Libro psu matematica uc parte 1

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Libro psu matematica uc parte 1

  1. 1. r INTRODUCCIÓN .El presente manual de ejercitación de Matemática para la Enseñanza Media y para la PSU, es el resultado del trabajo conjunto de dos de los autores del Manual depreparación PSU Matemática, editado por Ediciones Ue.. Este texto, concebido como uncuaderno de ejercicios, está especialmente diseñado para complementar el Manual antes aludido. S u . creación obedece a que en el mercado no se ha hecho untexto de ejercicios adhoc para la prueba PSU de Matemática, en lo que se refiere a:l nivel apropiado de extensión y profundidad. Esperamos contribuir a llenar ese vacío, desde la perspectiva de profesores dedicados casi en forma exclusiva, a la preparación de dicha prueba. De acuerdo a nuestra experiencia de varios años como profesores en la preparación para " las pruebas de ingreso a la:Educación superior y profesional, estamos muy conscientes de lo importante que es la ejercitación en Matemática, una vez que se han entendido los conceptos fundamentales. Enefecto, siendo la Matemática una disciplina abstracta por excelencia y percibida como árida o abstrusa por los alumnos, lo más importante en ella es lacomprensión y el entendimiento, y esto se logra no sin un gran esfuerzo de parte, tanto del que enseña como del que aprende. Una vez lograda la comprensión y el enten- dimiento de las ideas fundamentales, viene la etapa de la ejercitación, la cual debe ser llevada a cabo en forma sistemática, rigurosa y permanente. No Se puedendesarrollar músculos con sólo leer un libro de gimnasia. N o estamos exagerando la importancia que tiene la ejercitación en Matemática pues es la forma en que los grandes matemáticos, ya sean puros o aplicados, hacen y construyen la Matemática. Conociendo la realidad mate- mática de nuestro país, toda persona que aspire a tener éxito en las pruebas de selección universitaria (PSU), tiene que cumplir, entre otros, con los dos siguientes requisitos: 1°) debe comenzar a prepararse, al menos desde 3 medio, (ojalá desde antes) y , 0 2°) debe destinar todos los días.por lo menos, una hora diaria a ejercitar Matemática. De ahí también que, para el logro de ese importante objetivo, se incluyen 44 Test de 30 ejercicios cada uno, lo que da un total de 1.320 ejercicios, con el formato de la P~u. Esperamos, enun futuro no muy lejano, incrementar esta cantidad de ejercicios a través de la incorporación de nuevos test. . Desde la quinta edición hemos propuesto 20 ejercicios resueltos, cuatro por~je temático más anexo, con el objetivo de facilitar al alumno una dejas formas de desarrollar orde- nadamente el ejercicio planteado. Esperamos que sea un real aporte a su aprendizaje. A pesar deque el aprendizaje es personal, también es importante el trabajo de grupo, para potenciar el hecho de compartir ideas.buscar soluciones en conjunto a los problemas más difíciles, analizar las soluciones encontradas, etc, entre otras habilidades, En otras pala- bras, el trabajo de grupo propicia el control de calidad. El presente texto está estructurado en cuatro grandes ejes temáticos, tal y cualIo señalan los planes y programas del Ministerio de Educación, y cada uno de ellos contiene varios
