Modulo 3 de Estadistica General de Forma Virtual

MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL

MÓDULO TRES DE
ESTADÍSTICA GENERAL

APRENDIZAJE VIRTUAL
DE LA ESTADÍSTICA

EDUCACIÓN VIRTUAL Y APRENDIZAJE

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MÓDULO TRES DE ESTADÍSTICA GENERAL
El análisis estadístico de una serie de datos se elabora mediante el cálculo de diferentes
parámetros y / o estadísticos. Después que los datos han sido reunidos y tabulados, se
inicia el análisis con el fin de calcular un número único, que represente o resuma todos
los datos. Por lo general, las frecuencias de los intervalos centrales de una serie de datos
son mayores que el resto, entonces ese número único se le denomina MEDIDA DE
POSICIÓN. Las medidas de posición forman parte del conjunto de medidas
descriptivas numéricas, entre las que se encuentran los parámetros y los estadígrafos.
Una medida de posición es un número que se escoge como orientación para hacer
mención a un grupo de datos.


Uno de los problemas fundamentales que presenta un análisis estadística, es el de buscar el valor
más representativo de una serie de valores. El primer paso que hay que realizar para que se entienda
una larga serie de valores u observaciones, es el de resumir los datos en una distribución de
frecuencia; esto no es suficiente para fines practico, puesto que a menudo es necesario una sola
medida descriptiva, y en especial cuando se requiere comparar dos o más serie estadísticas. Es
necesario continuar el proceso de reducción hasta sustituir todos los valores observados por uno
solo que sea representativo, de tal forma que permita una interpretación global del fenómeno en
estudio; para que ese valor sea representativo debe reflejar la tendencia de los datos individuales de
la serie de valores. Un valor o dato de la serie con estas características recibe el nombre de
PROMEDIO, MEDIA O MEDIDA DE POSICIÓN O TENDENCIA CENTRAL, esto es
debido a su ubicación en la zona central de la distribución. Por lo tanto UN PROMEDIO es con
frecuencia un valor referido que representará la medida de posición de la serie de valores.



Las Principales Medidas de Posición son: a) La Media Aritmética, b)
La Mediana, c) La Moda, d) Los cuartiles, e) Los Deciles y f) Los Percentiles.
CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN: 1) Deben ser
definidas rigurosamente y no ser susceptibles de diversas interpretaciones. 2) Deben
depender de todas las observaciones de la serie, de lo contrario no sería una
característica de la distribución. 3) No deben tener un carácter matemático demasiado
abstracto. 4) Deben ser susceptibles de cálculo algebraico, rápido y fácil.


La sumatoria, o la operación de suma es un operador matemático que permite
representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa
con la letra griega sigma ( Σ ), y se define como :

Lo cual se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i"
La variable i es el índice de suma al que se le concede un valor preliminar denominado
límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite
superior, n. La ecuación de definición consiste de la suma de (n-m + 1) términos, donde
el primer término se obtiene sustituyendo i por m en Xi, el segundo se obtiene
remplazando i por (m+1) en Xi y así sucesivamente, hasta alcanzar él último término al
sustituir i por n en Xi. En la ecuación de sumatoria la letra m se le denomina límite
inferior de la sumatoria y n se le llama límite superior de la sumatoria. El símbolo i se le
denomina índice de la sumatoria.


4

X
i 1
i  X1  X 2  X 3  X 4
Observe que las notaciones colocadas arriba y abajo del signo sumatoria
indican que solo deben ser sumados sucesivamente las primeras cuatro
observaciones. También puede darse el siguiente caso:
7

X
i 3
i  X3  X4  X5  X6  X7

Se puede observar que las notaciones colocadas arriba y abajo del signo sumatoria
indican que solo deben ser sumados sucesivamente desde la tercera hasta la
séptima observación. Generalmente, con el objeto de simplificar más aun las
fórmulas que permiten utilizar el símbolo sigma, se pueden suprimir los subíndices,
quedando el símbolo de sumatoria expresado de la siguiente manera: 𝑿. Esto se
puede hacer cuando no hay ambigüedad al referirse a los diferentes valores que
toma la variable X.


PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
1. La sumatoria de la suma de dos o más términos, es igual a La suma de las sumatorias
separadas de los términos.
n n n n

 X
i 1
i  Yi  Z i    X i   Yi   Z i
i 1 i 1 i 1

2. L a sumatoria de la diferencia de dos o más términos, es igual a la diferencia de las
sumatorias separadas de los términos.
n n n n

 X
i 1
i  Yi  Z i    X i   Yi   Z i .
i 1 i 1 i 1



PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
3. La sumatoria de una constante multiplicada por una variable, es igual a la constante
multiplicada por la sumatoria de la variable.
n n

KX
i 1
i  K  X i ...donde..K ..es..una..constante..cualquira.
i 1

4. La sumatoria de una constante es igual a la constante multiplicada por el número de casos
que indique el límite superior de la sumatoria.
n

K
i 1
 nK ., donde..K ..es..una..constante..cualquiera .



LA MEDIA ARITMÉTICA ( X ) o simplemente la media es el parámetro de posición
de más importancia en las aplicaciones estadísticas. Se trata del valor medio de todos
los valores que toma la variable estadística de una serie de datos. Por lo tanto, la
medida posicional más utilizada en los estudios estadísticos viene a ser la media. Por su
fácil cálculo e interpretación, es la medida de posición más conocida y más utilizada en
los cálculos estadísticos. La media es el valor más representativo de la serie de valores,
es el punto de equilibrio, es el centro de gravedad de la serie de datos. La media
aritmética por lo general se le designa con . La media aritmética de una serie de N
valores de una variable X1, X2, X3; X4,.........Xn, es el cociente de dividir la sumatoria de
todos los valores que toma la variable Xi, entre el número total de ellos.


