Universidad Nacional de Educación a Distancia.
Facultad de Ciencias.
Departamento de Física.
Memoria del Trabajo Fin de Gr...
Gustavo Adolfo Pérez Sánchez.
EL PROBLEMA DE KEPLER.
APLICACIONES DEL VECTOR DE
LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS
PERTURBADAS.
.
«No nos preguntamos qué propósito útil hay en el canto de los
pájaros, cantar es su deseo desde que fueron creados para ...
Agradecimientos
Gracias. Mil gracias a todos aquellos que de alguna manera contribuyeron en
cierto momento y lugar , quizá...
Resumen
Luego de una vista general del conocido Problema de Kepler
de la mecánica celeste, su tratamiento bajo las ópticas...
Índice general
1 Introducción. 6
2 El Problema De Kepler. 7
2.1 Breve Reseña Histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
Índice de figuras
2.1 Trayectorias del Problema de Kepler según el valor de la excentricidad. Fuente:
[8]. . . . . . . . ....
1 Introducción.
El contenido de estas páginas corresponde, a la memoria del Trabajo de Fín de
Grado conducente a la obtenc...
2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
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Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 2...
2.2 Tratamiento Newtoniano.
de posición de dichas masas relativos al centro de masas del sistema1
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2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
donde hemos hecho fg = − α
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2.3 Tratamiento Lagrangiano.
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2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
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2.3 Tratamiento Lagrangiano.
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2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
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2.3 Tratamiento Lagrangiano.
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2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
Figura 2.4: Representación de la degeneración orbital, distintas órbitas con excentricidades
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2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL).
La relación anterior expresa la Tercera Ley de Kepler, el cuadrado del período...
2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
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2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL).
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3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS.
3 Aplicaciones del vector LRL en órbitas pertur-
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3.1 La perturbación orbital. Dinámica del vector LRL
En este epígrafe y en los siguientes mostraremos un método que result...
3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS.
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3.1 La perturbación orbital. Dinámica del vector LRL
⟨f (r (t) , θ (t))⟩ =
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3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La correc-
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3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección relativista.
coincidía con la velocidad de la luz c en el v...
3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS.
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3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección relativista.
ˆ 2π
0
cos θ
r2
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1
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3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS.
3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria.
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3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria.
V (r) = −G
˛
anillo
λm′ dl
|R − r|
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3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS.
⟨ ·
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⟩
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Gmm′
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⟨
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=
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⟨
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⟩
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3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria.
Planeta: Ωext(′′
por siglo):
Venus 292,65
Tierra + Luna 95,...
3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS.
Planeta:
Ω(′′
por siglo).
Ωan(′′
por siglo):
Contribución neta de to...
3.4 Perturbación dependiente de la velocidad. El arrastre atmosférico.
⟨ ·
A
⟩
= ⟨δf × L⟩ + ⟨p × (r × δf)⟩
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−βvn−1
v × ...
3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS.
En este caso, puesto que como puede probarse es
⟨
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= ⟨cos θ⟩ x = ...
4 Notas finales.
En la primera sección, hemos dado una repaso general al Problema de Kepler
tratándolo tanto desde la pers...
4 NOTAS FINALES.
En [2], los autores presentan una explicación alternativa al problema de la curva
de rotación de las gala...
A Efecto de una perturbación δf ∼ −1/r3
.
Resolución analítica.
Supongamos un cuerpo de masa m sometido a la interacción g...
A EFECTO DE UNA PERTURBACIÓN δF ∼ −1/R3
.
RESOLUCIÓN ANALÍTICA.
Solución que también en este caso corresponde a una trayec...
∆θ =
πm
L2
λ. (A.11)
Esta expresión difiere claramente de la (A.8); sin embargo, dado que se satisfa-
ce (A.9) para todo r...
A EFECTO DE UNA PERTURBACIÓN δF ∼ −1/R3
.
RESOLUCIÓN ANALÍTICA.
UNED. 39 Trabajo de Fín de Grado en Física.
Referencias
Referencias
[1] Farina. O vetor de laplace-runge-lenz no problema de kepler. Caderno da
Física da UEFS, 04:115...
UNED. 41 Trabajo de Fín de Grado en Física.
EL PROBLEMA DE KEPLER. APLICACIONES DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS
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EL PROBLEMA DE KEPLER Y EL USO DEL MÉTODO DE LA DINÁMICA DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS.

PRECESIÓN ANÓMALA DEL PERIHELIO DE MERCURIO.

PRECESIÓN DEBIDA A LA INFLUENCIA GRAVITACIONAL PLANETARIA.

EFECTOS ORBITALES DEL ARRASTRE ATMOSFÉRICO.

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EL PROBLEMA DE KEPLER. APLICACIONES DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS

  1. 1. Universidad Nacional de Educación a Distancia. Facultad de Ciencias. Departamento de Física. Memoria del Trabajo Fin de Grado en Física. EL PROBLEMA DE KEPLER. APLICACIONES DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS. Gustavo Adolfo Pérez Sánchez. Tutor: Dr. Álvaro Perea Covarrubias. Curso 2014/2015 Esta obra está licenciada bajo la Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial 4.0 Internacional. Para ver una copia de esta licencia, visita http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/.
  2. 2. Gustavo Adolfo Pérez Sánchez. EL PROBLEMA DE KEPLER. APLICACIONES DEL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITAS PERTURBADAS.
  3. 3. . «No nos preguntamos qué propósito útil hay en el canto de los pájaros, cantar es su deseo desde que fueron creados para can- tar. Del mismo modo no debemos preguntarnos por qué la men- te humana se preocupa por penetrar los secretos de los cie- los...La diversidad de los fenómenos de la naturaleza es tan grande y los tesoros que encierran los cielos tan ricos, preci- samente para que la mente del hombre nunca se encuentre ca- rente de su alimento básico.» Johannes Kepler. i
  4. 4. Agradecimientos Gracias. Mil gracias a todos aquellos que de alguna manera contribuyeron en cierto momento y lugar , quizás sin saberlo muchos, a la puesta a punto de esta memoria, son artífices también de ella. Gracias en particular: A Ana María, mi compañera eterna, por su apoyo constante y desinteresado siempre, y cómo no, por su paciencia infinita más de una vez. A mis padres claro, siempre a ellos por todo, por educarme en el estudio de la ciencia, por más y más , dar motivos concretos desvirtuaría al resto de ellos. Al Dr. Álvaro Perea Covarrubias, mi tutor en este trabajo, por elegir un tema tan fascinente, por toda su colaboración, por dejarme el camino libre de obstáculos y facilitarme el trato y la comunicación haciéndola eficiente y limpia a parte de eficaz. Gracias Álvaro. A la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) y a la Universidad de Córdoba (UCO), porque ésto es sin duda producto de su enseñanza. A mis grandes amigos Antonio, Pablo, Martín, colegas en esta ardua, tortuosa, y sin embargo maravillosa tarea de arrebatarle las ideas a Dios. A todos los no nombrados por no extenderme, gracias y mil perdones, sé que sabrán excusarme. ii
  5. 5. Resumen Luego de una vista general del conocido Problema de Kepler de la mecánica celeste, su tratamiento bajo las ópticas newtoniana, lagrangiana, y mediante el llamado vector de Laplace-Runge-Lenz (LRL) que se conserva. Mostraremos el método de la dinámica del vector LRL que permite analizar ciertas características de las solu- ciones del problema bajo pequeñas perturbaciones, perturbaciones que quiebran la simetría que conduce a la conservación de tal vector produciendo por tanto una evolución temporal del mismo. Discuti- remos algunos casos de interés tanto para perturbaciones de tipo central como no central, presentando la forma de proceder y los los resultados a los que se llega. ——————– Abstract After an overview of known Kepler Problem in celestial mecha- nics, its treatment under newtonian view , lagrangian, and through the Laplace - Runge -Lenz (LRL) vector that is preserved. We will show the method of the dynamics of LRL vector to analyze some characteristics of the solutions of the problem under tiny perturba- tions , perturbations that break the symmetry leading to the conser- vation of the vector thereby producing a temporal evolution of this. We discuss some cases of interest to both kind, central and not central perturbations, presenting how to proceed and the obtained results. iii
