GELSON IEZZI
CARLOS MURAKAMI

FUNDAMENTOS DE ,  ' 1

MATEMATECA
ELEMENTAR

CONJUNTOS FUNCÓES

75 Exercícios rosolvidos
326...
capa

Roberto Franklin Rondino

Sylvio

Ulhoa Cintra Fílho

Rua lnhambu,  1235 — S.  Paulo

Compnsiqio e desenhos
AM Produ...
. Proposigao .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  A .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . l-A

ll.  Nego...
CAPÍTULO IV — RELACOES

 

 

l.  Par ordenado .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . ...
Johann F.  C.  Gauss
(1777 - 1855)
De plebeu a príncipe

Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick,  Alemanha.  De familia
humilde mas com o incentivo...
u.  NEGACÁO

3. A partir de uma proposicáo p qualquer sempre podemos construir
outra,  denominada negacáo de p e indicada ...
A oonjuncío p A q é verdadeira se p e q sin ambas
vudadnim;  se ao menos unn delas for false,  envio p A q

6 falsa. 

 

...
9' c°"d¡°¡°"a' —' 11. Condicional +—>

Colocando o condicional -> entre duas proposicñes p e q,  obtemos cokmando o mndmon...
Revendo us exemplos dados,  temos: 

Exemp/ os
19) p é V e q é V.  entïo n +-> <1 é V 19) (p/  Mp) » iqv p) é gma tautolog...
29)

lp Vwq) <—> («p/ Mil

a

«p «q DVNQ «¡Ma iDV"’q)<—->(Np/ q)

-n-n<< n
""<'“<

T F
F
V
F

F
V
F
V

<<"'l7’| 

‘P111711...
c) da conjuncío relativamente á disjunoáo d) da negacáo

p/ (qVrl<= >lv/ qlV1n/ r) «lA-pl <= > D
DV(q/ r) =  ÍPVqlAlDVr) N...
Exsncnblo
AJ Trensfnrme as seguintex sentencias abertas em proposicües verdadoiras usando quan-
tificadores: 
al x’ A 5x +...
39) sentenca:  (VXHV x1 + 1 =  x + 1)
negacáo:  (Sxllv x7 +1 # x + 1)

49) sentenea:  Todo losango é um quadrado
negacáo: ...
Criado um novo paraíso

Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S.  Petersburgo,  passando a
maior parte de sua v...
No exemplo 3, cada número ¡’mpar é elemento do conjunto dos números

impares,  ¡sto é,  pertence ao conjunto.  Em particul...
Exemp/ as

1){x| x é estado da regiáo sul do Brasil) é uma maneíra de indicar
o conjunto: 

(Paraná,  Santa Catarina,  Rio...
Exenciones

A.10

A11

A12

A13

A.14

A15

24—A

De os elementos dos seguintes aoniuntos: 

A =  x i x e letra da palavra...
44. Vimos anteriormente o concelto de ígualdade de conjuntos: 
A= Be= vlvxflxéAíxEBl

Vl.  SUBCONJUNTO

A _ _ Nesta definio...
ExEHcícIos

A.16 Dados A e h,  2, 3, 4} e e :  {2, a},  pede-se: 
al escrever com os slmbolos da teoria dos conjuntos as s...
VIII.  INTERSECCÁO DE CONJUNTOS

49. Dofinipio

Dados dois conjuntos A e B,  chema-se ÍUWÏÑECFÉ-O de A e B o con-

junto f...
A26

A27

A.2B

A19

AJO

A31

A32

A33

Determinar e reuníáo das rutas de um pleno Cl que s30 paralelos a uma dada reta
r...
Exemp/ vs
1) Se A =  {a,  b,  c,  d,  e} e B =  {c,  d,  e},  entáo: 
Ci =  (a.  b}
2) Se A =  {a,  b,  c,  d} =  B,  enti...
¡uz Seja E =  {a {d}.  Dizerquais das proposicñes abaixo sao verdadeires. 
’ A49 Dados dois conjuntos A e E,  chema-se dit...
CAPÍTULO 111

CONJUNTOS
NUMÉRICOS

l.  CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS

56. Chama-se conjunto dos números naturais — símbol...
[M3] elemento neutro da multíplicacáa
a - 1 =  a
para todo a E N

[D] Distributiva da mulriplicapáa relativamente á adicïo...
64. Quando a é divisor de b dizemos que ”b é divisível por a" ou "b é
múltiplo de a". 

Para um inteiro a qualquer,  indic...
70. Consideremos o coniunto 0' formado pelos números racionais com de- [M4] ¿mambo m,  ¡"V930 pa”,  a mump/ ¡cacga

nomina...
A57 Colocar na forma de uma ¡recio irredutível as seguimos números racionnis:  0,4;
0,444. .  , ;  0,32; 0,323232 .  . .  ...
1 .  . ,  .
segmento representa —.  Na figura abaixo representamos sobre a reta varios

2
números racionais. 
r3 2 —l o i ...
80. Os números reais a e b s50 denominados,  respectivamente,  extrema ¡n- EXERCÍCIOS
feriar e extrema superior do interva...
Vl.  CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

84 Em R.  a radiciacio e’ uma operacáo,  ¡sto é,  V:  E IR.  qualquer que
3 3;- .11
s...
n’ 3n2 7n

29) Dada a relacao y =  —ï + —2- — ï+ 3, definida para todo
new’,  temos: 

n=1=>y= _%+: %’_%+3=-1+9;14+18=2
n=...
A.77

e provemos que 8 l (3

entSo

AJS
AJ! 

AJO

A31
A32

A83

A34

sl(3’"—i), Vn€N'

soma. 

mi Pll) é verdadeira pois ...
Desvendado mistério da continuidade

Julius Wilhelm Ruzhar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma familia Iuternna de
Br...
ll.  SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

93. Consideremos dois eixos x e y
perpendiculares em 0, os quais deter-
minam o plano a...
lll.  PRODUTO CARTESIANO

96. Definicin

Selam A e B dois conjuntos nio vazios.  Denominamos proc/ uta cartesiano
de A P0? ...
EXERCÍCIOS

A33 Dados os coniuntos

A= (1,3,4) 34-24} c= {—(, u,2}
representar pelos elementos e pelo gráfico carteslano o...
Utilizaremos as seguintes nomenclaturas ¡á consagradas

A =  conjunto de partida da relacáo R
B conjunto de chegada ou con...
EXERCÍCIOS

A.100 Fede-se: 

l) enumerar pares ordenados
II) representar por meio de flechas
Ill) fazer o gráfico cartesie...
A.1o7 Se Réarelacácbinárlade A:  {xem l 1 <x <6} em a =  {ye (n l 1 <y <4

definida por , 
x R y <= > x =  2y
Fede-se: 

a...
EXERC ¡‘cios

AJO! ) Enumerar os elementos de R",  relacáo inversa de R,  nos seguimos casos: 

a) n =  {(1, 2).  (3, 1). ...
c) T =  {(0,0) (1, 1),  (2,2),  (3,3))

Para todo elemento x € A,  sem
excegáo,  existe um só elemento y E B
tal que (x,  ...
39) A reiagáo f de A em IR,  re«
presentada ao lado,  onde