  2. 2. r ALF ABETO GRIEGO test para los temas de la PSU Matemática, con sus correspondientes respuestas, Hemos procurado, dentro de lo posible, ordenar los ejercicios que aparecen en los test, en orden de complejidad o dificultad creciente. No siempre es fácil ponerse de acuerdo en los crite- rios para realizar el ordenamiento pedagógico. Para tener éxito en la PSU, los alumnos y las alumnas deben resolvertodos los test, ya que en éstos, se plantean ejercicios similares, Mayúsculas Minúsculas Nombre a la PSU Matemática. Cada Test debe ser resuelto en un tiempo máximo de una hora. A o. alfa Además, para facilitar la labor de todos los usuarios del texto, hemos decidido colocar las B ~ beta . respuestas de los ejercicios en la misma página dohde termina el respectivo test. De esta , manera, si un alumno o alumna utiliza un determinado test como evaluación diagnóstica ,í y gama en un tema, entonces puede conocer su resultado inmediatamente. /, 5 ,delta " E E épsilon 1 Deseamos agradecer a la Sra. Teresa Navarro Castro, editora de proyectos especiales de , Ediciones DC, por la posibilidad que nos ha dado de concretar este importante trabajo, que Z 1; zeta nuestros alumnos, alumnas y también colegas, estaban esperando, así como también al H 11 eta I Sr. José Miguel Cariaga De La Cuadra ya la Sra. Mónica Pérez Vera por la labor de diseño y diagramación del texto. Queremos agradecer también a la Diseñadora, Srta. e e, ,} theta II! . Gladys Briones Torres, por la elaboración de algunos de los dibujos del texto. Deseamos 1 I iota expresar también nuestros agradecimientos más sinceros para nuestro amigo y colega,1: K K kappa el señor Óscar Bravo Lutz, por su contribución al tema de los vectores y al test que él mismo ayudó apreparar. 1, x lambda Si este texto puede servir a un gran número de usuarios, entonces nuestra tarea se habrá M ~ rnu o mi cumplido a cabalidad. N v nu o ni Como siempre, deseamos a nuestras alumnas ya nuestros alumnos, desde ya, el mejor de los éxitos en sus futuras vidas profesionales y/o universitarias. - S xi O o ómicron n 1t pi Los autores p p rha Santiago de Chile,.2009 L fJ,~ sigma T r tau y v ípsilon <t> phi 1 X X ji l jI psi . U w omega ~
  3. 3. 111,I SIM1WLOGÍA MATEMÁTI(:A LISTA DE SÍMBOLOS Y NOTACIONES MATEMÁTICAS SÍMBOLOS USADÚS EN LÓGICA MATEMÁTICA SÍMBOLOS USADOS EN TEORÍA DE CONJUNTOS Símbolo Significado Lectura Símbolo Significado, Lectura p, q, t, s, .. , proposiciones pe, CU, -ere, ese, ... A, B, e, ... conjuntos a, be, ce, ... -p, -p, p, N(p) negación de p no p, es falso que p, etc. a, b, e, ... . elementos a, be, ce, ... p 1 q conjunoón pyq (a) conjunto de un solo elemento singleton de "a" pvq disyunción, poq ( a, b ) conjunto de elementos a Y b conjunto de elementos a Y b P.::!.Q disyunción, excluyente, p o q, pero no ambas E relación de pertenencia está en, es un elemento de P,=> q implicancia simple o condicional Si p entonces q, p implica q e negación de pertenencia no está en, no es un elemento de p ee q implicancia doble o bicondicional p si Y sólo si q, p equivalente con q A-S relación de igualdad A es igual a S ssi si Y sólo si si y sólo si e relación de inclusión estricta es subconjunto propio de => 0= proposición contradictoria contradicción ¡;; relación de inclusión está incluido en ti cuantificador universal para todo, para cualquier ::> relación de inclusión inversa incluye a, 3 cuantificador existendal existe, existe al menos un(o) o una o: negación de inclusión estricta no es subconjunto propio de 3! cuantificador existendal estricto exi,té un(a) único(a) peA) o 2 conjunto potencia de A conjunto potencia de A # Y #A- cardinalidad cardinalidad de A u unión unión n intersección , intersección - diferencia menos A o K complemento complemento del conjunto A " 00{) conjunto vado o conjunto nulo . fi U conjunto universal o universo conjunto universal o universo ( a, b ) Par ordenado de elementos a y b par ordenado de elementos a y b AxS producto cartesiano entre A y B A cruz S - A6S diferencia simétrica entre A y B A delta B ______________ Ji ----------