  6. 6. Índice general 1 Introducción. 6 2 El Problema De Kepler. 7 2.1 Breve Reseña Histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Tratamiento Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Tratamiento Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL). . . . . . . . . . . . . . 16 3 Aplicaciones del vector LRL en órbitas perturbadas. 19 3.1 La perturbación orbital. Dinámica del vector LRL . . . . . . . . . 19 3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección re- lativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria. . . . . . 27 3.4 Perturbación dependiente de la velocidad. El arrastre atmosféri- co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 Notas finales. 34 A Efecto de una perturbación δf ∼ −1/r3 . Resolución analítica. 36 Referencias 40 iv
  7. 7. Índice de figuras 2.1 Trayectorias del Problema de Kepler según el valor de la excentricidad. Fuente: [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Energía potencial total efectiva (curva en negro) como suma de las energías potenciales centrífuga y gravitacional (curvas en gris). Las energías E0 a E3 corresponden a distintas trayectorias cónicas, circular, elíptica, parabólica e hi- perbólica respectivamente. Los valores rm´ıny rm´ax (pericentro y apocentro) co- rresponden a los puntos en que se anula la velocidad radial en el caso de órbita elíptica para la energía mecánica E1. El valor r0 corresponde al radio de órbi- ta circular para la energía mecánica en el mínimo de la energía potencial total efectiva E0 = Uefm´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Trayectoria abierta pero limitada, después de un número finito de oscilaciones entre rm´ıny rm´ax ésta no se cierra sobre si misma. Fuente: [8] . . . . . . . . 13 2.4 Representación de la degeneración orbital, distintas órbitas con excentricidades diferentes poseen la misma energía. Fuente: [1]. . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Representación del vector constante LRL A en cuatro puntos de una órbita elíp- tica. Obsérvese que está dirigido hacia el pericentro. . . . . . . . . . . . . . 17 3.1 Representación del modelo matemático utilizado para determinar la perturbación δf que ejerce un planeta de masa m′ en órbita circular en torno al Sol sobre la órbita de un planeta de masa m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Índice de cuadros 2.1 Clasificación de las órbitas según valores de la excentricidad y la energía. . . . 15 3.1 Valores de la precesión del perihelio Ωext de Mercurio debida a la influencia gravitacional de cada uno de los planetas del sistema solar y la contribución total de éstos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Valores de la precesión del perihelio Ω y Ωan de los planetas del sistema solar debida a la influencia gravitacional neta del resto de planetas y causada por la corrección relativista de la fuerza gravitacional respectivamente. . . . . . . . 31 v
  8. 8. 1 Introducción. El contenido de estas páginas corresponde, a la memoria del Trabajo de Fín de Grado conducente a la obtención del título de Graduado en Física por la Uni- versidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). Se enmarca bajo la linea de trabajo asignada «Simetría y Conservación. Simetría y Evolución», el tema en concreto fue elegido por el profesor tutor del trabajo, y en la humilde opinión del alumno, de quien escribe éstas líneas, no podía haber estado más acerta- do. «El Problema de Kepler. Aplicaciones del vector de Laplace-Runge-Lenz en órbitas perturbadas», tal como aparece en la portada es el tema mismo a tratar, una revisión bibliográfica que el lector, que si no está versado entende- mos que al menos dispone de conocimientos de física, ya se estará haciendo una idea de qué se trata y de lo que seguramente enseguida constatará. Está estructurada la memoria en secciones de las cuales dos de ellas cons- tituyen la espina dorsal de la misma. En la primera sección, piedra angular para la siguiente, presentaremos a modo de repaso general y no por ello ca- rente de cierto nivel, el conocido Problema de Kepler de la mecánica celeste, construyendo el marco físico-matemático para su resolución y tratándolo des- de la perspectiva tanto de la mecánica newtoniana como desde la lagrangiana. Posteriormente definiremos el llamado vector de Laplace-Runge-Lenz o vector LRL que surge de forma natural del mismo problema y que se conserva como consecuencia de la existencia de ciertas simetrías, es por tanto una integral de movimiento que nos permitirá dar también con la solución, aunque en este caso y en opinión de un servidor, de un modo más elegante. En la segunda sección entraremos en materia por decirlo de alguna manera, presentaremos el método de la dinámica del vector LRL, una técnica de bajo coste en cuanto a esfuerzo se refiere y que permite analizar características de las soluciones del Problema de Kepler cuando éste se ve sometido a «peque- ñas» perturbaciones, que por lo general rompen la simetría que da origen a la conservación del vector LRL. El lector pudiere pensar llegado el momento, que la frase «pequeñas» es extenuante, que le resulta redundante y repetitiva a lo largo del texto, pronto comprenderá con toda seguridad que el mantener rigor matemático exige ciertos «vicios», sobretodo, cuando de lo que se trata es de dejar claro algo importante, como en este caso, en el que las perturba- ciones deben ser pequeñas (en su momento se dejará claro que se entiende por pequeñas) para dar validez al método de la dinámica del vector LRL. Por último, solo decir que aunque el propósito principal de este trabajo de fin de grado resulta evidente, pretender que no lo es sería sinuoso, también es de justicia hacer constar que el tema expuesto aquí, aunque de carácter intro- ductorio, ha supuesto tal gozo intelectual al autor, que quiere dejar la puerta abierta a una futura ampliación del texto. UNED. 6 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  9. 9. 2 EL PROBLEMA DE KEPLER. 2 El Problema De Kepler. 2.1 Breve Reseña Histórica. Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratis- bona, Alemania, 15 de noviembre de 1630), publicó las tres leyes que descri- ben el movimiento de los planetas en órbitas cerradas alrededor del Sol, las dos primeras en su obra Astronomia Nova, cuando aún no se conocía la ley de gravitación de Newton, Isaac Newton nacería el 25 de diciembre del año 1642, doce años después de la muerte de Kepler. Así pués el descubrimien- to de Kepler fue experimental, basándose en los datos sobre el movimiento planetario que se conocían hasta el momento, en particular las observaciones y datos acumulados por el astrónomo Tycho Brahe (1546-1601), a los cuales pudo acceder después de su muerte a partir de 1602. Kepler fue ayudante de Brahe, quien acumuló datos sobretodo del movimiento de Marte, a partir de éstos Kepler concluyó que ninguno de los modelos hasta entonces encajaba con los datos analizados si se recurría a órbitas circulares, afortunadamente, la órbita de Marte es lo suficientemente excéntrica, de otro modo quizás Kepler no se hubiera percatado de este hecho. Kepler sabía que no podía deberse a errores de Brahe, ya que conocía de la precisión de éste, concluyó entonces que las órbitas no eran circulares sino elípticas con el Sol situado en uno de los focos, rompió así con el dogma de movimientos circulares de la época en 1609 con su primera ley. La segunda ley afirma que la linea que une el Sol con el planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales. Finalmente en 1619, en su obra Harmonices mundi (La armonía del mundo) Kepler publica la tercera ley que establece la proporcionalidad entre el cuadrado del período orbital de los planetas en torno al Sol y el cubo del semieje mayor de la elipse que describen. Con aparición la ley de atracción de las masas como fuerza central de potencial inverso de la distancia, las tres leyes pudieron ser deducidas matemáticamen- te. Esta deducción teórica solamente pudo hacerse, evidentemente, a partir de la obra de Newton como veremos a continuación. 2.2 Tratamiento Newtoniano. Imaginemos dos masas puntuales o esféricas, m1y m2, aisladas y sometidas mutuamente a la interacción gravitatoria. Partamos pues de la Ley de Gravi- tación Universal y de la segunda ley de Newton, la ecuación diferencial que gobierna a este sistema se escribe: · p = µ ·· r = − Gm1m2 r3 r, (2.1) donde µ = m1m2 m1+m2 es la masa reducida del sistema, G es la constante de gravi- tación universal, r es la distancia que separa a ambas masas y, r = r2 − r1 es un vector de las coordenadas espaciales rectangulares (x, y, z) dirigido hacia masa m2 sobre el segmento que une ambas masas, con r2 y r1 radiovectores UNED. 7 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  10. 10. 2.2 Tratamiento Newtoniano. de posición de dichas masas relativos al centro de masas del sistema1 . De esta manera el problema de los dos cuerpos, queda formalmente reducido al de un solo cuerpo de masa µ sometido a un campo de fuerzas central de tipo gravitacional . De la centralidad de la interacción, lo que la hace invariante frente a rotaciones ( la isotropía espacial), se desprende de inmediato la conservación del momento angular, en efecto, puesto que . r y p son paralelos y teniendo en cuenta (2.1): · L = d dt [r × p] = . r × p+r × . p = 0 + 0 = 0. (2.2) De manera que L es un vector constante en el tiempo, el movimiento de las dos masas por tanto está restringido a un plano definido por los vectores r y p perpendiculares a L. En este sentido se puede escoger un sistema coordenado polar (r, θ) sobre el plano del movimiento, e introduciendo α ≡ Gm1m2 , la ecuación (2.1) se reescribe como : { µ (.. r − r ˙θ2 ) = − α r2 µ ( 2 ˙r ˙θ + r¨θ ) = 0 , (2.3) en donde cada ecuación se corresponde con la componente según los unitarios r y ˆθ del sistema coordenado polar respectivamente. La segunda ecuación del sistema anterior es la derivada respecto del tiempo de la magnitud del momento angular como puede comprobarse, expresa por tanto su conservación cuya magnitud es L = µr2 ˙θ = cte. Sustituyendo entonces . θ en función de L en la primera ecuación, resulta: µ [ .. r − ( L µ )2 1 r3 ] = − α r2 . (2.4) Para encontrar la ecuación de las trayectorias vamos obtener una relación en- tre r y θ eliminando el tiempo de la ecuación anterior. Escribiendo: ˙r = dr dθ ˙θ = L µr2 dr dθ = − L µ d dθ ( 1 r ) , .. r = d dθ [ − L µ d dθ ( 1 r )] ˙θ = − ( L µ )2 1 r2 d2 dθ2 ( 1 r ) , (2.5) y sustituyendo en (2.4) resulta: 1 r2 [ d2 dθ2 ( 1 r ) + ( 1 r )] = − µ L2 fg, (2.6) 1En todo momento en este texto se pasará por alto el movimiento del centro de masas del sistema. Nótese que éste se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme puesto que · pCM = 0 (se encuentra libre de fuerzas) , por lo que no resulta relevante para el estudio del problema. UNED. 8 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  11. 