La fórmula para datos simple se puede expresar así:

X
n

i

X i 1

N
La fórmula para datos agrupados se puede expresar así:

X 
f X f X
 
i i i i
...Donde..N .es.el .nùmero.total .de.datos.
f N N
i



DESVIACIONES O DESVÍOS.- Son diferencias algebraicas entre cada valor de la
serie o cada punto medio y la media aritmética de dicha serie, o un valor cualquiera
tomado arbitrariamente. Los desvíos o desviación se designan con la letra di. Dada
una serie de valores X1, X2, X3, .......Xn , se llama desvío a la diferencia entre un valor
cualquiera Xi de la serie y un valor indicado k de esa misma serie. Si el valor
indicado k de la serie corresponde precisamente a la media aritmética de esos
valores dados, se dice entonces que los desvíos son con respecto a la media
aritmética. En símbolo se puede ver en la siguiente fórmula:
di  ( X i  X ).. para..datos..noa..grupados.

d  ( X  X ).. para..dato..agrupados.
i i

CLASES

Xi fi fi 
X i  X )  di
75------79 77 20 1540 77 – 91.2 = - 14.2
80------84 82 40 3280 82 – 91.2 = - 9.2
X  91.2
85------89 87 60 5220 87– 91.2 = - 4.2

90------94 92 100 9200 92 – 91.2 = 0.8

95------99 97 140 13580 97– 91.2 = 5.8

TOTALES N = 360 32580

MÉTODO DIRECTO PARA CALCULAR LA MEDIA ARITMÉTICA: Este método
se le conoce también como método largo; el mismo resulta demasiado engorroso
cuando las magnitudes de los puntos medios o de las frecuencias de clase son
muy grandes, debido a que los cálculos son demasiados extensos. Los pasos a
seguir para calcular la media aritmética con este método son los siguientes:

1. Se agrupan los datos en clases y se llevan a una columna, se calculan los
puntos medios de cada clase y se colocan en sus respectivas columnas, se
determinan las frecuencias de cada clase y se ubican en sus respectivas columnas.
2. Se multiplican los puntos medios de cada clase por sus respectivas frecuencias,
luego se obtiene la sumatoria de las frecuencias (fi) multiplicadas por el punto
medio ( ) así:

f i

Xi
3. Luego se calcula la media aritmética aplicando la fórmula:

X 
f X f X
 
i i i
...Donde..N .es.el .nùmero.total .de.datos.
f N N
i


DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
Sean los siguientes datos las horas extras trabajadas por un grupo de obreros petroleros de la zona durante
un mes. Con esos datos elabore una distribución de frecuencia de clase utilizando el método de Sturges y
además calcule la media aritmética.
54 56 57 58 39 40 34 45 53 52 52 28 36 37 40 26 34
56 33 58 40 36 25 42 33 45 55 29 52 38 28 38 38 32
45 43 40 28 60 41 37 42 31 45 30 28 40 37 28 44 40
23 36 27 59 56 41 25 23 32 42 53 58 57 39 60
22 39 37 28 23 39 24 38 31 35 36 28 23 27 38 40 22
32 33 26 60 39 33 40 27 34 22 30 31 37 33 41 39 58

CLASES fi fa fi
20——24 8 8 22 176
25——29 15 23 27 405
30——34 16 39 32 512
35——39 21 60 37 777 X 
f X f X
 
i i i

3855
 38.55
40——44 16 76 42 672 f N N
i 100
45——49 4 80 47 188
50——54 6 86 52 312
55——59 11 97 57 627
60——64 3 100 62 186
TOTAL 100 3855
APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA

LA MEDIANA: La Mediana (Md) es una medida de posición que divide a la serie de
valores en dos partes iguales, un cincuenta por ciento que es mayor o igual a esta y otro
cincuenta por ciento que es menor o igual que ella. Es por lo tanto, un parámetro que esta en
el medio del ordenamiento o arreglo de los datos organizados, entonces, la Mediana divide la
distribución en una forma tal que a cada lado de la misma queda un número igual de datos.
Cuando los valores de los datos brutos de un conjunto de datos se agrupan en una
distribución de frecuencia de clase, cada valor pierde su identidad, por tal motivo la Mediana
obtenida de una distribución de frecuencia de datos puede no ser la misma que la Mediana
obtenida de los datos sin arreglar en clases, pero el resultado será una aproximación. Cuando
se obtiene la Mediana para datos agrupados se utiliza el método de interpolación. La
interpolación parte del supuesto de que los datos de cada intervalo de la distribución están
igualmente distribuidos. Su fórmula es la siguiente:
N 
 2  Faa 
Md  Li    Ic,
 fm 

 

En esta fórmula Md es la Mediana, Li es el límite real inferior de la clase donde se encuentra
ubicada la Mediana, Faa es el valor de la frecuencia acumulada anterior a la clase donde se
encuentra la Mediana, fm es el valor de la frecuencia fi de la clase donde se encuentra la Mediana,
Ic es el valor o longitud del intervalo de clase y N es el número total de datos de la distribución en
estudio.


PASOS PARA DETERMINAR LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS
1. – Se elabora la tabla de distribución de frecuencia de datos con sus diferentes intervalos de clases,
se ubican las frecuencias fi y se calculan las frecuencias acumuladas fa de esa distribución.
2. – Se determina la ubicación o posición de la mediana en el intervalo de la

distribución de frecuencia, mediante la fórmula . El resultado obtenido

determinará la clase donde se encuentra ubicada la mediana, lo cual se conseguirá en la clase donde
la frecuencia acumulada fa sea igual o superior a este resultado.
3. Se aplica la fórmula.
La siguiente distribución de frecuencia corresponde a las horas extras trabajadas por un grupo de obreros
petroleros de la zona durante un mes. Con esos datos calcule la Mediana.
CLASES fi fa N 100
PMd    50. Li = 35; fm = 21; Ic = 5; Faa = 39;
20——24 8 8 2 2
25——29 15 23
30——34 16 39 N 
  Faa 
 50  39   11 
35——39 21 60 Md  Li   2  Ic  35    5  35   5
40——44 16 76  fm   21   21

 

45——49 4 80
55
50——54 6 86 Md  35   35  2.62  37.62
21
55——59 11 97
60——64 3 100
TOTAL 100 Md = 37,62

. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
LA MODA: Es la medida de posición que indica la magnitud del valor que se presenta con más
frecuencia en una serie de datos; es pues, el valor de la variable que más se repite en un conjunto
de datos. La moda se designa con las letras Mo. En las representaciones gráficas la moda es el
punto más alto de la gráfica. La obtención de la moda para datos agrupados no es un valor exacto,
ya que varía con las diferentes formas de agrupar una distribución de frecuencia. En algunas
distribuciones de frecuencias o serie de datos no agrupados o agrupados se presentan dos o más
modas, en estos casa se habla de serie de datos bimodales o multimodales, según sea el caso.
Estos tipos de distribuciones o series de valores se deben a la falta de homogeneidad de los datos.
Cuando una serie de valores es simétrica, la media, la mediana y el modo coinciden, y si la
asimetría de la serie es moderada, la mediana estará situada entre la media y el modo con una
separación de un tercio entre ambas.
Mo  X  3X  Md 
Fórmula matemática para calcular la moda:

Para calcular la moda en datos agrupados existen varios métodos; cada uno de los métodos
puede dar un valor diferente de la moda: En este curso se dará un método el cual se puede
considerar uno de los más precisos en el cálculo de esta. Es un método matemático que
consiste en la interpolación mediante la siguiente formula:

 1 
Mo  Li  
    .Ic

 1 2 


En la fórmula anterior Mo es la Moda, Li es el límite real de la clase que presenta el
mayor número de frecuencia; la clase que presenta el mayor número de frecuencias fi se le
denomina clase modal y a las frecuencias de esa clases se les denomina frecuencia modal
fm, es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal (fm) y la frecuencia de la clase
anterior a la modal, la cual se designa con fa , entonces, ; es la diferencia
entre la frecuencia de la clase modal (fm) y la frecuencia de la clase siguiente a la modal,
esta se designa con fs , entonces,
La siguiente distribución de frecuencia corresponde a las horas extras trabajadas por un grupo
de obreros petroleros de la zona durante un mes. Con esos datos calcule la Moda.

La clase modal es 35----39, entonces Li = 35 y su fm = 21, fa = 16 y fs = 16,
Ic  5 , entonces:
1  f m  f a  1  21  16  5;.. 2  f m  f s  21  16  5
Aplicando la formula se tiene:
 1   5  25
Mo  Li        Mo  35   .5  35   35  2.5  37.5
 1 2 55 10
Este resultado de la moda se interpreta así: La mayoría de las horas extras laboradas
por los trabajadores se ubican en 37.5 horas .

OTRAS MEDIDAS POSICIÓNALES: Cuando se estudió la Mediana se pudo detectar que esta
divide la serie de valores en dos partes iguales, una generalización de esta medida da origen a unas
nuevas medidas de posición denominadas: Cuartiles; Deciles y Percentiles. Estas nuevas medidas de
posición surgen por la necesidad de requerir de otras medidas que expresen diferentes situaciones de
orden, aparte de las señaladas por la Mediana. Por lo tanto es interesante ubicar otras medidas que
fraccionen una serie de datos en diferentes partes. Es bueno destacar que los cuartiles, los Deciles y los
Percentiles son unas variantes de la mediana: De la misma forma los percentiles abarcan tanto a los
cuartiles como a los Deciles.

LOS CUARTILES.- Son medidas posiciónales que dividen la distribución de frecuencia en cuatro partes
iguales. Se designa por el símbolo Qa en donde a corresponde a los valores 1, 2 y 3., que viene a ser el
número de Qa que posee una distribución de frecuencia de clase. El Q1 divide la distribución de
frecuencia en dos partes, una corresponde a 25 % que esta por debajo de Q1 y el otro 75 % por encima de
Q1. El Q2 divide la distribución de frecuencia en dos partes iguales, un 50 % que esta por debajo de los
valores de Q2 y otro 50 % que esta por encima del valor de Q2. El Q2 es igual a la mediana.

LOS CUARTILES.- Para calcular los cuartiles por el método numérico se aplica la fórmula:
 aN 
 4  Faa  aN
Qa  Li  
 fm 
.Ic. PQa 

 
 4
En esta fórmula, Qa = El cuartil solicitado, en esta a corresponde al número del cuartil solicitado;
Li = Limite real inferior de la clase donde se encuentra ubicado el cuartil; Faa = Frecuencia
acumulada anterior a la clase donde se encuentra el cuartil; fm = Frecuencia fi que posee el
intervalo de clase donde se encuentra el cuartil; PQa = Posición que ocupa el cuartil en la
distribución de frecuencia, este resultado obtenido determinará la clase donde se encuentra ubicado el
cuartil, el mismo se encontrará en la clase donde la frecuencia acumulada Fa sea igual o superior a
este resultado.



DECILES. – Son medidas de posición que dividen la distribución de frecuencia en 9
partes iguales y van desde el número uno hasta el número nueve. Los Deciles se les
designa con las letras Da, siendo a, el número de los diferentes Deciles. El D2 es el
punto debajo del cual se encuentran ubicados el 20 % de los valores de la distribución o
también el punto por sobre el cual se encuentra el 80 % de los valores de la serie de
datos. La mediana es igual al D5, puesto que este Decil divide la distribución en dos
partes iguale tal como lo hace la mediana, de la misma forma el Decil cinco es igual al
cuartil dos. El cálculo de los Deciles es similar al cálculo de los cuartiles, solo que en
estos varía la posición, la misma se calcula con la fórmula:
 aN 
 10  Faa  aN
PDa 
Da  Li   .Ic . 10
 fm 

 

En este caso se aplica la fórmula de la misma manera que se hizo para calcular los
cuartiles, solo que en esta fórmula varia la posición de ubicación de la clase donde se
encuentra ubicado el Decil.

LOS PERCENTILES: Es una medida posicional que divide la distribución de
frecuencia en 99 partes iguales. Con estos se puede calcular cualquier porcentaje de
datos de la distribución de frecuencia. Los Percentiles son las medidas más utilizadas
para propósitos de ubicación de valor de una serie de datos ubicados en una
.
distribución de frecuencia. El Percentil 50 es igual a la Mediana, al Decil 5 y al Cuartil
2, es decir: por encima y 50 % por debajo de los datos de la distribución. El cálculo
de los Percentiles es similar al cálculo de los Cuartiles y los Deciles con una variante
en la posición de ubicación de estos, que viene expresada por la siguiente fórmula:
 aN 
 100  Faa 
Pa  Li   .Ic
aN
PPa   fm 
100
. Con esta posición se aplica la fórmula:

 


La siguiente distribución de frecuencia corresponde a las horas extras trabajadas por un grupo de obreros
petroleros de la zona durante un mes. Con esos datos calcule la Md, el Q2, el D2 y el P2.
N 2N 5N 50 N
PMd  ;...PQ 2  ;...PD 5  ;...PP 50 
CLASES fi fa 2 4 10 100
20——24 8 8