A= {x€lRl0<xS4}

n50 é funpáo de A em IR pois a reta
vertical ...
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  1. 1. GELSON IEZZI CARLOS MURAKAMI FUNDAMENTOS DE , ' 1 MATEMATECA ELEMENTAR CONJUNTOS FUNCÓES 75 Exercícios rosolvidos 326 Exarcícios propones — com resposta 272 Testa: de Vastihulnros - com rnspom 3.a edicáo fi ATUAL EDITORA
  2. 2. capa Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Fílho Rua lnhambu, 1235 — S. Paulo Compnsiqio e desenhos AM Producñes Gráficas Ltda. Fina Castro Alves, 135 — S. Paulo Artes Atu al Fatoli Editora Ltda (OS H.0.P. Fotolitos Ltda. Rua Delmira Ferreira, 325 — S. Paulo Impressio e acabamento Gráfica Editora Hamburg Ltda. Rua Apeninos, 294 278-1 620 — 278-2648 — 279-9776 S50 Paulo — SP — Brasil 77-133) Todos ATUA emanan. cuulogugio-m-ruur. cam. Brasileiro da Livra, sr Fmdnentn a. Iltemítfinl ningun? für] ¡su San ¡u u, ' un Ion mn [n outm! 2a. . m7. Eli-IMM? !‘ . orloo KJrIkMll, navales Dolce I E-lul Ill I Iulnrll ¡in! Vulumll Infil- vtau-u yn-u entre u. l. ¡utnral Cunleunn VJ. Unntuntol. run . Srqflunclnl. maya n a una -. -y.5. Eumkngturla, nrohghl- . Emanuel. panal-An, Iqulqnll. 1. neumátic- (z! pm. ) l. Dulce, Davalflo, 1935- u. mu, lhhon, 1939- m. num. Emu-l, me. xv. nit-nana, num, ¡au- cnn- 51o Índino pu. análoga analítica: 1. nas-inn. 5m os direitos reservados a L EDITORA LTDA Rua José Antonio Coelho, 785 Telefo nes: 71-7795 e 549-1720 CEP 04011 - 55o Paulo -— SP - Brasil APRESENTAOÁO "Fundamentos de Matemática Elementar” é uma colecáo em dez volumes elaborada com a pretensío de dar ao estudante uma Visio global da Matemática, ao nfvel da escala de 29 grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitarios que necessítam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, áqueles alunos de colegial mais interessados na "minha das ciéncias". No desenvolvimento dos ¡números capítulos dos Iivros de “Fundamentos” procuramos seguir urna ordem lógica na apresentacño de conceitos e propriedades. Salvo algumas excecóes bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposicóes e teoremas estic sempre ecompanhados das respectivas demonstracñes. Na estruturacEo das series de exercfcios, buscamos sempre uma ordenacáo crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questñes que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudame a uma revisío. A seqüéncia do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercfcios resolvidos, apresentados am meio aos propostos, pretendem sempre dar explicacáo sobre alguma novídade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e, assim, ter seu reforco positivo ou partir a procura do erro cometido. A última parte de cada volume é constituida por testes de vestíbulares até 1.977 selecionados e resolvídos o que pode ser usado para uma revisio da matéria estudada. Queremos consignar aqui nossos agradecirnentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando Furquim de Almeida cujo apoio foi ¡mprescindfvel para que pudóssemos homenagear nesta colegio alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e sua obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distancia entre o anseio dos autores e o valor de sua obra, gostarfamos de reoeber dos colegas professores urn “apre- ciacáo sobre este trabalho, notedamante os comentarios críticos, as quai gra- decemos. Os autores
  3. 3. . Proposigao . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l-A ll. Negocio . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . A . . . , . . . . . . . 2-A Jiu. Proposicáo composta — conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 3-A IV. Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . 5—A V. Tautologias . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . 8-A VI. Proposicñes logicamente falsas . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-A VII. Flelacáo de implicacio Vlll. Relacáo de equivalencia IX. Qeifiencasabertash“ . . . .. X. Camí negar proposicües . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . 14-A CAPITU L0 ll — CONJUNTOS l. pniunto, elemento, pertinencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-A llflïescricao de um conjunto . , . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . A . . . . 1 . 20-A IILV‘ piunto unitário, conjunto vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22—A IV. ‘niunto universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23-A V. Conjuntos iguais . . . . . . . , . . A . . A . . . . . . . . . . . , . . . . . . . A . 25-A VI. Subconiuntos . . . . . . . . . . 26—A VII. ‘Qeuniáo de conjuntos 29—A Vlll. lnterseccáo de coniuntos . . . . . . . 30-A IX. ' ropriedades . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ill-A X, ‘ iferenca de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . 33-A XI’. Complementar de B em A . . . . , . . . . . . , . . . A . . . . . . . . A . . . . 33-A CAPITULO III — CONJUNTOS NUMERICOS / l. CohIunto dos números naturais . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39-A ll. ‘lfiunto dos números inteiros .5 . . . . . 4 40-A III. C junto dos números racionais . . . . . A A . 43-A IV. Conjunto dos números reais . . . {I}; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46-A V. Intervalos VI. COHNHIO dos números complexos VII. Vlll. Refina Principio ‘da induciío finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53—A
  4. 4. CAPÍTULO IV — RELACOES l. Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ll. Sistema cartesiano ortogonal . . . . . . . . . . . . , Ill, Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . , . . . . . . . . . . IV. Relacao binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . . . . . . . . . 65-A V. Dominio e imagem 53.A VI. Relacáo inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70—A Vll. Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A A . . . . , . 71-A CAPITULO v — FUNCOES I. Conceito de fungáo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73-A ll. Definicáo , . . . . . . . . . . . . , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A A 74-A lll. Notacáo das funcñes . . . . . . . . . . . IV. Dominio e imagem . . . . . . . . . . . . . V V. Funcóes íguais . . . . . . . . . . . . . . . A APÉNDICE SOBRE ¡NEQUACÓES . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . 86-A CAPITULO VI — FUNCOES D0 19 GRAU l. Funcio constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93—A ll. Funcáo identidade 94-A lll. Funcáo linear . . . . . .. 94-A IV. Funcáo afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V. Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. imagem . . . . . . . . . . . . . . . VII. Coeficientes da funoáo afím . . . . . , _ . . . . , , . , , , , _ _ _ _ . 4 _ _ _ 1()1_A VIII. Zero da Iunoío afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX. Funcües crescentes e decrescentes X. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . _ _ . . , _ _ _ _ _ , , , _ 1o5_A XI. Sinal de uma funcfio . . . . . . XII. Sinal da funcáo afim . XIII. Inequacñes simultáneas . . . . XIV. lnequacóes-produto . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113-A XV. Inequacñes-quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . 120-A CAPITULO Vll — FUNCAO QUADRATICA I. Definicáo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123-A II. Parábola _ , ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ . _ __ ¡23_A Ill. Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . _ 125_A IV. Forma canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 125—A V. Zeros . . A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . 126_A VI. Máximos e minimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A , . . . . . A . . . .. 130-A VII. Vértice da parábola . . . . . . . . . . l31-A VIII. imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133-A IX. Eixo de simetría . . . . . . . . . . . . . . . , . A . . 136-A X. Gráfico , . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . A . . . . . . . . . . . . . . . A . A . TSG-A XI. Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . ,. 140-A Xll. lnequacóes do 29 grau . ... Xlll. Teorema . , . , . . . . . , . . , . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . , . , , . 148-A XIV. Comparado de um número real com as raizes da equacaïo do 29 grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150-A XV. Sinais das raizes da equacáo do 29 grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155-A CAPITU L0 VIII —- FU NCAO MODULAR I. Funcáo definida por várias sentencas abertas . . . . . . . . . . . . . . . l59-A ll. Módulo . . . . . . . . A . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., ‘l61-A lll. Funcío modular . . . . . . . . , . . . . 161-A IV. Equacóes modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , . . . . . . . 166—A V. lnequacñas modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . 16B-A CAPIÏU LO IX — OUTRAS FU NCOES ELEMENTARES l. FuncaÏo flxl = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . .171-A Il. Funczïo recíproca . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . . . . . , . . . . 172-A lll. Funcáo máximo inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A . . . 177-A CAPITULO X — FUNCÁO COMPOSTA — FUNCAO INVERSA I. Funcáo composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181-A ll. Funcáo sobrejetora III. Funcio injetora . ... , IV. Funcio bijetora . . A A . V. Funcño inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195-A APENDICE l Equacñes irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208-A APENDICE II lnequacñes irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217-A , fl RESPOSTAS DOS EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225-A TEsTEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269—A RESPOSTAS DE TESTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . .3l5-A
  5. 5. Johann F. C. Gauss (1777 - 1855)
  6. 6. De plebeu a príncipe Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De familia humilde mas com o incentivo de sua mae obteve brilhantismo em sua carreira. Estudando em sua Cidade natal, certo dia quando o professor mandou que os alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta — 5050 — aparentemente sem cálculos. Supñe-se que já ai houvesse descoberto a fórmula de uma soma de uma progressao aritmética. Gauss foi para Güttingen sempre contando com o auxilio financeiro do duque de Brunswick, decidindo<se pela Matemática em 30 de marco de 1796, quando se tornou o primeiro a construir um polígono regular de detessete lados somente com o auxilio de régua e compasso. Gauss doutorowse em 1798, na Universidade de Helmsfádt e sua tese foi a demonstracáo do "Teorema fundamental da Álgebra", provando que toda equacáo polinomial f(x)=0 tem pelo menos uma raíz real ou imaginaria e para ísso baseou- se em consideracües geométricas. Deve-se a Gauss a representacáo gráfica dos números compleios pensando nas partes real e imaginaria como coordenadas de um plano. Seu livro "Disquísïtíones Aríthmerícae” (Pesquisas Aritméticas) é o principal responsável pelo desenvolvimento e notacóes da Teoria dos Números, nele apresen» tando a notaciïo bEc (mod a). para relacao de congruencia, que é uma relacío de equivalencia. Ainda nesta obra Gauss apresente a lei da reciprocidade quadrática classifi- cada por ele como a "¡óia de aritmética" e demonstrando o teorema segundo o qual todo inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produto de primos. Descreveu uma vez a Matemática como sendo a rainha das Ciencias e a AritA mética como a rainha da Matemática. No comeco do séc. XIX abandonou a Aritmética para dedicar-se á Astrono- mia, criando um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado até hoje, e ¡sto Ihe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatorio de Güttingen, onde passou 40 anos. Suas pesquisas matemáticas continuaram em teoria das funccïes e Geometría aplicada á teoria de Newton. Em Geodesia inventou o helitropo, aparelho que transmite sinais por melo de luz refletida e em Eletromagnetismo inventou o magnetómetro bifiliar e o telégrafo elétrico. Sua única ambicáo era o progresso da Matemática pelo que lutou até o momento em que se conscientizou do lim por sofrer de dilatacáo cardíaca. Gauss morreu aos 78 anos e é considerado o "príncipe da Matemática”. CAPÍTULO 1 NogóEs DE LÓGICA l. PROPOS| CÁO 1. Definicio Chema-se prapasícáa ou sentenca toda oracio declaretiva que pode ser classificada de verdadeira ou de falsa. observamos que toda proposicio epresenta trás caracteristicas obrígatórias: 19) sendo oracío, tem sujeito e predicado; 2?) é declarativa (nio é exclamativa nem interrogativa) 3?) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou e verdadeira (V) ou é falsa (F). 2. Example: S50 proposicóes: a) 9 ak 5 (Nova é diferente de cinco) b) 7 > 3 (Sete 6 maior que tres) c) 2 E Z (Dois é um número inteiro) d) 3| 11 (Tres é divisor de 11) e) Z C 0 (0 conjunto dos números inteiros esta comido no coniunto dos racionais) Dessas proposicñes, todas sáo verdadeiras exceto d. Nao s50 consideradas proposicñes as frases: f) 3- 5+1 (onde falta predicado) 9) VÏ E 0? (que é oracio interrogativa) h) 3x — 1 = 11 (que n50 pode ser classífícada em verdadeira ou falsa)