11. 2 EL PROBLEMA DE KEPLER. donde hemos hecho fg = − α r2 . La ecuación anterior se conoce como Fórmula de Binet para el campo gravi- tacional, multiplicándola por r2 resulta una ecuación diferencial lineal, no ho- mogénea y de coeficientes constantes para la variable dependiente 1 r , cuya solución inmediata pude comprobarse que es: r = κ 1 + ε cos(θ − θ0) , (2.7) en donde hemos llamado, κ ≡ L2 µα , ε ≡ C L2 µα , (2.8) con θ0 un ángulo inicial que puede escogerse convenientemente igual a cero sin perder generalidad, y donde C, es una constante de integración que se obtiene de las condiciones iniciales del problema. -Primera Ley de Kepler: La expresión (2.7) representa la ecuación de una cónica en coordenadas polares centrada en uno de sus focos, esto es, representa una parábola, una hipérbola o una elipse según sea el valor de la excentricidad ε que surge de las condiciones iniciales del problema, el valor de κ se conoce como «semilatus rectum» de la cónica, geométricamente es la altura perpendicular sobre el eje de simetría mayor alzada desde cualquiera de los focos hasta la cónica. Es pues este resultado, para el caso de una trayectoria elíptica, una demostración de la Primera Ley de Kepler. En la figura 2.1 se muestran las distintas trayectorias del problema según el va- lor de la excentricidad, en el caso elíptico, obsérvese, los dos cuerpos giran en torno a un foco de la elipse (al centro en el caso circular), centro de masas del sistema, así, supuesto que m1 ≫ m2 póngase el caso del sistema Sol-Tierra, el centro de masas estará desplazado hacia el Sol casi por entero, describiendo la tierra pues, una trayectoria elíptica con el Sol situado en uno de sus focos. UNED. 9 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  12. 12. 2.3 Tratamiento Lagrangiano. Figura 2.1: Trayectorias del Problema de Kepler según el valor de la excentricidad. Fuente: [8]. -Segunda Ley de Kepler: Escribamos la expresión del área barrida por el vector r por unidad de tiempo: dA = 1 2 (r × dr) ⇒ dA dt = 1 2µ (r × p) = L 2µ = cte. (2.9) Lo que se muestra es que ésta, conocida como velocidad areolar, es constante como consecuencia de la conservación del momento angular L. Se obtiene así, de un modo simple y natural, la Segunda Ley de Kepler. La Tierra entonces, y todos los demás planetas, barren en su trayectoria en torno al Sol, áreas iguales en tiempos iguales. Dejaremos la Tercera Ley de Kepler para el apartado siguiente donde tratare- mos el problema desde el punto de vista de la Mecánica Lagrangiana y estu- diaremos energéticamente el sistema, lo dejaremos no por necesidad sino más bien por pura elección ya que ambas perspectivas, Lagrangiana y Newtoniana, conducen como no podía ser de otro modo a los mismos resultados. 2.3 Tratamiento Lagrangiano. El Lagrangiano de nuestro sistema de un «cuerpo equivalente» bajo un campo central de tipo gravitacional, en coordenadas polares sobre el plano del movi- UNED. 10 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  13. 13. 2 EL PROBLEMA DE KEPLER. miento, resulta de inmediato ser: L =T − U = 1 2 µ ( . r 2 + r2 · θ2 ) + α r . (2.10) Visto que la coordenadas θ es cíclica en el lagrangiano, el momento conjugado correspondiente pθ = dL d · θ = µr2 ˙θ o momento angular, se conserva como ya sabíamos. Por lo que introduciendo (2.10) en la ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada r , resulta después de expresar . θ en términos de L: d dt ( ∂L ∂ ˙r ) − ∂L ∂r = µ [ .. r − ( L µ )2 1 r3 ] + α r2 = 0, (2.11) que es la misma ecuación (2.4) obtenida en el apartado anterior. Al igual que allí hicimos, repitiendo los mismos pasos para llegar a la Fórmula de Binet ( 2.5), se obtiene sin más la ecuación de las trayectorias del problema. Cónicas como ya vimos entonces. Veamos ahora el Hamiltoniano del sistema, sabemos que se corresponde con la energía mecánica del sistema2 : E = H = 1 2 µ (. r 2 + r2 . θ2 ) − α r = 1 2 µ . r 2 + 1 2 L2 µr2 − α r , (2.12) es fácil ver que en efecto es otra constante de movimiento pues de las Ecua- ciones Canónicas de Hamilton se tiene sin más que: dH dt = − ∂L ∂t = 0, (2.13) debido pues a que el Lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo. Se conserva entonces la energía en este sistema como consecuencia de la hogeneidad del tiempo. Fijémonos ahora en los dos últimos términos de la energía, éstos pueden re- cogerse en una única energía potencial, es nombrada energía potencial total efectiva Uef , de modo que así, el problema quede reducido a uno unidimen- sional de la variable r. Puede entonces expresarse la energía como: E = 1 2 µ . r 2 + Uef ⇒ Uef = 1 2 L2 µr2 − α r . (2.14) Donde el último sumando de la energía potencial total efectiva corresponde al potencial gravitacional, y el primero, es tradicionalmente conocido como ener- gía potencial centrífuga, dado que, teniendo éste dimensiones de energía, si se asocia a una energía potencial, su gradiente resulta: 2Esto es cierto siempre que la energía potencial sea independiente de la velocidad y, las trans- formaciones de coordenadas a las generalizadas no contengan explícitamente al tiempo. Refiérase por ejemplo a [8],[4] para mayor información. UNED. 11 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  14. 14. 2.3 Tratamiento Lagrangiano. − ∇r ( 1 2 L2 µr2 ) = − d dr ( 1 2 µr2 . θ2 ) = µr . θ 2 = Fc, (2.15) es decir, se obtiene la expresión que históricamente es conocida como fuerza centrífuga Fc.3 Figura 2.2: Energía potencial total efectiva (curva en negro) como suma de las energías poten- ciales centrífuga y gravitacional (curvas en gris). Las energías E0 a E3 corresponden a distintas trayectorias cónicas, circular, elíptica, parabólica e hiperbólica respectivamente. Los valores rm´ıny rm´ax (pericentro y apocentro) corresponden a los puntos en que se anula la velocidad radial en el caso de órbita elíptica para la energía mecánica E1. El valor r0 corresponde al radio de órbita circular para la energía mecánica en el mínimo de la energía potencial total efectiva E0 = Uefm´ın . Pasemos ya a obtener por medio de la energía o Hamiltoniano del sistema la ecuación de las trayectorias. Despejando . r de (2.12) tenemos: . r = + √ 2 µ (E − U) − L2 µ2r2 , (2.16) donde por conveniencia se ha puesto la energía potencial gravitacional como un potencial central U = U (r) de un modo más general. Escribiendo además: dθ = dθ dt dt dr dr = . θ . r dr, (2.17) 3Debe recordar el lector que la fuerza centrífuga no es una fuerza de origen real, es una fuer- za de las llamadas ficticias, por lo que debe entenderse ésta y su energía potencial asociada, meramente como un artefacto matemático. UNED. 12 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  15. 15. 2 EL PROBLEMA DE KEPLER. e introduciendo (2.16) en (2.17), y poniendo . θ en función de L, después de operar se obtiene: θ − θ0 = ˆ L r2 √ 2µ ( E − U − L2 2µr2 )dr. (2.18) La integral anterior nos da la variación angular en función de r . Es interesante notar de (2.16) que la velocidad radial . r se anula en general para dos valores de r, lo que implica que r oscila entre un rm´In y un rm´ax, valores conocidos como pericentro y apocentro respectivamente, vease la figura 2.2. Asi pues, la trayectoria está confinada entre estos dos valores, sin embargo, sólo se- rá cerrada si la variación angular en la integral anterior, evaluada entre dos máximos o dos mínimos consecutivos es una fracción racional p/q de 2π , en efecto, puesto que así después de un número entero q de períodos, la posición de r = r (θ) volverá a ser la inicial. Para ciertas combinaciones de E, U, y L, (2.16) presentará una raíz doble, en tal caso, el valor de r se mantendrá cons- tante en el tiempo y el sistema presentará una situación de equilibrio estable con energía mínima E0 = Uefm´ın , es el caso éste el de órbita circular de radio r0. La figura 2.3 siguiente muestra el caso de una trayectoria abierta, observe que en tal caso, después de un numero finito de oscilaciones entre los valores rm´ıny rm´ax, la órbita no se cierra. Un resultado importante, el Teorema de Bertrand, muestra que para potenciales centrales U ∝ rn+1 , sólo se producirán órbitas cerradas para los casos n = 1 y n = −2 4 . El primer caso es el potencial elásti- co, el segundo corresponde justamente al caso del potencial gravitacional. Una demostración del teorema puede encontrarla en [4], Apéndice A. Figura 2.3: Trayectoria abierta pero limitada, después de un número finito de oscilaciones entre rm´ıny rm´ax ésta no se cierra sobre si misma. Fuente: [8] Volviendo a la integral (2.18), escrita para el potencial gravitacional, 4Ciertos valores fraccionarios de n conducen también a órbitas cerradas, sin embrago, estos casos no son de gran interés físico. UNED. 13 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  16. 16. 