1. F´
ısica I. Curso 2010/11
Departamento de F´
ısica Aplicada. ETSII de B´jar. Universidad de Salamanca
e
Profs. Alejandro Medina Dom´
ınguez y Jes´ s Ovejero S´nchez
u a
Tema 7. Movimientos oscilatorio
y ondulatorio
´
Indice
1. Introducci´n
o 3
2. Movimiento oscilatorio 3
2.1. Cinem´tica del movimiento arm´nico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a o 3
2.2. Din´mica del movimiento arm´nico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a o 6
2.3. Energ´ de un oscilador arm´nico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa o 7
2.4. Ejemplos de movimiento arm´nico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 9
2.4.1. P´ndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 9
2.4.2. P´ndulo f´
e ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Movimiento arm´nico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
o
2.6. Oscilaciones forzadas y resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Movimiento ondulatorio 14
3.1. Conceptos b´sicos y tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
a
3.2. Pulsos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Ondas arm´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o
4. Problemas 22

2. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 2

3. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 3
1. Introducci´n
o
Los principales objetivos de los cap´
ıtulos dedicados a la Mec´nica Cl´sica fueron c´mo
a a o
predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado inicial (velocidad y posici´n)
o
y las fuerzas que act´an sobre ´l. Un caso particular es cuando la fuerza es proporcional al
u e
desplazamiento del cuerpo desde su posici´n de equilibrio. Si dicha fuerza siempre est´ dirigida
o a
hacia la posici´n de equilibrio se produce un movimiento de ida y vuelta, es decir, un movimiento
o
peri´dico u oscilatorio. En F´
o ısica, y en la Naturaleza en general, hay gran variedad de ejemplos
de este tipo de movimiento y de ah´ la importancia de su estudio:
ı
los latidos del coraz´n
o
el movimiento del p´ndulo de un reloj
e
la vibraci´n de las mol´culas de un s´lido alrededor de sus posiciones de equilibrio
o e o
la corriente el´ctrica que circula por el filamento de una bombilla
e
las vibraciones de las cuerdas de un viol´
ın.
El movimiento oscilatorio est´ intr´
a ınsecamente relacionado con los fen´menos ondulatorios.
o
Cuando vibra la cuerda de un viol´ se producen oscilaciones de las mol´culas del aire que lo
ın e
rodea y, por el contacto o interacci´n entre unas y otras, las oscilaciones se propagan en el
o
espacio en forma de onda. El ejemplo m´s sencillo de movimiento oscilatorio es el denominado
a
movimiento arm´nico simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo oscila indefinidamente
o
entre dos posiciones espaciales fijas sin perder energ´ mec´nica. Adem´s de ser el tipo de movi-
ıa a a
miento oscilatorio m´s f´cil de describir matem´ticamente, constituye una buena aproximaci´n
a a a o
a muchas oscilaciones que se encuentran en la Naturaleza.
2. Movimiento oscilatorio
2.1. Cinem´tica del movimiento arm´nico simple
a o
Se dice que una part´
ıcula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento arm´nico
o
simple cuando su desplazamiento respecto a su posici´n de equilibrio var´ con el tiempo de
o ıa

4. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 4
acuerdo con la relaci´n 1 :
o
x(t) = A cos(ωt + δ),
donde A, ω y δ son constantes del movimiento 2 . La representaci´n gr´fica de x = x(t) tiene
o a
esta forma:
x
A
ωt= π/2 ωt=2 π
t
ωt= π ωt=3 π/2
T
Conceptos b´sicos en la descripci´n de este tipo de movimiento son los siguientes:
a o
A: Amplitud −→ m´ximo desplazamiento de la part´
a ıcula (negativo o positivo) respecto
de su posici´n de equilibrio.
o
δ: Desfase inicial −→ junto a la amplitud indica cuales son las condiciones iniciales del
movimiento. Se determina, como veremos m´s adelante, a partir de la posici´n y velocidad
a o
iniciales.
ωt + δ: Fase.
T : Periodo. Es el tiempo que necesita la part´
ıcula para realizar un ciclo completo de su
movimiento. Es decir, x(t) = x(t + T ). En el tiempo T la fase aumenta 2π.
2π 2π
ω(t + T ) + δ = ωt + δ + 2π −→ ωT = 2π −→ ω= o T =
´ .
T ω
ω: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s).
f = 1/T : Frecuencia −→ n´mero de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza la
u
part´
ıcula: 2πf = ω. En el S.I. se mide en 1/s o herzios (Hz).
´
1
Conviene recordar que las funciones sen x y cos x son peri´dicas: sen(x + 2nπ) = sen x; cos(x + 2nπ) = cos x.
o
Por lo que, como veremos m´s adelante est´ funci´n para x(t) representa un movimiento peri´dico en el tiempo.
a a o o
2
Sabiendo que cos x = sen(x + π/2), se puede definir un MAS alternativamente seg´n x(t) = A sen(ωt + δ +
u
π/2) ≡ A sen(ωt + δ ).

5. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 5
δ=0
x(t)
t
-A
v(t)
t
-ωA
a(t)
t
-ω 2A
La velocidad y la aceleraci´n de una part´
o ıcula que realiza un MAS se obtienen sin m´s que
a
derivar su posici´n en funci´n del tiempo:
o o
dx
v(t) = = −ωA sen(ωt + δ) (1)
dt
dv
a(t) = = −ω 2 A cos(ωt + δ) = −ω 2 x(t). (2)
dt
v(t) y a(t) son tambi´n funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero diferente
e
amplitud y desfase: 
x −→ xmax = A

Amplitudes : v −→ vmax = ωA

a −→ amax = ω 2 A

x − v −→ π/2
Desfases :
x − a −→ π

6. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 6
La amplitud, A, y el desfase, δ, del movimiento se obtienen a partir de las condiciones
iniciales del siguiente modo:
x(t) = A cos(ωt + δ) −→ x(t = 0) ≡ x0 = A cos δ
v(t) = −Aω sen(ωt + δ) −→ v(t = 0) ≡ v0 = −Aω sen δ.
Dividiendo ambas ecuaciones:
v0 v0 v0
= −ω tan δ −→ tan δ = − =⇒ δ = arctan − . (3)
x0 ωx0 ωx0
Por otra parte: x
 0 = cos δ
A
− v0 = sen δ
Aω
Elevando al cuadrado y sumando:
1/2
x2
0 v2 v2 v2
+ 20 2 = 1 −→ 2
A = x2
0 + 0 =⇒ A= x2
0 + 0 . (4)
A2 A ω ω2 ω2
Para concluir este apartado resumiremos las propiedades m´s importantes de la cinem´tica del
a a
MAS:
1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes amplitudes y
desfasadas entre s´
ı.
2. La aceleraci´n es proporcional al desplazamiento, pero en sentido opuesto.
o
3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud.
2.2. Din´mica del movimiento arm´nico simple
a o
Ahora que ya sabemos c´mo describir el movimiento arm´nico simple, investigaremos sus
o o
posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema f´
ısico m´s sencillo que da lugar
a
a un movimiento de este tipo es un muelle que horizontalmente sujeta una masa (y se desprecian
los rozamientos). Cuando la masa se desplaza ligeramente de su posici´n de equilibrio el muelle
o
ejerce una fuerza sobre ella proporcional a la elongaci´n pero con signo opuesto a ella y que
o
viene dada por la ley de Hooke,
f = −kx,

7. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 7
donde k es una constante que depende de las caracter´
ısticas del muelle. Despejando la acelera-
ci´n (f = ma):
o
k
a=− x.
m
Luego al igual que en el MAS, la aceleraci´n es proporcional en m´dulo al desplazamiento y
o o
de sentido opuesto. Comprobemos que, efectivamente, la masa realiza un MAS estudiando la
ecuaci´n de movimiento,
o
d2 x k
2
= − x.
dt m
Es f´cil comprobar que la soluci´n de esta ecuaci´n puede escribirse:
a o o
1/2
k
x(t) = A cos(ωt + δ) donde ω= .
m
En efecto:
 dx


 dt = −Aω sen(ωt + δ)

 2
d x
= −Aω 2 cos(ωt + δ)


dt2
k k
−Aω 2 cos(ωt + δ) = − A cos(ωt + δ) =⇒ debe ser ω 2 = .
m m
Con esto podemos concluir que siempre que sobre una part´
ıcula act´e una fuerza proporcional
u
a su desplazamiento y en sentido opuesto a ´ste, realiza un MAS. El periodo y la frecuencia del
e
desplazamiento son: 
T 2π m 1/2
= = 2π

