2. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но и главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями , функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениям их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем, если скорость движения постоянна.
3. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объектами в математике изучались с момента ее возникновения. Но вопрос о том, что общее имеют самые разные соответствия, какова сущность любого соответствия, был поставлен в конце ХIХ — начале ХХ века, и ответ на него был найден в рамках теории множеств. В курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике изучения этих взаимосвязей.
4. Понятие соответствия. Способы задания соответствий Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
5. В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения. Что общее имеют эти соответствия?
6.
7. Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов:
8. Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии:
9. Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары - это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия. Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.
10. Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие — это подмножество, то его можно задавать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.
11. Нередко, изучая соответствие между множествами Х и Y , приходится рассматривать и соответствие, ему обратное. Например, S — соответствие «больше на 2» между множествами Х = { 4, 5, 8, 10 } и Y = {2,3,6}. Тогда S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} и его граф будет таким, как на рисунке.
12. Соответствие, обратное данному, — это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между множествами Y и Х, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное .
13. Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: х S у. Запись х S у можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х = 2y, x >3 y +1 и др. Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному .
14.
15.
16.
17. Взаимно однозначные соответствия В математике изучают различные виды соответствий. Это не случайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем мире, многообразны. Для учителя, обучающего математике школьников, особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия. Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества Х.
18. Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий. Пример 1. Пусть Х— множество кружков, Y — множество квадратов и соответствие между ними задано при помощи стрелок. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества Х сопоставляется единственный квадрат из множества Y и каждый квадрат из Y соответствует только одному кружку из множества Х .
19. Пример 2. Пусть Х — множество действительных чисел, Y - множество точек координатной прямой. Соответствие между ними таково: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на прямой соответствует только одному числу.
20. В математике взаимно однозначное соответствие между множествами Х и Y Часто называют взаимно однозначным отображением множества Х на множество Y . Понятие взаимно однозначного соответствия позволяет определить отношение равномощности множеств. Определение. Множества Х и Y называются равномощными если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Если множества Х и Y равномощны, то пишут Х~У.
21. Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между ними взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5=5, так как кружков столько же, сколько квадратов .
22. Понятие равночисленности множеств лежит и в основе определения отношений «больше на ...» и «меньше на…». Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно однозначное соответствие между множеством Х, в котором 4 элемента, и подмножеством Y 1, другого множества Y, в котором 6 элементов, и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.
23. Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества. Приведем примеры таких множеств. Пример 3. Пусть Х — множество точек отрезка АВ, Y — множество точек отрезка С D , причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то множества точек отрезка АВ и С D равномощны.
24. Пример 4. Рассмотрим множество N натуральных чисел и множество Y — чётных натуральных чисел. Они равномощны так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
25. На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество В, что между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества. Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его называют счётным. Любое бесконечное подмножество множества N счётно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано в примере 4). Так, счётно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных. Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.