2.3 Tratamiento Lagrangiano. θ − θ0 = ˆ L r2 √ 2µ ( E + α r − L2 2µr2 )dr, (2.19) resulta de fácil solución mediante el cambio u ≡ 1 r , lo que conduce a la expre- sión: θ − θ0 = arccos   L2 µαr − 1 √ 1 + 2EL2 µα2   , (2.20) y que después de definir: κ ≡ L2 µα , ε ≡ √ 1 + 2EL2 µα2 , (2.21) nos permite escribirla en la forma: κ r = 1 + ε cos(θ − θ0), (2.22) que se corresponde pues con la ecuación de las trayectorias cónicas ya obte- nidas anteriormente mediante la segunda ley de Newton ( en la página 7). En este caso además, hemos podido escribir la excentricidad ε de tales cónicas en términos de la energía E del sistema y de la magnitud del momento angular L del mismo. Teniendo ahora en cuenta que para una órbita elíptica, de (2.22) haciendo θ − θ0 = 0 e igual a π respectivamente, resulta el semieje mayor a, rm´ın + rm´ax = κ 1 + ε + κ 1 − ε ⇒ ⇒ a = κ 1 − ε2 (2.23) y que junto con las dos expresiones de (2.21) se tiene que: E = α 2κ ( ε2 − 1 ) = − α 2a , (2.24) resulta finalmente que la energía puede determinarse mediante el parámetro orbital a, esto es, mediante el semieje mayor de la elipse. Lo anterior expresa la llamada degeneración orbital, es decir, dado que la ener- gía depende sólo del semieje mayor a, distintas órbitas, con distintas excen- tricidades, pueden corresponder al mismo valor de la energía. Obsérvese la figura a continuación. UNED. 14 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  17. 17. 2 EL PROBLEMA DE KEPLER. Figura 2.4: Representación de la degeneración orbital, distintas órbitas con excentricidades diferentes poseen la misma energía. Fuente: [1]. El cuadro siguiente muestra la clasificación de las órbitas, la cónica resultante según el valor de la excentricidad y de la energía. Excentricidad (ε): Energía (E): Trayectoria: ε > 1 E > 0 Hipérbola ε = 1 E = 0 Parábola 0 < ε < 1 Uefm´ın < E < 0 Elipse ε = 0 E = Uefm´ın Círculo Cuadro 2.1: Clasificación de las órbitas según valores de la excentricidad y la energía. -Tercera Ley de Kepler: De la Segunda Ley de Kepler (2.9), podemos escribir: ˆ T 0 dt = 2µ L ˆ A 0 dA ⇒ T = 2µ L A, (2.25) siendo T el período orbital. Teniendo en cuenta la expresión para el área de una elipse, resulta: T = 2µ L πab, (2.26) con a y b los semiejes mayor y menor de la elipse respectivamente. Finalmente, elevando al cuadrado la relación anterior, poniendo L2 = µαa ( 1 − ε2 ) de la primera de (2.21) y de (2.23), y sabiendo que para una elipse es b2 = a2 ( 1 − ε2 ) , queda: T2 = 4π2 µ α a3 . (2.27) UNED. 15 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  18. 18. 2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL). La relación anterior expresa la Tercera Ley de Kepler, el cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de la trayectoria elíptica; sin embargo, téngase en cuenta que aquí aparece la masa reducida, por lo que la expresión se refiere al problema equivalente de un cuerpo. Si en cambio hace- mos m1 ≫ m2 , como hicimos ya en la sección anterior, recordemos el sistema Sol-Tierra, entonces será µ ≃ m2 y puesto que es α ≡ Gm1m2, tenemos: T2 = 4π2 Gm1 a3 , (2.28) que sí es la relación enunciada por Kepler en 1619. 2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL). En el Problema de Kepler, aparece, además de las cantidades conservadas ya vistas antes, a saber, la energía y el momento angular E y L respectivamente, una nueva cantidad conservada que surge en conexión con la clausura o cie- rre de las órbitas keplerianas y con la degeneración orbital, consecuencia en buena parte de las particularidades y simetrías del potencial gravitacional, más concrétamente las llamadas simetrías ocultas, transformaciones de las coor- denadas y los momentos que conducen a un grupo de rotaciones SO4 de un espacio euclidiano cuadridimensional5 . Esta constante es un vector. Veámoslo, en efecto recordando que: . p = −α r r3 y L = r × µ · r, (2.29) hagamos el producto vectorial de . p con L, . p × L = − µα r3 [ r × ( r × . r )] , (2.30) desarrollando el triple producto vectorial entre corchetes, puede ponerse como: . p × L = − µα r3 [ r ( r · . r ) − r2 . r ] (2.31) Ahora bien, dado que r · . r = r . r la expresión anterior, después de operar, queda: . p × L = µα ( . r r − . rr r2 ) = µα d dt ( r r ) , (2.32) y finalmente, teniendo en cuenta que . L = 0 (el momento angular se conserva), resulta que: 5Esta insólita aparición de un espacio cuadridimensional es algo llamativa y debe ser asumida más como un artefacto matemático que como una propiedad físicamente tangible. UNED. 16 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  19. 19. 2 EL PROBLEMA DE KEPLER. d dt ( p × L − µαr ) = 0 ⇒ A ≡ p × L − µαr = cte (2.33) Tal vector A es como hemos dicho una nueva constante de movimiento. Los físicos han llamado a este vector, vector de Runge-Lenz, o más correctamente, vector de Laplace-Runge-Lenz o simplemente por siglas vector LRL. Es inmediato comprobar que A · L = 0, lo que demuestra que el vector LRL se encuentra situado sobre el plano orbital. Para conocer su dirección, hagamos ahora el producto escalar de A con r: A · r = Ar cos θ = (p × L) · r − µαr · r = (r × p) · L − µαr = L2 − µαr, (2.34) esto es, r = L2 µα 1 + A µα cos θ . (2.35) Comparando la ecuación anterior con la ecuación (2.7), y teniendo en cuenta que allí puede hacerse θ0 = 0 convenientemente sin perder generalidad, tene- mos pues la ecuación de las trayectorias del Problema de Kepler sin más. Es así éste otro modo de obtener los resultados anteriores, vemos que el vector fijo LRL forma el mismo ángulo θ con r que éste último con el eje polar, está entonces en dirección apsidal, y además, comparando nuevamente (2.35) con (2.7), se ve claramente que: A = µαε ; A = µαεx, (2.36) donde x es el vector unitario en la dirección del eje polar (dirección apsidal) hacia el pericentro. El módulo de A por tanto es proporcional a la excentricidad de la órbita. Figura 2.5: Representación del vector constan- te LRL A en cuatro puntos de una órbita elíptica. Obsérvese que está dirigido hacia el pericentro. Constituyen así, las componentes de A y L , más la energía E, siete cons- tantes de movimiento inmersas en el Problema de Kepler, debidas claro, como se ha advertido, a simetrías presentes en el problema. Sin em- bargo, no son todas ellas indepen- dientes, para verlo, basta comparar (2.36) con la segunda expresión de (2.21) y después reordenar términos para llegar sin dificultad a la relación: A2 µ2α2 = 1 + 2EL2 µα2 , (2.37) UNED. 17 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  20. 20. 2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL). que junto con A · L = 0 forma un sistema de dos ecuaciones con siete incógni- tas, lo que nos dice que el vector LRL no es independiente, depende de otras dos constantes, E y L, siendo por tanto al final cinco las constantes de movi- miento verdaderamente independientes. La existencia de esta constante de movimiento adicional fue demostrada por Laplace en su curso de Mécanique Céleste publicado en 1799. Posteriormen- te y de forma totalmente independiente, por Hamilton en 1845. Sin embargo, a pesar de estos descubrimientos y redescubrimientos, la existencia de este vector permaneció bastante ignorada hasta que Carl Runge lo popularizó en un curso de Análisis Vectorial publicado en 1919. Finalmente Wilhelm Lenz lo utilizó en 1924 en el estudio cuántico del átomo de hidrógeno. UNED. 18 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  21. 21. 3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS. 3 Aplicaciones del vector LRL en órbitas pertur- badas. 3.1 La perturbación orbital. Dinámica del vector LRL Nuestro propósito ahora se centrará en estudiar los efectos que sobre las tra- yectorias orbitales del Problema de Kepler produce una perturbación añadida. Por perturbación, o más exactamente por pequeña perturbación, entendere- mos una fuerza δf que sumada a la fuerza gravitacional, modifique ligeramente la trayectoria original del problema no perturbado, esto último es debido, co- mo es de suponer, a que de un modo general las soluciones analíticas a las ecuaciones del problema perturbado sólo son posibles en algunos casos, y conducen en general a trayectorias que en poco o nada tienen que ver con las cónicas de Kepler estudiadas, así pues, la perturbación ha de ser lo suficiente- mente pequeña en comparación con la fuerza gravitacional (en el mínimo de la energía potencial total efectiva), una pequeña perturbación pues, de modo que mediante los métodos perturbativos podamos asegurar que las soluciones van a ser cercanas a las del problema sin perturbar, para ésto basta con imponer a la fuerza perturbatriz la condición δf ≪ α/r2 0, donde r0 es como sabemos el ra- dio de órbita circular estable correspondiente al mínimo de la energía potencial total efectiva del problema sin perturbar. Acabamos de comentar que en general, las soluciones analíticas al Proble- ma de Kepler perturbado no siempre son posibles, teniéndose que recurrir por tanto a los métodos perturbativos, sin embargo, y por poner un ejemplo, en el caso de una perturbación central de la forma δf = −λ/r3 , con λ una constante positiva (véase el Apéndice A), se obtiene una ecuación diferencial lineal no ho- mogénea de coeficientes constantes al introducirla en la Fórmula de Binet (2.6), las soluciones analíticas de dicha ecuación resultan ser trayectorias espirales, pero cuando el valor de λ es suficientemente pequeño resultan cónicas cuyo pericentro se desplaza con el tiempo. Dicho desplazamiento del pericentro es conocido usualmente como precesión del perihelio (pericentro con referencia al Sol) o avance del perihelio, y en el caso de una trayectoria elíptica por ejem- plo, es como si el perihelio girase poco a poco como se aprecia en la figura 2.3, tal efecto sobre las órbitas es la modificación que introduce la pequeña perturbación en la solución del problema no perturbado. Mediante el método de aproximaciones sucesivas de Picard por ejemplo, pue- de abordarse la resolución de la Fórmula de Binet bajo una pequeña perturba- ción cuando no es posible su resolución analítica, en ese caso se procede a suponer como solución, en primer orden de aproximación, la del problema no perturbado, que posteriormente se va corrigiendo en órdenes de aproximación superior mediante iteraciones sucesivas, así hasta obtener la exactitud desea- da. Por tanto, se van añadiendo a la solución sin perturbar, correcciones en las que aparecen términos seculares responsables de efectos sobre las cónicas como el comentado en el párrafo anterior, por supuesto, sobra decir que las modificaciones en las trayectorias no siempre resultarán en una pecesión del perihelio, esto dependerá en general de la forma matemática de la perturba- ción, pudiendo no manifestarse precesión alguna y sí presentarse o no otras alteraciones. UNED. 19 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  22. 