con d(·,·) la distancia y 0 < r < 1 (razón de la contracción). <br /><ul><li> Todas las semejanzas contractivas son apl. contractivas
  12. 12. Hay muchas más aplicaciones contractivas, como por ejemplo,
  13. 13. Las aplicaciones afines</li></ul>son contractivas si <br />
  14. 14. Sistema de funciones iteradas <br />Si tomamos unas funciones contractivas<br />S={ g1 ,g2 ,…, gm}, <br />(un sistema de funciones iteradas o SFI), <br />siempre existe un únicoconjunto F tal que <br />F se llama atractor del sistema S.<br />F es “autosemejante” según las transformaciones S<br />
  15. 15. Idea de la demostración<br />Partimos de unas funciones contractivasS={ g1 ,g2 , …, gm }.<br />Si <br />Consideramos S: H(R2) H(R2 ) definida como <br />Un conjunto que contiene su frontera y está contenido en un cubo<br />S: H(R2) H(R2 ) es una aplicación contractiva, es decir<br />para cualesquiera A,B en H(R2). Por el teorema del punto fijo, existe F (único) tal que F=S(F).<br />
  16. 16. Obtención del atractor de un SFI<br />Si tenemos un sistema de funciones iteradas<br />S={ g1 ,g2 , …, gm }.<br />¿cómo calcular el conjunto F tal que ? <br />Método Determinista: Tomamos un compacto B y construimos<br />Tomando límites cuando n tiende a infinito,<br />Es decir partiendo de cualquier B, llegamos al atractor F<br />
  17. 17. Obtención del atractor de un SFI<br />Método Aleatorio: Si S={g1, g2, …, gm}, tomamos xo (cualquiera). <br />Elegimos al azar <br />A continuación, elegimos al azar<br />construyendo una sucesión de puntos (xn) que cumple que <br />Repitiendo con otros (muchos) xo, <br />obtenemos una aproximación de F<br />
  18. 18. Aproximación de Objetos mediante SFI<br />Si C es un objeto, ¿existe un fractal Fque se parezca a C?<br />Matemáticamente, si C es un compacto,<br />¿existe fractal F tal que dH(C,F) es pequeña? <br />Sabemos crear fractales (con SFI), <br />¿podemos adivinar si se parecerán a C?<br />
  19. 19. Teorema del Collage<br />Si tenemos un compactoC y aplicaciones contractivas<br />S={ g1 ,g2 ,…, gm}, de razones de contraccion r1,r2,..rm,<br />de forma que <br />entonces,<br />donde F es el fractal asociado a S (el atractor) y <br />Si C se parece a S(C), entonces C se parece a F <br />
  20. 20. Idea de la demostración<br />Si tenemos S={g1, g2, …, gm} y C es un compacto construimos <br />Entonces, <br />Si n tiende a infinito,<br />
  21. 21. ¿cómo emplear este resultado?<br />Si queremos aproximar un compacto C empleando que <br />En la práctica buscamos S={g1, g2, …, gm} tales que <br />g1, g2, …, gm sean contracciones afines.<br />C se parezca a S(C).<br />g1, g2, …, gm sean de razón pequeña.<br />…veamos algún ejemplo…<br />
  22. 22. Ejemplo: Aproximación de una hoja<br />¿podemos aproximar la siguiente imagen?<br />
  23. 23. Ejemplo: Aproximación de una hoja<br />
  24. 24. Ejemplo: Aproximación de una hoja<br />..construyendo contracciones afines…<br /> con la siguiente tabla de datos…<br />…ya podemos generar resultados con Maple, por ejemplo…<br />
  25. 25. Esta misma situación se puede repetir con muchos objetos…<br />
  26. 26. Excursiones Fractales<br />Lo que hemos visto no es mas que una pequeña toma de <br />contacto con la geometría fractal, que tiene múltiples posibles<br />continuaciones, como por ejemplo <br /><ul><li> La compresión fractal de imágenes basado en SFI.
  27. 27. Los fractales basados en algoritmos de escape (conjuntos de Mandelbrot, Julia, sistemas dinámicos…).
  28. 28. Los L-sistemas y los lenguajes fractales.
  29. 29. El modelado de terrenos y nubes con fractales plasma.
  30. 30. …</li></li></ul><li>Resumiendo:<br /><ul><li>Los sistemas de funciones iteradas dan un método fácil para generar una gran variedad de fractales.
  31. 31. Mediante SFIs se pueden aproximar muchos objetos (no necesariamente fractales) de forma simple.
  32. 32. La geometría fractal es un campo abierto repleto de potenciales aplicaciones.</li></li></ul><li>Un poco de bibliografía<br />Fundamentos Matemáticos de los fractales<br /><ul><li>M.Barnsley. “Fractals Everywhere” Academic Press (Muy exaustivo)
  33. 33. M. de Guzmán, M.A.Martín, M.Morán y M.Reyes. “Estructuras fractales y sus aplicaciones”. Editorial Labor(Muy claro, completo y con lenguaje divulgativo).
  34. 34. Falconer “Fractal Geometry” (Profundo, pero muy matemático).</li></ul>Otros libros y enlaces sobre fractales<br /><ul><li>J.Barrallo Calonge “Geometría fractal: algoritmica y representación”. Anaya Multimedia (Con pocos requisitos matemáticos, presenta algoritmos y programas en C, bastante completo).
  35. 35. http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/ Curso sobre geometría fractal
  36. 36. http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/ Colección de recursos fractales</li>

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