  7. 7. u. NEGACÁO 3. A partir de uma proposicáo p qualquer sempre podemos construir outra, denominada negacáo de p e indicada com o simbolo wp. Exemplos a) p: 9 i 5 b) P: 7 > 3 «p; g ; 5 «p: 7 S 3 c) p: 2 E Z d) p: 3| 11 «p: 2 E Z wp: 3111 e) p; Z C 0 xp: Z si ¡D 4. Para que Np seja realmente uma proposicáo devemos ser capazes de elassilicáda em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critéruo de classilicacáo: A proposicio «p tem sempre o valor oposto de p, ¡sto e, mp é verdadeira quando p é falsa e mp é falsa quando p é verdadeira. Este criterio está resumido na tabela ao lado, l denominada tabe/ a-verdade da proposicáo «p. Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que Np é verdadeira no exemplo d e Np é falsa nos demais. Exencïclos A.1 Quais das sentencas abaixo sáo proposicñes? No caso das proposicóes quais sin verdadeiras? a)5-4=20 bl5>4=3 cl2+7-3.5-4+3 d)5l3+| )=5-3+5-1 gp1+aqtr+e r) l-2)5>ir2)3 g)3i4>o h)11—4-2 A2 Gual é a negacáo de cada uma das segumtes proposicñes? Que negacóe: s50 verdadeiras’ a)3-7=21 bl3-lli-7lahb c)3-2+1>4 d)5-7—2S5-6 eil1ïl7<iáia llx/ ï<i 914-4127 mah Ill. PROPOslCÁO COMPOSTA — CONECTIVOS A partir de proposicñes dadas podemos construir novas proposic&s mediante o emprego de dois simbolos lógicos chamados conectivos: conectivo / (lé-se: e) e o conectivo V (lérse: ou). 5. Conectivo / colocando o conectivo / entre duas proposicñes p e q, obtemos urna nova proposicáo, p / q, denominada can/ uncáa das sentencas p e q. Exemp/ os 19) p: 2 > 0 q: 2 f1 p/ q: 2>0 e 2=fi1 2.°) n: —2<-I q: l-2)’<(-1l‘ pAq: —2<—1 e i—2)‘<l—1)’ 39) p: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a q: um quadrado de lado a tem área a’ p / q: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a e área a2. 49) p: 2 I 5 (2 é divisor de 5) q: 3i5 (3 é divisor de 5) p / q:2I5 e 3i5 (2 e 3 sáodivisores de 5). 6. Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de uma coniuncáo a partir dos valores lógicos (oonhecidos) das proposicñes D e Clï 3-A
  8. 8. A oonjuncío p A q é verdadeira se p e q sin ambas vudadnim; se ao menos unn delas for false, envio p A q 6 falsa. Este criterio está resumido na tabela ao lado, onde s50 eXaminadas todas as possibilidades para p e q. Esta tabela é denominada tabela-ver- dade da proposicño p / q. Reexaminando os exemplos anteriores, temos: 19) p é V e q é V, entáo p / q é V 29) p é V e q é F, entzïo p / q e F 39) p é F e q e’ V, ent'a'o p / q é F 4'? ) p é F e q é F, entao p / q é F 7. Conectivo V colocando o oonectlvo V entre duas proposicñes p e q, obtemos uma nova proposicáo, p V q, denominada disjuncáu das sentencas p e q, Exemp/ as 1.”) p:5>0 q:5>l pVq:5>0 ou 5>1 29) p:3=3 qz3<3 pVq: 3<3 39) p: 10 é número primo q: 10 é número oomposto p V q: 10 é número primo ou número composto 49) p: 3‘ < 2° q: 2’ < l-Cl)’ pV q: 3‘<2‘ ou 2’< (-3)‘ L-A 8. Vamos postular um criterio para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjuncáo a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposícñes p e q: A disjuneío p V q 6 verdadeira se ao monos uma das pro- posicñes p ou q a verdadeira; se p e q s50 ambas fel- sus, entíio p V q é falsa. Este criterio está resumido na tabela ao lado, denominada tabela- -verdade da proposicio p V q. Revendo os exemplos anteriores, temos: 19) p é V e q é V, entio p V q e V 29) pé Veqé F, antáopvqé V 3?) p é F e q é V, entáo p / q é V 49) p é F e q é F, entño p V q é F exencïcio AJ Classilicar em verdedeirl ou falsa cada uma das sequintei prnposicñes oornpostmr‘ a) 3>1 e 4>2 b)3>1 ou 3:1 c) 214 ou 2mm) d) 3l5+2)=3-5+3-2 e 3I7 1 3 _ — 511 e) 2 < 4 ou ) n l—| )6=-l e 2‘<i—2i’ g)/16:6 ou mdcl4,7):2 IV. CONDICIONAIS Ainda a partir de proposicñes dadas podemos construir novas proposicñes através do emprego de outros dois simbolos lógicos chamados condicionais: c condicional se antic (símbolo: ->) e o condicional se e somente se (simbolo: <—>) 5—A
  9. 9. 9' c°"d¡°¡°"a' —' 11. Condicional +—> Colocando o condicional -> entre duas proposicñes p e q, obtemos cokmando o mndmonai 4.. entre duas proposicñes p e q, obtemos uma nova pronosicáo. p a q, que se lé: "se n emáo a", “n é wndicáo “m, nova proposicio, p<—>q, que se ie; "p se e somente se q”, "p é condi- “¿Cessihia Para ‘fr "q é °°"d¡95° wficiente pa” p": cio neoessária e suficiente para q", "q é condicáo necessária e suficiente Exemp/ as r para p” ou "se p entáo q e recíprocamente". 19) p: 2 l 4 ‘ 5"9”’P/ °5 ‘l: 4'12 19) p: 2I12 p»q:2)4«>4)12 q:2_7|1z_7 29) pj1Ü:5-2 p4——>qI 2I12«—>2-7I12.7 q: 3 I 10 3 6 p—>q:10=5-2—>3)10 29) plï= ï 39) p:5<2 q:3_4*6'2 q: 2 E Z 3 6 P->q:5<2—>2€Z vHq; =7‘->3'4*5'2 49) p: 7 S 3 o _ q;3=6_2 3.) p.6=12.3 °"q‘7<3”3‘6'2 p4—>Q2G=12:3<—>3-6:18 49) p: 4 S 3 10. Vamos postular um criterio de classificacao para a proposicáo p —> q q¿ 4. 5 g 3 . 5 baseado nos valores lógicos de p e q: p h, q; 4 < 3 . _. 4 . 5 < 3 . 5 0 condicional p —> q á falso somente quando p é ver- 12. V t I d' ' I o 'nte crité ¡o de clas- dndein e q é talsa; caso contrñrio, p —> q s verdadeiro. amos p“ u ar para o con mona p h’ q segui r sificacáo: E519 CFÍEÉÜO está FGSUWMO "a E Q P-Hl 0 condicional <—> é verdedeiro somente quando p e “b? ” 3° “d”: d9"°ml"ada ‘3b°""’°" q sin ambas verdadeiras ou ambas falsas: se isso nio a- dada da D"°P°5¡C5° D -> <1 x z x contener o condicional <-> é lalso. F V V F F V Assim, a tabeIa-verdade da pro- Revendo os exemplos dados, temos; posmgo p . _, q é a que está a0 lado, 19) péveqé V, ent'a'o p->qéV 2?) pé Veqé F, entáo p—>aéF 39) péFeqé V, entEo paqev 4.°) péFeqéF, entáo p-rqév 6-A 7-A
  10. 10. Revendo us exemplos dados, temos: Exemp/ os 19) p é V e q é V. entïo n +-> <1 é V 19) (p/ Mp) » iqv p) é gma tautologia pois 2.°) p e’ V e q é F, antic p <—> q é F 3P) p é F e q é V, entáo p <-> q é F 49) p é F e q é F, antic p <—> q é V Exzncfclos AJ Clasificar am vurdadaira ou falta cada uma du proponicñet nbaixo a)2-1=1-> 5+7=3-4 b)z’=4 «—> i—2)'=4 c)5+7-1-10 ->3-3-9 d) mdcil, 6)=1 <—> Aénúrmro primo n)2|B -> mmc(2,B)=2 t) 642 4—> 6—2>0 3 2 __ o)5<7—>37-2 A5 Admltlndo que p o q ¡So verdadeíras e r 6 Ialu, determina o valor (V ou F) du cada proposicio abalxu. n) p -> r b) p e» q c) r —> p d) (pV r) <—> q a) p -> (a -> r) f) p-Hqv r) a) «ns-vw h) Np <-> r 14. Soja f uma praposicío formada a partir de outros (p, q, r, .. .). mediante emprego de eonectivos (Vou/ ) ou de modificador (u) ou de condícionais (—> ou <—>). Dizamos que f á uma pmposicfio logicamente falsa quando f tem o valor lógico F (falsa) índapendentemente dos valores lógicos de p, q, etc. Assim, a tabelu-verdade de uma proposicio logicamente falsa f apresunta só F na coluna de i. VI. PROPOSICOES LOGICAMENTE FALSAS V. TAUTO LOG lAS Exemplos 13. Seja v uma proposicán formada a partir de outras (P. q. r, .. .), mediante emprego de oonectivas (Vou/ ) ou de modificador (N) ou de condicionais (—> ou <—>). Dizemos que v é uma ¡auto/ egin ou grupos/ cio logicamente mundo v tem o valor lógico V iverdadeira) índependentemente dos valores lógicos de p, q, em 19) p / «p é proposicáo logicamente falsa pois: Assim a Íflbflifl-Vzïdfldfi de uma tautologia v apresenta só V na coluna de v. B-A 9-A
  11. 11. 29) lp Vwq) <—> («p/ Mil a «p «q DVNQ «¡Ma iDV"’q)<—->(Np/ q) -n-n<< n ""<'“< T F F V F F V F V <<"'l7’| ‘P111711 Vll. RELACÁO DE IMPLICACÁO 15. Dadas as proposieñes p e q, dizemos que tabela de p e q n50 ocorre VF em nenhuma Irnha, ¡sto é, quando nao temos simultaneamente p verdadeira e q falsa. Quando p implica q, indicamos p >q, 16. Ohservacñes 1?) 2€’) Notemos que p implica q quandoocondicional paq éverdadeiro, Toda teorema é uma implicacáo da forma hupótese a tese higótcse ser verdageira e a mi: {alía 17. Exemplos 19) significa dizer que o condicional 2i442i4-5 4- 5" e’ verdadeiro, 29) quer dizer que o condicional I, . . . p e pOSIIIVO e primo s mdc (P. P1) = p "se p é número primo e positivo, entáo o máximo divisor comum de p e p’ é p", é verdadeiro. 1 O-A "se 2 é divisor de 4, entáo 2 é divisor de "p implica q” quando na VIII. RELACÁO DE EQUIVALÉNCIA 18. Dadas as proposicóes p e q, dizemos que "p é equivalente a q" quando p e q tém tabelas-verdades iguais, ¡sto é, quando p e q tém sempre o mesmo valor lógico. Quando p é equivalente a q, indicamos: p ca q. 19. Observacñes l? ) Notemos que p equivale a q quando o condicional p e» q é verdadeiro. 2€’) Todo teorema, cujo recíproco também e’ verdadeiro, é uma equivalencia hipotese e: (ese 20. Exemplqs 19) 1p >q) = > (Nqawp) 29) 2i8 sv> mdc (2, B) = 2 significa dizer que é verdadeiro o bi- condicional "2 é divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de 2 e 8 é 2". Exencfclo ' A15 Verificar, através das tabelasverdades, a validada das equivalencias abaixo: a) da ccnjuncáo b) da dis| unc5o p/ q<áq/ p pvaa= avo (pAq)/ y= >p/ (q/ r) (DVG)/ r<= >pV(q/ r) pAp= >p DVDQP p/ v<= >p pVv<= >v p/ Hear pVr<= >p 11-A
  12. 12. c) da conjuncío relativamente á disjunoáo d) da negacáo p/ (qVrl<= >lv/ qlV1n/ r) «lA-pl <= > D DV(q/ r) = ÍPVqlAlDVr) NÍpAQl 4=> NpV-vq nAlpVql = p «level <= «pA-«q uvlnAql <= p onde p, q, r sáo proposicñes quaisquer, v e’ uma tautnlogia e f ume praposicío logicamente falsa, IX. SENTENCAS ABERTAS, QUANTIFICADORES 21. Há expressñes como: a) x + 1 7 b) x > 2 c) x3 = 2x’ que contém variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor atribuido á variável. Nos exemplos citados temos: al x + 1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer cutre valor dado a x; b) x > 2 é verdadeira, por exemplo, para c) x’ = 2x’ é verdadeira se lrocarmos x por O (03: 2 - 0’) ou 2 l2’= 2 - 2‘) e é falsa para qualquer outro valor dado a x. 22. Sentencas que oontám variávais s50 chamadas funcñes praposícíanaís ou sentenpas aberms. Tais sentencas n50 s50 proposicñes pois seu valor lógico 1V ou F) é discutível, dependem do valor dado ás variáveis. Ha‘, entretanto, duas maneiras de transformar sentengas abertas em pro- posicóes: 1?) atribuir valor ás variáveis 2?) utilizar quantifimdores. 23. O wantificador universal 0 quantificador universal, usado para transformar sentencas abertas em proposicñes, é indicado pela simbolo V que se lé: "qualquer que seia", "para todo", "para cada") 12-A Exemp/ ns 19) (VxHx +1 = 7) que se le; “qualquer que seja o número x, temos x + 1 — 7". (Falsa) 29) (Vx)(x3 = 2x2) que se lé: “para todo número x, x’ = 2x2”. (Falsa) 39) (value +1)’ = a? + 2a + 1) que se le: "qualquer que seja o número a, temos [a + 1)] = al + 2a + 1". (Verdadeiral 49) (Vy)(y¡ +1 > 0) que se le: “para todo número y, temos y‘ +1 positivo". (Verdadeira) 24. 0 qiantificador existencial O quantificador existencial é indicado pelo simbolo 3 que se Ié: "existe", u u "existe pelo menos um , existe um". Exemp/ os 19) (3 ¡Mx +1 = 7) que se lé: "existe um número x tal que x + 1 = 7". (Verdadeiral 29) (a xHx’ = 2x‘) que se lé: "existe um número x tal que x3 = 2x“. (Verdadeira) 39) laalla’ + 1 á O) que se lé: "existe um número a tal que a’ + 1 é n50 positivo". (Falsa). 49) (3Im)(m(m + 1) 9*”- m’ + m) que se le‘: “existe pelo menos um número m tal que mlm + 1) ¡t m’ + m". (Falsa) 25. Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: 3) que se lé: "existe um único, "existe um e um só", "existe só um". Example: 19) (3lx)(x +1 = 7) que se Ié: "existe um só número x tal que x + 1 = 7". (Verdadeira) 29) (3|x)(x3=2x’) que se lé: “existe um só número x tal que x’: 2x“ (Falsa) 39) lfllxHx + 2 > 3) que se Ié: "existe um só número x tal que x + 2 > 3". (Falsa) 1 3-A
  13. 13. Exsncnblo AJ Trensfnrme as seguintex sentencias abertas em proposicües verdadoiras usando quan- tificadores: al x’ A 5x + 4 : o C)L+L¿L dlvmi+9afim+3 3 4 7 e) >(-x)= x n5a+4<11 2 g)/ x7=x ¡’a = a-1 b)(a+1)(a-1)= a2-1 X. COMO NEGAR PROPOSICÓES Já vimos o que é a negacáo de uma prupasicio simples, no item II deste capítulo. Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercício A.6, os quais cons- tituem processes para negar proposicñes compostas e condicionais. 26. Negaciío de uma eonjuncio Tendo em vista que wlp / q) c: Np V Nq, podemos estabelecer que a negacño de p / q é a proposicáo mpV wq. Example: 19) p: a i 0 q: b si 0 p/ q: aaEO e b#0 »u(p/ q): a=0 ou, b=0 29) p: 2l4 q: 3|9 p/ q: 2|4 e 3l9 . ,(p/ C| ): 2X4 ou 3X9 27. Negacío de uma disjuncïo Tendo em vista que wlp V q) <= > (wn / «el, podemos estabelecev que a negaczïo de p V q é a proposicáo wp A «q. 14-A Exemp/ os 19) p: o triángulo ABC e’ isósceles q: o triángulo ABC é equilátero p V q: o triángulo ABC é isósoeles ou equilátero Nlp V q): o triángulo ABC n50 é isósceles e n50 é equilátero 29) a 0 b=0 PVCII a=0 ou b=0 wlpVqlz a= FO e b#=0 p: q: 28. Negaqño de um condicional simples Já que NlP -> q) = > P A NQ. podemos estataelecar que a negacáo de p -+ q é a proposicáo p Awq. Exemp/ ox l? ) p: 262 q: 260 pal]! 2€Z—>2€Ü N(p—>q):2€Z e zéo 29) p: 5’= l—5l2 q: 5 = -5 p-bq: 5’= (—5)*. .5=—5 «lp-val: 5’= («5)’ e sae-s 29. Negacáo de proposicñes quantificadas a) Uma sentenca quantificada com o quantiíicador universal, do tipo (VxHplXH, é negada assirn: substitui-se o quantificador pelo existencial e nega-se p(x), obtendo: (ElxHNplxH. Example: 19) sentenca: (vxHx + 3 e 5) nesecita: laxllx + 3 # 5) 2'? ) sentenca: (vx)(x(x + 1) = x’ + x) negacáo: (axllxlx + 1) ae x’ + xl 15-A