22. 3.1 La perturbación orbital. Dinámica del vector LRL En este epígrafe y en los siguientes mostraremos un método que resulta bas- tante económico a la hora de evaluar los efectos que sobre las órbitas aparecen al introducir una pequeña perturbación al Problema de Kepler. Dado que co- mo hemos visto, el vector LRL en el problema no perturbado está en dirección apsidal, y su módulo es proporcional a la excentricidad de las orbitas, analizar entonces las variaciones en la trayectoria, como la precesión del perihelio o alteraciones en la excentricidad, se traduce esencialmente en obtener la tasa de variación temporal del vector LRL bajo la perturbación, pues si gira el pe- rihelio con el tiempo , gira con el tiempo el vector LRL, y si varía en el tiempo la excentricidad, lo hará igualmente el módulo del LRL. Por simplicidad, en adelante supondremos que tratamos con un centro de fuer- zas de masa M en torno al cual gira en órbita elíptica un cuerpo de masa m de manera que sea M ≫ m , así α ≡ GMm y la aproximación µ ≃ m queda justificada; en ningún modo el no hacer esto supone mayor dificultad, pero las aplicaciones que aquí van a se expuestas sugieren hacer esta simplificación por comodidad. Empecemos ya escribiendo la Segunda Ley de Newton para el cuerpo de masa m del Problema de Kepler con una perturbación general añadida y la derivada temporal del momento angular del sistema bajo dicha perturbación, tenemos pues: . p = − α r2 ˆr + δf ; · L = r × · p = r × δf. (3.1) Recordando los pasos del epígrafe anterior al definir el vector LRL, expresiones (2.29) a (2.35), haciendo uso ahora de las dos expresiones anteriores, resulta que es: . p × L = mα d dt ( r r ) + δf × L y p × · L = p × (r × δf), (3.2) donde en la primera expresión se ha hecho uso de (2.32) con µ ≃ m. Sumando las dos relaciones anteriores tenemos: . p × L + p × · L = mα d dt (r r ) + δf × L+p × (r × δf), (3.3) y finalmente queda: . p × L + p × · L − mα d dt (r r ) = d dt ( p × L − mαr ) = · A = δf × L+p × (r × δf). (3.4) La expresión anterior no es más que la derivada temporal del vector A, la evo- lución temporal del vector LRL bajo una perturbación general. UNED. 20 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  23. 23. 3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS. Es importante interpretar correctamente (3.4), el vector A que ahí varía con el tiempo se corresponde con el vector LRL del Problema de Kepler, esto es, el vector de Laplace-Runge-Lenz del problema en ausencia de perturbación alguna tal y como fue definido en la sección 2.4. Allí demostramos que tal vector constituye una constante de movimiento más, que se mantiene en dirección apsidal de la órbita elíptica y que su magnitud es proporcional a la excentricidad de la misma, pero en general, las órbitas del problema perturbado no presenta un vector similar, y por tanto (3.4) tal cual, no da información de interés a cerca de las características de las órbitas del problema con perturbación. Para aclarar las ideas, que desde luego pueden ser confusas, supongamos una perturbación central sobre el Problema de Kepler de la forma δf = − β r2 r, en la que β es una constante positiva tal que se verifica el criterio de pequeña perturbación δf ≪ α/r2 0. La fuerza neta ejercida sobre la masa m es entonces: F = − α r2 r − β r2 r = − α ′ r2 r (3.5) Nótese que por la particularidad de la perturbación; ésta no ha hecho más que cambiar la constante α del Problema de Kepler no perturbado por la nueva constante α ′ = α + β, las soluciones analíticas del problema resultan ser las misma; cónicas, se conserva entonces la energía y, de (2.10) se desprende de inmediato que el momento angular queda conservado también, dirigido según el unitario z perpendicular al plano del movimiento y tal que L = mr2 · θz como allí mostramos. Ahora bien, la sustitución de la fuerza perturbatriz δf en (3.4) conduce a: · A = − β r2 r × mr2 · θz = β L r2 θ = β L r2 ( −sen θ x + cos θ y ) ̸= 0, (3.6) es decir, el vector LRL A del problema en cuestión no es una constante de movimiento, indica la existencia de una variación temporal de los ápsides en la órbita, lo cual resulta contradictorio a la vista de la equivalencia de las solucio- nes del problema con las del problema sin perturbar. Lo que está sucediendo aquí es que el vector LRL al que se refiere (3.6) es el vector A ≡ p × L − mαr del problema no perturbado definido en (2.4), y es evidente que en este caso es el vector redefinido A ′ ≡ p × L − mα ′ r quien cumple las propiedades de A del problema en ausencia de perturbación y no la cantidad A de la expre- sión anterior , por supuesto, esta redefinición es sólo posible siempre que la perturbación no quiebre las simetrías del Problema de Kepler como en este ca- so. Dicho ésto, la expresión (3.6) no es incorrecta en si misma, pero tampoco informa de nada en especial. Volvamos a la cantidad A ≡ p × L − mαr, por definición, independientemente de la constante α y de los vectores p y L = r × p con que se construye, es un vector siempre situado sobre el plano definido por los vectores r y p , por tanto se encuentra también siempre sobre el plano de las órbitas del proble- ma perturbado anterior. Recordando ahora que para una función del tiempo f (r (t) , θ (t))) su promedio en un intervalo temporal △t es: UNED. 21 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  24. 24. 3.1 La perturbación orbital. Dinámica del vector LRL ⟨f (r (t) , θ (t))⟩ = 1 △t ˆ t+△t t f (r (τ) , θ (τ)) dτ, (3.7) que si además f es periódica en el tiempo con período T , es entonces: ⟨f (r (t) , θ (t))⟩ = 1 T ˆ t+T t f (r (τ) , θ (τ)) dτ = 1 T ˆ T 0 f (r (t) , θ (t)) dt, (3.8) luego, cambiando el período temporal T a período angular de 2π rads. sabiendo que es L = mr2 · θconstante en el Problema de Kepler no perturbado, nos es conveniente reescribir la integral anterior en la forma: ⟨f (r (t) , θ (t))⟩ = 1 T ˆ T 0 f (r (t) , θ (t)) dt = 1 T ˆ 2π 0 f (r (θ) , θ) [ dθ dt ]−1 dθ = m TL ˆ 2π 0 r2 f (r (θ) , θ) dθ. (3.9) Con esto, finalmente tomemos (3.6) en promedio en un período ángular, y vea- mos que ⟨ · A ⟩ = mβ T ˆ 2π 0 ( −sen θ x + cos θ y ) dθ = 0. (3.10) Resultado que indica que aunque el vector LRL del Problema de Kepler va- ría con el tiempo bajo la perturbación δf = − β r2 r, en un período sus efectos en promedio se anulan, y por tanto las soluciones no presentan diferencias en promedio respecto de las soluciones en ausencia de perturbación, no hay va- riaciones apsidales netas, en coherencia con lo que cabía esperar y que ya sabiamos de las soluciones analíticas. Por tanto, en las aplicaciones tomaremos (3.4) en promedio y tendremos: ⟨ · A ⟩ = ⟨δf × L⟩ + ⟨p × (r × δf)⟩ , (3.11) que es la evolución temporal media del vector LRL. El uso de la dinámica del vector LRL en media temporal, en las aplicaciones a problemas perturbados, es de suma importancia para obtener información de utilidad sobre las características de las soluciones y requiere de una correcta interpretación de (3.4). En [10] por ejemplo, queda de manifiesto un uso inco- rrecto del vector LRL al omitir el uso de medias temporales, tal como exponen los autores allí, esto conduce a la pérdida de términos que, en el mejor de los casos debido a las peculiaridades de cada perturbación , puede llegarse a solu- ciones correctas quedando inadvertida la situación, pero que de forma general acarreará resultados equivocados respecto de la información que se pretende obtener. UNED. 22 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  25. 25. 3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS. 3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La correc- ción relativista. Al igual que el resto de los planetas de nuestro sistemas solar en mayor o me- nor medida, Mercurio, el primero y más pequeño de ellos, exhibe en su órbita una precesión del perihelio que es debida en buena parte a la influencia gravi- tacional del resto de los planetas que orbitan el Sol , influencia que añade una perturbación cuyo efecto, como veremos en el próximo epígrafe, es precisa- mente el de la precesión. Fué el astrónomo y matemático francés Le Verrier (1811-1877), codescubridor de Neptuno en 1846, el primero en anunciar en 1859 una anomalía en el avan- ce del perihelio de Mercurio, calculó un desfase de 38′′ por siglo respecto del avance debido a la influencia gravitacional del resto de planetas. Le Verrier, como explicación del hallazgo, propuso la existencia de un cinturón o anillo de materia entre el Sol y Mercurio parecido al cinturón de asteroides entre Marte y Júpiter, Ese mismo año un astrónomo amateur llamado Leecarbault, afirmó que llevaba tiempo observando un planeta pequeño en transitó por el Sol al que llamó Vulcano, la Real Sociedad Astronómica de Londres anunció a bom- bo y platillo entonces, que Vulcano era la explicación correcta de la presesión anómala del perihelio de Mercurio. Todos estos argumentos fueron descarta- dos uno a uno, incluso se pensó en el achatamiento de los polos solares como posible respuesta. En en 1894 el astrónomo Asaph Hall (1829-1907) propuso alterar la Ley de la Gravitación Universal de Newton, la ley del inverso del cuadrado de la distan- cia, añadiendo un término inverso del cubo de la distancia multiplicado por una constante que ajustó para que diera cuenta de la anomalía observada en Mer- curio. En 1895 Newcomb (1805-1909) publicó un trabajo sobre el movimiento de los planetas rocosos del sistema solar en el que observó anomalías simila- res a las del perihelio de Mercurio en todos los planetas rocosos, incluso en la Luna aunque mucho más pequeñas. La nueva ley de Hall no daba cuenta de estas otras anomalías. Newcomb demostró que la nueva ley de gravitación de Hall no era la respuesta correcta, pero puso en el candelero la posibilidad de que una nueva ley de gravitación pudiera ser la clave. La idea de modificar la Ley de Gravitacion Universal se enmarca en el con- texto de las nuevas teorías de la gravedad que se volvieron muy populares a finales del siglo XIX, Muchos fueron los esfuerzos y muchos los impulsores de estas teorías que no terminaban por dar una explicación correcta de la anoma- lía, cuantitatívamente algunas de ellas daban cuenta de tan sólo una fracción del desfase observado y otras, no explicaban de modo general la anomalía observada en el resto de planetas. La solución fue obtenida por primera vez gracias a la teoría de la gravedad de un físico alemán casi desconocido, el maestro de escuela Paul Gerber (1854- 1909), publicada en 1898, la derivación era bastante poco clara y años más tarde se encontró que contenía errores (susceptibles de ser corregidos), aún así, obtuvo la fórmula correcta. Su idea consistía en aplicar una teoría de po- tenciales retardados similar a la utilizada en electrodinámica bajo la hipótesis de que la gravedad se propaga a una velocidad finita, que Gerber calculó que UNED. 23 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  26. 