25——29 15 23 Li  35;... f m  21;...I C  5;...Faa  39
PMd  PQ2  PD5  Pp50  50
30——34 16 39

35——39 21 60

40——44 16 76

45——49 4 80  50  39  55
Md  35    5  35   Md  35  2.62  Md  37.62
50——54 6 86
 21  21
55——59 11 97
 50  39  55
Q2  35   5  35   Q2  35  2.62  Q2  37.62
21 
60——64 3 100

TOTAL 100   21
 50  39  55
D5  35    5  35   D5  35  2.62  D5  37.62
 21  21
 50  39  55
P50  35    5  35   P50  35  2.62  P50  37.62
 21  21

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de posición central son los valores que de una manera condensada representan una
serie de datos, pero realmente no son suficientes para caracterizar una distribución de frecuencia.
Para describir una distribución de frecuencia o serie de datos es necesario, por lo menos otra
medida que indique la DISPERSIÓN O VARIABILIDAD de los datos, es decir, su alejamiento de
las medidas de posición central. Estas medidas de posición central no tienen ningún valor si no se
conoce como se acercan o se alejan esos valores con respecto al promedio. LA DISPERSIÓN O
VARIABILIDAD se entiende como el hecho de que los valores de una serie difieran uno de otro,
es decir, como se están dispersando o distribuyendo en la distribución. De acuerdo con esto es
necesario encontrar una medida que indique hasta qué punto los valores de una variable están
dispersos en relación con el valor típico. Las medidas de variabilidad son números que expresan la
forma en que los valores de una serie de datos cambian alrededor de una medida de posición
central la cual por lo general es la media aritmética. La dispersión puede ser mayor o menor,
tomando en cuenta esas diferencias.

La variabilidad es la esencia de la estadística, puesto que las variables y atributos se caracterizan
siempre por diferencias de valores entre observaciones individuales. Casi siempre en una
distribución de frecuencia el promedio obtenido difiere de los datos de la serie; por esto es
importante determinar el grado de variación o dispersión de los datos de una serie de valores con
respecto al promedio.
Cuando los valores observados de una serie están muy concentrados alrededor del promedio, se
dice que ese promedio es o será muy representativo; pero si están muy dispersos con relación al
promedio, es decir muy esparcidos con respecto al promedio, entonces ese promedio es poco
representativo de la serie o distribución, puesto que no representan adecuadamente los datos
individuales de esa distribución. Es importante obtener una medida que indique hasta qué punto
las observaciones de una serie de valores están variando en relación con el valor típico de la
serie.


CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA.- Para calcular La desviación típica se procede
de dos formas: A).- Para datos no agrupados en clases, B). - Para datos agrupados en clases.

A). - Las fórmulas para determinar la desviación típica de datos No Agrupado en Clase:

( X i  X )2  di (X  X )2 d
2 2

A.  .S   ;....... A1    
i i

n 1 n 1 N N

B). Las fórmulas para determinar la desviación típica de datos Agrupado en Clase:

B.  .S 
(X

i  X )2 fi

d 2
f
i i
;....B1 .   
 X

i  X fi

 f i d i2
n 1 n 1 N N

Método para calcular la Desviación Típica en datos Agrupados: Se

 Xi
calcula la X . Se calcula el X i de cada una de las clases que integran la distribución de
frecuencia, se determinan los desvíos di de los puntos medios con respecto a la X ,
luego se elevan al cuadrado los di y se multiplican por fi, y se calcula la  f i d i2 .

Después se determina la (∑ f i X i )2. Se elabora un cuadro estadístico y se llevan a este
todas los datos calculados. Se aplica la formula necesaria para calcular la desviación típica.

La siguiente distribución de frecuencia corresponden a las horas extras trabajadas por los
obreros de la empresa RINACA, en un mes. Calcule la Desviación Típica (S) de la misma.
CLASES fi
40 — 44 1
45 — 49 9
50 — 54 20
55 — 59 40
60 — 64 20
65 — 69 9
70 — 74 1
TOTALES 100
CLASES fi
40 — 44 1 42 42 -15 225
45 — 49 9 47 423 -10 900
X
 
fi X

5700
 57
50 — 54 20 52 1040 -5 500
N 100
55 — 59 40 57 2280 0 0
60 — 64 20 62 1240 5 500
65 — 69 9 67 603 10 900 S
fd i i
2


3250
 32.50  S  5.70
70 — 74 1 72 72 15 225 100 100
TOTALES 100 5700 0 3250

Interpretación.- Los resultados obtenido indican que en promedio, las horas extras trabajadas por los
obreros de la empresa RINACA se dispersa con respecto a su media aritmética en una cantidad igual
a 5,709.


VARIANZA – Es otra de las variaciones absolutas y la misma se define como el cuadrado de la
desviación típica; viene expresada con las mismas letras de la desviación típica pero elevadas al
cuadrado, así S2 y 2. Las fórmulas para calcular la varianza son las mismas utilizadas por la
desviación típica, exceptuando las respectivas raíces, las cuales desaparecen al estar elevados el
primer miembro al cuadrado.
La varianza general de la población se expresa de la forma siguiente:

1.  . 2 
(X i  )2
.., para.datos.no.agrupados.
N

2.  . 2 
 f (X

i i  )2
..,. para.datos.agrupados.
N
La varianza general de la muestra se expresa así:

3.  .S 2 
(X i  X )2
..,. para.datos.no.agrupados.
n 1

4.  .S 2 
 i

f (X  X ) i
..,. para.datos.agrupados.
n 1

DISPERSIÓN RELATIVA: Las medidas de dispersión relativas permiten comparar grupos
de series distintas en cuanto a su variación, independientemente de las unidades en que se midan
las diferentes características en consideración. Generalmente las medidas de dispersión relativas
se expresan en porcentajes, facilitando así el estudio con medidas procedentes de otras series de
valores. La dispersión relativa viene a ser igual a la dispersión absoluta dividida entre el
promedio. Existen varias medidas de dispersión relativa, pero, la más usada es el coeficiente de
variación de Pearson, este es un índice de variabilidad sin dimensiones, lo que permite la
comparación entre diferentes distribuciones de frecuencias, medidas en diferentes unidades. El
coeficiente de variación de Pearson se designa con las letras CV. Este coeficiente pierde
utilidad, cuando la  es muy cercana a cero. Una serie de valores será más dispersa que otra
respecto a su  mientras que su CV sea mayor. La fórmula matemática es: 
X
CV  x100.
X
La venta en el mercado de tres productos, varía según el siguiente cuadro. Calcule el CV de cada
uno y diga cuál de ellos presenta mayor variación y cuál la menor.
Producto X S Unidades Producto X S Unidades CV
1 45 5 Bs. 1 45 5 Bs. 11.11 %
2 450 40 Bs. 2 450 40 Bs. 8.87 %
3 4500 350 Bs. 3 4500 350 Bs. 7.78 %
Para resolver el problema se calcula el CV de cada producto: CV = Sx100/ :
CV1 = 5x100/45 = 11.11 % ; CV2 = 40x100/450 = 8.87 % ; CV3 = 350x100/4500 = 7.78 %.
Se observa que la menor dispersión la presenta el producto 3, por lo tanto, el que menos varia es ese;
mientras que el de mayor dispersión o variabilidad es el producto 1.


TEORÍA DE LOS MOMENTOS.- Los momentos son indicadores matemáticos de
diversos valores. Los diversos valores, están es función del parámetro estadístico o valor que
se tome, para ser fijado como punto de referencia. Sean X1, X2, X3, ..........Xn, los valores que
toma la variable Xi; se define entonces, momento mi de orden r con respecto al promedio
aritmético ( ) de los valores de la variable Xi elevados a la potencia r; siendo r cualquier
valor comprendido entre,..1 , 2, 3,....,n. Matemáticamente:

mi 
 ( X i  X )r

 d ir
n n
Los momentos se pueden definir también como las potencias de los desvíos di con respecto
a un determinado valor, que puede ser la media aritmética, el origen cero o una media
arbitraria. En estadística son importantes los momentos 1, 2, 3 y 4 con respecto a la media
aritmética y el momento 1 con respecto al origen que viene a ser igual a la media aritmética.
Las Formulas para determinar los momentos con respecto a la media aritmética son:
B) – Para Datos Agrupados:

1.  .m1 
 f i ( X i  X )1 
 fd
i
1
i
0 2.  .m2 
 f (X
i

i  X )2

fd i i
2

 S2
n n n n

 fi ( X i  X )3
 fd 3
.4.  .m4 
 
fi ( X i  X )4

 f i d i4
.3.  .m3  
i i

n n n n

DESCRIPCIÓN DE LOS MOMENTOS: El primer momento con respecto a la X es
siempre igual a cero, este momento es similar a la primera propiedad de la X . El
segundo momento con respecto a la X es siempre igual a la varianza (S)2. El tercer
momento con respecto a la media aritmética se utiliza para determinar el coeficiente de
asimetría SKm. E l cuarto momento con respecto a la media aritmética es un valor que
se utiliza para determinar el coeficiente de kurtosis o curtosis, de una serie de valores.

Fórmula del m1 con respecto al origen cero:

m1 
(X i  0)1

X i
 X .,.en.datos.no.agrupados.
n n

m1 
 f (X

i i  0)1

f X

i i
 X .. para,.datos.agrupados.
n n
PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS mi DE UNA SERIE DE DATOS: Se
calcula la media aritmética. Se determina el mi de los Xi y de los 
Xi
de la serie de valores con respecto a la media aritmética. Se determinan las  di
con respecto X para los datos no agrupados y la  fidi para los datos agrupados
según el caso. Se elabora un cuadro estadístico con los datos calculados. Se
aplican las fórmulas para calcular los momentos según el caso.

La siguiente Distribución de Frecuencia corresponden a las horas extras trabajadas por los obreros
de la empresa RINACA, en un mes. Determine el m1, m2, m3 y el m4 con respecto a la media
aritmética.
CLASES fi 1 2 3 di 4 fid fi .d fi .d fi .d
CLASES fi
40 — 44 1 42 42 -15 -15 225 -3375 50625
40 — 44 1
45 — 49 9
45 — 49 9 47 423 -10 -90 900 -9000 90000
50 — 54 20 50 — 54 20 52 1040 -5 -100 500 -2500 12500
55 — 59 40 55 — 59 40 57 2280 0 0 0 0 0
60 — 64 20 60 — 64 20 62 1240 5 100 500 2500 12500
65 — 69 9 65 — 69 9 67 603 10 900 900 9000 90000
70 — 74 1 70 — 74 1 72 72 15 15 225 3375 50625
TOTALES 100 306250
TOTALES 100 5700 0 0 3250 0

 
fi X
X
N

5700
100
 57
m4 
 f (X

i i  X )4

fd i i
4


306250
 3062,50.
n n 100

S
fd i i
2


3250
 32.50  S  5.70
100 100
m2 
 f (X

i i  X )2

fd i i
2


3250
 32,50.
n n 100

m3 
 fi ( X i  X )3


 f i d i3 
0
0 m1 
 f (X

i i  X )1

fd i
1
i

0
 0.
n n 100 n n 100

MEDIDAS DE ASIMETRÍA
Simetría.- Según el Diccionario de la Real Academia Española es la “Regularidad en la disposición
de las partes o puntos de un cuerpo o figura, de modo que posea un centro, un eje o un plano de
referencia”. Se puede generalizar diciendo que es una proporción de las partes entre sí y con el
todo. En estadística se dice que una distribución de datos es simétrica si se le puede doblar a lo
largo de un eje vertical de una manera tal que coincidan los dos lados de la distribución. Las
distribuciones que no tienen simetría con respecto al eje vertical se les llama sesgada o asimétrica.
En una distribución simétrica la media, la mediana y la moda son iguales. La simetría se mide por
medio del coeficiente de asimetría. Una distribución simétrica tiene un coeficiente de asimetría
igual a cero.