  14. 14. 39) sentenca: (VXHV x1 + 1 = x + 1) negacáo: (Sxllv x7 +1 # x + 1) 49) sentenea: Todo losango é um quadrado negacáo: Existe um losango que n50 é quadrado b) Uma sentenca quantificada com o quantificador existencial, do tipo (Elx)(plx)), é negada assim: substitui-se o quantificador pelo universal e nega-se plx), obtendo: lVxHNPlxn. Exemplas 19) sentenca: laxHx = x) negacáo: (VxHx a5 x) 29) sentenca: (3 a)(a + l > l) 2 3 negacáoz" (VaHa + ; — < %) 39) sentenca: (3a)(: —ER) negacío: (Va)(% É R) ExERcfcIo A.1! Dizer quel 6 e negecáo de cede proposicñe abaixo: a) mdc (2, 3) = l ou mmc (2, 3) #6 b)? n — ou 3-10556-5 gl lVxNx > 2 a 3‘ >32) h) (am/ Í < o i) Todo número intelro primo 6 Impar i) Todo triángulo isósoeles é equilátero k) Existe um ¡mango que n50 6 quadrado l) Existe um número cuja raiz quadrada é zero m) Todo triangulo que tem trés ángulos congruentes. tem trñs lado: congruente: A.9 Classilir em V uu F as negaióes construidas no exerciciu anterior. 1 6-A
  15. 15. Criado um novo paraíso Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando a maior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristáos de ascendéncia judia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da Teologia medieval. Estudou em Zürich, Güttingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, Física e Matemática. Possuindo grande imaginaqsïo, em 1867 obteve seu doutoramento em Berlim, com uma tese sobre Teoria dos Números. Muito atraído pela Análise, sua preocupacáo estava voltada para a idéia de “infinito", que ate 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemá- tica mas sem se chegar a uma conclusáo precisa. Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionario artigo que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar: haviareconhecido a proprie- dade fundamental dos coniuntos infinitos e, ao contrario de Dedekind, percebeu que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarqula destes coniuntos conforme suas potencias. Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a m ma poténcia que o dos ¡nteiros positivos pois, podem ser postos em corresponden ¡a biunivoca; provou que o conjunto de todas as fracñes é contável ou enumerável e que a po» tencia do conjunto dos puntos de um segmento de reta unitario é igual a potencia do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitario. Alguns destes resultados eram tio paradoxais que o própio Cantor, certa vez escrevendo a Dedekind, disse: "Eu veio isso, mas n50 acredita”. e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstracáo. Seus incrfveis resultados levaram ao esta belecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática comple- tamente desenvolvida, de profundos eleitos no ensino. Os matemáticos da época duvidavam da teoria da infinidade completa de Cantor, mas este, juntando as provas, construiu toda uma aritmética transfinita. Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle, de pouca importancia, nunca conseguindo realizar uma de suas grandes aspiracües que era a de ser professor na Universidade de Berlim, devido a perseguicao de Kronecker. 0 reconhecimento de suas realizacñes mereceram a exclamacao de Hilbert: "Nin- 59079 F- L- P- Gamo’ guém nos expulsará do paraiso que Cantor 11845 v 1918) criou para nós". CAPÍTULO 11 CONJUNTOS Faremos aqui uma revisao das principais nogñes da teoria dos coniuntos, naquilo que importa a Matemática Elementar. Em seguida usaremos estas nooñes para apresentar os principais conjuntos de números. l. CONJUNTO. ELEMENTO. PERTINÉNCIA 30. Na teoria dos conjuntos tres noeóes s50 aceites sem definieáo, ¡sto é, sao consideradas nocñes primitivas: ' a) conjunto b) elemento C) pertinencia entre elemento e conjunto A nocáo matemática de coniunto e praticamente a mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, colncáo, sistema. Eis alguns exemplos: 1) conjunto das vogais 2) coniunto dos algarismos romanos 3) coniunto dos números impares positivos 4) conjunto dos planetas do sistema solar 5) conjunto dos números primos positivos 6) conjunto dos naipes das cartas de um baralho 7) ooniunto dos nomes dos meses de 31 dias ’ Cada membro ou obieto que entra na formacáo do conjunto é chamado elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos: 1) a, e, i, o, u 2) l, V, X, L, C, D, M 3) l, 3, 5, 7, 9, 11, 4) Mercúrio, Venus, Terra, Marte, 5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 6) paus, ouro, copas, espada 7) janeiro, marco, maio, julho, agosto, outubro, dezembro 19-A
  16. 16. No exemplo 3, cada número ¡’mpar é elemento do conjunto dos números impares, ¡sto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao coniunto dos números lmpares e 2 nio pertence. Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome, etc. É importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por exempo o conjunto das selagñes gue disEutam um campeonato mundial ge futabol á um con'unto formado por equipes que, por sua vu, sio conjuntos de iogadores. 31. indicarnos um conjunto, em gerel, com uma letra maiúscula A, B, C, a um elemento com urna letra minúscula a, b, c, d, x, y, . Seiam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao ocniunto A, esorevemos xEA Para indicar que x nio e elemento do conjunto A etcrevemos x é A 32. É habitual representar um oonjun- to pelos pontos interiores a uma Iinhn fechada e nio entrelacada. Assim, na representado eo lado temos: a€A, b€A e dséA. od No caso de usarmos um círculo A para representar um conjunto, estaremos usando os ¡ssim ahumado diagrama de l Euler-Vann. od Il. DESCRICÁO DE UM CONJUNTO Utilizamos dais recursos principais para descrever um conjunto e seus elementos: enumeramos (alternos, escravemos) os elementos do conjunto ou damos uma propriedade característica dos elementos do coniunto. ZO-A a3. Quando um coniunto é dado pela enumeracño de seus elementos devemos indicá-lo eswevendo seus elementos entre chaves. Exemp/ as 1) conjunto das vogaís {a, e, i, o, u} 2) conjunto dos algarismos romanos {L V, X, L, C, D, M} 3) coniunto dos nomes de meses de 31 dias {¡aneiro, marco, maio, julho, agosto, outubro, dezembrc} Esta notacio também é empregada quando o ooniunto é infinito: escrevemos alguns elementos que evidenciem a lei de farmacia e em seguida colocamos reticéncias. Examp/ as 1) coniuntc dos números ímpares positivos l1.3.5.7.9.11.13,-u} 2) Qmjunto dos números primos positivos {2, 3, 6, 7, 11, 13, . ..} 3) ooniunto dos múltiplos ínteiros de 3 {0, 3, -3, 6, -6, 9, -9. . ..] A mesma notacso também e’ empragada quando o conjunto é finito com grande numero de elementos: escrevamos os elementos iniciais, colocamos re- ticéncias e indicamos o último elemento. Exemplas 1) coniunto dos números lnteiros de O a 500 {0, 1, 2, 3, . .., 500} 2) conjunto dos divisores positivos de 100 {L 2, 5,10, , 100} 34. (Mando queremos descrever um conjunto A por meio de uma proprieda. tk caracteristica P de seus elementos x, escrevemos A = {x l x tem a propriedade P] e Iemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P". Z1—A
  17. 17. Exemp/ as 1){x| x é estado da regiáo sul do Brasil) é uma maneíra de indicar o conjunto: (Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul} 2) {x l x é divisor ¡nteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto: {1-‘1131-3} 3) {x I x é inteiro e 0 < x S 500} pode também ser indicado por: {0, 1, 2, 3, 500} “lll. CONJUNTO UNITÁRIO. CONJUNTO VAZIO 35. Definiqio Chama-se conjunta unítário aquele que possui um único elemento. Exemp/ as 1) conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: (1) 2) conjunto das solucñes da equacáo 3x + 1 = 10: {3} 3) conjunto dos estados brasileiros que fazsm fronteira oom o Uruguai: {Rio Grande do Sul} 36. Definicño Chamavse conjunto vazio aquele que n50 possui elemento algum. 0 simbolo usual para o conjunto vazio é Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto através de ‘ima propriedade P logicamente falsa. Exemp/ os 1){xlx#x}= fi 2){xlx éimparemúltiplo de 2]>= Ó 3){xIx>0 e x<o}= Q5 22-A lV. CONJUNTO — UNWERSO 37. Quando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos a existencia de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunta universo. Assim, se procuramos as solucóes reais de uma equacáo, nosso conjunto- universo e’ IR (conjunto dos números reais); se estamos resoivendo um problema cuja solucáu vai ser um número inteiro, nosso conjunto-universo é Z (conjunto dos números inteiros); se estamos resolviendo um problema de Geometría Plana, nossa conjunto-universo é um certo plano u. 38. Ouase sempre a resposta para algumas questñes depende do universo U em que estamos trabalhando. Consideremos a questño: "qual é o conjunto dos puntos P que ficam a igual distancia de doís pontos dados A e B, sendo A :5 B? " ÍISe U é a reta AB, o con- junto procurado é formado s6 por P; 2) Se U e’ um plano contando A e B, o conjunto procurado é a reta mediatriz do segmento AB; 3) Se U é o espaco, o conjunto procurado é o plano mediador do segmen- to AB (plano perpendicular a AB no seu pomo mádio). 39. Portanto, quando vamos descrever um conjunto A através de uma propriedade P, é essencial fixarmos o coniunto-universo U em que estamos uabalhando, escrevendo A = {x E U | x tem a propriedade P} 23-A
  18. 18. Exenciones A.10 A11 A12 A13 A.14 A15 24—A De os elementos dos seguintes aoniuntos: A = x i x e letra da palavra "metemática"} B - x I x e oor da bandoira brasileira] C = x i x é nome de estado que comeca oom "a"} Solucio A = im. a, t. e, i. c} B e {brancm azul, amarelo, verde) C = amazonas, amapá, acre, alagoas} Descreva atraves de urna propriedade caracteristiu dos elementos cada um dos conjuntos seguimos: A = io, 2, 4, 6, e, .. .} e . - o, 1, 2, 9} c = {b1esflie, rio de ianeiro, salvador} Solucio A - x ix e inteiro, par e nio negativo} B x {x i K e algerismo arábico} c = x I x a nome de Cidade que ¡a foi capiml do eram} Escreve com simbolos: a) ooniunto dos múltiplos ¡nteiros de 3, Intro -1o e +10 b) conjunto dos divisores intairos de 42 c) conjunto dos múltiplos inteirm de 0 d) conjunto des íracóes com numerador e denominador oompreendidos entre 0 e 3 el coniunto dos nomes des cepiteis da regiño centro-oeste da Brasil Deeaova por meio de urna propriedade dos elementos A = (+1, .1, +2, —2, +3, —3, +5, —s) e = {o, —1o, -2o, —3o, —4o. u. ) c — (1, 4, 9, 15, 25, as, VAI} o = (Lua) Ouais dos conjuntos ebeixo s50 unitarios? An{xix<% e x>%} C-(xix6¡nreiroex2=3} D7{xi2x*1=7} e = {xIo-x-2} üuai: dot coniuntos abaixo ¡io vaziosï A = {xlo - x z o} B= {x| x>%e x<%} c = {x Ix s divisor a. zero) D = {x i x e divisÍvaI por zero} CONJUNTOS IGUAIS Definicáo Dois conjuntos A e B sao iguais quando todo elemento de A pertence e, recíprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em simbolos: A Bs--l’v‘x)(x€A<= xEB) Exemp/ os 1) {a, b, c, d}: (d, c, b, a} 2) {L 3, 5, 7, 9, = ix i x é inteiro, positivo e (rnpar) 3){xI2x+1= 5}: {2} Observemos que na definicáo de igualdada entre conjuntos n50 intervém a nacio de ordem entre os elementos, portanto: ‘ia, b, C, d} = id. c, b, a} = {b, a, c, d} Observemos ainda que a repeticio de um elemento na descricáb de um ooniunto é algo absolutamente inútil pois, por exemplo: la, b, c, d} = la, a, b. b. b, c, d, u, a, a} (para conferir basta usar a definicio). Assim, preferimos sempre a notacáo mais simples. Se A náo e igual a B, escrevemos A s6 B. É evidente que A é dife- rente da B se existe um elemento de A nan pertencente a B ou existe em B um elemento nao pertencente a A. Exemplo ia. b, d} :5 {a, b, c, d} 25-A