26. 3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección relativista. coincidía con la velocidad de la luz c en el vacío, puede leerse en [3] una articu- lo que desarrolla esta idea. Gerber propuso entonces un potencial gravitacional modificado en la forma: V ( r, . r ) = − GM r 1 ( 1 − . r c )2 , (3.12) que como se aprecia depende no sólo de r sino también de la velocidad radial . r , por lo que la fuerza derivada de tal potencial es, aplicando la ecuación de Euler-Lagrange : d dt [ ∂ ∂ . r ( 1 2 m . r 2 )] = m [ d dt ( ∂V ∂ . r ) − ∂V ∂r ] ⇒ ⇒ f = − GMm r2 ( 1 − . r c )−4 [ 6r .. r c2 − 2 . r c ( 1 − . r c ) + ( 1 − . r c )2 ] . (3.13) que deesarrollada en serie de potencias de . r/c, puede escribirse como: f = − GMm r2 ( 1 − 3 . r 2 c2 + 6r .. r c2 − 8 . r 3 c3 + 24r . r .. r c3 − . . . ) ; . r c < 1. (3.14) La expresión anterior para la fuerza gravitacional, predice los valores correctos (o significativamente próximos) observados para la velocidad de precesión de la anomalía en el perihelio de Mercurio y en el resto de los planetas, en el caso de Mercurio, observaciones actuales precisas dan unos 43′′ por siglo, sin embargo, como ya se señaló, tal solución carecía de una justificación y de una argumentación clara y satisfactoria. Quien puso punto y final al asunto, fue Albert Einstein en 1915 con sus teo- rías de la Relatividad Especial y General. De ellas se desprende un término perturbativo de corrección a la fuerza gravitacional de la forma: δf = − 3β r4 r, (3.15) con β ≡ GML2 mc2 , una constante. La mitad de la expresión anterior puede ser explicada desde el punto de vista de la teoría Especial de la Relatividad, (1/3) debida a la dilatación del tiempo y (1/6) consecuencia de la variación de la masa con la velocidad. El resto se explica en el marco de la teoría general y tiene su origen en la velocidad finita de propagación de la interacción gravitacional (acción a distancia). La corrección de Gerber conduce en primer orden de aproximación al resul- tado de Einstein para la velocidad de precesión anómala del perihelio, y tras la reimpresión del artículo de Gerber en 1917, varios detractores de Einstein le acusaron de plagio. Einstein siempre manifestó que desconocía el oscuro UNED. 24 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  27. 27. 3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS. trabajo de Gerber, pero que incluso habiéndolo conocido, éllo no habría influi- do a la hora de desarrollar su teoría y de afirmar que sus resultados sobre la anomalía del perihelio, confirmaban su teoría de la relatividad. La perturbación δf (3.15) satisface el criterio exigido por los métodos perturba- tivos δf ≪ α/r2 0, en efecto, pues para los valores tanto de Mercurio como del resto de planetas del sistema solar, es, 3βr2 0 αr4 = 3L6 (αm2c) 2 r4 ≪ 1 (3.16) en donde se ha tenido en cuenta que r0, el radio de órbita circular de mínima energía potencial efectiva del Problema de Kepler, de (2.22) y de la primera de (2.21), es, r0 = κ ≡ L2 µα ≃ L2 mα . (3.17) y r = r (θ), la ecuación de las trayectorias orbitales del Problema de Kepler sin perturbación alguna. Por tanto, siguiendo la manera de operar en los métodos perturbativos, empleando ésta ecuación como solución en primera aproxima- ción al problema perturbado, esto es, empleando r = κ 1 + ε cos θ , (3.18) podemos aplicar la evolución temporal media del vector LRL (3.11) a la pertur- bación teniendo en cuenta además que, por ser ésta de tipo central, tenemos en este caso que ⟨p × (r × δf)⟩ = 0 , luego es: ⟨ · A ⟩ = ⟨δf × L⟩ = 3βL × ⟨ r r4 ⟩ = 3β ⟨ cos θ r4 ⟩ L × x, (3.19) donde se ha tenido en cuenta la constancia de L en la órbita no perturbada y que, debido a la simetría de la misma, ⟨ r r4 ⟩ = ⟨ cos θ x + sen θ y r4 ⟩ = ⟨ cosθ x r4 ⟩ , (3.20) siendo los vectores x e y , los unitarios en la dirección positiva del eje polar y perpendicular a éste en sentido positivo respectivamente. Calculando el promedio en (3.20) mediante (3.9), resulta entonces, ⟨ · A ⟩ = 3β ⟨ cos θ r4 ⟩ L × x = 3βm TL [ˆ 2π 0 cos θ r2 dθ ] L × x. (3.21) Resolviendo la última integral, sustituyendo antes la solución en primer orden de aproximación (3.18), UNED. 25 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  28. 28. 3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección relativista. ˆ 2π 0 cos θ r2 dθ = 1 κ2 ˆ 2π 0 cos θ (1 + ε cos θ) 2 dθ = 1 κ2 ˆ 2π 0 2ε cos2 θdθ = 2πε κ2 , (3.22) resultado que llevado a (3.21) y, recordando que según (2.23) es el semilatus rectum κ = a ( 1 − ε2 ) , queda: ⟨ · A ⟩ = 6πβmε Ta2 (1 − ε2) 2 L L × x. (3.23) Convenientemente la expresión anterior puede reescribirse sustituyendo β ≡ GML2 mc2 , junto con el hecho de que de la primera relación de (2.21) y de la expre- sión de κ anterior se deduce que es L2 = mαa(1−ε2 ) , y finalmente teniendo en cuenta que el vector LRL de la órbita no perturbada es según (2.37) A = mαεx, ⟨ · A ⟩ = 6πGM c2Ta (1 − ε2) L × A. (3.24) Escrita de este modo, y comparándola con ⟨ · A ⟩ = Ωan × A, (3.25) resulta que por asimilación , en promedio, el vector LRL gira con velocidad an- gular Ωan , dicho de otro modo, la corrección relativista produce una precesión Ωan del perihelio, que viene dada por: Ωan = 6πGM c2Ta (1 − ϵ2) . (3.26) Relación que con M la masa del Sol y m la de Mercurio, y después de introducir el resto de parámetros orbitales del planeta, arroja el valor Ωan ≃ 43′′ por siglo, valor en destacable concordancia con el observado, que dependiendo de la fuente consultada está alrededor de los 43, 11′ ’ por siglo. Se puede ver en (3.24) que el sentido de giro del perihelio es el mismo que el del planeta en su órbita (Ωan tiene igual dirección y sentido que L). El ángulo de ocurrencia entre un perihelio y el siguiente es mayor que 2π rads, por tanto, se dice que hay un atraso temporal del mismo (llega más tarde respecto de el de la órbita no perturbada), o visto de otra manera, hay un avance espacial del perihelio (está más adelante respecto de el de la órbita no perturbada). Nótese también que el efecto será tanto más pronunciado cuanto mayor sea el semieje mayor a y mayor sea la excentricidad ε de la órbita. Por consiguiente, Mercurio, el planeta más cercano al Sol y con la órbita más excéntrica, es el que presenta precesión del perihelio más notoria. De otra forma, podemos decir que el desplazamiento relativista del perihelio es máximo en el caso de Mercurio, debido al hecho de que su velocidad orbital es muy alta, por lo que el parámetro relativista v/c es elevado y los efectos relativistas se ven acusados. UNED. 26 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  29. 29. 3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS. 3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria. Como se mencionó al principio del epígrafe anterior, aparte de la precesión anómala debida a los efectos relativistas, la órbita de los planetas del sistema solar manifiestan una precesión del perihelio bastante más pronunciada, que es consecuencia de la perturbación que añade la influencia gravitacional del resto de planetas orbitando en torno al Sol. Aquí entraremos más de lleno en el problema, y como se hizo antes, usaremos la dinámica del vector LRL en media temporal para determinar la velocidad de precesión en este caso. Para empezar supongamos un planeta de masa m que orbita al Sol cuya masa es M, y otro de masa m′ que lo hace en una órbita exterior a la del primero. El segundo planeta ejerce como es obvio una influencia gravitacional sobre el primero que perturba su órbita, para determinar la fuerza perturbatriz δf supon- dremos por simplicidad que todas las órbitas se sitúan sobre un mismo plano y además, todas menos la del planeta perturbado consideradas circulares; des- preciaremos también el movimiento del Sol. Estas hipótesis si bien no son ciertas, tan solo restarán en un tanto acepta- ble exactitud a los resultados y en cambio, añadirán claridad y simplicidad al modelo matemático que siempre puede ser ampliado teniendo en cuenta las características reales de problema. Figura 3.1: Representación del modelo matemático utilizado para determinar la perturbación δf que ejerce un planeta de masa m′ en órbita circular en torno al Sol sobre la órbita de un planeta de masa m. Como se desprende de la figura anterior, el modelo matemático consiste en representar al planeta de masa m′ en órbita exterior a la del planeta de masa m, como una distribución de masa continua de densidad lineal λm′ sobre un anillo de radio R igual al radio de su órbita circular. Con lo dicho y de la figura, es inmediato ver que el potencial gravitacional debido al anillo, en la posición r en la que se encuentra la masa m es: UNED. 27 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  30. 30. 