  4. 4. r " SÍMBOLOS USA.DOS EN ARITMÉTICA. SÍMBOLOS USADOS EN ALGEBRA CLÁSICA ELEMENTAL Símbolo Significado Lectura Símbolo Significado Lectura IN conjunto de los números naturales ene n número naturatcualquiera ene IN, conjunto de-los números cardinales ene subcero 2n número natural par dos ene Z conjunto de los números enteros zeta dos ene menos uno 2n - 1 número natural impar Q conjunto de los números racionales cu z numero compteje cua quiera zeta Q 01 conjunto de los números irracionales cu prima o i z conjugado del complejo z zeta conjugado IR conjunto de los números reales erre e conjunto de los números complejos ce 1a I valor absoluto de un número real valor absoluto o módulo de a ,+ adición más Iz I valor absoluto de un complejo valor absoluto o módulo de zeta e proporcionalidad es directamente proporcional a - sustracción menos ee multiplicadón multiplicado por .. consecuencia por lo tanto, por consiguiente, : división . dividido por f(x)~ ax + b binomio de primer qradc efe de equis es igual a aequis más be l. tanto por ciento o porcentaje tanto porciento f(x) = ax + bx + e trinomio de segundo grado efe de equis es igual a aequis al lo. tanto por mil tanto por ¡nil cuadrado más beequis más ce ,¡ signo radical raí~ cuadrada ± suma o resta más menos ~ signo de igualdad. es iguál a potencia enésima de a a elevado a ene , a , signo de desigualdad es distinto de " lag operador logarttmico logaritmo decimal o de Briggs = signo de identidad es idéntico a In operador logaritmico logaritmo natural o de Neper / tal que tal que > signo de comparación mayor que , I~ ~I determinante de dos por dos determinante a, b, c, d < ;, signo de comparación signo de comparadón menor que mayor o igual r eldeb f ghi determinante de tres-por tres determinante a, b, e, d, e, f, g, h, i < . signo de comparación " menor o igual « signo de comparación mucho menor que [~~ 1 matriz de dos por dos matriz a, b, e, d » signo de comparación mucho mayor que [adelb el matriz a, b, e; d, e, 1, g, h, i matriz de tres por tres ghi L siqma mayúscula sumatoria r rr pi mayúscula pitatorie o multiplicatoria [a, b 1 intervalo terrado de extremos a y b intervalo cerrado a coma b 1 a, b [ intervalo abierto de extremos a y b intervalo abierto a coma b [a, b [ , i~tervato semicerrado o semiabierto intervalo semicerrado a coma b 1 a, b J intervalo semicerrado o semiabierto intervalo semicerrado a coma b~. ~-
  5. 5. SÍMBOLOS USADOS EN COMBINATORIA SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA CLÁSICA ELEMENTAL Símbolo Significado Lectura Símbolo Significado Lectura n! olll factorial ene factoríal o faetorial de ene A, B, e, .... puntos a, be, ce, ... P(n) permutación permutación de erie elementos <l::ABC ángulo ABe ángulo ABC m (<l::ABC) medida del ángulo ASC medida del ángulo Ase . V r vañación o arreglo variación.de ene elementos tomados de a. erre PO segmento PO segmento cuyos extremos son P":J a l:J combinacíóo combinación de ene elementos tomados de erre en erre PO o m(PO) longitud longitud o medida del segmento PO L" L" L" etc líneas rectas recta L" t, L" ete 11 paralelismo es paraleloa J. , perpendieularidad es perpendicular a n plano plano pi P(A,S,C) plano plano que pasa podas I1, SÍMBOLOS USADOS EN PROBABILIDADES Il triángulo puntos no eolineales A, B ye triángulo ! Símbolo Significado Lectura alturas de un triángulo ABC haehe sub a; haehe sub b y hache sub e h., h, Y h, lím ..!:!.. probabilidad freeueneial timite de la razón ene sub i partido por ene cuando b" ba y b.