Métodos de Integración              Indice             Introducción         Cambio de Variable        Integración por part...
Introducción.En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos lasprincipales técnicas...
El Método de Cambio de Variable.Antes de ver la fórmula de cambio de variable, resolveremos algunos ejercicios sencillosqu...
1  (3 x − 5) 5                                     ∫   (3 x − 5) 4 dx =                                                 ...
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∫ u du , lo cual                                                                                 4Solución. En este caso p...
Observación: De lo anterior podemos concluir que el cambio de variable procede cuandoen el integrando aparece una función ...
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∫ tan x dx = ln sec x + CAnálogamente                                                 ∫ cot x dx = ln senx + C            ...
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(5 x + 3)dx                                   3x + 2                ∫ 3x                                5               ...
∫ x cos( x) dx = xsen( x) − ∫ sen( x) dx = − xsen( x) + cos( x) + cObserve que también hubiéramos podido hacer la siguient...
∫x e                               2 xEjemplo 3. Encuentre                 dxSolución. Utilizaremos el siguiente cuadrou =...
∫ sen (x) dx                                   2Ejemplo 5. EncuentreSolución. Utilizaremos el siguiente cuadrou = senx    ...
∫ sen ( x) dx = −senx cos x + x − ∫ sen ( x) dx .                               2                                       2S...
∫ e senx dx = −e                     ∫                                     ∫                                       cos x +...
∫                                     ∫                                       2           1 2 x2      2    1       2 1 2  ...
Integrales de funciones trigonométricasA continuación veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funcionestrigono...
sea u = cosx, entonces du = -senx, y al sustituir en la integral obtenemos:                                               ...
b) Si m es impar, utilizamos la identidad: tan2x = sec2x- 1.       c) Si n es impar y m par usamos algún otro método como ...
x = a senθ, con a > 0.Como se apreció anteriormente, la variación de x en el intervalo (-a, a) se corresponde conla variac...
La función de la figura la obtenemos despejando a y en términos de x, en la ecuación de lacircunferencia:                 ...
4 − x2En este caso particular senθ = x/2 y cosθ =                                 .                                       ...
A partir del cual podemos encontrar cualquier función trigonométrica de θ.                                                ...
16 − x 2Y a partir de él calcular cosθ =                        .                                                 4Así pue...
4 − 9x2Y a partir de él, calcular cosθ =             .                                        2Finalmente:                ...
∫               ∫                                        ∫     2 + x 2 dx = ( 2 secθ )( 2 sec 2 θ )dθ = 2 sec 3 θ dθ = 2(s...
θ                                                               1                                                         ...
∫                                        1                        1               x                   (1 + x 2 ) −2 dx =  ...
∫                                  dxComo ejercicio, encuentre                     .                                 x2 − ...
x2 + x + 3               9                                                = ( x + 3) +                                    ...
[Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas]Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y disti...
Observamos que la primera y la última fracción son iguales y tienen el mismodenominador, por lo que sus numeradores forzos...
a−u                                      ∫                                            du     1                            ...
y nuestra integral:                 x+2           ∫                       ∫              ∫                                ...
Similarmente para obtener el valor de B, multiplicamos en ambos lados de la ecuaciónoriginal por (x+3), despejamos B y eva...
[Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haber repetidas]Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores l...
3x + 8                           C=           evaluado en x = 2 nos da C = 7                                   xEfectuando...
Para determinar el resto de las constantes tenemos que plantear el sistema de ecuaciones:               x+8           A( x...
a cada uno de estos factores le corresponderá una fracción parcial de la forma                                            ...
Cuarto caso.[Q(x) tiene raíces complejas repetidas]Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadrát...
x2                        ∫x                           ∫x                ∫ (x                                             ...
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  1. 1. Métodos de Integración Indice Introducción Cambio de Variable Integración por partesIntegrales de funciones trigonométricas Sustitución Trigonométrica Fracciones parciales
  2. 2. Introducción.En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos lasprincipales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidasde una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, sepresentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nospermiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir laintegral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, ó bienreducirla a una integral más sencilla. Regresar al índice