MODULO TRES DE ESTADÍSTICA GENERAL

MEDIDAS DE ASIMETRÍA
Cuando una distribución de frecuencia es asimétrica, la media, la mediana y la moda se alejan
una de otra, es decir, las tres medidas de posición son diferente; mientras más se separe la
media de la moda, mayor es la asimetría. Si la distribución de frecuencia es asimétricamente
negativa, la cola de la curva de distribución se encuentra hacia los valores más pequeños de la
escala de las X y si la distribución es asimétricamente positiva la cola de la distribución se
ubica hacia los valores más grandes de la escala de las X. Karl Pearson designo el coeficiente
de asimetría con las letras SK y determinó la fórmula para su cálculo, al cual se le denominó
primer coeficiente de asimetría de Pearson (SK1):

Esta formula se puede transformar por medio de la relación:

X  Mo  3X  Md 

MODULO TRES DE ESTADÍSTICA GENERAL
si ahora se sustituye 3X  Md  en el primer coeficiente de asimetría de Pearson, se tiene
otro coeficiente de asimetría utilizando la mediana que se le denomina segundo coeficiente
de asimetría de Pearson, este es más preciso que el primero, el cual verán a continuación:

3( X  Md )
SK 2 
S

El coeficiente de asimetría se puede calcular también en función de los momentos,
siendo el momento m3 el parámetro utilizado para tal efecto. El coeficiente de asimetría según
los momentos se designa con las letras SKm y sé calcula mediante la formula: m3
SK m  3
S
Este coeficiente es el más confiable de todos los antes descritos, así que para cualquier
cálculo se debería utilizar este, ya que es un parámetro que utiliza todos los datos de la
serie de valores. Si en una serie de valores la X  Md  Mo, entonces la distribución
de frecuencia presenta una curva asimétrica positiva; si la X =Md = Mo = 0 , la curva
de la distribución es simétrica y si la distribución presenta una curva en la que el Mo 
Md  X , entonces se dice que la curva de la distribución asimétrica negativa. Cuando
la curva de una distribución de datos es simétrica el SK = 0, esta es una de las
características de la curva Normal o Campana de Gauss. Si la mayoría de los datos de
una serie de valores están ubicados en el centro de la distribución y, además existe una
dispersión medianamente hacia los extremos mayores o menores de las variables,
entonces se afirma que la curva de la distribución es Ligeramente Asimétrica.


KURTOSIS8 (CURTOSIS).- Es el grado de apuntamiento o altura de la curva de una
distribución de frecuencia. Se utiliza para observar el promedio o posición de la distribución,
así como la media, la mediana y la moda, se puede en esta observar la asimetría, el grado
de concentración de los datos, en fin, para observar en forma general el comportamiento de
una serie de datos en una distribución de frecuencia. Por medio de la Kurtosis se
determinará si la distribución de frecuencia es demasiado puntiaguda, normal o muy
achatada. El grado de apuntamiento de una curva de distribución se determina por medio del
coeficiente de Kurtosis, el cual se calcula utilizando el momento cuatro de una serie de
valores con respecto a su media aritmética. La Kurtosis se designa con la letra K4 y la
fórmula de cálculo es:
m4
K4 
S4
En esta fórmula m4 es el momento cuatro con respecto a la media aritmética y S4 es la desviación
típica elevada a la cuarta potencia, K4 es el coeficiente de Kurtosis. Tomando en cuenta la Kurtosis el
k4 de una curva de distribución puede ser: Mesocurtica, Platicurtica y Leptocurtica.

Mesocurticas.- Es aquella curva que no es ni muy alta ni muy achatada, es la llamada curva
normal. La curva Mesocurtica tiene un coeficiente de Kurtosis igual a tres, es decir, K4 = 3.
Leptocurtica.- Es aquella curva que presenta una altura relativamente más alta que la curva
Mesocurtica.- en esta los datos se encuentran más concentrados alrededor del máximo valor. El
coeficiente de Kurtosis para curva Leptocurtica es mayor de tres, es decir, K4>3. Platicurtica.- Es la
curva que presenta un achatamiento más pronunciado que la Mesocurtica, encontrándose los datos
más dispersos alrededor del máximo valor de la distribución. En esta curva el coeficiente de Kurtosis
es menor de tres, es decir, K4 <3.


La siguiente Distribución de Frecuencia corresponden a las horas extras trabajadas por los
obreros de la empresa RINACA, en un mes. Determine el m1, m2, m3 y el m4, el SK1, el SK2,
el SKm y K4.
CLASES fi CLASES fi fa di fid1 fi .d2 fi .d3 fi .d4
40 — 44 1 40 — 44 1 42 1 42 -15 -15 225 -3375 50625
45 — 49 9 45 — 49 9 47 10 423 -10 -90 900 -9000 90000
50 — 54 20 50 — 54 20 52 30 1040 -5 -100 500 -2500 12500
55 — 59 40 55 — 59 40 57 70 2280 0 0 0 0
60 — 64 20 60 — 64 20 62 90 1240 5 100 500 2500 12500
65 — 69 9 65 — 69 9 67 99 603 10 900 900 9000 90000
70 — 74 1 70 — 74 1 72 100 72 15 15 225 3375 50625
TOTALES 100 TOTALES 100 5700 0 0 3250 0 306250

Md  57;....Mo  57;... X  57;....S  5.70;..S 2  32.50;...S 3  185.25;...S 4  1053.25

0 3250 0 306250
m1   0....; m2   32,50...; m3  ...; m4   3062,50
100 100 100 100
La Mediana, la Moda y la media aritmética son iguales en virtud de que la distribución de
frecuencia es simétrica, además fueron calculada utilizando limites reales, es conveniente
que el estudiante haga los cálculos para que practique. Seguidamente se harán los
cálculos de los parámetros: el SK1, el SK2, el el SKm y K4.


SK 1 
X  Mo  57  57   0
.  0.0....SK 2 
3( X  Md ) 357  57  30
   0.0
S 5.70 5.70 S 5.70 5.70

m3 0 m4 3062.50
SK m    0.0;... K 4  4   2.91
S 3 185.25 S 1053.25

SK 1  0.0

SK 2  0.0

Sk m  0.0

K 4  2.91

El coeficiente de asimetría: SK1 ,SK2 y SKm fue igual a cero, lo que indica que la
distribución de frecuencia es Simétrica por lo tanto X = Md = Mo = 57 (La media , la
mediana y la moda son iguales. De la misma forma se puede observar que el coeficiente
de Kurtosis es 2,91 casi igual al coeficiente correspondiente a una curva normal que
es de 3.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN
ASIGNACIONES CORRESPONDIENTES AL MODULO 3 de Estadística
General. Para dar cumplimiento las asignaciones debe revisar el material correspondiente al Modulo
Tres Ubicado en el Siguiente Link:

Con la siguiente distribución de frecuencias correspondientes a las cervezas consumidas por un grupo de
obreros petroleros de la zona durante un mes, calcule la media aritmética, la Md, la Mo, el Q1, el D7, P60,
la S, el S2, los momentos: 1, 2, 3 y 4, la SKm, SK1, SK2, la K4; y de la misma forma elabore un cuadro
estadístico con todos los datos necesarios para realizar los cálculos solicitados, además elabore un
Histograma, un polígono de frecuencia y la OJIVA de esa distribución de frecuencia. Luego envié el
documento con los resultados a tu tutor. Además debes leer los documentos ubicados en los Link que te
presento, para que así complementes alguna duda que tengas, igualmente puedes presentar tus inquietudes
en el Chat previsto para este Modulo.
CLASES fi
30 —34 1
35 — 39 9
40 — 44 10
45 — 49 15
50 — 54 30
55 — 59 16
60 — 64 9
65 — 69 7
70 —74 3
TOTALES 100

BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA
Anderson D.R. / Sweeney, D.J. / Williams, T.A. (1999): Estadística para la administración y economía. International Thomson
Editores. México.
Babbie, E. (2000): Fundamentos de la Investigación Social. International Thomson Editores. México.
Begoña Gros, Salvat (2006) FORMACIÓN DEL PROFESORADO COMO DOCENTE EN LOS ESPACIOS VIRTUALES DE APRENDIZAJE.
Universidad de Barcelona – España. [Documento en Línea] disponible en: http://www.redkipus.org/aad/images/recursos/31-
959Gros.pdf. [Consulta: 2008, mayo 30]
Berenso, Mark.(1.992): Estadística Básica en Administración. Editorial. Harla. Cuarta Edición. México.
Bruner, J. S. (1965/1960). El proceso de la educación. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Cadoche, L. S.; G. Stegmayer, J. P. Burioni y M. De Bernardez (1998). Material del Seminario de Encuestas en Educación, impartido
vía internet por parte de la Universidad Nacional del Litoral, en Santa Fe, y de la Universidad Tecnológica Nacional, Regional Santa
Fe, en la República de Argentina.
De Oteyza de O., E; Emma Lam O., Carlos Hernández G. y Ángel M. Carrillo H. (1998). Temas Selectos de Matemáticas. Prentice Hall.
México
Enciclopedia Microsoft Encarta 2008 (2008): Censo- Cuestionario- Encuesta. Estadística. Editorial Microsoft corporation. USA.
Gros, B. (2002). Constructivismo y diseños de entornos virtuales de aprendizaje, Revista de Educación, 328, 225-247.
Ferrán Aranaz, Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows: Análisis Estadístico. Editorial McGraw-Hill. Madrid.
Ferrán Aranaz, Magdalena (2001) SPSS para Windows: Análisis Estadístico. Editorial McGraw-Hill. Madrid.
Filgueira, Ester (2001). Análisis de datos con SPSS Win. Alianza Editorial. Madrid.
Hamdan González, Nijad (2005) Métodos Estadísticos en Educación. EDICIONES DE LA BIBLIOTECA. Caracas.
Hernández Sampieri, R./ Fernández Collado, C./ Baptista Lucio, P. (2003): Metodología de la Investigación. Editorial McGraw-Hill.
México.
Holmberg, B. (1989) La teoría y la práctica de la educación a distancia, Londres / Nueva York: Routledge.
Ivicl, Ivan (1999) LEV SEMIONOVICH VYGOTSKY. Revista trimestral de educación comparada (París, UNESCO: Oficina Internacional de
Educación), vol. XXIV, nos 3-4, págs. 773-799. UNESO: Oficina Internacional de Educación, 1999. Paris – Francia.
Jonassen, D. H., Peck, K.L. & Wilson, B.G. (1999). Learning with technology: A Constructivist Perspective. Upper Saddle, NJ: Merrill,
Prentice Hall.
LARSON HAROLD, J. (1985): Introducción a la Teoría de Probabilidades e inferencia Estadística. Editorial Limusa. México.
LEITHOLD, LOUIS (1992): El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial HARLA México.

MÓDULO DOS DE ESTADÍSTICA GENERAL


BIBLIOGRAFÍA

LINCON L., CHAO (1996): Estadística para Ciencias Administrativas. Cuarta edición. Editorial McGaw-Hill. Usa.
LOPEZ CASUSO, R. (1984): Introducción al Cálculo de Probabilidades e Inferencia Estadística. Editorial Instituto de Investigaciones
Económicas, UCAB. Caracas- Venezuela.
López, R. (1996), Constructivismo radical de Protágoras a Watzlawick”,
www.rehue.csociales.uchile.cl/rehuehome/facultad/publicaciones/Excerpta/exc erpta7/construc.htm
Mason, Robert (1.992): Estadística para la Administración y Economía. Ediciones Alfaomega S.A.N. México.
Murria, R.(1993): Estadística. Edición Interamericana.2da Edición. México.
Pardo Merino, Antonio y Ruiz Díaz, Miguel Ángel (2002). SPSS 11. Guía para Análisis de Datos. Editorial McGraw-Hill. Madrid.
Pardo Merino, Antonio y Ruiz Díaz, Miguel Ángel (2005). Análisis de datos con SPSS 13 Base. Editorial McGraw-Hill. Madrid.
Parica Ramos, A. T.; Bruno Liendo, F. J. y Abancin Ospina, R. A. (2005) Teoria del Constructivismo Social. Teoria del Constructivismo
Social de Lev Vygotsky en comparación con la Teoria Jean Piaget. Universidad Central de Venezuela. Facultad de Humanidades y
Educación. Escuela de Educación. Departamento de Psicología Educativa. Cátedra de Psicología Educativa. Caracas – Venezuela.
PARZEN, E. (1986): Teoría Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa: México
Peña, Daniel y Romo, Juan (1999). Introducción a la estadística para las Ciencias Sociales. Editorial McGraw-Hill. Madrid.
Pérez López, César. 2002. Estadística aplicada a través de Excel. Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.
Pérez López, C. (2005): Técnicas Estadísticas con SPSS 12. Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.
Pérez López, C. (2004): Técnicas de Análisis Multivariante de Datos: Aplicaciones con SPSS . Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.
Pérez López, C. (2001). Técnicas estadísticas con SPSS. Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.
Pérez López, C. (2005): Métodos Estadísticos Avanzados con SPSS. Internacional Thomson Editores Spain. Madrid.
Piaget, J. (1952). Autobiografía. Historia de la psicología en la autobiografía. Vol. 4. Worcester, MA: Clark University Press.Ausubel,
D. P., Novak, J. y Hanesian, H. Psicología educativa: un punto de vista cognoscitivo, 2ª ed., Trillas, México, 2000.
Ritchey, F.J. (2002): Estadística para las Ciencias Sociales. Ed. McGraw – Hill. México.
Rivas González, Ernesto (2003) Estadística General. Ediciones de la Biblioteca UCV. Caracas – Venezuela.
Salama, David (2002) Estadística. Metodología y Aplicaciones. Editorial Torino. Caracas.
Salmon, G. (2000). E-moderador: La clave para la enseñanza y el aprendizaje en línea, Londres: Kogan Page.
Sánchez Carrión, Juan Javier (2004). Manual de análisis estadístico de los datos. Alianza Editorial. Madrid.
Spiegel, M.R. y Stephens Larry j. (2002): Estadística. Mc Graw Hill Interamericana de España. S.A. Madrid.