3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria. V (r) = −G ˛ anillo λm′ dl |R − r| = − Gm′ 2πR ˆ 2π 0 Rdφ √ R2 + r2 − 2Rr cos φ ; (3.27) 0 < r < R , r ̸= R, en donde φ representa el ángulo que forman los radiovectores R y r. La integral anterior puede ser escrita de un modo más conveniente haciendo η ≡ r R , V (η) = − Gm′ πR ˆ π 0 dφ √ 1 + η2 − 2η cos φ ; 0 ≤ η < 1, (3.28) en la que el intervalo de integración se ha reducido a π rads dada la simetría angular del integrando. La fuerza perturbatriz es pues: δf = −m∇rV (r) = −m ∂V (η) ∂η ∂η ∂r r = Gmm′ πR2 ˆ π 0 cos φ − η (1 + η2 − 2η cos φ) 3/2 dφ r ; 0 ≤ η < 1. (3.29) Hay que matizar que matemáticamente las integrales de parámetro η que resul- tan tanto para el potencial como para la fuerza, convergen siempre que η ̸= ±1 , pero los valores negativos de η carecen de sentido físico alguno y para la perturbación de un planeta exterior es siempre η < 1. Tales integrales están estrechamente ligadas con las llamadas funciones elípticas de primera y se- gunda especie, de hecho pueden escribirse en términos de estas funciones, sea como fuere, por este motivo no pueden ser resueltas en términos de las funciones elementales siendo necesario acudir a los métodos numéricos de resolución. La perturbación obtenida satisface el criterio de los métodos perturbativos siem- pre que, 1 π m′ M η2 I(η) ≪ 1, (3.30) donde hemos llamado I(η) a la integral de parámetro η de (3.29) . Su valor es positivo y se acerca a cero conforme η también lo hace, esto es, cuando R → ∞ , puesto que es R > r en nuestro caso siendo además m′ ≪ M , la relación anterior se satisface. Al igual que hicimos en el epígrafe anterior, puesto que en este caso también la perturbación es central, usando (3.11) tal como allí, con la ecuación de las trayectorias orbitales r (θ) (3.18) del Problema de Kepler no perturbado como primer orden de aproximación, resulta: UNED. 28 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  31. 31. 3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS. ⟨ · A ⟩ = ⟨δf × L⟩ = Gmm′ πR2 ⟨ I(η)r × L ⟩ = Gmm′ πR2 ⟨ I(η)r ⟩ × L = − Gmm′ L πR2 ⟨I(η)cos θ⟩ L × x = − Gm2 m′ πTR2 ˆ 2π 0 r2 I(η)cos θ dθ L × x = − Gm2 m′ πTR2 ˆ 2π 0 I(η) κ2 cos θ (1 + ε cos θ) 2 dθ L × x = − m′ κ2 πTR2Mε ˆ 2π 0 I(η) cos θ (1 + ε cos θ) 2 dθ L × mαεx = − 2m′ a2 ( 1 − ε2 )2 πTR2Mε ˆ π 0 I(η) cos θ (1 + ε cos θ) 2 dθ L × A, (3.31) con η ≡ r(θ) R . Se tiene entonces que para la velocidad de precesión del perihelio Ωext, del planeta de masa m debida a la influencia gravitacional del planeta exterior de masa m′ que: Ωext = 2m′ a2 ( 1 − ε2 )2 πTR2Mε ˆ π 0 I(η) cos θ (1 + ε cos θ) 2 dθ . (3.32) Puede probarse que los valores de la última integral «doble» de (3.31) son negativos para 0 < η < 1 y 0 < ε < 1 , por lo tanto, es inmediato que el sentido de giro del perihelio es el mismo que el del planeta que orbita (Ωext tiene igual dirección y sentido que L) siendo además la velocidad de precesión independiente de la masa m del propio planeta. El cuadro siguiente contiene los valores de la precesión del perihelio Ωext de Mercurio debida a la influencia gravitacional de cada uno de los planetas del sistema solar y la contribución total de éstos. Han sido obtenidos mediante cálculo numérico con la expresión anterior. UNED. 29 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  32. 32. 3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria. Planeta: Ωext(′′ por siglo): Venus 292,65 Tierra + Luna 95,83 Marte 2,38 Júpiter 156,84 Saturno 7,57 Urano 0,14 Neptuno 0,04 TOTAL 555,45 Cuadro 3.1: Valores de la precesión del perihelio Ωext de Mercurio debida a la influencia gravi- tacional de cada uno de los planetas del sistema solar y la contribución total de éstos. Para el caso de la perturbación generada por la influencia de un planeta interior de masa m′ en la órbita del planeta de masa m , basta tan sólo con hacer en la figura (3.1) R < r y, siendo ahora η ≡ R r(θ) se obtiene: δf = − Gmm′ πR3 ˆ π 0 η3 cos φ − η (1 + η2 − 2η cos φ) 3/2 dφ r ; 0 ≤ η < 1, (3.33) que con la condición, 1 π m′ MR ηI(η) ≪ 1, (3.34) entonces resulta, ⟨ · A ⟩ = 2m′ πTMaε (1 − ε2) ˆ π 0 I(η) (1 + ε cos θ) cos θ dθ L × A, (3.35) y finalmente, Ωint = 2m′ πTMaε (1 − ε2) ˆ π 0 I(η) (1 + ε cos θ) cos θ dθ. (3.36) Los valores de la integral en este caso, son positivos para 0 < η < 1 y 0 < ε < 1, por lo que como antes, el sentido de giro del perihelio es el mismo que el del planeta que orbita (Ωint tiene igual dirección y sentido que L), manteniéndose la independencia respecto de m en la velocidad de precesión. El cuadro siguiente muestra los valores de la precesión general del perihelio Ω neta de los planetas del sistema solar debida a la influencia gravitacional del resto de planetas, también se muestra la precesión anómala del perihelio Ωan causada por la corrección relativista de la fuerza gravitacional. Han sido obte- nidos con las expresiones anteriores (3.32), (3.36) y (3.26), mediante cálculo numérico. UNED. 30 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  33. 33. 3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS. Planeta: Ω(′′ por siglo). Ωan(′′ por siglo): Contribución neta de todos los planetas: Mercurio 555,45 43 Venus 1207,59 8,5 Tierra + Luna 1280,00 3,8 Marte 3358,00 1,4 Júpiter 752,25 0,06 Saturno 1887,43 0,01 Urano 277,11 0,002 Neptuno 71,99 0,0008 Cuadro 3.2: Valores de la precesión del perihelio Ω y Ωan de los planetas del sistema solar debida a la influencia gravitacional neta del resto de planetas y causada por la corrección relativista de la fuerza gravitacional respectivamente. En el caso de Mercurio por ejemplo, un cálculo más afinado teniendo en cuenta la inclinación de las órbitas de los de planetas, y el hecho de que éstas no son circulares si no elípticas, conduce un valor en torno a 532′′ por siglo para la precesión general . Hay que decir además, que este valor y el de la precesión anómala, se suman a la precesión general de los equinoccios respecto de las estrellas «fijas» que asciende a 5025, 6′′ por siglo [8] para la Tierra. 3.4 Perturbación dependiente de la velocidad. El arrastre at- mosférico. Vamos por último a aplicar la dinámica del vector LRL al caso de una perturba- ción dependiente de la velocidad de un cuerpo en órbita Kepleriana. Supongamos un satélite artificial en órbita baja en torno a la Tierra. Los gases atmosféricos ejercen sobre éste una fricción, y por tanto, una resistencia al movimiento o fuerza de arrastre que es proporcional a alguna potencia de la velocidad del satélite, dependiendo de las propiedades de tales gases, como la densidad, temperatura, viscosidad, etc, y de la propia velocidad del satélite en órbita, la dependencia puede ser lineal o cuadrática, en cualquier caso la perturbación ejercida sobre la órbita puede escribirse como: δf = −βvn−1 v, (3.37) donde β es una constante positiva y n un entero positivo. Supuesto que se satisface el criterio δf ≪ α/r2 0 (es así para los valores usua- les) para poder aplicar (3.11) a la perturbación, en este caso puesto que la perturbación no es central, se tiene, UNED. 31 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  34. 34. 3.4 Perturbación dependiente de la velocidad. El arrastre atmosférico. ⟨ · A ⟩ = ⟨δf × L⟩ + ⟨p × (r × δf)⟩ = ⟨ −βvn−1 v × L ⟩ + ⟨ mv × ( r × −βvn−1 v )⟩ = ⟨ −2βvn−1 v × L ⟩ . (3.38) Sustituyendo de (2.33) v × L = A/m + αr en la última expresión , y teniendo en cuenta que el vector A permanece constante en la órbita no perturbada, queda, ⟨ · A ⟩ = −2β m ⟨ vn−1 ⟩ A − 2βα ⟨ vn−1 r ⟩ . (3.39) De la simetría que exhibe el vector velocidad v en la órbita no perturbada, se deduce que: ⟨ vn−1 r ⟩ = ⟨ vn−1 cos θ ⟩ x, (3.40) que junto con el hecho de que es A = mαεx, (3.39) puede escribirse finalmente como: ⟨ · A ⟩ = −Γ (ε, α, β) A, (3.41) donde hemos definido la constante positiva: Γ (ε, α, β) = 2β mε ⟨ vn−1 (ε + cos θ) ⟩ . (3.42) Como según (3.31), la evolución temporal promedio del vector LRL es propor- cional al mismo vector LRL, concluimos que no aparece precesión ninguna del perihelio en este caso, sin embargo, la misma expresión muestra que el módulo del vector A decrece con el tiempo, o lo que es lo mismo, el vector LRL dismi- nuye su longitud con el tiempo, y por tanto, disminuye también con el tiempo la excentricidad ε de la órbita. La órbita elíptica va tendiendo poco a poco hacia la circularidad mientras el satélite va cayendo poco a poco hacia la Tierra, va acercándose al foco de la elipse (centro de fuerzas) como consecuencia de la disipación energética ocasionada por la fricción atmosférica. Si (3.42) no dependiera de la excentricidad, entonces (3.41) sería fácilmente integrable y en promedio A decrecería exponencialmente con el tiempo, este no es el caso, Γ (εα, β) dependerá de ε y por tanto de A en general , luego la solución de (3.41) no será siempre una exponencial. Resulta interesante el caso en que n = 1, es decir, el caso en que la fuerza de arrastre atmosférica depende linealmente de la velocidad del satélite en órbita. UNED. 32 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  35. 35. 3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS. En este caso, puesto que como puede probarse es ⟨ r ⟩ = ⟨cos θ⟩ x = −εx 6 , (3.39) se queda en, ⟨ · A ⟩ = −2β m A − 2βα ⟨ r ⟩ = −2β m ( A − mαεx ) = 0 (3.43) por lo que en el caso δf = −βv, no hay variación temporal media ninguna del vector LRL, nuestro satélite va cayendo hacia la Tierra por disipación de energía, pero no hay precesión del perihelio y la excentricidad se mantiene constante en todo momento . 6En efecto, por consideraciones de simetría, resulta en este caso más fácil tomar el promedio de los ápsides de la órbita 1 2 [ rm´ın a + (−rm´ax) a ] = −ε, que acudir directamente a la expresión(3.9). UNED. 33 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  36. 36. 