  19. 19. 44. Vimos anteriormente o concelto de ígualdade de conjuntos: A= Be= vlvxflxéAíxEBl Vl. SUBCONJUNTO A _ _ Nesta definioáo está explícito que todo elemento de A é elemento de 42' Damm B e vice-versa, ¡sto é, A C B e B C A, portanto, podemos escrever: Um conjunto A é subconiunto A = B ‘á (A C B e B C A)‘ de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. Com a notacáo A C B indicamos que "A é subconjunto de B" ou "A está comido em B" ou "A é parte de B". _. .._, ,.-. . 7T. _. .____. _.. .__ . .--»—* — v e». «re-sz assim, para_¿: r_o_yarmos que A = B ¡devemos provar que A C B e B C A 45. Propriedades da inclusio Sendo A, B e C trés conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades: 1?) SÓCA O símbolo C é denominado sina/ de ínclusáa. 2a. ‘) A C A (reflexiva) 3?) (A C B e B C Al a A = B (anti-simétrica) 4?) (A C B e B C C) = > A C C ltransitiva) A demonstrack dessas propríedades é ímediata com excecño da 1? que 2 E E . . A C B (Vxnx A á x B’ passamos a provar. Para todo x, a lmpllcacáo x€Q= xEA Em símbolos, a definicío fica assim: Exemp/ os é verdadeira é falsa. Entáo or defíni 5o de subconhnto, <_ A. 1) u, b} c (a, b, c, d] 2l {a} C (a, b} 3) u‘ b} C {m b} 4G. Coniunto das partes 4) (X I x é ¡meno e par} C {x I X é mmm} Dado um conjunto A chema-se conjunto das partes de A — notacáo (A) - aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Em símbolos: 43. Quando A C B, também podemos ¿fl/ Ü = {X ' X ‘fl- A} escrever B D A que se ¡e "B contém A". Exemp/ os 1.°) Se A = {a} os elementos defllA) s50 (Ó e {a}, ¡sto e’: (9%) = M. {al} 29) Se A = {a, b} os elementos de QÏA) s50 Ó, {a}, {b} e {a, b}, ¡sto é: Com a notacáo A í B indicamos que "A n50 está oontido em B", ¡sto é, a negacáo de A C B. film = {(3, (a). {b}. {a, un 39) Se A = (a, b, c} os elementos deqlAl sio (Ó, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c} {b, c) e {a, b, c}, ¡sto é: film = m, {a}, m. {c}, la. b}. n». c}, {c. a}, u, b. cl} Provaremos mais adiante (capítulo llll que se A é um coniunto finito com n elementos, enláofllAl tem 2" elementos. É evidente que A (Z B somente se existe ao menos um elemento de A que n50 pertence a B. Assim, por exemplo, temos: l) {a, b, c} {Í {l}, c, d, e} 2) (a, b} gl (c, d, e) 3) {x l x é inteiro e par} fi (xl x é ínteíro e primo} 254‘ 27—A
  20. 20. ExEHcícIos A.16 Dados A e h, 2, 3, 4} e e : {2, a}, pede-se: al escrever com os slmbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentencas: 1%‘) 3 e elemento de A 2?) 1 nao está em B 3'? ) B é parte de A 4?) B é igual a A si’) 4 pertence a B b) clasificar as sentenoas anteriores em falsa ou verdadeira. Solupin 1?) 36A (v) 2?) iíe (v) 3€‘) BLA (v) 4?) B= A (F) s? ) 4GB (v) 'A.17 Sendo A: suzle: ,2,3}, c, {n14} e o: m2, 3,4), classlficar em V ou F cada sentenca abaixo e iustilicar: alACD blACB c)BCC «no33 e)C—D nAsZc Solucio a) v Dols lCA,1FD,2EA e 26o b)F DOIS IEA e ‘lÉB u) F pois zce e 2<Zc d) v no»: 2CB,2CD,3Ce e 3CÍD e) r Bons 26o e zsíc v) v m»; 26A c zéác AJO Ouais das igusldades eheixo 5% verdadeiras? a) ¡a, a,a, b,b) {a, b) b) lxlfi-o) lxlmeo e x3»4x=0) c)[xl2x+7=11}-{2) d)¡xlx<0 e x20} {Z5 A.19 Dizer se e verdadeira (v) ou lnlse (F) cada uma das semanas: abaixo. a] o€{o, 1,2, 3,4) n ac{a, {a}} b) ta} E la, b) e) {a} C la. 16)) cl 935 lo) m {DC {(6, M) u) 06(2) _ i) ÓEMZ), {al} e) {HCÓ l) {a, b}€{a. b,c, d) A10 Fazer um diagrama de Venn que simboliza a sltuecáa seguinte: A, B, C, D sáo coniun- tos n50 vanos, D C C C E <7 A. A11 Construir o conjunto das partes do conjunto A = {a, b, c, d). 28-A Vll. REUNIÁO DE CONJUNTOS 47. Definicío Dados dois conjuntos A e B, chema-se reuníáa de A e B o coniunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. AUB= {xlxEA ou x68 0 conjunto A U B (le-se "A reunifio B" ou "A u B") é formado pelos elementos que pertencem a pelo ‘ menos um dos conjuntos A e B. Notemos que x é elemento de A U B se ocorrer ao menos uma das condicóes seguintes: B xEA ou xEB. ® Exemplos 1) lia, b} u le, d} = (a, b, c, d} 2) la, b} u la, b, c, d) = ta, b, c, d} 3) la, b, c}U {c, d, e) = 1a, b, c, d, e} 4)-}a, b, c)UQ= {a, b,c} SHZSUQS= Q5 48. Propriedades da reunitïo Sendo A, B e C coniuntos quaísquer, valem as seguintes propriedades: la. ) A U A = A Íidempotente) 2?) A U Q) = A (elemento neutro) 3'? ) A L) B = B U A (comutatíva) 4?) (A U B) U C = A U (B U C) lassociativa) Demonstracáo Fazendo A = {x l x tem a propriedade p) ou, simplesmente A = ix l plxl} e, ainda: B = {x| q(x)}, C = {xl r(x)} e Q) = lx | flxl} onde f é proposicáo logicamente falsa, temos: AU A: lxlplx) ou plxl] = {xIplxH = A Analogamente, as demais decorrem das prooriedades das proposicñes vistas no exercfclo A.6. 29-A
  21. 21. VIII. INTERSECCÁO DE CONJUNTOS 49. Dofinipio Dados dois conjuntos A e B, chema-se ÍUWÏÑECFÉ-O de A e B o con- junto formada pelos elementos que pertenoem a A e a B. AñB= {xIx€-A e XEB) 0 conjunto A u’) B (le-se “A inter B”) é formado pelos elementos me pertenoem aos dois conjuntos (A e B) simultaneamente. Se x e A ñ B, ¡sto significa que x pertence a A e também x pertence a B. 0 conectivo e colocado entre duas oonclicñes significa que elas devem ser obedecidas ao mesma tempo. GD, 51. n'unt ' unt Quando A ñ B = (b, ¡sto é, quando os conjuntos A e B n50 tém elemento comum, A e B sin denominados can/ urnas dísiuntos. lX. PROPRIEDADES 52. Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que inter-relacionam a reuniáo e a interseocáo de ooniuntos: 1?) AU(AñB)= A 2?) An(Aue)= A 33;) Au(enc)= (Aus)n(Auc) (distributiva da reunieïo em relacáo á interseccio) 49) Añ(BUC)= (AñB)U(AñC) (dístributiva da interseocáo em relacio á reuniáo). Dernonstremos, por exemplo, a 13. e a 3?: A U lA 0 B) = {x l Dlxl V lplx) / qlxH} = (xl (p(x)l} = A A u (B n c) = {x l Dlxl V (qlx) A r(x))} = {x I (olx) V qlxn A (olx) V rlxll] = = {xlplxl vam} n {xlplxl v rw} = (A u e) n (A u c) 50. Exemp/ as 1) {a, b, c}n (b, c, a, e} = {b, c) 2) {a, b) ñ La, b, c, d} = {a, b] 3) (a, b, c} n {a, b, c} = (a, b, c} 4) {a, b}n{c, d]= o 5) (a. b) m? ) = c5 Propriadados da intentalo Sendo A, B e C ooniuntos quaisquer, valem as saeguintes propriedades: l? ) A ñ A A (idempotente) 2?) A f) U = A (elemento neutro) 3?) A Ñ B = B f) A (comutativa) 4?) A F1 (B ñ C) = (A ñ B) ñ C (associatival Como mostramos para a operacáo de reuniño, estas propriedades 55o também demonstráveis com auxflio do exercício A. G. IFA EXEBCIÏZIOS A12 A13 Dedos os coniuntes A = la. h, c}, B = {m d} e c = {a e], determinar AUB, AUQBUC e AUBUC. Provar que A C (A U a), V A. Solugit: x€A= > xEA ou xEB á uma irnplimcáo verdadeira, V‘ x, portanto: A C (A U B) A14 Classificar em V ou F: nficmua) bliAUalCA clAelAUs) dl(AUB)C(AUB) uecmua) l)(AUB)ClAUBUC) A35 admitindo que A, B e C sin conjuntos quaiaquar. Determinar a reuniso do: círculoa de reio r, comidas num pleno ot e que tem um ponte mmum 0 Ea, 31 -A
  22. 22. A26 A27 A.2B A19 AJO A31 A32 A33 Determinar e reuníáo das rutas de um pleno Cl que s30 paralelos a uma dada reta r de a. Dados os conjuntos A = h, b, c, d], B = {b, c, d, e} e C z {c, 3,1}, pedo-se descrever AÜB, AÑC, BÑC e Anenc. Provar que (A f") B) C A, V‘ A. Solucio xemns): (xEA e xEe)= -> xEA a urna implicado verdadeira, Vx, portanto (A Ñ B) C A. Clessificar em V ou F airócuxñe) eiAciAñm nAGK/ xñe) duAñeiciAnei eliAñelca f)(AÜB)D(AÑEÑC) admitindo que A, B e C sáo conjuntos quaíaquor. Consideremos os ooniuntos: K = conjunta dos quedrilátero: plenos P = (x e K Íx tem lados 2 a 2 paralelos) L _— {x e Klx tem 4 lados cangruentas} Fl - (x E K Í x tem 4 ángulos retos} Q = {x E K lx tam 2 lados paralelo: e 2 ángulo! retot) Poda-ue determinar en conjuntos: aiLñv clLñn elLño bllïñF mama ÜPUO Dedos o: conjuntos A - (l, 2, 3 , B - {3, 4} e C - {l,2,4}, determinar oconjunto X telque XUB. AUCe XHB= Ó, Soluüo a) X U B = {L 2, 3, 4} antic os posslveis elementos de X sin: 1, 2, 3 e 4. b) xne= z = > aséx e 4EÉX Canclusio x = {1, 2} Determinar o eonlunto X tal que {a, b,c, d}UX= {a, b,c, d,e], {c, d]UX= {a, c,d, e} e {b, c,d}ñx = {c}. Assinelar no diagrama eo lado, um de ceda vez, os seguimos conjuntos: a) Añenc c) Auleñc) b)An(BUc) diAUlsUc X. DIFERENCA DE CONJUNTOS 53. Definicío Dados dois conjuntos A e B, cha- rna-se diferenca entre A e B o con- junto formado pelos elementos de A que nio pertenoem e B. Exemploe l) (a, b, c} — (b, c, d, e} = {a} 2) {a, b, c] — (b, c] = {a} 3) [a, b} — {c, d, e, f} = {a, b} 4) (a, b} - (a, b, c, a, e} = só XI. COMPLEMENTAR DE B EM A 54. Dofinicío Dados dois coniuntos A e B, tais que B C A, chema-se complementar de B em ¡Blasio a A o coniunto A - B, ¡sto é, o conjunto dos elementos de A que nio pertencem a ,3. Com o símbolo Ci ouÁ indicamos o complementar de B em relacño a A. Notemos que c: só é definido para B C A e aí temos:
  23. 23. Exemp/ vs 1) Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, entáo: Ci = (a. b} 2) Se A = {a, b, c, d} = B, entio: B CA ’ ñ 3) Se A = ta, b, c, d} e B = Q, entïío: C: ={a, b,c, d}= A 55. Propriededes da complementado Sendo B e C subconjuntos de A, valem as segunntes propriedades: 1a) Cfinha e CfiuhA 2a) (jpg eCf= A 3a) CAl Ci) ; e 4g, kanc): (‘Seu Ci se» Cir = c: n c2 Provemos, por exemplo, a 2? e a 4€: C: ={x€A| xEA)= Q C? =lxeAlxé@) = A Cflmc’ = {xeA¡xzBnc}= {xeA)xee ou XEC}: ={x€AIxíB)U{xGA| xEC}= Cfiu C2 Exenciones A34 Sejam os conjuntos A -_ {a, n, c, a}, e = {e a, e, r, g} e c = {b, a, e, g}. Determinar : n) A-B c. c) B e) A-(Bfïc) b)B—A dl (A UC)-B f) (AUsl-(A HC) A35 A36 A.37 A39 A40 Provar que (A - B) C A, VA. Solugio Aimplicaqtïo x€lA—e)= >-(xEA e x23) = >xEA é verdadeira para todo x, entño (A — B) C A. Classificar em V au F as sentencias: a) ¡»maga b)(A-B)UIAÜB)= A c) (A-B)CB d)(A-BIC(AUB) edmitindo que A e B sio conjuntos quaisquer, Dados os conjuntos A = f], 2, 3, 4, 5}, 8—-{l,2,4,6,8) e c= {2,4,5,7}, obterumconjuntoxtal que XCA e A-X B . Assinalar no diagrama ao lado. um de ceda vez, os seguimos coniumos: U a) Á-B ua . Provar que A - B = A ñ B onde A e B fio ooniuntos quaisquer elo universo U. ml>l le» )> 235525 ml)) 3D‘C >mm Solueio A ¡mpiicapáo xE (A-ÜÉHEA e xÉBlixEA e x6 B u» 2:» x E A ñ É é verdadeira, Vx, portanto, está provado. Classilioar em V ou F as seguintes sentencias: a) tA-e)ule—A)»—lAua)—tAfie) h)ACa= (Ce)C(CA) c) (A—B)Cl CA) dllA-B)C( Ce) EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES A.41 Descrever os elementos dos conjuntos abeixo: A {xlxï-sx-s = o} B {x Ix é letra da palavra "exercício"] c = {x| x1—9 = o un Zx-l = 9) o : {x)2x +1: o e zxi-x-l = o] E = {x I x e algarismo do número 234 543} l) u 35-A
  24. 24. ¡uz Seja E = {a {d}. Dizerquais das proposicñes abaixo sao verdadeires. ’ A49 Dados dois conjuntos A e E, chema-se diterenca simétrica de A com B econ- a) a? E iunto AAe talque: b) { ; e e daaCE AAB= (A—B)U(B»A) d) {a} C E Fede-se: e) f3 E E a) determinar (a, b, c, d} A le, a, e, r, g} f’ Q C E b) provar que AAG = A, para todo A c) provar que AAA > Ü, para todo A A43 Sejam A e e dois conjuntos finitos. Provar que a) provar que AAe : eAA, para A e e quaisquer “A u B = "A 4 “B _ “A m B_ e) essineler em cada diagrama abaixo o coniunto AAB: 0 simbolo nx representa o número de elementos do conjunto X. A AAA Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estuclem Inglés, 163 estudam Francés e 52 es- tudam ambas as linguas. Cuentos elunos estudam Inglés ou Francés? Cuantos alunos n50 estudam nenhuma das duas? A45 Sendo A, B e C coniuntos finitos, estabelecer ume fórmula para calcular nAUB UC, A50 Desenner um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A B C e D n50 A46 Uma populacáe consume trés marcas de sabio em po: A, B e C. Feite uma pesquisa vam” de m°d° q“ S‘ ¡“ha do mercado, coIherem-se os resultados tabelados abaixo: AZ B, B Z A, C D (A L) B) e o C (A n 9) B e C C e A A, B e C nenhuma das trés númerotle 41 2a H5 consumidores Fede-se : a] número de pessoas consultadas b) número de pessoas que s'o ¿onsomem a marca A c) número de pessoas que nio censomem as marcas A ou C d) número de pessuas que consomem ao menos duas marcas. A47 Determinar os conjuntos A, B e C que satislazem as seguintes seis condicñes: 1.a) AU eu C= )z, x,v, u,t, s,r, q,p} 2a. ) Añ e r {ns} a? ) e n c ts, x] 4a) c ñ A {s, t) 5a) AU c. {p, q,r, s,r, u,v, x} ea) A u e (p, q, r, s, l, x, z} A.48 Em certa comunidade há individuos de trés reyes: branca, pretae amarela. Sabendo que 70% sáb brancos e 210% n50 s50 pretos e 50% sin amarelos, pergunte-se: a) quantos individuos tem a comunidade? b) quantos sin os individuos amerelos? 36-A 37_A
  25. 25. CAPÍTULO 111 CONJUNTOS NUMÉRICOS l. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS 56. Chama-se conjunto dos números naturais — símbolo N — o conjunto forma- do pelos números 0, 1, 2, 3, . .. N = {0,1,2,3,. ..} 57. Neste conjunto s50 definidas duas operacñes fundamentais a adicáo e a mul- tipiicacáo, que apresenlam as seguintes nropriedades: [A. 1 ] associativa da adipáa (a+b)+c= a+(b+c) para todos, a, b, c E N. [A2] samurai/ va da adíczïa a + b = b + a para todos a, b E N. [A3] elemento neutro da adícaïo a + 0 - a para todo a E N [M.1 lassocíativa da mu/ tiy/ ¡cacáa (ab)c = a(bc) para todos a, b. c E N [Mllcomutat/ Va da rnu/ tip/ ícacáa ab = ha para todos a, b E N 39-A