-, bisectriees de un triángulo ABC b~ sub alfa, be sub beta y be sub gama n-t-, n ene tiende a infinito t, t" y t, transversales de gravedad de un te sub a, te sub b y te sub e triángulo ABe S. S, Y S, simetrales de un triángulo ASe ese sub a, ese sub b y ese sub e mi mbymc . medianas de un triángulo ABe eme sub a, ~me sub b y eme su b e H ortocentro ortocentro 1 incentro incentro G centro de gravedad centro de gravedad SÍMBOLOS USADOS EN ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA O . circuncentro circuncentro pyq proyecciones de los eatetos sobre la pe y eu Símbolo Significado. Lectura hipotenusa uyv segmentos en que la bisectriz by u y uve f frecuencia efe divide al lado e x Me oM.A. media aritmética o media mediana media o promedio aritmétic~. mediana . equivalenda es equivalente con Mo moda moda - congruencia es co~.~.ruentecon sigma (minúscula) - semejanza es semejante con ; cr desviación standard C(O,r) circunferencia circunferencia de centro O y radio r C(P,O.R) circunferencia circunferencia que pasa por los puntos no colineales P, Q YR IB arco de circunferencia arco AB 1 . .~~
  6. 6. 1 !, l I l I SÍMBOLOS USADOS EN TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL, TABLA DE ESPECIFICACIONES DE LA PRUEBA DE MATEMÁTICA * Símbolo Significado Lectura sen~ razón entre el cateto opuesto a ~ y la hipotenusa seno de beta cosp tgP razon entre.el cateto adyacente a }j y la mpotenusa , razón entre el cateto opuesto a P y el cateto adyacente a p coseno de beta tangente de beta HABILIDADES INTELECTUALES , o 0_ o ~ o", ~ o " 0.> o .. • ~~ ~ o ~.2 é ü o III E ~ ~~ 2~ o O e cotp razón entre el cateto adyacente a J) y el cateto opuesto a p cotangente de beta ~~ 0-2 O U " ~ c.. e.2 i~~ secp razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente a ~ secante de beta ID .~ "E ~ -o ;; , e O> O • u • ID > ~ c.. ~ e •••• •• O ¡;; ~ u cosecf3 razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto a 13 cosecante de beta - ~~ e " O • ~ ~~ " o u u ~ ~~~ EJE S TEMÁTICOS :~ o> ~~ .8~~ • U ~s ~ E c.. O ~~ o.. " ._ ~o e ~ Hl Q.~~ -c c.. •• :i ~ ~ .~ :o ¿~~~ o""tJ._ u •.•• O g g " O f- l. . Números y proporcionalidad 11 2, Álgebra y funciones - SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA ANALÍTICA 29 3, Geometrjo y Trigonometría - 21 Símbolo Significado Lectura 4. Estadistica y probabilidad flx m notación delta pendiente de una recta ~ delta equis pendiente TOTAL 12 26 I 20 I 12 ~ 6.1 l1X , pendiente de una recta delta ye partido por delta equis I y=mx ecuación de una recta por el origen ye es igual a eme equis y = mx + n AY. + By + e=o ecuación principal de la recta ecuación general de la recta ye es igual a enie equis más ene aequis más bey más ce igual a cero 1- y - Yo= m(x - xo) ecuación punto-pendiente , ye menos ye subcero es igual a eme factor de equis menos equis subcero _x_ .•-L=1 ecuación d,e segmentos de la recta equis partido por a más ye partido por be es a. b , igual a uno x2 + y2= rl ecuación de la circunferencia con equis al cuadrado más ye al cuadrado centro en el origeh y radio erre es igual a erre al cuadrado (x - h) + (y - k) = r ecuación de la circunferencia con equis menos hache al cuadrado más ye centro en hache coma ea y radio menos ea al cuadrado es igual a erre al erre cuadrado /¡ ~ 1 1:1 : Fueme: Documento oficial. Proceso de Admisión 2005. Universidad de Chile. DEMRE. 4 de agosto de 2004.,1 f