  3. 3. El Método de Cambio de Variable.Antes de ver la fórmula de cambio de variable, resolveremos algunos ejercicios sencillosque nos llevarán de manera natural a la mencionada fórmula.Tomemos la primera fórmula de la tabla de integrales del capítulo anterior: x α +1 ∫ xα dx = α +1 +k si α ≠ −1a partir de ésta podemos encontrar integrales como 1 3 +1 5 x2 x2 ∫x ∫ x 2 3 4 dx = +k , x dx = +k = +k = x +k , etc. 5 1 3 3 +1 2 2Sin embargo, si la variable no aparece de manera sencilla en la función a integrar,¿podemos afirmar que (3 x − 5) 5 ∫ (3 x − 5) dx = +k? 4 5La respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando d  (3 x − 5) 5   = 3(3 x − 5) 4  dx  5 lo correcto sería (3 x − 5) 5 ∫ 3(3 x − 5) 4 dx = 5 +ko bien
  4. 4. 1  (3 x − 5) 5  ∫ (3 x − 5) 4 dx = 3  5 +k  (cos x) 5Análogamente ¿podemos afirmar que ∫ (cos x) 4 dx = 5 +k?De nuevo la respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando d  (cos x) 5   = − senx(cos x) 4  dx  5 lo correcto sería (cos x) 5 ∫ senx(cos x) 4 dx = − 5 +kEn el cálculo de estas dos integrales (3 x − 5) 5 (cos x) 5 ∫ 3(3 x − 5) 4 dx = 5 +k ∫ senx(cos x) 4 dx = − 5 +kcomo una variante de la fórmula x α +1 ∫ xα dx = α +1 +k si α ≠ −1advertimos que si la variable x se reemplaza por una función u(x), para que la integral secalcule sustituyendo u(x) por x, en el integrando debe aparecer u(x) multiplicando a u(x)α,es decir [u( x)]α u ( x)dx = [u ( x)] α +1 ∫ α +1 +k si α ≠ −1En general, si partimos de una integral conocida ∫ f ( x) dx = g ( x) + ky cambiamos la variable x por la función derivable u(x), tal que u(x) es continua,obtenemos LA FORMULA DE CAMBIO DE VARIABLE
  5. 5. ∫ f [u( x)] u ( x)dx = g[u( x)] + kPodemos comprobar fácilmente su validez, derivando el lado derecho d [g[u ( x)] + k ] = g [u ( x)]u ( x) = f [u( x)]u ( x) dxeste último paso utilizando el hecho de que g es una primitiva para f.Si en la fórmula anterior escribimos u = u(x) y u(x)dx = du, la fórmula de cambio devariable nos quedaría como: ∫ f (u)du = g (u) + kEn todos los ejemplos que veremos a continuación, trataremos de reducir el grado dedificultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integralresultante sea más fácil de integrar ó que sea una integral conocida. Para que la fórmula decambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando auna función u y a u, su derivada.Ejemplo 1. Encuentre ∫ (3 x − 5) 4 dx ∫ u du , 4Solución. En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece" alo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5 u = 3x-5 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = (1/3)duSustituyendo en la integral, 1 u5 u5 (3 x − 5) 5 ∫ ∫ ∫ 1 (3 x − 5) 4 dx = u 4 du / 3 = u 4 du = ( ) + c = +c = +c 3 3 5 15 15coincidiendo con el resultado anterior. ∫ cos 4Ejemplo 2. Encuentre x senx dx
  6. 6. ∫ u du , lo cual 4Solución. En este caso podemos observar que esta integral "se parece" anos sugiere tomar el cambio de variable u = cosx u = cosx ⇒ du = -senx dx ⇒ senx dx = -duSustituyendo en la integral, u5 cos 5 x ∫ ∫ ∫ (cos x) ( senx dx) = (u )(− du ) = − u du = −( ) + c = − +c 4 4 4 5 5coincidiendo con el resultado anterior. (3 ln x − 5) 4Ejemplo 3. Encuentre ∫x dxSolución. Advertimos la presencia de la función lnx y su derivada 1/x, lo cual nos sugieretomar el cambio de variable: u = lnx ⇒ du = dx/xSustituyendo en la integral, (3 ln x − 5) 4 ∫ x ∫ dx = (3u − 5) 4 duA su vez esta integral tendría que resolverse por cambio de variable, tomando w = 3u-5,como se hizo en el ejemplo 1, obteniendo: (3 ln x − 5) 4 (3u − 5) 5 (3 ln x − 5) 5∫ x ∫ dx = (3u − 5) 4 du = 15 +c = 15 +cSin embargo para evitar tomar dos o más cambios de variable, debemos percatarnos de quelo importante es que aparece la expresión 1/x que es la derivada de lnx, que también lo esde (3lnx-5), salvo constantes.Más precisamente, podemos tomar el cambio de variable: u = 3lnx-5 ⇒ du = 3dx/x, ò bien dx/x = du/3,y al sustituir en la integral original: (3 ln x − 5) 4 1 u5 (3 ln x − 5) 5∫ ∫ 1 dx = u 4 du = +c = +c x 3 3 5 15
  7. 7. Observación: De lo anterior podemos concluir que el cambio de variable procede cuandoen el integrando aparece una función u y su derivada multiplicada por una constante.Además que la integral de la variable u sea posible resolverla. ∫ 3x 2 − x 7 dx 6Ejemplo 4. EncuentreSolución. En este caso aparece la función u = 2-x7 y su derivada (-7x6) multiplicada por laconstante (-3/7), precisando: u = 2-x7 ⇒ du = -7x6 dxComo en la integral tenemos que sustituir 3x6 dx, −1 −3 du = -7x6 dx ⇒ x 6 dx = du ⇒ 3 x 6 dx = du 7 7 −3 − 3 u 3/ 2 − 2 3/ 2 −2∫ 3x 2 − x dx = ∫ u du = )+c = u +c = (2 − x 7 ) 3 / 2 + c , 6 7 ( 7 7 3/ 2 7 7así pues −2 ∫ 3x 2 − x 7 dx = (2 − x 7 ) 3 + c , 6 7Nótese que una vez identificado el cambio de variable u, vemos que la integral por resolver ∫ ∫ 3x 2 − x 7 dx se reduce a resolver 6es u du , es decir, resolver nuestra integral∫ u du mediante el citado cambio de variable ó en otras palabras nuestra integral de lavariable x es similar a ∫ u duExisten otras situaciones en que el cambio de variable no es tan evidente en términos de lafunción u y su derivada, por lo cual tenemos que echar la vista adelante y ver a que funciónfácil de integrar es similar nuestra función. x2Ejemplo 5. Encuentre ∫ 1 + x6 dxSolución. En una primera vista no advertimos la presencia de una función u y su derivada,ya que la derivada de 1 + x6 = 6x5 y en el integrando no aparece x5 sino x2. No debemos
  8. 8. perder de vista que al hacer un cambio de variable es por que nuestra integral es similar ó sepuede reducir a otra fácil de resolver.Si pensamos que x2 dx será el nuevo diferencial, entonces u tendría que ser x3, es decir u = x3 ⇒ du = 3x2 dxcomo se ve al expresar la integral de la siguiente manera: x2 ∫ 1 + (x ) ∫ 1 du 1 1 dx = = arctan u + c = arctan( x 3 ) + c 3 2 3 1+ u 2 3 3 x3Ejemplo 6. Encuentre ∫ 1 − 9x8 dxSolución. En analogía al ejemplo anterior, podemos decir que esta integral se reduce a∫ du du , ya que si tomamos el cambio de variable u2 =9x8, ó equivalentemente 1− u2 u = 3x4 ⇒ du = 12x3 dx, es decir x3 dx = (1/12)du, y sustituyendo: x3 ∫ ∫ 1 du 1 1 dx = = arcsen(u ) + c = arcsen(3x 4 ) + c 1 − 9x8 12 1− u2 12 12Podemos utilizar el método de cambio de variable para encontrar las integrales de algunasfunciones conocidasEjemplo 7. Encuentre ∫ tan x dx ∫ tan x dx = ∫ cos x dx senxSolución. u = cosx ⇒ du = -senx ∫ ∫ senx du dx = − = − ln u + c = − ln(cos x) + c cos x uComo -ln(cosx) = ln1 - ln(cosx) = ln(1/cosx) = ln(secx)Podemos expresar
