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    Dominio y rango Dominio y rango Document Transcript

    • DOMINIO Y RANGO DEDOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓNDado los conjuntos X=1,2,3, Y=1,5,8,27. Sea F una función de X en Y definida por .Su conjunto solución es S=(1,1),(2,8),(3,27), y su representación, mediante un diagramasagital. Teniendo en cuenta el concepto de dominio y rango de una relación, se puedehacer lo mismo para una funcion, luego Dom(f)=1,2,3 y R(f)=1,8,27. Observa que elelemento 5 del conjunto Y no pertenece al rango de la función porque no estarelacionado con ningun elemento de X. A los elementos del rango de una funcióntambién se les suele llamar conjunto de imagenes de la función, luego 1 es imagen de 1,mediante la función F, o tambien se puede escribir 1=f(1), 8 es la imagen de 2 mediantela función F, es decir, 8=f(2), 27 es imagen de 3 mediante la función F, es decir,27=f(3).CLASES DE FUNCIONES REALESLas funciones definidas en el conjunto R, se denominan funciones reales. Veamosalgunas de ellas.FUNCIÓN LINEALToda función de la forma , en donde , son constantes, otambién ,es una función lineal y su repesentación grafica es unalinea recta, y lo que también podemos afirmar es que cuando nosotros deseamosconocer la pendiente de la recta lo que tendremos que hacer sera ver al numero queacompaña la x.FUNCIÓN CONSTANTEToda función de forma , donde c es una constante, recibe el nombre defunción constante. Esta función tiene la característica de que a todo numero real x deldominio, le asigna un mismo valor.
    • FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOLa función , se llama función valor absoluto, y tiene la caracteristicaque la gráfica divide al primero y al segundo cuadrante.FUNCIÓN PARTE ENTERALa función , para , llamada función parte entera,función escalonada o función mayor entero, tiene como dominio el conjunto R y elrango lo conforman todos los enteros.FUNCIÓN COMPUESTALa definición indica que al calcular (f o g)(x), primero se aplica la función g a x, y después lafunción f a g(x) El dominio de f o g es el conjunto de todos los numeros x en el dominio de g,tales que g(x) se encuentre en el dominio de f.El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar unafunción. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tieneninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), losvalores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la funciónpara un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:f(x) = ,Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la funciónproduce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle ax un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de unnúmero negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales unnúmero que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituidopor todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio deuna función o de una expresión algebraica:
    • No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales. Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar alevaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y).También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.Por ejemplo:Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número,positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (esdecir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformadopor el cero y todos los números positivos.Al graficar la función se obtiene:Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atenciónen el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales quecero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, ylo explicado anteriormente el rango es:Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuandola resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegraciónradiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas decrecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.Ahora los invito a ver el siguiente video que ayuda a complementar la informaciónsobre dominio y rango de las funciones:
    • Función matemáticaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsquedaEn la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto denúmeros. A cada polígono le corresponde su número de lados.
    • Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada»en los valores u objetos de «salida»En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de laprimera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el áreaA de uncírculo es función de su radior: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A= π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje en un tren circulando a una velocidadv de 150 km/h depende de la distancia d entre el origen y el destino: la duración esinversamente proporcional a la distancia, T = v / d. A la primera magnitud (el área, laduración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (elradio, la distancia) es la variable independiente.De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo serefiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto unúnico elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee unúnico cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero): ... −2 → +4, −1 → +1, ±0 → ±0, +1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ...Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y elconjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números sonlas más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cadapalabra del español le asigne su letra inicial: ..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de lasletras del alfabeto español.La manera habitual de denotar una función f es: f: A → B a → f(a),dondeA es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B esel codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota laregla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A,es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión essuficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominiopor el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeselesf y g, se denotarían entonces como: f: Z → N
    • k → k2, o sencillamente f(k) = k2; g: V → A p → Inicial de p;si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo paraobtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cadavalor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, ocomo una gráfica que dé una imagen de la función.Contenido[ocultar] 1Historia 2Introducción 3Definición 4Notación. Imagen e imagen inversa o 4.1Igualdad de funciones 5Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas 6Álgebra de funciones o 6.1Composición de funciones o 6.2Función identidad o 6.3Función inversa o 6.4Restricción y extensión 7Representación de funciones 8Terminología, tradición y convenios o 8.1La notación funcional 9Definición formal 10Véase también 11Referencias 12Enlaces externosHistoria
    • Gottfried Leibniz acuñó el término «función» en ensiglo XVII.El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de serestudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII.1RenéDescartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función comodependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos«función», «variable», «constante» y «parámetro».Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analíticaque permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunaslimitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las«dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como unacorrespondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada númeroen el primer conjunto un único número del segundo.La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente ladependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que suexpresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a unamayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funcionessin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningúnfenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sinderivada en ningún punto.Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definiciónactual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetoscualesquiera, no necesariamente numéricos. También se asoció con otros conceptosvinculados como el de relación binaria.IntroducciónGráfica de la trayectoria de un cuerpo acelerando a 0,66 m/s2.
    • Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entredos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Unejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en elmovimiento de un cuerpo.Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d queestá en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t,la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en unexperimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte enun instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distanciarecorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distinos: Tiempo t (s) Distancia d (m) 0,0 0,0 0,5 0,1 1,0 0,3 1,5 0,7 2,0 1,3 2,5 2,0La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información.Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizandola correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puedeutilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En estecaso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión: d = 0,33 × t2,donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja queexiste una dependencia entre ambas magnitudes.Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con variasvariables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleraciónconstante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t;en particular, d = a·t2/2. Las funciones también se utilizan para expresar la dependenciaentre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una funciónque a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de lasemana le asigna el siguiente: Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes
    • DefiniciónLa definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementosde dos conjuntos dados. Dados dos conjuntosA y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación2f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).Esta definición es precisa, pero existe una definición formal más rigurosa, que construyelas funciones como un objeto concreto.Ejemplos Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a cada número en el dominio R le asigna su cubo en el codominioR. Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces la función «inverso» cuyo dominio son los números reales no nulos R {0}, y con codominioR. Cada mamífero conocido se clasifica en un género, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una función «clasificación en géneros» que asigna a cada mamífero de la colección M = {mamíferos conocidos} su género. El codominio de «clasificación en géneros» es la colección G = {géneros de Mammalia}. Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos ellos, su dominio), le asigna su área, un número real, luego su codominio es R. En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una función «voto» que asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una función entre ellos.Notación. Imagen e imagen inversa
    • Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos, en unas elecciones, elsentido del voto de cada individuo se puede visualizar como una función.La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominioB es:También se dice que f es una función «de AaB» o «entre A y B». Por f(a) se resume laoperación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a∈A, suimagen.2 Dada una función f :A→B, el elemento de B que corresponde a un cierto elemento a del dominio A se denomina la imagen de a, f(a). El conjunto de las imágenes de cada elemento del dominio es la imagen de la funciónf (también rango o recorrido de f). El conjunto de las imágenes de un subconjunto cualquiera del dominio, X⊆A, se denomina la imagen de X.La imagen de una función f se denota por Im(f), la de un subconjunto X por f(X) o f[X],y el dominio de una función f, también denominado conjunto de partida o conjuntoinicial, se denota por dom(f), D(f), Df, etc.La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo votaron.La imagen de una función f es un subconjunto del codominio de la misma, pero no sonnecesariamente iguales: pueden existir elementos en el codominio que no son la imagende ningún elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen.La imagen inversa (también anti-imagen o preimagen) de un elemento bdel codominioB es el conjunto de elementos del dominio A que tienen a b por
    • imagen:La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del codominio, Y⊆B, es elconjunto de las preimágenes de cada elemento de Y:Así la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningún objeto. Engeneral la preimagen tampoco tiene por qué contener un único elemento: una funciónpuede asignar el mismo objeto a varios elementos distintos del dominio.Ejemplos La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R, con f(x) = x3 para cada número real x. La imagen de f es todo R, ya que todo número real posee una raíz cúbica real. En particular, las raíces cúbicas de los números positivos (negativos) son positivas (negativas), por lo que se tiene, por ejemplo, f−1(R+) = R+. La función «inverso» es g: R {0} → R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo. El recorrido de g no es igual a su codominio, ya que no hay ningún número real x cuyo inverso sea 0, 1/x = 0. La función «clasificación en géneros» puede escribirse como γ: M → G, donde γ(m) = Género de m, para cada mamífero conocido m. En particular: γ(Perro) = Canis, y γ−1(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}. La función «área» se puede denotar como A: T → R, y entonces A(t) = Área de t = B · H/2, donde t es un triángulo del plano, B su base, y H su altura. Como el área es siempre un número positivo, el recorrido de A es R+. La función «voto» se puede escribir como v: E → P, donde v(a) = Partido que a votó, para cada votante a. En la imagen, puede comprobarse que la imagen de v no coincide con el codominio, ya que el partido C no recibió ningún voto. Sin embargo puede verse que, por ejemplo, v−1(Partido A) tiene 2 elementos.Igualdad de funcionesDadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio ycodominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:Dadas dos funciones f : A→B y g : C→D, son iguales o idénticas si se cumple: Tienen el mismo dominio: A = C Tienen el mismo codominio: B = D Asignan las mismas imágenes: para cada x∈A = B, se tiene que f(x) = g(x)
    • Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivasFunción no inyectiva y no suprayectivaFunción inyectiva y no suprayectivaFunción suprayectiva y no inyectiva
    • Función biyectivaArtículos principales:Función inyectiva, función suprayectiva y función biyectivaLa imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener variosobjetos del dominio. Sin embargo algunas funciones se comportan de manera especial yse las distingue. Se dice que una función f : A→B es inyectiva las imágenes de elementos distintos son distintas: o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos: Una función f : A→B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio: o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún elemento del dominio:Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a), ningún otro a tiene porimagen a b, por lo que la anti-imagen de este sólo contiene un elemento, a. Lasfunciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagenpuede estar vacía. La definición de función suprayectiva asume que la función tiene uncodominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad notiene sentido. Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es unabiyección entre ambos conjuntos: Una función f :A→B se dice biyectiva si es inyectiva y
    • suprayectiva.Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento perfecto» entre los elementosdel dominio y el codominio: cada elemento en A tiene una «pareja» en B, y a cadaelemento de B le corresponde uno solo en A: al menos uno por ser suprayectiva, yprecisamente uno por ser inyectiva.Ejemplos. La función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectiva porque dos números reales que tienen el mismo cubo son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R. La función «inverso» g: R {0} → R es inyectiva, ya que el inverso de cada número real no nulo es único (1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que Im(g) = R {0}. La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos). Sin embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género de mamíferos hay clasificada al menos una especie de mamíferos. La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R+. Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse con facilidad triángulos distintos con el mismo área. En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C.Álgebra de funcionesCon las funciones puede realizarse una operación de composición con propiedadessimilares a las de la multiplicación.Composición de funciones
    • La composición g∘f actúa sobre el objeto x transformándolo según f, y después transformandof(x) mediante g.Artículo principal:Composición de funcionesDadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los «valores de salida» deuna de ellas como «valores de entrada» para la otra. Dadas dos funciones f : A→B y g : C→D para las que se cumple que Im(f) ⊆C, la composición de g con f es la función g∘f : A→D dada por (g∘f)(x) = g(f(x)), para cada x∈A.Es decir, la composición g∘f hace actuar primero la función f sobre un elemento de A, yluego g sobre la imagen que se obtenga:La condición Im(f) ⊆C asegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar acabo.Ejemplos La imagen de la función «inverso» g es R {0} —puesto que todo número real no nulo es el inverso de otro—, y por tanto está contenido en el dominio de la función cubo f,
    • que es R. La composición f∘g: R {0} → R actúa entonces como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)3 = 1/x3. Dadas las funciones reales h1: R → R y h2: R → R dadas por h1(x) = x2 y h2(x) = x + 1, puede tomarse la composición en ambos órdenes, h1∘h2 y h2∘h1. Sin embargo, son funciones distintas, ya que: (h1∘h2)(x) = h1(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, y (h2∘h1)(x) = h2(h1(x)) = h2(x2) = x2 + 1 La función γ que clasifica los mamíferos en géneros puede componerse con la función ω: G → Or que clasifica los géneros de mamíferos en órdenes —que forman el conjunto Or—. La función ω∘γ asigna a cada mamífero su orden: (ω∘γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω∘γ)(Guanaco) = ω(Lama) = ArtiodactylaFunción identidadArtículo principal:Función identidadEn cualquier conjunto puede definirse una función identidad, que teniendo comodominio y codominio al propio conjunto, asocia cada elemento consigo mismo. Dado un conjunto A, la función identidad de A es la función idA : A→A dada por idA(a) = a, para cada a∈A.La función identidad también se denota como IA. La identidad actúa como un elementoneutro al componer funciones, ya que no «hace nada».Dada una función cualquiera f : A→B se tiene:Función inversaArtículo principal:Función inversaUna función puede tener inversa, es decir, otra función que al componerla resulte en laidentidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da 1.Dada una función f : A→B, se dice que g : B→A es la inversa o recíproca de fsi se cumple:
    • La inversa se denota por g = f−1, y tanto f como f−1 se dicen invertibles.No todas las funciones son invertibles. Si se componen dos funciones y el resultado esla identidad, esto impone condiciones sobre el tipo de funciones que pueden ser: 1. Sean dos funciones f :A→B y g : B→A. Si g∘f = idA, entonces g es suprayectiva y f es inyectiva. 2. En consecuencia, si una función f posee inversa f−1, tanto f como f−1 son biyectivas.Ejemplos. Existe una función que calcula el cambio entre dos divisas. En el caso de quetzales y rupias, la conversión está dada (en 2011) por: Q(r) = 0,15 × r Esta función de cambio tiene inversa, la conversión recíproca entre rupias y quetzales: R(q) = 6,65 × q La función cubo f(x) = x3 es invertible, ya que podemos definir la función inversa mediante la raíz cúbica, f−1(x) = 3√x. La función que asigna a cada día de la semana su siguiente tiene por inversa la función que asigna a cada día de la semana su antecesor: Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → LunesRestricción y extensiónArtículo principal:Restricción de una funciónLa función que asigna a cada mujer del electorado su voto es una restricción de la función quea cada miembro del electorado le asigna su voto.