ω k

1/2
f 1 1 k
= =

T 2π m

T y f s´lo dependen de la masa y de la construcci´n del resorte. La frecuencia es mayor
o o
para un resorte duro y al contrario.
2.3. Energ´ de un oscilador arm´nico simple
ıa o
En temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es conservativo y que su
energ´ potencial viene dada por:
ıa
1
U (x) = kx2 .
2
La energ´ total del sistema ser´:
ıa a
1 1
E = Ec + U = mv 2 + kx2 .
2 2

8. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 8
Por el principio de conservaci´n de la energ´ E debe ser una constante del movimiento (si
o ıa,
despreciamos las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que para calcularla podemos elegir
el punto m´s c´modo. Elijamos, por ejemplo, el punto donde la elongaci´n es m´xima y la
a o o a
velocidad nula, es decir, en los extremos de la trayectoria:
x = A cos(ωt + δ) −→ x=A
v = −Aω sen(ωt + δ) −→ v = 0.
E=cte.
U(t)
Ec (t)
t
En ese punto:
1
E = kA2 .
2
Esta es la energ´ de un MAS. Como vemos s´lo depende de la amplitud del movimiento y de
ıa o
la constante del muelle. Como la energ´ mec´nica es constante es instructivo representar c´mo
ıa a o
se compensan Ec y U en un diagrama de energ´ frente al tiempo (en la figura se ha elegido
ıas
δ = 0).
1 1
U = kx2 = kA2 cos2 (ωt + δ)
2 2
1 1
Ec = mω 2 A2 sen2 (ωt + δ) = kA2 sen2 (ωt + δ).
2 2
La energ´ cin´tica tambi´n se puede expresar en t´rminos de la posici´n:
ıa e e e o
1 1
Ec = E − kx2 = k(A2 − x2 ),
2 2
que es la ecuaci´n de una par´bola invertida y centrada en x = 0.
o a
1/2
1 1 k 2
Ec = mv 2 = k(A2 − x2 ) −→ v= (A − x2 ) .
2 2 m
De esta ecuaci´n se deduce inmediatamente que la velocidad es m´xima en x = 0 y que se
o a
anula en los puntos de m´xima elongaci´n: x = ±A.
a o

9. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 9
E
Ec (x)
U(x)
-A x A
2.4. Ejemplos de movimiento arm´nico simple
o
2.4.1. P´ndulo simple
e
El p´ndulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo de longitud, ,
e
inextensible y de masa despreciable frente a m. El otro extremo del hilo se encuentra sujeto a
una posici´n fija. Demostraremos que el p´ndulo realiza un MAS cuando se desplaza ligeramente
o e
de su posici´n vertical de equilibrio y se deja evolucionar libremente, considerando que no hay
o
rozamientos.
θ
l
T
m
s θ
P
La fuerza en la direcci´n tangente al movimiento viene dada por:
o
d2 s d2 s d2 θ
ft = −mg sen θ = m −→ = = −g sen θ
dt2 dt2 dt2

10. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 10
d2 θ g
=⇒ 2
= − sen θ.
dt
Si θ es suficientemente peque˜o se puede hacer la aproximaci´n, sen θ
n o θ. Esto se debe a
que haciendo un desarrollo en serie de la funci´n sen x, y cort´ndolo en el primer t´rmino, la
o a e
diferencia entre x y sen x s´lo es de un 1 % cuando θ ∼ 15o .
o
Luego si el p´ndulo no oscila con demasiada amplitud, su ecuaci´n de movimiento angular
e o
es la de un MAS: θ = θmax cos(ωt + δ). La frecuencia del movimiento y el periodo son:
1/2
g 1/2 2π
ω= ; T = = 2π .
ω g
Ambos par´metros s´lo dependen de l y g, no de la masa. Entonces todos los p´ndulos de igual
a o e
longitud oscilar´n del mismo modo.
a
El p´ndulo simple suele utilizarse en la pr´ctica para gran cantidad de aplicaciones que se
e a
podr´ dividir en dos bloques:
ıan
medir tiempos −→ su periodo es constante (salvo rozamientos y variaciones de por las
condiciones termodin´micas o de g por la latitud o altitud) y es f´cil visualizar el n´mero
a ´ a u
de oscilaciones.
medir g −→ las medidas de g con este m´todo son bastante precisas, lo que es importan-
e
te porque cambios locales de g pueden dar informaci´n valiosa sobre la localizaci´n de
o o
recursos minerales o energ´ticos.
e
2.4.2. P´ndulo f´
e ısico
Cualquier s´lido r´
o ıgido colgado de alg´n punto que no sea su centro de masas oscilar´ cuando
u a
se desplace de su posici´n de equilibrio. Este dispositivo recibe el nombre de p´ndulo f´
o e ısico o
compuesto.
El momento del peso respecto al eje de giro ser´ τ = mgh sen φ y la segunda ley de Newton
a
para la rotaci´n se expresar´,
o a
d2 φ
τ = Iα = I
dt2 .
El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el ´ngulo φ por lo que:
a
d2 φ d2 φ mgh
−mgh sen φ = I −→ =− sen φ.
dt2 dt 2 I

11. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 11
Para un p´ndulo simple, I = ml2 y h = l, con lo que se recuperan las ecuaciones del apartado
e
anterior. Cuando los desplazamientos angulares son peque˜os sen φ
n φy
1/2 1/2
d2 φ mgh mgh I
2
=− φ = −ω 2 φ donde ω = y T = 2π .
dt I I mgh
Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia de s´lidos r´
o ıgidos.
eje de
z
giro
h m, I
φ
h sen φ c.m.
P
2.5. Movimiento arm´nico amortiguado
o
Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora se refieren a sistemas
ideales, es decir, oscilan indefinidamente bajo la acci´n de una fuerza lineal opuesta al despla-
o
zamiento. Sin embargo, en los sistemas reales siempre est´n presentes fuerzas disipativas que
a
hacen que la energ´ mec´nica se vaya perdiendo progresivamente. En este caso se dice que el
ıa a
movimiento arm´nico est´ amortiguado.
o a
Un tipo habitual de fuerzas de fricci´n son las proporcionales a la velocidad fr = −bv. La
o
ecuaci´n de movimiento de un sistema sometido a una fuerza lineal y otra de rozamiento ser´
o ıa:
d2 x
m 2 = −kx − bv.
dt
Un ejemplo f´
ısico de esta situaci´n ser´ un muelle sumergido en un fluido. Resolviendo la
o ıa
ecuaci´n diferencial anterior se puede obtener que su soluci´n es de la forma,
o o
b
x(t) = Ae− 2m t cos(ωt + δ),

12. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 12
donde la frecuencia viene dada por:
2 1/2
k b
ω= − .
m 2m
Evidentemente en el l´
ımite b = 0 se recupera la soluci´n de un MAS. Exceptuando la expo-
o
nencial que aparece en la amplitud, el movimiento que resulta es de tipo oscilatorio con una
frecuencia menor que si no hubiese rozamiento. Pero, adem´s, el factor exponencial hace que
a
la amplitud del movimiento decrezca de forma progresiva. Si el amortiguamiento es peque˜o la
n
ecuaci´n anterior da como soluci´n una funci´n de la siguiente forma:
o o o
x
A Ae -(b/2m) t
x(t)
t
Se dice que el movimiento es subamortiguado. Matem´ticamente se produce cuando (b/2m)2 <
a
k/m. Cuando el amortiguamiento es muy grande [(b/2m)2 > k/m], ni siquiera se producen os-
cilaciones. Se habla entonces de movimiento sobreamortiguado y la soluci´n matem´tica es:
o a
b
x(t) = e− 2m t Aeωt + Be−ωt
x
sobreamortiguado
crítico
t

13. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 13
Existe adem´s el caso especial en que (b/2m)2 = k/m. En esta situaci´n, adem´s de no
a o a
haber oscilaciones la ca´ de la amplitud es m´s r´pida que en el caso sobreamortiguado. Se
ıda a a
dice que el amortiguamiento es cr´tico. Matem´ticamente la soluci´n es de la forma:
ı a o
k
x(t) = e−ωt (A + Bt) con ω= .
m
2.6. Oscilaciones forzadas y resonancias
Es posible compensar la perdida de energ´ de un oscilador amortiguado aplicando una
ıa
fuerza externa. Esto es, por ejemplo, lo que hace un ni˜o en un columpio para mantenerse
n
en movimiento. Realiza impulsos sincronizados de cierto modo para que se compensen las
fricciones. Otro ejemplo es que para mantener oscilando un muelle vertical se puede ejercer una
fuerza oscilatoria sobre su soporte para mantener el movimiento. En el caso m´s com´n las
a u
fuerzas aplicadas son peri´dicas, por ejemplo de la forma,
o
f = f0 cos ω0 t.
La ecuaci´n de movimiento ahora ser´:
o a
d2 x dx
m 2
= f0 cos ω0 t − b − kx.
dt dt
La soluci´n de esta ecuaci´n consta de dos partes, la soluci´n transitoria y la soluci´n estaciona-
o o o o
ria. La transitoria es an´loga a la de un oscilador amortiguado, con constantes que dependen de
a
las condiciones iniciales. Quiere esto decir que desde que se comienza a aplicar la fuerza externa
hasta que desaparece el amortiguamiento y la amplitud se mantiene constante pasa un cierto
tiempo. Cuando el movimiento se ha estabilizado la soluci´n de la ecuaci´n es estacionaria, ya
o o
no depende de las condiciones iniciales y se puede escribir as´
ı,
x(t) = A cos(ω0 t − δ),
donde ω = (k/m)1/2 , ω0 es la frecuencia de la fuerza impulsora y:
f0

A
 =
2 1/2
[m2 (ω0 − ω 2 )2 + b2 ω 2 ]



bω



tan δ
 = 2
m(ω0 − ω2)
Ahora la amplitud depende de dos frecuencias. Si consideramos que la del oscilador, ω es
fija y variamos la externa, se obtiene una figura as´ para la amplitud A:
ı

14. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 14
A A máx =f0 /bω 0
ω = ω0 ω0
El dr´stico incremento de la amplitud que se produce cuando ω = ω0 se denomina re-
a
sonancia. F´
ısicamente, la resonancia se produce cuando la fuerza aplicada y la velocidad del
oscilador est´n en fase. Entonces como P = f .v, la potencia transferida es m´xima. Ejemplos
a a
de situaciones con resonancia son los siguientes:
Cuando nos balanceamos en un columpio buscamos la frecuencia natural del sistema para
repetir los impulsos con esa frecuencia.
Cuando un pelot´n de soldados marcha por un puente ha de tener cuidado de que la
o
frecuencia del paso no sea la de resonancia del puente.
Un vaso se puede romper si se emite cerca de ´l un sonido de frecuencia parecida a su
e
frecuencia de resonancia.
Un puente se puede derribar si el viento le proporciona una frecuencia de vibraci´n similar
o
a la de su resonancia.
Sintonizar un aparato de radio o TV no es m´s que buscar la frecuencia con que emite la
a
fuente para que coincida en resonancia con la del circuito el´ctrico del receptor.
e
3. Movimiento ondulatorio
3.1. Conceptos b´sicos y tipos de ondas
a
El movimiento ondulatorio puede considerarse como un transporte de energ´ y cantidad
ıa
de movimiento de una regi´n a otra del espacio sin que tenga lugar ning´n transporte neto de
o u

15. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 15
materia.
En cuanto al tipo de medio material en que se pueden propagar, podemos dividir las ondas
en dos grandes grupos:
Ondas mec´nicas: En este caso las ondas se originan mediante una perturbaci´n en el
a o
espacio que se propaga a trav´s de un medio material debido a sus propiedades el´sticas.
e a
Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas sonoras (vibraciones de las mol´culas de
e
aire que se transmiten de unas a otras), ondas en la superficie de un estanque, ondas en
una cuerda, ondas s´
ısmicas, etc.
Ondas electromagn´ticas: Estas ondas no necesitan de ning´n medio material para propa-
e u
garse. Pueden hacerlo en el vac´ La energ´ y el momento son transportados por campos
ıo. ıa
el´ctricos y magn´ticos que se propagan conjuntamente en el espacio. Ejemplos de estas
e e
ondas son las ondas luminosas, las ondas de radio o televisi´n, las ondas de telefon´
o ıa
m´vil, los rayos X, etc.
o
Las ondas que se propagan en el espacio se denominan ondas viajeras. Sin embargo, hay
otro tipo de ondas (que estudiaremos m´s adelante con detalle) que se denominan estacionarias
a
y que est´n confinadas en una determinada regi´n del espacio. Por ejemplo, al pulsar la cuerda
a o
de una guitarra se produce una onda, pero limitada a la regi´n entre los extremos de la cuerda.
o
Para una onda estacionaria, la energ´ que lleva asociada permanece acotada en una cierta
ıa
regi´n del espacio.
o
Cuando una onda se propaga a trav´s de un medio, las part´
e ıculas de ´ste no acompa˜an su
e n
movimiento de avance, sino que oscilan alrededor de posiciones fijas. Al considerar el movimiento
de una onda hemos de distinguir dos aspectos:
el movimiento de la onda a trav´s del medio
e
el movimiento oscilatorio de las propias part´
ıculas del medio.

16. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 16
propagación
y
x
oscilación
y
x
y
x
Una forma de clasificar ondas alude precisamente a la relaci´n entre la direcci´n de propa-
o o
gaci´n y la direcci´n en que vibran las part´
o o ıculas del medio.
• Ondas transversales son aquellas en que las part´
ıculas oscilan perpendicularmente a la
direcci´n de propagaci´n de la onda. Reproducen el esquema de la figura adjunta. Ejem-
o o
plos de este tipo de ondas son las que se generan en una cuerda cuando se mueve arriba
y abajo uno de sus extremos.3
• Ondas longitudinales son aquellas en que las part´
ıculas oscilan en la misma direcci´n en
o
que se propaga la onda.
3
Las ondas electromagn´ticas tambi´n son ondas transversales, aunque en ese caso no tiene lugar ninguna
e e
vibraci´n de las part´
o ıculas del medio, sino que son los propios campos el´ctrico y magn´tico los que vibran
e e
perpendicularmente entre s´ y a la direcci´n de propagaci´n.
ı o o

17. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 17
propagación
oscilación
Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando se pinza uno de los extremos de un mue-
lle situado horizontalmente. La compresi´n entre las espiras del muelle, se transmite a
o
trav´s de ´l debido a sus propiedades el´sticas y pinzamiento y direcci´n de propagaci´n
e e a o o
coinciden. Las ondas sonoras tambi´n son ondas longitudinales. Se pueden entender como
e
perturbaciones de la posici´n de las part´
o ıculas del medio (aire) que se propagan por las
interacciones entre unas y otras.
En este tema nos ocuparemos unicamente de ondas mec´nicas. Estas ondas requieren tres
´ a
elementos b´sicos:
a
a) Alguna fuente que produzca la perturbaci´n.
o
b) Un medio que se pueda perturbar.
c) Un mecanismo f´
ısico por el cual puntos adyacentes del medio interaccionen para propagar
la perturbaci´n.
o
Conceptos b´sicos en cualquier tipo de ondas:
a
∗ Longitud de onda: distancia entre dos puntos que en el mismo instante est´n a la misma
a
distancia de su posici´n de equilibrio (dicho de otro modo, distancia entre dos puntos que
o
vibran del mismo modo).
∗ Frecuencia: n´mero de vibraciones por unidad de tiempo de la perturbaci´n.
u o
∗ Velocidad de propagaci´n: velocidad con que se transmite la perturbaci´n.
o o
∗ Amplitud: m´xima separaci´n de un punto respecto a su posici´n de equilibrio.
a o o

18. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 18
3.2. Pulsos unidimensionales
Un pulso es una onda de extensi´n relativamente corta, interesante desde el punto de vista
o
te´rico porque permite visualizar el comportamiento gen´rico de cualquier onda. Matem´tica-
o e a
mente, un pulso se puede representar como una cierta funci´n, y = f (x), que se mueve con una
o
cierta velocidad.
Por ejemplo, un pulso es el resultado de mover el extremo de una cuerda horizontal (estando
el otro extremo sujeto a un punto fijo) con fuerza arriba o abajo durante un breve intervalo de
tiempo.
propagación
Si la forma de un pulso no cambia con el tiempo, respecto a un sistema de referencia inercial,
la curva f (x) se mover´ con la velocidad de propagaci´n del pulso, v. Es decir, matem´ticamente
a o a
un pulso que se desplaza hacia la derecha ser´ una funci´n:
a o
y = f (x − vt),
y si se mueve hacia la izquierda:
y = f (x + vt).
La forma funcional f (x ± vt) se denomina funci´n de ondas. De otro modo: y = y(x, t) =
o
f (x ± vt). La velocidad con que se propaga la onda no debe confundirse con la velocidad con
que vibran las part´
ıculas del medio. En concreto, la velocidad del pulso se suele denominar
velocidad de fase y se obtiene como:
dx
v= .
dt

19. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 19
t=0 t
y y y'
vt
y=f(x)
y=f(x')=f(x-vt)
O O'
O x x' x'
x
3.3. Ondas arm´nicas
o
Si el extremo de una cuerda se desplaza arriba y abajo siguiendo un MAS, se produce un
tren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. La forma de la cuerda en cualquier
instante de tiempo es una funci´n senoidal y adem´s se propaga con una cierta velocidad. Este
o a
tipo de onda, que tiene como origen una perturbaci´n de tipo arm´nico simple, se denomina
o o
onda arm´nica.
o
En t = 0 la forma de la onda siempre se puede representar como:
2π
y = A sen x .
λ
Amplitud: M´ximo desplazamiento respecto a la posici´n de equilibrio
a o
Longitud de onda: Distancia entre dos crestas o valles consecutivos o entre dos puntos
adyacentes con la misma fase.
y(x) = y(x + nλ), n = 1, 2, 3, . . .
porque:
2π 2πx
y(x + nλ) = A sen (x + nλ) = A sen + 2nπ = y(x).
λ λ
Si la onda se desplaza hacia la derecha con velocidad v, en un tiempo t, posterior, la
funci´n de onda ser´:
o a
2π
y(x, t) = A sen (x − vt) .
λ
Si la onda viaja hacia la izquierda, ser´
ıa:
2π
y(x, t) = A sen (x + vt) .
λ

20. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 20
Periodo: El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a λ se denomina
periodo:
λ
v= .
T
t=0
λ
y
A
x
t
t=0
y t
x
vt
Luego una manera alternativa de expresar la funci´n de ondas es:
o
x t
y(x, t) = A sen 2π −
λ T
Esta funci´n muestra el car´cter peri´dico de la onda: y tiene el mismo valor en las posiciones
o a o
x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ . . . . Y para cualquier posici´n dada, x, y toma el mismo valor en los
o
instantes: t, t + 2T , t + 3T , . . . Es decir, la periodicidad espacial la determina λ y la temporal
T . Matem´ticamente:
a
y(x, t) = y(x + nλ, t) −→ λ periodicidad espacial
y(x, t) = y(x, t + nT ) −→ T periodicidad temporal

21. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 21
Otras definiciones usuales son las siguientes:
2π
k≡ −→ n´mero de onda (1/m)
u
λ
2π
ω≡ −→ frecuencia angular (rad/s)
T
1
f≡ −→ frecuencia (1/s=Hz) (herzio)
T
En t´rminos de algunos de estos par´metros:
e a
y(x, t) = A sen(kx − ωt),
y la velocidad se puede expresar:
ω
v=
k
v = λf.
Las funciones de onda expuestas hasta ahora presuponen que en el instante inicial, t = 0, x =
0 y el desplazamiento desde el equilibrio es nulo, y = 0. En general, esto no tiene porqu´ suceder.
e
Para ello matem´ticamente se puede introducir un desfase inicial, δ, de manera que la forma
a
m´s general de la funci´n de ondas es:
a o
y(x, t) = A sen(kx − ωt − δ).
El desfase inicial se determina a partir de las condiciones iniciales.
La velocidad con la que vibra un punto cualquiera del medio material en que se transmite
la onda y su aceleraci´n, se determinan derivando y(x, t) respecto al tiempo:
o
∂y
vy = = ωA cos(kx − ωt)
∂t x=cte
∂ 2y
ay = 2 = −ω 2 A sen(kx − ωt).
∂t x=cte
Los valores m´ximos son:
a
vy,max = ωA
ay,max = ω 2 A.

22. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 22
4. Problemas
1. Un coche de 1200 kg se construye a partir de un chasis unido por cuatro amortiguadores a
las ruedas. Si cada amortiguador tiene una constante de fuerza de 20000 N/m, encu´ntrese
e
el periodo y la frecuencia de vibraci´n cuando el autom´vil pasa por un bache llevando
o o
en su interior dos personas con una masa conjunta de 160 kg.
(Respuestas: T = 0,85 s; f = 1,18 Hz )
2. Una part´
ıcula de 10 g describe un M.A.S. en el eje x. La amplitud es 5 cm y cada segundo
efect´a media vibraci´n. Calc´lense:
u o u
a) La ecuaci´n que rige el movimiento.
o
b) La fuerza que lo produce.
c) Los valores de la elongaci´n para los que ser´ m´xima la velocidad.
o a a
d) Los valores de la elongaci´n para los que ser´ nula la aceleraci´n.
o a o
(Respuestas: a) x(t) = 5 cos πt; b) f = −mπ 2 x; c) x(vmax ) = 0; d) x(a = 0) = 0)
3. Un resorte espiral tiene una longitud de 15 cm. Cuando de ´l se cuelga una masa de 50 g
e
queda en reposo con una longitud de 17 cm. Calcula:
a) La constante de recuperaci´n del resorte.
o
b) La frecuencia de las oscilaciones verticales que se producen cuando se cuelga una masa
de 90 g.
c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa de 90 g entre los extremos de la
trayectoria, si la distancia entre ellos es de 6 cm.
(Respuestas: a) k = 24,5 N/m; b) f = 2,63 Hz; c) W = 0,053 J)
4. El p´ndulo de un reloj de pared est´ constituido por una varilla homog´nea de 1 m
e a e
de longitud y masa m1 en cuyo extremo se encuentra un peque˜o cilindro macizo y
n
homog´neo de masa tres veces mayor que la varilla. Calc´lese el radio que debe tener este
e u
cilindro para que el reloj funcione con un periodo de 2 s.
(Respuestas: r = 5,11 cm)

23. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 23
5. Un anillo de 10 cm de radio est´ suspendido de una varilla de modo que puede oscilar
a
libremente. Determina su periodo de oscilaci´n.
o
(Respuestas: T = 0,90 s)
6. Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de una
b´scula de masa 10 kg . El muelle de la b´scula tiene una constante el´stica de 8 kg/cm.
a a a
Suponiendo que despu´s del choque el plato y el cuerpo permanecen unidos, calc´lense:
e u
a) el desplazamiento m´ximo del plato de la b´scula y b) la ecuaci´n del movimiento del
a a o
conjunto cuerpo-plato.
(Respuestas: y2 = 0, 171 m; x = 0, 16 cos(19, 8t) (S.I.))
7. Por la garganta de una polea, cuya masa M puede considerarse concentrada en su periferia,
pasa un hilo inextensible y sin masa. De uno de los extremos del hilo cuelga una masa
m y el otro extremo del hilo est´ atado a un resorte vertical cuyo extremo est´ fijo en el
a a
suelo. Calcula el periodo para peque˜as oscilaciones de m. Datos: M = 900 g; m = 150 g
n
; k = 1600 N/m.
(Respuestas: T = 0,16 s)
8. La funci´n de ondas de una onda arm´nica que se propaga a trav´s de una cuerda es,
o o e
y(x, t) = 0,03 sen(2,2x − 3,5t)
en el S.I.. Determina su amplitud, longitud de onda, frecuencia angular, frecuencia, pe-
riodo, n´mero de ondas y velocidad de propagaci´n.
u o
(Respuestas: A = 0,03 m; λ = 2,9 m; ω = 3,5 rad/s; f = 0,55 Hz; T = 1,8 s;
k = 2,2 m−1 ; v = 1,6 m/s)
9. Determina la ecuaci´n de una onda arm´nica que se propaga en el sentido negativo del
o o
eje x con una velocidad de 900 m/s, siendo su frecuencia 400 Hz y 0,02 m su amplitud.
Se sabe adem´s que en t = 0, el punto x = 0 se encuentra a 0,02 m de su posici´n de
a o
equilibrio.
(Respuestas: y(x, t) = 0,02 cos(2,8 x + 2,5 × 103 t) (S.I.))
10. A tiempo t = 0, la forma de un pulso generado sobre una cuerda viene dada por:
a
y(x) = ,
b + x2

24. Tema 7. Movimientos oscilatorio y ondulatorio 24
donde a = 0,12 m3 y b = 4,0 m2 .
a) Representa gr´ficamente el pulso en ese instante.
a
b) ¿Cu´l es su funci´n de ondas, y(x, t), si se desplaza en el sentido positivo del eje x con
a o
velocidad de 10 m/s?
c) ¿Y si el pulso se mueve con la misma velocidad, pero en el sentido negativo del eje x?
0,12 0,12
(Respuestas: b) y(x, t) = (S.I.); c) y(x, t) = (S.I.))
4 + (x − 10 t)2 4 + (x + 10 t)2