  9. 9. ∫ tan x dx = ln sec x + CAnálogamente ∫ cot x dx = ln senx + C ∫9+ x dxEjemplo 8. Encuentre 2 ∫ duSolución. Debemos poder reducir esta integral a mediante un cambio de variable, 1+ u2por la similitud de las expresiones.Primeramente vemos que en el denominador la variable al cuadrado esta sumada a 1, locual nos sugiere factorizar el 9 para tener algo similar, es decir: ∫9+ x ∫ ∫ dx 1 dx 1 dx = = 2 9 1 + x 2 / 9 9 1 + ( x / 3) 2y esto nos sugiere tomar el cambio de variable u = x/3 ⇒ du =dx/3 ∫ 9 + 4x ∫ ∫ dx 1 dx 3 du 1 1 = =( ) = arctan u + c = arctan( x / 3) + c 2 9 1 + ( x / 3) 2 9 1+ u 2 3 3En general podemos deducir la fórmula que engloba todo este tipo de integrales. ∫ dxEjemplo 9. Encuentre a + x2 2Solución. En analogía al problema anterior: ∫a ∫ 1 + ( 1 )x dx 1 dx = 2 2 +x 2 a 2 2 ay tomando el cambio de variable u =(1/a)x y por lo tanto du =(1/a)dx
  10. 10.  a  du  x ∫a ∫ 1 + ( 1 )x ∫ dx 1 dx 1 1 = 2 = 2  = arctan u + c = arctan  + c 2 +x 2 a 2  a  1+ u 2 a a a a2es decir:  x ∫a dx 1 = arctan  + c ---------- (I) 2 +x 2 a aa reserva de probarlo más adelante, aceptaremos la siguiente fórmula: a+x ∫ dx 1 = ln +c --------- (II) a2 − x2 2a a − xy probaremos lo siguiente: ∫ dxLas integrales de la forma , con a ≠ 0, se reducen a las fórmulas (I) ó ax + bx + c 2(II) mediante cambio de variable.El procedimiento consistirá en completar trinomio cuadrado perfecto y tomar el cambio devariable adecuado. ∫ dxEjemplo 10. Encuentre 2 x + 12 x + 10 2Solución. Completemos el trinomio cuadrado perfecto.2 x 2 + 12 x + 10 = 2[x2 + 6x + 5] = 2[x2 + 6x + 9-9 +5] = 2[(x2 + 6x + 9) - 4] =2[(x+3)2 - 4]sustituimos en la integral e identificamos con la fórmula (II)  1  1  2 + ( x + 3)∫ ∫ ∫ dx 1 dx 1 dx = =− =  −   ln +c 2 x 2 + 12 x + 10 2 ( x + 3) 2 − 4 2 4 − ( x + 3) 2  2  4  2 − ( x + 3)
  11. 11. es decir  1 5+ x ∫ dx =  −  ln +c 2 x + 12 x + 10  8  − 1 − x 2Obsérvese que no importa cual sea el trinomio cuadrado, al completarlo nuestra integralsiempre se reducirá a una de las dos fórmulas.Una vez visto lo anterior, veremos un procedimiento que nos permitirá calcular integralesde la forma ( Ax + B) ∫ ax 2 + bx + c dx con a ≠ 0 (5 x + 3)dxEjemplo 11. Encuentre ∫ 3x 2 + 4 x + 2Solución. Por supuesto que el tipo más sencillo de este tipo de integrales es cuando en elnumerador aparece la derivada del término cuadrático del denominador. (6 x + 4)dx ∫ 3x + 4 x + 2 2 = ln 3 x 2 + 4 x + 2 + cPartiremos de esta función y modificaremos el numerador para obtener una expresión fácilde integrar (5 x + 3) 5 (6 x + 4) + 3 − 20 5 (6 x + 4) − 1 ∫ 3x 2 + 4 x + 2 dx = ∫ 6 3x 2 + 4 x + 2 6 dx = ∫ 3x 6 2 3 + 4x + 2 dx = ( 6 x + 4) ∫ ∫ 1 dx = 5 dx − 3x + 4 x + 2 3 3x + 4 x + 2 6 2 2La primera de las integrales ya está resuelta y la segunda se resuelve con el procedimientodescrito en el ejemplo anterior. 3x2+4x+2 = 3[x2 + 4/3x + 2/3] = 3[(x2 + 4/3x + 4/9) + 2/3-4/9] = 3[(x +2/3)2 + 2/9]  1  3   3( x + 2 )  ∫ ∫ dx 1 dx = =    arctan  3  +c 3x + 4 x + 2 2 3 (x + 3) + 9 2 2 2  3  2   2  En consecuencia :
  12. 12. (5 x + 3)dx  3x + 2  ∫ 3x 5 1 = ln 3x 2 + 4 x + 2 − arctan +c 2 + 4x + 2 6 3 2  3 2  Regresar al índiceEl método de Integración por partesEste método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como unproducto de una función por la derivada de otra. Más precisamente, deduciremos la fórmulade integración por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones. [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g(x)integrando en ambos lados ∫ [f(x)g(x)] dx = ∫ f (x)g(x) dx + ∫ f (x)g (x) dx obtenemos: ∫ ∫ f ( x) g ( x) = f (x)g(x) dx + f ( x)g (x) dxy despejando la segunda integral: ∫ f (x)g (x) dx = f ( x) g ( x) + ∫ f (x)g(x) dxobtenemos finalmente la FORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES.A continuación veremos en algunos ejemplos como utilizar esta fórmula.Ejemplo 1. Encuentre ∫ x cos(x) dxSolución. Con el fin de utilizar la fórmula anterior, tomaremos f(x) = x y g(x) = cos(x), esdecir el integrando xcos(x) = f(x) g(x)f(x) = x g (x) = cos(x)f (x) = 1 g(x) = sen(x)
  13. 13. ∫ x cos( x) dx = xsen( x) − ∫ sen( x) dx = − xsen( x) + cos( x) + cObserve que también hubiéramos podido hacer la siguiente elección de f y g:f(x) = cos(x) g (x) = xf (x) = -sen(x) g(x) = x2/2sólo que la función por integrar en el lado derecho tiene un mayor grado de dificultad pararesolverse que la original. x2 x2 ∫ x cos( x) dx = 2 ∫ cos( x) − − 2 sen( x) dxNOTACIÓN. Con el fin de ser congruentes con la notación utilizada en la mayoría de loslibros del mercado, le llamaremosu = f(x) y v = g(x) y en consecuencia du = f (x)dx así como du = g (x)dx. Con estanueva notación resolveremos los siguientes ejercicios. ∫ xe xEjemplo 2. Encuentre dxSolución. Utilizaremos el siguiente cuadrou=x v = exdu = dx dv = ex dxobsérvese que con esta notación, en vez de tomar g (x) = ex , tomamos su diferencialdv = ekdx y análogamente con f, permitiendo que una parte del integrando sea u y el restosea dv. ∫ xe ∫ dx = xe x − e x dx = xe x − e x + c xEn estos primeros dos ejemplos, una adecuada elección de u y dv nos lleva en un solo pasoa resolver nuestra integral reduciéndola a una integral más fácil de resolver.Existen otras situaciones, como se verá en los siguientes ejemplos, en que si bien la integraldel lado derecho tiene un menor grado de dificultad, no es una integral inmediata, requierede un nuevo proceso de integración por partes ó resolverla por cambio de variable, ó algúnotro procedimiento.