  26. 26. [M3] elemento neutro da multíplicacáa a - 1 = a para todo a E N [D] Distributiva da mulriplicapáa relativamente á adicïo a(b+c)= ab+ac para todos a, b, c E N 58. Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados s50 ampliacñas de N, ¡slo é, oontém N, tém uma adicio e uma multiplicacio com as propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem justamente o motivo determinante da ampliacio. Assim, dado um natural a sé O, o simétrica de a n50 existe em N: -a E N. O resultado disso é que o simbolo a — b nio tam significado am N para todos a, b E N, ¡sta é, em N a subtraáo n'a'o é uma operacáo. Venceremos esta dificuldade introduzindo um novo conjunto numérico. II. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 59. Chema-se conjunto dos números inteiros — simbolo Z - o seguinte conjunto: z = {, .., -3, -2, -1, o, 1, z, 3,. ..} 60. No conjunto l distinguimos trés subconiuntos notáveis: zz. ={o, 1, 2, 3, . ..} = N (chamado conjunto dos inteiros n50 negativos) l_ = (0, -1, -2, -3, (chamado conjunto dos inteiros n50 positivos) l‘ = -3, -2, -1, 1, 2, 3, (chamado conjunto dos inteiros nio nulos) 61. No conjunto Z sic definidas também as operacñes de adicío e multiplicacio que apresentam, além de [A1], [A2], [A3], [M1], [M2], [M3] e D, a proprie- dede: IO-A [A.4] simétrica ou apesta para a adícío Para todo a E l existe -a E Z tal que a +_ (—a) = 0 Devido a propriedade [A4], podemos definir em Z a operado de sub- tracáo, estabelecendo que a - b = a + (— b) para todos a, b e Z- 62. Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada através do seguinte procedimento: a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponte 0 (origen! ) que representa o inteiro 0 (zero) o b) a partir de 0, no sentido positivo, marcamos um segmento unitario u :5 0 cuja extremidade passará a representar o inteiro 1 . “4 > 0 I c) para cada ¡nteiro positivo n, a partir de 0, marcamos um segmento de medida nu no sentido positivo cuja extremídade representará n e marcamos um segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representará o inteiro -n. i O resultado é este: .4 -3 -2 —1 O 1 2 3 4 47 o I o r . a I +——-> U ll u Ll u U U IJ 63. Uma importante nacio que devemos ter sobre números inteiros é o con- caíto de divisor. Dizemos que o inteiro a e’ divisor do ¡nteiro b - simbolo a l b - quando existe um inteiro c tai que ca = b. buv(3c€llC8 b) Exemp/ os M2112 pois 6-2: 2 2) 3i-18 pois (-5)'3 = '13 3) -5 i 20 pois (-4) F5) = 20 4)—21-14 pois 74-2) = —14 5) 4| 0 Duis 0 - 4 = 0 6)0I0 pois1-0=° 41 -A
  27. 27. 64. Quando a é divisor de b dizemos que ”b é divisível por a" ou "b é múltiplo de a". Para um inteiro a qualquer, indicamos com D(a) o conjunto de seus di- WSOFES E 60m Mia) o conjunto de seus múltiplos. Exemp/ os 1) m2) = {1, -1, 2, —2} m2) = io, :2, :4, :5, , _,} 2) Dl-S) = {1, —1. 3, -3} Ml-al = {o, :3, :5, :9, . ..} 3) Dlol = z M(0l = lo} 65. Dizemos que um número inteiro p é primo quando p sé 0, 1 e -1 e Dip) = l1. -1. p. m}. Exemp/ as 2, -2, 3, -3, 5, -5, 7 e -7 s50 primos. EXERCÏCIOS V A51 Guais das proposicüos abaixo sao verdadairas? alOEN bllz-ZIGN ciwCl uluuz__z ell+Ñl_'—Q5 n (»3l1€z_ g) MH-SiE/ Z. h) oez_ i) (5-11l Ez A52 Descrever os seguintes conjuntos: Di6l, Dl-18), D(—24) Ñ D115), MM), M(10l e Mi-9) Ñ M(6), A53 Ouais dos saguintes elementos de Z náo s50 primos: 12, —13, 0, 5, 31, -1, 2, -4, 1, 49 e 53? A54 Sendo a a h dois números inteiros, pergunta-se: Dia) a Dlb) podem ser disiuntos? Que nome se dáaum inteiro m tai qua Dia) ñ Dibl = Dim)? Quando Dia) ñ ou») . — {1,-1}, qualéarelacio existente entre a e n? Em que caso ocorre Mia! C. M(b)7 Em que caso ocorre Mia] Ñ Mibl = Mlab)? Ouenome se dáaunvintairo n tal que Mia) Ñ Mlbl = Mini? 3510-174! A55 Determinar as seguíntes números intairns: al mdcl2, 3) b) mdcl-4, 6) c) mdc(—6,-14) dl mmclZC! ) e) mmc(-4,6) f) mrncl-6,-14) 42-A lll. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 66. Dado um número ínteiro o 3€ 1 e -1, o inverso de q n50 existe em Z: Z. Porisso n50 podemos definir em l a aparecio de divisío, dando significado ao símbolo Vamos superar esta dificuldade introduzindo os núme- ros racionais. 67. Chema-se conjunto dos números racionais— símbolo (D- o conjunto dos pares ordenados (ou fracñes) É, onde a E l a b E l’, para os quais adotam-se as seguintes definicóas: (i) igualdade: %= í <= ad = bc , _ . _ _ a c _ ad + bc (u) adlcao. b + d — bd (iii) multiplicacio: ¿b - %= ü 68. No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos: 0L, = conjunto dos racionais n50 negativos d] = conjunto dos racionais n50 positivos Q” = conjunto dos racionais n50 nulos . . 3 , . . . 69. Na fracao — a eonumeradore b odenomlnador. Se aeb sao b . primos entre si, ¡sto é, se mdcia, b) = 1. dizemos É é urna fracío ¡rredu- tivel Assim as fracñes 3 ge l sáoirredutíveis mas É- náo é: ' ' 3 ' 7 1 10
  28. 28. 70. Consideremos o coniunto 0' formado pelos números racionais com de- [M4] ¿mambo m, ¡"V930 pa”, a mump/ ¡cacga nominado! uniïário: 0’ z {%I x G Z}. Temos: i para todo % E 0 e i‘; 3* 0, existe a b b a b — = — e» a = b _e _ . _ = 1 1 a ¡D tal que b a 1. a b a + b . . . . . .. - . 7|- + T = 1 e= > a + b = a + b Devido a propriedade [MA], podemos definir em 0 , a operacao dedi- Visio estabelecendo ue i ' í = i v g ara i e í racionais quaisquer 2_E= a'b: ,a_b_a. b ' q b'd b c" b d 1 1 1 f náo nulos. portanta, os racionais com denominador igual a 1 comportamse para a igualdade, a adicáo e a multiplicacïo como se fossem números inteiros. Assim, fazendo o 72 Natemos finalmente que todo número racional pode ser representado É. b . x . . . . . racional - coincidir com o nteiro x, ec rre : . . - l d o que por um numero decimal. Na pussagem de uma nntacao para outra podem ocorrer 1 n. = l ¡ego ¿ L m dois casos: 19) o número decimai tem uma quantídade finita de algarismcs, ¡sto e’, é _ _ _ _ _ _ uma decimai exatar 71. Poda-se verificar que a adicao e a multiplicacao de racionais apresentam as seguintes propriedades: Exsmp/ as 3 1 1 27 [A_1]i_a. +íi+í. -í+ií+í) -=3;-=0,5;-=0,05;——‘-D,027 b d f b d f . 1 2 20 1000 [A2] 1 + _C_ = g + 3 29) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se re- b d d b petem periodicameiiie, ¡sto é, é uma dízima periódica. [A3] É + 0 ° % Exemplos lA.4]%+ i-É) = o á = 0333.. .; é = o,2as7142a57i4.. . a ° e = É E . É IM'1I(F'É) T b(d f) a c _ 3 i 3 ¡”'21 b ' d ' d b _ a a EXERCICIOS [M.3] — - 1 = — _ . b b A56 Quais das seguintes proposicóes sao verdadeiras? a c e A _ _ h disnea: e) o,474747.. .€e Hi1. giCü onde E, -d- e 7 s50 racionais quaisquer, portanto, sao validas as mesmas pro- g) 1 E u-z h) ée u"! i) g e m”! priedades formais vistas para os números ínteiros. Além dessas, temos mais a I 21 l 121 131 e _ e fl segumte: n fi á irredutfvel k) r7- < m ¡i " Ü = ’ ’ M-A 454i
  29. 29. A57 Colocar na forma de uma ¡recio irredutível as seguimos números racionnis: 0,4; 0,444. . , ; 0,32; 0,323232 . . . ; 54,2; 5423423423 . . . A58 Colocar em ordem crescenm o: números racionais seguimos: :—: , g, %, 1, % . i. 3 A59 Mostrar que se r1 e r; s50 racionais e r1 < r1. enuïo existe um racional r mal que r¡ < r < r¡. A30 Representar ¡obre uma ren orientada os números racionnis sequintes: -2, —%, -1, 1 2 4 7 6 -¡, 0, ï, 1, í, 2. 3 e -2-. lV. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS . . a . 73. Dado um numero racional í e um numero natural n > 2, nem sempre n i é racional. Por exemplo, x/ ï É 0 o que é provado facilmente assim: (i) admitamos que a fracio irredutlvel % soja (al que V 2 = f; ; (¡i)%= Ü= a‘=2b’= a’ épar= aépar (iii) fazendo a = 2m, com m E Z, temos: a‘ = 2a’ = izmi’ = 2h’ — b’ = 2m’ = b‘ épar = .. n é par e ¡sto é absurdo pois mdi: (a, bl = 1. Vamos agora inüroduzir um ooniunto numérico que contém 0 e onde a radiciacio pode ser definida. 74. Chema-se conjunto dos números reais IR —aquele formado por todos os numeros com regresengao decimal¡ ¡sto é as decimais exatas ou periodicos (gue sia números racionais) e as decimais nio exatas e nio periódicas (chamadas w meros irracionais). Assim, todo racional é número real. 0D C H e, além dos racíonais, estic em R números como: 46—A x/ ï =1,4142136.. . 1r =3,1415926.. . a =1,oioo1ooo1.. . chamados números irracionais. Se quisermos outros números irracionais, poderemos obté-los, por exemplo, através da expressío Vp onde p é primo e positivo. S50 irracionais: x/ ï, x/ ï, x/7, etc. Outro recurso para construcáo de irracionais é usar o fato de que se a é . . , . . . _ a - irracional e r e racional nao nulo, entao: a + r, a- r, — e % sao todos r irracionais. Exemplas x/ ï+i, sao irracionais. El“ 76. Além de fl, destacamos em R trés outros subconiuntos R, = coniunto dos reais n50 negativos H_ = conjunto dos reais n50 positivos R’ = conjunto dos reais n50 nulos. 76. As operacñes de adigáo e multiplicacio em H gozam das mesmns pro- priedades vistas para o conjunto 0. Em R é também definida a operaciïo de subtracio e em R’ é definida a divisáo. Com a introducio dos números irracionais, a radiciacáo é urna operacio em | R., ¡sto é, V; E R para todo a G IR, 77. Já vimos que os números inteiros poden-i ser representados por pontos de uma reta -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 mom i-——i i la 4,4 u -m Analogamente, os números racionais n50 inteiros também podem. Se qui- , 1 SEYÏHDS, DOT EXQIYIDIO, ÍEDTESBHÍSI’ O numero — 50h78 a reta, ITÏHFCBÏTIOS a par- 2 tir de D um segmento de medida %u no sentido positivo, A extremidade desse 47-A
  30. 30. 1 . . , . segmento representa —. Na figura abaixo representamos sobre a reta varios 2 números racionais. r3 2 —l o i 2 3 _5 W j _¿ i_ 3 e ii 7 3 á 2 2 2 1 T Os números racionais, entretanto, n50 preenchem completamente a reta, ¡sto é, há pontos da reta que nao representam racional algum. Por exemplo, entre os pontos 1,41 e 1,42 fica um ponto que representa fi = 1,414215 . . . (irracional). Quando representamos também sobre a reta os números irracionais, cada ponto da reta passa a representar necessariamente um número racional ou irra- cional (portanto, real), ¡sto é, os reais preenchem completamente a reta. ¿gun 4T Esta reta, que representa lR, é chamada reta real ou reta numérica. 7B. Na reta real os números estao orde- nadas. Um número a é menor que qual- a quer número x colocado a sua direita e / ‘ maior que qualquer número x á sua es- ix EW | ‘¿El {Ken Í *>El querda. exencicios A51 Ouais das proposicées abaixo sio verdadeiras? aiaein blNClR clZCIR ¿rigen-o eifien-o nÍ/ Zeimo gl (fi-CH/ ElElR-u mÉeia-m ¡I “hem xl? Ñ? A52 Provar que se a, b, c, d 55o racionais, o é primo positivo e a + t-A/ p: c + d p, entío a= c e b= d. Solucio a+in/ É=c+a/ Í<= » (tran/ peca como i: - a e racional, a última igualdade só subsiste quando (b — dH/ FE Q, ¡sto e, se b - d = o, Neste caso, c - a = o, provando a tese. A.63 Mostrar que v4 + zx/ ï >14 x/ É, A64 Mostrar que axistem a e h racionais teis que V18-8/ ï = a + tn/ ï. A.65 Dados dois números x e y reais e positivos, chama-se média aritmética de x com x + y 2 que a > e para todos x, y 6 Im. y o real a = e chema-se media geométrica o real g = V xv. Mostrar A.66 Representar sobre a reta real, cada um dos seguintes caníuntos: A—{x€IRl1<x<2} a= {xeinlo<x<a} Cubtélfllxgü ou x>2} o: {xGiR| —1<x<u ou x23} V. INTERVALOS 79. Dados dois números reais a eb, com a < b, definimos: al intervalo aberta de extremos a e b é o conjunto la, b[= {xEIR¡a<x<b] que também pode ser indicado por a—b. b) intervalo fechada de extremos a e b é o conjunto [a, b]= {x€R| a<x<b] que também pode ser indicado por ar—ib. c) intervalo fechada a" esquema (ou aberto á direita) de extremos a e b é o conjunto [a, b[= {x€lRla<x<b] que também pode ser indicado por ai—b. d) intervalo fechada á díreíta (ou aberto á esquerda) de extremos a e b , é o conjunto ]a, b]= {xERla<x<b} que também pode ser indicado por a—rb. 49-A
  31. 31. 80. Os números reais a e b s50 denominados, respectivamente, extrema ¡n- EXERCÍCIOS feriar e extrema superior do intervalo. ¡.67 Descrever, coniorme a natacio da teoria dos conjuntos, os seguintes intervaios: 8L Exempm l-1. 3]. [Or ¡[r 1-3- 4L ]-°°¡ Si e [t * °°[- .63 Utilizando a represenlacáo gráfica dos intervalos sobre a reta real, determinar 19) ]2, 5[ = {x E IR i 2 < x < S} éintervalo aberto Ana e AUB sendo A. {o,3] e e= [1,4] 29) l-I, 4] = ix E IR i -1 S x < 4} éintervalo fechado Solucio 39) [im 7| r‘ (x G lR I é< x < 7} é intervalo fechado á esquerda A 0 3 o 1 . 1 4 _ . _ B ‘ 4 4-3 i‘ í, fi] = Lx E iFi i — 3 < x á fi} é Intervalo fechado adireita. A f‘ E , _ A LJ a . . ¿WMMWWO , « ‘ 82. Tambem consideramos intervalos Iineares os "intervalos infinitos" assim definidos: antic AÑBV[1,G] e AUE: [D,4] — , = ' e IR < a’ J m al tx J x a} 1.69 Descrever os ssguintes coniuntos. que podemos também indicar por -ee a. bil-w, a]= [x efllxáa] que também podemos indicar por - wea, a} [Ür 2] m ¡’r 3] c)]a, +oe[= (xEiFiIx>a} ¡filolunlhal que também podemos indicar por a -»— + no. 2 4 d)[a, +eo[= {xGRIx>a} °’l-'ral"J°-ï1 que também podemos indicar por ai-—— + oo. e) ]-°°. * °°l = D? g que também podamos indicar por -wT+ m. e‘ ¡"V * °°Í ñ i‘? ¡i d) ]. m, 2] f‘: [o, w uo[ i) [1, 2] ñ lo. 3] ñ | —1, 4] 83. Os intervalos tém uma representacio geométrica sobre a reta real como segue: la‘ bl 0a ¡ ¡ g _ ¡.70 Determinar os seguintes conjuntos a b ) <1, 3 U o, 4 [3, b] a I 1 l l [a bl a g b, ]-2, 1] U 1o, 5[ . a a b c) [.1, 3] U [3, 5] la. b] ao l-w, a] Ja, + col aÉ 1 a 1 d’ ['ïn °Í U i‘; ‘ïi _ _ a n71 Sendo A - [o, 5[ n a . ]1, 3[, determinar CA 5o-A 51-A