BIBLIOGRAFÍA
Stephen P., Shao (1986): Estadística para Economistas y Administradores deEmpresa.Editorial Herreros Hermanos, Sucs., S.A.,
México.
Visauta Vinacua, Bienvenido (2002) Análisis estadístico con SPSS para Windows Volumen I: Estadística Básica. Editorial McGraw –
Hill INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. México.
Visauta Vinacua, Bienvenido (2005) Análisis estadístico con SPSS para Windows Volumen II: Estadística Multivariante. Editorial
McGraw – Hill INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. México.
WATZLAWICK, P., y Krieg, P., (1994), “El ojo del observador: Contribucionesal constructivismo, homenaje a Heinz von Foerster”,
Editorial Gedisa, Barcelona.
WATZLAWICK, P., (1981), “Es real la realidad?: confusión, desinformación,comunicación”, Editorial Herder, Barcelona.
WATZLAWICK, P., (1992), “La coleta del Varón de Münchhausen: Psicoterapia y Realidad”, Editorial Herder, Barcelona.
Webster, Allen L (2001) Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. Editorial McGraw – Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA,
S.A.U. Colombia.
Webster, Allen L. (1996): Estadística Aplicada a la Empresa y la Economía. Editorial Irwin. Segunda edición. Barcelona – España.
Weimer, Richard C. (1996) Estadística. Compañía Editorial Continental, SA de CV. México.
Wonnacott, Thomas H. y Wonnacott, Ronald J. (1999). Introducción a la Estadística. Editorial Limusa. Méjico.
Wonnacott, T. H. y Wonnacott, R: J. (1989): Fundamentos de Estadística para Administración y Economía. Editorial LIMUSA. México.



BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOWEB
http://www.angelfire.com/az2/educacionvirtual/ventajasdelavirtualidadenlaeducacion.htm
http://www.el-mundo.es/su-dinero/noticias/act-111-14.html
http://www.uoc.edu/inaugural04/esp/carnoy1004.pdf
http://www.nextlearning.cl
http://www.educar.org/articulos/educacionvirtual.asp
http://www.pignc-ispi.com/articles/distance/kearsley-virtualprofessor.htm#espano BIBLIOWEB
http://hamletyestadisticaspss.jimdo.com/
http://es.geocities.com/hamletmatamat/estadistica. html
http://es.geocities.com/hamletmatamat/
http://es.geocities.com/hamletmatamata48/educacion.html
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/
http://www.hrc.es/bioest/Mdocente.html#tema1
http://www.mailxmail.com/curso/informatica/spssespanol/capitulo1.htm
http://www.aulafacil.com/investigacionspss/Lecc-6.htm
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/opre504S.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm
http://www.bioestadistica.freeservers.com/farpro.html
http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/36/estapro.htm
http://www.hrc.es/bioest/Reglin_8.html
http://www.monografias.com/trabajos20/estadistica/estadistica.shtml
l
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tvariablealeatoria.htm
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/lecciones_html/un2/2_6_1.html
http://www.eio.uva.es/~mcruz/ingenieria/Probabilidad.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad



BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOWEB
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tinferencia.htm#muestreoaleatoriosimple
http://www.seh-lelha.org/noparame.htm
http://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa_signos/nopa_signos.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t18_variable_aleatoria_discreta.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t20_variable_aleatoria_continua.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm
http://sapiens.ya.com/matagus/unidad6.htm
http://zip.rincondelvago.com/?00044092
http://www.seh-lelha.org/regresion1.htm
http://www.eumed.net/cursecon/medir/introd.htm
http://ftp.medprev.uma.es/libro/node40.htm
http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/distribucion_de_probabilidad.html
http://ftp.medprev.uma.es/libro/node61.htm
http://www.seh-lelha.org/concor2.htm
http://www.seh-lelha.org/noparame.htm
http://www.telefonica.net/web2/biomates/regr/regr_simple/regr_simple.htm
http://www.telefonica.net/web2/biomates/regr/regr_multilin/regr_multilin.htm
http://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa.htm
http://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa_wilcoxon/nopa_wilcoxon.htm
http://mibuscador.net/enciclopedia/es/wikipedia/d/di/distribucion_de_probabilidad.html
http://mibuscador.net/enciclopedia/es/wikipedia/p/pr/probabilidad.html
http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/distribucion_de_probabilidad.html
http://www.uib.es/depart/gte/edutec-e/revelec15/albert_sangra.htm
http://www.mailxmail.com/curso/excelencia/paradigmaeducacionsuperior/capitulo9.htm
http://ocw.mit.edu/index.html
http://www.tuobra.unam.mx/publicadas/010909003010.html#fn1
http://www.angelfire.com/az2/educacionvirtual/educavir.html
http://www.universia.com.ar/portada/actualidad/noticia_actualidad.jsp?noticia=10895



Modulo 3 de Estadistica General de Forma Virtual

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (14)

Similar a Modulo 3 de Estadistica General de Forma Virtual

Similar a Modulo 3 de Estadistica General de Forma Virtual (20)

Último

Último (20)

Modulo 3 de Estadistica General de Forma Virtual