  14. 14. ∫x e 2 xEjemplo 3. Encuentre dxSolución. Utilizaremos el siguiente cuadrou = x2 v = exdu = 2xdx dv = ex dx ∫x e ∫ dx = x 2 e x − 2 xe x dx 2 xla integral del lado derecho se resuelve por partes (Ejemplo 2), obteniendo: ∫x e dx = x 2 e x − 2( xe x − e x ) + c 2 xObservación: La elección u = ex, dv = x2dx nos lleva a una integral con un mayor grado dedificultad.Ejemplo 4. Encuentre ∫ arctan x dxSolución. Utilizaremos el siguiente cuadrou = arctanx v=x dxdu = dv = dx 1 + x2 ∫ ∫ x arctan x dx = x arctan x − dx 1 + x2En este caso, la integral del lado derecho se resuelve por un cambio de variable,obteniendo: ∫ 1+ x ∫ x 1 2x 1 dx = dx = ln(1 + x 2 ) + c 2 2 1+ x 2 2y en consecuencia: ∫ 1 arctan x dx = x arctan x − ln(1 + x 2 ) + c 2
  15. 15. ∫ sen (x) dx 2Ejemplo 5. EncuentreSolución. Utilizaremos el siguiente cuadrou = senx v = -cosxdu =cos dx dv = senx dx ∫ sen ( x) dx = −senx cos x − ∫ − cos ( x) dx = −senx cos x + ∫ cos ( x) dx 2 2 2La integral del lado derecho, al parecer tiene el mismo grado de dificultad que la integraloriginal, incluso es de la misma naturaleza que la original, lo que nos sugiere utilizar denuevo el método de integración por partesu = cosx v = senxdu =-sen dx dv = cos dx ∫ cos ( x) dx = −senx cos x − ∫ − sen ( x) dx = senx cos x + ∫ sen ( x) dx 2 2 2que al sustituirse nos da: ∫ sen ( x) dx = −senx cos x + ∫ cos ( x) dx = −senx cos x + senx cos x + ∫ sen ( x) dx 2 2 2obteniendo la identidad ∫ sen ( x) dx = −senx cos x + senx cos x + ∫ sen ( x) dx 2 2en la que si dejamos en el lado izquierdo las integrales, obtenemos 0 = 0, que no nos ayudaa encontrar el valor de nuestra integral.La alternativa en este caso es utilizar la identidad trigonométrica sen2x + cos2x =1inmediatamente después de la primera integración por partes. ∫ sen ( x) dx = −senx cos x + ∫ cos ( x) dx = −senx cos x + ∫ (1 − sen x) dx 2 2 2
  16. 16. ∫ sen ( x) dx = −senx cos x + x − ∫ sen ( x) dx . 2 2Si bien nos vuelve a aparecer la misma integral, esta vez aparece con distinto signo, lo quenos permite despejarla, es decir si dejamos del lado izquierdo las integrales, obtendremos: ∫ 2 sen 2 ( x) dx = − senx cos x + x .O bien x − senx cos x ∫ sen ( x) dx = +c. 2 2 ∫ e sen( x) dx xEjemplo 6. EncuentreSolución. Utilizaremos el siguiente cuadrou = ex v = -cosxdu = ex dx dv = senx dx ∫ e sen( x) dx = −e ∫ cos x + e x cos x x xDe nuevo como en el ejemplo anterior, la integral del lado derecho es de la mismanaturaleza y del mismo grado de dificultad, por lo que podríamos intentar utilizar de nuevoel método de integración por partes.u = ex v = senxdu = ex dx dv = cosx dx ∫e ∫ cos x dx = e x senx − e x senx dx xSustituyendo, obtenemos:
  17. 17. ∫ e senx dx = −e ∫ ∫ cos x + e x cos x = e x senx − e x cos x − e x senx x x ∫ e senx dx = e senx − e ∫ cos x − e x senx x x xde donde podemos despeja a la integral ∫ 2 e x senx dx = e x senx − e x cos xy en consecuencia e x senx − e x cos x ∫ e x senx dx = 2 +cA continuación abordaremos unos ejemplos en que, debido a la gran cantidad deposibilidades debe tenerse un criterio preciso para decidir sobre la elección de u y dv. ∫ 2Ejemplo 7. Encuentre x 3e x dxSolución. En este tipo de funciones a integrar, hay muchas maneras de expresar alintegrando como un producto: 2 2 2 2u = x3, dv = e x dx ; u = x2, dv = x e x dx ; u = x, dv = x2 e x dx ; u = 1, dv = x3 e x dx ; 2u = x3 e x dx , dv = dx, etc.¿Cuál de estas opciones elegir?Lo primero que debemos hacer es asegurarnos que en nuestra elección, dv sea una funciónfácil de integrar. Si examinamos con detalle las opciones, sólo la opción 2u = x2, dv = x e x dx cumple con esto ya que dv es fácil integrar por un simple cambio devariable: ∫ ∫ 2 1 2 1 2 v= xe x dx = 2 xe x dx = e x + c 2 2Así pues el cuadro para la integración por partes será: 1 x2u = x2 v= e 2 2du = 2x dx dv = xe x dx
  18. 18. ∫ ∫ 2 1 2 x2 2 1 2 1 2 x 3e x dx = x e − xe x dx = x 2 e x − e x + c 2 2 2 ∫x 6 − 3 x 5 dx 9Ejemplo 8. EncuentreSolución. Con un criterio similar al del caso anterior, tomamos la siguiente elección: 3 −2u=x 5 v= (6 − 3 x 5 ) 2 45du = 5x4 dx dv = x 4 6 − 3x 5 dx 1 3 −1  − 1  2 donde v = ∫ dv =∫ x 6 − 3x dx = ∫ − 15 x 4 (6 − 3x 5 ) 2 dx =   (6 − 3 x 5 ) 2 4 5 15  15  3  3 3 − 2x5∫x ∫ 10 4 9 6 − 3x dx = 5 (6 − 3 x 5 ) 2 + x (6 − 3x 5 ) 2 dx 45 45 3 3 − 2x5  10  − 1  = 45  45  15  ∫ (6 − 3x 5 ) 2 +    − 15 x 4 (6 − 3x 5 ) 2 dx 3 5 − 2 x5  2  2  = (6 − 3 x 5 ) 2 −    ( 6 − 3 x ) 2 + c 5 45  135  5 Así pues: − 2 x5  4  ∫ x 9 6 − 3 x 5 dx = (6 − 3 x 5 ) 3 −   (6 − 3 x ) + c 5 5 45  675  Regresar al índice
  19. 19. Integrales de funciones trigonométricasA continuación veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funcionestrigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método de sustitucióntrigonométrica. ∫ sen x dx ∫ cos x dx n nI. Potencias de senos y cosenosPara resolver este tipo de integrales, consideraremos dos casos: a) Si n es impar, es decir n = 2k +1, factorizamos el integrando, por ejemplo senn x dx = sen2k+1 x dx = (sen2 x)k senx dxUtilizamos la identidad sen2x + cos2x =1 y tomamos el cambio de variable u =cosx.De manera análoga en el caso de las potencias del coseno, tomando el cambio de variableu= senx. b) Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo senn x = sen2k x = (sen2 x)k ó en el caso del coseno cosn x = cos2k x = (cos2 x)ky utilizamos las identidades trigonométricas: 1 − cos(2 x) 1 + cos(2 x) sen 2 x = ó cos 2 x = 2 2 ∫ sen x dx 3Ejemplo 1. ResolverSolución: ∫ sen x dx = ∫ sen x senx dx = ∫ (1 − cos 3 2 2 x ) senx dx
  20. 20. sea u = cosx, entonces du = -senx, y al sustituir en la integral obtenemos: u3 cos 3 x ∫ sen 3 x dx = ∫ ∫ (1 − cos 2 x) senx dx = − (1 − u 2 ) du = 3 −u +c = 3 − cos x + c ∫ cos x dx 5Ejemplo 2. ResolverSolución: 2 2 ∫ cos 5 x dx = ∫ (cos 2 x) cos x dx = ∫ (1 − sen 2 x) cos x dxsea u = senx, entonces du = cosx, y al sustituir en la integral obtenemos: 2 2u 3 u 5 2 sen 3 x sen 5 x∫ ∫ cos 5 x dx = (1 − u 2 ) du = ∫ (1 − 2u 2 + u 4 )du = u − 3 + 5 + c = senx − 3 + 5 +c ∫ sen x dx 4Ejemplo 3. ResolverSolución: 1 − cos( 2 x) 2 ∫ sen x dx = ∫ ∫ ∫ 1 4 ( sen x) dx = ( 2 2 ) dx = (1 − 2 cos(2 x) + cos 2 ( 2 x )) dx 2 4 ∫ ∫ ∫ 1 1 1 = dx − cos( 2 x) dx + cos 2 ( 2 x ) dx 4 2 4 ∫ sen mII. Productos de potencias de senos y cosenos x cos n x dx . a) Si m y n son pares, utilizaremos las identidades: 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sen 2 x = y cos 2 x = 2 2 b) Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad sen2x + cos2x = 1 ∫ tan mII. Productos de potencias de tangentes y secantes x sec n x dx . a) Si n es par, utilizamos la identidad: sec2x = 1 + tan2x.