    • La restricción de una función es otra función definida en una parte del dominio de laoriginal, pero que «actúa igual» que esta. Se dice también que la función original es unaextensión de la nueva.Dadas dos funciones f : A→B y g : C→D, de forma que el dominio de g sea unsubconjunto del dominio de f, C⊆A, y cuyas imágenes coinciden en estesubconjunto:se dice entonces que g es la restricción de f al subconjunto C, y que f es unaextensión de g.La restricción de una función f: A → B a un subconjunto C⊆A se denota por f|C.Representación de funcionesLas funciones se pueden presentar de distintas maneras: usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función. Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales. Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades". Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función. Ejemplo: Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos. Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)} Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas. Ejemplo: 5 X
    • 4 X 3 X 2 X 1 X 0 X y/x -2 -1 0 1 2 3Terminología, tradición y conveniosLa noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desdesu introducción en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de lasnociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción es el estudio del movimientocinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable yparámetro.Sea una función. La notación y definición dadas son posteriores a lainvención de la teoría de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómose decía anteriormente que x era un elemento de ? Diciendo que x era una variablereal. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del dominiocomo aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominioeran las variables independientes mientras que aquellos del codominio eran las variablesdependientes.Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominanfunciones de una variable real. ¿Por que "una"? Porque funciones cuyo dominio eransubconjuntos de o se llamaban funciones de dos o tres variables (reales)respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidassobre pares o tríos de números (usualmente considerados como vectoresbidimensionales o tridimensionales, respectivamente).En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, enFísica es usual la siguiente terminología. Función escalar: Función del tipo Campo escalar: Función del tipo Función vectorial: Función del tipo Campo vectorial: Función del tipoLa notación funcionalEn muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentrala expresión "la función f(x)". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace
    • sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nosencontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay unaposible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que enrigor la función f no está bien definida.En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio sonsubconjuntos de los Reales), hay una serie de convenios para simplificar la escritura. Laexpresión "la función " se debe entender como una abreviación de losiguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos una relaciónfunciona (a cada x corresponde un único y) es una función cuyo dominio, llamadodominio natural, es el máximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, ycuyo codominio son todos los Reales. En la "función" citada, la aparición del radicalnos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación paraindicar la regla de asignación.Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja lacomposición de funciones numéricas. Por ejemplo: si y , podemos considerar a como la composición de lasfunciones g y f, a pesar que esto es inconsistente con la definición dada de composición.En efecto, f es una función de en cuya imagen es todo . Por su parte, g es unafunción de los reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagende f sea un subconjunto del dominio de g. Sin embargo, como prácticamente o paraefectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como unacomposiciónd de g con f, suponemos que f está restringido al intervalo .Definición formalLas funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como losconjuntos y los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular derelación binaria, luego su esta definición está basada en la que se adopte para lasrelaciones. En el enfoque «extensivo» se identifica una función con su gráfica:Una función es un conjunto f de pares ordenados tales que no existen dospares ordenados distintos con la misma primera componente:El dominio (la imagen) de la función es entonces el conjunto de primeras(segundas) componentes:
    • En la definición extensiva no aparece el concepto de codominio como conjuntopotencial donde está contenido el recorrido. En algunas áreas de las matemáticas esimportante preservar esta distinción, y por tanto se usa una definición distinta:3Una función es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), el dominio, elcodominio y el grafo de f, tales que: 1. G(f) ⊂A × B 2. Todo elemento del dominio tiene imagen: para cada a∈A, existe un b∈B tal que (a, b) ∈G(f) 3. Esta imagen es única: si (a, b), (a, c) ∈G(f), entonces b = c.De este modo, puede imponerse que dos funciones con el mismo grafo sean distintaspor tener codominio distinto.