  32. 32. Vl. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 84 Em R. a radiciacio e’ uma operacáo, ¡sto é, V: E IR. qualquer que 3 3;- .11 seja o real a n50 negativo. Assim. P0’ EWNDÍO. V 2. ‘¡En B: 5 2 e v6 1r s50 números reais. . . n Desde que o indice da raiz seja ímpar, os radicais da forma v- . onde a E R" também representam números reais. É o caso, por exemplo, de ï/ ÏLÏ/ Ïïzeï/ ï Se o radicando e negativo e o indice da raiz e par, entretanto, o radlca v" —a n50 representa elemento de IR. Por exemvlü. V ‘1 "3° e "mv 9°” t/ .1= ¡ga-l = x1 e ¡sto é impossivel pois se vx É R. entáo x’ > 0. 85 Resclveremos definitivamente o problema de dar significado ao simbolo W para todo número a introduzindo no volume F desta colegio o con- junto c dos números complaxos do qual IR é um subconlunm- Vll. RESUMO 35 o; conjumos numéricos podem ser representados esquematicamente pela figura abaixo: Observemos que N C l C d) C fi C C. Notemos também que: Z — N = conjunto dos números inteiros negativos lll - l = conjunto dos números racionais nio inteiros. R - 0 = conjunto dos números reais irracionais. Finalmente lembremos das principais operacües definidas em cada coniunto: N: adicáo e multiplicacío l: adicáo, multiplicacio e subtracio (D: adicio, multiplicacio, subtracío e divisio . adicáo, multiplicacáo, subtracíio, divisño e radiciacáo (para reais nio ne« gativosl Vlll. PRINCIPIO DA INDUCÁO FINITA 87. A índucio vulgar (generalizacio de propriedade após verifícacio de que a propríedade é válida em alguns casos particulares) pode conduzír a sérios enganos na Matemática. Veiamos dois exemplos: 19) Consideremos a relacío y = 2*” + 1 definida para n E N. Temos: n= o=y=2’°+1=2‘+1=3 n=1=y=2"+1=2’+1=5 n=2=. y=2”+1=2‘+1=i7 n=3=y=2”+1=2‘+1=2s7 n=4=»y=2“+1=2*‘+1=55537 Os números y encontrados sia números primos. Fermat (1601-1665) acre- zlitou que a fórmula acima daria números primos qualquer que fosse o valor lnteiro positivo atribuido a n. Esta inducáo é falsa pois Euler (1707-1783) nostrou que para n = 5 resulta y = 225 + 1 = 2” + 1 = 4294962297 = = 641 X 6700417, ¡sto é, resulta um número divisivel por 641 e que, portanto, 15o é primo. 53-A
  33. 33. n’ 3n2 7n 29) Dada a relacao y = —ï + —2- — ï+ 3, definida para todo new’, temos: n=1=>y= _%+: %’_%+3=-1+9;14+18=2 n=2=y= _2ï3+3-T21_7á2+3=-8+36;28+18=3 n:3_’y= _?: +3;3’_7á3+3=-27+81s-42+18=5 n=4=>y= -%a+3;41—73;+3= =7 Poderiamos tirar a conclusio precipitado: "y é número primo, V n E N " ". Esta inducño também é falsa pois: 3 . ’ . _ - . n=5,, V=_5ï+%_Ï_3_É+3= = g 88. É necassário, porunto, dispor de um método com bese lógica que permita decidir sobre a validada ou nio de ume inducío vulgar. Consideremos, por exemplo, a igualdede: 1+3+5+. ..+(2n-1)= n’ lnEN‘) que express: a propriedade: “a soma dos n primeiros números impera: positivos é "i'm Vamos verificar se ela é verdadeira: n = 1 = » 1 = i’ (v) n=2=>1+3=4=2’ (v) n= a—»i+3+5=9=3‘ lVl n=10 = >i +3+5+. ..+19=1oo=1o’ (v) Mesmo que continuamos o trabalho fezendo e veríficaoio até n = 1 00D 000 nio estará provado que a fórmula vale para todo n natural, pois poderá existir um n > 1 000000 em que a fórmula falha. SQ-A W. Para provarmos que a relacio é válida para todo n E N‘ principio da inducáo finita (P. I.F. ) cuio enunciado segue: Uma propasícío Pfn), ap/ ¡cável aos números naturais n, para todo n E N, n 3 no, quando: empregamos o é verdadeira 19) Pfnn) e’ verdadeira, ¡sto é, a prapríedade é válida para n = no, e 2?) Se k E N, k > no e Pfk) éverdadeiraentfia Plk + 1) também é verdadeira. 90. Provemos, por exemplo, que: i+3+5+. ..+(2n-ii= n’ inem‘) 19) Verifiquemos que P(1l éverdadeira n=1=1=1Q 29) Admitamos que Plk), com k E N’, seja verdadeira: 1+ 3 + 5 +. ..+ (2k-1) = k’ ilhipóresedainduciol e provemos que decorre a validada de Plk + I), isto é: 1+ 3 +5+. ..+(2k—1l+[2(k+1)-1]= (k+1)’ Temos: ‘ g i+3+5+. ..+(2k-1)+l2k+1l= k‘+l2k+1)= k’+2k+1 = (l<+1)’ ¡».4 EXERC ¡’cios Demenstrnr usando o princípi e inducío finito. A.721+2+3«. ..+n= "(";1), new A.712+5+8+. __+_, +(2+3nl ‘Mgsfivneu m4 2°+21+21+. .. 2"" vnew ¿.75 i1+2=+a1+. ..+n1="‘"“’6‘2"“’. Vv-Eu- me1=+2e+as+. ..+ns= ["‘“; "]’, vnev-
  34. 34. A.77 e provemos que 8 l (3 entSo AJS AJ! AJO A31 A32 A83 A34 sl(3’"—i), Vn€N' soma. mi Pll) é verdadeira pois 8 l ta’ — 1) 29) Admitamos que Plk), k E N’, seja verdadeira a l la“ - 1) (hipótese da inducáo) 2(k+l) _ n: 3’”‘*"—i=3"‘*’—1:3’k-3’-ieslkisun-i: a-3”‘t(3”‘—1) ela-s“ 2k gallega“)3“‘. l¡; >a| l3"k*"—ii 8Il3 -1) SIn(n+)(ntZl, VnEN 2lln¡+n), 7‘n€ll. 3[(n3+2n), 7‘n€N. 1 1 1 , (1+1)(1+—l(1+—l- . .-lI*—)—-n+1.VrCN . 2 4 n 1 ‘I 1 1 n _ 1.2+2.3+3.4+. _+T—+—) ; T—, Vn€N 1-2+2«3+3.4+ . +nln+1l. 2—), ‘7‘nEN' 2n; n+i, vn€il' Solucio 1€’) Pl1) é verdadeira pois 2-1 3 1 t 1 29) Admitamos que Plk), k E N‘, seja verdadeira: 2k > k + 1 lhipótesedainducio) e movemos que 21k + 1) 2 (k + 1) +1 A35 A36 A. 87 56-A Temos: 2Ik+’l]-2k+22lk+1)+2>(k+1)+1 2">n, vn€u 4 13+23+33o, _,+n3>"T, Vn€N'. i1+aln>1+na, VnEN', VaElR, a>-1 A38 0 número de diagonal: de um polígono convexo de n lados é d" = "m2,. 3) . Solucio 19) P13) é verdadeira pois: ":3 1da: 3l32—3): o e isto é verdade porque um triángulo nio tem diagonais. 29) Supondo válida ¡formule para um poligono de k lados lk > 3): klk-3) 2 dk = (hipótese da induetïol provemos que ela vale para um polígono du k + 1 lados: _lxmlllk»1i—3]_lk+1ilk-2l dk*l’ ' í-ï-m-m- Quando pessamos de um poligono com k vértices para nm de )_< + 1 vértices, acres- centando mais um vértice, ocorre o seguinte: (i) todas as diegonais do primeiro poligono continuam sendo diagonaís do segundo; (ii) um lado do prirneiro se ‘transiorma em diagonal do segundo; (iii) no segundo há k - 2 novas diagonal: (es que partem do novo vértice). Veiamos, por exemolo, a passagem de um quadrilátero para um pentápono D E (novo vértice) AC e BD sio diegonais -—> AC e BD contlnuam dicgonais AD é lodo ——> AD se transforma em diagonal EB e EC sio diagonais E M50 : klk-3) + k_1 iJ-sknk-z _(k+1l(k—2) 2 2 2 dk“ — dk «1+(k-2)= A soma das medidas dos ángulos internos de um poligono com/ exo de n lados é s" = (n—2) - 180°, Se A é um coniunto finito com n elementos, eniáo 91A), conjunto des partes de A, tem 2" elementos. 57-A
  35. 35. Desvendado mistério da continuidade Julius Wilhelm Ruzhar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma familia Iuternna de Braunschweig, Alemanha. Entrou em Gñltingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seu doutoramenm com urna (ese sobre Cálculo, elogiada até por Gauss. Foi aluno de Dirlchlet e dedican-se ao ensino secundario em Brunswick até os últimos anos de sua vida. Preocupado com a natureza das funcües e dos números, concentrowse no problema dos números irracionais desde 1858 quando dava aulas de Cálculo, publicando seu Iivro mais célebre, "A Cnnt/ nuidade e os Números irracionais". Uma de suas grandes dúvidas era sobre o que há na veta geometria contínua que a distingue dos números raáonais, pois, Galileu e Leibniz haviam concluido que entre dois puntos quaisquer sempre existe um terceirn e, assim, os números racionais torrnam um ooniunto densa mas n50 contínuo. Relendo, Dedekind observan que a esséncia da continuidade da reta n50 está ligada á densidade mas a narureza da divisio da reta em duas partes, que chamou classes, atraves de um único ponto sobre a reta. A esse diviáo da reta chamou "schnitt" ou "corte", que passaria a ser o apoio da Análise, pois com essa observará! ) "o sagrado da contmuldade seria revelado”. Dedekirntí vIu também que os pornos de urna reta podem ser pastos em correspondencia biunlvoo: com os números reais, 0 que conseguiu ampliando l; conjunto dos racionais. Esta mnclusáo é oonhecida por nos como Axioma de CanIonDedekÏrui. Mais uma de suas observacóes lo» sobre o teorema fundamental dos limites, achando que para obler-se urna rlemonstracxïo rlgorosa desle conceiro era necassário descnvoIvé-Io somente atrav ves da Aritmética. sem ¡nrerleréncia de métodos geométricos embora estes tenham Sido responsa- ve-s por seus brilhantes resultados Em 1879 lol n prlmelro a dar uma delimcáo expllcita de cnrpo numérico como sendo uma co- Iecáo de numeros que lormam um grupo abellano (comutatlvol am relacño á adlcáo e multiplicacáo, no qual a muluplicacáo é distributnva em relacáo a adicao, Este conceito, que lo: fundamental para o desenvolvimento da Álgebra, também e responsável pelo teorema dos mteims algébricos, bem como iniroduzlu na Aritmética o canceito de "Iaeal". Dedekind vweu tantos anos depons de sua célebre introducáo dos "cortes“ que a famosa editora Tabner deu como data de sua marte, 4 de setembro de 1899. Isto dlverliu Dedekmd que _ _ viveu mais doze anos e escreveu ao ed-ror que Juhus W- R- Deddflnd passar: a data em questáo em conversa estimulan HÉÍ — 1916i te com seu amigo Georg Cantor. 58-A CAPÍTULO IV RELA góEs l. PAR ORDENADO '91. Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim {1, 2}, 13, -‘l}, {a, b} indicam pares. Lembrando do conoeito de igualdade de con- juntos, observamos que inverter a ordem dos elementos n50 produz um novo par: {L2} = {Z1}. {1-1} = l-1,3}. {ab} = {ha}. Em Matemática existem situacóes, onde há necessídade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equacóes x+y=3 xny= _1 x = 2 e y = l ésolueáoaopassoque x =1 e y = 2 náoésolucáo. Se representássemos por um conjunto teríamos: {2, l) seria solucáo e {1, 2} nao seria solucáo. Há uma contradícáo, pois sendo {2, 1} = (l, 2}, o mesmo con. Junto é e nio é solucao. Por causa disse dizemos que a solucio é o par ordenado 12, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refiere-se a incógnita x e o segundo elemento 1 refere-se a incógnita y. 92. Admítiremos a nocáo de par ordenada como conceito primitivo" ). Para ca‘ da elemento a e cada elemento b, admitiremos a existencia de um terceiro elemento (a, b) que denominamos par ordenada de modo que se tenha (‘l Poderiamos definir par ordenado como Kuratowski fez: la. bl = {ia}. {a. b}} mas isto ficaria fora do nivel deste curso.
  36. 36. ll. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 93. Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais deter- minam o plano a. Dedo um ponto P qualquer, ‘PE a. conduzamos por ele duas retas: x’lx e y'ly Denominemos P1 a interseccáo de x com y’ e P; a ¡ntersecpíío de y com X . Nestas condicóes definimos: a) abscissa de P é o número real xp representado por P1 b) ordenada de P 6 o número real yp representado por P, c) toardenadas de P sio os números reais Xp e yp, geralmente indi- cados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde xp é o primeiro termo. d) IÍXO das «bee/ stas é o eixo x (ou 0x) e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy) f) sistema de oixus cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o sistema x0y g) arígem do sistema é o ponto 0 h) plana cartesiano e’ o plano a 94. Example Vamos localizar os pontos N2, 0), Blo, -3), C(2, 5), 01-3, 4) 5 9 El-7, <3), F14. -5). Giï. ïl e iii-í’: -%) no plana cartesiano Iembrando que, no par ordenado, o primeiro número repre- senta a abscissa e o segundo a ordenada do ponto. 60-A 95. Teorema Entre o conjunto dos puntos P do plano cartesieno e o coniunto dos pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondencia biunfvo- ca. Demons (recio l? Parte As definicñes dadas anteriormente indicam que a roda ponto P, P E u, corresponde um único par de pontos (Ph h) sobre os eixos x e y res- pectivamente e, portanto, um única par ordenada de números reais (Xp, ypl tais que xp e y; sin representados por P. e P1, respectivamente. Esquema: P——> (P¡, P¡) —> (xP, yP) 2? Parte Dado o par ordenado de números reais (xP, yP), existem P¡ E x e P, G y tais que P, representa xP e P, representa yF, conforme vimos no item 77. Se construirmos x’lx por P; e y’/ /y por P, , essas retas vio concorrer em P. Assim, a todo par (x , yF) corresponde um único ponto P, P E a. Esquema: (xp, yp) —> (Ph P2) ——>P Exencfclos A31 Der es coordenadas de nada ponto do plano cnrtcsieno abaixo. . _ E i r _____á¿i'l i“; e 745g li L (LT l A32 Assinalar no plana cartnsiano os puntos: A12, -3l, B“), ‘M. C(-4. ‘5’: Diq- o]: m, s), m, 4), G(3, o», Hr-a. 2), ul. G1-A
  37. 37. lll. PRODUTO CARTESIANO 96. Definicin Selam A e B dois conjuntos nio vazios. Denominamos proc/ uta cartesiano de A P0? B ° Cllnll-‘IÑÍO A X B cuios elementos sin todos pares ordenados 1X, V) onde o pnmerro elemento pertence a A e u segundo elemento pertence a B. AXB= {(x, VlIx€A e VEB} o simbolo A X B lesa "A cartesiano B" ou "produto cartesiano de A por B". Se A ou B for o conjunto vazio, definimos o produto cartagena de A Por B como sendo o conjunto vazio. AXSZ>= QS (Z>><B= Q5 Q5XQ= Q 97. Exemplos mi 59 A= (1r2r3) e B= {'l,2] temos A >< B = {l1.1l. l1.2). (2,1). (2,2l. l3,1), l3,2)} e B X A= {(1.1>. (1,2), (1,3), (2,1), (2, 2), 113)} e as representacñes no plano cartesiano s50 as seguintes: BXA l l 2.°) Se 2A = A{2, 3} entáïo o conjunto A X A (que também pode ser indicada por A e le-se "A dois”) é A X A = {(2, 2), (2,3), (3,2), (3,3)) 39) Se A= {x€lRl1<x<3} v e B: {2} entáotemos AXB= {(x,2)Ix€A}.2 ---- «m A representacáo gráfica de A X B dá como resultado o conjunto de puntos da segmento paralelo ac eixo dos x da figura ao lado. r r v i É ————4——> ¡ 3 49) Se A: {xERl‘l<x<3} e B= {xERl1<x<5] te- mas A X B = {(x, y) E R1 ll < x S 3 e 1< y < 5) representadogra- licamente no plano cartesiano pelo coniunto de pontos de um retángulo, Note- mosque B X A = {(x, y]ER¡I1< x < 5 e 1< y S 3} érepresenta- do por urn retángulo distinto do anterior. y AXB y EXA 5.. ... . w _. ._. x u. .. ..__ x 98. Observeoñes 1) Se A 5€ B ent'a'o A X B se B X A, ísto é, o produto cartesiano de dois conjuntos náo goza da propriedade comutativa. 2) Se A e B s50 coniuntos finitos com I| '| e n elementos respectivamente, entáo A X B e’ um coniunto finito com m - n elementos- 3) Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio entáo A X B e’ um coniunto infinito. 63-A