  21. 21. b) Si m es impar, utilizamos la identidad: tan2x = sec2x- 1. c) Si n es impar y m par usamos algún otro método como por ejemplo integración por partes. Regresar al índiceEl Método de Sustitución TrigonométricaEste método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar ciertotipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas,como por ejemplo nuestra conocida fórmula: ∫ 1 dx = arcsenx + c 1− x2la cual "resolveremos" con el fin de motivar el uso del método.Observe que si tomamos el cambio de variable x = senθ donde -π/2 < θ < π/2 pues -1 < x < 1y en consecuencia dx = cosθ dθ y 1 − x 2 = 1 − sen 2θ = cos 2 θ = cos θ = cos θpues cosθ > 0 en el intervalo -π/2<θ<π/2Sustituyendo x en términos de θ, obtenemos una integral en la variable θ, la cualresolvemos fácilmente y del cambio de variable la expresamos en términos de x. ∫ ∫ cosθ cosθ dθ = ∫ dθ = θ + c = arcsenx + c 1 1 dx = 1− x 2Como podemos apreciar, al abordar este tipo de integrales siempre tendremos que resolveruna integral trigonométrica, como las que se resolvieron en la sección anterior.Primer caso.Si en el integrando aparece un radical de la forma a 2 − x 2 tomamos el cambio devariable
  22. 22. x = a senθ, con a > 0.Como se apreció anteriormente, la variación de x en el intervalo (-a, a) se corresponde conla variación de θ en el intervalo (-π/2 , π/2)En este primer caso la expresión del radical en términos de θ será: a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sen 2θ = a 2 (1 − sen 2θ ) = a cos 2 θ = a cos θ = a cos θesta última igualdad pues cosθ > 0 en el intervalo (-π/2 , π/2)También del cambio de variable obtenemos el valor de θ = arcsenx,pues la función inversa de f(x) = senx se encuentra definida precisamente en el intervalo(-a,a) y con valores en (-π/2, π/2).Ejemplo 1. Encuentre el área del círculo de radio 2.Solución. La ecuación de la circunferencia de radio 2 y centro en le origen es: x2 + y2 = 4cuya gráfica es: -2 2Evidentemente esta gráfica no corresponde a una función, pero podemos restringirnos alintervalo [0, 2], calcular el área bajo la grafica y multiplicarla por 4 para obtener el áreadeseada.
  23. 23. La función de la figura la obtenemos despejando a y en términos de x, en la ecuación de lacircunferencia: y = 4 − x2Así pues el área buscada será: 2 A=4 ∫ 0 4 − x 2 dxPrimeramente encontraremos ∫ 4 − x 2 dxEn esta integral, tomamos el cambio de variable trigonométrico x = 2senθ por lo cual dx = 2cosθ dθ y 4 − x 2 = 2 cos θ .sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable θ, e integrando,obtenemos: ∫ ∫ ∫ 4 4 − x 2 dx = ( 2 cosθ )(2 cosθ ) dθ = 4 cos 2 θ dθ = (θ + senθ cosθ ) + c 2Del cambio de variable x = 2senθ obtenemos que senθ = x/2, es decir, θ = arcsen(x/2).Asimismo del cambio de variable, podemos construir el triángulo: 2 x θ 4 − x2
  24. 24. 4 − x2En este caso particular senθ = x/2 y cosθ = . 2Así pues la integral resuelta en términos de la variable θ, la expresamos en términos de lavariable original, x. x 4 − x2 ∫ 4 4 − x 2 dx = (θ + senθ cos θ ) + c = 2(arcsenθ + )+c 2 4 x 4 − x2 ∫ 4 − x 2 dx = 2arcsenθ + 2 +cCalculemos ahora la integral definida 2 2 4 − 22 0 4 − 02∫0 4 − x 2 dx = 2arcsen(1) + 2 − 2arcsen(0) + 2 = 2arcsen1 = 2(π / 2) = πy finalmente el área será: 2 A=4 ∫ 0 4 − x 2 dx = 4π ∫x dxEjemplo 2. Encuentre 9 − x2Solución. Tomemos el cambio de variable trigonométrico: x = 3senθ por lo cual dx = 3cosθ dθ y 9 − x 2 = 3 cos θ .sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable θ, e integrando,obtenemos: 3 cosθ ∫x ∫ ∫ ∫ dx 1 1 1 1 = dθ = dθ = cscθdθ = ln cscθ − cot θ + c 9 − x2 (3senθ )(3 cosθ ) 3 senθ 3 3Del cambio de variable x = 3senθ obtenemos que senθ = x/3, y , podemos construir eltriángulo: 3 x θ 9 − x2
  25. 25. A partir del cual podemos encontrar cualquier función trigonométrica de θ. 9 − x2En este caso particular cscθ = 3/x y cotθ = . 3Así pues la integral resuelta en términos de la variable θ, la expresamos en términos de lavariable original, x. 9 − x2 ∫ dx 1 1 3 = ln csc θ − cot θ + c = ln − +c x 9 − x2 3 3 x x 9 − x2 ∫ dx 1 3 = ln − +c x 9 − x2 3 x x ∫ x dxEjemplo 3. Encuentre 16 − x 2Solución. Tomemos el cambio de variable trigonométrico: x = 4senθ por lo cual dx = 4cosθ dθ y 16 − x 2 = 4 cos θ .sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable θ, e integrando,obtenemos: (4senθ )(4 cosθ ) ∫ ∫ ∫ x dx = dθ = 4 senθ dθ = − 4 cosθ + c 16 − x 2 (4 cosθ )Del cambio de variable x = 4senθ obtenemos que senθ = x/4, y , podemos construir eltriángulo: 4 x θ 16 − x 2
  26. 26. 16 − x 2Y a partir de él calcular cosθ = . 4Así pues la integral resuelta en términos de la variable θ , la expresamos en términos de lavariable original, x.  16 − x 2   + c = 16 − x + c 2 ∫ x dx = − 4 cos θ + c = −4 16 − x 2  4  4  Observación: Esta integral puede resolverse también con un sencillo cambio de variablealgebraico u = 16 - x2. Compruebe este resultado como ejercicio. x 3 dxEjemplo 4. Encuentre ∫ 4 − 9x2Solución. Nótese que para verlo como una integral del primer caso, debemos hacer uncambio de variable ó sencillamente factorizar el 9 en el radical: 4 − 9 x 2 = 9( 4 / 9 − x 2 ) = 3 4 / 9 − x 2 .A continuación tomamos el cambio de variable: 2 2 2 x= senθ por lo cual dx = cosθ dθ y 4 / 9 − x2 = cos θ . 3 3 3sustituyendo en la integral original, obtenemos: 2 2 3 ( senθ ) 3 ( cosθ ) 8 1  ∫ ∫ ∫ x dx 1 3 3 8 = dθ = sen 3θ dθ =  cos 3 θ − cosθ  + c 4 − 9x 2 3 2 ( cosθ ) 81 81  3  3 2 3xDel cambio de variable x = senθ , obtenemos que senθ = , y podemos construir el 3 2triángulo: 2 3x θ 4 − 9x 2