4 Notas finales. En la primera sección, hemos dado una repaso general al Problema de Kepler tratándolo tanto desde la perspectiva de la mecánica Newtoniana como des- de la Lagrangiana. Luego hemos definido el vector de Laplace-Runge-Lenz o vector LRL que se conserva, y que junto al momento angular y a la energía for- ma un conjunto de siete cantidades conservadas de las cuales sólo cinco son independientes. Como ya se mencionó, la aparición de esta nueva constante es consecuencia de la existencia de simetrías ocultas, de las características particulares del potencial gravitacional responsables de la degeneración de las órbitas y del hecho de que éstas sean cerradas. Hemos finalmente tratado el problema mediante el vector LRL obteniendo la ecuación de las trayectorias orbitales del problema en cuestión. En la segunda sección se ha presentado un método basado en la dinámica del vector LRL, concretamente en la evolución temporal promedio del vector, para analizar los efectos que aparecen sobre las órbitas sometidas a una pequeña perturbación, dado que en general la perturbación quiebra la simetría, el vector LRL deja de ser constante y dependiendo de la perturbación misma, los efectos pueden o no resultar en una precesión del perihelio o en una variación tempo- ral de la excentricidad. Un método bastante económico a la hora de estudiar el comportamiento apsidal de las órbitas del Problema de Kepler ante pequeñas pertubaciones, y que puede ser aplicado a órbitas de cualquier excentricidad (salvo cero como es evidente) y para perturbaciones no necesariamente cen- trales como vimos en la sección 3.4. Las aplicaciones del método no se quedan sólo en las discutidas en estas pági- nas de ningún modo. Por poner ejemplos, el achatamiento de los polos terres- tres introduce una perturbación en la órbita de un satélite artificial modelada como, δf = − (1−3 cos2 γ)3ηαR2 5r4 r, con R el radio terrestre, η = (D−d)/D una constante en la que D y d son los diámetros ecuatorial y polar terrestres respectivamente, y γ el ángulo que forma el plano orbital del satélite con el eje de rotación de la Tierra; esta perturbación tiene la misma forma (salvo factor constante) que la perturbación tratada en la sección 3.2, allí vimos que el efecto producido es el de la precesión del perihelio, por lo que en este caso también lo es. La presión de radiación solar ejerce sobre los planteas en sus órbitas una pe- queña fuerza central cuya magnitud es proporcional 1/r2 , aplicando el método ( en este caso puede ser resuelta analíticamente la Fórmula de Binet (2.6)) se llega a que una perturbación de este tipo no produce efecto alguno sobre la forma de las órbitas. UNED. 34 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  37. 37. 4 NOTAS FINALES. En [2], los autores presentan una explicación alternativa al problema de la curva de rotación de las galaxias7 sin necesidad de introducir el concepto de materia oscura, y ésto, mediante la aplicación de la dinámica del vector LRL a una corrección cuántica del potencial gravitacional.. El vector también aparece relacionado al campo eléctrico como cabe esperar (el potencial eléctrico tiene esencialmente la misma forma que el gravitacional), y es utilizado en el estudio de partículas cargadas en presencia de campos magnéticos. No sólo en el marco de la mecánica clásica tiene utilidad el método, en mecá- nica cuántica, mediante una definición adecuada del vector LRL en términos de operadores, se obtiene de un modo elegante mediante éste, el espectro de energías del átomo de hidrógeno, y puede usarse la dinámica del vector para analizar los efectos de perturbaciones añadidas al potencial eléctrico en dicho átomo. Del mismo modo que en el Problema de Kepler, la aparición del vec- tor LRL en mecánica cuántica es debida a la existencia de simetrías ocultas propias de las características del potencial eléctrico, responsables de la inde- pendencia de los niveles de energía del átomo de hidrógeno con el momento angular (la energía de éstos sólo depende del número cuántico principal n y no de los números cuánticos de momento angular l y m ), esto es , de la existen- cia de degeneración en los orbitales de un modo similar a lo que ocurre en las órbitas del Problema de Kepler. Podríamos escribir líneas y líneas acerca del tema, el estudio minucioso del vector de Laplace-Runge-Lenz , las simetrías implicadas y sus entresijos lle- gan hasta las entrañas mismas de la mecánica teórica con un extenso y fasci- nante bagaje matemático; ante esto, el autor siente cierta sensación de trabajo inacabado, sensación que por fortuna, la intención introductoria de estas notas, mitiga. Antes del punto y final, sólo dar las gracias al lector por mostrar interés en el tema y por dejar parte de su valioso tiempo en la lectura y comprensión de éstas hoy por hoy preliminares y humildes anotaciones. 7Las galaxias rotan en torno a su centro galáctico con velocidad creciente conforme la materia se aleja del mismo, debido como es lógico a que mayor masa ejerce gravedad sobre los puntos mas distanciados. Lo que se ha observado sin embargo, es que esta velocidad se hace prácticamente constante a partir de cierta distancia; la presencia de materia oscura en el halo galáctico podría explicar esta paradoja pues una contraposición de fuerzas gravitacionales podría compensarse y anular las aceleraciones de los puntos distantes de la galaxia. UNED. 35 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  38. 38. A Efecto de una perturbación δf ∼ −1/r3 . Resolución analítica. Supongamos un cuerpo de masa m sometido a la interacción gravitatoria de otro de masa M con M ≫ m , de modo que sea la masa reducida del sistema de los dos cuerpos µ ≃ m. Supongamos que una fuerza pertubatriz δf afecta a la masa m tal que, δf = − λ r3 r, (A.1) con λ una constante positiva. En estas condiciones, la fuerza resultante sobre m es: f = − α r2 r − λ r3 r, (A.2) con α ≡ GMm. Llevando la resultante anterior a la Fórmula de Binet (2.6), resulta que : 1 r2 [ d2 dθ2 ( 1 r ) + ( 1 r )] = − m L2 [ − α r2 − λ r3 ] = d2 dθ2 ( 1 r ) + ( 1 r ) = mα L2 + m L2 λ r ⇒ d2 dθ2 ( 1 r ) + [ 1 − m L2 λ ] ( 1 r ) = mα L2 . (A.3) La ecuación diferencial anterior en este caso es lineal en la variable (1 r ) y de coeficientes constantes. Es por tanto integrable y sus soluciones son distintas según sean los casos m L2 λ < 1 , m L2 λ > 1 ó m L2 λ = 1. Veásmoslo. - En el caso m L2 λ = 1 , trivialmente es, d2 dθ2 ( 1 r ) = mα L2 ⇒ 1 r = 1 2 θ2 + C1θ + C2. (A.4) Solución que corresponde a una trayectoria en espiral descendente con C1 y C2 constantes de integración que se obtienen de las condiciones iniciales del problema. - En el caso m L2 λ > 1, tenemos, d2 dθ2 ( 1 r ) − 1 − m L2 λ ( 1 r ) = mα L2 ⇒ 1 r = C1e θ √ |1− m L2 λ| + C2e −θ √ |1− m L2 λ|. (A.5) UNED. 36 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  39. 39. A EFECTO DE UNA PERTURBACIÓN δF ∼ −1/R3 . RESOLUCIÓN ANALÍTICA. Solución que también en este caso corresponde a una trayectoria en espiral descendente. -Y por último, en el caso m L2 λ < 1 , resulta, d2 dθ2 ( 1 r ) + [ 1 − m L2 λ ] ( 1 r ) = α m L2 ⇒ 1 r = α m L2 1 − m L2 λ +C cos ( θ √ 1 − m L2 λ − θ0 ) . (A.6) Esta solución resulta más interesante que las anteriores para lo que nos ocupa , corresponde a una trayectoria cónica que describe el cuerpo de masa m con la masa M en la posición de uno de los focos (al igual que en el Problema de Kepler sin perturbar), pero en este caso particular, el argumento del coseno nos indica que el pericentro de la cónica precesa, concretamente avanza espacial- mente. El ángulo θ entre dos pasos consecutivos por el pericentro, haciendo θ0 = 0 lo que no restringe la generalidad, es: θ √ 1 − m L2 λ = 2π ⇒ θ = 2π √ 1 − m L2 λ , (A.7) y el avance espacial del pericentro ∆θ por revolución , ∆θ = 2π ( 1 √ 1 − m L2 λ − 1 ) . (A.8) Aplicando ahora el método de la dinámica del vector LRL a la perturbación δf, supuesto que como siempre para ello ha de cumplirse: δf ≪ α r2 0 ⇒ λL4 r3m2α3 ≪ 1, (A.9) donde como ya se sabe, r0 = κ ≡ L2 µα ≃ L2 mα , es el el radio de órbita circular en el mínimo de energía potencial efectiva del Problema de Kepler sin perturbar, y r = r (θ) la ecuación de las trayectorias del Problema de Kepler también sin perturbar. Así pues, ⟨ · A ⟩ = ⟨δf × L⟩ = λL × ⟨ r r3 ⟩ = λ ⟨ cos θ r3 ⟩ L × x = λm TLκ [ˆ 2π 0 (1 + ε cos θ) cos θdθ ] L × x = πλmε TLκ L × x = πλ Tκα L × A = πmλ TL2 L × A, (A.10) es decir, se obtiene para el avance espacial del pericentro por revolución: UNED. 37 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  40. 40. ∆θ = πm L2 λ. (A.11) Esta expresión difiere claramente de la (A.8); sin embargo, dado que se satisfa- ce (A.9) para todo r de la trayectoria orbital, más aún lo hace para el apocentro rm´ax de la misma, que según (2.23) con κ ≡ L2 µα ≃ L2 mα , es: rm´ax = L2 mα 1 − ε , (A.12) de manera que resulta, λL4 r3 m´axm2α3 = m L2 λ (1 − ε) < λL4 r3m2α3 ≪ 1. (A.13) Si suponemos además que (A.9) es lo suficientemente menor que uno como para asegurar que: m L2 λ ≪ 1, (A.14) entonces desarrollando (A.8) en serie de potencias de m L2 λ , ∆θ = 2π {[ 1 + 1 2 ( m L2 λ ) − 3 8 ( m L2 λ )2 + . . . ] − 1 } , (A.15) serie que converge siempre que m L2 λ < 1 y como además se cumple (A.14), resulta que despreciando los términos de orden dos y mayores en la suma anterior, es, ∆θ ≃ πm L2 λ, (A.16) que es exactamente el resultado (A.11) para el avance espacial del pericentro por revolución al que se llega mediante la dinámica del vector LRL. UNED. 38 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  41. 41. A EFECTO DE UNA PERTURBACIÓN δF ∼ −1/R3 . RESOLUCIÓN ANALÍTICA. UNED. 39 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  42. 42. Referencias Referencias [1] Farina. O vetor de laplace-runge-lenz no problema de kepler. Caderno da Física da UEFS, 04:115–159, 2006. [2] Farina, Kort-Kamp,Mauro, Shapiro. Dynamics of the Laplace-Runge-Lenz vector in the quantum-corrected Newton gravity. Universidad Federal de Juiz de Fora, CEP: 36036-330, MG, Brazil, 2011. [3] Giné. On the origin of the anomalous precession of mercury’s perihelion. Chaos, Solitons & Fractals, 38:1004–1010, November 2008. [4] Goldstein. Mecánica Clásica. Editorial Reverté, S.A., Barcelona,1987. [5] Hand, Finch. Analitical Mechanics. Cambridge University Press, New York, 1998. [6] Leach, Flessas. Generalisations of the Laplace-Runge-Lenz Vector. Jour- nal of Nonlinear Mathematical Physics, 10(3):340–423, 2003. [7] Lemos. Mecánica analítica. Editoria Libraria da Física, São Paulo, 2007. [8] Marion. Dinámica Clásica de las Partículas y Sistemas. Editorial Reverté, S.A., Barcelona,1995. [9] Martínez,Miralles,Marco,Galadí-Enríquiez. Astronomía Fundamental. PUV, Valencia,2005. [10] McDonald,Farina,Tort. Right and Wrong Use of the Lenz Vector for Non- Newtonian Potentials. Am. J. Phys, 58:540, 1990. [11] Rañada. Dinámica Clásica. Fondo de Cultura Económica, ed., México DF., 2005. [12] Vucetich. Introducción a la mecánica analítica. Universidad de Buenos Aiers, Buenos Aires, 2009. UNED. 40 Trabajo de Fín de Grado en Física.
  43. 43. UNED. 41 Trabajo de Fín de Grado en Física.

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