  7. 7. r¡¡ ÍNDICE1 INTRODUCCIÓNI/ ALFABETO GRIEGO SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA TABLA DE E$PECIFICACIONES DELA PRUEBA DE MA TEMÁTICA PRIMER EJE TEMÁ neo. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD EJERCICIOS RESUELTOS 22 CAPÍTULO 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS ( Z) 26 Test N° 1.- Números enteros:I,It I CAPÍTULO 2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Test N"2: Números racionales 1 Test N"3: Números racionales Il CAPÍTULO 3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ( R) ( Q) 31 45¡ Test N"4: Números reales .!¡ CAPÍTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONES 51 Test N"5: Razones y proporciones . CAPÍTULO~. PROPO~CIONALIDAD 5711 Test N"6: Proporcionalidad 63 ! CAPÍTULO 6. PORCENTAJE E INTERÉS Test N"7: Porcentajes 1 Test ¡¡O8: Porcentajes II I CAPÍTULO 7. REGULARIDADES Test N"9; Regularidades numéricas NUMÉRICAS 74 BffiLIOGRAFÍAESPECÍFICA 79, Primer Eje Temático: NÚMEROS y PROPORCIONALIDAD SEGUNDO EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA Y FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS 82 CAPÍTULO 1. INTRODUCOÓN AL LENGUAJE ALGEBRAICO 88 Test N°1: Lenguaje algebraico 1 Test N"2: Lenguaje algebraíco Il CAPÍTULo 2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS 102 Test N"3: Productos notables, factorizocion. y fracciones algebraicas C~ÍTULO 3. ECUACIONES DE PRlMER GRADoO LINEALES y PROBLEMASVERBALES . 111 I Test N"4: Ecuaciones de primer grado y problemas con enunciado verbal CAPÍTULO 4. PROBLEMAS DE PLALWEO ~ON ENUNCIADO VERBAL 120 I ,~
  8. 8. 1:[ Test N°5: Problemas de planteo con enunciado verbal1lit CAPÍTULO 5. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 275 .· 111 ,.1,1 Test N°6: Desigualdades, inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineale Test N°5: Ángulos en la circunferenciaI, ! 1 CAPÍTULO 6. GEOMETRíA ANALÍTICA BÁSICA CAPÍTULO 6. PERÍMETROS YÁREAS 283 ( Test N"7: Geometria Analítica básica Test N°6: Perímetros y áreas CAPÍTULO 7. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA CAPÍTUL07. SEMEJANZA 291 Q Test N 8: Ecuación cartesiana de la recta Test N°7:.Semejanza CAPÍTULo 8. SISTEMAimEECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN 299 Test N°9: Sistemas de ecuaciones lineales Test N°B: Geometría de proporción CAPÍTULO t. POTENCIACIÓN CAPÍTULO 9. TRIÁNGULOREcrÁllGULO:TEOREMASDEEUCLIDESYDEPITÁGORAS 309 Test N°IO: Potencias Test N°9: Triángulo rectánguloi.Teoremas de Euclides y de Pitágoras CAPÍTULO 10. RADICACIÓN CAPÍTULO 10. TRIGONOMETRÍA PLANA 317 Test trn, Raíces Test N°lO.: Trigonometría plana CAPÍTULO 11. FUNCIONES: CONCEptOS FUNDAMENTALES CAPÍTULO 11. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO 326 , Test N°12: Funciones: Conceptos fundamentales Test N°1l: Proporciones en el Círculo CAPÍTuLO 12. FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO y FuNCIÓN PARTE ENTERA CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO 334 Test N°l3: Función afín, función valor absoluto y función parte entera Test N°12: Geometría del espacio CAPÍTULO 13. FUNCIÓNCUADRÁTICA CAPÍTULO 13. VECTORES: RECTAS y PLANOS .343 Test N°14: Función cuadrática Test N°l3: Veetores, ecuación veetorial de la recta y ecuaci6n veetorial del plano CAPÍTUL014. ECUACIÓNCUADRÁTICA BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA 351 Tercer Eje Temático: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA TesiN°15: Ecuación cuadrática . CAPÍTULO 15. FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA CUARTO EJE TEMÁ rrco. ESTADÍSTICA y PROBABILIDAD TeStN°16: Funciones potencia, exponencial y logarítmica . EJERCICIOS RESUELTOS 354 CAPÍTULO 16. ECUACIONES IRRACIONALES CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 357 