  27. 27. 4 − 9x2Y a partir de él, calcular cosθ = . 2Finalmente: 3 x 3 dx 8 1  8  4 − 9x2    − 8  4 − 9x 2  ∫ =  cos θ − cos θ  + c =  +c 3 4 − 9x 2 81  3  243   2  81    2  Segundo caso.Si en el integrando aparece un radical de la forma a 2 + x 2 tomamos el cambio devariable x = a tanθ, con a > 0.En este tipo de radicales la variación de x es en toda la recta real, razón por la cual se tomaa la tangente, la cual varía tiene esta misma variación en el intervalo (-π/2 , π/2)En este segundo caso la expresión del radical en términos de θ será: a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 θ = a 2 (1 + tan 2 θ ) = a sec 2 θ = a sec θ = a sec θy al igual que en el caso anterior como cosθ > 0 en el intervalo (-π/2 , π/2), también lo serásecθ.También del cambio de variable obtenemos el valor de θ = arctanx.Pues la inversa de la función f(x) = tanx se encuentra definida en todos los reales y convalores en (-π/2 , π/2)Ejemplo 5. Encuentre ∫ 2 + x 2 dxSolución. Tomamos el cambio de variable: x = 2 tan θ por lo cual dx = 2 sec 2 θ dθ y 2 + x 2 = 2 sec θ .sustituyendo en la integral original, obtenemos:
  28. 28. ∫ ∫ ∫ 2 + x 2 dx = ( 2 secθ )( 2 sec 2 θ )dθ = 2 sec 3 θ dθ = 2(secθ tan θ + ln secθ + tan θ + c xDel cambio de variable x = 2 tan θ , obtenemos que tanθ = , y podemos construir el 2triángulo: 2 + x2 x θ 2 2 + x2 xY a partir de él calcular secθ = y tan θ = , que al sustituir en la integral 2 2obtenemos:  x 2 + x2     + 2 ln x + 2 + x 2∫ 2 + x dx == 2(sec θ tan θ + ln sec θ + tan θ ) + c = 2 +c 2  2   2     En general el método de sustitución trigonométrica se utiliza cuando aparece un radical delas formas señaladas en los casos, lo cual no significa que debe aparecer solo (elevado a lapotencia 1). En el siguiente ejemplo calcularemos una integral en la que el radical apareceelevado al cubo. ∫ dxEjemplo 6. Encuentre (1 + x 2 ) 3Solución. Tomamos el cambio de variable: x = tan θ por lo cual dx = sec 2 θ dθ y (1 + x ) 2 3 = ( 1 + x ) = sec θ . 2 3 3sustituyendo en la integral original, obtenemos: sec 2 θ dθ ∫ ∫ ∫ dx = = cosθ dθ = senθ + c (1 + x 2 ) 3 sec 3 θDel cambio de variable x = tanθ , podemos construir el triángulo: x 1+ x2
  29. 29. θ 1 xa partir del cual calculamos senθ = . 1 + x2 ∫ dx x = senθ + c = +c (1 + x ) 2 3 1 + x2A continuación encontraremos la integral de una función en la que no apareceexplícitamente el radical. ∫ (1 + x ) 2 −2Ejemplo 7. Encuentre dxSolución. Obsérvese que el integrando lo podemos expresar como 1 1 (1 + x 2 ) −2 = = (1 + x 2 ) 2 ( 1+ x ) 2 4Tomamos el cambio de variable: x = tan θ por lo cual dx = sec 2 θ dθ y ( 1 + x ) = sec θ . 2 4 4sustituyendo en la integral original, obtenemos: sec 2 θ dθ ∫ (1 + x ) ∫ ∫ ∫ 2 −2 dx 1 dx = = = cos 2 θ dθ = (θ + senθ cos θ) + c (1 + x ) 2 4 sec θ 4 2Del cambio de variable x = tanθ , construimos el triángulo: x 1+ x2 θ 1 x 1a partir del cual calculamos senθ = y cosθ = . 1+ x 2 1 + x2Obteniendo finalmente:
  30. 30. ∫ 1 1 x (1 + x 2 ) −2 dx = (θ + senθ cos θ ) + c = (arctan x + )+c 2 2 1 + x2Tercer caso.Si en el integrando aparece un radical de la forma x 2 − a 2 tomamos el cambio devariable x = a secθ, con a > 0.En este tipo de radicales la variación de x es en (-∞, -a)∪(a, ∞), razón por la cual se toma x = asecθ, la cual tiene esta misma variación en (0, π/2) ∪( π/2, π), justamente donde lafunción secante tiene inversa.En este tercer caso la expresión del radical en términos de θ será: x 2 − a 2 = a 2 sec 2 θ − a 2 = a 2 (sec 2 θ − 1) = a tan 2 θ = a tan θsolamente que en este dominio, la tangente toma valores positivos y negativos, por lo queno podemos quitar impunemente el valor absoluto.Para resolver este conflicto, asociaremos las variaciones de x y de θ, de la siguiente manera: x > k ⇔ 0 < θ < π/2 x < -a ⇔ π < θ < 3π/2siendo la función tangente, positiva en estos intervalos para poder tomar x 2 − a 2 = a tan θtomaremos el valor de θ de la siguiente manera:  x θ = arc sec  si x > a a  x θ = 2π − arc sec  si x < − a a
  31. 31. ∫ dxComo ejercicio, encuentre . x2 − 9 Regresar al índiceEl Método de las Fracciones ParcialesEste método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente depolinomios)A manera de ilustración consideremos la siguiente integral: x2 + x + 3 . ∫ x−2 dx.Obsérvese que difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos quedisponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios: x+3 2 x-2 x +x+3 -x2 + 2x 3x + 3 -3x + 6 9Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos: x2 + x + 3 = (x - 2 ) ( x + 3 ) + 9Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar,dividimos en ambos lados entre ( x - 2 ):
  32. 32. x2 + x + 3 9 = ( x + 3) + x−2 x−2descomponiendo de esta manera nuestra fracción "complicada" en una suma de fracciones"sencillas" a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar. x2 + x + 3 x2 ∫ ∫ ∫ 9 dx = ( x + 3) dx + dx = + 3 x + 9 ln x − 2 + c x−2 x−2 2 P( x)En general si queremos integrar un cociente de polinomios en el que el grado de P(x) Q( x)es mayor o igual al grado de Q(x), procederemos como en el caso anterior, aplicando elalgoritmo de la división q(x) Q(x) P(x) r(x)Donde r(x) = 0 ó grad r(x) < grad Q(x) P(x) = Q(x) q(x) + r(x)Dividiendo entre Q(x), obtenemos: P( x) r ( x) = q ( x) + Q( x) Q( x)en donde la integral buscada, ∫ Q( x) dx = ∫ q( x) dx + ∫ Q( x) dx P( x) r ( x) con gr r ( x) < gr Q( x)se reduce a calcular la integral de un polinomio q(x) y la integral de una función racional enla cual el numerados tiene grado menos que el denominador.A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (enlas cuales el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como unasuma de fracciones parciales las cuales son fáciles de integrar.Primer caso.