  38. 38. EXERCÍCIOS A33 Dados os coniuntos A= (1,3,4) 34-24} c= {—(, u,2} representar pelos elementos e pelo gráfico carteslano os seguintes produtos: alAxB hJBXA c)A><C d) c x A e) e? f) c? A34 Dados ns conjuntos A= {x€nl1<x<3} Brlxelfll-ZSXSZ} C. —(xCH(—4<x<_1} representar graficamente os seguintes produtos: alAxB b)A><C c)B><C d)C><B elAï llCï A.95 Dados os conjuntos A Y (1,2, 3,4} e e = (x E n (1 g x g 4} representar grafmamente os conjuntos: ¿ÜÁXB b)BXA c) (A <B)U(BXA) A96 Sciam os conjuntos A, B eC tais que A (. B C clusfio entre us conjuntos A x A, A x B, A >< C, C X B l! C K C. C. Estabelecer as rclacñes de in- a ><A, B xB, B><C, C><A, A97 saber-ao que ((1.2), (a, 2)} t A‘ e mA’) = 9. ‘Bflfesente pelos elemen- tosoconjunto A1, Solucio , 2 . , 0 numero de elementos de A é Igual ao quadrado do numero de elementos de A, pur- tanto mA’) e [n(A)]’ = > [n(A)]‘ = 9 = mA) . . 3. Se A éum conjunto de3elementos, (1,2) € A2 E (4, i’) G A2, conclulmos que A = {1,2,4}. Assim sendo, A " A r ((1. l), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, l), (4, 2), (4, 4)} A38 Se [(‘l, —2), (3, 0)) Í A2 e n(A2) a 1B antic: represente A1 pelosseus elemen- tos ABB Considerando A t, B, ((0, s), u, 2), (2,4)) c, A >< e e "(A >< a) - 12,9, presente A t B pelussetrselementos, 64vA IV. RELACÁO BINÁRIA 99. Consideremos os conjuntos A = (2,3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6}. O produto cartesíano de A por B éoconjunto AXB= {(X, V)lxEA e yEB} formado por 3 - 5 = 15 elementos represen- tados na figura ao lado. Se agora considerarmos o coniunto de pares ordenados (x, v) de A X B tais que x I v (lé-se: x é divisor de V), teremos R= {(x, y)€AXBlx| /) = = ((2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, s), (4, 4)} que é chamada relaoáo entre os elementos de A e de B ou, mais simplesmente, uma rela- cáa bínáría de A em B. 0 conjunto R está comido em A X B e é formado por pares (x, y) em que o ele- mento >( de A é "associado" ao elemento y de B mediante um certo criterio de "relaciona- mento" ou "correspondencia". Será bastante útil a representacíïo da rela- cáo por meio de flechas, como na figura ao lado. A r; 100. Definicio Dados dois conjuntos A e B, chema-se relacia binárfa de A em B todo subconjunto R de A X B. R é relacio binária de A em B o= R C A X B. Se, eventualmente, os coniuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de A X A é chamada re/ acáo binária em A. iflérelacíobínáriaem Ae= zRCAXAi 65—A
  39. 39. Utilizaremos as seguintes nomenclaturas ¡á consagradas A = conjunto de partida da relacáo R B conjunto de chegada ou contra-dominio da relacáo R. Quando o par (x, v) pertence a relaeño R, escrevemos x R y (le-se: erre y") (x, vl E FI <= > x BY e se o par (x, y) nao pertence a relaeáo R escrevemos XR y (Ié-se: "x nao erre y") (x. vl (É R <= xflv 101. Exemplos 19) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4} quais s50 os elementos da relacío R = {(x, y) I x < v} de Aem B? Os elementos de Fl s50 todos os pares ordenados de A X B nos quais o prímeiro elemento e menor que o segundo, isto é, s50 os pares formados pela "asscciacfio de cada elemento x E A com cada elemento de y E B tal que x < y". Temas entáo R = ((1,2), (1,3), (1,4), (2.3), (2,4), (3. 4)} 29) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais s50 os elemen- tos da relacáo binária R de Aem B assim definida: x R y c: y = x + 2.7 V Fazem parte da relacáo todos os pares ordenados (x, y) tais que x G A, y E B e y = x + 2. Utilizando as representacóes gráficas 66-A 39) Se A = {-1, 0, 1, 2] quais s50 os elementos da relaczïo R = {(x, vl E A1 l x2 = V47 Fazendo a representacáo gráfica notamos que R = ((0,0), (1,1). (1,-1), (4,4), (-1, 1), (2,2)) A B 49,39 A: {xE| Rl1<x<3} e s= {ve(n(1<v<2} pe- de-sea representacio cartesíana de AX B e R = UX) vl e AX B l Y = X} 67-A
  40. 40. EXERCÍCIOS A.100 Fede-se: l) enumerar pares ordenados II) representar por meio de flechas Ill) fazer o gráfico cartesieno das ralacñex binárias de A = {-2, -l, o, 1, 2} em e = (<3, —2, —), 1, 2, a, 4} ue- linidaspor: a)xRy<= >x+y=2 b)xsy<= >x1=y c)xTyeí)x)= )yl d)xvy<-———>x+y>2 e)xWy <= =>(x-y)2=1 A191 733410 '° COHÍUHÍO A = {1, 2, 3, 4, 5, 6). Enumerer os pares ordenados e construir o gráfico certesíano da relacáo Fl em A dede por: R = (rx. y) EA? I mdc lx, v) = zi A401 59)‘! 0 Cünium“ A ’- {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir o gráfico cartesiano de relacio R em A definida por: x R y 2 x e y sin primos entre si. ¡(.103 Dado o conjunto A = (m Ez i .7 á m < 7). Construir o gráfico cartesiano da relacáo binána R em A definida por: xHy í» x1(y2_25. V. 102. Definicio Seja R uma relagáo de A em B. Chema-se dom/ nio de R o on' n D todos os imeiros Iemen dos gates ordenados gertgncgngg g B xCD 2:’ Jy, y€BI(x, y)€R Chama-se imagem de R o coniunto Im de todos o; ¡flundos glgmgntg; gg; pares ordenados Eertencentes a R. y€lm 2'. » 3x, x€Ai(x, y)€R Decorre da definicáo que D C A, e Im C B. 6B-A 103. Exemplos 1?) Se A = (o, 2, 3, 4} e a = {1, 2, 3. 4, 5, 6} qual e’ odomínio e a imagem de relaeáo R = {(x, y) E A X B I y é múltivlfl de X)? Utilizando o esquema das flechas é fácil peroeber que D é o conjunto dos elementos de A dos quais partem flechas e que Im e’ o coniunto dos elementos de B aos quais chegam flechas, portanto: R = {(2, 2), (2,4) (2,6), (3, a), (3,6). (4. 4)} D = {2, 3, 4} Irn = {2, 3, 4, e} 2€’) Se A: {xEIR|1<x<3} e e= {ye(R(1<v<4), qua! éodomínioeaimagemdarelacao R= {(X, Y)ÉAXB)V= ÏX}Ï Utilizando a representacáo canesiana temos D—{xElR i 1<x<2} e Im= (yEiR|2<y<4} exenciones A104 Estabeleccr o dominio e e imagem das saguintes relacñes: a) ((11 1)_ (1, 3)_ (2_ 4)} b) {l-Z, 4), (-1,1l, (3,-7l, (2,1)) c) {(2,1), (1,—3), (5,/ ï)} u) {(1+x/ ï./ ï>. (1—/ ï.n} e) {(3, 15). (g, -1), (%, m} A106 Estabelecer o dominio e a imagem des relacñes binarias do exercicio AJOO. AJOG Sejam os conjuntos A = {—2, —l, o, 1, 2. a, 4. s}, B - l-z, -1. n, i. 2) e H a relacío blnárie de A em B definida por x n y ¿s x = yï Pede-se: a) enumerar os pares ordenados de R b) enumerar os elementos do domínio e da imagem de R c) fazer o gráfico certesiano de R 69-A
  41. 41. A.1o7 Se Réarelacácbinárlade A: {xem l 1 <x <6} em a = {ye (n l 1 <y <4 definida por , x R y <= > x = 2y Fede-se: a) a representaqso canesiana de A x B b) a represemacáo Cartesiana de H c) o dominio e a imagem de Fl AJOBSe nes sao as ralacóes binárias de A = {x E z l —2 á x S s} em e = (y Ez l -2 < y <3} definidas por: xRy í 2divide(x-vl xSv c= > (x—1)? =Iy-2)1. Pedem-se : a) as representacóas cartesIanas de R e de S b) o domlnio e a imagem de Fl e de S c) R Ñ S. Vl. RELACÁO INVERSA 104. Definicio Dada uma relacáo binária Fl de A em B, consideremos o conjunto R" = {(y, xl€ BX A | (my) E R] Como R" é subconjunto de B X A, entio R" é uma relacio binária de B em A á qual daremos o nome de re/ acáb inversa de R. lv, x) E R" <= -> (x, ylE R Decorre dessa definicáo que R" é o conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R ínvertendo-se a ordem dos termos em cada par. 105. Exemplos 19) Se A = {2, 3, 4, 5) e B = {1, 3, 5, 7} quais 55o os elementos de R: {(x, y)€AX B I x<y} eden“? Utilizando o esquema das flechas 7 O-A A B B A temos a = ((2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, s), (4, 7), (s, 7)) e R” = {(3, 2), (5,2). (7,2), (5,3), (7,3). (5,4), (7,4), (7. 5)} 29) se A: {xCIRl1<x<4} e a». [yE IR I 2<y<e) re- presentar no plano cartesiano as relagñes R r UX, y) E A X B l V = 2X) e sua inversa R"'. Vll. PROPRIEDADES S50 evidentes as seguíntes propriedades 1?) Dm“) e lm(Rl ¡sto é, o dominio de R" é igual á imagem de R. 2?) Im(R"l V. DlRl isto é, a imagem de R" é igual ao domínío de R. 3%‘) lR"l" = R isto e’, a relacáo inversa de R” é a relacáo R. 71-A
  42. 42. EXERC ¡‘cios AJO! ) Enumerar os elementos de R", relacáo inversa de R, nos seguimos casos: a) n = {(1, 2). (3, 1). (2, 3)} A.110 Enumerar os elementos e esbocar os gráficos de A = {x E N i x S 10}, nos seguintes casos: AJH 72—A b) e = {(1,-1), (2,-1), (3,—1). (—2, 1)} c) e : {(—3,—2), (1,3). (—2,—: )), (3,1)) a) R h) R c) R d) H {(x, y)€A2Ix+y= s} {(x, y)€A1)x+2y- 1o} {(x, y)€A7)y= (x—a)= +1} {(x, y)eA2 )v:2"] R e R-l, relacües binárias em Dadas as conjuntos A r {x E ¡R i 1 Sxís}, B = {y E lR i? S y S10} e as seguin- tnx rolacñes bínárias: a)R b)S c)T d)V r {(x, y)&AXB)x {(x, y)eAxe(v [(x, y)€A><ely v} 2x} x t 2) {(x, v)€AXB)x+y-—7} poda-se o gráfico cartesiano dessas nlacñes e das respectivas rslacóns inversas. CAPÍTULO V FUNQÓES l. CONCEITO DE FUNCÁO 106. Vamos considerar, por exempla, os conjuntos A: {0,1,2,3) e B: {-1,0,1,2,3) e as seguintes relacóes binárias de A em B: R= {(x, y)EAXB| y=x+1} S—{lx, y)€AXB)y’= x2} T {1x, y)€AXB) -—x} V+ÜX. Y)€AXB)y= (x-1)7-1} W= {ix, ylEAXBly-2} Analisando cada uma das relacñes temos: a) R = {(o,1), (1,2), (2,.3)} Para cada elemento x e’ A, cum excecaïo do 3, existe um só elemento y F. B tal que (x, y) E R. Para o elemento 3 G A, n50 exis- te y e B tal que (3, y) e R. b) 5 - {(0, 0), (1, 1), (1. :1), (2, 2), (a, 3)} Para cada elemento x G. A, com excecáo do i, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E S, Para o ele- mento 1 E A existem dois elementos de B, o1e0—1taisque (1.1)€S e (1, -1) E S. 73-A
  43. 43. c) T = {(0,0) (1, 1), (2,2), (3,3)) Para todo elemento x € A, sem excegáo, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E T. d) v: ((0, o), (1,-1), (2, o), (3, 3)) Para todo elemento x E A, sem exceeáo, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E V. e) w: ((0,2), (1,2), (2,2), (3,2)) Para todo elemento x E A, sem excecáo, existe um sc’) elemento y C B tal que lx, y) E W, As relacñes T, V, W, que apresentam a particularidade: "para todo x E A existe um só y E B tal que (x, y) pertence a relacáo", recebem o nome de ap/ ¡cacío de A em E ou funcáa definida em A cam ¡magens em B. ll. DEFINICÁC 107. Dados dois conjuntos A e B“), n50 vazios, uma relacáo f de A em B recebe o nome de ap/ ¡cacáa de A em B ou funca? ) def/ nída em A com ¡magens em B se, e somente se, para todo x F A existe um só y E B tal que (x, y) E f. féaplicaciode AemB «si» WxEA, ': '|ly€Bl(x, y)Ef) l’) Em todo o nosso estado de funcñes, ¡ica estabelecido que A e B seïo conjuntos forma- dos de números reais, isto é, A e B emitidos em lR. 74-A ‘ 29) se existir um elemento de A 108. Vejamos agora com o auxilio do esquema das flechas, que condicóes deve satisfazer uma relacáo f de A em B para ser aplicacáo lou funcáo). 1'? ) é necessárin ue todo elemento x G A rtíci e de elo menos um r (x, ) C f, isto é todo elemento de A deve servir coma onto de artída de fle- nhar " "W 29) é necessário que cada elemento x C A participe de apenas um único par (x E f isto é cada elemento de A deve servir como anto de rtída de uma única flecha. Uma rela 5o f n50 e’ a lica "o (ou funcáo) se n50 satisfazer uma das con- digfies acima isto é 19) se existir um elemento de A A do gual n50 garra flecha alguma ou ¡ "¿o ¿funcáo _ '. ul rt (n50 é Iuncáo. 109. Podemos verificar através da representacio cartesiana da relacáo f deA em B se f é ou n50 funcáo: basta verificarmos se a reta paralela _ao eixo y condu- zida pelo ponto (x, 0), onde x L A, encontra sempre a gráfica de Í em um só ponto. 110. Exemplos 19) A relacáo fde A em lR, com A: {xFlR i —1€x<3), representada ao lado é funcáo, pais toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa x C A encontra sempre o gra’- fica de f num só ponto. 29) A relacáo f de A em IR repre- sentada ao lado, onde A= ix€lfil—2íxá2} n50 é lancia, pois há retas verticaís que encontram o gráfico de f em dois pon- tos. 75-A
  44. 44. 39) A reiagáo f de A em IR, re« presentada ao lado, onde A= {x€lRl0<xS4} n50 é funpáo de A em IR pois a reta vertical conduzida pelo ponto (1, 0) n50 encontra o gráfico de f. Observemos que f é funcáo de B em IR onde B—_—{x€IR2<x<4}, A114 Ouais das relacñes de IR em IR cuios gráficos aparecarn abaixo, sin funcñes? Juniiicar. b) ‘i Exsncrclos A112 Eslabeiecer se cada um dos esquemas das relacñes abaixo define ou n50 uma funcáo fl de A: {—1,o, 1, 2} em s ; {—z, 4, o, 1, z. 3}. Justificar. R s L L‡

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