Test N°17: Ecuaciones irracionales Test N°}: Estadística Descriptiva! CAPÍTULO 17. ECUACIONES EXPONENCIALES CAPÍTULO 2. PROBABILIDAD 366 Test N°18: Ecuaciones exponenciales Test N"2: Probabilidad l CAPÍTULO 18. LOGARITMACIÓN BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA 376 Cuarto Eje Temático: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Test N19: Logaritmos BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS Segundo Eje Temático: ÁLGEBRA Y FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS 378 TERCER EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Test N°1 de Suficiencia de datos 383 EJERCICIOS RESUELTOS CAPÍTULo 1. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS Test N°I: Ángulos y triángulos CAPÍTUL02. CONGRUENCIA . Test N°2: Congruencia CAPÍTUL03. CUADRILÁTEROS YPOLÍGONOS Test N°3: Cuadriláteros y Poligonos CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS Tesf N°4: Transformaciones isometricas JFi:
  9. 9. /
  10. 10. ¡i:11 I PSU:Cuaderno de Ejercicios, Matemática PRIMER EJERCICIOS RESUELTOS EJE TEMÁTICO: NÚMEROS y PROPORCIONALIDAD r 1 2) PRIMER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos Dadas las razones a.: b = 3 : 4 y b : e = 8 : 9, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades expresadas en forma de razones es(son) siempre verdadera(s)? 1) a:b:c=6:8:9 1) Gladys va al supermercado y compra medio kilogramo de carne molida, tres cuartos de posta rosada y dos kilogramos de lomo vetado. Si ella pide que le saquen toda la grasa al lomo vetado y ésta se reduce en un cuarto de kilogramo después de dicha operación, entonces ¿cuántos kilogramos de carne compró 11) a: e = 2 : 3 Gladys en total? 1 .~:;~ 1I1) a + b + C - - a 23 6 A) - s 4 _- --2..-1- Z tI 4 A) Sólo 1 y Ir 1 B) - B) Sólo II y III 2 - . .." -.; . /()--;/f ~t ;::; ~ C) Sólo 1 y III C) 1 ~ Z D) 1, II Y III ~ E) Ninguna de las tres D) 1 - Solución: ~ 3 Si la segunda razón de a : b = 3 : 4 se amplifica por 2, entonces resulta que a: b = 6 :8, y Solución: como además con la razón b e = 8 : 9 tenemos el elemento "b".en común, podemos escribir la proporción continuada a b c: e = 6 : 8 : 9. Según esto, la igualdad 1 es correcta. Este sencillo ejercicio se reduce simplemente.a escribir los numer~les de las cantidades que se mencionan Ahora, para saber si Ir es correcta, comparamos "a" y"c", sacadas de la proporción anterior y tendremos: y, en seguida, sumarlas y restarlas según el caso. a : e = 6 : 9, Y simplificando esta última razón por 3, nos queda: a : e = 2: 3, con lo cual II Tendremos: t también es correcta. L . Finalmente para la tercera, aplicamos la propiedad fundamental de toda seriede razones iguales y nos 1 3. 1 I 2 . 3 1 2 a + b + C a . . -+-+2 - -=-+-+2 (resolvemos pnmero- - - -, aprovechando que queda: =- (hemos comparado col). la primera razón pues es la que figura en el segundo 2 4 4 2 4 4 4 4 6 + 8 + 9 6 tienen igual denominador) . . a+b+c a miembro de la proporción), lo cual se reduce a: ----- -. Por lo tanto, la proporción III también es correcta. 23 6 1 1 - + - + 2 (simplificando la fracción ~ ) 2 .. 