  33. 33. [Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas]Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos, es decir: Q(x) = (x - a1) (x - a2) (x - a3)... (x - an),hacemos la siguiente descomposición: P ( x) A1 A2 A3 An = + + + ... + Q( x) x − a1 x − a 2 x − a3 x − andonde A1, A2, A3,... An son constantes reales.Nótese que una vez efectuada la descomposición, la integración es inmediata pues: Ak ∫ x − ak dx = ln x − a k + cy por lo tanto: A1 A2 A3 An ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ P ( x) dx = dx + dx + dx + ... + dx Q( x) x − a1 x − a2 x − a3 x − an ∫ Q( x) dx = ln x − a P ( x) 1 + ln x − a 2 + ln x − a3 + ... + ln x − a n + c ∫x dxEjemplo 1. Calcular 2 −16Solución: En este ejemplo Q(x) = x2 -16 = (x-4) (x+4).La descomposición en fracciones parciales sería: 1 A B = + , x − 16 x + 4 x − 4 2en la que bastará determinar las dos constantes A y B para poder encontrar nuestra integral.Procederemos a la determinación de las constantes, efectuando la suma del lado derecho: 1 A( x − 4) + B( x + 4) Ax − 4 A + Bx + 4 B x( A + B) + (4 B − 4 A) = = = , x − 16 2 ( x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4)
  34. 34. Observamos que la primera y la última fracción son iguales y tienen el mismodenominador, por lo que sus numeradores forzosamente son iguales, es decir: 1 = x(A+B) + (4B-4A)o bien 0x +1 = x(A+B) + (4B-4A)de donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: A+B = 0 4B -4A = 1que resolviéndolo nos queda 4A+4B = 0 4B -4A = 1 8B = 1por lo que B = 1/8, y sustituyendo en la primera ecuación, A = -B = -1/8.Una vez determinadas nuestras constantes A y B, las sustituimos en la descomposicióninicial, obteniendo: 1 A B 1/ 8 1/ 8 = + = − , x − 16 x + 4 x − 4 x + 4 x − 4 2quedando finalmente la integración: ∫ ∫ ∫ dx 1/ 8 1/ 8 1 1 = dx − dx = ln x + 4 − ln x − 4 + c x − 16 2 x+4 x−4 8 8o bien , utilizando las propiedades de los logaritmos: 1 x+4 ∫x dx = ln +c 2 − 16 8 x − 4Observación: Esta integral es un caso particular de la fórmula presentada sin demostraciónen el método de cambio de variable
  35. 35. a−u ∫ du 1 = ln +c a −u 2 2 2a a + ula cual puede ahora probarse con el método de fracciones parciales como un ejercicio. x+2Ejemplo 2. Calcular ∫x 2 − 2 x − 15 dxSolución: En este ejemplo, Q(x) = x2 -2x - 15 = (x-5) (x+3).La descomposición en fracciones parciales sería: x+2 A B = + , x − 2 x − 15 x − 5 x + 3 2y siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior x+2 A B A( x + 3) + B( x − 5) x( A + B) + (3 A − 5B) = + = = , x − 2 x − 15 x − 5 x + 3 2 ( x − 5)( x + 3) ( x − 5)( x + 3)igualando coeficientes, obtenemos el sistema: A+B=1 3A -5B = 2que al resolverlo nos da: 5A + 5B = 5 3A -5B = 2 8A = 7obteniendo el valor de A = 7/8.Para encontrar B, la despejamos en la primera ecuación B = 1 - A = 1 - 7/8 = 1/8Así pues, la descomposición en fracciones parciales es: x+2 7 / 8 1/ 8 = + , x − 2 x − 15 x − 5 x + 3 2
  36. 36. y nuestra integral: x+2 ∫ ∫ ∫ 7/8 1/ 8 7 1 dx = dx + dx = ln x − 5 + ln x + 3 + c x − 2 x − 15 2 x−5 x+3 8 8Observación: En cada uno de los casos de este método se afirma que se puede dar unadescomposición en fracciones parciales, lo cual es un resultado del álgebra y que por lotanto debería probarse algebraicamente, ya que podría surgir la duda de que en una de estasdescomposiciones se produjera un sistema de ecuaciones sin solución. No daremos aquí lademostración pero veremos que por lo menos en el primer caso siempre será posibleencontrar las constantes, es decir los sistemas resultantes si tendrán solución.Otro método para determinar las constantes:Tratemos de "despejar" la constante A de la descomposición deseada:Multiplicamos en ambos lados de la ecuación por (x-5) x+2 A B = + ( x − 5)( x + 3) x − 5 x + 3obteniendo: x+2 B ( x − 5) = A+ x+3 x+3despejamos a la constante A x + 2 B ( x − 5) A= − x+3 x+3evaluamos en x = 5 y obtenemos A =7/8Obsérvese que estos pasos para determinar A se pueden comprimir en uno solo:Determinando las constantes por otro método: De la expresión a descomponer enfracciones parciales, se elimina del denominador el factor lineal correspondiente a estaconstante y finalmente se evalúa en el punto donde este factor eliminado se anula. x+2Es decir A = evaluado en x = 5 , resultando A = 7/8. x+3
  37. 37. Similarmente para obtener el valor de B, multiplicamos en ambos lados de la ecuaciónoriginal por (x+3), despejamos B y evaluamos en x = -3, obteniendo: x+2 B= evaluado en x = -3 x−5 B = 1/8. 2 x 2 − 3x + 1Ejemplo 3. Calcular ∫ x 3 − 6x 2 + 8x dxSolución: En este ejemplo, Q(x) = x3 -6x2 + 8x = x(x-4)(x-2).La descomposición en fracciones parciales sería: 2 x 2 − 3x + 1 A B C = + + , x( x − 4)( x − 2) x x − 4 x − 2siendo los valores de las constantes: 2 x 2 − 3x + 1 A= evaluado en x = 0 ⇒ A = 1/8 ( x − 4)( x − 2) 2 x 2 − 3x + 1 B= evaluado en x = 4 ⇒ B = 21/8 x( x − 2) 2 x 2 − 3x + 1 C= evaluado en x = 2 ⇒ C = -3/4 x( x − 4)Así pues 2 x 2 − 3x + 1 ∫ ∫ ∫ ∫ 1 dx 21 dx 3 dx dx = + − x − 6 x + 8x 3 2 8 x 8 x−4 4 x−2es decir: 2 x 2 − 3x + 1 ∫ 1 21 3 dx = ln x + ln x − 4 − ln x − 2 + c x − 6x + 8x 3 2 8 8 4Segundo caso.
