O documento apresenta os conceitos fundamentais do cálculo integral, incluindo sua história, métodos de aproximação de áreas, a definição formal de integral definida e propriedades importantes como o Teorema do Valor Médio.
1. 1
1
Integral
Definida
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Problemas clássicos do Cálculo
Cálculo de retas tangentes e áreas
Subdivisão
Cálculo Diferencial
Determinação de tangentes e taxas de
variação
Cálculo Integral
Determinação de áreas e volumes
Introdução
2. 2
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Cálculo Integral – Grécia Antiga
Arquimedes / Eudoxo
Método da Exaustão
Esgotar a figura por outras de áreas ou
volumes conhecidos
Egípcios
Recalculavam áreas de suas terras por conta da
variação das águas do Rio Nilo
Um pouco de história
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Considere a área
da região limitada
pelo gráfico de
uma função
y=f(x), não
negativa, num
intervalo [a,b], o
eixo OX e as retas
x = a e x = b.
Calculando Áreas
3. 3
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Divisão do intervalo [a,b] em n
subintervalos
Subintervalo: [xi-1, xi]
O retângulo que se estende desde o eixo OX
até algum ponto da curva y=f(x) terá por:
Base: comprimento do subintervalo
xi = xi – xi-1
Altura: f(i), onde i [xi-1, xi]
Área aproximada
S = 𝑓(𝜀𝑖)𝑛
𝑖=1 ∙ ∆𝑥𝑖
Aproximação por retângulos
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Generalizar conceito
para f(x) < 0
Esses somatórios são
chamados Somas de
Riemann e existem
muitas para cada
curva variando
comprimento dos
subintervalos e o
ponto da curva f(x)
Soma de Riemann
4. 4
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A norma de uma partição 𝑃, denotada por
𝑃 , é o maior de todos os comprimentos
dos subintervalos de [a,b]. Se 𝑃 é um
número pequeno, então os subintervalos de
𝑃 são ditos estreitos.
Uma partição de subintervalos estreitos
fornece uma melhor aproximação para a
área calculada pela soma de Riemann.
Norma de uma Partição
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Aumentando o número n de subintervalos
Refinando a Área
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
n = 10 n = 20
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
20 sub-intervalos
5. 5
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Refinando a Área
n = 40 n = 80
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
40 sub-intervalos
1.0
1.0
x
y
y = x^2
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“O conceito de Integral Definida baseia-se
na ideia de que, para certas funções,
quando a norma das partições de [a,b]
tende a zero, os valores das somas de
Riemann correspondentes tendem a um
valor limite I.” (Thomas)
𝑃 → 0 ou, analogamente, 𝑛 → ∞ S → I
É possível mostrar que, quando a
convergência é satisfeita (limite existe), I é
o mesmo, independente da partição e da
altura f(i).
A Integral Definida
6. 6
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Definição
Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e seja 𝑃 uma
partição qualquer de [a,b]. A integral definida de f de a
até b, denotada por 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
é dada por:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑃 →0
𝑓(𝜀𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
Desde que esse limite exista
Se 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
existe, dizemos que f é integrável em
[a,b].
a e b são os limites de integração (inferior e
superior, respectivamente)
A Integral Definida
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Quando cada partição tem n subintervalos
iguais onde ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
, é correto afirmar
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞
𝑓(𝜀𝑖)∆𝑥𝑛
𝑖=1
Desde que esse limite exista
A função f é chamada integrando
Teorema
Uma função contínua em [a,b] é integrável em
[a,b].
Ideia da prova: Soma Inferior < I < Soma Superior
(teorema do confronto - sanduíche)
A Integral Definida
7. 7
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Funções contínuas
Algumas funções não contínuas
Basta que seja possível aproximar a área por
retângulos estreitos
Alguns pontos de descontinuidade
Exemplo de função não integrável
Função característica dos números racionais
𝑓 𝑥 =
1, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
0, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Funções Integráveis
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Calcular, baseado em Somas de
Riemann, os valores (aproximados)
das integrais abaixo.
2𝑥𝑑𝑥
4
0
𝑥2
𝑑𝑥
1
0
Exemplos
8. 8
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Se a = b, então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑏
𝑎
Se a > b, então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
Se f é uma função contínua e não negativa
em [a,b], então
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
Área sob o gráfico de f até o eixo OX
de a até b.
Consequências Imediatas
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Supondo que f e g sejam funções integráveis
𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
(𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
f(x) g(x) x [a,b] 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Propriedades
9. 9
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Se f é integrável em [a,b], [a,c] e [c,b],
então
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
Repartir a área
Se M e m são respectivamente os valores
máximo e mínimo de f em [a,b] (mf(x)M),
então
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
𝑏
𝑎
Preparação para Valor Médio
Propriedades
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Retomando: se M e m são respectivamente
os valores máximo e mínimo de f em [a,b]
(mf(x)M), então 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
𝑏
𝑎
Entre m e M, então deve haver um ‘meio
termo’ que, multiplicado por (b – a) seja
igual à integral
Área sob a curva comparada à área de um
retângulo
(b – a) é a base
M e m são alturas
Comparação de Áreas
10. 10
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Seja f contínua em [a,b], então existe
c[a,b], tal que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐) ∙ (𝑏 − 𝑎)
𝑏
𝑎
Teorema do Valor Médio
O Teorema diz que a
área sob a curva é
igual à área de um
retângulo de base em
[a,b] e altura em
algum ponto de f(x) em
[a,b]
Observações:
f(c) é chamado de
valor médio de f em
[a,b]
c pode não ser único
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Calcule o valor médio das funções
abaixo nos intervalos determinados
f(x) = 2x, em [0,4]
f(x) = 1 – x, em [0,1]
Exemplos
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Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton –
vol. 1
Cálculo A – Diva Fleming
Cálculo com Geo. Analítica – Swokowski –
vol. 1
Cálculo – George B. Thomas – vol. 1
História da Matemática – C. Boyer
Wikipedia (imagens)
Referências