2 4 Observaciones y comentarios: + 2 G + ± lJ= Hay otras formas también de resolver este ejercicio, mediante el uso adecuado proporcionalidad "k". de una constante de = 3 Para tales efectos, consultar nuestro manual de preparación Matemática PSU, capítulo de proporcionalidad, páginas 82 a 85. Editado por Ediciones Universidad Católica de Chile en su octava Por lo tanto Gladys compró 3 kilogramos de yarJ,le en total. edición, febrero de 2008. Este es un ejercicio de razones típico de la PSU, en el cual se pide relacion~r elementos de ciertas Observaciones y comentarios: razones dadas y obtener también nuevas razones a partir de los datos. Es un ejercicio de. mediana Este es un ejemplo muy sencillo tomado del diario vivir, en el cual, para resolverlo, se deben dificultad, aunque los alumnos cometen frecuentemente el error de creer que si a : b = 3 : 4, entonces traducir. los numerales hablados en español a numerales simbólicos y luego efectuar las operaciones a. = 3 Y b = 4, lo cual es un gravísimo error pues eso significaría que no han entendido el concepto de razón. correspondientes. Se considera un ej ercicio fácil. Respuesta correcta: alternativa D . Respuesta correcta: alternativa E 22 .. 1::;. _-- . .. 23
  11. 11. 111: ..1 , oo. PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática 9 25 36 F i r PRlMER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos 3) Dada la siguiente sucesión: .!. 1, - , - , - , el cuarto término de ella es i a =- n 2 vneN 2 8 32 64 ¡ n 2ni A) .8) 8 i En efecto, según esta fórmula, elsegundo término (n 2) sería: 9 5 I a2 = 22 ! es decir: a2 = 1, lo cual es correcto pues .coincide con el término dado en el enunciado. C) 6 I 2 I D). ~ De tal modo que el término solicitado, el cuarto (n = 4), est~ dado por: 2 . . E) No se puede determinar pues faltan datos I I 42 I a4 - ,es decir: Solución: 24I1 I Puesto que una sucesión es una función de N a R, entonces el problema se reduce a encontrar una función, expresada mediante alguna fórmula matemática, en términos de "n" para el cálculo de las imágenes, es decir, de los términos de la sucesión, Escribamos los términos de la sucesión dada, identificándolos por sus correspondientes subíndices; los cuales nos dan la ubicación de ellos: al es el I ¡ Observaciones y comentarios: a4 primer término, a, es el segundo término, a, es el tercer término, etc. . I~ En este tipo de ejercicios, deben darse en el enunciado la suficiente cantidad de términos (ininimo tres), como para poder encontrar Ia función -expresada a través de alguna fórmula matemática- 1 12 que permita.encontrar las imágenes, es decir, los términos de la sucesión. Con sólo dos términos es a 1 = - 2 = - ·i i imposible encontrar una ley general pues de seguro habría más de una y, por 10tanto, el problema sería I ambiguo y habrían muchas (en general infinitas) soluciones posibles. Cuando se dan tres términos, a2 = l : (puede escribirse de una infinidad de formas) I, se debe tratar de ver si hay alguna constante en dichos términos. Por ejemplo, se debe verificar si dos términos.consecutivos difieren en una constante (progresión aritmética), o bien, si la razón entre dos . términos consecutivos permanece constante (progresión geométrica), etc, . Por último, es importante observar que el segundo y el cuarto término de la sucesión se repiten, es. 2 decir, son iguales. Este es un hecho perfectamente posible pues, en ningún momento de la definición 9 3 a = - = - de una sucesión de números reales, se pone de manifiesto que tal hecho no pueda ocurrir. De hecho, en l 8 i . a. = ? (es el término que ,se busca) I una sucesión oscilante, del tipo an = (-1)"; todos los términos pares son iguales entre sí y tienen por valor 1, Y todos los términos impares son iguales entre sí y tienen por valor - L a = - 25 =- 52 I Respuesta correcta: alternativa A , 32 25 5 t a 6 = ~ 36 64 . =.- 62 26 I¡ Observando atentamente la forma general de los términos conocidos, vemos que el término general o 1 l enésimo de la sucesión viene dado por la expresión: I 1 I L_ 1: 2S I 24 ..

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