  38. 38. [Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haber repetidas]Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamentedistintos, es decir: Q( x) = ( x − a1 ) m1 ( x − a2 ) m2 ( x − a3 ) m3 ...( x − a n ) mnPor cada factor lineal aparecerán tantas fracciones parciales como multiplicidad tenga estefactor, por ejemplo para el factor (x-ak)mk habrá mk fracciones parciales: A1 A2 Amk + + ... + ( x − a k ) ( x − ak ) 2 ( x − ak ) mkdonde A1, A2, A3,... Amk son constantes reales.De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es sencilla y sereduce a calcular integrales de la forma: ∫ ( x − a) dx nlas cuales, para n > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable. 3x + 8Ejemplo 4. Calcular ∫x 3 − 4x 2 + 4x dxSolución: En este ejemplo, Q(x) = x3 -4x2 + 4x = x(x - 2)2.La descomposición en fracciones parciales sería: 3x + 8 A B C = + + x( x − 2) 2 x x − 2 ( x − 2)2Al desarrollar e igualar los polinomios del numerador, como en los ejemplos anteriores,obtendremos las constantes de resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Siobservamos con detalle la igualdad anterior nos daremos cuenta que la constante B nopuede determinarse por el método "corto", pero sí las otras dos, es decir del sistema de trespor tres ya habremos determinado dos de las incógnitas y de cualquiera de las ecuacionesen que aparezca B la despejamos. 3x + 8 A= evaluado en x = 0 nos da A = 2 ( x − 2) 2
  39. 39. 3x + 8 C= evaluado en x = 2 nos da C = 7 xEfectuando las operaciones y factorizando x2 y x, tenemos: 3x + 8 A B C x 2 ( A + B ) + x(−4 A − 2 B + C ) + 4 A = + + = ... = x( x − 2) 2 x x − 2 ( x − 2)2 x( x − 2) 2igualando los coeficientes de los numeradores, obtenemos el siguiente sistema deecuaciones: A+B = 0 -4A -2 B + C = 3 4A = 8Como sólo falta determinar la constante B, la despejamos de la primera ecuación,obteniendo B = -2.Sustituyendo e integrando: 3x + 8 −2 ∫ x( x − 2) ∫ x dx + ∫ x − 2 dx + ∫ (x − 2) 2 7 2 dx = 2 dx 3x + 8 ∫ x ( x − 2) 7 dx = 2 ln x − 2 ln x − 2 − +c 2 x−2 x +8Ejemplo 5. Calcular ∫ x 6 − 2x 4 + x 2 dxSolución: En este ejemplo, Q(x) = x6 -2x4 + x2 = x2(x4 -2x2 + 1) = x2(x2 -1)2 Q(x) = x2(x +1)2(x +1)2La descomposición en fracciones parciales sería: x+8 A B C D E F = + 2 + + + + x ( x + 1) ( x − 1) 2 2 2 x x x + 1 ( x + 1) 2 x − 1 ( x − 1)2Por el método corto podemos fácilmente encontrar que B = 8, D = 7/4 y F = 9/4.
  40. 40. Para determinar el resto de las constantes tenemos que plantear el sistema de ecuaciones: x+8 A( x 5 − 2 x 3 + x) + B( x 4 − 2 x 2 + 1) + C ( x 5 − x 4 − x 3 + x 2 ) = + x 2 ( x 2 − 1) 2 x 2 ( x 2 − 1) 2 D( x 4 + 2 x 3 + x 2 ) + E ( x 5 + x 4 − x 3 − x 2 ) + F ( x 4 + 2 x 3 + x 2 ) + x 2 ( x 2 − 1) 2conduciéndonos al siguiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas A+C+E=0 B-C+D+E+F=0 -2A - C + 2D - E + 2F = 0 -2B + C + D - E + F = 0 A=1 B=8Como ya tenemos los valores A = 1, B = 8, D = 7/4 y F = 9/4, sustituyéndolos en lasprimeras dos ecuaciones, encontraremos los valores de C y E resolviendo el sistema: C + E = -1 -C + E = -12cuya solución es C = 11/2 y E = -13/2.El valor de la integral, entonces será: x+8 ∫x 8 11 13 9 dx = ln x − + ln x + 1 − ln x − 1 − +c 6 − 2x + x 4 2 x 2 2 4( x − 1)Tercer caso.[Q(x) tiene raíces complejas distintas]Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma ax2 + bx + c con b2 - 4ac < 0
  41. 41. a cada uno de estos factores le corresponderá una fracción parcial de la forma Ax + B ax + bx + c 2donde A y B son constantes reales. 3x + 1Ejemplo 6. Calcular ∫x 3 + 2x 2 + 5x dxSolución: En este ejemplo, Q(x) = x3 +2x2 + 5x = x(x2 +2x + 5) Con b2 - 4ac = 4-20 = -16 < 0La descomposición en fracciones parciales sería: 3x + 1 A Bx + C A( x 2 + 2 x + 5) + x( Bx + C ) = + = x( x 2 + 2 x + 5) x x 2 + 2 x + 5 x( x 2 + 2 x + 5)el sistema a resolver: A+B=0 2A + C = 3 5A = 1y la solución: A = 1/5, B = -1/5 y C = 13/5 1 (2 x + 2) − 13 − 1 3x + 1 x − 13 ∫x ∫ x −5∫ x ∫ x −5∫ 1 dx 1 1 dx 1 2 dx = dx = dx = 3 + 2 x + 5x 2 5 2 + 2x + 5 5 x 2 + 2x + 5 ( 2 x + 2) ∫x ∫x 1 1 14 dx = ln x − dx + = 5 10 2 + 2x + 5 5 2 + 2x + 5 ∫ 1 1 14 dx = ln x − ln x 2 + 2 x + 5 + = 5 10 5 ( x + 1) 2 + 4 1 1 14  1  x + 1 = ln x − ln x 2 + 2 x + 5 +  arctan 2  + c  5 10 5  2 
  42. 42. Cuarto caso.[Q(x) tiene raíces complejas repetidas]Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos repetidos de laforma (ax2 + bx + c)n con b2 - 4ac < 0a cada uno de estos factores le corresponderán n fracciones parciales de la forma A1 x + B1 A2 x + B2 An x + Bn + + ... + ax + bx + c 2 ( ax + bx + c) 2 2 (ax 2 + bx + c ) ndonde Ak y Bk son constantes reales para k = 1,2 ... n. x2Ejemplo 7. Calcular ∫ x 4 + 2x 2 + 1 dxSolución: En este ejemplo, Q(x) = x4 +2x2 + 1 = (x2 +1)2 Con b2 - 4ac < 0La descomposición en fracciones parciales sería: x2 Ax + B Cx + D Ax 3 + Bx 2 + Ax + B + Cx + D = + = ( x 2 + 1) 2 x2 +1 ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2planteándose el sistema de ecuaciones: A=0 B=1 A+C=0 B+D=0Con solución A = 0, B = 1, C = 0 y D = -1Así pues la integral
  43. 43. x2 ∫x ∫x ∫ (x dx dx dx = − 4 + 2x + 1 2 2 +1 2 + 1) 2donde la primera integral es la inversa de la tangente y la segunda se resuelve mediante elsegundo caso de sustitución trigonométrica. Regresar al índice

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